Inverse funktioner. John V Petersen
|
|
- Albert Brøgger
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Inverse funktioner John V Petersen
2 Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner... 6 Inverse funktioner: Definitioner Inverse funktioner: Celsius og Fahrenheit eks Sammensatte funktioner og inverse funktioner Grafen for nogle funktioner og deres inverse... 14
3 Indledning eks. 1 Vi ser på grafen for funktionen lodret-kriteriet: lodrette linier x = k, hvor k 2 Dm(f), skærer kun grafen i ét punkt. (den grønne linje på fig. 1) Har en invers funktion? Hvis funktionen er injektiv har den en invers funktion Hvis grafen for opfylder vandret-kriteriet er injektiv. vandret-kriteriet: enhver vandret linje y = k, hvor k 2 Vm(f), skærer kun grafen i ét punkt. (den blå linje på fig. 1 og 2. Det ses, at på fig. 1, er ikke injektiv. Men på fig. 2 er injektiv. Her er Dm(f) begrænset til fig. 1
4 fig. 2 fig. 3
5 fig. 4
6 Afbildning og funktion Hvorfor ser graferne for funktionen i eksemplet side 2, ud som de gør? Vi vil nu definere den inverse funktion mere præcist. Men først ser vi på definitionen af en funktion. Definition 1 En størrelse y kaldes en funktion af hvis der til hver værdi svarer præcis én værdi af som kaldes funktionsværdien af Man skriver Den mængde af tal, inden for hvilken den uafhængige variabel kan variere, kaldes funktionens definitionsmængde, og den betegnes Den mængde af tal, der udgøres af samtlige funktionsværdier, kaldes funktionens værdimængde og betegnes Herunder ses grafen for en funktion. Det ses, at hver værdi Men hvis man fortsætter den stiplede linje, ved værdien vil man ramme grafen. Så der kan godt være to forskellige værdier, der har samme værdi. fig. 5 Det ses også illustreret på pilediagrammerne herunder: fig. 6 fig. 7
7 Nu vil vi se på inverse funktioner: Herunder ses, et pilediagram for funktionen og den inverse funktion fig. 8 Kriteriet for en funktion er, at én værdi i kun afbildes over i én værdi i. Derfor er kriteriet for at én værdi i kun afbildes over i én værdi i Derfor kræves der, at en funktion En funktion kaldes injektiv, hvis er injektiv, for at den har en invers funktion. Eller mere præcist udtrykt: Definition 2. En funktion kaldes injektiv, hvis implikationen x, x er sand. (for ethvert x, x tilhørende definitionsmængden for gælder der, at x forskellig fra x x, x Korollar 1 (følgesætning)
8 Nu kan vi definere den inverse funktion: Definition 2 Hvis funktionen I det indledende eksempel 1, med funktionen afbilde grafen for Her valgte vi netop så var injektiv. at kunne Bemærkning 2 Den inverse funktion vender retningen men ændrer ikke sammenhængen. Vi vil nu se på nogle eksempler: Forskriften for Hvis den injektive funktion f har en "tilstrækkelig pæn" regneforskrift, funktionsudtryk kan man finde et funktionsudtryk for den inverse funktion. I funktionsudtrykket for f er y udtrykt ved x. I et funktionsudtryk for den inverse funktion Denne funktion er voksende, og dermed injektiv (Korollar 1). Vi vælger som så værdimængden bliver Dermed har vi bestemt forskriften for den inverse funktion:
9 På fig. 9 kan vi således se, at (selvfølgelig) med forskriften, fordi f.eks. Forskriften (1) bruger som uafhængig variabel, fordi vi jo begynder med at vælge en værdi på Grafen for er jo stadig identisk med grafen for aksen og på aksen. Imidlertid foretrækker man tradidtionelt som navn på den uafhængige variabel. Så vi skriver forskriften for den omvendte funktion sådan:, Denne funktion har definitionsmængden [1, 5] og værdimængden [ 4, 4]. På fig. 9 er desuden tegnet, grafen (med rødt) for den omvendte funktion linjen fig. 9
10 Husk, at der gælder: Definitions- og Værdimængde, for en injektiv funktion og dens inverse, bytter roller: Grafmæssigt (se fig. 8 og 9) kan det formuleres sådan: En funktion og dens inverse har grafer, der er hinandens spejlbilleder i linjen Eksempel 3 Her er et konkret eksempel, som viser at man skal huske at se på betydningen af og værdierne i de konkrete tilfælde hvor inverse funktioner findes og bruges: Sammenhængen mellem Celsius- og Fahrenheit grader: Sammenhængen mellem Celsius- og Fahrenheit grader kan udtrykkes ved denne funktionsforskrift, hvor betegner Fahrenheit og betegner Celsius: Denne forskrift fås, da vi har to kendte ( værdier: ( og som er værdierne for henholdsvis frysepunktet og kogepunktet for vand. dvs vi har ligningerne Vi vælger så bliver Det er forskriften for en funktion, som afbilder Fahrenheit grader som funktion af Celsius grader: Nu vil vi finde den inverse funktion som afbilder Celsius som funktion af Fahrenheit. Grafen for er jo stadig identisk med grafen for aksen og på aksen. Vi finder funktioneudtrykket for ved at isolere i (2) :
11 I tabellen har vi værdier for funktionerne og Givne værdier for Celsius grader og sammenhørende værdier for Fahrenheit grader, får vi ved at læse fra øverste række og ned. Og givne værdier for Fahrenheit grader og sammenhørende værdier for Celsius grader, får vi ved at læse fra nederste række og op. Dvs. øverste række betegner værdier på aksen og nederste række betegner værdier på aksen. Vi vil afbilde garfen for og får (4) og Bemærk, at nu betegner Fahrenheit temperaturer og, da På fig. 10 og 11 ses graferne for og fig. 10
12 fig. 11
13 Ved sammensætning af funktioner vil man, hvis og er hinandens inverse, få den identiske afbildning: Dvs. at funktionerne i en vis forstand "ophæver" hinanden. Det kan være nyttigt ved udregninger, løsning af ligninger etc. Definition 3 Sammensætning af funktioner Ved den sammensatte funktion den funktion, der til et lader svare tallet hvor Et par eksempler på sammensatte funktioner: og og Nu sammensætter vi funktioner og deres inverse funktioner: Den naturlige logaritmefunktion og den naturlige eksponentialfunktion med grundtal : Titals logaritmefunktion og eksponentialfunktion med grundtal 10: Kvadratrodsfunktionen og andengradsfunktionen: De trigonometriske funktioner Sinus og Cosinus, og deres inverse og Man kan nemt definere nye funktioner: eks. kan logaritmefunktionen defineres som den inverse til eksponentialfunktionen (og omvendt) Fig , viser graferne for nogle funktioner og deres inverse:
14 fig. 12 fig. 13
15 fig. 14 fig. 15
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereOpgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med
Læs mereTeknologi & Kommunikation
Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereNavneregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 2 Navneregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Navneregning 2-5 Elevaktiviteter til Navneregning 2.1 Værdifulde navne M-Æ
Læs mere7 Funktioner. Hayati Balo, AAMS. Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger
7 Funktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus B-niveau 1 og 2 2. Hans Sloth, Trip s matematiske bog
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereIkke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLogaritme-, eksponential- og potensfunktioner
Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereLogaritme-, eksponential- og potensfunktioner
Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2010 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereSygehus-/regionsrapporten
Læsevejledning til: Sygehus-/regionsrapporten Hvordan du bruger læsevejledningen... 2 Overordnet om rapporten... 2 FORSIDE Dimensionsfigur... 3 1. OVERBLIK... 4 Oversigtsfigur... 4 Resultat i forhold til
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereLUP læsevejledning til regionsrapporter
Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for
Læs mereREGIONERNES LØNNINGS- OG TAKSTNÆVN. Vejledning til indplacering af maskinmestre på Overenskomst for professionsbachelorer på det tekniske område
REGIONERNES LØNNINGS- OG TAKSTNÆVN c/o Danske Regioner Dampfærgevej 22, Postbox 2593, 2100 København Ø Tlf. 35 29 81 00 RLTN OK-Nyt Løn nr. 007-09 Vejledning til indplacering af maskinmestre på Overenskomst
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereArduino kursus lektion 4:
Arduino kursus lektion 4: I denne lektion skal vi bruge et digitalt termometer til at aflæse temperaturen! Herefter skal vi tænde 3 dioder som hver indikerer forskellige temperaturer! Opgave 1: Temperatursensor
Læs mereVelkommen til 2. omgang af IT for let øvede
Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok
Læs mereLineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
Læs mereMatematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011
1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mere4 Funktioner. Faglige mål. Lineære funktioner. Stykkevis lineære funktioner. Ligefrem proportionale funktioner. Andengradsfunktioner
4 Funktioner Faglige mål Kapitlet Funktioner tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Lineære funktioner: kunne definere hvad der kendetegner en funktion, beregne hældningskoefficienten for en linje
Læs mereUANMODEDE HENVENDELSER (SPAM)
UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM) VIDEN RÅDGIVNING SERVICE TRYGHED INDHOLD 1. Kort fortalt... 3 2. Uanmodede henvendelser.... 3 3. Nærmere om samtykke til henvendelse.... 7 3.1. Krav om forudgående samtykke...
Læs mereVideopoint. Vejledning til simpelt brug
Videopoint Vejledning til simpelt brug 0. Indledning Videopoint er et smart værktøj, der gør fysikstuderende i stand til, nærmest legende let, at analysere bevægelser af forskellige objekter. Eksempelvis
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre
Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med
Læs mereMatematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX
Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereOpgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).
Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) MIHY (Michael
Læs mereProjekt 4.8. Kerners henfald (Excel)
Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.
Læs mereLineære funktioner. http://mimimi.dk/c/linearfunktion.ggb
Lineære funktioner http://mimimi.dk/c/linearfunktion.ggb 151 Funktioner Et eksempel på en lineær funktion En funktion kan defineres (beskrives) på forskellige måder; herunder er funktionen f beskrevet
Læs mereOpslag Løndele/lønkoder
Opslag Løndele/lønkoder Opslag Løndele/lønkoder Overblik Introduktion I dette opslag får du et overblik over hvordan du opretter, ændrer og sletter løndele/lønkoder i SLS. VIGTIGT: Det er de allerede kendte
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereVejledning til Photofiltre nr.129 Side 1
Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014
Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereOpg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen
Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,
Læs mereDifferentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012
Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens
Læs mereVariabelsammenhænge og grafer
Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereVejledning til anvendelse af statistik på FTF-A.dk
Vejledning til anvendelse af statistik på FTF-A.dk Henvendelser og spørgsmål kan rettes til Specialkonsulent Rasmus Hornbøll Hviid, FTF-A organisationsservice og udvikling, tlf. 89 38 39 00, rhh@ftf-a.dk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov
Læs mereSæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012
Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...
Læs merePladeudfoldning, Kanaler
2009 Pladeudfoldning Kanaler Teoretisk gennemgang af de grundlæggende færdigheder inden for Pladeudfoldning, Kanaler Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen
Læs mereRumlige figurer. SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle
Rumlige figurer SO-projekt Matematik og Programmering klasse 3.4 Vejledere: Karl og Jørn. Af: Asger, Christian og Kalle Udleveret: 10.09.12 Afleveres: 08.10.12 0. Indholdsfortegnelse 0. INDHOLDSFORTEGNELSE...
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB
MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereNotat. Metodemæssig beskrivelse af forslag til overvågning af døde køer i enkelt besætninger. Baggrund. Datagrundlag.
Notat Til: Fra: Kaspar Krogh m.fl. Jørgen Nielsen, KvægIT Videncentret for Landbrug Kvæg Ansvarlig JNI Oprettet 10-12-2013 Side 1 af 13 Metodemæssig beskrivelse af forslag til overvågning af døde køer
Læs mereReeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012
Reeksamen i Calculus Torsdag den 16. august 2012 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereVillys Studiekreds Præsentation af slægten på en hjemmeside.
Vejledning i hvordan man opretter HTML-filer i Brothers Keeper 7. Denne vejledning beskriver, hvordan man i Brothers Keeper (BK) danner HTML-filer, som senere kan flyttes til en ekstern server, hvor man
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mere