Kvantemekanik i SRP en
|
|
- Simon Kristiansen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kvatemekaik i SRP e Torste Traum Rømer, Frederiksberg Gymasium E gag imellem er der elever fra studieretiger med matematik, fysik og kemi, der i SRP øsker at skrive om kvatemekaik. Emet er svært for alle og især for gymasieelever, der hvis de skal have oplevelse af at forstå stoffet samt formidle det på et rimeligt iveau, har et meget stort arbejde fora sig. I dee artikel præseteres e SRP med omdrejigspukt i kvatemekaikke. Først behadles selve opgaveformulerige og deræst bliver e vejledede besvarelse skitseret. Projektet er møtet på fagee matematik A og fysik A eller B og blev til som e modificeret versio af e opgave fra et kursus i kvatemekaik for aotekologer på Købehavs Uiversitet. Udervejs i udarbejdelse rådførte jeg mig med de opridelige opgaves forfatter, Karste Flesberg. Opgaveformulerig Redegørelse for grudlæggede begreber ide for de lieære algebra, heruder lieære afbildiger, vektorrum, matrixrepræsetatioer af lieære afbildiger, egevektorer og egeværdier. Redegørelse skal ideholde både defiitioer, sætiger (hvoraf midst e bevises) og eksempler på udregiger. Der øskes e geemgag af grudlæggede begreber og sammehæge ide for kvatemekaik, heruder Hamiltooperatorer, egeeergier og egetilstade. Hvor det er muligt, skal disse begreber og sammehæge sættes id i kotekste af lieær algebra. Edeligt øskes vedlagte opgave løst, og som afslutig skal dee opgave perspektiveres og sættes i sammehæg med de foregåede to pukter. a ( + ) og a ( ) med tilkyttede egeværdier hhv. ε V og ε +V. 3. Kostruér på baggrud af () matrice for Hamiltooperatore H og tjek vha. et CAS værktøj, at dee matrice har de samme egevektorer, som dem du fadt uder pkt. Vik: Nogle CAS værktøjer ka ikke rege med bogstavmatricer. Er dette tilfældet sæt da fx ε til værdie og V til værdie. Overvej i så fald betydige for egevektorer og egeværdier, år dette trick beyttes. 4. Agiv systemets grudtilstad og de tilkyttede grudtilstadseergi og diskuter i de forbidelse de fysiske betydig af grudtilstade. Spørgsmål B Ispireret af de simple model, vi lige har behadlet, skal vi se på e ade model, emlig e model for bezemolekylet. Bezemolekylet består af pladser, hvor i alt elektroer (valeselektroer for at være præcis) ka befide sig. Disse seks pladser beæves,, 3, 4, 5 og, og modelle ka illustreres ved følgede tegig. SRP projektets kvatemekaiske del ser således ud: Spørgsmål A Vi betragter et system med e elektro, der ka vælge imellem to pladser. Det koster eergie ε at sidde på hver plads, og der er e eergigevist V forbudet med, at elektroe hopper mellem pladsere. Systemet ka teges således: Her betyder, at elektroe befider sig på plads og, at elektroe befider sig på plads. Det oplyses, at Hamiltooperatore for dette system er: Hamiltooperatore for systemet ser således ud: H t ( ) Her er t de eergibesparelse, der er forbudet med at hoppe fra plads til plads. I de model for beze molekylet, som Hamiltooperatore repræseterer, ses elektroere altså som kietiske partikler, hvormed der mees partikler, der miimerer deres eergi ved at være i bevægelse. H e + e V +, V > (). Forklar de fysiske betydig af Hamiltooperatore H.. Gør rede for, at egetilstadee for H er. Vis, at matrice for Hamiltooperatore er givet ved H t t > LMFK-bladet / 9
2 og kommeter på, hvorfor ( ) tallere står på de give pladser. Vik: Lad dig ikke forvirre af de egative forteg. De skal bare være der, for at Hamilto operatore ideholder iformatio om, at det er eergimæssigt favorabelt for e elektro at hoppe fra plads til plads.. Vis at vektorere m ( ) m m er egevektorer for H og bestem de tilkyttede egeværdier. Vik: Du ka gøre dette ete direkte ud fra H eller ved at omskrive ket vektorere til traditioel vektorform i stadard basis og gage dem på matrice H. 3. Diskuter til sidst forme af de tre egevektorer m, m og m ud fra figure heruder. Vejledede besvarelse Opgave A A: Hamiltooperatore for et fysisk system udtrykker systemets eergitilstade. Egetilstadee for Hamiltooperatore og de dertilhørede egeværdier, repræseterer de mulige eergitilstade, systemet ka befide sig i. I det kokrete tilfælde udtrykker Hamiltooperatore altså de mulige eergitilstade for to elektrosystemet. A: Lad tilstadee og udgøre e orthoormal basis for det todimesioelle Hilbertrum, der beskriver elektroes to mulige placeriger: Plads og plads. Ved at lade H virke på tilstade a + H α H + fås ε + ε + ε + ε V V V V ε ( V + ) ( + ) ( ε V ) ( V + ) ( ε ) α Her har vi brugt, at og idet og jo etop udgør e orthoormal basis. Tilsvarede fås, at H α H ( ε V ) α Det er hermed vist, at a og a er egetilstade for H med egeværdiere hhv. ( e-v ) og ( e +V ). Figure viser de tre ederste eergitilstade for bezemolekylet. Da bezemolekylet ideholder elektroer, vil grudtilstade derfor være beskrevet ved, at de tre ederste eergitilstade hver ideholder to elektroer, idet Pauli pricippet ku tillader e spi up og e spi ed elektro i hver eergitilstad. Opgave er slut Skitserig af besvarelse I det følgede skitseres, hvorledes projektets vedlagte opgave (opgaveformuleriges pukt 3) ka besvares. Der lægges vægt på, hvad der for e gymasieelev er miimumsvide for at svare fyldestgørede. Opgaveformuleriges to første pukter berøres af pladshesy ikke. De vedlagte opgave ka på trods af sit store omfag besvares vha. e begræset mægde tekikker. Disse fremgår af bokse på æste side. A3: Da vi har at gøre med et to dimesioelt rum (Hilbertrum) udspædt af base {, }, vil matrice for Hamiltooperatore blive e matrix, hvor idgag ij er fastlagt som H ij i H j. For idgag H fås: H H ( ) e + e V + e + e V V e + e V V e På tilsvarede vis fås H V, H V og H e og de samlede matrice ser derfor således ud: H e V V e Egevektorere for dee matrice ka bestemmes vha. Nspire. LMFK-bladet /
3 Basiskvat for gymasieelever For e orthoormal basis gælder følgede deltafuktio i j ij d for i j for i j hvor d ij kaldes Kroeeckers deltafuktio. Her er i e såkaldt bra, mes j kaldes e ket. Det smarte her er, at bra er i e dimesioel orthoormal basis ka repræseteres af vektorer på forme i ( i i... i i ) at kvadratet på hver koefficiet ka fortolkes som e sadsylighed. Kvatemekaisk ka dette fortolkes som sadsylighede for at fx e elektro befider sig lags e give komposat af vektore. De grafiske fremstilliger af egefuktioer ka år fuktioe er ormeret, dvs. år det samlede areal mellem grafe og akse geem puktere har areal, fortolkes som e sadsylighed. Grafes højde over e bestemt plads ka derfor tolkes som sadsylighede for at e elektro befider sig etop på dee plads. mes ket er er på forme j j j j j Det idre produkt i j udføres derfor efter reglere for ormal matrixmultiplikatio som e række gaget samme med e søjle. E vektor kaldes ormeret år det idre produkt med sig selv er. I bra ket otatio er e vektor i altså ormeret år i i. Basisvektorere for e -dimesioalt rum (Hilbertrum) er på ket form,,, hvor der i hver ket er pladser. Basis bra er kostrueres tilsvarede som rækkevektorer. E operator, fx Hamiltooperatore, lader ma virke mod højre, og hvis operatore er repræseteret ved e m matrix gages dee via ormal matrixmultiplikatio på e dimesioal ket ( dimesioal søjlevektor), der herefter giver e y dimesioal ket. Dee ket er så klar til et idre produkt med e bra af samme dimesio (-dimesioal rækkevektor). Eksempel I bra ket otatio udføres operatorudregiger meget elegat. Hedder operatore fx O t, t hvor t er et tal, virker dee id på kette på følgede måde O t t og altså bliver E give vektor skrives som e liearkombiatio af basisvektorer og er altså skrevet som e ket på forme : vektor c + c + + c + c c + c + + c + c Er vektore ormeret gælder det, at c i i, således O t t t idet kostater altid passerer uædret igeem det idre produkt. Idgag ij i e matrix, der repræseterer e operator, er defieret som: H ij i H j hvor i er de i te basis bra og j er de j te basis ket. LMFK-bladet /
4 Dette giver + og hvilket etop er forme på a og a agivet i opgave A. De tilhørede egeværdier ka u fides ved at diagoalisere H i base a, a { }, hvilket giver H e V e + V Dette ka desværre ikke gøres på TI Nspire år idgagee er variable, me ma ka slippe omkrig problemet ved at sætte fx e og V, hvilket giver egeværdiere og 3, svarede til hhv. e-v og e +V. A4: Da et systems grudtilstad er karakteriseret ved det lavest mulige eergiiveau, og da ethvert af disse eergiiveauer ifølge kvatemekaikkes love er e egetilstad for Hamiltooperatore og både e og da V er positive størrelser, så må systemet beståede af de to elektroer have grudtilstade a ( + ) + med tilhørede grudtilstadseergi e-v. Opgave B B: Vi har u at gøre med et seks dimesioelt Hilbertrum udspædt af base {,, 3, 4, 5, }. Som før er idgag ij fastlagt ved H H H ij i H j. Som eksempel fås t ( ) t t t 3 t 3 t 3 4 t 4 3 t 4 5 t 5 4 t 5 t 5 t t Her står ( ) tallere på præcis de idgage, der svarer til hop mellem to abopladser. Idgag H svarer til at elektroe hopper fra plads til, H 3 svarer til at elektroe hopper fra plads til 3. At modelle ku tillader elektroer at hoppe til e aboplads, afspejles altså ved at idgage med værdier forskellige fra ul (her ) ku forekommer på forme H i, i + eller H i +, i. B: m omskrives til vektorform i stadard basis: m og gages på matrice for H. Dette giver H m t Skrives dette som H m egeværdie t. t t m ses det, at m har Tilsvarede fås for m og m, at H m t m og H m t m. B3: Faktore t i Hamiltooperatore H udtrykker, at systemet af elektroer sæker si eergi ved, at partiklere er i bevægelse. Dette ka ikke forstås i et klassisk billede, idet klassiske partikler jo miimerer deres eergi ved at være i hvile. For kvatemekaiske partikler som elektroere i dee opgave gælder Heisebergs usikkerhedspricip, Dx Dp, hvoraf det følger, at hvis positioe af partiklere er meget ubestemt, så ka hastighede via impulse være meget bestemt. Det er altså e ødvedig betigelse for, at e kvatemekaisk partikel ka miimere si hastighed og dermed eergi, at des positio er ubestemt. Derfor vil e kvatemekaisk partikel gere bevæge sig og være flere steder på e gag. Det er etop dette, vi ser i egevektore m s form med et tal på alle pladser. Dee kofiguratio af elektroere svarer til, at begge i geemsit befider sig lige meget på hver plads i bezemolekylet eller mere præcist: I geemsit lige meget over hele bezemolekylet hvilket også illustreres af de grøe graf. Dee elektrokofiguratio giver etop de laveste eergi for elektroer, der i modelle med Hamiltooperator H beskrives som kietiske. Fortolkes de grøe graf som e sadsylighedsamplitude, ses det, at der etop er samme sadsylighed for, at elektroere befider på ethvert sted i molekylet (ige positio er foretrukket frem for adre). d ij med i ¹ j. Fortsættes så- da alle led er på forme i j da for alle 3 idgage fås H t Egevektore m har komposater lags retigere, 3, 5 og, hvilket betyder, at her ka de to elektroer ikke befide sig på pladsere og 4. Dette giver aturligt e højere eergi (egeværdi t), idet elektroere her fordeler sig på midre plads ed i tilfældet m. I et termodyamisk billede har elektrokofiguratioe svarede til m e lavere etropi ed elektrokofiguratioe svarede til m, hvilket også ka forklare de højere eergi. Grafisk repræseteres dette ved de blå kurve, hvor det ses, at der ikke er lige stor sadsylighedsamplitude over alle pladser i molekylet de tilgægelige pladser, 3, 5 og har samme sadsylighed (som så hver må være e fjerdedel) mes de ikke tilladte pladser og 4, har sadsylighed ul. LMFK-bladet /
5 Egevektore m har komposater lags alle retiger og har derfor e sadsylighedsamplitude over alle pladser, se de røde graf. Bemærk, at amplitude ikke er es over alle pladser, og at der er e placerig mellem plads og 3 samt mellem 5 og, der ikke er tilladt. Sadsylighedere ka udreges ved at kvadrere koefficietere til hver komposat. Altså tilkyttes pladsere og 4 hver e sadsylighed på /3, mes pladsere,3,5 og får sadsylighede /. Samlet set e sadsylighed, der summer til. At egeværdie for m er t lige som for m, ka grafisk forstås ved, at de to grafer (rød og blå) blot er vadrette parallelforskydiger af hiade. Der er altså de samme elektrotæthed over molekylet, blot forskudt rudt lags molekylet. Dette giver god meig i e model, hvor elektroere er beskrevet som kietiske, og hvor bezemolekylet har e rotatiossymmetri ( folds) omkrig e akse geem cetrum og vikelret på molekylets pla. At egeværdie for m er større ed for m, selvom alle pladser i begge tilfælde ka være besatte, ka ige forklares ud fra de plads, elektroere har at fordele sig på. De totale ligefordelig af elektroer over hele molekylet vil give e lavere eergi ed e kofiguratio, hvor alle pladser godt ok er tilgægelige, me hvor elektroeres positio er mere bestemt. Det skal bemærkes, at de tre grafer er fremkommet ved at udtrykke egevektorere i e basis af sfærisk harmoiske fuktioer og derefter ormere hver ekel. Dette er grude til, at graferes amplituder ka fortolkes som sadsyligheder. At udføre dette selv ville gøre opgaves omfag for stort for e gymasieelev, og det er derfor i opgave blot op til eleve at fortolke de grafiske fremstilliger. Afslutigsvis skal det æves, at eleve løste de her beskreve molekyleopgave meget tilfredsstillede, og det lykkedes ligeledes at sætte dette i e foruftig forbidelse med reste af opgaveformulerige. De her beskreve opgaveformulerig befider sig i græseladet mellem matematik og fysik. Det vil formetlig også være muligt at dreje e opgave som dee i e mere kemisk retig, så de retter fokus væk fra matematikke og i stedet behadler e kvatemekaisk forklarig på et molekyles kemiske egeskaber. LMFK-bladet / 3
Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion
Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H
ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com
ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereDK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring
DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereA14 4 Optiske egenskaber
A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereInformation til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!
Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereNoter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar
Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereFACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL
FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereKvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger
Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereMatematik Eksamensprojekt
Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereØvelser til fremme af forståelsen af den kvantemekaniske bølgemekanik
Syddask Uiversitet, Tekisk Fakultet Øvelser til fremme af forståelse af de kvatemekaiske bølgemekaik FY521, projekt r.1 Simo Holst Traberg-Larse og Søre Emil Weger Peterse d. 15. februar 2013 Dette projektdokumet
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs merePsyken på overarbejde hva ka du gøre?
Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereCykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereProjekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation
ISBN 978-87-766-98- Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau.
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereManual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.
Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.129 Side 1
Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereHvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?
Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mere