Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Transkript

1 Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september /15

2 Differenskvotient og Differentialkvotient For en funktion f (x) fås en tilnærmee hælning i et punkt x 0 ve ifferenskvotienten y x = f (x 0 + h) f (x 0 ) h Den faktiske hælning fås som grænseværien af enne f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h funktionen f (x) kales en aflete af f (x), og noteres også som x f (x) eller y x når y = f (x). 2/15

3 Eksempler på aflete funktioner Vi har set følgene aflete funktioner x k = 0 x xn = nx n 1 x ex = e x x ln x = 1 x x bx = b x lnb x log b x = 1 x ln b 3/15

4 Regneregler For afleee funktioner gæler er følgene resultater: Proukt me skalar x c f (x) = c x f (x) = c f (x) Sum eller ifferens af to funktioner x (f (x) ± g(x)) = x f (x) ± x g(x) = f (x) ± g (x) Prouktreglen x (f (x) g(x)) = x f (x) g(x) + f (x) x g(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Kvotientreglen [ ] f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) x g(x) g 2 (x) 4/15

5 Kæereglen Givet en ifferentiabel funktion z = f (y) hvor y er en funktion af en anen variabel y = g(x), så gæler er at z x = z y y x Reglen kenes også som reglen for ifferentiation af sammensatte funktioner, sålees at hvis vi skriver z = f (g(x)), så svarer ovenståene utryk til z x = f (g(x))g (x) Ex: Hvis z = e y hvor y = 4x 3 så er z x = ey 12x 2 = e 4x 312x 2 5/15

6 Invers funktion reglen Hvis funktionen y = f (x) opfører sig på en måe så hver y-væri svarer til en unik x-væri, så har funktionen f en invers funktion f 1 Funktioner er har en invers, kales strengt monotone, vs. e er enten strengt voksene eller strengt aftagene. Strengt voksene betyer at x 2 > x 1 f (x 2 ) > f (x 1 ) Strengt aftagene betyer at x 2 > x 1 f (x 2 ) < f (x 1 ) f (x) > 0 for alle x f (x) < 0 for alle x Dvs. er er alti enten positiv eller negativ hælning. 6/15

7 Inverse funktioner Generelt gæler er at båe en originale funktion og en inverse er strengt monotone funktioner. Den originale funktion er inverse til en inverse. Grafen for en inverse svarer til spejlbilleet gennem en 45 graers linie i planen, som vi så et for eksponentialfunktioner og logaritmer. For inverse funktioner gæler er at x y = 1 y/x 7/15

8 Partiel Differentiation Vi betragter funktionen y = f (x 1, x 2,..., x n ) hvor ingen af variable x 1,..., x n afhænger af hinanen. Vi kan så variere f.eks. x 1 mens værien af e anre x er fastholt, og se på hvoran ette påvirker y. U fra ette kan vi betragte ifferenskvotienten y = f (x 1 + h, x 2,...,x n ) f (x 1, x 2,..., x n ) x 1 h Betragter vi grænseværien af enne for h gåene mo 0 så får vi en partielle ifferentialkvotient me hensyn til x 1 f 1 (x) = y f (x 1 + h, x 2,..., x n ) f (x 1, x 2,...,x n ) = lim x 1 h 0 h 8/15

9 Eksempler på partiel ifferentiation Den største forskel mellem alm. og partiel ifferentiation er at vi har fastholer (n 1) variable mens vi varierer en. Teknikken ve ette bliver så at alle e variable man ikke ifferentierer mht. kan betragtes som konstanter ve uregningen. Ex: Givet y = f (x 1, x 2, x 3 ) = 10x ex2 + x 2 lnx 3 + x 1 x 3 fås e partielle afleee til: f 1 (x) = y x 1 = 40x x 3 f 2 (x) = y x 2 = e x2 + ln x 3 f 3 (x) = y x 3 = x 2 x 3 + x 1 De partielle aflee svarer til hælningen i en givne variabels retning. 9/15

10 Graientvektor Alle e partielle aflete kan samles i en størrelse, som kales graientvektoren. Denne er givet ve f (x 1, x 2,..., x n ) = (f 1, f 2,..., f n ) For eksemplet ovenfor fås et altså at f (x 1, x 2,..., x n ) = (40x x 3, e x2 + lnx 3, x 2 x 3 + x 1 ) Evaluerer man graientvektoren i et punkt fås er en vektor beståene af størrelsen af e aflete i e forskellige retninger. Fortsætter vi eksemplet fås f (0, 0, 1) = ( , e 0 + ln(1), 0 + 0) = (1, 1, 0) 1 10/15

11 Hvis vi betragter y x = f (x) så kan ette omskrives til utrykket y = f (x)x De to størrelser y og x kales ifferentialer, og y kan opfattes som en approksimation til tilvæksten i y,, y i forhol til tilvæksten i x, x. Denne ie uvies let til funktioner af flere variable vha. e partielle aflete. Man får sålees et totale ifferential for en funktion y = f (x 1, x 2,..., x n ) ve y = n i=1 y x i x i = y x 1 x 1 + y x 2 x y x n x n y er her igen en approksimation til tilvæksten i y, y i forhol til tilvækster i variablene x 1,..., x n. 11/15

12 Implicitte funktioner En funktion på formen y = f (x 1,...,x n ) kales en eksplicit funktion, a er er givet et eksplicit utryk for hvoran y afhænger af x 1,...,x n. En funktion på formen F(y, x 1,..., x n ) = 0 kales en implicit funktion, a utrykket kun antyer (eng: implies) en sammenhæng mellem variablene. I nogle tilfæle kan en implicit funktion omskrives til en eksplicit funktion ve at isolere y, men et gæler ikke alti. : Ex: Betragt F(x, y) = x 2 + y 2 9 = 0. Dette utryk angiver ikke en funktion, men en relation mellem y og x, a utrykket svarer til en cirkel i planen, sålees at er for en x-væri kan være flere y værier. Vi kan og betragte enten en øvre eller nere halvcircel som en funktion a y = ± 9 x 2 12/15

13 Implicitte funktioner Uner hvilke betingelser gæler et at er kan fines en eksplicit efineret funktion u fra en implicit? Dette gæler hvis 1. De partielle aflete F y,f 1,..., F n er kontinuerte 2. Der fines et punkt y 0,x 10,..., x n0 så F(y 0,x 10,..., x n0) = 0 og F Y (y 0,x 10,..., x n0) 0. Så eksisterer er et områe omkring x 10,..., x n0 hvor y = f (x 1,..., x n ) og y 0 = f (x 10,...,x n0 ). Denne funktion er kontinuert og har kontinuerte aflete. 13/15

14 Aflete af implicitte funktioner Hvis y kan isoleres kan e aflete beregnes irekte. F.eks. fås er for y + = 9 x 2 y + x = 1 2 x ( 2x) = 9 x2 y + y = 9 x 2 y x = 1 2 x ( 2x) = 9 x2 y Hvis y ikke kan isoleres kan e partielle aflete beregnes ve y x i = F i F y 14/15

15 Ex: F(y, x, w) = y 3 x 2 + w 3 + yxw 3 = 0 Ikke umielbart muligt at isolere y F y = 3y 2 x 2 + xw,f x = 2y 3 x + yw og F w = 3w 2 + yx er alle kontinuerte. F y (1, 1, 1) = 4 0, vs. y = f (x, w) eksisterer i et områe omkring ette punkt, og e partielle aflete fås ve y x = F x F y = 2y3 x + yw 3y 2 x 2 + xw y w = F w F y = 3w2 + yx 3y 2 x 2 + xw 15/15