Kategoriske data. Basal Statistik for medicinske PhD-studerende October 2008

Transkript

1 Kategoriske data Basal Statistik for medicinske PhD-studerende October 2008 Bendix Carstensen Steno Diabetes Center, Gentofte & Biostatististisk afdeling, Københavns Universitet

2 Kategoriske vaiable Dikotom to kategorier: Respons: Ja / Nej Levende / Død Nominal flere kategorier: Selvstændig / Faglært / Ufaglært / Funktionær Blå / Brune / Grå / Grønne Ordinal flere ordnede kategorier: Ingen < Let < Moderat < Svær 0 10 < < < 51+ October 2008: Kategoriske data 1

3 Data repræsentation Individer Person Kategori 1 a 2 f 3 c 4 b 5 b 6 d 7 d.. n b Tabel Kategori Antal a 8 b 14 c 4 d 9 e 12 f 3 n October 2008: Kategoriske data 2

4 100 patienter behandles og respons registreres: ptt. udfald i x i Model for x i og x i nødvendig. { 65 = xi Respons 35 = 100 x i Intet respons October 2008: Kategoriske data 3

5 Sandsynlighed for at en tilfældigt valgt person responderer: p{respons} = p p{intet respons} = 1 p Personer er ikke ens. Variationen kommer fra den tilfældige udvælgelse af patienter. p er ukendt - en parameter som karakteriserer populationen. Observationer: x responderer, n x responderer ikke. October 2008: Kategoriske data 4

6 Binomialfordelingen: Sum af uafhængige Bernoulli-variable, med samme sandsynlighed, p: x = # 1-taller = x i binom(n, p) ( ) n Punktsandsynlighed: p{x = x} = p x (1 p) n x x Middelværdi: E(X) = n p Spredning: std(x) = var(x) = n p (1 p) October 2008: Kategoriske data 5

7 N=5, p=0.1 N=5, p=0.2 N=5, p=0.3 N=5, p=0.5 N=5, p=0.8 N=5, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=10, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=20, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= N=50, p= October 2008: Kategoriske data 6

8 Estimation i binomialfordelingen: Parameter: p = Pr{ positiv } Observation: x ud af n er positive (succes, død,... ). Estimat: ˆp = x n p(1 p) Spredning af estimat: s.e.(ˆp) = n Approximativt 95% konfidensinterval for p: ˆp ± ˆp(1 ˆp) n October 2008: Kategoriske data 7

9 215 kvinder fra almen praksis. 39 har astmatisk sygdom i familien. p = p{tilfældigt valgt kvinde har astma i familien} = prævalensen af familiær astma ˆp = = p(1 p) s.e.(ˆp) = = = n % c.i: ± = (0.130; 0.233) Dvs.: Data er foreneligt med prævalenser i populationen i området 13% 23%. October 2008: Kategoriske data 8

10 Eksakt konfidensinterval: N=215, p= N=215, p= October 2008: Kategoriske data 9

11 Eksakt konfidensinterval: 5 ud af N=20, p= N=20, p= % N=20, p= N=20, p= % ˆp = 5/20 = 0.25 Konfidensinterval: 0.25±1.96 = (0.06; 0.44) October 2008: Kategoriske data 10

12 Eksakt konfidens interval for 0 ud af N Den nedre grænse er: p L = 0 Den øvre grænse, p U, skal vælges så ssh. for 0 er 2.5%: p 0 U (1 p U ) N = (1 p U ) N = p U = /N Eksempel: Observeres 0 ud af 7 bliver den øvre grænse for et eksakt 95% konfidensinterval: p U = /7 = October 2008: Kategoriske data 11

13 Konfidensintervaller for p En god approximation til de eksakte konfidensintervaller er 1 : erf = exp ( 1.960/ np(1 p) ) og derefter udregne grænserne: p p + (1 p) erf 1 Denne formel er baseret på en normal-approximation til log-odds, ln(p/(1 p)). October 2008: Kategoriske data 12

14 F.eks får vi for 5 ud af 20: p = 0.25, erf = exp ( 1.96/ ) = 2.75 dvs. et 95% c.i bliver: p = p + (1 p) erf = (10.8; 47.8)% Traditonelt c.i: (6.0; 44.0)% Eksakt c.i: (8.7, 49.1)% October 2008: Kategoriske data 13

15 Test H 0 : p = p 0 Hvis nulhypotesen er sand: s.e.(ˆp) = s.e. ( x n) = p0 (1 p 0 ) n z = x/n p 0 p0 (1 p 0 )/n N (0, 1) N (0, 1) er den standardiserede normalfordeling middelværdi 0 og varians 1. October 2008: Kategoriske data 14

16 Ud af 215 havde 39 astma i familien. Er det foreneligt med en prævalens på 15%? z = 39/ /215 = 1.23 Opslag i tabel giver: p{ z > 1.23} = 21.87% October 2008: Kategoriske data 15

17 Kontinuitetskorrektion Testsandsynligheden approximeres i normalfordelingen, ved at tage sandsynligheden fra x og udefter. Bedre at tage ssh. fra x (eller x 1 2 ). Det giver den korrigerede teststørrelse: z C = x/n p 0 1/2n p0 (1 p 0 )/n October 2008: Kategoriske data 16

18 I eksemplet fra før med 39 ud af 215 og p 0 = 0.15: z C = 39/ /(2 215) /215 = 1.194, p = 23.26% October 2008: Kategoriske data 17

19 Antagelser: Forudsætninger for at anvende binomialfordelingen: Observationerne er uafhængige, dvs: Viden om en persons status indeholder ikke information om andres. (Afhængighed kan forekomme hvis personer er i familier, og udfaldet er familiært associeret). Effekt af afhængige observationer: n bliver overvurderet. P-værdi for lille. October 2008: Kategoriske data 18

20 Observationerne er repræsentative, dvs: Personerne skal repræsentere den population der skal generaliseres til. (Problemer hvis udvælgelsen afhænger af forhold som har med udfaldet at gøre). Effekt af manglende repræsentativitet: Afhænger af den konkrete situation. October 2008: Kategoriske data 19

21 M Kalani, J Apelqvist, M Blombäck, K Brismar, B Eliasson, JW Eriksson, B Fagrell, A Hamsten, O Torffvit & G Jörneskog: Effect of Dalteparin on Healing of Chronic Foot Ulcers in Diabetic Patients With Peripheral Arterial Occlusive Disease. Diabetes Care 26: , 2003 Ulcer outcome in 85 diabetic patients with PAOD and chronic foot ulcers, randomly assigned to treatment. Dalteparin Placebo Healed 14 9 Improved Unchanged 7 9 Impaired 5 5 Amputation 2 8 Total Dalteparin Placebo Better Worse Total October 2008: Kategoriske data 20

22 Sammenligning af 2 grupper Gruppe Resp. 1 2 Ja x 1 x 2 Nej n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 n 2 ˆp 1 = x 1 /n 1 ˆp 2 = x 2 /n 2 p 1 (1 p 1 ) s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) = + p 2(1 p 2 ) n 1 n 2 October 2008: Kategoriske data 21

23 85 diabetes-patienter med fodsår: Dalteparin (Dal) Placebo (Pl) Gruppe Dalterapin Placebo Udfald: Bedre Værre ˆp Dal = = 67% ˆp Pl = = 47% October 2008: Kategoriske data 22

24 Forskellen mellem sandsynlighederne er andelen af patienter der har glæde af behandlingen: p Dal p Pl ˆp Dal ˆp Pl = 20% s.e.(ˆp Dal ˆp Pl ) = p Dal (1 p Dal ) n Dal + p Pl(1 p Pl ) n Pl = %c.i. : 20% ± % = (0%; 40%) October 2008: Kategoriske data 23

25 data c ; proc freq data = a ; input resp $ grp $ ; table grp * resp / chisq measures nopercent nocol ; cards ; run ; B Dal B Dal B Dal... B Dal B Dal B Dal W Dal W Dal... data c ; W Dal input resp $ grp $ antal; W Dal cards ; B Pl B Dal 29 B Pl W Dal 14 B Pl B Pl 20 B Pl W Pl ; B Pl run ; W Pl W Pl proc freq data = c ; W Pl table grp * resp / chisq measures nopercent nocol ;... run ; W Pl W Pl W Pl ; run ; October 2008: Kategoriske data 24

26 Eksempel i SAS Analyst: Indtast data i regnearket som: resp grp count B Dal 29 W Dal 14 B Pl 20 W Pl 22 Vælg Statistics Table Analysis. Put responsvariablen, her resp i column. I Tables vælges både row og col percents. October 2008: Kategoriske data 25

27 Frequency Row Pct Col Pct B W Total Dal Pl Total Statistic Value ASE Somers D C R Somers D R C C R = Column response given Row ( = 19.82) R C = Row response given Column ( = 20.29) ASE = Asymtotic Standard Error October 2008: Kategoriske data 26

28 Odds (for respons) i de to grupper er defineret som: odds 1 = p 1 1 p 1 odds 2 = p 2 1 p 2 Odds er forholdet mellem antal responser og non-responser i hver af grupperne. Odds-ratio, OR, er forholdet mellem odds i de to grupper: OR = p 1 1 p 1 / p2 1 p 2 Hvor mange gange større er forholdet mellem response og non-response i gruppe 1 i forhold til gruppe 2. October 2008: Kategoriske data 27

29 Estimat for OR: ˆ OR = Resp. Gr. 1 Gr. 2 Ja a b Nej c d a + c b + d / a/(a + c) b/(b + d) c/(a + c) d/(b + d) = a / b c d = ad bc Spredning skal udregnes på den naturlige logaritme: s.e.[ln( ˆ OR)] = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d October 2008: Kategoriske data 28

30 Konfidensinterval skal udregnes for den naturlige logaritme og transformeres tilbage: ln( ˆ OR) ± 1.96 s.e.[ln( ˆ OR)] OR ˆ exp(1.96 } {{ s.e.[ln( OR)]) ˆ } error factor Test: ln( ˆ OR) s.e.[ln(or)] N (0, 1) October 2008: Kategoriske data 29

31 Relativ risiko. RR response = p 1 p 2 Estimat for RR: ˆ RR response = a / b a + c b + d Spredning skal udregnes på den naturlige logaritme: s.e.[ln( ˆ RR response )] = 1 a 1 a + c + 1 b 1 b + d October 2008: Kategoriske data 30

32 OBS: RR er ikke symmetrisk: RR response 1 RR non-response OBS: OR er symmetrisk: OR response = 1 OR non-response October 2008: Kategoriske data 31

33 OR og RR fra SAS output The FREQ Procedure Table of grp by resp grp resp Frequency Row Pct B W Total Dal Pl Total October 2008: Kategoriske data 32

34 Estimates of the Relative Risk (Row1/Row2) Type of Study Value 95% Conf. Limits Case-Control (Odds Ratio) Cohort (Col1 Risk) Cohort (Col2 Risk) Sample Size = 85 OR = = (29 22)/(20 14) RR B = = (29/43)/(20/42) RR W = = (14/43)/(22/42) 1/ = October 2008: Kategoriske data 33

35 OR eller RR Mortalitet efter appendictomi Gruppe Udfald Hospital A Hospital B Død 2 3 Overlever / RR + = = 0.59 OR + = = 0.59 / RR = = 1.00 OR = = 1.71 October 2008: Kategoriske data 34

36 OR eller RR 1-års mortalitet efter lungecancer: Gruppe Udfald Hospital A Hospital B Død Overlever / RR + = = 0.98 OR + = = 0.64 RR = 5 98/ 3 90 = 1.53 OR = = 1.56 October 2008: Kategoriske data 35

37 Test: p 1 = p 2 Gruppe Respons 1 2 Ja x 1 x 2 Nej n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 n 2 ˆp 1 = x 1 /n 1 ˆp 2 = x 2 /n 2 Under nulhypotesen, dvs. hvis p 1 = p 2 = p er sand: ˆp = x 1 + x 2 n 1 + n 2 October 2008: Kategoriske data 36

38 dvs.: s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) = p(1 p) n 1 + p(1 p) n 2 = ( 1 n n 2 ) p(1 p) Teststørrelsen bliver derfor: z = ˆp 1 ˆp 2 s.e.(ˆp 1 ˆp 2 ) N (0, 1) October 2008: Kategoriske data 37

39 Test: OR = 1 eller RR = 1 Samme hypotese som p 1 = p 2! Observeret, O Gruppe 1 2 J a b a + b N c d c + d Forventet, E Gruppe 1 2 (a+b)(a+c) N (c+d)(a+c) N (a+b)(b+d) N (c+d)(b+d) N a + c b + d N a + c b + d χ 2 P = (O E) 2 E = z 2 October 2008: Kategoriske data 38

40 SAS output fra Proc Freq Statistics for Table of grp by resp Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Mantel-Haenszel Chi-Square Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer s V October 2008: Kategoriske data 39

41 Oversigt over 2 2-tabellen Gruppe Respons 1 2 Ja a b a + b Nej c d c + d a + c b + d N Model: ˆp 1 = a/(a + c) ˆp 2 = b/(b + d) a bin(a + c, p 1 ) b bin(b + d, p 2 ) October 2008: Kategoriske data 40

42 Tre forskelige mål for afhængighed: p 1 p 2 s.e.(p 1 p 2 ) = p1 (1 p 1 ) a + c + p 2(1 p 2 ) b + d OR = p 1/(1 p 1 p 2 /(1 p 2 ) RR = p 1 p 2 s.e.(ln[rr]) = Én nulhypotese H 0 : s.e.(ln[or]) = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 1 a 1 a + c + 1 b 1 b + d p 1 = p 2 p 1 p 2 = 0 OR = 1 RR = 1 Forudsætning: Alle forventede tal > 5. October 2008: Kategoriske data 41

43 Oversigt over 2 2-tabellen Proc Freq Statistics for Table of grp by resp Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square Statistic Value ASE Somers D C R Somers D R C October 2008: Kategoriske data 42

44 Estimates of the Relative Risk (Row1/Row2) Type of Study Value 95% Conf. Limits Case-Control (Odds Ratio) Cohort (Col1 Risk) Cohort (Col2 Risk) Sample Size = 85 October 2008: Kategoriske data 43

45 Tynde tabeller Hvis nogen forventede tal er mindre end 5, f.eks. (DGA, tabel 10.14): Obs. (O) Exp. (E) Delinquent Delinquent Spectactles Yes No Total Yes No Yes No Total October 2008: Kategoriske data 44

46 Fisher s eksakte test: Fasthold marginalerne. P-værdien er sandsynligheden for: den observerede tabel samt mere ekstreme tabeller: Ensidet test: Tabeller med mere skæv fordeling mellem grupperne end den observerede, i samme retning væk fra uafhængighed. Tosidet test: Alle tabeller med mindre sandsynlighed end den observerede. October 2008: Kategoriske data 45

47 Spectactle Juvenile Non- cum. wearers delinquents delinquents Total ssh. ssh. Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Yes No Total October 2008: Kategoriske data 46

48 Eksempel The FREQ Procedure Table of spect by del spect del Frequency Row Pct Col Pct J N Total N Y Total October 2008: Kategoriske data 47

49 Statistics for Table of spect by del Statistic DF Value Prob Chi-Square Likelihood Ratio Chi-Square Continuity Adj. Chi-Square WARNING: 75% of the cells have expected counts less than 5. Chi-Square may not be a valid test. Fisher s Exact Test Cell (1,1) Frequency (F) 8 Left-sided Pr <= F Right-sided Pr >= F Table Probability (P) Two-sided Pr <= P October 2008: Kategoriske data 48

50 R C-tabeller Caffeine consumption (mg/day) >300 Total Married Divorced Single October 2008: Kategoriske data 49

51 Er fordelingen af koffein-konsumption den samme i de forskellige civilstandsgrupper? Er civilstandsfordelingen den samme for de forskellige niveauer af koffein-konsumption? Det er det samme spørgsmål, og det samme som: Er der uafhængighed i tabellen? Er inddelingen af de 3888 kvinder efter de to kriterier uafhængige? October 2008: Kategoriske data 50

52 R C-tabeller: udregninger χ 2 -test ved sammenligning af O, observerede, og E, forventede v.h.a. Pearsons s χ 2 : χ 2 P = (O E) 2 E χ 2 ((r 1) (c 1)) October 2008: Kategoriske data 51

53 R C-tabeller: udregninger i SAS data cm ; input civ $ kaf $ antal ; cards ; Married DivWid 0 36 Single Married DivWid Single Married DivWid Single Married > DivWid > Single > ; run ; October 2008: Kategoriske data 52

54 proc freq data = cm ; weight antal ; table kaf * civ / chisq expected norow nocol nopercent ; table kaf * civ / nopercent ; run ; October 2008: Kategoriske data 53

55 Table of civ by kaf civ kaf Frequency Expected >300 Total DivWid Married Single Total October 2008: Kategoriske data 54

56 Statistics for Table of kaf by civ Statistic DF Value Prob Chi-Square <.0001 Likelihood Ratio Chi-Square <.0001 Mantel-Haenszel Chi-Square <.0001 Phi Coefficient Contingency Coefficient Cramer s V Sample Size = 3888 October 2008: Kategoriske data 55

57 Uafhængighedstest hvad kan de bruges til? Man får en P-værdi. Signifikant test: Beskriv den observerede afhængighed teststørrelsen siger ikke noget om hvordan afhængigheden ser ud. Beskriv tabellen med procenter etc. Ikke signifikant test: Teststørrelsen siger ikke nødvendigvis at uafhængigheden er fuldstændig. Beskriv tabellen med procenter etc. October 2008: Kategoriske data 56

58 Table of civ by kaf civ kaf Frequency Row Pct Col Pct >300 Total DivWid Married Single Total October 2008: Kategoriske data 57

59 Antal fra tabeller Married DivWid Single > Married DivWid Single >300 October 2008: Kategoriske data 58

60 Procenter fra tabeller Married DivWid Single > Married DivWid Single >300 October 2008: Kategoriske data 59

61 Procenter fra tabeller med SAS goptions hsize=10cm vsize=10cm ; proc gchart data=cm; vbar civ / sumvar=antal subgroup=kaf ; run; October 2008: Kategoriske data 60

62 proc freq data=cm ; weight antal ; table civ * kaf / out = ud outpct ; run ; proc print data= ud ; run ; civ kaf... PCT_ROW PCT_COL DivWid DivWid DivWid DivWid > Married Married Married Married > Single Single Single Single > proc gchart data=ud; vbar civ / sumvar=pct_row subgroup=kaf; label pct_row="%" ; run; October 2008: Kategoriske data 61

63 2 k-tabel med ordnede kategorier Skonummer CS < Ialt Ja Nej Ialt χ 2 test for uafhængighed: 9.28 med 5 frihedsgrader; P = Konklusion: Ingen sammenhæng! October 2008: Kategoriske data 62

64 Table of sko by cs sko cs Frequency N Y Total Total Statistic DF Value Prob Chi-Square October 2008: Kategoriske data 63

65 Kejsersnit som funktion af skonummer. P(kejsersnit) Skonummer October 2008: Kategoriske data 64

66 Trend test Regression af p i = P {CS} på skonummer, s i : p i = α + βs i Estimer α og β (afskæring og hældning). Test om hældningen er 0. Kejsersnitseksempel: χ 2 trend = P = October 2008: Kategoriske data 65

67 Trend test SAS proc freq data = a ; table sko * cs / nopercent nocol trend ; run ; Table of sko by cs sko cs Frequency Row Pct N Y Total October 2008: Kategoriske data 66

68 Total Statistics for Table of sko by cs Cochran-Armitage Trend Test Statistic (Z) One-sided Pr > Z Two-sided Pr > Z Sample Size = 351 Bemærk at = Dette er χ 2 -testet med 1 d.f. October 2008: Kategoriske data 67

69 Trend test forudsætninger Forudsætningen er at data faktisk er velbeskrevet ved en ret linje. Opdeling af χ 2 -testet i test for linearitet og test for trend: χ 2 total (5) = χ2 lin (4) + χ2 trend (1) χ 2 : 9.29 = f: 5 = p: Det samlede test skjuler en signifikant trend. October 2008: Kategoriske data 68

70 Testet for linearitet bidrager med lidt til teststørrelsen, men med mange frihedsgrader. Husk altid at udregne test for linearitet. Det er jo blot simpel subtraktion. October 2008: Kategoriske data 69

71 Vigtig forudsætning: Observationerne skal være uafhængige. Hvis der er flere observationer på samme objekt er de enkelte observationer ikke uafhængige. Et ofte forekommende tilfælde af dette er: Parrede data: Samme prøve set af to (eller flere) observatører. Samme prøve målt med to forskellige metoder. To personer fra samme matchede sæt. October 2008: Kategoriske data 70

72 Parrede data To læger skal stille en pos. / neg. diagnose på de samme patienter: Læge 1 Læge 2 Antal ptt. + + a + b + c d Er der overensstemmelse mellem lægernes diagnose? Er sandsynligheden for en positiv diagnose den samme? October 2008: Kategoriske data 71

73 Opsummering af data Tabel over antal par af resultater (her patienter): Læge 1 + Læge 2 Andel positive diagnoser: a + c N a + b N + a b c d differens: b c N October 2008: Kategoriske data 72

74 McNemar s test Læge 2 Læge a b c d Hvis de to læger har samme sandsynlighed for positiv diagnose må c b. McNemar s test sammenligner b og c: (b c) 2 b + c χ 2 (1) October 2008: Kategoriske data 73

75 McNemar s test med kontinuitetskorrektion: OBS: ( b c 1) 2 b + c χ 2 (1) Afhænger kun af b og c. (Diskordante observationer, dvs. observationer hvor lægerne er uenige). Test for ens diagnose-sandsynligheder: P 1 {+} = P 2 {+} ikke test for overensstemmelse. October 2008: Kategoriske data 74

76 Estimation af differens Læge 1 + Læge 2 + a b a + b c d c + d a + c b + d N ˆp 1 = a + c N ˆp 2 = a + b N October 2008: Kategoriske data 75

77 Differens mellem sandsynligheder for pos. diagnose: ˆp 2 ˆp 1 = a + b N a + c N s.e.( ˆp 2 ˆp 1 ) = 1 b + c N = b c N (b c)2 N Bruges til at konstruerere approximative konfidensintervaller for p 1 p 2. Men det har ikke noget med sammenligning af de to læger at gøre! October 2008: Kategoriske data 76

78 Odds-ratio for pos. diagnose mellem lægerne Læge 2 Læge a b a + b c d c + d a + c b + d N Odds-ratio (OR) mellem læge 1 og 2: OR = p 1/(1 p 1 ) p 2 /(1 p 2 ) = p 1(1 p 2 ) (1 p 1 )p 2 October 2008: Kategoriske data 77

79 P {+, } = p 1 (1 p 2 ) c/n P {, +} = (1 p 1 )p 2 b/n OR = P {+, } /P {, +} = c/n b/n = c b s.e.[ln(or)] = 1 b + 1 c Bruges til at konstruerere konfidensintervaller for OR. October 2008: Kategoriske data 78

80 Eksakte grænser Læge 2 Læge a b a + b c d c + d a + c b + d N Betinget af uenighed [dvs. enten (+, ) eller (, +)] er c binom(c + b, θ) Det giver muligheder for eksakte grænser for θ. October 2008: Kategoriske data 79

81 Differens i antal diskordanser (c b): N(p 1 p 2 ) = (c + b) (θ (1 θ)) p 1 p 2 = c + b (2θ 1) N Forhold mellem antal diskordanser (c/b): OR = p 1(1 p 2 ) (1 p 1 )p 2 = θ 1 θ Eksakte grænser for θ kan umiddelbart oversættes til eksakte grænser for p 1 p 2 hhv. OR. October 2008: Kategoriske data 80

82 Eksempel: Dyrkning af tuberkelbaciller. Spytprøver fra 50 tuberkulosepatienter dyrkes i substrat A hhv. B. En positiv prøve vil sige at man får vækst af tuberkelbaciller: A B Antal ptt Er substraterne lige effektive, dvs. har de samme sporingssandsynlighed? October 2008: Kategoriske data 81

83 Tuberkelbaciller (fortsat) Substrat A + Substrat B October 2008: Kategoriske data 82

84 Sporingssandsynlighed for A: p A = = 64% % c.i.: 0.64 ± = (0.507; 0.773) Sporingssandsynlighed for B: p B = = 44% % c.i.: 0.44 ± = (0.304; 0.576) October 2008: Kategoriske data 83

85 Differens mellem sporingssandsynligheder: p A p B = 20% 95% c.i.: 0.20 ± (2 12)2 50 = (0.064; 0.336) McNemar s test: χ 2 (1) = (2 12) = = 7.14, p = October 2008: Kategoriske data 84

86 McNemar s test med kontinuitets-korrektion: χ 2 (1) = ( ) = = 5.78, p = October 2008: Kategoriske data 85

87 McNemars s test i SAS data g ; input A $ B $ antal ; cards ; ; run ; proc freq data = g ; weight antal ; table A * b / nopercent agree ; run ; Table of A by B A B Frequency October 2008: Kategoriske data 86

88 Row Pct Col Pct + - Total Total Statistics for Table of A by B McNemar s Test Statistic (S) <-- Ingen kontinuitetskorrektion! DF 1 Pr > S Sample Size = 50 October 2008: Kategoriske data 87