Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal"

Transkript

1 Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal Af Steffen L. Lauritzen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet - et særtryk af Matilde nr. 15

2 Forord Steffen Lauritzens artikel "Thieles talmønstre - gulvfliser og komplekse heltal" er skabt på baggrund af et uforligneligt detektivarbejde, som foregik i efteråret 2002 på Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet. Det startede med en anekdote fra en århusiansk gymnasielærer og endte med at afdække endnu en facet af T. N. Thieles virke. Det hele drejer sig om matematisk kunst og om et marmorgulv i det tidligere Hafnia hovedsæde på Holmens Kanal nr. 9. Steffen Lauritzens artikel udkom i tidsskriftet Matilde nr. 15 i marts Matilde er nyhedsbrevet for Dansk Matematisk Forening og udkommer fire gange årligt. Dansk Matematisk Forening har ca. 400 medlemmer som arbejder på universiteterne, i gymnasiesektoren og i den private sektor. Som medlem modtager man nyhedsbrevet og har mulighed for at blive ugentligt opdateret om matematiske arrangementer gennem foreningens elektroniske kalender (via ). På hjemmesiden kan man informere sig om foreningens aktiviteter. Man har mulighed for at melde sig ind i foreningen på et elektronisk ansøgningsskema. Hjemmesiden informerer om nyhedsbrevet og giver mulighed for at abonnere på tidsskriftet. Maj, 2003 Martin Raussen Ansvarshavende redaktør for Matilde Aalborg Universitet Jan Parner Codan Forsikring A/S

3 M A T I L D E Tema: MATEMATIKHISTORIE NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING NR. 15 MARTS /03 1

4 Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal Hvorfor denne artikel? For nylig lykkedes det mig at færdiggøre en bog om danskeren T. N. Thiele ( ) og hans pionerindsats indenfor statistikkens teori og metode (Lauritzen 2002). Mens jeg lagde sidste hånd på værket, stødte jeg på et referat af et foredrag, som Thiele havde holdt ved de Skandinaviske Naturforskeres Møde i København i 1873 (Thiele 1874). Her beskrev Thiele, hvordan egenskaber ved komplekse heltal kunne repræsenteres som smukke mønstre, og han fremførte så den påstand,...at der endog gives en Kunstart, i hvilken Mathematikken selv, uden at iklædes en lunefuld Fantasis udfyldende og tilslørende Dragt, kan frembringe fuldt færdige Billeder, der neppe ville blive betegnede som stive og kedelige. Ved foredraget havde Thiele omdelt billeder af de komplekse primtal og andre mønstre, som vil blive nærmere omtalt senere i denne artikel. Af: Steffen L. Lauritzen Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet, Otto Larsen, en århusiansk gymnasielærer som i sin tid havde haft Thiele som lærer på Universitetet, skrev i sine Universitetsminder fra 1954, at Thiele havde fået lavet en kakkelovnsskærm til sit hjem efter et sådant talmønster, og at flisemønstret i et af gulvene i Hafnias hus på Gammelholm også blev konstrueret på denne måde. Min nysgerrighed var vakt! Kakkelovnsskærmen kunne nok ikke opdrives længere, men gulvet måtte jeg absolut se, hvis det stadig fandtes. En henvendelse til Jan Parner, Codan A/S, resulterede i et besøg i Hafnias tidligere hovedsæde (nu overtaget af Codan), og det stod omgående klart, at gulvet i forhallen i hvert fald ikke var helt almindeligt. På den anden side var det heller ikke direkte magen til nogle af de mønstre, som var aftrykt i Thieles foredrag, så der var et mysterium, som krævede sin løsning. På bagsiden af dette nummer af Matilde ses et fotografi af gulvet. Dansk Aktuarforening, som blev stiftet i Han var også medstifter af Danmarks første private livsforsikringsselskab Hafnia (stiftet 1872) og beklædte stillingen som matematisk direktør der indtil Han var desuden formand for Hafnias bestyrelse fra 1903 og indtil sin død i Ved Thieles 70 års fødselsdag fik Dansk Aktuarforening slået en guldmedalje til hans ære. Denne medalje findes i dag i London på museet hos Institute of Actuaries. Thiele og tallene Thiele havde en svær bygningsfejl på begge øjne og blev til sidst næsten helt blind, så det var meget pinefuldt Hvem var Thiele? Thorvald Nicolai Thiele blev født i København den 24. december 1838 og døde den 26. september 1910 i en alder af 71 år. Thiele blev kendt som astronom, aktuar, matematiker og statistiker. Han var professor i astronomi ved Københavns Universitet fra 1875 til 1907 og samtidig direktør for Universitetets Astronomiske Observatorium. Thiele var initiativtager og medstifter både af Dansk Matematisk Forening, som blev stiftet i 1873, og af Thorvald Nicolai Thiele MATEMATIK HISTORIE 15/03 7

5 for ham at virke som observerende astronom. Måske var det derfor, at han slog sig på den mere teoretiske side af astronomien, Iagttagelseslæren, eller den teoretiske statistik, som vi ville sige i dag. Thieles bidrag til statistikkens teori og metode er usædvanligt originale og dybtgående, og han må regnes blandt fagets største pionerer, selvom flere af hans vigtigste bidrag var så langt forud for deres tid, at de gik i glemmebogen og måtte genopdages af andre på et senere tidspunkt. Hans hovedværk er utvivlsomt hans avancerede lærebog i statistik (Thiele 1889) selv om hans artikel om analyse af observationer indsamlet over et tidsforløb (Thiele 1880) om muligt er endnu mere original. I sit virke som aktuar var Thiele også banebrydende såvel på det teoretiske som på det praktiske område, mens det er uklart for mig, hvorledes hans rent matematiske arbejder skal vurderes, og det samme gælder hans indsats indenfor astronomi. Han har skrevet en talteoretisk afhandling (Thiele 1886) hvis indhold jeg ikke kan bedømme, og der er vist noget, der hedder Thiele oscillationer i teorien for kædebrøker, som var et af Thieles yndlingsemner. Men der er ingen tvivl om, at hans virtuositet og genialitet først og fremmest kom til udtryk i forbindelse med alt, hvad der havde med tal og beregninger at gøre. J. P. Gram skriver i sin nekrolog over Thiele fra 1910, at Thiele var den første dansker som anskaffede og brugte en regnemaskine. Thiele forsøgte ihærdigt (men uden held) at få oprettet et professorat i regnende matematik, eller scientific computing, som vi nok ville kalde det i dag. I samarbejde med H. G. Zeuthen og H. Valentiner medvirkede Thiele til, at Caspar Wessels afhandling om de komplekse tal blev oversat til fransk. Thiele bemærkede, at kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 delte menneskelivet i naturlige perioder. Blandt hans mere usædvanlige synspunkter kunne man finde, at alle først burde lære at regne i 4-talsystemet, hvor man så senere kunne gå videre til base 16 og endelig til base 64 for de virkeligt viderekomne. Han udarbejdede faktisk tabeller over logaritmer med grundtal 4 til brug for Hafnias beregninger. Af mange samtidige blev Thiele tydeligvis opfattet som lidt af en talmystiker, omend jeg ikke selv har læst noget af ham, der peger i den retning. Komplekse heltalsringe og kvadratiske rester Thieles mønstre er alle baserede på komplekse heltalsringe. De fleste mønstre er lavet over ringen af gaussiske heltal d.v.s. tallene af form, hvor er reelle heltal. Andre mønstre er lavet over ringen af eisensteinske heltal, d.v.s. tallene af form, hvor er reelle heltal og For at lave mønstre med de gaussiske heltal opdeles planen i små kvadrater med sidelængde 1, så tallet svarer til et kvadrat med centrum og sider parallelle med koordinatakserne, alt med hensyn til et sædvanligt, rektangulært koordinatsystem. Mønstrene opstår ved at give hvert felt en bestemt farve, alt efter om det tilsvarende tal besidder en given egenskab. For eksempel lavede Thiele på denne måde et billede af de gaussiske primtal, altså tal som kun kan skrives som et produkt af andre gaussiske heltal når en af faktorerne er en enhed. Det kan vises, at et naturligt primtal per et gaussisk primtal hvis og kun hvis. For eksempel er ikke et gaussisk primtal, mens 7 er. For at lave mønstre med de eisensteinske heltal skal planen i stedet opdeles i regulære sekskanter og de to nederste af de mønstre, som er afbildet i referatet af Thieles foredrag, er lavet på denne måde. De afbildede mønstre er alle baseret på såkaldte kvadratiske rester. Et tal siges at være kvadratisk rest modulo c, hvis der findes et tal Man kan fortolke dette med hensyn til forskellige heltalsringe. Tilfældet med reelle heltal er klassisk og er beskrevet i næsten enhver lærebog om talteori. Det blev blandt andet studeret i detaljer af Gauss, men mange andre matematikere har haft fingre både i det reelle og i det mere generelle tilfælde. Legendresymbolet defineres til at være 0, hvis c går op i d, det har værdien 1, hvis d er kvadratisk rest modulo c og -1, hvis det ikke er tilfældet. Programmet MAPLE har en funktion, quadres, som beregner dette symbol i tilfældet med reelle heltal. Hvis c er et ulige primtal som ikke er divisord i d gælder For ulige primtal d og e gælder endvidere Gauss reciprocitetslov, også kendt som talteoriens juvel : Kvadratisk reciprocitet for Gaussiske heltal blev først studeret af Dirichlet omkring Thieles mønstre med grundtal c opstår ved at man farver feltet svarende til tallet d, hvis og kun hvis Hvis c går op i d gives feltet en afvigende farve. Thieles fem billeder svarer på denne måde (regnet ovenfra og fra venstre mod højre) til grundtallene hvor de to sidste er eisensteinske heltal, mens de andre er gaussiske heltal. Det skal bemærkes at grundtallene for alle disse mønstre er primtal. Mønstre baseret på sammensatte tal har generelt færre farvede felter. Det skyldes, at hvis c=ab gælder trivielt og det omvendte er tilfældet, hvis a og b er indbyrdes primiske. Så mønstre for sammensatte tal dannes som fællesmængder af primtalsfaktorernes mønstre. Min kollega Søren Buhl har skrevet et program i det statistiske programmeringssprog R, som hurtigt beregner sådanne billeder, se eksempler nedenfor. Programmet kan hentes på adressen basmat-02/software/tile.r og statistikpakken R kan hentes på www. R-project.org/, hvis nogen skulle have lyst til at prøve selv. Ved hjælp af dette kan man more sig med at tegne mange flotte billeder, se eksemplerne nedenfor. Man 8 15/03 Tema

6 kan ikke undgå at bemærke, at billederne har en række iøjnefaldende symmetri- og andre egenskaber, afhængig af hvilket grundtal, der bruges til konstruktionen. Sommetider er hele diagonalen farvet, sommetider er hele den reelle og den imaginære akse farvet. Hvis grundtallet er ikke er reelt eller rent imaginært, optræder spirallignende strukturer, o.s.v. Det overlades med stor fornøjelse til læseren at undersøge teoretisk, hvornår disse fænomener optræder og hvorfor. Er Thieles mønstre originale? På nuværende tidspunkt kender jeg ikke svaret. Thiele angiver ingen kilder i sit foredrag, men det var ikke usædvanligt for ham at undlade dette. Af snørklede veje er jeg stødt på et referat af et foredrag, som nordmanden O.- J. Broch holdt i 1874 i l Association Française pour l avancement des sciences om Thieles mønstre. Her fremstilles det, som om Thieles påfund er originalt og Broch angiver en række eksempler på mønstrene. Men jeg er også stødt på en henvisning til en bog (Lucas 1867) af den samtidige franske matematiker Edouard Lucas ( ), hvor titlen kunne antyde, at denne havde lignende ideer. Om Thiele har kendt til Lucas arbejde eller ej, står under alle omstændigheder hen i det uvisse. Desværre er det i skrivende stund ikke lykkedes mig at komme i nærheden af et eksemplar af Lucas bog, så jeg har ikke kunnet undersøge, hvad den mere præcist indeholder. Hvad forestiller gulvet i Hafnia? Selvom man nu har et billede af gulvet i Hafnias bygning foran sig, er der et stykke vej til at afgøre, hvordan det er konstrueret, og om det overhovedet er konstrueret som beskrevet ovenfor. Da jeg i efterårssemestret 2002 skulle være projektvejleder på basisuddannelsen, var det derfor naturligt at foreslå et projekt om talmønstre. De studerende skulle gerne have et projektemne som kunne aktivere dem, som lå indenfor deres matematiske rækkevidde umiddelbart efter gymnasieskolen, som gerne måtte være lidt spændende, og hvor de ikke kun- MATEMATIK HISTORIE 15/03 9

7 ne undgå at lære både noget matematik og noget om den matematiske arbejdsproces. I sagen om talmønstrene startede studenter og vejleder stort set på samme sted, nemlig på bar bund. Til min store glæde var der ikke mindre end tre projektgrupper med i alt 19 studerende som bed på krogen, og der måtte hidkaldes hjælp fra to kolleger (Poul Svante Eriksen og Hans Hüttel) for at alle grupperne kunne få en vejleder. Min glæde blev ikke mindre, da det i løbet af november måned lykkedes min egen projektgruppe at løse gulvets gåde, i hvert fald delvist. Konkret var det en enkelt af de studerende (Thomas Ellebæk), som til slut ved hjælp af empiri og systematisk ihærdighed kunne identificere, at gulvet på den ovenfor beskrevne måde var et billede af de kvadratiske rester for det komplekse primtal 71. Der er dog et par modifikationer, som jeg skal komme tilbage til. Det viste billede af de kvadratiske rester modulo 71 er beregnet ved hjælp af Søren Buhls program. Nu kunne jeg så ærgre mig grundigt over ikke at have gættet på dette tal fra starten. Hafnias bygning blev påbegyndt i 1910 og stod færdigt i Talmystikeren Thiele var netop 71 år gammel i 1910, som også blev hans dødsår. Så gulvet markerer uden tvivl hans egen alder på det pågældende tidspunkt. Om Thiele ligefrem selv har vidst, at det skulle blive hans gravmæle, er vel tvivlsomt, men det er dog tankevækkende. Men hvori består modifikationerne? Jo, for det første er Hafnias gulv trefarvet, idet de farvede fliser i mønstret enten er røde eller grønne. Det er hverken lykkedes de studerende eller de involverede vejledere, at finde ud af, hvad forskellen er på de røde og grønne felter. Så det forbliver en udfordring til foreningens medlemmer. Men herudover er der i alt 9 fliser, som ikke ligger korrekt i forhold til det beregnede mønster. Den ene af disse bryder mønstrets symmetri. Mønstret er symmetrisk omkring de to hovedakser og de to hoveddiagonaler i forhallen. Men hvis koordinatsystemet orienteres således, at førsteaksen går vinkelret på fotografens synslinie og andenaksen peger væk fra kameraet, er flisen med koordinater (25,45) farvet rød, mens alle spejlinger af denne flise i symmetriakserne er ufarvede. Nu siges det at være en gammel tradition blandt fliselæggere, at der skal være en enkelt fejl i sådant et gulvmønster for at det ikke skal bringe uheld over bygherren. Det er efter al sandsynlighed forklaringen på den enkelte forkerte flise. De resterende 8 ukorrekte fliser består af flisen med koordinater (27,35) og de syv spejlbilleder af samme. De tilsvarende komplekse tal er kvadratiske rester modulo 71, men er ikke farvede i gulvet. Igen er det uklart, hvad forklaringen er. På grund af symmetrien kunne det i princippet være en fejl i Thieles beregninger, som derefter er blevet spejlet 7 gange, men Thiele lavede nu meget sjældent fejl. Fejlen er snarere opstået under byggeprocessen. Det ville i hvert fald være menneskeligt, og siden symmetrien ikke er brudt, bemærker man næppe noget, medmindre man er usædvanlig skrap til hovedregning med komplekse kvadratiske rester. Hvad nu? Der er flere løse ender i denne sag. Dels kunne det være morsomt at se, hvordan man i dag ville lave en egentlig talteoretisk undersøgelse af den slags mønstre og deres symmetriegenskaber, samt algoritmer til at konstruere dem. Dels er der stadig gåden om de grønne og de røde felter, som kræver en løsning. Men nogen må også på jagt i Hafnias kældre efter papirer, som beskriver, hvorledes mønstret rent konkret blev beregnet i sin tid. Der findes papkasser med papirer fra byggesagen, men endnu er der ikke fundet noget i dem, som direkte vedrører gulvet i forhallen. Under alle omstændigheder er det fantastisk i sig selv, at der findes sådan et stykke matematisk kunst i Danmark. Det bør sikres, at gulvet og dets historie ikke går til. Tak En tak til alle, som har hjulpet mig på den ene eller den anden måde med denne sag. Bjarne Toft fik fat i Thieles foredrag til mig, Johan P. Hansen og Martin Raussen har hjulpet mig med talteoretisk litteratur, og Anders Hald havde franske forbindelser. Mange andre er allerede nævnt direkte i selve artiklen. Uden deres hjælp og indsats var jeg ingen vegne kommet. Søren Buhl skal nævnes specielt, både for hans uvurderlige program og for præcise kommentarer til denne artikel. Litteratur S. L. Lauritzen. Thiele: Pioneer in Statistics. Oxford University Press, Oxford, E. Lucas. Application de l arithmétique a la construction de l armure des satins réguliers. G. Retaux, Paris, T. N. Thiele. Om talmønstre. Forhandlingerne ved de skandinaviske Naturforskeres 11te Møde i København, Juli 1873, side København, T. N. Thiele. Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en systematisk Karakter. Det kongelige danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 5. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afdeling, 12: , Fransk version: Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthode des moindres carrés.} C. A. Reitzel, København, T. N. Thiele. Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser. Det kongelige danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afdeling, 2: , T. N. Thiele. Almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode. C. A. Reitzel, København, /03 Tema

8 Gulvet i Hafnias forhal (Foto: Jan Parner, Codan Forsikring A/S)

Tema: MATEMATIKHISTORIE NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING 15/03

Tema: MATEMATIKHISTORIE NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING 15/03 M A T I L D E Tema: MATEMATIKHISTORIE NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING NR. 15 MARTS 2003 15/03 1 Leder Tinne Hoff Kjeldsen, IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260 4000 Roskilde e-mail:

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Analyse af PISA data fra 2006.

Analyse af PISA data fra 2006. Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn

Læs mere

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet

Avisforside. Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Avisforside Vi har skrevet en avis om studier ved Aarhus Universitet Vi vil meget gerne høre dine umiddelbare tanker om forsiden til avisen. Hvad forventer du dig af indholdet og giver den dig lyst til

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Mit forslag var, at vi skrev et eventyr baseret på hans ækle af slagsen, men den 15. november 2012 skrev Rune til mig: Jeg er ikke så glad for Ækle

Mit forslag var, at vi skrev et eventyr baseret på hans ækle af slagsen, men den 15. november 2012 skrev Rune til mig: Jeg er ikke så glad for Ækle Forord Som tegneserienørd har jeg naturligvis altid vidst, hvem Rune T. Kidde var. Jeg så også godt, at han fik en profil på Facebook for nogle år siden, men jeg ville ikke tilføje ham som ven, for jeg

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver

Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde

Læs mere

KAPITEL 3. Spejling og figurer. Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne?

KAPITEL 3. Spejling og figurer. Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne? KAPITEL 3 Spejling og figurer Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne? Tegn symmetriakser ELEVBOG 2A SIDE 42-45 arbejdsark 102 117 K F I Tegn 4. Spejling symmetriakser ELEVBOG 2A

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

(Positions) Talsystemer

(Positions) Talsystemer (Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

Årsplan matematik 5 kl 2015/16

Årsplan matematik 5 kl 2015/16 Årsplan matematik 5 kl 2015/16 I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale, og har matematikfessor som suplerende materiale, samt kopisider. I systemet er der,ud over grundbogen, også kopiark

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Flytninger og mønstre

Flytninger og mønstre Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Jul FØR JEG LÆSER BOGEN. Fakta om bogen. Fotos Tegninger Kort Tabeller Grafer Tidslinjer Skemaer Tekstbokse. Andet: Titel.

Jul FØR JEG LÆSER BOGEN. Fakta om bogen. Fotos Tegninger Kort Tabeller Grafer Tidslinjer Skemaer Tekstbokse. Andet: Titel. A FØR JEG LÆSER BOGEN Fakta om bogen Titel Forfatter Hvornår er bogen udgivet? På hvilken side findes Indholdsfortegnelse? Stikordsregister? Bøger og www? Hvor mange kapitler er der i bogen? Hvad forestiller

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i?

1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 1: Hvilket studium er du optaget på: 2: Hvilke af nedenstående forelæsninger har du deltaget i? 3: Hvis du har deltaget i mindre end halvdelen af kursusgangene bedes du venligst begrunde hvorfor har deltaget

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Samaritan ruteplanlægning

Samaritan ruteplanlægning Samaritan ruteplanlægning Brugervejledning Folkekirkens Nødhjælp 2010 1 INDHOLDSFORTEGNELSE Kort om Samaritan 3 Sådan logger du på Samaritan 3 Hjælp 5 Planlægning af ruter 5 Ret tekster 6 Import af ruter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Stjernedrys: Fra Kirke Hyllinge mod fjerne galakser

Stjernedrys: Fra Kirke Hyllinge mod fjerne galakser Annoncer E-avis Menu Finn Hansen i kontrolrummet i sit observatorum. Stjernedrys: Fra Kirke Hyllinge mod fjerne galakser Finn og Birgit Hansen fra Kirke Hyllinge kan slet ikke få nok af astronomien. Derfor

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Min beretning om. Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave

Min beretning om. Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave Patienthistorie Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave Har meget lidt syn på højre øje (ca. 10%), hvilket skyldes en medfødt synsfejl. Min mor, som i dag er 87

Læs mere

fra de virksomheder, som deltog med en to, tre, fire medarbejdere.

fra de virksomheder, som deltog med en to, tre, fire medarbejdere. Flemming Sørensen, dagens lærer, som et lokomotiv i venteposition med dampen oppe, klar til start. Der lyttes intenst bordet rundt, for at få det hele med. Vi leverer varen 2 4 6 8 10 12 14 16 Det blev

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

H.C. Andersens virkelige verden

H.C. Andersens virkelige verden A FØR JEG LÆSER BOGEN Fakta om bogen Titel Forfatter Hvornår er bogen udgivet? På hvilken side findes Indholdsfortegnelse? Stikordsregister? Bøger og www? Hvor mange kapitler er der i bogen? Hvad forestiller

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 10. juni Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt.

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 10. juni Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Design af IT-medier Skriftlig prøve 10. juni 1999 Varighed: Hjælpemidler: Bedømmelse: Besvarelse: Opgaver: 4 timer. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Karakter efter 13-skalaen. Alle ark skal være

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Brugervejledning for niveauinddeling

Brugervejledning for niveauinddeling Brugervejledning for niveauinddeling Niveauinddeling Mine serier 1. Formål: På denne side kan faggrupperne niveauinddele deres egne serier på autoritetslisten - bogserier, tidsskrifter og konferenceserier

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

2. interview. Bilag 2. Interview med Bente, ca. 50, pædagog. Så kunstværket Helena på Trapholt ved udstillingen i 2000.

2. interview. Bilag 2. Interview med Bente, ca. 50, pædagog. Så kunstværket Helena på Trapholt ved udstillingen i 2000. 2. interview Interview med Bente, ca. 50, pædagog. Så kunstværket Helena på Trapholt ved udstillingen i 2000. Briefing: Der er ikke nogen forkerte svar. Er du kunstinteresseret? Ja, meget. Jeg arbejder

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Det betyder at du skal formidle den viden som du er kommet i besiddelse

Læs mere

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium

Projektopgave Matematik A. Vejleder: Jørn Bendtsen. Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Projektopgave Matematik A Tema: Eksponentielle modeller Vejleder: Jørn Bendtsen Navn: Devran Kücükyildiz Klasse: 2,4 Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 01-01-2008 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 1.

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

I HVAD ER SAMFUNDSVIDENSKABELIGE METODER?

I HVAD ER SAMFUNDSVIDENSKABELIGE METODER? Indhold Forord............................................. 7 Kapitel I HVAD ER SAMFUNDSVIDENSKABELIGE METODER?.......... 11 Kapitel II HVORDAN KAN MAN TILRETTELÆGGE UNDERSØGELSEN?..... 25 Kapitel III

Læs mere

Faglig rammebeskrivelse for kandidatuddannelsen i matematik

Faglig rammebeskrivelse for kandidatuddannelsen i matematik Faglig rammebeskrivelse for kandidatuddannelsen i matematik Nærværende rammebeskrivelse er et fagbilag, knyttet til Studieordning for kandidatuddannelsen i matematik. Denne kan ses på Det Naturvidenskabelige

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv

RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv www.karinnilsson.dk Trin 1 Kod din indre GPS Start med at gøre dig klart, hvad du gerne vil opnå. De fleste der kommer til mig ved alt om, hvad de gerne vil være FRI

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere