1. Indledning Lineær iteration... 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2"

Transkript

1 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig Lieæ iteatio Lieæ vækst Ekspoetiel vækst Foskudt ekspoetiel vækst Retesegig Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe odelleig på gudlag af data Ikke lieæ iteatio Klassisk logistisk vækst (Vehulst) Idledig I kapitel ha vi set på iteatiospocesse 1 f( ) hvo femskivigsfuktioe ka væe lieæ, dvs. på fome f () a, elle ikke lieæ, dvs. alt muligt adet, me typiske tilfælde e ikke lieæe iteatioe, hvo femskivigsfuktioe e et adegadspolyomium, dvs. på fome f () a celle e ude lieæ fuktio, dvs. på fome 2 a f (). I visse tilfælde ka disse ikke lieæe iteatioe ved hjælp af e sedig sustitutio føes c d tilage til de lieæe iteatio. Vi skal se eksemple på dette i det følgede. Alle de eksemple vi se på e kedetegede ved at vi ka fide e eksplicit løsigsfomel til iteatiosligige. De såkaldte kaotiske iteatiospocesse må ma defo læse om i et adet pojekt. e ide vi fo alvo gå i detalje med iteatiospocesse lægge vi mæke til, at vi også ka skive iteatiospocesse på fome 1 1 ( ) (med f () 1 () ) hvo () kaldes etetilskivige, såda som vi kede det fa f ekspoetiel vækst, hvo etetilskivige e kostat. Læg mæke til at etetilskivige e givet ved de elative tilvækst 1 ( ) Tilsvaede ka iteatiosligige skives på fome 1 g( ) (med f () g ()) hvo g () kaldes føsteodesdiffeese, de altså svae til de asolutte tilvækst. I det vi emæke at tilvækste fo idekset e givet ved ( 1) 1 ka vi også skive de sidste ligig på fome g ( ). E iteatiosligig kaldes defo også fo e diffeesligig og de fugee på mage måde som e disket udgave af e diffeetialligig. Vi gå i dyde med diffeetialligige i B oges kapitel 6 samt A oges kapitel 3. age af de esultate vi vise i det følgede gælde også fo de igtige diffeetialligige. e dels spille diffeesligige i sig selv e sto olle i mage modelle i økoomi og iologi, dels e de fa et matematisk syspukt meget emmee at udesøge. Det følgede pojekt ka defo også ses som e itoduktio til diskete vækstmodelle, hvo vi møde de samme modelle, de seee optæde som kotiuete vækstmodelle, dvs. de lieæe vækst, de ekspoetielle vækst, de foskudte ekspoetielle vækst og de logistiske vækst. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

2 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 2. Lieæ iteatio De lieæe iteatiosligig 1 a umme to vigtige specialtilfælde 1) 1, hvo a = 1 (såkaldt plus vækst) 2) 1 a, hvo = (såkaldt gagevækst) Dem udesøge vi føst, hvoefte vi til sidst se på de geeelle lieæe iteatiosligig. 2.1 Lieæ vækst Vi state med at gøe os fotolige med de simpleste vækstmodel: de lieæe vækst, hvo vi hele tide lægge de samme tilvækst til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 elle med e passede statvædi Øvelse 1: Lieæ vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 i almidelighed e givet ved løsigsfomle. Vik: Kig på taelle: Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 2.2 Ekspoetiel vækst Vi fotsætte med at gøe os fotolige med de æste simple vækstmodel: de ekspoetielle vækst, hvo vi hele tide lægge de samme pocetdel til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 a (1 ),dvs. a1,med e passede statvædi. Øvelse 2: Ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 a i almidelighed e givet ved løsigsfomle a. Vik: Kig på taelle Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

3 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 2.3 Foskudt ekspoetiel vækst De to idledede øvelse va i det væsetlige epetitioe af hvad vi alleede i foveje vidste om lieæ vækst (C oge kapitel 1) og ekspoetiel vækst (C oge kapitel 4). e å vi kigge på de geeelle lieæe iteatiosligig 1 a med a 1 og live det mee kompliceet! Øvelse 3: Foskudt ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Gø ede fo at løsige til diffeesligige 1 a ivolvee sumfomle fo e kvotietække 1 aa... a og at de geeelle løsigsfomel defo komme til at hedde 2 1 a 1 a 1 a 1 a. Vik: Kig på taelle: a Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? c) Gø ede fo at de geeelle løsigsfomel etop passe med de specielle løsigsfomel du fadt i a)! Hvis du ikke kede sumfomle fo e edelig kvotietække ka du fide detaljee i C oge kapitel, afsit 2, sætig 4, elle C oge kapitel 4, pojekt 3 om Stoeæltoes fiasieig. Det e dog ikke sikket du fide de oveståede udledig helt simpel. Vi give defo e alteativ udledig: Øvelse 4: Foskudt ekspoetiel vækst detalje 1 a) Opskiv iteatiosligige 1 1 med statvædie 2 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Idfø u skydee fo a, og evt. statvædie (hvis ikke du fa state ka tække i statpuktet). Lad paametevædiee gå fa 2 til 2. Opskiv iteatiosligige 1 a og udesøg såvel tidsseiegafes opføsel såvel som we diagammet (spidelvævet). Hvilke olle spille det såkaldte fikspukt fo iteatioes opføsel? Vi omskive iteatiosligige til fome 1 a ( a1) ( ) hvo vi altså iddage etetilskivige a 1. He e højeside opygget som e multiplikativ poces med ete som fast fakto. e de e tale om e foskudt multiplikatio idet vi ha lagt / til vædie. Dee fomel vise at vækste gå i stå, hvis idet de asolutte tilvækst så e. Vi sige defo at e et fikspukt fo iteatiospocesse elle at e e statioæ løsig til iteatiosligige. e de asolutte tilvækst e e diffees, hvo foskydige gå ud. Det vise at vi med fodel ka sustituee u i iteatiosligige. I så fald omfomes ligige til 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

4 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel u1 u u u u u 1 u u dvs. foskydige gå helt ud af ligige. De foskudte vædi, dvs. u vædie, følge altså etop de ekspoetielle vækst model! De gælde defo u a u Sustituee vi tilage ige med u fås defo a a a a a 1 a 1 a a a1 e det e etop løsigsfomle fa øvelse 3! Øvelse 5: Løsigsfomle fo foskudt ekspoetiel vækst a) Gø ede fo detaljee i de oveståede udegige. ) Hvad ske de i tilfældet a 1? Illusté med gafe og taelle! Vi samle esultatee af de foegåede øvelse i de følgede ovesigt: Sætig 1: Lieæ iteatio De lieæe iteatiospoces dække ove te fome fo vækst: 1) Lieæ vækst med vækstligige 1 og de geeelle løsig. Tidsseiegafe e e et lije med hældigskoefficiet og statvædie. De lieæe vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med. 2) Ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a og de geeelle løsig a. Tidsseiegafe e e ekspoetiel gaf med vækstfaktoe a og statvædie. De ekspoetielle vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med a 1. 3) Foskudt ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a hvo a 1 og de geeelle løsig a 1 (1 ) 1 e givet ved a (1 ). Tidsseiegafe e e foskudt ekspoetiel vækstgaf a, idet de æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt a1 1 a hvis a 1 og fjee sig fa ligevægtsvædie ekspoetielt hvis a 1. Hvis a 1 svige de omkig 1 a ligevægtsvædie. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

5 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Bemækig: Sumfomle fo e edelig kvotietække 2 1 a 1 1 aa... a a 1 vise etop, at hvis a ligge meget tæt på 1, dvs. etetilskivige e meget lille, så gælde med sto tilæmelse a 1 a 1 Løsigsfomle til de lieæe iteatio foekles da til a å a 1 elle I dette tilfælde opføe løsige sig altså som summe af e ekspoetiel vækst og e lieæ vækst. e i almidelighed lades de to vækstpocesse og det slå det lieæe vækstidag i stykke. Det vokse ikke lægee ku med et fast idag, me også på gud af etetilskivige (etes ete picippet). 2.4 Retesegig I C oges kapitel 4 ha vi udledt kapitalfemskivigsfomle K K (1 ) I C oges kapitel 4, pojekt 3: Alægsøkoomie i Stoeæltsoe hvoda afdages lå ha vi ehadlet polematikke omkig opspaig og afetalig af lå. He vil vi se på opspaig og afetalig af lå i lyset af de lieæe iteatiosmodelle mee specifikt vil vi vise, at på samme måde som kapitalfemskivig e et eksempel på e ekspoetiel vækstmode e såvel opspaig som afetalig af lå eksemple på foskudte ekspoetielle vækstmodelle. Eksempel: Opspaig Hvis vi hve temi idsætte et elø på e koto vil vi efte temie have opspaet eløet A. De gælde da følgede femskivig til +1 temie A 1 (1 ) A med statvædie A idet vi dels få tilskevet ete til det alleede opspaede elø, dels idskyde edu e fast opspaig på eløet. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 6: Fomle fo opspaigsauitete Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo opspaigsauitete 1 (1 ) 1 A Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. Du ka fide eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. Fomle ka også uges på adet ed opspaig: Øvelse 7: Atomlossepladse På e atom losseplads efide de sig 1 tos ladet adioaktivt affald, de i geemsit hefalde med 2.3% om ået. E gag om ået tilføes de ydeligee 1 tos adioaktivt affald til atomlossepladse. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e det faste idskud? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

6 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel c) Hvo læge ka ma live ved med at tilføe 1 tos yt adioaktivt affald om ået, hvis de maksimalt må efide sig 2 tos adioaktivt affald på lossepladse? d) Hvo mage tos ka ma deefte aftage åligt på atomlossepladse? Øvelse 8: Natulig adioaktivitet Det meste af de atulige aggudsstålig i voes huse komme fa udsivede Rado 222, de sive ud fa f etovægge og udegude. ægde af udsivede ado 22 vaiee selvsagt efte udegudes eskaffehed og hvilke mateiale huset e ygget af. Atag at vi efide os i et hus, hvo de sive 1 ado 22 kee ud i miuttet. Vi ka ege med at ca. 2% af adokeee fosvide pe miut på gud af adioaktivt hefald. a) Hvad e iteatiosligige, de egulee atallet af ado 222 kee miut fo miut. Opstil e tidsseiegaf aseet på (de uealistiske!) statvædi. Hvad live ligevægtsvædie fo adokeee i det pågældede hus? ) Atag u at vi istallee e udsugig i huset, de fjee 1 m 3 luft i miuttet, og at huset i alt umme 15m 3 luft. Hvoda vil det påvike koefficietee i iteatiosligige? Hvoda vil det påvike ligevægtsvædie fo adokeee i huset? Femstil e tidsseiegaf, de vise hvad de ske efte vi ha istalleet udsugige. Eksempel: Afetalig Hvis vi låe et elø G (fo gæld) og fopligte os til hve temi at afdage lået med ydelse y vil vi efte temie have educeet gælde til G. De gælde da de følgede femskivig til +1 temie: G 1 G (1 ) y med statvædie G G idet de dels tilskives ete til de eksisteede gæld, dels edskives gælde med eløet y. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 9: Afetaligsauitete a) Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo estgælde (1 ) 1 G G(1 ) y Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. ) Gø ede fo, at hvis gælde etop e afdaget ove N temie gælde de sammehæge 1 (1 ) Gy c) Hvis ydelse e fo lille vil gælde aldig live afdaget. De kitiske gæld defiees som de statioæe gæld, hvo gælde hele tide ha samme støelse. Hvad live fomle fo de kitiske gæld? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

7 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 1: Boliglå Boligete ha ikke altid væet så lav, som i disse å! Et ugt pa optog et oliglå på 375 k. til 9% ålig ete med e ålig ydelse på 36 k. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e de lieæe tilvækst? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf, et wediagam og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. c) Hvo sto e de kitiske gæld? Hvo læge vil det uge pa væe om at afdage lået? Hvo sto e de samlede tilage etalig på lået? d) Hvoda udvikle afstade til de kitiske gæld sig som fuktio af atallet af å? Du ka fide flee eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. 2.5 Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe Vi ha i C oges kapitel 4, pojekt 1 set æmee på l.a. iamatakatastofe. He vil vi kot ehadle de på gudlag af de lieæe iteatiosmodelle, dvs. vi vil se æmee på meeskes optagelse og udskillelse af giftstoffe. Fo ekelheds skyld vil vi kocetee os om tugmetalle som kviksølv, ly og cadmium. Tugmetallee optages geem de mad, vi spise, geem det vad, vi dikke, og geem de luft, vi idåde. Tugmetalle e e uudgåelig estaddel af det omgivede miljø, om ed dees kocetatio e steget kaftigt i de seeste åtie på gud af meeskeskat foueig. Vi optage altså hele tide tugmetalle, og ude omale omstædighede ka vi (i geemsit) ege med at optage e kostat mægde hve dag. ægde af det optage tugmetal vokse defo lieæt med tide. Heldigvis e voes kop i stad til at udskille tugmetallee ige. Fo et estemt tugmetal vil koppe typisk hve dag kue udskille e estemt økdel af de totale mægde tugmetal i koppe. Udskillelse ske f geem yee og levee, de fjee e estemt økdel fa det lod, som stømme igeem. Koppe udskille defo tugmetallee ekspoetielt. De to afgøede paamete, de estemme, hvo meget tugmetal de et faktisk ophoes i koppe, e defo 1) de daglige optagelse af det pågældede tugmetal 2) de iologiske halveigstid fo det pågældede tugmetal ADI vædie fo geemsitlig Ogaisk Kviksølv Uogaisk Kviksølv Bly Cadmium tugmetaloptagelse µg/ kg legemsvægt,5,7 7 1 Biologisk halveigstid (dage) Øvelse 11: Ophoig af uogaisk heholdsvis ogaisk kviksølv Vi foestille os at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde uogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg uogaisk kviksølv daglig. a) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

8 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel c) Hvad e ligevægtsvædie fo det uogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet 9% af dee ligevægtsvædi? Vi foestille os deefte at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde ogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg ogaisk kviksølv daglig. d) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? e) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. f) Hvad e ligevægtsvædie fo det ogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet de dødelige dosis på 1 mg p kg legemsvægt? Øvelse 12: iamatakatastofe a) Diskuté iamatakatastofe i lyset af de oveståede øvelse. 2.6 odelleig på gudlag af data I det foegåede ha vi opstillet iteatiosligige 1 f( ), som give dyamikke af systemet og så løst iteatiosligige umeisk, gafisk, symolsk. e ma ka også komme ud fo at ma ha givet e seie taeldata og så skal fitte med e lieæ iteatiosmodel. I A oges kapitel 9 vede vi tilage til egessiosmodelle fo lieæ vækst, ekspoetiel vækst og foskudt ekspoetiel vækst. De ka avedes, selv hvis data e imeligt mudede. e hvis data e imeligt pæcise, ka vi også fosøge at estimee femskivigsfuktioe f diekte ved at plotte 1 som e fuktio af, det såkaldte etuplot, de selvfølgelig ka udygges til et egetligt wediagam. Øvelse 13: USA s efolkig fa 179 til 189 Baseet på folketællige hvet tiede å ka vi følge udviklige i USA's efolkig i peiode fø vedeskigee: Åstal Atal i mio Du ka hete data i et egeak he! a) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 1 Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee?. Ligge puktee med imelighed på et lije? ) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

9 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 14: Newtos afkøligslov Hvis du femstille e potte te med tempeatue 88C vil tempeatue aftage mod stuetempeatue. De følgede tael vise udviklige i tempeatue: Tid i miutte Tempeatu i C Du ka hete data i et egeak he! ) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 6. Ligge puktee med imelighed på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Udyg etuplottet ved at tilføje diagoale y. Hvo skæe de lije høede til etuplottet? c) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig 1 a. Omskiv iteatiosligige på fome u (1 ) u med u med a1. Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? d) Bug statvædie 88C. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. e) Et gammelt husåd sige at e vam kop te ka dikkes med velehag så læge tempeatue e midst 55C. Hvo læge ka ma med velehag dikke e kop te fa de oveståede potte? f) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet havde e stattempeatu på 98C? g) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet satte potte med stattempeatue 88C id ude e tehætte, så det u vaede 1 miutte fø tempeatue faldt til 7C? 3. Ikke lieæ iteatio De klassiske logistiske vækst e e modifikatio af de ekspoetielle vækstmodel. I de ekspoetielle vækstmodel atages det at vækstate e kostat, dvs. (dvs. ) I de klassiske logistiske vækst atages det u at vækste hæmmes å populatioe live sto, idet vækstate aftage lieæt med populatioes støelse og gå helt i stå i ligevægtsvædie/æeeve. Det e imidletid ikke etydigt, hvoda det skal fostås i e disket model. Umiddelat ville det kue ovesættes til e ligig på fome 1 dvs. 1 elle a 1, hvo a1. a e i så fald live femskivigsfuktioe f () a 1 et adegadspolyomium i og a demed ikke mooto. Som vi skal se komplicee det dyamikke etydeligt! 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

10 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 15: Feigeaum iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. e e paael med ul ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () a 1 a a pukte i og, de skæe diagoale y i og. De e imidletid også de mulighed at vi ovesætte det til e ligig på fome 1 1 hvo vi altså emse vækste i fohold til de kommede populatiosstøelse i stedet fo de uvæede populatiosstøelse. I så fald ka vækstligige omskives på fome (1 ) a Dee gag e femskivigsfuktioe a f () 1 altså e udde lieæ fuktio, som e mooto, idet de e voksede! Som vi skal se foekle det dyamikke etydeligt og det e faktisk muligt at fide e eksplicit løsigsfomel. Øvelse 16: Vehulst iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. a ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () e e ligesidet hypeel med ulpukt i og vadet asymptote i y, de skæe diagoale y i og. 1 a 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

11 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 3.1 Klassisk logistisk vækst (Vehulst) Vi tage udgagspukt i femskivigsfuktioe: a f () 1 De tilhøede iteatiosligig foekles u etydeligt, hvis vi vede øke a a a a 1 e det vise jo etop at de ecipokke populatio u 1 følge e lieæ iteatiosmodel: 1 u 1 u A u B a a med 1 A og a B a e så ka vi jo oveføe løsigsfomle, hvoved vi fide: A 1 a 1 a 1 1 u A u B a u a u 1 a u a 1 A1 a a 1 1a Sustituee vi tilage fide vi defo løsigsfomle fo e klassisk logistisk vækst 1 1 u 1 1 ( a a 1) 1 1 a De ha alle de klassiske kedeteg fo de logistiske vækst: De foide to ekspoetielle vækstmodelle, idet de føst vokse ekspoetielt som k1 a og deæst øje af og æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt, dvs. som k2 a. Øvelse 17: Løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst Gø ede fo detaljee i de oveståede udledig af løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst. Øvelse 18: Klassisk logistisk vækst 2 a) Opskiv iteatiosligige 1 med statvædie.25 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehø 1.1 ede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Hvad live ligevægstvædie? Hvad live løsigsfomle? Hvoda se de tilhøede uhæmmede ekspoetielle vækstmodel ud? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

12 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel De klassiske logistiske vækstmodel e givet e gudig ehadlig i B oges kapitel 6. He se vi lot på ogle typiske avedelse. Øvelse 19: USA s efolkig fa som et eksempel på logistisk vækst Vi ha tidligee set på USA s efolkigstilvækst i øvelse 13. Vi udvide u datamateialet fo USA s efolkig fo at se æmee på hvoda e passede model u ka se ud: Åstal Atal i mio Åstal Atal i mio Du ka hete datamateialet he. a) Opstil såvel et etuplot, 1 1 som et etuplot, fo det eci 1 pokke datasæt 1 1 1,,..., fo datasættet, 1,..., 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? Øvelse 2: Vækste af e solsikkelomst De følgede tael vise højde af e solsikkelomst i 2 måedes itevalle: a) Opstil såvel et etuplot, ecipokke datasæt Atal uge Højde i cm fo datasættet, 1,..., ,,..., som et etuplot, fo det 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune -egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

SPIL. Sandsynligheder og Strategier

SPIL. Sandsynligheder og Strategier SPIL Sadsylighede og Stategie Ole Witt-Hase Køge Gymasium 2006 INDHOLD Kap. Sadsylighede ved spil.... Lotto... øvelse...3 2. Poke...3 3. Ruisadsylighede ved Roulette mv....5 Kap 2. Stategie ved spil...9.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Bilag 3 Kultur- og Fritidsforvaltningen Beskriv hvad indberetningen går ud på

Bilag 3 Kultur- og Fritidsforvaltningen Beskriv hvad indberetningen går ud på Kultu- og Fitidsfovaltige Beskiv hvad ige gå ud på Afø hvilke istitutio ige vedøe kosekve see væe ved ls ige? fomålet ige kue på e ade Beskiv hvoda Hvo ofte skal de idbeett ha? idbeet ige? Ålig udgift

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

Sportsfiskerforeningen ALS medlem af Danmarks Sportsfiskerforbund

Sportsfiskerforeningen ALS medlem af Danmarks Sportsfiskerforbund Fomde h odet... medlem f Dmks Spotsfiskefobd å bg oet i Spotsfiskefoeige ALS. J det e toligt, som tide gå. Jeg vil gee beytte lejlighede til t bige e STOR TAK til lle de, de mødte op elle på de ee elle

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere