Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal"

Transkript

1 Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal Af Steffen L. Lauritzen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet - et særtryk af Matilde nr. 15

2 Forord Steffen Lauritzens artikel "Thieles talmønstre - gulvfliser og komplekse heltal" er skabt på baggrund af et uforligneligt detektivarbejde, som foregik i efteråret 2002 på Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet. Det startede med en anekdote fra en århusiansk gymnasielærer og endte med at afdække endnu en facet af T. N. Thieles virke. Det hele drejer sig om matematisk kunst og om et marmorgulv i det tidligere Hafnia hovedsæde på Holmens Kanal nr. 9. Steffen Lauritzens artikel udkom i tidsskriftet Matilde nr. 15 i marts Matilde er nyhedsbrevet for Dansk Matematisk Forening og udkommer fire gange årligt. Dansk Matematisk Forening har ca. 400 medlemmer som arbejder på universiteterne, i gymnasiesektoren og i den private sektor. Som medlem modtager man nyhedsbrevet og har mulighed for at blive ugentligt opdateret om matematiske arrangementer gennem foreningens elektroniske kalender (via ). På hjemmesiden kan man informere sig om foreningens aktiviteter. Man har mulighed for at melde sig ind i foreningen på et elektronisk ansøgningsskema. Hjemmesiden informerer om nyhedsbrevet og giver mulighed for at abonnere på tidsskriftet. Maj, 2003 Martin Raussen Ansvarshavende redaktør for Matilde Aalborg Universitet Jan Parner Codan Forsikring A/S

3 M A T I L D E Tema: MATEMATIKHISTORIE NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING NR. 15 MARTS /03 1

4 Thieles talmønstre gulvfliser og komplekse heltal Hvorfor denne artikel? For nylig lykkedes det mig at færdiggøre en bog om danskeren T. N. Thiele ( ) og hans pionerindsats indenfor statistikkens teori og metode (Lauritzen 2002). Mens jeg lagde sidste hånd på værket, stødte jeg på et referat af et foredrag, som Thiele havde holdt ved de Skandinaviske Naturforskeres Møde i København i 1873 (Thiele 1874). Her beskrev Thiele, hvordan egenskaber ved komplekse heltal kunne repræsenteres som smukke mønstre, og han fremførte så den påstand,...at der endog gives en Kunstart, i hvilken Mathematikken selv, uden at iklædes en lunefuld Fantasis udfyldende og tilslørende Dragt, kan frembringe fuldt færdige Billeder, der neppe ville blive betegnede som stive og kedelige. Ved foredraget havde Thiele omdelt billeder af de komplekse primtal og andre mønstre, som vil blive nærmere omtalt senere i denne artikel. Af: Steffen L. Lauritzen Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet, Otto Larsen, en århusiansk gymnasielærer som i sin tid havde haft Thiele som lærer på Universitetet, skrev i sine Universitetsminder fra 1954, at Thiele havde fået lavet en kakkelovnsskærm til sit hjem efter et sådant talmønster, og at flisemønstret i et af gulvene i Hafnias hus på Gammelholm også blev konstrueret på denne måde. Min nysgerrighed var vakt! Kakkelovnsskærmen kunne nok ikke opdrives længere, men gulvet måtte jeg absolut se, hvis det stadig fandtes. En henvendelse til Jan Parner, Codan A/S, resulterede i et besøg i Hafnias tidligere hovedsæde (nu overtaget af Codan), og det stod omgående klart, at gulvet i forhallen i hvert fald ikke var helt almindeligt. På den anden side var det heller ikke direkte magen til nogle af de mønstre, som var aftrykt i Thieles foredrag, så der var et mysterium, som krævede sin løsning. På bagsiden af dette nummer af Matilde ses et fotografi af gulvet. Dansk Aktuarforening, som blev stiftet i Han var også medstifter af Danmarks første private livsforsikringsselskab Hafnia (stiftet 1872) og beklædte stillingen som matematisk direktør der indtil Han var desuden formand for Hafnias bestyrelse fra 1903 og indtil sin død i Ved Thieles 70 års fødselsdag fik Dansk Aktuarforening slået en guldmedalje til hans ære. Denne medalje findes i dag i London på museet hos Institute of Actuaries. Thiele og tallene Thiele havde en svær bygningsfejl på begge øjne og blev til sidst næsten helt blind, så det var meget pinefuldt Hvem var Thiele? Thorvald Nicolai Thiele blev født i København den 24. december 1838 og døde den 26. september 1910 i en alder af 71 år. Thiele blev kendt som astronom, aktuar, matematiker og statistiker. Han var professor i astronomi ved Københavns Universitet fra 1875 til 1907 og samtidig direktør for Universitetets Astronomiske Observatorium. Thiele var initiativtager og medstifter både af Dansk Matematisk Forening, som blev stiftet i 1873, og af Thorvald Nicolai Thiele MATEMATIK HISTORIE 15/03 7

5 for ham at virke som observerende astronom. Måske var det derfor, at han slog sig på den mere teoretiske side af astronomien, Iagttagelseslæren, eller den teoretiske statistik, som vi ville sige i dag. Thieles bidrag til statistikkens teori og metode er usædvanligt originale og dybtgående, og han må regnes blandt fagets største pionerer, selvom flere af hans vigtigste bidrag var så langt forud for deres tid, at de gik i glemmebogen og måtte genopdages af andre på et senere tidspunkt. Hans hovedværk er utvivlsomt hans avancerede lærebog i statistik (Thiele 1889) selv om hans artikel om analyse af observationer indsamlet over et tidsforløb (Thiele 1880) om muligt er endnu mere original. I sit virke som aktuar var Thiele også banebrydende såvel på det teoretiske som på det praktiske område, mens det er uklart for mig, hvorledes hans rent matematiske arbejder skal vurderes, og det samme gælder hans indsats indenfor astronomi. Han har skrevet en talteoretisk afhandling (Thiele 1886) hvis indhold jeg ikke kan bedømme, og der er vist noget, der hedder Thiele oscillationer i teorien for kædebrøker, som var et af Thieles yndlingsemner. Men der er ingen tvivl om, at hans virtuositet og genialitet først og fremmest kom til udtryk i forbindelse med alt, hvad der havde med tal og beregninger at gøre. J. P. Gram skriver i sin nekrolog over Thiele fra 1910, at Thiele var den første dansker som anskaffede og brugte en regnemaskine. Thiele forsøgte ihærdigt (men uden held) at få oprettet et professorat i regnende matematik, eller scientific computing, som vi nok ville kalde det i dag. I samarbejde med H. G. Zeuthen og H. Valentiner medvirkede Thiele til, at Caspar Wessels afhandling om de komplekse tal blev oversat til fransk. Thiele bemærkede, at kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 delte menneskelivet i naturlige perioder. Blandt hans mere usædvanlige synspunkter kunne man finde, at alle først burde lære at regne i 4-talsystemet, hvor man så senere kunne gå videre til base 16 og endelig til base 64 for de virkeligt viderekomne. Han udarbejdede faktisk tabeller over logaritmer med grundtal 4 til brug for Hafnias beregninger. Af mange samtidige blev Thiele tydeligvis opfattet som lidt af en talmystiker, omend jeg ikke selv har læst noget af ham, der peger i den retning. Komplekse heltalsringe og kvadratiske rester Thieles mønstre er alle baserede på komplekse heltalsringe. De fleste mønstre er lavet over ringen af gaussiske heltal d.v.s. tallene af form, hvor er reelle heltal. Andre mønstre er lavet over ringen af eisensteinske heltal, d.v.s. tallene af form, hvor er reelle heltal og For at lave mønstre med de gaussiske heltal opdeles planen i små kvadrater med sidelængde 1, så tallet svarer til et kvadrat med centrum og sider parallelle med koordinatakserne, alt med hensyn til et sædvanligt, rektangulært koordinatsystem. Mønstrene opstår ved at give hvert felt en bestemt farve, alt efter om det tilsvarende tal besidder en given egenskab. For eksempel lavede Thiele på denne måde et billede af de gaussiske primtal, altså tal som kun kan skrives som et produkt af andre gaussiske heltal når en af faktorerne er en enhed. Det kan vises, at et naturligt primtal per et gaussisk primtal hvis og kun hvis. For eksempel er ikke et gaussisk primtal, mens 7 er. For at lave mønstre med de eisensteinske heltal skal planen i stedet opdeles i regulære sekskanter og de to nederste af de mønstre, som er afbildet i referatet af Thieles foredrag, er lavet på denne måde. De afbildede mønstre er alle baseret på såkaldte kvadratiske rester. Et tal siges at være kvadratisk rest modulo c, hvis der findes et tal Man kan fortolke dette med hensyn til forskellige heltalsringe. Tilfældet med reelle heltal er klassisk og er beskrevet i næsten enhver lærebog om talteori. Det blev blandt andet studeret i detaljer af Gauss, men mange andre matematikere har haft fingre både i det reelle og i det mere generelle tilfælde. Legendresymbolet defineres til at være 0, hvis c går op i d, det har værdien 1, hvis d er kvadratisk rest modulo c og -1, hvis det ikke er tilfældet. Programmet MAPLE har en funktion, quadres, som beregner dette symbol i tilfældet med reelle heltal. Hvis c er et ulige primtal som ikke er divisord i d gælder For ulige primtal d og e gælder endvidere Gauss reciprocitetslov, også kendt som talteoriens juvel : Kvadratisk reciprocitet for Gaussiske heltal blev først studeret af Dirichlet omkring Thieles mønstre med grundtal c opstår ved at man farver feltet svarende til tallet d, hvis og kun hvis Hvis c går op i d gives feltet en afvigende farve. Thieles fem billeder svarer på denne måde (regnet ovenfra og fra venstre mod højre) til grundtallene hvor de to sidste er eisensteinske heltal, mens de andre er gaussiske heltal. Det skal bemærkes at grundtallene for alle disse mønstre er primtal. Mønstre baseret på sammensatte tal har generelt færre farvede felter. Det skyldes, at hvis c=ab gælder trivielt og det omvendte er tilfældet, hvis a og b er indbyrdes primiske. Så mønstre for sammensatte tal dannes som fællesmængder af primtalsfaktorernes mønstre. Min kollega Søren Buhl har skrevet et program i det statistiske programmeringssprog R, som hurtigt beregner sådanne billeder, se eksempler nedenfor. Programmet kan hentes på adressen basmat-02/software/tile.r og statistikpakken R kan hentes på www. R-project.org/, hvis nogen skulle have lyst til at prøve selv. Ved hjælp af dette kan man more sig med at tegne mange flotte billeder, se eksemplerne nedenfor. Man 8 15/03 Tema

6 kan ikke undgå at bemærke, at billederne har en række iøjnefaldende symmetri- og andre egenskaber, afhængig af hvilket grundtal, der bruges til konstruktionen. Sommetider er hele diagonalen farvet, sommetider er hele den reelle og den imaginære akse farvet. Hvis grundtallet er ikke er reelt eller rent imaginært, optræder spirallignende strukturer, o.s.v. Det overlades med stor fornøjelse til læseren at undersøge teoretisk, hvornår disse fænomener optræder og hvorfor. Er Thieles mønstre originale? På nuværende tidspunkt kender jeg ikke svaret. Thiele angiver ingen kilder i sit foredrag, men det var ikke usædvanligt for ham at undlade dette. Af snørklede veje er jeg stødt på et referat af et foredrag, som nordmanden O.- J. Broch holdt i 1874 i l Association Française pour l avancement des sciences om Thieles mønstre. Her fremstilles det, som om Thieles påfund er originalt og Broch angiver en række eksempler på mønstrene. Men jeg er også stødt på en henvisning til en bog (Lucas 1867) af den samtidige franske matematiker Edouard Lucas ( ), hvor titlen kunne antyde, at denne havde lignende ideer. Om Thiele har kendt til Lucas arbejde eller ej, står under alle omstændigheder hen i det uvisse. Desværre er det i skrivende stund ikke lykkedes mig at komme i nærheden af et eksemplar af Lucas bog, så jeg har ikke kunnet undersøge, hvad den mere præcist indeholder. Hvad forestiller gulvet i Hafnia? Selvom man nu har et billede af gulvet i Hafnias bygning foran sig, er der et stykke vej til at afgøre, hvordan det er konstrueret, og om det overhovedet er konstrueret som beskrevet ovenfor. Da jeg i efterårssemestret 2002 skulle være projektvejleder på basisuddannelsen, var det derfor naturligt at foreslå et projekt om talmønstre. De studerende skulle gerne have et projektemne som kunne aktivere dem, som lå indenfor deres matematiske rækkevidde umiddelbart efter gymnasieskolen, som gerne måtte være lidt spændende, og hvor de ikke kun- MATEMATIK HISTORIE 15/03 9

7 ne undgå at lære både noget matematik og noget om den matematiske arbejdsproces. I sagen om talmønstrene startede studenter og vejleder stort set på samme sted, nemlig på bar bund. Til min store glæde var der ikke mindre end tre projektgrupper med i alt 19 studerende som bed på krogen, og der måtte hidkaldes hjælp fra to kolleger (Poul Svante Eriksen og Hans Hüttel) for at alle grupperne kunne få en vejleder. Min glæde blev ikke mindre, da det i løbet af november måned lykkedes min egen projektgruppe at løse gulvets gåde, i hvert fald delvist. Konkret var det en enkelt af de studerende (Thomas Ellebæk), som til slut ved hjælp af empiri og systematisk ihærdighed kunne identificere, at gulvet på den ovenfor beskrevne måde var et billede af de kvadratiske rester for det komplekse primtal 71. Der er dog et par modifikationer, som jeg skal komme tilbage til. Det viste billede af de kvadratiske rester modulo 71 er beregnet ved hjælp af Søren Buhls program. Nu kunne jeg så ærgre mig grundigt over ikke at have gættet på dette tal fra starten. Hafnias bygning blev påbegyndt i 1910 og stod færdigt i Talmystikeren Thiele var netop 71 år gammel i 1910, som også blev hans dødsår. Så gulvet markerer uden tvivl hans egen alder på det pågældende tidspunkt. Om Thiele ligefrem selv har vidst, at det skulle blive hans gravmæle, er vel tvivlsomt, men det er dog tankevækkende. Men hvori består modifikationerne? Jo, for det første er Hafnias gulv trefarvet, idet de farvede fliser i mønstret enten er røde eller grønne. Det er hverken lykkedes de studerende eller de involverede vejledere, at finde ud af, hvad forskellen er på de røde og grønne felter. Så det forbliver en udfordring til foreningens medlemmer. Men herudover er der i alt 9 fliser, som ikke ligger korrekt i forhold til det beregnede mønster. Den ene af disse bryder mønstrets symmetri. Mønstret er symmetrisk omkring de to hovedakser og de to hoveddiagonaler i forhallen. Men hvis koordinatsystemet orienteres således, at førsteaksen går vinkelret på fotografens synslinie og andenaksen peger væk fra kameraet, er flisen med koordinater (25,45) farvet rød, mens alle spejlinger af denne flise i symmetriakserne er ufarvede. Nu siges det at være en gammel tradition blandt fliselæggere, at der skal være en enkelt fejl i sådant et gulvmønster for at det ikke skal bringe uheld over bygherren. Det er efter al sandsynlighed forklaringen på den enkelte forkerte flise. De resterende 8 ukorrekte fliser består af flisen med koordinater (27,35) og de syv spejlbilleder af samme. De tilsvarende komplekse tal er kvadratiske rester modulo 71, men er ikke farvede i gulvet. Igen er det uklart, hvad forklaringen er. På grund af symmetrien kunne det i princippet være en fejl i Thieles beregninger, som derefter er blevet spejlet 7 gange, men Thiele lavede nu meget sjældent fejl. Fejlen er snarere opstået under byggeprocessen. Det ville i hvert fald være menneskeligt, og siden symmetrien ikke er brudt, bemærker man næppe noget, medmindre man er usædvanlig skrap til hovedregning med komplekse kvadratiske rester. Hvad nu? Der er flere løse ender i denne sag. Dels kunne det være morsomt at se, hvordan man i dag ville lave en egentlig talteoretisk undersøgelse af den slags mønstre og deres symmetriegenskaber, samt algoritmer til at konstruere dem. Dels er der stadig gåden om de grønne og de røde felter, som kræver en løsning. Men nogen må også på jagt i Hafnias kældre efter papirer, som beskriver, hvorledes mønstret rent konkret blev beregnet i sin tid. Der findes papkasser med papirer fra byggesagen, men endnu er der ikke fundet noget i dem, som direkte vedrører gulvet i forhallen. Under alle omstændigheder er det fantastisk i sig selv, at der findes sådan et stykke matematisk kunst i Danmark. Det bør sikres, at gulvet og dets historie ikke går til. Tak En tak til alle, som har hjulpet mig på den ene eller den anden måde med denne sag. Bjarne Toft fik fat i Thieles foredrag til mig, Johan P. Hansen og Martin Raussen har hjulpet mig med talteoretisk litteratur, og Anders Hald havde franske forbindelser. Mange andre er allerede nævnt direkte i selve artiklen. Uden deres hjælp og indsats var jeg ingen vegne kommet. Søren Buhl skal nævnes specielt, både for hans uvurderlige program og for præcise kommentarer til denne artikel. Litteratur S. L. Lauritzen. Thiele: Pioneer in Statistics. Oxford University Press, Oxford, E. Lucas. Application de l arithmétique a la construction de l armure des satins réguliers. G. Retaux, Paris, T. N. Thiele. Om talmønstre. Forhandlingerne ved de skandinaviske Naturforskeres 11te Møde i København, Juli 1873, side København, T. N. Thiele. Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en systematisk Karakter. Det kongelige danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 5. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afdeling, 12: , Fransk version: Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthode des moindres carrés.} C. A. Reitzel, København, T. N. Thiele. Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser. Det kongelige danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afdeling, 2: , T. N. Thiele. Almindelig Iagttagelseslære: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode. C. A. Reitzel, København, /03 Tema

8 Gulvet i Hafnias forhal (Foto: Jan Parner, Codan Forsikring A/S)

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Gæt et tal Søren Eilers

Gæt et tal Søren Eilers 22 Gæt et tal Søren Eilers Et gæt En aften midt i oktober faldt jeg på nettet over en konkurrence afholdt af radioprogrammet Detektor på P om at gætte det tal mellem 0 og 00, der var halvdelen af gennemsnittet

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Naturen, byen og kunsten

Naturen, byen og kunsten Tekst: Katrine Minddal Redigering: Karsten Elmose Vad Layout og grafik: Inger Chamilla Schäffer, Grafikhuset Naturen, byen og kunsten Fag Formål Billedkunst og dansk Træning i billedanalyse. Kendskab til

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Min beretning om. Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave

Min beretning om. Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave Patienthistorie Diagnosticering af alderspletter på nethinden (AMD) kan være en krævende opgave Har meget lidt syn på højre øje (ca. 10%), hvilket skyldes en medfødt synsfejl. Min mor, som i dag er 87

Læs mere

Matematisk opmærksomhed

Matematisk opmærksomhed Tælle og systematisere tal. Tælle i trin på 5 og 10 Kender i nogle tal? Hvor mange forskellige tal kender I? (forskellen på tal og grundtal) Hvad kan I tælle til? Kender I nogle store tal? Kan I tælle

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv

RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv www.karinnilsson.dk Trin 1 Kod din indre GPS Start med at gøre dig klart, hvad du gerne vil opnå. De fleste der kommer til mig ved alt om, hvad de gerne vil være FRI

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget

Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget Vedr.: Re: Vedr.: Re: Vedr. Åbenhedstinget Jens Otto Kjær Hansen 9:07 AM (17/3-2015) to, Thomas Kære Jeg overlader det 100 % hvad du mener der skal skrives og indestår på ingen måde for hvad du skriver,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter"

Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter Om at læse! en videnskabelig artikel! som diplomstudiestarter" Anker Helms Jørgensen! IT Universitetet i København! DUN Konferencen Maj 2010! Om at læse en artikel! 1! Baggrund: It-verdenen møder akademia!

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Martin Geisler. Uge 49, 2001

Martin Geisler. Uge 49, 2001 Min dintprog-browser Martin Geisler Uge 49, 2001 Resumé Dette dokument beskriver tankerne bag min dintprog-browser, en browser skrevet i Java der skal kunne fortolke en mindre delmængde af HTML 4, kaldet

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Brugervejledning for niveauinddeling

Brugervejledning for niveauinddeling Brugervejledning for niveauinddeling Niveauinddeling Mine serier 1. Formål: På denne side kan faggrupperne niveauinddele deres egne serier på autoritetslisten - bogserier, tidsskrifter og konferenceserier

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13

Parvis. do. do. Aflevering af individuelle lektier s. 12-13 Fagårsplan 2010/2011 Matematik 6.A. B side 1 af 8 Brian Sørensen (BS) Kongeskær SkoleNord 32 33 Cirklen 34 35 eleverne tager manglende prøver eleverne og læreren sætter mål for årets arbejde i matematik

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

MANAGEMENT FEES OG FREMTIDEN

MANAGEMENT FEES OG FREMTIDEN MANAGEMENT FEES OG FREMTIDEN Af advokat Bodil Tolstrup og advokat Nikolaj Bjørnholm, Hannes Snellman Forfatterne har tidligere i dette nyhedsbrev fra DVCA genoptrykt en artikel fra Tidsskrift for Skatteret

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15

Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15 Naturvidenskabeligt grundforløb 2014-15 Naturvidenskabeligt grundforløb strækker sig over hele grundforløbet for alle 1.g-klasser. NV-forløbet er et samarbejde mellem de naturvidenskabelige fag sat sammen

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Evaluering af matematik 0. klasse

Evaluering af matematik 0. klasse Evaluering af matematik 0. klasse Undervisningsplan Emne: Af jord er du kommet Tema: Hedens dyr og planter Opstart: August 2013 Lyngen er et pragtfuld tæppe skrev H. C. Andersen efter han i 1860 var på

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Årsplan 1. klasse Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Bageriet Loppearabere marked ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Fortroligt dokument. Matematisk projekt

Fortroligt dokument. Matematisk projekt Fortroligt dokument Matematisk projekt Briefing til Agent 00-DiG Velkommen til Kryptoafdeling 1337, dette er din første opgave. Det lykkedes agenter fra Afdelingen for Virtuel Efterretning (AVE) at opsnappe

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole

Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Fagplan for matematik på Bakkelandets Friskole Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører

Læs mere

Bilag 4 Transskription af interview med Anna

Bilag 4 Transskription af interview med Anna Bilag 4 Transskription af interview med Anna M: Først og fremmest kunne vi godt tænke os at få styr på nogle faktuelle ting såsom din alder bl.a.? A: Jamen, jeg er 25. M: Og din kæreste, hvor gammel er

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Mobiltelefoner og matematik

Mobiltelefoner og matematik Mobiltelefoner og matematik Forord og lærervejledning Mobiltelefonen er blevet et meget vigtigt kommunikationsredskab i de sidste år. Mange af skolens elever har i dag en mobiltelefon, som de ofte bruger.

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Grafisk facilitering som bidrag til organisatorisk læring

Grafisk facilitering som bidrag til organisatorisk læring Grafisk facilitering som bidrag til organisatorisk læring - Hvordan har grafisk facilitering bidraget til organisatorisk læring i en større dansk virksomhed? Stina Thorsvang Stud.mag i Læring og Forandringsprocesser

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Øget risiko For begyndere

Øget risiko For begyndere Øget risiko For begyndere Vi ser det dagligt i medierne: Ny undersøgelse viser 20 % øget risiko for at udvikle (et eller andet ubehageligt eller dødeligt) hvis man (gør noget som Sundhedsstyrelsen eller

Læs mere

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Læringscyklus Kolbs model tager udgangspunkt i, at vi lærer af de erfaringer, vi gør os. Erfaringen er altså udgangspunktet, for det

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere