EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og"

Transkript

1 EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007

2 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes il a forsimple virkeligheden, derefer regne på den forsimplede virkelighed, og il sids ud fra disse beregninger konkludere noge om virkeligheden på den forsimplede maemaiske baggrund. De beyder, a der skal foreages en del begrænsninger og anagelser, når virkeligheden omsæes il den maemaiske model. denne opgave anvendes maemaisk modellering il a kunne forudsige noge om epidemier og deres udvikling og beingelserne for, a en epidemi i de hele age vil opså. Epidemier er karakerisere ved, a de sarer med a vokse eksponeniel med sørre eller mindre hasighed, hvor analle af smierame vokser med en fordoblingsid. Efer en id når epidemien e maksimum, hvorefer epidemien dør ud igen. De er e mege vigig a vide noge om epidemier, da de er e område, der har kræve og kræver mange menneskeliv på verdens plan. Man kan bare ænke på e hisorisk eksempel som Den ore Død i de 14. århundrede. E nuidig og mege bekymrende eksempel kan være AD-epidemien, som hærger i sore dele af speiel Afrika og Asien. De er dermed ydelig, a epidemier kan have vidrækkende samfundsmæssig beydning, og på den baggrund er de af vial beydning a kunne forudsige noge om epidemiers opsåen og udvikling, og de kan en maemaisk modellering af syseme give os e bud på. PROBLEMFORMULERG dee projek ses der på en maemaisk model for udviklingen af epidemier udvikle af Kermak- Mkendrik i 1927, den såkalde R-model. Der ses på spørgsmålene: Hvordan kan en model for udviklingen af en epidemi se ud? Hvilke paramere syrer dynamikken i en epidemi? Formåle med dee projek er a gennemgå en maemaisk model for en generel epidemi og dens udvikling og derefer a analysere modellen ved flere eksempler. Til sids foreages der en udvikling il en lid anden ype model. 2

3 Den overordnede gennemgang af modellen opdeles i følgende punker - R-modellen og dens paramere gennemgås - Modellens differenialligninger gennemarbejdes - Modellens begrænsninger gennemgås - Modellens anagelser belyses - Modellen analyseres ved hjælp af eksempler og forolkning af disse R-MODELLE R-modellen er en simpel, klassisk model, der har udbredelsen af epidemier som overordne gensandsområde. Vi vil karakerisere R-modellen som en forklarende/deerminisisk epidemisk model, der behandler epidemier af ypen, hvor smien overføres i e møde mellem e smiende og e modagelig individ, og hvor der efer en periode udvikles resisens. Gennem anvendelse af sandsynlighedseori har man opsille en model, som beskriver deerminisiske sammenhænge og alså i prinippe afgiver deerminisiske kausaliesudsagn og deerminisiske prædikioner De samlede anal individer inddeles i re grupper komparmens il brug for den videre model: : ndivider, der er modagelige for sygdommen usepibles : ndivider, der er smiede og smiende nfeed R: ndivider, der er immune eller døde Removals De samlede anal individer,, som indgår i undersøgelsen dvs. en hel befolkning eller blo en risikogruppe, som udgør en afgrænse del af befolkningen, udgøres af de re grupper, hvilke giver følgende: ++R Modellen bygger på, a der sker en bevægelse af individer fra -gruppen henover -gruppen il R- gruppen. Dee forklares med, a der i konaken mellem en infiere og en modagelig kan ske overførsel af smie, hvorved e individ overgår fra -gruppen il -gruppen. Tilsvarende vil der fra -gruppen ske en bevægelse af individer il R gruppen pga. udvikling af immunie eller død. Modellen kan beskrives som en komparmenmodel med følgende udsende: 3

4 R Vi skal nu på en eller anden måde modellere bevægelsen fra il og fra il R. Bevægelsen fra il afhænger af både og, ide de virker logisk, a analle af nylig infierede besemmes af, hvor mange der kan smies, og hvor mange der er smie i hver fald hvis smien sker fra person il person. E møde, som foregår mellem en smie person og en modagelig person, og som fører il, a den modagelige person bliver smie, kalder vi e effekiv møde. Analle af effekive møder en person forager pr. idsenhed kalder vi konakraen. Konakraen afhænger derfor af mange adfærdsmæssige og biologiske fakorer. denne rappor ager definiionen af si udgangspunk i, a alle medlemmer af befolkningsgruppen har lige haner for a møde alle andre medlemmer af befolkningsgruppen. En modagelig person foreager i idsrumme konaker. Hvis er de samlede befolkningsal, vil brøkdelen / være konaker med smiede personer. / beegner sandsynligheden for på e given idspunk, a en ilfældig person er smiende. Da der er personer, som kan udføre en given konak, er sammenhænge mellem flowe af personer fra il : hvor beegner infekionsraen. nfekionsraen er e udryk for, hvor smisom en sygdom er. Des mere smisom en sygdom er, jo sørre bliver. De vil sige, a udrykker sandsynligheden for, a e infierende individ infierer e modagelig individ inden for e given idsrum. sede for infekionsraen kan man i sede, formulere sig ved brug af infekionssyrken også kalde smieraen. mieraen er give ved udrykke Λ er den rae, hvormed modagelige individer bliver smie, og er alså den komponen, der syrer flowe fra il. Bevægelsen fra il R, alså hvor mange af de smiede der bliver resisene eller dør, afhænger kun af, hvor mange der er syge, og ikke hvor mange der allerede er resisene eller døde. Bevægelsen fra il R kan beskrives som, a en besem andel proendel af de smiede bliver raske i løbe af 4

5 5 en idsenhed. Andelen af smiede der bliver raske i løbe af en idsenhed, kaldes removalrae og beegnes med symbole. Dermed kan vi beskrive overgangssrømmen fra il R som værende lig. Den samlede R model kommer skemaisk il a se således ud: og modellens ligninger, der beskriver, og R il de eferfølgende idsskrid som værende funkioner af de nuværende idsskrid og ændringen i de givne grupper i løbe af idsskride : R R Med lid omskrivninger er differensligningerne: R R Lader vi nu idsskride gå mod nul, alså 0, får vi differenialkvoienerne il, og R og dermed følgende diffenialligningssysem: ' R Vi har kun brug for o af dem, ide vi ved a summen af de re grupper alid er, alså + + R og dermed a + + R 0. R

6 MODELLE ATAGELER Før vi ser nærmere på selve modellen, vil vi se lid på de anagelser, der er gjor i forbindelse med R-modellen. Opbygningen af R-modellen giver ikke mulighed for igen a mise sin resisens hvilke sker for nogle sygdomme, der f.eks. skyldes bakerieinfekioner, man kan alså ikke vende ilbage il -gruppen. De reserende anagelser omhandler ypisk bevægelser mellem grupperne, og R, som ikke alle har være eksplii formulerede. forbindelse med nogle af anagelserne, vil der desuden blive give eksempler på hvor disse anagelser er eller kan være problemaiske. A. Grupperne er homogen blandede. De er klar, a sandsynligheden for konak mellem o individer fra forskellige grupper afhænger af fordelingen af gruppernes individer. Hvis konenraionen af -individer er sor, vil e enkel - individ have sørre hane for a møde e -individ, end hvis konenraionen er lille. Er grupperne derimod homogen fordel, og individerne møder hinanden ilfældig og alså har lige sor hane for a mødes, da vil infekionsraen være ensare. Er der ale om sygdomme, der ofes rammer beseme befolkningsgrupper, kan denne anagelse være problemaisk E eksempel kunne være, a visse kønssygdomme er overrepræsenere bland bøsser. B. nfekionsrae og removalrae er konsane med hensyn il iden. Afhængig af sygdomsypen kan smiefarligheden ændres med iden. Hvis sygdommen f.eks. som udgangspunk er forårsage af en bakerie, kan bakerien med iden blive mere aggressiv som følge af ilpasning il de nye livsbeingelser e eksempel er malariamyggens udvikling af resisens mod beseme insekiider. Dee vil beyde, a den relaive removalraen øges, og begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, ilsvarende falder. De er naurligvis af alafgørende beydning, a man kender il muligheden for ændringer i disse kriiske paramere. C. De smiede individer bliver sraks smiende. virkeligheden er der en laensid, hvor de smiede individer går over il også a blive smiende, og afhængig af denne laensid sørrelse, kan anagelsen resulere i en overvurdering af, hvor fremskrede sygdommen vil være il e give idspunk. De vil dog kun have begrænse beydning, 6

7 ide der så vil gå ilsvarende længere id, før e -individ flyes il R-gruppen og ikke længere udgør en risiko. Dermed vil effeken i -enden udlignes af effeken i R-enden. D. ygdommen smier direke fra person il person. Denne anagelse kan diskueres, ide modellen ikke definerer elemenerne i, og R-grupperne. prinippe kunne der således være smiefarlige dyr blande ind i grupperne af mennesker, men i realieen vil de være umulig med ilsrækkelig sor nøjagighed a sæe give e skøn på analle af individer i de enkele grupper. Anagelsen beyder, a modellen ikke ager højde for smie, der spredes fra dyr il mennesker, hvilke ofe vil være ilfælde f.eks. Fugleinfluenza, hvor smievejen oprindelig kun var gennem fugle, senere andre dyr, der er herunder nu også sjældne eksempler på smie gennem mennesker. E. Alle personer er lige modagelige for sygdommen. Risikoen for smie afhænger naurligvis bl.a. af immunforsvare og af den menneskelige adfærd. Man kan derfor ikke regne med en fas infekionsrae hel uafhængig af de enkele møde mellem e smiende og e modagende individ. Man kan dog bruge en gennemsnilig infekionsrae for beregningerne af sygdomsudviklingen i den samlede befolkning, og de er i realieen også sådan modellen anvendes. F. Analle af modagelige er konsan. er vi på epidemiologiske undersøgelser og beregninger, der srækker sig over generaioner, kan analle af individer i risikogruppen ændre sig, hvilke vil have beydning for de endelige billede af sygdomsudviklingen. F.eks. er fødselsraen falde markan bl.a. i de veslige lande og i Japan, men dee modsvares delvis af en forøge leveid. Befolkningen vil i lande, hvor de samlede anal individer redueres og de er jo fakisk de, vi ser mange seder i Europa være mindre sårbar for smie end modellen anager. Dee fakum skal man naurligvis age højde for, når man laver fremidsprognoser. 7

8 MODELLE OPFØREL Hvordan ændrer de forskellige gruppers sørrelse sig med iden, og hvilken beydning har de forskellige indgående paramere, og begyndelsesbeingelserne 0, 0, R0. For a få en ide heril vil vi se på en række eksempler. Vi vil berage en række ilfælde, hvor vi ved a ændre på nogle af paramerene vil se, om og i så fald hvordan epidemier ifølge modellen vil udvikle sig. de førse seks eksempler, vil vi lade infekionsraen og removalraen v være konsane, og vi sæer 0,0003 og v 0,55. Vi vil i alle eksemplerne lade R0 0, alså a der ikke er nogle resisene il a begynde med. de førse eksempel vil vi lade , Dee førse eksempel vil vi berage som vores sandardeksempel, dvs. i forhold il hvilke vi vil sammenligne ved juseringen af de o paramere 0 og 0. R modellen, eksempel 1 På Figur 1 kan forløbe af, og R følges, når og Hvis vi skal se på de som e virkelig eksempel, er der il saridspunke ale om en populaion besående af 3550 individer, hvoraf de 50 er infierede. De ses, a analle af infierede individer hurig siger fra de 50 il e anal på a. 500 ved 7,5. Derefer falder analle af individer, der er modagelige overfor sygdommen krafig, ide analle af individer, der er resisene eller døde, er sege. Analle af infierede individer falder herefer igen og går mod nul, hvilke beyder, a epidemien udryddes. Hvis vi udelukkende berager R som analle af døde individer, vil alså en sor del af befolkningen blive udrydde a individer, mens analle af modagelige vil være afagende og sabilisere sig på a. 725 individer. 8

9 Figur 1: llusraion af eksempel 1. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 2 dee eksempel lader vi populaionen være 3600 individer, hvoraf 100 er smiede/smiende og ingen er resisene. Dvs. vi har 3600, 0 100, R0 0, og alså nfekionsraen, /, er sadig 0,0003, mens removalraen,, er fashold på 0,55. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 2. 9

10 Figur 2: llusraion af eksempel 2. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 3600, / 0,0003 og 0,55. På figuren ser vi a er afagende gennem hele inervalle og sabiliserer sig ved a. 750 individer, mens R er sigende i hele inervalle og sabiliserer sig ved a individer. Udviklingen af infierede siger fra 0 il 6,5, så modellen viser, a der er en epidemi. Efer 6,5 hvor analle af infierede individer var nåe op på knap 600, er afagende i resen af inervalle og nærmer sig langsom 0. 10

11 R modellen, eksempel 3 Vi lader nu analle af modagelige individer il iden 0 være de dobbele af analle i de førse eksempel, dvs sæes igen il 50. u er alså en beydelig mindre andel af befolkningen infierede il iden 0. Forløbe af grafen viser imidlerid e noge mere drasisk forløb end i de o foregående eksempler. Udviklingen af infierede siger endnu hurigere end før og når e maksimum på a. 2750, hvorefer den falder igen. Analle af resisene siger ilsvarende krafig, og vil med iden udgøre lang hovedparen af den samlede befolkning, og ilsvarende af modagelige falde og sabilisere sig på a. 200 individer. Der er alså i dee ilfælde ale om nærmes en oal populaionsudryddelse hvis vi alså berager R som analle af døde. år 0 er mege sor i forhold il den relaive removalrae, og 0 udgør en mindre del af den samlede populaion fås alså en re drasisk udvikling af epidemien. Figur 3: llusraion af eksempel 3. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 7050, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 4 Lad igen men lad De reserende paramere er som i eksempel 1. Figuren vises nogenlunde de samme som eksempel 3. De ses alså igen, a de ikke har sore beydning, om en lid sørre del af befolkningen er smie fra saren. 11

12 Figur 4: llusraion af eksempel 4. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 7100, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 5 forhold il de førse eksempel, vil vi nu halvere analle af modagelige individer, så De ses a er svag afagende i hele forløbe, så der er alså ikke ale om en epidemi. R er sigende, mens er afagende, men i dee ilfælde krydser de ikke hinanden. De vil sige a analle af modagelige forbliver beydelig sørre a.1450 individer end analle af resisene eller døde a.350 individer. 12

13 Figur 5: llusraion af eksempel 5. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 1800, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 6 Vi berager nu ilfælde , 0 100, R0 0 og alså Removalraen,, sæes vi il 0,55, mens vi har besem os for en infekionsraen, /, sæes il 0,0003. Alså er den enese forskel il eksempel 2 a 0 er bleve halvere. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 6. 13

14 Figur 6: llusraion af eksempel 6. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 100, R0 0, 1850, / 0,0003 og 0,55. er som i eksempel 2 afagende gennem hele inervalle, mens R er sigende gennem hele inervalle. Analle af modagelige individer sabiliserer sig med iden ved a. 1300, mens analle af resisene/døde med iden sabiliserer sig ved a. 550 individer. dee ilfælde ser vi, a analle af smiede/smiende,, falder gennem hele inervalle. Der er alså i dee ilfælde ikke ale om en epidemi. går dog som i de idligere eksempler mod 0 med iden. de sidse o eksempler vil vi se hvad der sker, når vi juserer på værdierne for infekionsraen og removalraen v. R modellen, eksempel 7 Lad som i de førse eksempel og Vi sæer nu infekionsraen il 0 og removalraen il v1. Figuren viser nu hvilke også gerne skulle være ilfælde a analle af modagelige ikke ændrer sig forbliver på 3500 individer, og a de infierede hurig bliver 14

15 resisene. år infekionsraen er 0, kan der naurligvis ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af modagelige over i gruppen af infierede. Figur 7: llusraion af eksempel 7. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 0 og 1. R modellen, eksempel 8 Vi sæer og nfekionsraen sæes nu il 1og removalraen il v 0. Da v 0 vil der selvfølgelig ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af infierede over i gruppen af resisene. Grafen viser derfor også, a analle af resisene forbliver konsan på 0. amidig ser vi, a alle fra gruppen af modagelige individer på mege kor id blive infiere. Dvs. falder hurig og sabiliserer sig på 0, mens ilsvarende siger og sabiliseres på

16 Figur 8: llusraion af eksempel 8. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden , 0 50, R0 0, 3550, / 1 og 0. de ovennævne eksempler, har vi forsøg a illusrere, hvorledes paramerene, og R påvirker hinanden. Vi bemærkede, a når /,, 0 og R0 blev hold konsan, udviklede de re paramere, og R sig mege forskellig afhængig af sørrelsen af 0. om vi har kunne se ud fra eksemplerne, yder de på, a er en afagende funkion, mens R er en voksende funkion. Dee kan forklares ud fra differenialligningerne, hvorom der gælder, a når,, / og er posiive: ' R' ' < 0 R' > 0 Men a de forholder sig således, er dog ikke speiel underlig, ide modellen er konsruere, så der kun kan flyes individer ud af -gruppen, mens der kun kan flyes individer ind i R-gruppen. Hvilken værdi, de o funkioner konvergerer mod, er lid sværere a besemme. Vi eller man har ikke kunne løse differenialligningssyseme, men har kun kunne finde sammenhængene: 16

17 + ln ln 0 0 exp R R0 > 0 Opskrivningen af er, som vi kan se af ovensående eksempler, noge kompliere, men man kan med sikkerhed sige, a med iden vil gå med nul, ide alle infierede vil blive resisene med iden forudsa a > 0. vores ovensående eksempler er der ale om en epidemi, hvis eller 7000, men ikke hvis ilfældene, hvor der ikke er ale om epidemier, er en afagende funkion i hele inervalle, mens har e maksimum hvis der er ale om en epidemi. Vi er heldigvis i sand il a afgøre om givne beingelser vil føre il en epidemi, hvilke vi vil se på i de følgende. Beingelser for opsåen af en epidemi En væsenlig begrundelse for a udvikle modeller er neop a skabe viden, der i sin opimale anvendelse hindrer udviklingen af en epidemi. A vi således kan handle i ide, hvis vi ser, a beingelserne for udviklingen af en epidemi er il sede. Modellen skal, om man så må sige, bibringe os en indsigsfuld handleparahed. Hvis vi skal udale os om de i virkeligheden re komplierede proesser, som er involvere i sygdomsspredning, må vi i førse omgang se nærmere på differenialligningerne: De følger af ligningen for ilvæksen i individanalle i gruppen, a > 0 hvis sygdommen er i udvikling. De vil sige > 0 og alså >, hvor udryk for den relaive removalrae, som er forholde mellem removalrae og infekionsraen. Disse resulaer giver os nem den vigige ærskelsæning: er e Tærskelsæningen: Der opsår en epidemi, hvis begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, oversiger den relaive removalrae. 0 0 > T > 1 17

18 hvor T er den såkalde reprodukionsrae. Denne vigige parameer udrykker, hvor mange individer, den infierende når a smie, inden vedkommende selv bliver resisen og således ikke længere er smiefarlig, under anagelse af a alle i befolkningen er modagelige. Hvis man kender sygdommens infekionsrae og removalrae, giver modellen alså e direke anvendelig udryk for, om en given befolknings gruppe vil udvikle en epidemi, med mindre der sæes relevane ilag i værk. Med relevane ilag menes handlinger, der har il hensig a begrænse smiespredning, dvs. isolaion af infierende individer, sygdomsbehandling, syrkelse af immunforsvare hos risikogrupper o. lign. Af udrykke ses de også, a jo sørre en befolkning er, deso mere sårbar er den for epidemier. De kan forklares med, a smiespredningen er sørre i en sor befolkning end i en lille, fordi sandsynligheden for konak mellem e infierende og e modagelig individ øges med befolkningsalle. De giver alså mening, a isolere grupper af befolkningen og dermed undgå eller begrænse konaken mellem individerne. Dee kan naurligvis være yders problemaisk i områder af verden, hvor de soiale og saniære forhold er kaasrofale, og hvor mennesker og dyr lever mellem hinanden uden ag over hovede. Udrykke viser desuden, a hvis man reduerer infekionsraen og/eller øger removalrae der i modellen anages a være konsane, så mindskes risikoen for a en given befolkning overskrider ærsklen for epidemiens udvikling. Tærskelværdien er e begreb, der både indeholder informaion om sygdommens spredningsevne, men også om befolkningens sygdomshisorie. En forenkling af ærskelsæningen, hvor man anager a hele befolkningen er modagelige ved epidemiens sar, alså a 0, R0 0 og 0 <<, giver følgende udryk for smisomheden: > 1. De er e udryk, der kun indeholder oplysninger om konakraen og removalraen. Epidemiens forløb om sag, er en noge kompliere funkion, der opfører sig forskellig under forskellige beingelser, dog alid il slu gående mod 0. Dee afsni prøver vi yderligere a beskrive. ogle gange er en afagende funkion i hele idsinervalle, men de er hvis der ikke opsår en epidemi, 18

19 alså hvis 0 er mindre end ærskelfrekvensen. De beyder a er en afagende funkion hvis 0 <. Hvis derimod 0 >, alså 0 er sørre end ærskelfrekvensen vil der opså en epidemi. vil i dee ilfælde sige il en maksimumværdi, hvorefer den vil være afagende. Denne maksimumværdi for vil indræde il de idspunk, hvor en epidemi ikke længere er il sede., dvs. når beingelserne for Formen på, speiel nær endepunkerne, kan i ilfælde af en epidemi yderligere beskrives på følgende måde. Vi må forvene, a er en konsan for < 0. Da vi også ved, a / og er konsane, kan vi alså i ligningen berage som en konsan k 1. Dermed har vi alså, a k1. Denne simple differenialligning har som bekend løsningen eksponeniel i saren af en epidemi. Omvend vil de i sluningen af en epidemi gælde, a dee ilfælde vil vi få en ny konsan: 1 k 1 e. De vil sige, a vil sige < og går mod en konsan. k2. Denne konsan vil være negaiv, ide k 2 < 0 og vi vil derfor få en eksponeniel afagende funkion 2 k 2 e. Dee vil alså beyde, a analle af infierede og infierende individer vil afage eksponeniel i sluningen af en epidemi. Vainaion De anagelser, der blev gjor under gennemgangen af R-modellen gælder sadig her. Vi vil undersøge, hvordan epidemimodellen ser ud, når vi anager, a en vis proendel af individerne er 19

20 vainere mod sygdommen, som de er ilfælde for børnesygdomme som for eksempel mæslinger, fåresyge og røde hunde MFR-vainen. Vi anager a en brøkdel, p, af individerne vaineres før sygdommen bryder ud. R-modellen kan anvendes med de samme anagelser som i de foregående, men med nye begyndelsesbeingelser. åledes er begyndelsesværdien af anal modagelige individer 0 1-p 0. Anal infierede og infierende individer er ved sygdommens sar sadig 0 0. Analle af immune individer er R 0 R 0 + p 0 ved saren af den mulige epidemi. Bemærk a de oale anal individer sadig er, ide R 0 1-p R 0 + p 0. Tærskelværdien, der som nævn, udrykker hvor mange individer, der smies af den infierende, inden vedkommende bliver resisen, er med de nye begyndelsesværdier give ved: 1 p 0 T. Denne værdi er dermed reduere med en fakor 1 p i forhold il ærskelværdien for Rmodellen uden vainaion. Da de infierede individer, dermed smier færre individer, før de bliver resisene, er vainaion, som forvene, e god ilag mod udviklingen af en epidemi. Med hensyn il den omsride MFR-vaine, er vurderingen fra aens erum nsiu da også, a vainen har virke posiiv på folkesundheden. iden 2003 er der ikke konsaere nogen ilfælde af mæslinger, og siden samme år er der heller ikke regisrere nogen ilfælde af røde hunde bland gravide og nyføde. KOKLUO opgaven har vi berage R-modellen og opsille en række eksempler il a illusrere sammenhængen mellem de indgående paramere. Der er gjor en række anagelser for a kunne opnå en relaiv simpel maemaisk model il beskrivelse af en epidemis udvikling. En række af disse anagelser vil naurligvis ikke være opfyld i de flese virkelig forekommende populaioner, og modellen er dermed a berage som en forsimpling af virkeligheden. De a opsille modeller for fænomener, hvor komplierede forhold som f.eks. menneskers adfærd spiller ind, må vi berage som yders vanskelig. En adækva maemaisk beskrivelse af epidemiers udvikling vil nok aldrig 20

21 hel kunne lade sig gøre. kke deso mindre mener vi, a modellen giver en udmærke forsåelse af hvilke fakorer, der spiller ind i forhold il udviklingen af en epidemi. Vi har alså funde, a er en afagende funkion, der med iden sabiliseres, og med iden går mod en konsan værdi k. R er omvend en ilagende funkion, der med iden sabiliseres og med iden går mod en anden funkion give ved -k., der beskriver forløbe af smiende/smiede, vil med iden gå mod 0. Hvis 0 er mindre end eller lig den relaive removalrae, vil være afagende i hele inervalle, og der opsår ingen epidemi. Hvis omvend 0 er sørre end den relaive removalrae, vil førs vokse, indil er lig den relaive removalrae, hvorefer den igen vil være afagende. de sidse ilfælde er der alså ale om en epidemi. vil i dee ilfælde i begyndelsen vokse ekspoeniel og il sids afage ekspoeniel. 21

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7 GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER Slides il Makro 2, Forelæsning 9 31. okober 2005 Chaper 7 Hans Jørgen Whia-Jacobsen Ocober 26, 2005 De klassiske økonomer, Smih, Ricardo, Malhus m.fl.

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD

BAT Nr. 1 februar 2007. Industriens år INDHOLD B A T k a r e l l e BAT Nr. 1 februar 2007 Bedre arbejdsmiljø, overholdelse af idsfriser, færre mangler - resulaerne fra re års arbejde med BygSoL-projeke er il a age og føle på. Side 2 Trods høje økonomiske

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen

Læs mere

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed

BAT Nr. 4 juli 2008. Den danske model har igen vist sin robusthed BAT Nr. 4 juli 2008 Miniseren må il lommerne og genåbne voksenlærlingeordningen. De er direke dum a lukke en ordning, som er en ordnende succes for alle parer Side 2 Byggefagene i BAT er mege ilfredse

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv.

BAT Nr. 3 maj 2006. Den 4. april fremsatte EU kommissionen et revideret forslag til et Servicedirektiv. B A T k a r e l l e Nr. 3 maj 2006 Den 4. april fremsae EU kommissionen e revidere forslag il e Servicedirekiv. Side 3 De økonomiske miniserier er i skarp konkurrence om, hvem der kan fremmane sørs flaskehalspanik

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4%

FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocent: 76,4% Horsensvej Anal besvarelser: 375 FORÆLDRETILFREDSHED 2015 Svarprocen: 76,4% Forældreilfredshed 2015 OM RAPPORTEN 01 OM RAPPORTEN RAPPORTENS OPBYGNING Aarhus Kommune har i perioden okober november 2015

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Tilføjelse i administrationsgrundlaget for LAR

Tilføjelse i administrationsgrundlaget for LAR oa. augus Sagsnr. Dok. nr. Udarbejde af: va-lil Tilføjelse i adminisraionsgrundlage for LR Erhvervsfirmaer i Svendborg kommune sam Svendborg kommune har forespurg, om de vil kunne lade sig gøre for erhverv

Læs mere

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ

Hvad spiser de? Hvordan forarbejdes skindet? S æ r l i g e. h u s d y r o p d r æ 53 S æ r l i g e h u s d y r o p d r æ Hvad spiser de? Mange pelsdyr er kødædere, men de er ikke mulig a give dem levende bye a spise. Derfor har forskerne udvikle en særlig slags foder, der er ilpasse

Læs mere

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark

SAM B. Samarbejde om borger/patientforløb. Samarbejdsaftale mellem kommuner og region om borger/patientforløb i Region Syddanmark SAM B Samarbejde om borger/paienforløb Samarbejdsafale mellem kommuner og region om borger/paienforløb i Region Syddanmark Forord il medarbejderen 2 3 Denne pjece indeholder en kor version af den regionale

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Modellove ved fysiske modelforsøg

Modellove ved fysiske modelforsøg DANSIS emadag om eksperimenel fluid dynamik (EFD) på FORCE Technology, yngby, 8. okober 003 odellove ved fysiske modelforsøg Chrisian Aage Docen, ph.d. Danmarks Tekniske Universie ariim Teknik Absrac:

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2007. Marianne Frank Hansen, Martin Eggert og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2007. Marianne Frank Hansen, Martin Eggert og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 27 Marianne Frank Hansen, Marin Egger og Peer Sephensen December 27 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... Befolkningsfremskrivning 27...

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd?

Hvorfor en pjece til lønmodtagere gift med landmænd? Hvorfor en pjece il lønmodagere gif med landmænd? Fordi 60 pc. af alle landbokvinder er lønmodagere og mange yngre landbokvinder ikke er opvokse på e landbrug, og mange heller ikke på lande. Fordi de kan

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats

Med RUT kan myndighederne effektivisere deres kontrolindsats B A T k a r e l l e BAT Nr. 2 april 2008 I indeværende folkeingssamling skal Folkeinge beslue en ændring af Øsafalen med de formål a sramme op omkring regisreringen og konrollen af udsaionerende virksomheder.

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer:

Anvendelseseksempler ANVENDELSESEKSEMPLER 73 72 KAPITEL A. FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER. Ud fra tabellen udregner vi de 4 summer: 7 KAPITEL A FUNKTIONER OG MATEMATISKE MODELLER Anvendelseseksempler Anvendelseseksempel A Udklækningsid for flueæg (Daa i dee eksempel sammer fra Pracical saisics for environmenal and biological scieniss

Læs mere

Lad totalinddækning mindske nedslidningen

Lad totalinddækning mindske nedslidningen B A T k a r e l l e Nr. 5 sepember 2006 3 mia. il ny forebyggelsesfond og eksra midler il Arbejdsilsyne, var de glade budskab, da forlige om fremidens velfærd var i hus lige før sommerferien. Side 2 Arbejdsilsyne

Læs mere

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter

Bilag 7 - Industriel overfladebehandling Bilag til Arbejdstilsynets bekendtgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde med kodenummererede produkter Bilag 7 - Indusriel ovfladebehandling Bilag il Arbejdsilsynes bekendgørelse nr. 302 af 13. maj 1993 om arbejde kodenume produk 7.1. Bilages område a. Påføring af maling og lak på emn på fase arbejdsplads

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere