for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

Transkript

1 fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

2 1. En sides modsäende inkel Ensinklede ekane Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning.... Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense 7. Udegne cosins, sins elle angens il e gadal LÉse ligning med cosins, sins elle angens Regle fo cos, sin og an i einkle ekan Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Sinselaionen HonÄ bge i sinselaionen? 18. Udegn side med sinselaion 19. Udegn inkel med sinselaion 0. Cosinselaionen HonÄ bge i cosinselaionen?. Udegn side med cosinselaion. Udegn inkel med cosinselaion. HÉjde, median og inkelhaleingslinje HÉjde. Median 7. Vinkelhaleingslinje 8. Eksemle med héjde, median og inkelhaleingslinje Eksemel med héjde 0. Eksemel med median 1. Eksemel med inkelhaleingslinje De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 8 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 9 De ogaeye i lése ed hjçl af cosinselaionen elle sinselaionen Tekansbeegning fo C-niea i sx, Ä 01 Kasen Jl /11-01 Nyese esion af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm HÄfe må benyes i ndeisningen his läeen med de samme sende en il kj@ma1.dk som olyse a dee häfe benyes og olyse om hold, niea, läe og skole.

3 1. En sides modsäende inkel e modsäende inkel il siden l fodi l ikke séde o il. w Vi se a m og n séde o il, sä m og n e ikke modsäende il. l m e modsäende il m. w e modsäende il n. n. Ensinklede ekane De o ekane ha samme inkle, sä - de o ekane ha samme fom - den soe ekan e en foséelse af den lille 18 Udegne fosåelsesfakoen NÄ i gange sidene i den lille med foséelsesfakoen k, sä fä i sidene i den soe: 1k = 18 Vi diidee begge ligningens side med 1 og fä k = 1, 1 Hofo e fosåelsesfakoen ikke? Vi kan ikke bge sidene 1 og il a degne foséelsesfakoen fodi sidene 1 og ikke ha ens modsäende inkle. Vi bge fosåelsesfakoen 1, il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e ens. Defo e 1, = Vi degne ensesiden og fä = Vi bge fosåelsesfakoen 1, il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e lens. Defo e 1, = Vi diidee begge side med 1, og fä = 1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 1 01 Kasen Jl

4 . Od fo sidene i en einkle ekan Siden e en kaee fodi den séde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke séde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de séde o il inkel. Siden e den modsäende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke séde o il inkel. Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsäende kaee il inklen Ä e modäende kaee il d e modäende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense. Pyhagoas séning d g n w 7 8 h k Pyhagoas sçning gçlde kn i einklede ekane. Pyhagoas séning som fomel nä og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas séning i od Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden.. Udegn hyoense nä i kende de o kaee Ogae: Besem Ä figen. 0 og 8 e kaee, og e hyoense, sä = Nsie lése denne ligning mh. fo sée end 0 og fä = 0 8 =. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense Ogae: Besem a Ä figen. og a e kaee, og 0 e hyoense, sä + a = 0 Nsie lése denne ligning mh. a fo a sée end 0 og fä a = a 0 = Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

5 7. Udegne cosins, sins elle angens il e gadal I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ä Mac) : NÄ i lçse denne ligning, sige i: cosins il e 0, Flee degninge: Hsk gadegne. SÅ ike de anse om Nsie e indsille il a egne med e ande inkelmål end gade. Og så e ligningen både sädanlig sog og Nsiesog. His i i sädanlig sog ikke skie, så beyde de a inkelmåle e adiane. NÄ i lçse disse ligninge, sige i sins il 18 e 0,911. angens il 1, e 0, LÅse ligning med cosins, sins elle angens His e en inkel i en ekan og 7cos() = sä skal i lése denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie lésninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 180. Nsie lése ligningen 7cos() = mh. fo 0 < < 180 og fä =,101. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 90: Nsie lése ligningen,an() = 8, mh. fo 0 < < 90 og fä = 1,9. He så i sädanlig sog had de e fo en oeaion i få Nsie il a dfçe. De skal i alid skie nå i bge sole. LÄg mäke il ho de e gadegn. NÅ i skie sådan, så ike de anse om Nsie e indsille il a egne med e ande inkelmål end gade. I sädanlig sog e de IKKE gadegn Å e bogsa. 9. Regle fo cos, sin og an i einkle ekan NÄ e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsäende kaee gçlde: cos() = hyoense gange cosins il inklen e inklens hosliggende kaee sin() = hyoense gange sins il inklen e inklens modsäende kaee an() = inklens hosliggende kaee gange angens il inklen e inklens modsäende kaee eglene som fomle eglene i od Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

6 10. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan 11. Ogae: Besem inklen Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins:, cos() =, Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 90 og fä = 1,97,, = 1. Ogae: Figen ise en sige de nä o il oen af en m héj m. Sigen danne en inkel Ä med jodoefladen. Besem lçngden af sigen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins: s sin() = ho s e sigens lçngde Nsie lése denne ligning mh. s fo s sée end 0 og fä s =, sige m Sigens lçngde e, cm 1. Ogae: 0 mee fa e Ç sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il héje e en model af denne siaion. De indgä en inkel og de o kaee, sä i skal bge angens: 0 an() = h Nsie degne ligningens ense side: TÇes héjde e 8 m 0m h 1. Ogae: Besem siden Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins: 8,0 cos() = Nsie degne ligningens ense side: 8,0 =,7 1. Ogae: Besem inklen w Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins:,1 sin(w) =, w,1, Nsie lése denne ligning mh. w fo w mellem 0 og 90 og fä w = 8,9 w = 9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

7 1. Sinselaionen NÄ e siden e modsäende il inklen siden e modsäende il inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselaionen. Sinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge sinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 17. HonÄ bge i sinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o inkle og en side, og i skal finde en side, sä bge i sinselaionen. His i ikke kende inklen oe fo den side i skal finde, sä degne i fés denne inkel. De kan i da smmen af de e inkle e 180. His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen oe fo en af dem, og i skal finde en inkel, sä bge i sinselaionen. De e inklen oe fo den anden kende side i finde. Den sidse inkel kan i finde da smmen af de e inkle e Udegn side med sinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o inkle og en side, og skal finde en side, sä i bge sinselaionen. Vinklen oe fo e = 8 N kan i bge sinselaionen: sin( 8) sin(10) Nsie lése denne ligning mh. fo sée end 0 og fä =, =, 19. Udegn inkel med sinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende o side og inklen oe fo en af dem og skal finde en inkel, sä i bge sinselaionen: 110 sin( ) sin(110) Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 7,909 elle = 1,091 mä Çe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90, sä = 7,9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

8 0. Cosinselaionen NÄ e sidene e, og siden e modsäende il inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselaionen. Cosinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge cosinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 1. HonÄ bge i cosinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. His ekanen ikke e einkle og i kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen.. Udegn side med cosinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. = 8 + 8cos(9) Nsie lése denne ligning mh. fo > 0 og fä = 1, =,0. Udegn inkel med cosinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. = cos() Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 9, = 9,1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl

9 . HÅjde, median og inkelhaleingslinje. HÅjde En héjde i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il e nk Ä den modsäende side og e inkele Ä denne side. I enhe ekan e de e héjde. PÄ figen e h en af héjdene. h. Median En median i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il midnke af den modsäende side. m I enhe ekan e de e mediane. PÄ figen e m en af medianene. 7. Vinkelhaleingslinje En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gä gennem en af inkelsidsene og halee inklen. w w I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÄ figen e en af inkelhaleingslinjene. 8. Eksemle med håjde, median og inkelhaleingslinje 9. Eksemel med håjde I en ekan ABC e AB lig og héjden fa B e. Vi il degne inkel A. Vi egne en skise. Da BD e héjde, e inkel D e, sä af ekan ABD fä i sin(a) = Nsie lése denne ligning mh. A fo 0<A<180 og fä A = 1,810. A = 1,8 0. Eksemel med median Vi il degne lçngden af medianen m Ä egningen. Da m e median, e DC haldelen af ds. 1,. Af den einklede ekan BCD fä i m = 1, + Nsie lése denne ligning mh. m fo m>0 og fä m =,01 m =, m B 1. Eksemel med inkelhaleingslinje PÄ egningen e inkelhaleingslinje Vi il degne c som e lçngden af AB. Vinkel D i ekan ACD e Vinkel C i ekan ACD e Vinkel C i ekan ABC e 0 0 da halee inklen. Af den einklede ekan ABC fä i 7an(0) = c Nsie degne ense side og fä,877 = c c =,87 A B 110 D D C A 7 C Tekansbeegning fo C-niea i sx 7 01 Kasen Jl

10 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il héje e sidene med lçngde og kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med lçngde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsäende kaee. Tye 1 Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. cos(7) Nsie degne ense side Tye Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Hyoensen. cos( 7) Nsie lése mh. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Vinklen mellem disse. cos( ) inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Nsie lése mh. fo inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Tye Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens modsäende kaee. sin (7) Nsie degne ense side inklens sids inkel hyoensen Tye Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Hyoensen. sin ( 7) Nsie lése mh. inklens sids inkel hyoensen Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Kaeens modsäende inkel. sin ( ) modsäende kaee modsäende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel hyoensen Tekansbeegning fo C-niea i sx 8 01 Kasen Jl

11 Tye 7 Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Vinklens modsäende kaee. an(7) Nsie degne ense side Tye 8 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. an( 7) Nsie lése mh. Tye 9 Kend: De o kaee. Udegn: En sids inkel. an( ) inklens sids inkel inklens hosliggende kaee modsäende kaee inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 10 Kend: De o kaee. Udegn: Hyoensen. hyoense kaee Nsie lése mh. fo Tye 11 Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Den anden kaee. Nsie lése mh. fo hyoense kaee 0 0 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af félgende fie fomle: I en einkle ekan gçlde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gçlde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee () hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee () inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo C-niea i sx 9 01 Kasen Jl

12 De ogaeye i låse ed hjél af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En inkel mellem o side og disse o side. Udegn: Siden oe fo inklen. alid cos(1,) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, Tye 1: Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: De e side. Udegn: Vinklen. alid cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo Tye 1: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En side og o inkle. Udegn: En af de ande side. sin( 1.) sin( 8.8 ) siden de e siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 enhede, ligge oe fo inklen de e 1, Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sä mäe i fés degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e ,8 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. Kend: To side og inklen oe fo en af dem. Udegn: Vinklen oe fo den anden af de o side. sin( ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen af séelse Nsie lése ligningen mh. fo ,8 Nsie gie bäde en lésning nde 90 og en lésning oe 90. Hsk a begnde hilken af lésningene de skal bges. I dee ilfçlde kan begndelsen Çe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den sése i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo C-niea i sx Kasen Jl