Taxageometri og metriske rum

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Taxageometri og metriske rum"

Transkript

1 Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri. Denne nye geometri vil vi kalde taxageometri, fordi det er den geometri, en taxachauør oplever, når han kører på gader, der ligger som et gitter i forhold til hinanden. Hvis du forestiller dig, at du er en taxachauør i en storby, vil din verden være vejene, der krydser hinanden, som altså mere eller mindre ligner et gitter. Forestil dig så, at du samler en passager op et sted i byen, som forlanger at blive kørt af den korteste rute til Rådhuset; hvilken rute skal man mon vælge? Der ndes sikkert ere ruter, som minimerer køreafstanden, og dette er specielt forskelligt fra den Euklidiske plangeometri, hvor korteste afstand mellem to punkter er en ret linje. Den første del af noterne vil ud fra denne observation arbejde med og undersøge taxageometrien. Det er i mindre grad formelle undervisningsnoter, men der vil i stedet blive præsenteret nogle problemstillinger, som de studerende selv skal fumle med og derfra udvikle teorien. Den anden del af noterne omhandler metriske rum, der er en teori, som forener den Euklidiske geometri og taxageometrien, således at man abstrakt kan arbejde med begge geometrier på én gang. Vi vil samtidig se eksempler på mange andre metriske rum og på den måde få en fornemmelse for hvordan matematikken kan samle forskellige observationer under én abstraktion. 1 Euklidisk geometri og taxageometri Vi vil som sagt starte med at udvikle og undersøge taxageometrien. Men først en 1.1 Kort gennemgang af den sædvanlige plangeometri De studerende forsynes med ternet papir. Brug det til at eksperimentere med koordinatsystemer, gurer og udregninger. 1

2 Spørgsmål: I det almindelige 2-dimensionelle plan hvis vi kigger på to forskellige punkter, hvad er så den korteste vej mellem de to punkter? Spørgsmål: I det almindelige 2-dimensionelle plan hvad er så afstanden mellem to punkter P og Q? Kald dette tal for d E (P, Q). Kan du bestemme en generel formel for d E (P, Q)? Kan du udlede denne formel fra et kendt resultat? 1.2 Geometrien for den ideelle by Forestil dig vi lever i den ideelle by, hvor der to slags gader de nord/sydgående og de øst/vestgående. Lad os modellere byen i xy-planet, hvor de nord/sydgående gader er linierne med x Z et heltal og de øst/vestgående gader er linierne med y Z et heltal. Spørgsmål: Forestil dig en taxachauør skal køre fra et punkt til et andet, f.eks. fra (2, 3) til ( 1, 4). Hvad er den korteste vej? Spørgsmål: Fra taxachauørens perspektiv, hvad er så afstanden fra (2, 3) til ( 1, 4)? Kan du bestemme taxachauørens afstand mellem to vilkårlige punkter P og Q? Kald dette tal for d T (P, Q) Kan du opskrive en generel formel for denne afstand? Spørgsmål: Lad os sammenligne de to afstandsfunktioner d E og d T. a. Hvis d T (A, B) = d T (C, D), gælder der så d E (A, B) = d E (C, D)? Hvad ja, så prøv at bevise det; ellers giv et modeksempel. b. Hvis d E (A, B) = d E (C, D), gælder der så d T (A, B) = d T (C, D)? c. Under hvilke forudsætninger på A og B gælder der at d T (A, B) = d E (A, B)? d. Gælder der altid d E (A, B) d T (A, B)? 1.3 Nogle anvendelser af taxageometrien Når man lever i (d)en (ideelle) by er taxageometrien en mere naturlig måde at opfatte rumlige forhold på end den sædvanlige Euklidiske geometri. Spørgsmål: Overvej f.eks. følgende små anvendelser på byplanlægning i den ideelle by. 2

3 a. Den nyudnævnte borgmester for den ideelle by har lovet at installere drikkefontæner, så alle borgere højest er tre blokke væk fra en slurk vand, men han har imidlertid opdaget at midlerne er kommunale forbedringer er meget begrænsede. Hans rådgivere præsenterer tre løsninger for ham (Figur 1, 2 og 3), hvilken en bør han vælge? b. Den samme borgmester vil sætte avisstande op, så alle inden for 12 blokke væk fra centrum (0, 0) højst er 4 blokke væk fra en avis. Hvor mange stande kan han nøjes med at stille op, og hvor bør de placeres? c. The er tre gymnasier i den ideelle by: Vestlige Gymnasium ved ( 4, 3), Østlige Gymnasium ved (2, 1) og Sydlige Gymnasium ved ( 1, 6). Tegn grænserne for skoledistrikter, så alle studerende i den ideelle by går på det gymnasium, der er tættest på deres hjem. 1.4 Taxageometrien udvidet til hele det reelle plan Vi kan udvide den taxageometriske afstandsfunktion til hele det 2-dimensionelle reelle plan ved at sige, at afstanden mellem to vilkårlige punkter A og B er d T (A, B). Spørgsmål: Hvordan ser afstandsminimerende kurver (geodæter) ud i det reelle 2-dimensionelle plan med denne afstandsfunktion (metrik)? Spørgsmål: a. Skitsér mængden af alle punkter P i planet, som har taxaafstand 3 fra origo, dvs. mængden {P d T (P, (0, 0)) = 3}. b. Skitsér mængden {P d E (P, (0, 0)) = 3}. c. Hvad er et passende navn for mængden i a.? d. I taxageometrien hvad er så en passende numerisk værdi for π? e. Husk i den Euklidiske plangeometri, at en måde at denere vinklen mellem to liniestykker, der skærer hinanden, er ved at bruge radianer. Man denerer at man tilbagelægger 2π radianer når man går rundt på enhedscirklen én gang. Med den taxageometriske værdi af π fra forrige del, hvor mange T -radianer bliver så tilbagelagt når man går én gang rundt i den taxageometriske enhedscirkel? Hvor mange T -radianer er der i en ret vinkel? 3

4 Figur 1 4

5 Figur 2 5

6 Figur 3 6

7 1.5 Taxageometriske gurer En geometrisk gur er en mængde punkter, der opfylder en fastsat geometrisk betingelse. En cirkel er et eksempel på sådan en, da den kan beskrives som mængden af punkter med en fast afstand til et givet punkt, men vi kender mange andre familier af geometriske punkter i planet. Spørgsmål: Lad os først mindes nogle af de kendte geometriske gurer i det 2-dimensionelle plan med den almindelige Euklidiske metrik. a. Lad A og B være to givne punkter i planet. Geometrisk, hvad er mængden af punkter, der har samme afstand til både A og B, dvs. {P d E (P, A) = d E (P, B)}? b. Lad et punkt A og en linie l i planet være givet. Hvad er mængden af punkter, der har samme afstand til både A og l, dvs. {P d E (P, A) = d E (P, l)}? (Her er d E (P, l) = min Q l d E (P, Q) den mindste afstand fra P til noget punkt på l). c. Lad to punkter A og B være to punkter i planet og lad en konstant e > d E (A, B) være givet. Beskriv mængden {P d E (P, A)+d E (P, B) = e}? Spørgsmål: Lav nu den foregående opgave igen med den taxageometriske afstandsfunktion i stedet for, dvs. erstat d E med d T. 1.6 Minimeringsproblemer i taxageometrien Når en taxachauør bevæger sig rundt i den ideelle by har vi set at taxageometrien giver en bedre model for afstandsberegninger end den klassiske Euklidiske geometri gør. Vi vil nu se at den på nogle måder også er meget simplere; specielt når man betragter problemet at minimere afstanden til ere punkter. Spørgsmål: a. Givet tre punkter A = (2, 4), B = (7, 1) og C = ( 3, 1), nd et punkt P, så er så lille som muligt. d E (P, A) + d E (P, B) + d E (P, C) b. Givet de samme tre punkter A, B og C som i a., nd et punk P, så er så lille som muligt. d T (P, A) + d T (P, B) + d T (P, C) 7

8 c. Givet A = ( 6, 0), B = (2, 3), C = (0, 4) og D = ( 1, 2), hvad skal et punkt P opfylde for at er så lille som muligt? 1.7 Trekanter og vinkler d T (P, A) + d T (P, B) + d T (P, C) + d T (P, D) Vi betragter igen hele den reelle plan udstyret med den taxageometriske metrik, hvor vi har set at de almindelige rette linier faktisk er geodæter (husk, der kan være mange afstandsminimerende kurver mellem to punkter). Som sædvanligt vil tre punkter, der ikke ligger på linie, bestemme en trekant. Vi vil måle vinkler ved at bruge T -radianer som nævnt i 1.4., og vi har et mål for rette vinkler. Spørgsmål: I en retvinklet trekant, gælder den almindelige Pythagoraiske Læresætning stadig, dvs. hvis kateterne har længde a og b og hypotenusen har længde c, er så a 2 +b 2 = c 2? I så fald, bevis det; hvis ikke, kan I så komme op med en taxageometrisk udgave af Pythagoras? Kan I bevise dette? Hvis ikke, prøv at forklare hvorfor ikke. Spørgsmål: Findes der andre trekanter end de retvinklede hvor den taxageometriske Pythagoraiske Læresætning gælder? Spørgsmål: I den Euklidiske plangeometri har en trekant altid en indskreven cirkel, der rører alle trekantens kanter i tre forskellige punkter. Generaliserer dette til taxageometrien? Spørgsmål: Genkald jer hvordan sinus og cosinus er deneret i det Euklidiske tilfælde ved at se på enhedscirklen. a. Brug enhedstaxacirklen og T -radianerne til at denere T -sinus og T - cosinus funktioner. b. Tegn graferne for funktionerne i a. c. Gælder der en taxaidiotformel? 2 Metriske rum Denne del af noterne vil i større grad ligne almindelige undervisningsnoter. Der bliver lavet stringente denitioner, og vi vil se på forskellige eksempler, som næsten bliver udregnet i detaljer. 8

9 2.1 Denitioner og eksempler Denition Et metrisk rum er et par (X, d), hvor X er en mængde punkter, og d er en funktion (kaldet metrikken) der til to punkter i X giver et reelt tal (kaldet afstanden mellem de to punkter), så der gælder: 1. d(x, y) 0 for alle x, y X 2. d(x, y) = 0 x = y 3. d(x, y) = d(y, x) for alle x, y X 4. d(x, z) d(x, y) + d(y, x) for alle x, y, z X Eksempel Vis at (R, d(x, y) = x y ) er et metrisk rum ved at vise at d opfylder betingelserne ovenfor. Husk at { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 1. x y 0: Dette gælder pr. denitionen af absolut værdi. 2. x y = 0 x = y: Det er klart at x x = 0. Omvendt hvis x y = 0 er enten x y = 0 eller (x y) = 0, men i begge tilfælde må x = y. 3. x y = y x : Der gælder x y = (x y) = y x. 4. x z x y + y z : Vi kan antage at x < z. Der er så tre tilfælde; y kan ligge før x, y kan ligge mellem x og z, eller y ligger efter z. Gennemgå alle tre tilfælde og se, at det passer. Eksempel Vis at (R 2, d E (P, Q)) er et metrisk rum ved at vise at d E (P, Q) = (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 opfylder betingelserne ovenfor. 1. (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 0: kvadratroden af et positivt tal er altid positivt. 2. (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 = 0 (p 1 q 1 ) 2 + (p 2 q 2 ) 2 = 0 p 1 q 1 = 0 og p 2 q 2 = 0 P = Q. 3. d E (P, Q) = d E (Q, P ): dette gælder fordi x 2 = ( x) 2. 9

10 4. Vi skal vise d E (P, R) d E (P, Q) + d E (Q, R): Se på tre punkter i planet, som ikke ligger på linie. Så siger denne ulighed, at længden af en side i en trekant er mindre end lig med summen af længden af de to andre sider i trekanten. Dette er sandt (vi vil i hvert fald benytte dette uden bevis), så i dette tilfælde passer uligheden. Hvis de tre punkter ligger på linie, er vi i det samme tilfælde som i Eksempel (fordi x 2 = x ). Pga. dette eksempel kalder man betingelse 4. i denitionen for Trekantsuligheden. Eksempel Vis at (R 2, d T (P, Q)) er et metrisk rum ved at vise at d T (P, Q) = p 1 q 1 + p 2 q 2 opfylder betingelserne ovenfor. 1. p 1 q 1 + p 2 q p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0 p 1 q 1 = 0 og p 2 q 2 = 0 P = Q. 3. d T (P, Q) = d T (Q, P ): man gør det samme som i Eksempel Vi skal vise d T (P, R) d T (P, Q)+d T (Q, R): Se på højresiden af uligheden d T (P, Q) + d T (Q, R) = ( p 1 q 1 + p 2 q 2 ) + ( q 1 r 1 + q 2 r 2 ) = ( p 1 q 1 + q 1 r 1 ) + ( p 2 q 2 + q 2 r 2 ) og brug så Trekantsuligheden fra Eksempel på hver af de to led d T (P, Q) + d T (Q, R) p 1 r 1 + p 2 r 2 = d T (P, R). Eksempel Betragt R 2 med supremumsmetrikken, som er d S (P, Q) = sup{ p 1 q 1, p 2 q 2 }, hvor supremum af en mængde tal er det mindste tal, der begrænser mængden opadtil (hvis mængden er endelig, så er supremum bare det maksimale tal i mængden). a. Vis først at (R 2, d S (P, Q)) er et metrisk rum. b. Hvordan ser cirkler ud med denne metrik? c. Betragt funktionen d I (P, Q) = inf{ p 1 q 1, p 2 q 2 }, som i stedet tager inmum, dvs. det største tal, der begrænser mængden nedadtil (som bare er det mindste tal i mængden, hvis mængden er endelig). Er d I en metrik på R 2, dvs. gælder betingelserne i Denition 2.1.1? 10

11 Eksempel En talfølge er en uendelig liste af reelle tal En begrænset talfølge er en følge så x = {x n } n N = (x 1, x 2, x 3,... ). sup x n <. n N Spørgsmål: Lad X være mængden af alle begrænsede talfølger. Med inspiration fra Eksempel 2.1.5, hvilken metrik kunne man komme på X? Kom med et bud og prøv at bevise det faktisk er en metrik. Eksempel Lad X være en vilkårlig mængde. Vis at { 0 hvis x = y d(x, y) = 1 hvis x y er en metrik på X. Eksempel En binær talfølge er en følge af 0'ere og 1'ere. Lad X være mængden af alle binære talfølger. Med inspiration i de to forrige eksempler hvilke metrikker kan I proppe på X? Eksempel En decimal talfølge er en følge af tal fra {0, 1,..., 9}. Lad X være mængden af alle decimale talfølger. Hvilke metrikker kan I proppe på X? Har I set X før? 2.2 Grafer Denition En graf er et par (X, E), hvor X er en (evt. uendelig) samling af punkter, kaldet knuder, og E er en samling liniestykker, kaldet kanter, som opfylder: 1. Hver kant e E har sine endepunkter i (evt. forskellige) knuder fra X. 2. Hver knude x X har mindst én men højst endeligt mange kanter forbundet til sig. Denition For en graf (X, E), lad to knuder x, y X være givet. En sti fra x til y er en endelig følge af tilstødende knuder forbundet af kanter, der starter i x og slutter i y. Kald sådan en sti for σ(x, y). Længden l(σ) af en sti σ(x, y) er antallet af kanter i stien. Vi kalder grafen for sammenhængende hvis alle punkter x, y X kan forbindes med mindst én sti. 11

12 Denition For en sammenhængende graf (X, E) dener en funktion d sti, som til to knuder x, y X giver et reelt tal ved d sti (x, y) = inf{l(σ) σ(x, y)}. Vi kalder d sti for sti-metrikken på (X, E). Spørgsmål: Kan I vise at (X, d sti ) faktisk er et metrisk rum? Eksempel Den ideelle by fra Kapitel 1 består af knuder X = Z 2, kanterne er de horisontale og vertikale liniestykker, der forbinder knuderne, og metrikken er d T = d sti. Denition En vægtet graf er en sammenhængende graf (X, E) en vægtning af kanterne så w(e) er et positivt reelt tal for alle kanter e E. Vi har så en vægtet længde l w (σ) af en sti σ(x, y) til at være summen af vægten af kanterne i stien. Den vægtede sti-metrik er så deneret til d w sti(x, y) = inf{l w (σ) σ(x, y)}. Eksempel Lad X repræsentere samtlige vejkryds i en by og E de veje, der rent faktisk går mellem krydsene. Disse udgør en graf. Man kan så vægte hver kant i grafen med det antal kilometer vejen den repræsenterer er, den tid det tager en taxachauør at køre strækningen eller den pris han skal have for det. 2.3 Metrikker på R 3 Husk på at det reelle rum er deneret til at være R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R 3 }. Spørgsmål: a. Kan I nde en generel formel for afstanden en vilkårligt punkt (x 1, x 2, x 3 ) har fra origo? Kan I udlede den stringent? b. Kan I nde en generel formel for den Euklidiske afstand mellem to punkter? c. Kan I vise at R 3 med denne afstandsfunktion er et metrisk rum? Spørgsmål: a. Hvordan bør taxaafstandsformlen se ud i R 3? b. Kan I vise formlen fra a. giver en metrik på R 3? 12

13 c. Kan I nde på andre metrikker at proppe på R 3? Spørgsmål: Hvis vi ser på det reelle n-rum R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R 3 }, kan I så komme på nogle metrikker vi kan proppe på R n? Reference Eugene F. Krause: Taxicab Geometry, 1975, Dover Publications Inc., New York (tilgængelig på nettet) 13

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Matematik B. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale. Uddannelse. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Matematik B Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole HTX MATEMATIK B Katrine

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Eksamensspørgsmål Mat C maj-juni 2016 1E. TWE

Eksamensspørgsmål Mat C maj-juni 2016 1E. TWE 1. Rentesregning.... 2 2. Procent- og rentesregning.... 2 3. Rentesregning... 2 4. Opsparingsannuitet... 2 5. Opsparing... 2 6. Geometri... 3 7. Geometri.... 3 8. Geometri... 3 9. Lineære funktioner...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 09- jun 10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium htx Matematik

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf Matematik

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Fundamentale geometriske diskussioner

Fundamentale geometriske diskussioner 1 Når vi taler om andre geometrier tænker vi i dette tilfælde på to geometrier, der på afgørende vis adskiller sig fra den euklidiske geometri og fra hinanden. De er begge eksempler på, hvad man kalder

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant. Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013/2014 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Modellering med Lego EV3 klodsen

Modellering med Lego EV3 klodsen Modellering med Lego EV3 klodsen - Et undervisningsforløb i Lego Mindstorm med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg EV3 - et modelleringsprojekt i matematik

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

De fire Grundelementer og Verdensrummet

De fire Grundelementer og Verdensrummet De fire Grundelementer og Verdensrummet Indledning Denne teori går fra Universets fundament som nogle enkelte små frø til det mangfoldige Univers vi kender og beskriver også hvordan det tomme rum og derefter

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer) Matematik D Almen voksenuddannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU151-MAT/D Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 Økonomi Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg hf Matematik

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Beregning af koter, fald og rumfang.

Beregning af koter, fald og rumfang. Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri (BAI) Beregning af koter, fald og rumfang. Uddannelsen indgår i rørlæggeruddannelsen Forord Dette hæfte er udviklet af Efteruddannelsesudvalget for

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere