Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
|
|
- Steffen Holst
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau
2 Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer værdien af en ukendt populations parameter. Kaldes også et interval estimat. Sammen med intervallet gives et mål for, hvor sikker man er på, at den sande populations parameter ligger i intervallet. Dette mål kaldes for konfidens niveauet. Et punkt estimat estimerer værdien af en ukendt populations parameter ved en enkelt værdi. For eksempel, gennemsnitsløn for A X=6. Et punkt estimat indeholder ikke meget information om den faktiske værdi af µ. Et interval estimat indeholder flere informationer, for eksempel: Vi er 95% sikre på, at intervallet [55,65] indeholde den sande middelværdi µ. Eller vi er 9% sikre på, at intervallet [599,61] indeholder den sande middelværdi µ.
3 Repetition fra sidst (1-α)1% konfidens interval for: Populations middelværdi µ, når X er normal fordelt (eller stikprøven er stor) og σ er kendt: σ x ± z n α Populations middelværdi µ, når X er normal fordelt og σ er ukendt: For populations andelen p: x ± t α s n pˆ ± z α pq ˆ ˆ n 3
4 (1-α)1% konfidens interval for: Populations variansen σ²: Beregning af stikprøve størrelse: ( n ) s 1, ( n 1 ) s χ χ α α 1 Mindste stikprøve størrelse, når µ estimeres : z α σ n = B hvor B er den maksimale grænse for, hvor langt estimatet må ligge fra den sande middelværdi (med konfidens niveau α). For populations andelen er den givet ved: z α pq n = B vis p ukendt bruges p =.5, da det giver den største stikprøve størrelse (og er altså et konservativt gæt). 4
5 ypoteser og hypotesetest. En hypotese er et udsagn om nogle karakteristika af en variabel eller mængde af variable, for eksempel: Er middelværdien af de A studerendes vægt lig med 7 kilo? I en hypotesetest testes værdier, der er opstillet i en hypotese, ved at sammenligne med værdier beregnet fra data. For eksempel kan gennemsnittet af en stikprøve af jeres vægte beregnes til 68 kilo. Er det (signifikant) forskellig fra 7? Det er forskellig fra 7, men kan vi derfra konkludere, at det ikke bare skyldes tilfældig variation, afhængig af eksempelvis stikprøvestørrelsen? En hypotesetest består af 5 elementer: antagelser, hypoteser, test størrelse, p- værdi og beslutning/konklusion. 5
6 Antagelser Type af data: Se på om det er diskrete eller kontinuerte data Populations fordeling: Se på hvilken fordeling populationen har. Stikprøve: vilken metode er brugt til at indsamle data. Skal være en simpel stikprøve i de test vi bruger. Stikprøve størrelse: vor stor er den stikprøve vi har til at beregne test størrelsen? 6
7 ypoteser Nul hypotesen Er sand indtil vi statistisk har bevist, at den er falsk. Den alternative hypotese : En påstand om en parameter. situationer, der ikke er dækket af. 1 : En påstand om alle Nul hypotesen er sand indtil det modsatte er bevist. : µ = 5 1 : µ 5 : µ 5 1 : µ < 5 : µ 5 1 : µ > 5 : 1 : : p.5 1 : p =.5 p.5 : p <.5 : p.5 1 p >.5 7
8 O.J. Simpson en analogi fra den virkelige verden O. J. Simpson er anklaget for mordet sin eks og dennes kæreste. Nul hypotesen: an er uskyldig Alternativ hypotese: an er skyldig For at O. J. skal kunne dømmes skyldig, skal anklagerne bevise, at han er skyldig beyond any reasonable doubt O. J. skal ikke bevise, at han er uskyldig. Vi kan forkaste nul hypotesen, hvis han findes skyldig, men hvis nul hypotesen ikke forkastes, har vi ikke bevist, at han er uskyldig blot, at der ikke er beviser nok til at finde ham skyldig. (Note: an blev erklæret ikke skyldig!!) 8
9 Test størrelsen Test størrelsen beregnes fra stikprøve data og bruges til at vurdere nul hypotesen. Den indeholder typisk et punkt estimat for den parameter, der indgår i nul hypotesen for eksempel gennemsnittet som punkt estimat for middelværdien. Selve fremgangsmåden for hypotese test er ens fra test til test, uanset data type, fordelings type og stikprøve størrelse. Men formlen for test størrelsen varierer afhængigt af disse ting. 9
10 P-værdi P-værdien af en test, er sandsynligheden for at observere en teststørrelse mindst så ekstrem som den beregnede/observerede værdi, når nul hypotesen er sand. Der gælder følgende for p-værdier: 1. Når p-værdien <.1 er resultatet meget signifikant.. Når p-værdien er mellem.1 og.5 er resultatet signifikant. 3. Nå p-værdien er mellem.5 og.1 er resultatet marginalt signifikant. 4. Når p-værdien er større end.1, er resultatet ikke signifikant. 1
11 P-værdi, fortsat Det vil altså sige når nul hypotesen er falsk, er p-værdien meget lille og når nul hypotesen er sand, vil p-værdien være stor (større end for eksempel.5). Vi accepterer/beviser aldrig, at nul hypotesen er sand. vis vi ikke kan forkaste nul hypotesen, siger vi, at der ikke er nok beviser til at forkaste den. vis vi forkaster nul hypotesen, kan vi konkludere, at der er beviser nok til at sige, at den alternative hypotese er sand. 11
12 Konklusion/beslutnings regel En beslutningsregel for en hypotese test, er en regel for under hvilke betingelse nul hypotesen kan forkastes. Betragt : µ=1. Beslutnings reglen kan her være at forkaste, når stikprøve gennemsnittet er udenfor intervallet [95, 15]. Typisk bruges dog p-værdien for testen. Så en beslutningsregel er for eksempel at forkaste, når p-værdien er mindre end.5. vor lille man vælger p-værdien, afhænger af hvilke konsekvenser beslutningen om at forkaste har. vis det er et spørgsmål om liv eller død, for eksempel i medicinske forsøg, vælges p-værdien meget lille. Men hvis det bare er at teste om et folketingsparti er større end et andet, kan man godt vælge p-værdien større. 1
13 Test af middelværdi Antagelse: Test af µ, X kvantitativ variabel og n>3. ypoteser: 1 : µ = µ : µ µ Stikprøve fordeling af X når er sand er approksimativ normal med middelværdi µ og standard afvigelse σ n µ x Teststørrelse: Z = X µ σ n 13
14 Beregning af p-værdi Når er sand, er fordelingen af Z approksimativt standard normal fordelt (dvs. normal fordelt med middelværdi og standard afvigelse 1). P-værdien er sandsynligheden for at observere en test størrelse mindst så ekstrem som den observerede, givet at er sand. I formler: p( Z > beregnet z værdi). I praksis: I tabellen for standard normalfordelingen aflæses sandsynligheden ud fra værdien af z-værdien og ganges med, da det er i begge sider af fordelingen. Dvs. skal ganges med, da vi både ser på værdier der er mindre end og større end middelværdien opgivet i. Meget nemmere at se ved hjælp af et eksempel: 14
15 Eksempel : µ = 3 1: µm 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 σ = 5 P-værdi: p = p( z >,1) = p( z >,1) =.17 =.34 Lille p-værdi, så forkastes. Fordeling: Test størrelse: Z = =, µ =3 x=8.5 x=
16 Sandsynligheden for Z-værdien Z=-,1 Z=,1 16
17 Summe opgave : µ = 3 1: µm 3 : µ = 3 1: µm 3 Stikprøve: n = x = 31.5 σ = 5 Stikprøve: n = 1 x = 31.5 σ = 5 Beregn værdien af test størrelsen og p-værdien. Beregn værdien af test størrelsen og p-værdien 17
18 Relation til konfidens intervaller σ x± 1.96 = 31.5 ± 1.96 n 5 5 Middelværdi under 95% konfidens interval omkring observeret middelværdi µ = x =
19 vorfor = i nul hypotesen : µ µ : µ = µ 1 : µ > µ skrives i det følgende som : 1 : µ > µ Grunden til dette er, at man på denne måde "lader tvivlen komme til gode". Desuden er vi kun interesseret i, om µ er større ( eller mindre, hvis < ) end en givet værdi, ikke hvor meget den evt. er mindre. 19
20 øjresidet test Antagelse: Test af µ, X kvantitativ variabel og n>3. ypoteser: 1 : µ = µ : µ > µ Stikprøve fordeling af X når er sand er approksimativ normal med middelværdi µ og standard afvigelse σ n Teststørrelse: X µ Z = σ n P-værdien: p( Z > beregnet z værdi)
21 Eksempel højresidet test : µ = 3 1: µ > 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 σ = 5 P-værdi: p = p( z >,1) =.17 Lille p-værdi, så forkastes Z=,1.17 Test størrelse: Fordeling: Z = =, µ =3 x=
22 Venstresidet test Antagelse: Test af µ, X kvantitativ variabel og n>3. ypoteser: 1 : µ = µ : µ < µ Stikprøve fordeling af X når er sand er approksimativ normal med middelværdi µ og standard afvigelse σ n Teststørrelse: Z = X µ σ n P-værdien: p( Z < beregnet z værdi)
23 Eksempel venstresidet test : µ = 3 1: µ < 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 σ = 5 Test størrelse: P-værdi: p = p( z <,1) = 1.17 Stor p-værdi, så forkastes ikke Fordeling: Z=,1 Z = =, µ =3 x=31.5 3
24 Test af middelværdi for ukendt varians Antagelse: Test af µ, X normalfordelt variabel og σ² ukendt (estimeret ved s²). ypoteser: 1 : µ = µ : µ µ Teststørrelse t er t-fordelt med (n-1) frihedsgrader: X s µ t = n P-værdien: p( t > beregnet t værdi) kan ikke beregnes ved tabel opslag. Venstre og højre sidet test efter samme princip som før. 4
25 Eksempel : µ = 3 1: µm 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 s = 5 Test størrelse: = =,1 5 5 Svært at slå op i tabel. Ligger mellem.5 og.1. P-værdi: p = p( t >,1) = p( t >,1) =. =.4 Lille p-værdi, så forkastes. Fordeling:.8 t x=8.5 µ =3 x=31.5 5
26 Test af en andel Antagelse: Test af populations andel p, når np>5 og n(1-p)>5. ypoteser: pˆ 1 : p = p : p p Stikprøve fordeling af når er sand er approksimativ normal med middelværdi og standard afvigelse p 1 p ) / n Teststørrelse: p Z = ) / n P-værdien: p( Z > beregnet z værdi) p pˆ (1 p p ( øjresidet og venstresidet test efter samme princip som før. 6
27 Test af variansen Antagelse: Test af populations variansen σ², X normal fordelt. ypoteser: 1 : σ : σ = σ σ Teststørrelse: ( n 1) s χ = σ ( χ fordelt med (n -1) frihedsgrader) P-værdi: p( Χ² > beregnet Χ² værdi) kan ikke beregnes ved tabel opslag. øjresidet og venstresidet test efter samme princip som før. 7
28 Signifikans niveau Signifikans niveauet α er et tal, således at forkastes, hvis p-værdien er mindre end α. Konklusion Er normalvis.5 eller.1. Vælges før analysen foretages. P-værdi 1 vis man tester på signifikans niveau.5, svarer det til en z-værdi på 1.96 i en to-sidet test (hvorfor?) og i en højresidet test (hvorfor?). P<.5 Forkast Accepter Normal ses dog på p-værdien i stedet, da de i de fleste tilfælde ikke er smart at have en standard procedure for om man forkaster eller ej. P>.5 Forkast ikke Accepter ikke 8
29 Eksempel - igen : µ = 3 1: µm 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 s = 5 I stedet for p-værdi, vælges signifikans niveau α, for eksempel α=,5. Slå op i t-tabellen med 49 frihedsgrader under,5, da det er en -sidet test. Test størrelse: t = =,1 5 5 Svært at slå op i tabel. Ligger mellem.5 og.1. t-værdien er cirka lig med.1. Da,1 er større end,1, forkastes. vis t=-,1 skulle vi have sagt, da -,1 er mindre end -.1, forkastes. 9
30 Eksempel højresidet test : µ = 3 1: µ > 3 Stikprøve: n = 5 x = 31.5 σ = 5 Test størrelse: I stedet for p-værdi, vælges signifikans niveau α, for eksempel α=,5. Slå op i z-tabellen under,5 da det er en 1-sidet test. z-værdien er cirka lig med 1,645. Da,1 er større end 1.645, forkastes. Z = =,1 3
31 Test af varians - eksempel 31
32 Type 1 og type fejl Type 1 fejl: forkastes, når den er sand. Type fejl: forkastes ikke, selvom den er falsk. Signifikans niveauet α er sandsynligheden for at begå en type 1 fejl. Sandsynligheden for at begå en type fejl betegnes β Sandsynligheden for type 1 og type fejl er inverst relaterede, dvs. når den ene stiger, så falder den anden, så man kan ikke vælge begge to så lavt som muligt. Typisk vælger med at fastsætte sandsynligheden for type 1 fejl, så man ikke begår store fejl. For eksempel hvis er, at en eller anden medicin er skadelig, er det bedre at være sikker på, at man ikke forkaster selvom den er sand, end at være sikker på, at man ikke forkaster den, selvom den er falsk. I O.J. Simpson sagen er der nok sket en type fejl ;-) Beslutning Forkast Forkast ikke Sand tilstand af sand Type 1 fejl Korrekt beslutning falsk Korrekt beslutning Type fejl 3
33 vordan α og β afhænger af hinanden For forskellige n og et bestemt µ 33
34 Beregning af β (for en venstre sidet test) Se på følgende hypoteser: : µ 1 1 : µ < 1 Lad σ = 5, α = 5%, og n = 1. Vi vil beregne β når µ = µ 1 = 998. Se næste slide Figuren viser fordelingen af x-streg når µ = µ = 1, og når µ = µ 1 = 998. Bemærk at vil blive forkastet, når x- streg er mindre end den kritiske værdi givet ved (x-streg) crit = µ -z α σ/ n = / 1 = Omvendt, vil ikke blive forkastet, når x-steg er større end (x-streg) crit. 34
35 Beregning af β 35
36 Beregning af β Når µ = µ 1 = 998, så er β sandsynligheden for ikke at forkaste, så den er P{(x-streg > (x-streg) crit }. Når µ = µ 1, så vil x-streg følge en normal fordeling med middelværdi µ 1 og standard afvigelse = σ/ n, så: X 1 = P Z > crit µ β = P( Z > 1.18/.5) = P( Z σ / n =.91 >.36) Power af en test, er sandsynligheden for at den falske nul hypotese bliver opdaget af testen. Power af testen = 1 β= 1.91 =
37 Opgaver Kapitel 6: 41, 47, 53, 55, 59, 61, 63. Kapitel 7: 1, 3, 7, 17, 37,
Konfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereChi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller
Chi-i-anden Test Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Chi-i-anden test omhandler data, der har form af antal eller frekvenser. Antag, at n observationer kan inddeles
Læs mereSignifikanstestet. usædvanlig godt godt
Signifikanstestet Fordeling af rygevaner som 45-årig og senere selvrapporteret helbred som 51-årig blandt tilfældigt udvalgte mænd i Københavns Amt i 1987. helbred som 51 årig rygevaner som 45 årig Total
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereTrivsel og fravær i folkeskolen
Trivsel og fravær i folkeskolen Sammenfatning De årlige trivselsmålinger i folkeskolen måler elevernes trivsel på fire forskellige områder: faglig trivsel, social trivsel, støtte og inspiration og ro og
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1
! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger
Oversigt: De næste forelæsninger Økonometri Inferens i den lineære regressionsmodel 5. september 006 Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereEn intro til radiologisk statistik
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereSENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK
SENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK Aarhus Universitet juni 011 Genopfriskning af statistik Basale tankegange og begreber (i dag) Sammenligninger (i morgen) Sammenhænge (i overmorgen) Brug af programpakken
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs merePrivatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling.
Sammenligning af privatansatte kvinder og mænds løn Privatansatte kvindelige djøfere i stillinger uden ledelsesansvar har en løn der udgør ca. 96 procent af den løn deres mandlige kolleger får. I sammenligningen
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereMultipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test
Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x k uafhængige variable
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereØkonometri 1. Interne evalueringer af forelæsninger. Kvalitative variabler. Dagens program. Dummyvariabler 21. oktober 2004
Dagens program Økonometri 1 Dummyvariabler 21. oktober 2004 Emnet for denne forelæsning er kvalitative egenskaber i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.1-7.6) Kvalitative variabler generelt
Læs mereVIGTIGT! Kurset består af: 1. Forelæsninger. 2. Øvelser. 3. Litteraturlæsning
Intro til statistik Rasmus F. Brøndum, Institut 17 (Matematik) Hjemmeside: people.math.aau.dk/~froberg 22 forelæsninger (hvor af jeg afholder de første 13) + det samme antal øvelsesgange. Hjælpelærer:
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereTo-sidet varians analyse
To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereValgkampens og valgets matematik
Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mere15. december 2014 RLI STATISTISK ANALYSE AF BESTANDSDØDELIGHEDEN I LÆGERNES PENSIONSKASSE Denne rapport indeholder en analyse af bestandsdødeligheden i Lægernes Pensionskasse. Det undersøges om dødeligheden
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereKapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser
Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProgram. Simpel og multipel lineær regression. I tirsdags: model og estimation. I tirsdags: Prædikterede værdier og residualer
Program Simpel og multipel lineær regression Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk Simpel LR: repetition, konfidensintervaller, test, prædiktionsintervaller, mm. Multipel LR: estimation, valg af model,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereBasal statistik for sundhedsvidenskabelige forskere, forår 2015 Udleveret 3. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (24.-25.
Hjemmeopgave Basal statistik for sundhedsvidenskabelige forskere, forår 2015 Udleveret 3. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (24.-25. marts) En stikprøve bestående af 65 mænd og 65 kvinder
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereDanmarks Radio. 24. mar 2015
t Spørgsmål: Et flertal i Folketinget vil have en folkeafstemning om det danske EU-forbehold på retsområdet for at omdanne forbeholdet til en såkaldt tilvalgsordning. En tilvalgsordning vil betyde, at
Læs mereEn intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereModul 12: Exercises. 12.1 Sukkersygepatienters vægt
Modul 12: Exercises 12.1 Sukkersygepatienters vægt............... 1 12.2 Newfoundlandske kvinders blodtryk.......... 4 12.3 Korrelationskoefficient.................. 6 12.4 Højde og vægt......................
Læs mere