Variabel- sammenhænge

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Variabel- sammenhænge"

Transkript

1 Variabel- sammenhænge Udgave Karsten Juul

2 Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende variable størrelser med brug af tabeller, grafer og regneudtryk. Før man læser dette hæfte kan man fx læse hæftet "Simple udtryk og ligninger" fra Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable? Sammenhæng mellem graf og ligning Voksende og aftagende sammenhænge Variabelsammenhænge 2. udgave , 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 Afsnit 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable? Øvelse 1.1 På en skærm er der et rektangel: 1 P Når vi trækker punktet P mod højre eller venstre, så ændres rektanglets bredde og højde. x = bredden af rektanglet y = arealet af rektanglet På figuren ovenfor ser vi: Når x = 3 er y = 6. Dette kan vi skrive i en tabel sådan: Du skal ikke udfylde tabellen nu. Du får flere oplysninger. x: 3 5 y: 6 15 (a) I tabellen står der en oplysning til. Tegn rektanglet der svarer til denne oplysning: 1 Vi trækker i P og får efter tur følgende rektangler frem: 1 (b) For hvert af disse rektangler skal du bestemme værdien af x og den tilhørende værdi af y. Skriv resultaterne i tabellen ovenfor. Øvelsen fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

4 (c) Brug tabellen til et finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: Når vi ændrer x fra 2 til 4, så vil y blive ændret fra til. Når vi ændrer x fra 2 til 4, så vil y blive enheder større. Når x er 3 og vi gør x 4 enheder større, så vil y blive enheder større. Når x er 3 og vi gør x enheder større, så vil y blive 9 enheder større. Øvelse 1.2 I øvelse 1 ændrede vi et rektangel ved at trække i et punkt P. Vi vil stadig ændre dette rektangel, men nu ser vi på bredde og omkreds: x = bredde y = omkreds (a) Udfyld tabellen: x: y: (b) Brug tabellen til et finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: Når vi ændrer x fra 3 til 6, så vil y blive ændret fra til. Når vi ændrer x fra 3 til 6, så vil y blive enheder større. Når x er 4 og vi gør x 2 enheder større, så vil y blive enheder større. Når x er 2 og vi gør x enheder større, så vil y blive 12 enheder større. Eksempel 1.3 En dag målte vi temperaturen flere gange. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: x: y: x = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Spørgsmål (a): Hvad er temperaturen kl. 10? I tabellen ser vi: Når x er 10, er y lig 12. Dvs. kl. 10 er temperaturen 12 C. Eksemplet fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

5 Spørgsmål (b): Hvornår er temperaturen 14 C? I tabellen ser vi: Når y er 14, er x lig 11. Dvs. kl. 11 er temperaturen 14 C. Spørgsmål (c): Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 13 til kl. 15? I tabellen ser vi: Når x er 13, er y lig 16. Når x er 15, er y lig 20. Da = 4, gælder: Fra kl. 13 til kl. 15 stiger temperaturen med 4 C. Øvelse 1.4 I eksempel 1.3 kan man stille spørgsmålet (a) Hvornår er temperaturen 10 C? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 10. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 12 til kl. 15? (5) Hvor mange enheder bliver y større når x ændres fra 10 til 13? Øvelse 1.5 En bestemt vare fås i 8 længder. Tabellen viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = længde i cm y = pris i kr. x: y: (1) Hvad er prisen når længden er 12 cm? (2) Hvis det er oplyst at prisen er over 50 kr., hvad ved vi så om længden? (3) Hvor meget mere skal man betale hvis man i stedet for en vare på 11 cm køber en vare på 14 cm? Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

6 Øvelse 1.6 Figurerne A-D viser 4 opgavetyper. x? y kendt x +? y kendt kendt x kendt y? x kendt kendt y +? A B C D (1) For hver af spørgsmålene (a), (b) og (c) i eksempel 1.3 skal du finde ud af om den er type A, B, C eller D. En af de fire typer forekommer ikke blandt spørgsmålene (a), (b) og (c). (2) Skriv en opgave af den manglende type. Opgaven skal dreje sig om eksempel 1.3. (3) Skriv en besvarelse af den opgave du lavede i spørgsmål (2). Øvelse 1.7 Tabellen viser for nogle dyr sammenhængen mellem følgende to variable: x = dyrets længde (målt i cm) y = dyrets vægt (målt i gram) x y Du skal skrive to opgaver om dyrets længde og vægt. Opgaverne skal være af typerne A og D fra øvelse 1.6. Skriv også en besvarelse af hver af de to opgaver. Øvelse 1.8 (a) Tabellen viser sammenhængen mellem to variable y og x. Når vi ændrer x fra 1 til 2, så vil y blive enheder større. Når vi ændrer x fra 2 til 3, så vil y blive enheder større. Når vi ændrer x fra 3 til 4, så vil y blive enheder større. (b) I (a) lod vi x vokse i skridt af størrelse 1 enhed, og vi så at stigningen i y blev større og større. Udfyld tabellen til højre så stigningen i y bliver mindre og mindre (samtidig med at y bliver større og større). x y x y Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

7 Afsnit 2. Hvordan viser en graf sammenhængen mellem to variable? Øvelse 2.1 På en skærm er der en figur: 1 C B D A Når vi trækker punktet A mod højre eller venstre, så ændres figuren. x = længden af AD y = længden af BC På figuren ovenfor ser vi: Når x = 4 er y = 2. Dette kan vi angive med et punkt i et koordinatsystem (den venstre af de to prikker): (a) Hvor lang har vi gjort siden AD for at få figuren der svarer til punktet til højre? Hvor lang er siden BC på denne figur? Ved at ændre figuren på skærmen kan vi få flere oplysninger så vi kan afsætte flere punkter i koordinatsystemet. Alle punkter vi kan afsætte på denne måde, udgør den graf der viser sammenhængen mellem de to variable størrelser x og y. (b) (c) Det viser sig at alle punkterne ligger på samme rette linje, og at x kan være alle tal fra og med 2 til og med 7 (ikke kun hele tal). Tegn grafen der viser sammenhængen mellem x og y. Brug grafen til af finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: Når x er 3, er y lig. Når vi ændrer x fra 3 til 5, så vil y blive ændret fra til. Når vi ændrer x fra 3 til 5, så vil y blive enheder større. Når x er 2 og vi gør x 3 enheder større, så vil y blive enheder større. Når x er, så er y lig 1, 75. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

8 Øvelse 2.2 I øvelse 2.1 ændrede vi en figur ved at trække i et punkt A. Vi vil stadig ændre denne figur, men nu ser vi på længderne af AD og CD : x = længden af AD y = længden af CD (a) Ved at trække i A kan vi få nedenstående figur frem. I koordinatsystemet nedenfor skal du afsætte to punkter på den graf der viser sammenhængen mellem x og y. (Du er nødt til også at bruge oplysninger fra øvelse 2.1). C B 1 D A (b) Det viser sig at alle punkter på grafen ligger på samme rette linje. Tegn grafen (og husk at x ikke kan være alle tal). (c) Udfyld de tomme pladser: Når x er 4, 5, er y lig. Når x er, er y lig 5. Når vi ændrer x fra 2, 5 til 4, så vil y blive enheder større. Øvelse 2.3 (a) Grafen viser sammenhængen mellem to variable y og x. Når vi ændrer x fra 1 til 2, så vil y blive enheder større. Når vi ændrer x fra 2 til 3, så vil y blive enheder større. Når vi ændrer x fra 3 til 4, så vil y blive enheder større. (b) I (a) lod vi x vokse i skridt af størrelse 1 enhed, og vi så at stigningen i y blev større og større. Tegn en graf så stigningen i y bliver mindre og mindre (samtidig med at y bliver større og større). Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

9 Eksempel 2.4 Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = antal timer efter midnat y = temperatur en målt i C Spørgsmål (a): Hvad er temperaturen kl. 4? En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når x er 4, er y lig 3. Dvs. kl. 4 er temperaturen 3 C. Spørgsmål (b): Hvornår er temperaturen 5 C? En punkteret pil viser hvordan vi kan aflæse følgende: Når y er 5, er x lig 7,5, Dvs. kl. 7:30 er temperaturen 5 C. Spørgsmål (c): Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 6 til kl. 10? På grafen aflæser vi: Når x er 6, er y lig 4. Når x er 10, er y lig 7. Da 7 4 = 3, gælder Fra kl. 6 til kl. 10 stiger temperaturen med 3 C. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

10 Øvelse 2.5 (Se eksempel 2.4) I ekempel 2.4 kan man stille spørgsmålet (a) Hvad er temperaturen kl. 11? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 11. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) Hvornår er temperaturen 9 C? (5) Hvor mange grader stiger temperaturen fra kl. 1 til kl. 6? Øvelse 2.6 (Se eksempel 2.4) (1) Hvornår er temperaturen 2 C? (2) Hvor lang tid gik der fra temperaturen var 3 C til den var 4 C? (3) Hvor mange enheder bliver x større når y vokser fra 2 til 8? Øvelse 2.7 For en bestemt type planter kan vi finde højden når vi kender stænglens omkreds ved jorden. Grafen viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = omkreds (målt i cm) y = højde (målt i cm) Man kan stille spørgsmålet (a) Hvis en af planterne har omkredsen 2,1 cm, hvor høj er planten så? (1) I spørgsmål (a) får vi oplyst tallet 2,1. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (2) I spørgsmål (a) spørges om et tal. Er dette tal x eller y eller ingen af delene? (3) Hvad er svaret på (a). (4) En af planterne har omkredsen 0,5 cm, og en anden af planterne har omkredsen 1 cm. Hvor mange cm er den store højere end den lille? (5) Man kan spørge om højden vokser lige meget hver gang omkredsen bliver 0,5 cm større. Undersøg sagen og giv en nærmere beskrivelse af hvordan det forholder sig. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

11 Øvelse 2.8 (Se eksempel 2.4) (1) Hvilket af spørgsmålene (a) og (b) er af typen C fra øvelse 1.6? (2) Er spørgsmål (c) af typen B eller typen D? (3) I spørgsmål (c) løses først to delopgaver der er af samme type. Er det type A eller C? Afsnit 3. Hvordan viser en ligning sammenhængen mellem to variable. Øvelse 3.1 Ligningen (1) y = 2, 8 + x viser sammenhængen mellem to variable x og y. Brug ligningen (1) til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser. (a) Når x er 1, er y lig. (b) Når x er 1, 4, er y lig. (c) Når x er lig, er y lig 3, 5. (d) Når vi ændrer x fra 1 til 1, 4, så vil y blive enheder større. Øvelse 3.2 På en skærm er en figur som vi kan ændre ved at trække med musen. Ligningen (2) y = 2, 4 x viser sammenhængen mellem de to variable x = figurens bredde y = figurens areal (a) På et tidspunkt er bredden 3. Er det så x eller y der er 3? (b) Brug ligningen (2) til at finde ud af hvad arealet er når bredden er 3. (c) Når bredden er 1, 8, er arealet. (d) Når bredden er, er arealet 6. (e) Når vi ændrer bredden fra 3 til 8, så bliver arealet ændret fra til. (f) Når vi ændrer bredden fra 3 til 8, så vil arealet blive enheder større. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

12 Øvelse 3.3 Ligningen x y = viser sammenhængen mellem to variable x og y. (a) Når x = 6 er y =. (b) Når vi ændrer x fra 6 til 10, så vil y blive ændret fra til. (c) Når vi ændrer x fra 6 til 10, så vil y blive enheder større. (d) Når x =, er y = 10. (e) Når x ændres fra 5 til, så vil y blive 14 enheder større. Øvelse 3.4 På en skærm er der en kasse med kvadratisk grundflade. Ved at trække med musen kan vi ændre længden af siden i kassens grundflade. Kassens højde ændres ikke. Højden er hele tiden 4. x = længden af siden i en kasses grundflade y = rumfanget af kassen (a) Når x er 3, er y lig. (b) Når x er 5, er y lig. (c) Skriv et regneudtryk med x som viser hvordan vi udregner y : y =. Denne ligning viser sammenhængen mellem de to variable x og y. Brug ligningen til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: (d) Når x = 1, 2, er y =. (e) Når x =, er y = 49. (f) Når vi ændrer x fra 3 til 5, så vil y blive ændret fra til. (g) Når vi ændrer x fra 3 til 5, så vil y blive enheder større. (h) Når x er 2 og vi gør x 3 enheder større, så vil y blive enheder større. (i) Når x er 4 og vi gør x enheder større, så vil y blive 57 enheder større. (j) Hvis vi ændrer x så y ændres fra 100 til 196, så har vi gjort x enheder større. (k) + x: y: Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

13 Eksempel 3.5 For nogle skiver er der en bestemt sammenhæng mellem deres vægt og deres diameter. Ligningen (1) y = x2 viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = diameteren (målt i cm) (2) y = vægten (målt i g) Spørgsmål (a): Hvad er vægten når diameteren er 1,5 cm? Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til: Hvad er y når x er 1,5? Vi indsætter 1, 5 for x i ligningen (1): 2 y = 1,5 Vi udregner højresiden på lommeregner: y = 2,25 Dvs. vægten er 2,25g når diameteren er 1,5 cm. Spørgsmål (b): Hvad er diameteren når vægten er 0,04g? Ved hjælp af (2) kan dette spørgsmål oversættes til Hvad er x når y er 0, 04? Vi indsætter 0, 04 for y i ligningen (1): 0,04 = x Heraf får vi 2 0,04 = x Vi udregner venstresiden på lommeregner: 0,2 = x Dvs. diameteren er 0,2cm når vægten er er 0,04g. Eksemplet fortsætter på næste side! Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

14 Spørgsmål (c): En lille skive har diameteren 2,2cm, og en stor skive har diameteren 2,7cm. Hvor meget er vægten af den store større end vægten af den lille? For hver af skiverne udregner vi vægten y ved hjælp af ligningen (1): Når x er 2, 2, er Når x er 2, 7, er Da 7,29 4,84 = 2, 45, gælder: 2 y = 2,2, dvs. y = 4, y = 2,7, dvs. y = 7, 29. Vægten af den store er 2,45g større end vægten af den lille. Spørgsmål (d): Vægten af en lille skive er 4 g, og vægten af en stor skive er 9 g. Hvor meget er diameteren af den store større end diameteren af den lille? For hver af skiverne udregner vi diameteren x ved hjælp af ligningen (1): Når y er 4, er 4 = x2, så 4 = x, dvs. 2 = x. Når y er 9, er 9 = x2, så 9 = x, dvs. 3 = x. Da 3 2 = 1, gælder: Diameteren af den store er 1 cm større end diameteren af den lille. Øvelse 3.6 I 1.6 er omtalt fire opgavetyper A, B, C og D. For hver af spørgsmålene (a), (b), (c) og (d) i eksempel 3.5 skal du finde ud af om det er type A, B, C eller D. Øvelse 3.7 For nogle varer betaler vi en pris plus en afgift. Ligningen x y = 4 viser sammenhængen mellem følgende to variable: x = pris i kr. y = afgift i kr. (1) Hvad er afgiften når prisen er 10 kr.? (2) Hvad er x når y er 5? (3) Hvor meget er prisen steget når afgiften er steget fra 5 kr. til 7 kr.? (4) Hvor mange enheder bliver y større når x ændres fra 12 til 20? Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

15 Øvelse 3.8 For nogle skiver er der følgende sammenhæng mellem tykkelse (i mm) og diameter (i mm): (a) Tykkelsen er det tal vi får når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning hvor x står for diameteren, og y står for tykkelsen. (2) En skive har tykkelsen 3,4 mm. Vi måler dens diameter. Hvilket resultat får vi når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet? (3) Hvis diameteren er 5 mm, er tykkelsen så 1,5 mm? (4) Om en skive oplyses: (b) Vi får 4,2 når vi dividerer diameteren med 10 og lægger 1 til resultatet. Skriv denne oplysning som en ligning hvor x står for diameteren. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4), og skriv hvad løsningen fortæller om skiverne. Øvelse 3.9 I et computerspil indgår to tal der kaldes gevinst og tid (begge uden enhed). Der gælder: (a) Gevinsten er det tal vi får når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. (1) Skriv oplysningen (a) som en ligning, og husk at det er nødvendigt at du skriver hvilket bogstav der står for tiden, og hvilket bogstav der står for gevinsten. Du kan godt vælge andre bogstaver end x og y. (2) På et tidspunkt er gevinsten 56,8. Hvilket tal får vi hvis vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100? (3) Hvis tiden er 5,5, er gevinsten så 66? (4) Vi får oplyst følgende: (b) Vi får 42,4 når vi ganger tiden med 6 og trækker resultatet fra 100. Skriv denne oplysning som en ligning hvori et bogstav står for tiden. (5) Løs ligningen fra spørgsmål (4) og skriv hvad løsningen fortæller om computerspillet. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

16 Afsnit 4. Sammenhæng mellem graf og ligning Øvelse 4.1 På en skærm er der en figur som vi kan ændre ved at trække med musen. Bredden x kan være ethvert positivt tal op til 2. Ligningen y = 1+ x 2 viser sammenhængen mellem bredden x og arealet y. (a) Når x = 1, 5 er y =. (b) (c) Skriv oplysningen i (a) i tabellen nedenfor. Angiv oplysningen i (a) i koordinatsystemet ved at afsætte et punkt. x: 0,1 0,5 1 1,5 2 y: (d) (e) Udfyld resten af tabellen og afsæt de tilsvarende punkter i koordinatsystemet. Vi kan nu gætte omtrent hvor de andre grafpunkter ligger. Tegn grafen ved at tegne en krum kurve gennem de punkter du har afsat. Der må ikke være knæk på kurven. Øvelse 4.2 Ligningen 0,6 x y = 0,3 viser en sammenhæng mellem to variable x og y. Grafen viser en anden sammenhæng mellem to variable x og y. (a) (b) (c) For den sammenhæng som ligningen viser, gælder: Når x = 1 er y =. Når x = 2 er y =. For den sammenhæng som grafen viser, gælder: Når x = 1 er y =. Når x = 2 er y =. De to sammenhænge er ikke ens. Gør rede for dette. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

17 Eksempel 4.3 Ligningen (1) y = x. viser sammenhængen mellem to variable x og y. Sådan kan vi tegne grafen: Først udregner vi støttepunkter: Vi får et grafpunkts y-koordinat ved at sætte punktets x-koordinat ind i (1): x = 0 : y = 0 = 0 x = 0,2 : y = 0,2 = 0, 45 x = 1 : y = 1 = 1 osv. P x 0 0, y 0 0,45 1 1,41 2 2,45 Så afsætter vi støttepunkter i koordinatsystemet: På figuren har vi afsat punkterne fra tabellen. Vi har vist hvordan vi har fundet ud af hvor P (2, 1,41) skal afsættes. Derefter tegner vi grafen: Det ser ud til at der er nok punkter til at vi kan gætte grafens forløb. Derfor tegner vi en blød kurve gennem punkterne. 1,41 P Øvelse Tegn et koordinatsystem hvor x-aksen går fra 3 til 3, og y-aksen går fra 0 til 9. (1) Brug metoden fra eksempel 4.3 til at tegne grafen for sammenhængen x y = 2. (2) Find ud af om punktet P ( 0,5, 0,65) ligger over, under eller på grafen. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

18 Eksempel 4.5 Spørgsmål (a): Find ud af om punktet P (4, 3) ligger over, under eller på grafen for sammenhængen 8 (2) y =. x Når vi skal tegne grafen, indsætter vi x-koordinaten i ligningen (2) og udregner y-koordinaten: 8 = Når x = 4 er y = 2. 4 Altså ligger punktet Q (4, 2) på grafen, så vi ser at P ligger over grafen P Q Spørgsmål (b): Ligger punktet Q (16, 5) på grafen for sammenhængen (1) fra eksempel 4.3? Når vi skal tegne grafen, indsætter vi x-koordinaten i ligningen (1) og udregner y- koordinaten: Når x = 16 er y = 16 = 4. Altså ligger punktet R (16, 4) på grafen, så vi ser at Q ligger ikke på grafen for (1). Spørgsmål (c): På grafen for sammenhængen (1) ligger et punkt H som har y-koordinat 6. Hvilket tal giver højresiden i (1) hvis x erstattes med H 's x-koordinat? Resultatet vil være y-koordinaten for grafpunktet, dvs. 6. Spørgsmål (d): Løs ligningen 5 = x og skriv hvad løsningen fortæller om grafen fra 4.3. Vi opløfter begge ligningens sider til anden og får 25 = x. Løsningen er altså 25. Dette fortæller at grafpunktet med y -koordinat 5 har x-koordinat 25. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

19 Øvelse 4.6 Ligningen y = 61 14x viser sammenhængen mellem to variable x og y (1) Beregn hvad y er når x er 3, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (2) Beregn hvad x er når y er 40, og skriv hvad resultatet fortæller om grafen. (3) Ligger punktet P (3, 20) på grafen? (4) Ligger punktet Q (4, 5) på grafen? (5) Ligger punktet P (3, 20) under grafen? Øvelse 4.7 Ligningen y = 3 x 0,51 viser sammenhængen mellemm to variable x og y. Figuren viser grafen for denne sammenhæng. Du skal besvare følgende tre spørgsmål ud fra grafen. Det er altså forbudt at bruge lommeregner. (a) Hvilket tal ville vi få hvis vi udregnede 3 0,51 x for x = 2? (b) Hvilket tal ville vi få hvis vi udregnede 0,51 3 6? (c) Er 0, større end 0,51 3 3? Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

20 Afsnit 5. Voksende og aftagende sammenhænge Øvelse 5.1 Ligningen y = 64 0, 5 x viser sammenhængen mellem de variable x og y. (a) (b) Udfyld de tomme pladser: Når x = 2 er y =. Når x = 3 er y =. Når x = 5 er y =. Når x = 6 er y =. Ser det ud til at der gælder at jo større x er, jo større er y? Øvelse 5.2 Grafen viser sammenhængen mellem de variable x og y. (a) (b) (c) Udfyld de tomme pladser: Når x = 0, 7 er y =. Når x = 3, 0 er y =. Når x = 4, 0 er y =. Når x = 4, 9 er y =. Gælder der at jo større x er, jo mindre er y? Tegn en anden graf i koordinatsystemet hvor der gælder: Jo større x er, jo større er y. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

21 Eksempel 5.3 Vi tænder et stearinlys. (1) x = lysets højde (i cm) y = den tid (i minutter) lyset har været tændt Spørgsmål (a): Hvilken af påstandene (2) og (3) nedenfor er korrekt? (2) Jo større x er, jo mindre er y. (3) Jo større x er, jo større er y. Oplysningerne fra (1) indsætter vi i (2) og (3) og får: (2a) Jo større lysets højde er, jo mindre er den tid det har været tændt. (3a) Jo større lysets højde er, jo større er den tid det har været tændt. Vi ser at det er (2a) der stemmer med vores hidtidige erfaringer, så svaret på opgaven er Det er (2) der er korrekt. Spørgsmål (b): Vi sætter en robot til at grave en grøft. x = grøftens længde (i cm) (4) y = den tid (i minutter) robotten har gravet Hvilken af påstandene (5) og (6) nedenfor er korrekt? (5) Jo større x er, jo mindre er y. (6) Jo større x er, jo større er y. Oplysningerne fra (4) indsætter vi i (5) og (6) og får: (5a) Jo større grøftens længde er, jo mindre er den tid robotten har gravet. (6a) Jo større grøftens længde er, jo større er den tid robotten har gravet. Vi ser at det er (6a) der er korrekt, så svaret på opgaven er Det er (6) der er korrekt. DEFINITION 5.4 Hvornår er en sammenhæng aftagende, og hvornår voksende? En sammenhæng mellem to variable x og y kalder vi aftagende hvis der gælder Jo større x er, jo mindre er y, og voksende hvis der gælder Jo større x er, jo større er y. Bemærkning Rammen ovenfor oplyser hvilke sammenhænge man kalder aftagende, og hvilke man kalder voksende. En oplysning om hvad bestemte ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

22 Eksempel 5.5 Spørgsmål: Figuren viser grafen for en sammenhæng mellem to variable x og y. Er denne sammenhæng aftagende, voksende eller ingen af delene? P Vi ser at hvis vi trækker punktet P langs kurven sådan at dets x-koordinat bliver større og større, så vil dets y-koordinat blive mindre og mindre. Der gælder altså at jo større x er, jo mindre er y, så af definition 5.3 får vi: Det er en aftagende sammenhæng. Øvelse 5.6 Hver dag fra 1. til 24. december får Bo én kalendergave. x = antal dage der er tilbage til jul y = antal kalendergaver som Bo har fået (1) Gælder at jo større x er, jo større er y? (2) Gælder at jo større x er, jo mindre er y? (3) Er sammenhængen voksende? (4) Er sammenhængen aftagende? Øvelse 5.7 Vi lægger nogle frø i et fuglehus. x = antal minutter til frøene er spist y = antal frø der er tilbage (1) Brug 5.4 til at finde ud af om sammenhængen mellem x og y er voksende. (2) Brug 5.4 til at finde ud af om sammenhængen mellem x og y er aftagende. Øvelse 5.8 Ligningen x y = viser sammenhængen mellem de to variable x og y. Brug 5.4 til at finde ud af om sammenhængen mellem x og y er voksende, aftagende eller ingen af delene. Øvelse 5.9 Vi trækker et punkt langs grafen. x = punktets x-koordinat y = punktets y-koordinat (1) Gælder at jo større x er, jo større er y? (2) Er sammenhængen mellem x og y voksende? Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

23 Øvelse 5.10 En bestemt type plade fås i de fire størrelser som er vist på figuren x = længden af en plades korte side y = pladens areal (a) Er sammenhængen mellem y og x aftagende. (b) Er sammenhængen mellem y og x voksende? 1cm Øvelse 5.11 En skål fås i fem størrelser. x = en skåls diameter (i cm) y = skålens pris (i kr.) Udfyld de tomme pladser sådan at sammenhængen mellem y og x er voksende. x y Øvelse 5.12 En vare fås i pakninger med 1 stk., 3 stk., 10 stk., 50 stk. og 200 stk. x = antal vare i en pakning y = pris pr. stk. (i kr.) Udfyld de tomme pladser sådan at sammenhængen mellem y og x er aftagende. x y 7 6 5,9 Øvelse 5.13 I et computerspil forekommer bl.a. følgende variable: x = antal år efter 1900 y = befolkningens størrelse Ligningen x y = 4000 a viser sammenhængen mellem y og x. Før man bruger ligningen, må man erstatte a med et bestemt tal. Det tal man skriver på a 's plads, skal være positivt, og det skal være mindre end 3. (a) Sæt a til 2, og udregn y når x er 1, når x er 2, og når x er 3. (b) Sæt a til et tal så sammenhængen mellem y og x bliver aftagende, og udregn derefter y når x er 1, når x er 2, og når x er 3. Variabelsammenhænge, udgave 2 Side Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark Regn med tallene 1 Spil Væddeløbet Du skal bruge Kuber To terninger Arbejdsark 47 48 KG 2 Regn med lommeregner Du skal bruge Lommeregner Målebånd Stopur Vægt Arbejdsark 49 50 51 KG Værksted : Leg butik.

Læs mere

FP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel

FP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning Maj 2015 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

formler og ligninger basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07 7 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer

Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Lektion 9 Statistik enkeltobservationer Middelværdi med mere Hyppigheds- og frekvens-tabeller Diagrammer Hvilket diagram er bedst? Boxplot Lektion 9 Side 1 Når man skal holde styr på mange oplysninger,

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73

Bogstavregning. Formler...74 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86. Bogstavregning Side 73 Bogstavregning Formler...7 Reduktion...78 Ligninger...81 Ligninger som løsningsmetode...86 Bogstavregning Side 7 Formler 1: Regn disse opgaver med formler: a: Beregn: y = 5 + når: = b: Beregn: b = 15 a

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort 9. juli 2014 Version 1.1 Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort Du kan altid se på forsiden af Mit3F, hvornår du skal indsende det næste dagpengekort. Du finder dagpengekortet på Mit3f ved at

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Navneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

På jagt efter historiske spor i. Den Fynske Landsby. 3.- 4.årgang

På jagt efter historiske spor i. Den Fynske Landsby. 3.- 4.årgang På jagt efter historiske spor i Den Fynske Landsby 3.- 4.årgang Velkommen Velkommen til Den Fynske Landsby. Den Fynske Landsby ser ud på samme måde, som mange landsbyer gjorde på Fyn i 1800-tallet. Her

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere)

Brugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere) Brugervejledning til Landsforeningen Danske Folkedanseres Medlemssystem (For dansere) 1 Indhold Første gang systemet skal have at vide, hvem du er.... 3 Log Ud - VIGTIGT!... 4 Log ind når du har oprettet

Læs mere

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Instruktion Formålet med Lederadfærdsanalyse II Egen er at give dig oplysninger om, hvordan du opfatter din ledelsesstil. I det følgende vil du blive

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Procesorienteret. skrivning

Procesorienteret. skrivning Procesorienteret Dansk 84 skrivning Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af hvad man mener I Norge har Stiftelsen

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori Ny Nordisk Skole Arbejdshæfte til forandringsteori Introduktion Ny Nordisk Skole handler om at styrke dagtilbud og skoler, så de har de bedste forudsætninger for at give børn og unge et fagligt løft. Dette

Læs mere

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET

GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET GUIDE 6 Noget om blænde GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed... 5 Blænde og lyset... 6 LÆRfoto.dk s serie af guides

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Omkreds af kvadrater og rektangler

Omkreds af kvadrater og rektangler Omkreds af kvadrater og rektangler Nr. 72 Gæt omkreds Mål længde Mål bredde Beregn omkreds Beregn omkreds dm Gæt omkredsen på kvadraterne og rektanglerne i centimeter. Mål længde og bredde. Beregn omkredsen

Læs mere

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL 114659_Manual_250x250 17/10/03 13:38 Side 1 Kunde & Co. Frederiksholms Kanal 6 1220 København K Tlf: 33 92 40 49 perst@perst.dk www.perst.dk Løngangstræde 25, 4. 1468 København K Tlf: 38 17 81 00 cfu@cfu-net.dk

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer)

Matematik D. Almen voksenuddannelse. Skriftlig prøve. Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 AVU151-MAT/D. (4 timer) Matematik D Almen voksenuddannelse Skriftlig prøve (4 timer) AVU151-MAT/D Fredag den 11. december 2015 kl. 9.00-13.00 Økonomi Matematik niveau D Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77

Omkredsspil. Måling. Format 5. Nr. 75. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 77 Omkredsspil Nr. 75 Paraktivitet. Kast på skift med to -sidede terninger, og gang øjentallene. Gæt, hvilken figur der har denne omkreds. Mål og udregn omkredsen. Ved rigtigt gæt: Skriv initialer i figuren.

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Vejledning til matematik A htx Maj 2016

Vejledning til matematik A htx Maj 2016 Vejledning til matematik A htx Maj 2016 Censorkorpset skriftlig matematik, htx Denne skrivelse skal tjene til almindelig orientering og vejledning for censorerne om forhold vedrørende skriftlig eksamen,

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Dette er en hjælp til dig der gerne vil bringe mapop ind i din læringsmålstyrede undervisning. Vi tager udgangspunkt i Læringsmålstyret

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere