EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og"

Transkript

1 EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007

2 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes il a forsimple virkeligheden, derefer regne på den forsimplede virkelighed, og il sids ud fra disse beregninger konkludere noge om virkeligheden på den forsimplede maemaiske baggrund. De beyder, a der skal foreages en del begrænsninger og anagelser, når virkeligheden omsæes il den maemaiske model. denne opgave anvendes maemaisk modellering il a kunne forudsige noge om epidemier og deres udvikling og beingelserne for, a en epidemi i de hele age vil opså. Epidemier er karakerisere ved, a de sarer med a vokse eksponeniel med sørre eller mindre hasighed, hvor analle af smierame vokser med en fordoblingsid. Efer en id når epidemien e maksimum, hvorefer epidemien dør ud igen. De er e mege vigig a vide noge om epidemier, da de er e område, der har kræve og kræver mange menneskeliv på verdens plan. Man kan bare ænke på e hisorisk eksempel som Den ore Død i de 14. århundrede. E nuidig og mege bekymrende eksempel kan være AD-epidemien, som hærger i sore dele af speiel Afrika og Asien. De er dermed ydelig, a epidemier kan have vidrækkende samfundsmæssig beydning, og på den baggrund er de af vial beydning a kunne forudsige noge om epidemiers opsåen og udvikling, og de kan en maemaisk modellering af syseme give os e bud på. PROBLEMFORMULERG dee projek ses der på en maemaisk model for udviklingen af epidemier udvikle af Kermak- Mkendrik i 1927, den såkalde R-model. Der ses på spørgsmålene: Hvordan kan en model for udviklingen af en epidemi se ud? Hvilke paramere syrer dynamikken i en epidemi? Formåle med dee projek er a gennemgå en maemaisk model for en generel epidemi og dens udvikling og derefer a analysere modellen ved flere eksempler. Til sids foreages der en udvikling il en lid anden ype model. 2

3 Den overordnede gennemgang af modellen opdeles i følgende punker - R-modellen og dens paramere gennemgås - Modellens differenialligninger gennemarbejdes - Modellens begrænsninger gennemgås - Modellens anagelser belyses - Modellen analyseres ved hjælp af eksempler og forolkning af disse R-MODELLE R-modellen er en simpel, klassisk model, der har udbredelsen af epidemier som overordne gensandsområde. Vi vil karakerisere R-modellen som en forklarende/deerminisisk epidemisk model, der behandler epidemier af ypen, hvor smien overføres i e møde mellem e smiende og e modagelig individ, og hvor der efer en periode udvikles resisens. Gennem anvendelse af sandsynlighedseori har man opsille en model, som beskriver deerminisiske sammenhænge og alså i prinippe afgiver deerminisiske kausaliesudsagn og deerminisiske prædikioner De samlede anal individer inddeles i re grupper komparmens il brug for den videre model: : ndivider, der er modagelige for sygdommen usepibles : ndivider, der er smiede og smiende nfeed R: ndivider, der er immune eller døde Removals De samlede anal individer,, som indgår i undersøgelsen dvs. en hel befolkning eller blo en risikogruppe, som udgør en afgrænse del af befolkningen, udgøres af de re grupper, hvilke giver følgende: ++R Modellen bygger på, a der sker en bevægelse af individer fra -gruppen henover -gruppen il R- gruppen. Dee forklares med, a der i konaken mellem en infiere og en modagelig kan ske overførsel af smie, hvorved e individ overgår fra -gruppen il -gruppen. Tilsvarende vil der fra -gruppen ske en bevægelse af individer il R gruppen pga. udvikling af immunie eller død. Modellen kan beskrives som en komparmenmodel med følgende udsende: 3

4 R Vi skal nu på en eller anden måde modellere bevægelsen fra il og fra il R. Bevægelsen fra il afhænger af både og, ide de virker logisk, a analle af nylig infierede besemmes af, hvor mange der kan smies, og hvor mange der er smie i hver fald hvis smien sker fra person il person. E møde, som foregår mellem en smie person og en modagelig person, og som fører il, a den modagelige person bliver smie, kalder vi e effekiv møde. Analle af effekive møder en person forager pr. idsenhed kalder vi konakraen. Konakraen afhænger derfor af mange adfærdsmæssige og biologiske fakorer. denne rappor ager definiionen af si udgangspunk i, a alle medlemmer af befolkningsgruppen har lige haner for a møde alle andre medlemmer af befolkningsgruppen. En modagelig person foreager i idsrumme konaker. Hvis er de samlede befolkningsal, vil brøkdelen / være konaker med smiede personer. / beegner sandsynligheden for på e given idspunk, a en ilfældig person er smiende. Da der er personer, som kan udføre en given konak, er sammenhænge mellem flowe af personer fra il : hvor beegner infekionsraen. nfekionsraen er e udryk for, hvor smisom en sygdom er. Des mere smisom en sygdom er, jo sørre bliver. De vil sige, a udrykker sandsynligheden for, a e infierende individ infierer e modagelig individ inden for e given idsrum. sede for infekionsraen kan man i sede, formulere sig ved brug af infekionssyrken også kalde smieraen. mieraen er give ved udrykke Λ er den rae, hvormed modagelige individer bliver smie, og er alså den komponen, der syrer flowe fra il. Bevægelsen fra il R, alså hvor mange af de smiede der bliver resisene eller dør, afhænger kun af, hvor mange der er syge, og ikke hvor mange der allerede er resisene eller døde. Bevægelsen fra il R kan beskrives som, a en besem andel proendel af de smiede bliver raske i løbe af 4

5 5 en idsenhed. Andelen af smiede der bliver raske i løbe af en idsenhed, kaldes removalrae og beegnes med symbole. Dermed kan vi beskrive overgangssrømmen fra il R som værende lig. Den samlede R model kommer skemaisk il a se således ud: og modellens ligninger, der beskriver, og R il de eferfølgende idsskrid som værende funkioner af de nuværende idsskrid og ændringen i de givne grupper i løbe af idsskride : R R Med lid omskrivninger er differensligningerne: R R Lader vi nu idsskride gå mod nul, alså 0, får vi differenialkvoienerne il, og R og dermed følgende diffenialligningssysem: ' R Vi har kun brug for o af dem, ide vi ved a summen af de re grupper alid er, alså + + R og dermed a + + R 0. R

6 MODELLE ATAGELER Før vi ser nærmere på selve modellen, vil vi se lid på de anagelser, der er gjor i forbindelse med R-modellen. Opbygningen af R-modellen giver ikke mulighed for igen a mise sin resisens hvilke sker for nogle sygdomme, der f.eks. skyldes bakerieinfekioner, man kan alså ikke vende ilbage il -gruppen. De reserende anagelser omhandler ypisk bevægelser mellem grupperne, og R, som ikke alle har være eksplii formulerede. forbindelse med nogle af anagelserne, vil der desuden blive give eksempler på hvor disse anagelser er eller kan være problemaiske. A. Grupperne er homogen blandede. De er klar, a sandsynligheden for konak mellem o individer fra forskellige grupper afhænger af fordelingen af gruppernes individer. Hvis konenraionen af -individer er sor, vil e enkel - individ have sørre hane for a møde e -individ, end hvis konenraionen er lille. Er grupperne derimod homogen fordel, og individerne møder hinanden ilfældig og alså har lige sor hane for a mødes, da vil infekionsraen være ensare. Er der ale om sygdomme, der ofes rammer beseme befolkningsgrupper, kan denne anagelse være problemaisk E eksempel kunne være, a visse kønssygdomme er overrepræsenere bland bøsser. B. nfekionsrae og removalrae er konsane med hensyn il iden. Afhængig af sygdomsypen kan smiefarligheden ændres med iden. Hvis sygdommen f.eks. som udgangspunk er forårsage af en bakerie, kan bakerien med iden blive mere aggressiv som følge af ilpasning il de nye livsbeingelser e eksempel er malariamyggens udvikling af resisens mod beseme insekiider. Dee vil beyde, a den relaive removalraen øges, og begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, ilsvarende falder. De er naurligvis af alafgørende beydning, a man kender il muligheden for ændringer i disse kriiske paramere. C. De smiede individer bliver sraks smiende. virkeligheden er der en laensid, hvor de smiede individer går over il også a blive smiende, og afhængig af denne laensid sørrelse, kan anagelsen resulere i en overvurdering af, hvor fremskrede sygdommen vil være il e give idspunk. De vil dog kun have begrænse beydning, 6

7 ide der så vil gå ilsvarende længere id, før e -individ flyes il R-gruppen og ikke længere udgør en risiko. Dermed vil effeken i -enden udlignes af effeken i R-enden. D. ygdommen smier direke fra person il person. Denne anagelse kan diskueres, ide modellen ikke definerer elemenerne i, og R-grupperne. prinippe kunne der således være smiefarlige dyr blande ind i grupperne af mennesker, men i realieen vil de være umulig med ilsrækkelig sor nøjagighed a sæe give e skøn på analle af individer i de enkele grupper. Anagelsen beyder, a modellen ikke ager højde for smie, der spredes fra dyr il mennesker, hvilke ofe vil være ilfælde f.eks. Fugleinfluenza, hvor smievejen oprindelig kun var gennem fugle, senere andre dyr, der er herunder nu også sjældne eksempler på smie gennem mennesker. E. Alle personer er lige modagelige for sygdommen. Risikoen for smie afhænger naurligvis bl.a. af immunforsvare og af den menneskelige adfærd. Man kan derfor ikke regne med en fas infekionsrae hel uafhængig af de enkele møde mellem e smiende og e modagende individ. Man kan dog bruge en gennemsnilig infekionsrae for beregningerne af sygdomsudviklingen i den samlede befolkning, og de er i realieen også sådan modellen anvendes. F. Analle af modagelige er konsan. er vi på epidemiologiske undersøgelser og beregninger, der srækker sig over generaioner, kan analle af individer i risikogruppen ændre sig, hvilke vil have beydning for de endelige billede af sygdomsudviklingen. F.eks. er fødselsraen falde markan bl.a. i de veslige lande og i Japan, men dee modsvares delvis af en forøge leveid. Befolkningen vil i lande, hvor de samlede anal individer redueres og de er jo fakisk de, vi ser mange seder i Europa være mindre sårbar for smie end modellen anager. Dee fakum skal man naurligvis age højde for, når man laver fremidsprognoser. 7

8 MODELLE OPFØREL Hvordan ændrer de forskellige gruppers sørrelse sig med iden, og hvilken beydning har de forskellige indgående paramere, og begyndelsesbeingelserne 0, 0, R0. For a få en ide heril vil vi se på en række eksempler. Vi vil berage en række ilfælde, hvor vi ved a ændre på nogle af paramerene vil se, om og i så fald hvordan epidemier ifølge modellen vil udvikle sig. de førse seks eksempler, vil vi lade infekionsraen og removalraen v være konsane, og vi sæer 0,0003 og v 0,55. Vi vil i alle eksemplerne lade R0 0, alså a der ikke er nogle resisene il a begynde med. de førse eksempel vil vi lade , Dee førse eksempel vil vi berage som vores sandardeksempel, dvs. i forhold il hvilke vi vil sammenligne ved juseringen af de o paramere 0 og 0. R modellen, eksempel 1 På Figur 1 kan forløbe af, og R følges, når og Hvis vi skal se på de som e virkelig eksempel, er der il saridspunke ale om en populaion besående af 3550 individer, hvoraf de 50 er infierede. De ses, a analle af infierede individer hurig siger fra de 50 il e anal på a. 500 ved 7,5. Derefer falder analle af individer, der er modagelige overfor sygdommen krafig, ide analle af individer, der er resisene eller døde, er sege. Analle af infierede individer falder herefer igen og går mod nul, hvilke beyder, a epidemien udryddes. Hvis vi udelukkende berager R som analle af døde individer, vil alså en sor del af befolkningen blive udrydde a individer, mens analle af modagelige vil være afagende og sabilisere sig på a. 725 individer. 8

9 Figur 1: llusraion af eksempel 1. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 2 dee eksempel lader vi populaionen være 3600 individer, hvoraf 100 er smiede/smiende og ingen er resisene. Dvs. vi har 3600, 0 100, R0 0, og alså nfekionsraen, /, er sadig 0,0003, mens removalraen,, er fashold på 0,55. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 2. 9

10 Figur 2: llusraion af eksempel 2. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 3600, / 0,0003 og 0,55. På figuren ser vi a er afagende gennem hele inervalle og sabiliserer sig ved a. 750 individer, mens R er sigende i hele inervalle og sabiliserer sig ved a individer. Udviklingen af infierede siger fra 0 il 6,5, så modellen viser, a der er en epidemi. Efer 6,5 hvor analle af infierede individer var nåe op på knap 600, er afagende i resen af inervalle og nærmer sig langsom 0. 10

11 R modellen, eksempel 3 Vi lader nu analle af modagelige individer il iden 0 være de dobbele af analle i de førse eksempel, dvs sæes igen il 50. u er alså en beydelig mindre andel af befolkningen infierede il iden 0. Forløbe af grafen viser imidlerid e noge mere drasisk forløb end i de o foregående eksempler. Udviklingen af infierede siger endnu hurigere end før og når e maksimum på a. 2750, hvorefer den falder igen. Analle af resisene siger ilsvarende krafig, og vil med iden udgøre lang hovedparen af den samlede befolkning, og ilsvarende af modagelige falde og sabilisere sig på a. 200 individer. Der er alså i dee ilfælde ale om nærmes en oal populaionsudryddelse hvis vi alså berager R som analle af døde. år 0 er mege sor i forhold il den relaive removalrae, og 0 udgør en mindre del af den samlede populaion fås alså en re drasisk udvikling af epidemien. Figur 3: llusraion af eksempel 3. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 7050, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 4 Lad igen men lad De reserende paramere er som i eksempel 1. Figuren vises nogenlunde de samme som eksempel 3. De ses alså igen, a de ikke har sore beydning, om en lid sørre del af befolkningen er smie fra saren. 11

12 Figur 4: llusraion af eksempel 4. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 7100, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 5 forhold il de førse eksempel, vil vi nu halvere analle af modagelige individer, så De ses a er svag afagende i hele forløbe, så der er alså ikke ale om en epidemi. R er sigende, mens er afagende, men i dee ilfælde krydser de ikke hinanden. De vil sige a analle af modagelige forbliver beydelig sørre a.1450 individer end analle af resisene eller døde a.350 individer. 12

13 Figur 5: llusraion af eksempel 5. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 1800, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 6 Vi berager nu ilfælde , 0 100, R0 0 og alså Removalraen,, sæes vi il 0,55, mens vi har besem os for en infekionsraen, /, sæes il 0,0003. Alså er den enese forskel il eksempel 2 a 0 er bleve halvere. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 6. 13

14 Figur 6: llusraion af eksempel 6. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 1850, / 0,0003 og 0,55. er som i eksempel 2 afagende gennem hele inervalle, mens R er sigende gennem hele inervalle. Analle af modagelige individer sabiliserer sig med iden ved a. 1300, mens analle af resisene/døde med iden sabiliserer sig ved a. 550 individer. dee ilfælde ser vi, a analle af smiede/smiende,, falder gennem hele inervalle. Der er alså i dee ilfælde ikke ale om en epidemi. går dog som i de idligere eksempler mod 0 med iden. de sidse o eksempler vil vi se hvad der sker, når vi juserer på værdierne for infekionsraen og removalraen v. R modellen, eksempel 7 Lad som i de førse eksempel og Vi sæer nu infekionsraen il 0 og removalraen il v1. Figuren viser nu hvilke også gerne skulle være ilfælde a analle af modagelige ikke ændrer sig forbliver på 3500 individer, og a de infierede hurig bliver 14

15 resisene. år infekionsraen er 0, kan der naurligvis ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af modagelige over i gruppen af infierede. Figur 7: llusraion af eksempel 7. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 0 og 1. R modellen, eksempel 8 Vi sæer og nfekionsraen sæes nu il 1og removalraen il v 0. Da v 0 vil der selvfølgelig ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af infierede over i gruppen af resisene. Grafen viser derfor også, a analle af resisene forbliver konsan på 0. amidig ser vi, a alle fra gruppen af modagelige individer på mege kor id blive infiere. Dvs. falder hurig og sabiliserer sig på 0, mens ilsvarende siger og sabiliseres på

16 Figur 8: llusraion af eksempel 8. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 1 og 0. de ovennævne eksempler, har vi forsøg a illusrere, hvorledes paramerene, og R påvirker hinanden. Vi bemærkede, a når /,, 0 og R0 blev hold konsan, udviklede de re paramere, og R sig mege forskellig afhængig af sørrelsen af 0. om vi har kunne se ud fra eksemplerne, yder de på, a er en afagende funkion, mens R er en voksende funkion. Dee kan forklares ud fra differenialligningerne, hvorom der gælder, a når,, / og er posiive: ' R' ' < 0 R' > 0 Men a de forholder sig således, er dog ikke speiel underlig, ide modellen er konsruere, så der kun kan flyes individer ud af -gruppen, mens der kun kan flyes individer ind i R-gruppen. Hvilken værdi, de o funkioner konvergerer mod, er lid sværere a besemme. Vi eller man har ikke kunne løse differenialligningssyseme, men har kun kunne finde sammenhængene: 16

17 + ln ln 0 0 exp R R0 > 0 Opskrivningen af er, som vi kan se af ovensående eksempler, noge kompliere, men man kan med sikkerhed sige, a med iden vil gå med nul, ide alle infierede vil blive resisene med iden forudsa a > 0. vores ovensående eksempler er der ale om en epidemi, hvis eller 7000, men ikke hvis ilfældene, hvor der ikke er ale om epidemier, er en afagende funkion i hele inervalle, mens har e maksimum hvis der er ale om en epidemi. Vi er heldigvis i sand il a afgøre om givne beingelser vil føre il en epidemi, hvilke vi vil se på i de følgende. Beingelser for opsåen af en epidemi En væsenlig begrundelse for a udvikle modeller er neop a skabe viden, der i sin opimale anvendelse hindrer udviklingen af en epidemi. A vi således kan handle i ide, hvis vi ser, a beingelserne for udviklingen af en epidemi er il sede. Modellen skal, om man så må sige, bibringe os en indsigsfuld handleparahed. Hvis vi skal udale os om de i virkeligheden re komplierede proesser, som er involvere i sygdomsspredning, må vi i førse omgang se nærmere på differenialligningerne: De følger af ligningen for ilvæksen i individanalle i gruppen, a > 0 hvis sygdommen er i udvikling. De vil sige > 0 og alså >, hvor udryk for den relaive removalrae, som er forholde mellem removalrae og infekionsraen. Disse resulaer giver os nem den vigige ærskelsæning: er e Tærskelsæningen: Der opsår en epidemi, hvis begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, oversiger den relaive removalrae. 0 0 > T > 1 17

18 hvor T er den såkalde reprodukionsrae. Denne vigige parameer udrykker, hvor mange individer, den infierende når a smie, inden vedkommende selv bliver resisen og således ikke længere er smiefarlig, under anagelse af a alle i befolkningen er modagelige. Hvis man kender sygdommens infekionsrae og removalrae, giver modellen alså e direke anvendelig udryk for, om en given befolknings gruppe vil udvikle en epidemi, med mindre der sæes relevane ilag i værk. Med relevane ilag menes handlinger, der har il hensig a begrænse smiespredning, dvs. isolaion af infierende individer, sygdomsbehandling, syrkelse af immunforsvare hos risikogrupper o. lign. Af udrykke ses de også, a jo sørre en befolkning er, deso mere sårbar er den for epidemier. De kan forklares med, a smiespredningen er sørre i en sor befolkning end i en lille, fordi sandsynligheden for konak mellem e infierende og e modagelig individ øges med befolkningsalle. De giver alså mening, a isolere grupper af befolkningen og dermed undgå eller begrænse konaken mellem individerne. Dee kan naurligvis være yders problemaisk i områder af verden, hvor de soiale og saniære forhold er kaasrofale, og hvor mennesker og dyr lever mellem hinanden uden ag over hovede. Udrykke viser desuden, a hvis man reduerer infekionsraen og/eller øger removalrae der i modellen anages a være konsane, så mindskes risikoen for a en given befolkning overskrider ærsklen for epidemiens udvikling. Tærskelværdien er e begreb, der både indeholder informaion om sygdommens spredningsevne, men også om befolkningens sygdomshisorie. En forenkling af ærskelsæningen, hvor man anager a hele befolkningen er modagelige ved epidemiens sar, alså a 0, R0 0 og 0 <<, giver følgende udryk for smisomheden: > 1. De er e udryk, der kun indeholder oplysninger om konakraen og removalraen. Epidemiens forløb om sag, er en noge kompliere funkion, der opfører sig forskellig under forskellige beingelser, dog alid il slu gående mod 0. Dee afsni prøver vi yderligere a beskrive. ogle gange er en afagende funkion i hele idsinervalle, men de er hvis der ikke opsår en epidemi, 18

19 alså hvis 0 er mindre end ærskelfrekvensen. De beyder a er en afagende funkion hvis 0 <. Hvis derimod 0 >, alså 0 er sørre end ærskelfrekvensen vil der opså en epidemi. vil i dee ilfælde sige il en maksimumværdi, hvorefer den vil være afagende. Denne maksimumværdi for vil indræde il de idspunk, hvor en epidemi ikke længere er il sede., dvs. når beingelserne for Formen på, speiel nær endepunkerne, kan i ilfælde af en epidemi yderligere beskrives på følgende måde. Vi må forvene, a er en konsan for < 0. Da vi også ved, a / og er konsane, kan vi alså i ligningen berage som en konsan k 1. Dermed har vi alså, a k1. Denne simple differenialligning har som bekend løsningen eksponeniel i saren af en epidemi. Omvend vil de i sluningen af en epidemi gælde, a dee ilfælde vil vi få en ny konsan: 1 k 1 e. De vil sige, a vil sige < og går mod en konsan. k2. Denne konsan vil være negaiv, ide k 2 < 0 og vi vil derfor få en eksponeniel afagende funkion 2 k 2 e. Dee vil alså beyde, a analle af infierede og infierende individer vil afage eksponeniel i sluningen af en epidemi. Vainaion De anagelser, der blev gjor under gennemgangen af R-modellen gælder sadig her. Vi vil undersøge, hvordan epidemimodellen ser ud, når vi anager, a en vis proendel af individerne er 19

20 vainere mod sygdommen, som de er ilfælde for børnesygdomme som for eksempel mæslinger, fåresyge og røde hunde MFR-vainen. Vi anager a en brøkdel, p, af individerne vaineres før sygdommen bryder ud. R-modellen kan anvendes med de samme anagelser som i de foregående, men med nye begyndelsesbeingelser. åledes er begyndelsesværdien af anal modagelige individer 0 1-p 0. Anal infierede og infierende individer er ved sygdommens sar sadig 0 0. Analle af immune individer er R 0 R 0 + p 0 ved saren af den mulige epidemi. Bemærk a de oale anal individer sadig er, ide R 0 1-p R 0 + p 0. Tærskelværdien, der som nævn, udrykker hvor mange individer, der smies af den infierende, inden vedkommende bliver resisen, er med de nye begyndelsesværdier give ved: 1 p 0 T. Denne værdi er dermed reduere med en fakor 1 p i forhold il ærskelværdien for Rmodellen uden vainaion. Da de infierede individer, dermed smier færre individer, før de bliver resisene, er vainaion, som forvene, e god ilag mod udviklingen af en epidemi. Med hensyn il den omsride MFR-vaine, er vurderingen fra aens erum nsiu da også, a vainen har virke posiiv på folkesundheden. iden 2003 er der ikke konsaere nogen ilfælde af mæslinger, og siden samme år er der heller ikke regisrere nogen ilfælde af røde hunde bland gravide og nyføde. KOKLUO opgaven har vi berage R-modellen og opsille en række eksempler il a illusrere sammenhængen mellem de indgående paramere. Der er gjor en række anagelser for a kunne opnå en relaiv simpel maemaisk model il beskrivelse af en epidemis udvikling. En række af disse anagelser vil naurligvis ikke være opfyld i de flese virkelig forekommende populaioner, og modellen er dermed a berage som en forsimpling af virkeligheden. De a opsille modeller for fænomener, hvor komplierede forhold som f.eks. menneskers adfærd spiller ind, må vi berage som yders vanskelig. En adækva maemaisk beskrivelse af epidemiers udvikling vil nok aldrig 20

21 hel kunne lade sig gøre. kke deso mindre mener vi, a modellen giver en udmærke forsåelse af hvilke fakorer, der spiller ind i forhold il udviklingen af en epidemi. Vi har alså funde, a er en afagende funkion, der med iden sabiliseres, og med iden går mod en konsan værdi k. R er omvend en ilagende funkion, der med iden sabiliseres og med iden går mod en anden funkion give ved -k., der beskriver forløbe af smiende/smiede, vil med iden gå mod 0. Hvis 0 er mindre end eller lig den relaive removalrae, vil være afagende i hele inervalle, og der opsår ingen epidemi. Hvis omvend 0 er sørre end den relaive removalrae, vil førs vokse, indil er lig den relaive removalrae, hvorefer den igen vil være afagende. de sidse ilfælde er der alså ale om en epidemi. vil i dee ilfælde i begyndelsen vokse ekspoeniel og il sids afage ekspoeniel. 21

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark SAM B Samarbejde om borger/paienforløb Samarbejdsafale mellem kommuner og region om borger/paienforløb i Region Syddanmark Forord il medarbejderen 2 3 Denne pjece indeholder en kor version af den regionale

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg

Udarbejdet af gr. 542 Aalborg Universitet, AAUE 2002 Det teknisk-naturvidenskabelige falkultet Institut 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Udarbejde af gr. 542 Aalborg Universie, AAUE 2002 De eknisk-naurvidenskabelige falkule Insiu 7 Niels Bohrs Vej 8 6700 Esbjerg Tielblad Tiel: Klimacompuer il vækshus Tema: Appara- og/eller sysemkonsrukion

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til myndighedspersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til myndighedspersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail:

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). 7.4.07 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER

GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Geodæisk Insiu før og efer GIER GEODÆTISK INSTITUT FØR OG EFTER GIER Sasgeodæ, dr. scien. Knud Poder 1 Beregningsopgave med konsekvenser 1.1 Opgaven I 1953 fik Geodæisk Insius afdeling GA1 en sørre beregningsopgave,

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003 Insiu for Finansiering Vejleder: Carsen Tanggaard Kandidaafhandling Forfaer: Sudienummer: 243060 Teoreisk og empirisk markedskvaliesanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 il augus 2003

Læs mere

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik

Dansk Byggeri rejser useriøs kritik B A T k a r e l l e BAT Nr. 5 sepember 2007 Den 29. juni besluede forligsparierne a revidere Øsafalen. Revisionen kom i sand efer god en måneds forhandlinger mellem Beskæfigelsesminiserie, Dansk Arbejdsgiverforening

Læs mere

Grønne regnskaber 2013

Grønne regnskaber 2013 Grønne regnskaber 2013 Grøn og dynamisk med respek for dig! 1 Udgiver: Miljø- og Energiforvalningen Aalborg Forsyning, Renovaion Over Bækken 2 9000 Aalborg Udgivelse: April 2014 Sagsnr.: 2013-50948 Dok.

Læs mere

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1

fermacell Brandbeskyttelse Ekstraordinær brandbeskyttelse med fermacell Aestuver og fermacell Firepanel A1 fermacell Brandbeskyelse Eksraordinær brandbeskyelse med fermacell esuver og fermacell Firepanel 1 2 Brandbeskyelse af bjælker og søjler med fermacell esuver Pladens opbygning Fermacell esuver pladen er

Læs mere

Bilag 1 Kravspecifikation

Bilag 1 Kravspecifikation Bilag 1 specifikaion Indholdsforegnelse 1. Indledning 1 1.1 Baggrund 1 1.2 Formål 1.3 Overordnede rammer for syseme 2 3 1.4 Definiioner og forkorelser 4 1.5 Besvarelse af krav 4 2. 2.1 Funkionelle krav

Læs mere

Kirkeligt Teater. Underholdende

Kirkeligt Teater. Underholdende Kirkelig Teaer For børn og familier, minikonfirmander, konfirmander, unge og voksne»de er Kirkeeaeres oplevelse, a når børn og unge morer sig under forkyndelsen, husker de mege bedre den bibelske forælling«foredrag

Læs mere

DEPARTMENT OF MANAGEMENT

DEPARTMENT OF MANAGEMENT DEPARTMENT OF MANAGEMENT AFDELING FOR VIRKSOMHEDSLEDELSE Workng Paper 2003-6 Danske selskaber udbealer udbyer som aldrg før Mee Rosborg Aagard Johannes Raaballe UNIVERSITY OF AARHUS DENMARK ISSN 1398-6228

Læs mere

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040

Teknisk baggrundsnotat om de finanspolitiske udfordringer frem mod 2040 Grønlands Økonomiske Råd, okober 21 Teknisk baggrundsnoa om de finanspoliiske udfordringer frem mod 24 Indhold Del I: Model og meode...3 1. Finansindikaoren...3 1.1. Den offenlige ineremporale budgeresrikion

Læs mere

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner

Magtanvendelse i forhold til personer med betydelig og varigt nedsat psykisk funktionsevne. Til fagpersoner Maganvendelse i forhold il personer med beydelig og varig nedsa psykisk funkionsevne Til fagpersoner Publikaionen er udgive af Socialsyrelsen Edisonsvej 18, 1. 5000 Odense C Tlf.: 72 42 37 00 E-mail: socialsyrelsen@socialsyrelsen.dk

Læs mere

Byg en mur rundt om din pc

Byg en mur rundt om din pc BESKYT PC EN MOD ANGREB FRA INTERNETTET: Byg en ur rund o din pc Ny progra på cd en Med en firewall på copuen har du en effekiv ur od kriinelle fra innee. Freov vil du finde firewallen ZoneAlar på cd en,

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen

SKRÆPPEBLADET. september 2005. Nr.07. Tovtrækning ved sommerfesten i Hasselhøj/Hasselengen SKRÆPPEBLADET sepember 2005 Tovrækning ved sommerfesen i Hasselhøj/Hasselengen Nr.07 ISSN 0906-267X Gudrunsvej 2, kld., 8220 Brabrand Tlf. 86 25 26 99. E-pos: skraeppen@mail1. sofane.dk Hjemmeside: www.skraeppeblade.dk

Læs mere

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren

Byg med Weber. Leca letklinker på toppen af Nyborg Lige i skabet Weber App en - få svar her og nu Mørtelvælgeren Facade og mur Nyheder Gulve Leca Flisv Anvendelsesip Produker Find forhandler Konak Min konakperson Farveværkøj Projeker Videoer Forsiden Projeker Nyheder Om Weber Leca leklinker på oppen af Nyborg Lige

Læs mere

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11.

DFG/TFG 660-690 DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90. Driftsanvisning 12.12 - 11. DFG/TFG 660-690 12.12 - Drifsanvisning 51289397 11.14 K DFG 660 DFG 670 DFG 680 DFG 690 DFG S80 DFG S90 TFG 660 TFG 670 TFG 680 TFG 690 TFG S80 TFG S90 Overenssemmelseserklæring Jungheinrich AG, Am Sadrand

Læs mere

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark

Udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Trinity for almen praksis i Region Syddanmark Program il Udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 2. maj 2014 på Triniy for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 2.5.2014 KEU syd Praksisdag Syd 2. maj 2014 Målgruppen for Praksisdag

Læs mere

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark

Invitation til udviklings- og efteruddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Trinity - for almen praksis i Region Syddanmark Inviaion il udviklings- og eferuddannelsesdag fredag den 23. maj 2008 på Triniy - for almen praksis i Region Syddanmark Praksisdag Syd 23.5.2008 Praksisdag Syd 23. maj 2008 Målgruppen for Praksisdag Syd

Læs mere

Forbruger- og nettoprisindekset. Dokumentation

Forbruger- og nettoprisindekset. Dokumentation Forbruger- og neoprsndekse Dokumenaon Forbruger- og neoprsndekse Dokumenaon Udgve af Danmarks Sask December 24 Oplag: 2 Danmarks Sasks rykker, København ISBN 87-51-1442-5 Prs: 193, kr. nkl. 25% moms Adresse

Læs mere

Matematisk modellering af mæslinger

Matematisk modellering af mæslinger Matematisk modellering af mæslinger En undersøgelse af vaccinations indvirkning på sygdommens dynamik Christoffer Dalgaard Lasse Sønderskov Hansen Natasja Nielsen Rasmus Kristoffer Pedersen Jeanette Rasmussen

Læs mere

Professionel erhvervsudlejning

Professionel erhvervsudlejning Den grønne vej il sor bundlinie Læs side 30 ESTATE MAGASIN Magasin om byggeri, ejendom og invesering udgives i samarbejde med Byggesocieee Nr. 08 2013 6. årgang Konor, lager & forrening? - Lejerne finder

Læs mere

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde

Læs mere

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website

Praksisorienteret forskningsformidling via et offentligt website Praksisorienere forskningsformidling via e offenlig wesie Refleksioner over meoder anvend i forindelse med rekonsrukion af wesie for By og Byg (Saens Byggeforskningsinsiu) Jesper Kirkeskov Maserafhandling

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Arbejdslivet til søs er godt men der er stadig udfordringer

Arbejdslivet til søs er godt men der er stadig udfordringer Nr. 3 augus 2009 ISSN 1395-7414 Udgive af Søfarens Arbejdsmiljøråd Life a sea is good The well-being of seamen on Danish ships is generally good, whaever heir naionaliy. Even beer han he rumours relae

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kundens omkostninger i danske pensionsordninger - Opbygning og sammenligning af ÅOP-nøgletal

Kundens omkostninger i danske pensionsordninger - Opbygning og sammenligning af ÅOP-nøgletal Cand.merc.fr-sude anddaafhandlng undens omkosnnger danske pensonsordnnger - Opbygnng sammenlgnng af ÅOP-nøgleal Cusomer cos n Dansh pensons - Consrucon and comparson of cos raos uderende: Peer Nørholm

Læs mere

Kommunikation der samler virksomheden

Kommunikation der samler virksomheden IPVis Connec Asger Andersen info@ipvis.dk Kommunika der samler virksomheden +45 8888 7777 765 Kalender 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 Salg Magnus Knudsen Nicklas Kaspersen Oscar Chrisoffersen Anne Peersen

Læs mere

Elevatorlifte Platformslifte Trappelifte. Botved lifte - det handler alt sammen om tilgængelighed...

Elevatorlifte Platformslifte Trappelifte. Botved lifte - det handler alt sammen om tilgængelighed... Elevaorlife Plaformslife Trappelife Boved life - de handler al sammen om ilgængelighed... Elevaorlife Plaformslife Trappelife Op og ned uden sore armbevægelser... A insallere en elevaor i en eksiserende

Læs mere

BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENTRAL FLERE ALARMER I DRIFT TIL- KOBLING FRA- KOBLING OBS!

BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENTRAL FLERE ALARMER I DRIFT TIL- KOBLING FRA- KOBLING OBS! ESMI A/S - tlf.: +45 60 18 37 18, - www.esmi.dk BRUGERMANUAL FOR ESA BRANDALARMCENRAL FORVARSLING SLUKNINGSANLÆG AKIVERE RØGVENILAION AKIVERE AKIVERE ALARMSENDER AKIVERE ILBAGESILLING MISLYKKE IL / FRA

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

De 8 Sikkerhedsled vejen til en. God sikkerhedskultur. Søfartens Arbejdsmiljøråd. At regular intervals in. The 8 Safety Links

De 8 Sikkerhedsled vejen til en. God sikkerhedskultur. Søfartens Arbejdsmiljøråd. At regular intervals in. The 8 Safety Links Nr. 2 juli 2009 ISSN 1395-7414 udgive af søfarens Arbejdsmiljøråd The 8 Safey Links A regular inervals in recen years, Seahealh Denmark has been asked abou how o creae a good corporae safey culure and

Læs mere

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt.

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt. SANDARDBEINGELSER 1 GENERELLE BESEMMELSER 11 Disse beingelse nendes i lle fohold imellem Kunden og X, mminde nde e skiflig fl 12 Fo indgå fle m X skl undeskieen/ undeskiene fo Kunden æe egningsbeeige De

Læs mere

Dynamiske Rentemodeller

Dynamiske Rentemodeller Dynamiske Renemodelle BD & ande én-fako modelle Noa il Invesmens Ovesig Behove fo dynamiske modelle. Klassiske dynamiske modelle og foskellige specifikaione. De klassiske modelles mangle. Ny indsig og

Læs mere

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning.

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning. Oversig [S] 4.5, 5. Nøgleord og begreber Ubeseme udryk l Hospils regel l Hospils regel 2 Tes l Hospils regel Uegenlige inegrler Tes uegenlige inegrler Uegenlige inegrler 2 Tes uegenlige inegrler Smmenligning

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Underøgele af forældre brugerhed med dagilbud i kommun Apr. 2012 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommun, om de pørgmål, der

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

En syg historie om en rask dreng

En syg historie om en rask dreng Asle er en bomstærk dreng, der aldrig er syg. Han tør binde en bjørn til et træ eller tæmme en elefant, hvis det skal være! Der er kun én ting, som Asle er bange for... Og det er kanyler og læger i hvide

Læs mere

BRUGERMANUAL FOR ESA1 BRANDALARMCENTRAL TILBAGESTILLING MENU FRAKOBLING TEST. Betjening: Isæt nøgle - drej til højre.

BRUGERMANUAL FOR ESA1 BRANDALARMCENTRAL TILBAGESTILLING MENU FRAKOBLING TEST. Betjening: Isæt nøgle - drej til højre. ESMI A/S - lf: +45 60 18 37 18, - www.esmi.dk EN 54-2 I DRIF ESA 1 BRUGERMANUAL FOR ESA1 BRANDALARMCENRAL BRAND FORVARSLING SLUKNINGANLÆG AKIVERE RØGVENILAION AKIVERE AKIVERE ALARMSENDER AKIVERE ILBAGESILLING

Læs mere

SVT Sydnytt & Tv2/Lorry

SVT Sydnytt & Tv2/Lorry SVT Sydnytt & Tv2/Lorry Integration i Øresund Gennemført i August/september 2004 Udarbejdet af Pernille Bjørnholt Cand. scient. soc. JYSK ANALYSEINSTITUT A/S Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Formål

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Hvordan værdiansættes unoterede virksomheder i praksis?*

Hvordan værdiansættes unoterede virksomheder i praksis?* Hvordan værdiansæes unoede virksomhed i praksis?* Af Chrisian Pesen, Thomas Plenborg og Finn Schøl Resumé Værdiansæelse af unoede virksomhed giv anledning il en række særlige problemsilling (eksempelvis

Læs mere

OPQ Profil OPQ. Lær mere. Navn Sample Candidate. Dato 1. oktober 2013. www.ceb.shl.com

OPQ Profil OPQ. Lær mere. Navn Sample Candidate. Dato 1. oktober 2013. www.ceb.shl.com OPQ Profil OPQ Lær mere Navn Sample Candidate Dato 1. oktober 2013 www.ceb.shl.com Introduktion En opmærksomhed på individuel læring er i stigende grad afgørende for udviklingen af de menneskelige ressourcer,

Læs mere

INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET. Ondt i nakken...

INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET. Ondt i nakken... INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET Ondt i nakken... Det er meget almindeligt at have ondt i nakken... Nakkesmerter skal behandles aktivt Det er meget almindeligt at have ondt i nakken, og det kan give meget

Læs mere

SkanKomp Værdiskabende projekt eller tidsrøver? Dagligdagens balancekunst??

SkanKomp Værdiskabende projekt eller tidsrøver? Dagligdagens balancekunst?? SkanKomp Vædiskabende pojek elle idsøve? Dagligdagens balancekuns?? 02-02-2012 1 Pogam Check in il wokshoppen Opvamning Fomål med wokshoppen Henik - SkanKomp vædiskabe elle idsøve fo Kususcenee? Hvodan

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Systemer og forståelse. Kæden er ikke stærkere end det svageste led

Systemer og forståelse. Kæden er ikke stærkere end det svageste led Systemer og forståelse Kæden er ikke stærkere end det svageste led Kæden er ikke stærkere end det svageste led Denne påstand gælder i mange forbindelser og kan let anvendes i tre meget forskellige forhold

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Hvis hunden tigger om opmærksomhed

Hvis hunden tigger om opmærksomhed Hvis hunden tigger om opmærksomhed 1 Daglig kontakt og samvær med din hund er nødvendigt, for at hunden trives, men hvis hunden fi nder ud af, at den kan få din opmærksomhed ved at opføre sig på en bestemt

Læs mere

Yderligere teknisk data Brændestilling. Spænding Lampespænding Lyskilde Lyskilde finish

Yderligere teknisk data Brændestilling. Spænding Lampespænding Lyskilde Lyskilde finish Produk Kompake udladningslamper med høj lysudbye Fordele Høj lysudbye begrænser analle af påkræe belysningsarmaurer, hvilke både minimerer anskaffelsesog drifsudgiferne Den gode farvegengivelse skaber

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

ECB, troværdighed og gældskriser. Henrik Jensen

ECB, troværdighed og gældskriser. Henrik Jensen ECB, troværdighed og gældskriser Foredrag for Akademiet for Talentfulde Unge 21. marts, 2013, Københavns Universitet Henrik Jensen Web: hjeconomics.dk Blog (engelsk): blog.hjeconomics.dk Blog (dansk):

Læs mere

Ejendomsværdibeskatning i Danmark

Ejendomsværdibeskatning i Danmark DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou

Læs mere