1. Indledning Lineær iteration... 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2"

Transkript

1 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig Lieæ iteatio Lieæ vækst Ekspoetiel vækst Foskudt ekspoetiel vækst Retesegig Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe odelleig på gudlag af data Ikke lieæ iteatio Klassisk logistisk vækst (Vehulst) Idledig I kapitel ha vi set på iteatiospocesse 1 f( ) hvo femskivigsfuktioe ka væe lieæ, dvs. på fome f () a, elle ikke lieæ, dvs. alt muligt adet, me typiske tilfælde e ikke lieæe iteatioe, hvo femskivigsfuktioe e et adegadspolyomium, dvs. på fome f () a celle e ude lieæ fuktio, dvs. på fome 2 a f (). I visse tilfælde ka disse ikke lieæe iteatioe ved hjælp af e sedig sustitutio føes c d tilage til de lieæe iteatio. Vi skal se eksemple på dette i det følgede. Alle de eksemple vi se på e kedetegede ved at vi ka fide e eksplicit løsigsfomel til iteatiosligige. De såkaldte kaotiske iteatiospocesse må ma defo læse om i et adet pojekt. e ide vi fo alvo gå i detalje med iteatiospocesse lægge vi mæke til, at vi også ka skive iteatiospocesse på fome 1 1 ( ) (med f () 1 () ) hvo () kaldes etetilskivige, såda som vi kede det fa f ekspoetiel vækst, hvo etetilskivige e kostat. Læg mæke til at etetilskivige e givet ved de elative tilvækst 1 ( ) Tilsvaede ka iteatiosligige skives på fome 1 g( ) (med f () g ()) hvo g () kaldes føsteodesdiffeese, de altså svae til de asolutte tilvækst. I det vi emæke at tilvækste fo idekset e givet ved ( 1) 1 ka vi også skive de sidste ligig på fome g ( ). E iteatiosligig kaldes defo også fo e diffeesligig og de fugee på mage måde som e disket udgave af e diffeetialligig. Vi gå i dyde med diffeetialligige i B oges kapitel 6 samt A oges kapitel 3. age af de esultate vi vise i det følgede gælde også fo de igtige diffeetialligige. e dels spille diffeesligige i sig selv e sto olle i mage modelle i økoomi og iologi, dels e de fa et matematisk syspukt meget emmee at udesøge. Det følgede pojekt ka defo også ses som e itoduktio til diskete vækstmodelle, hvo vi møde de samme modelle, de seee optæde som kotiuete vækstmodelle, dvs. de lieæe vækst, de ekspoetielle vækst, de foskudte ekspoetielle vækst og de logistiske vækst. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

2 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 2. Lieæ iteatio De lieæe iteatiosligig 1 a umme to vigtige specialtilfælde 1) 1, hvo a = 1 (såkaldt plus vækst) 2) 1 a, hvo = (såkaldt gagevækst) Dem udesøge vi føst, hvoefte vi til sidst se på de geeelle lieæe iteatiosligig. 2.1 Lieæ vækst Vi state med at gøe os fotolige med de simpleste vækstmodel: de lieæe vækst, hvo vi hele tide lægge de samme tilvækst til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 elle med e passede statvædi Øvelse 1: Lieæ vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 i almidelighed e givet ved løsigsfomle. Vik: Kig på taelle: Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 2.2 Ekspoetiel vækst Vi fotsætte med at gøe os fotolige med de æste simple vækstmodel: de ekspoetielle vækst, hvo vi hele tide lægge de samme pocetdel til. Vi ka defo skive iteatiosligige på fome 1 a (1 ),dvs. a1,med e passede statvædi. Øvelse 2: Ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige 1 2 med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Gø ede fo hvofo løsige til diffeesligige 1 a i almidelighed e givet ved løsigsfomle a. Vik: Kig på taelle Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

3 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 2.3 Foskudt ekspoetiel vækst De to idledede øvelse va i det væsetlige epetitioe af hvad vi alleede i foveje vidste om lieæ vækst (C oge kapitel 1) og ekspoetiel vækst (C oge kapitel 4). e å vi kigge på de geeelle lieæe iteatiosligig 1 a med a 1 og live det mee kompliceet! Øvelse 3: Foskudt ekspoetiel vækst a) Opskiv iteatiosligige med statvædie 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Gø ede fo at løsige til diffeesligige 1 a ivolvee sumfomle fo e kvotietække 1 aa... a og at de geeelle løsigsfomel defo komme til at hedde 2 1 a 1 a 1 a 1 a. Vik: Kig på taelle: a Hvad ske de, å vi gå 1 positio fem i taelle? c) Gø ede fo at de geeelle løsigsfomel etop passe med de specielle løsigsfomel du fadt i a)! Hvis du ikke kede sumfomle fo e edelig kvotietække ka du fide detaljee i C oge kapitel, afsit 2, sætig 4, elle C oge kapitel 4, pojekt 3 om Stoeæltoes fiasieig. Det e dog ikke sikket du fide de oveståede udledig helt simpel. Vi give defo e alteativ udledig: Øvelse 4: Foskudt ekspoetiel vækst detalje 1 a) Opskiv iteatiosligige 1 1 med statvædie 2 3 i dit CAS pogam og udesøg hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehøede vædie fo og. Gæt løsigsfomle, dvs. foskifte fo som fuktio af! ) Idfø u skydee fo a, og evt. statvædie (hvis ikke du fa state ka tække i statpuktet). Lad paametevædiee gå fa 2 til 2. Opskiv iteatiosligige 1 a og udesøg såvel tidsseiegafes opføsel såvel som we diagammet (spidelvævet). Hvilke olle spille det såkaldte fikspukt fo iteatioes opføsel? Vi omskive iteatiosligige til fome 1 a ( a1) ( ) hvo vi altså iddage etetilskivige a 1. He e højeside opygget som e multiplikativ poces med ete som fast fakto. e de e tale om e foskudt multiplikatio idet vi ha lagt / til vædie. Dee fomel vise at vækste gå i stå, hvis idet de asolutte tilvækst så e. Vi sige defo at e et fikspukt fo iteatiospocesse elle at e e statioæ løsig til iteatiosligige. e de asolutte tilvækst e e diffees, hvo foskydige gå ud. Det vise at vi med fodel ka sustituee u i iteatiosligige. I så fald omfomes ligige til 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

4 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel u1 u u u u u 1 u u dvs. foskydige gå helt ud af ligige. De foskudte vædi, dvs. u vædie, følge altså etop de ekspoetielle vækst model! De gælde defo u a u Sustituee vi tilage ige med u fås defo a a a a a 1 a 1 a a a1 e det e etop løsigsfomle fa øvelse 3! Øvelse 5: Løsigsfomle fo foskudt ekspoetiel vækst a) Gø ede fo detaljee i de oveståede udegige. ) Hvad ske de i tilfældet a 1? Illusté med gafe og taelle! Vi samle esultatee af de foegåede øvelse i de følgede ovesigt: Sætig 1: Lieæ iteatio De lieæe iteatiospoces dække ove te fome fo vækst: 1) Lieæ vækst med vækstligige 1 og de geeelle løsig. Tidsseiegafe e e et lije med hældigskoefficiet og statvædie. De lieæe vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med. 2) Ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a og de geeelle løsig a. Tidsseiegafe e e ekspoetiel gaf med vækstfaktoe a og statvædie. De ekspoetielle vækstmodel omfatte også de statioæe vækstmodel med a 1. 3) Foskudt ekspoetiel vækst med vækstligige 1 a hvo a 1 og de geeelle løsig a 1 (1 ) 1 e givet ved a (1 ). Tidsseiegafe e e foskudt ekspoetiel vækstgaf a, idet de æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt a1 1 a hvis a 1 og fjee sig fa ligevægtsvædie ekspoetielt hvis a 1. Hvis a 1 svige de omkig 1 a ligevægtsvædie. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

5 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Bemækig: Sumfomle fo e edelig kvotietække 2 1 a 1 1 aa... a a 1 vise etop, at hvis a ligge meget tæt på 1, dvs. etetilskivige e meget lille, så gælde med sto tilæmelse a 1 a 1 Løsigsfomle til de lieæe iteatio foekles da til a å a 1 elle I dette tilfælde opføe løsige sig altså som summe af e ekspoetiel vækst og e lieæ vækst. e i almidelighed lades de to vækstpocesse og det slå det lieæe vækstidag i stykke. Det vokse ikke lægee ku med et fast idag, me også på gud af etetilskivige (etes ete picippet). 2.4 Retesegig I C oges kapitel 4 ha vi udledt kapitalfemskivigsfomle K K (1 ) I C oges kapitel 4, pojekt 3: Alægsøkoomie i Stoeæltsoe hvoda afdages lå ha vi ehadlet polematikke omkig opspaig og afetalig af lå. He vil vi se på opspaig og afetalig af lå i lyset af de lieæe iteatiosmodelle mee specifikt vil vi vise, at på samme måde som kapitalfemskivig e et eksempel på e ekspoetiel vækstmode e såvel opspaig som afetalig af lå eksemple på foskudte ekspoetielle vækstmodelle. Eksempel: Opspaig Hvis vi hve temi idsætte et elø på e koto vil vi efte temie have opspaet eløet A. De gælde da følgede femskivig til +1 temie A 1 (1 ) A med statvædie A idet vi dels få tilskevet ete til det alleede opspaede elø, dels idskyde edu e fast opspaig på eløet. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 6: Fomle fo opspaigsauitete Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo opspaigsauitete 1 (1 ) 1 A Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. Du ka fide eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. Fomle ka også uges på adet ed opspaig: Øvelse 7: Atomlossepladse På e atom losseplads efide de sig 1 tos ladet adioaktivt affald, de i geemsit hefalde med 2.3% om ået. E gag om ået tilføes de ydeligee 1 tos adioaktivt affald til atomlossepladse. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e det faste idskud? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

6 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel c) Hvo læge ka ma live ved med at tilføe 1 tos yt adioaktivt affald om ået, hvis de maksimalt må efide sig 2 tos adioaktivt affald på lossepladse? d) Hvo mage tos ka ma deefte aftage åligt på atomlossepladse? Øvelse 8: Natulig adioaktivitet Det meste af de atulige aggudsstålig i voes huse komme fa udsivede Rado 222, de sive ud fa f etovægge og udegude. ægde af udsivede ado 22 vaiee selvsagt efte udegudes eskaffehed og hvilke mateiale huset e ygget af. Atag at vi efide os i et hus, hvo de sive 1 ado 22 kee ud i miuttet. Vi ka ege med at ca. 2% af adokeee fosvide pe miut på gud af adioaktivt hefald. a) Hvad e iteatiosligige, de egulee atallet af ado 222 kee miut fo miut. Opstil e tidsseiegaf aseet på (de uealistiske!) statvædi. Hvad live ligevægtsvædie fo adokeee i det pågældede hus? ) Atag u at vi istallee e udsugig i huset, de fjee 1 m 3 luft i miuttet, og at huset i alt umme 15m 3 luft. Hvoda vil det påvike koefficietee i iteatiosligige? Hvoda vil det påvike ligevægtsvædie fo adokeee i huset? Femstil e tidsseiegaf, de vise hvad de ske efte vi ha istalleet udsugige. Eksempel: Afetalig Hvis vi låe et elø G (fo gæld) og fopligte os til hve temi at afdage lået med ydelse y vil vi efte temie have educeet gælde til G. De gælde da de følgede femskivig til +1 temie: G 1 G (1 ) y med statvædie G G idet de dels tilskives ete til de eksisteede gæld, dels edskives gælde med eløet y. e det e jo etop e lieæ iteatiosligig. Øvelse 9: Afetaligsauitete a) Gø ede fo at de må gælde de følgede fomel fo estgælde (1 ) 1 G G(1 ) y Vik: Bug de almee løsigsfomel fo de lieæe iteatiospoces og educé. ) Gø ede fo, at hvis gælde etop e afdaget ove N temie gælde de sammehæge 1 (1 ) Gy c) Hvis ydelse e fo lille vil gælde aldig live afdaget. De kitiske gæld defiees som de statioæe gæld, hvo gælde hele tide ha samme støelse. Hvad live fomle fo de kitiske gæld? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

7 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 1: Boliglå Boligete ha ikke altid væet så lav, som i disse å! Et ugt pa optog et oliglå på 375 k. til 9% ålig ete med e ålig ydelse på 36 k. a) Hvad e etetilvækste? Hvad e de lieæe tilvækst? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf, et wediagam og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. c) Hvo sto e de kitiske gæld? Hvo læge vil det uge pa væe om at afdage lået? Hvo sto e de samlede tilage etalig på lået? d) Hvoda udvikle afstade til de kitiske gæld sig som fuktio af atallet af å? Du ka fide flee eksemple på egig med fomle i det tidligee omtalte pojekt 4.3 fa C oge. 2.5 Vækstmodelle i iologi iamatakatastofe Vi ha i C oges kapitel 4, pojekt 1 set æmee på l.a. iamatakatastofe. He vil vi kot ehadle de på gudlag af de lieæe iteatiosmodelle, dvs. vi vil se æmee på meeskes optagelse og udskillelse af giftstoffe. Fo ekelheds skyld vil vi kocetee os om tugmetalle som kviksølv, ly og cadmium. Tugmetallee optages geem de mad, vi spise, geem det vad, vi dikke, og geem de luft, vi idåde. Tugmetalle e e uudgåelig estaddel af det omgivede miljø, om ed dees kocetatio e steget kaftigt i de seeste åtie på gud af meeskeskat foueig. Vi optage altså hele tide tugmetalle, og ude omale omstædighede ka vi (i geemsit) ege med at optage e kostat mægde hve dag. ægde af det optage tugmetal vokse defo lieæt med tide. Heldigvis e voes kop i stad til at udskille tugmetallee ige. Fo et estemt tugmetal vil koppe typisk hve dag kue udskille e estemt økdel af de totale mægde tugmetal i koppe. Udskillelse ske f geem yee og levee, de fjee e estemt økdel fa det lod, som stømme igeem. Koppe udskille defo tugmetallee ekspoetielt. De to afgøede paamete, de estemme, hvo meget tugmetal de et faktisk ophoes i koppe, e defo 1) de daglige optagelse af det pågældede tugmetal 2) de iologiske halveigstid fo det pågældede tugmetal ADI vædie fo geemsitlig Ogaisk Kviksølv Uogaisk Kviksølv Bly Cadmium tugmetaloptagelse µg/ kg legemsvægt,5,7 7 1 Biologisk halveigstid (dage) Øvelse 11: Ophoig af uogaisk heholdsvis ogaisk kviksølv Vi foestille os at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde uogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg uogaisk kviksølv daglig. a) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? ) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. (fotsættes) 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

8 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel c) Hvad e ligevægtsvædie fo det uogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet 9% af dee ligevægtsvædi? Vi foestille os deefte at vi (helt uealistisk!) ikke ideholde ogaisk kviksølv til at egyde med og at vi på gud af foueige optage 2mg ogaisk kviksølv daglig. d) Hvo mage pocet udskilles p dag som følge af de ekspoetielle udskillelse? Hvo mage milligam optages p dag? Hvad e statvædie? Hvoda se løsigsfomle ud i dette tilfælde? e) Femstil e tidsseiegaf og e tael fo dette lieæe iteatiossystem. f) Hvad e ligevægtsvædie fo det ogaiske kviksølv? Hvo mage dage gå de fø vi ha passeet de dødelige dosis på 1 mg p kg legemsvægt? Øvelse 12: iamatakatastofe a) Diskuté iamatakatastofe i lyset af de oveståede øvelse. 2.6 odelleig på gudlag af data I det foegåede ha vi opstillet iteatiosligige 1 f( ), som give dyamikke af systemet og så løst iteatiosligige umeisk, gafisk, symolsk. e ma ka også komme ud fo at ma ha givet e seie taeldata og så skal fitte med e lieæ iteatiosmodel. I A oges kapitel 9 vede vi tilage til egessiosmodelle fo lieæ vækst, ekspoetiel vækst og foskudt ekspoetiel vækst. De ka avedes, selv hvis data e imeligt mudede. e hvis data e imeligt pæcise, ka vi også fosøge at estimee femskivigsfuktioe f diekte ved at plotte 1 som e fuktio af, det såkaldte etuplot, de selvfølgelig ka udygges til et egetligt wediagam. Øvelse 13: USA s efolkig fa 179 til 189 Baseet på folketællige hvet tiede å ka vi følge udviklige i USA's efolkig i peiode fø vedeskigee: Åstal Atal i mio Du ka hete data i et egeak he! a) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 1 Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee?. Ligge puktee med imelighed på et lije? ) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

9 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 14: Newtos afkøligslov Hvis du femstille e potte te med tempeatue 88C vil tempeatue aftage mod stuetempeatue. De følgede tael vise udviklige i tempeatue: Tid i miutte Tempeatu i C Du ka hete data i et egeak he! ) Opstil et etuplot, 1 fo datasættet, 1,..., 6. Ligge puktee med imelighed på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Udyg etuplottet ved at tilføje diagoale y. Hvo skæe de lije høede til etuplottet? c) Opstil de tilhøede lieæe iteatiosligig 1 a. Omskiv iteatiosligige på fome u (1 ) u med u med a1. Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo de lieæe iteatiosmodel? d) Bug statvædie 88C. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. e) Et gammelt husåd sige at e vam kop te ka dikkes med velehag så læge tempeatue e midst 55C. Hvo læge ka ma med velehag dikke e kop te fa de oveståede potte? f) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet havde e stattempeatu på 98C? g) Hvo læge vil ma kue dikke e kop te med velehag, hvis ma i stedet satte potte med stattempeatue 88C id ude e tehætte, så det u vaede 1 miutte fø tempeatue faldt til 7C? 3. Ikke lieæ iteatio De klassiske logistiske vækst e e modifikatio af de ekspoetielle vækstmodel. I de ekspoetielle vækstmodel atages det at vækstate e kostat, dvs. (dvs. ) I de klassiske logistiske vækst atages det u at vækste hæmmes å populatioe live sto, idet vækstate aftage lieæt med populatioes støelse og gå helt i stå i ligevægtsvædie/æeeve. Det e imidletid ikke etydigt, hvoda det skal fostås i e disket model. Umiddelat ville det kue ovesættes til e ligig på fome 1 dvs. 1 elle a 1, hvo a1. a e i så fald live femskivigsfuktioe f () a 1 et adegadspolyomium i og a demed ikke mooto. Som vi skal se komplicee det dyamikke etydeligt! 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

10 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel Øvelse 15: Feigeaum iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. e e paael med ul ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () a 1 a a pukte i og, de skæe diagoale y i og. De e imidletid også de mulighed at vi ovesætte det til e ligig på fome 1 1 hvo vi altså emse vækste i fohold til de kommede populatiosstøelse i stedet fo de uvæede populatiosstøelse. I så fald ka vækstligige omskives på fome (1 ) a Dee gag e femskivigsfuktioe a f () 1 altså e udde lieæ fuktio, som e mooto, idet de e voksede! Som vi skal se foekle det dyamikke etydeligt og det e faktisk muligt at fide e eksplicit løsigsfomel. Øvelse 16: Vehulst iteatio a) Gø ede fo detaljee i de oveståede omskivige. a ) Gø ede fo at gafe fo femskivigsfuktioe f () e e ligesidet hypeel med ulpukt i og vadet asymptote i y, de skæe diagoale y i og. 1 a 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

11 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel 3.1 Klassisk logistisk vækst (Vehulst) Vi tage udgagspukt i femskivigsfuktioe: a f () 1 De tilhøede iteatiosligig foekles u etydeligt, hvis vi vede øke a a a a 1 e det vise jo etop at de ecipokke populatio u 1 følge e lieæ iteatiosmodel: 1 u 1 u A u B a a med 1 A og a B a e så ka vi jo oveføe løsigsfomle, hvoved vi fide: A 1 a 1 a 1 1 u A u B a u a u 1 a u a 1 A1 a a 1 1a Sustituee vi tilage fide vi defo løsigsfomle fo e klassisk logistisk vækst 1 1 u 1 1 ( a a 1) 1 1 a De ha alle de klassiske kedeteg fo de logistiske vækst: De foide to ekspoetielle vækstmodelle, idet de føst vokse ekspoetielt som k1 a og deæst øje af og æme sig ligevægtsvædie ekspoetielt, dvs. som k2 a. Øvelse 17: Løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst Gø ede fo detaljee i de oveståede udledig af løsigsfomle fo de klassiske logistiske vækst. Øvelse 18: Klassisk logistisk vækst 2 a) Opskiv iteatiosligige 1 med statvædie.25 i dit CAS pogam og udesøg, hvoda tidsseiegafe komme til at se ud. Se også på de tilhøede tael ove sammehø 1.1 ede vædie fo og. Hvis du ha væktøje til at femige et we diagam så udesøg også hvoda we diagammet se ud. ) Hvad live ligevægstvædie? Hvad live løsigsfomle? Hvoda se de tilhøede uhæmmede ekspoetielle vækstmodel ud? 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

12 Hvad e matematik? B, i og ISBN Pojekte: Kapitel De klassiske logistiske vækstmodel e givet e gudig ehadlig i B oges kapitel 6. He se vi lot på ogle typiske avedelse. Øvelse 19: USA s efolkig fa som et eksempel på logistisk vækst Vi ha tidligee set på USA s efolkigstilvækst i øvelse 13. Vi udvide u datamateialet fo USA s efolkig fo at se æmee på hvoda e passede model u ka se ud: Åstal Atal i mio Åstal Atal i mio Du ka hete datamateialet he. a) Opstil såvel et etuplot, 1 1 som et etuplot, fo det eci 1 pokke datasæt 1 1 1,,..., fo datasættet, 1,..., 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. d) I følge de sidste folketællig oede de i 21 i alt millioe meeske i USA. Hvoda passe det med de oveståede model? Øvelse 2: Vækste af e solsikkelomst De følgede tael vise højde af e solsikkelomst i 2 måedes itevalle: a) Opstil såvel et etuplot, ecipokke datasæt Atal uge Højde i cm fo datasættet, 1,..., ,,..., som et etuplot, fo det 1. Afgø i egge tilfælde om puktee med imelighed ligge på et lije? Hvad live ligige fo de edste ette lije geem puktee? Hvilke model e de mest oveevisede? ) Opstil de tilhøede iteatiosligig: Hvoda ka ma fotolke de to koefficiete i ligige? Hvad live løsigsfomle fo iteatiosmodelle? c) Giv et ud på e passede statvædi. Opstil e tidsseiegaf og sammelig med de faktiske data. 212 L&R Uddaelse A/S Vogmagegade 11 DK 1148 Køehav K Tlf:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter:

Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter: 5 Tyngdekaften Nu hvo vi (fohåbentlig) ha fået et begeb om ummets og tidens sammenflettede natu, skal vi vende tilbage til en ting, som vi ganske kot blev konfonteet med i begyndelsen af foige kapitel.

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden Danmaks Tekniske Museum O P T I K & L Det kunstige øje - om mikoskopet og dets veden Y S Til læeen At bille både e fysik og kultuhistoie, e fo mange bøn en velbevaet hemmelighed. Dette til tods fo at alle

Læs mere

2014 efterår / vinter - 20140814 2 living a

2014 efterår / vinter - 20140814 2 living a 2014 efteå / vite LANERNER, galvaiseede - Vi ka ikke give evhedsgaati på at de ald uste, me de holde lagt lægee ed geemsittet... - Hægsle, itte og hak i ustfit stål. - Magetluk. quado Mico latee Galvaized

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Impressivo. Installationsprodukter. Sæt liv i kontakterne. Få en optimal motorløsning side 28

Impressivo. Installationsprodukter. Sæt liv i kontakterne. Få en optimal motorløsning side 28 N. 6 Decembe 2009 pædede yssætig ide 8 Fuldautomatisk ESD-system øge sikkehede i sommeladet side 0 Impessivo. Istallatiospodukte. Sæt liv i kotaktee. Få e optimal motoløsig side 28 Hoses vad side 4 Kotakt

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning Livstidssundhedsomkostninge fo ygee og ldig-ygee Ålige omkostninge ved pssiv ygning Konsulentppot udbejdet til Hjetefoeningen f pojektlede Susnne Reindhl Rsmussen, egotepeut, MPH DSI Institut fo Sundhedsvæsen,

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole.

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole. Po amu dvik lin Desin up k c Ba ed Sikkeh S e v el øs nin af Ne t m Poam væ k Da ta e e i n se ba Bu e s e vi ce Se m Poam ve løs nin e Fe e i n n di jl f in Softwae ae Hadw D at aba se Si k he d ERHVERVSUDDANNELSER

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Kvalitetsmål til On-line algoritmer Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater 4

Læs mere

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med!

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med! www.ikast-bande.dk Væ med! Vi vil godt væe med I te månede ha bogee i Nøe Snede taget skald og skidt i eg hånd. Det e histoi om by, de også e ved at tage ejeskab fo at tage sig godt ud. Skald på bys offtlige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien.

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien. Toeup Efteskole www.th-te.dk Udgivet af elevfoeningen N. 3 septebe 2013 106. ågang elevblad Hvad buge an en olov til? Læe Mak Badfod ha væet et å i UK saen ed hele failien. NY igen So 2. åselev pøve an

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere