Fundamentale geometriske diskussioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fundamentale geometriske diskussioner"

Transkript

1 1 Når vi taler om andre geometrier tænker vi i dette tilfælde på to geometrier, der på afgørende vis adskiller sig fra den euklidiske geometri og fra hinanden. De er begge eksempler på, hvad man kalder ikke-euklidiske geometrier. De kaldes hyperbolsk geometri og sfærisk geometri. Vi vil give et indtryk af forskellen mellem de tre geometrier, men vil hovedsageligt koncentrere os om sfærisk geometri, der omhandler geometrien på en kugle. Den er interessant for os, fordi vi bor på Jorden, der med god tilnærmelse kan betragtes som en kugle. De to ikke-euklidiske geometrier er begge todimensionale geometrier. Sfærisk geometri er som sagt geometrien på overfladen af en kugle. Tilsvarende er hyperbolsk geometri den geometri der gælder på overfladen af en omdrejningshyperboloide. Den euklidiske, den sfæriske og den hyperbolske geometri har mange fælles egenskaber, men en egenskab, som adskiller de tre geometrier, er vinkelsummen af en trekant. Figuren illustrerer dette. Vinkelsummen i en euklidisk trekant er som bekendt 180, mens den for en hyperbolsk trekant er mindre end 180, og for en sfærisk trekant større end 180. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at får indsigt i andre geometrier end den euklidiske får en forståelse af, hvordan man kan udregne afstande mellem fjerntliggende destinationer, samt hvordan man finder kursen, når man skal ud på flyrejser eller sejlture anvender nogle sædvanlige trigonometriske sammenhænge til at udlede tilsvarende sammenhænge i den sfæriske geometri. -serien består af disse arbejdskort: 1 Fundamentale geometriske diskussioner 2 De sfæriske cosinusrelationer og nogle anvendelser 3 De sfæriske sinusrelationer og en anvendelse

2 2 1 Fundamentale geometriske diskussioner Hensigten med dette arbejdskort er, at skal reflektere over og diskutere fundamentale geometriske begreber Problem 1: Hvornår siger man, at en linje er ret? Tænk på dine egne erfaringer. Det kan muligvis hjælpe dig at tænke på, hvordan du ville forklare begrebet for en femårig (eller måske lytte på hvordan en femårig vil forklare det for dig!). Hvis du anvender en lineal, hvordan kan du så vide (eller checke), at denne er ret? Hvilke egenskaber har rette linjer, som adskiller dem fra ikke rette linjer? Tænk på spørgsmålet ud fra 4 synsvinkler: 1) Hvordan kan du kontrollere i praksis om noget følger en ret linje, uden at antage at du har en lineal, for det fører så bare til spørgsmålet: "Hvordan kan du kontrollere at linealen er retlinjet?" 2) Hvordan konstruerer du noget, der er retlinjet - fx hvordan opstilles hegnspæle langs en ret linje, eller hvordan tegnes en ret linje? 3) Hvilke symmetrier har en ret linje? En symmetri af en geometrisk figur er en spejling, rotation, parallelforskydning eller en glidespejling, der bevarer figuren. Fx har bogstavet 'T' spejlingssymmetri omkring en lodret linje gennem dets midte og bogstavet 'Z' har rotationssymmetri, hvis det roteres 180 omkring dets midtpunkt. 4) Kan du give en definition på "en ret linje"? skolen får vi at vide, at den korteste afstand mellem to punkter er længden af den rette linje, der forbinder de to punkter. Men i Problem 2 vil vi erfare, at dette ikke altid er tilfældet. Det er heller ikke en særlig praktisk definition, idet der ikke findes nogen metode til at måle alle mulige afstande mellem to punkter for at finde den korteste. A: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. B: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum. Problem 2: Hvad forstår man ved en ret linje på en kugleoverflade? Forestil dig, at du er et insekt, der kravler rundt på en kugleoverflade. (Dette insekt kan hverken flyve eller grave sig ind i kuglen). nsektets univers er kuglens overflade. Det forlader den aldrig!

3 3 Hvad vil insektet forstå ved begrebet retlinjet, dvs. hvad vil insektet se og erfare som værende retlinjet? Hvordan kan du overbevise dig selv om dette? Brug symmetriegenskaberne for retlinjethed, som vi diskuterede i problem 1. Vis (dvs. overbevis dig selv, og giv et argument, der kan overbevise andre), at storcirklerne på en kugle er rette linjer i forhold til kugleoverfladen, og at der ikke er andre cirkler på kuglen, der er rette linjer i forhold til kuglen. Storcirkler er de cirkler, som opstår ved skæring mellem kuglen og en plan gennem centrum af kuglen. Fx er enhver længdecirkel (meridian) og ækvator storcirkler på Jorden. Det første skridt på vejen til at forstå dette problem er at overbevise sig selv om, at storcirkler er rette linjer på kugleoverfladen. Hvad er det for en egenskab ved storcirkler, der får et insekt til at opfatte dem som rette linjer? For bedre at kunne forestille sig, hvad der foregår på en kugleoverflade, er det nødvendigt at bruge modeller. Du bliver nødt til at tegne rette linjer på en kugleoverflade for at forstå fuldstændigt, hvad der er retlinjet og hvorfor. En appelsin eller en tennisbold kan fungere fint som model for en kugle, og elastikker virker udmærket som linjer. Prøv at anbringe en elastik på en kugle langs forskellige kurver og observer hvad der sker. Undersøg om symmetrierne for linjen i problem 1 holder for linjer på kugler. Det er vigtigt her, at man husker at man skal tænke på, hvad der foregår på kugleoverfladen, og ikke se kugler som en del af det tredimensionale rum. Tænk altid på hvordan tingene ser ud fra et insekts synspunkt. Hvis man ser på en kugle udefra i det tredimensionale rum, er alle veje på kuglen selv storcirkler - krumme. Men i forhold til kugleoverfladen kan linjerne muligvis være rette. Vær sikker på, at du forstår denne forskel og prøv at indse, hvorfor alle symmetrier (som fx en spejling), skal ses fra insektets synspunkt. Overvej følgende: Hvad må insektet gøre, når det går på en ikke plan overflade, for at gå langs en ret linje? Hvordan kan insektet kontrollere om det går lige ud? C: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. D: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum.

4 4 Problem 3: Hvad er en vinkel? Giv nogle definitioner på begrebet vinkel Kan alle dine definitioner bruges både i planen og på kugleoverfladen? Hvad er fordelene og ulemperne ved de forskellige definitioner? Hvad betyder det at to vinkler er kongruente? Hvordan kan vi kontrollere det? Betragt den vinkel, der ligger i det nederste venstre hjørne af denne side. Enhver vil nok opfatte det som en vinkel. Riv nu hjørnet af (- eller forestil dig, at du river hjørnet af). Er vinklen stadigvæk på det hjørne, du har revet af? Riv mere af siderne af vinklen, men vær forsigtig ikke at rive ned i selve hjørnet. Er vinklen stadig i hjørnet, du har revet af? Hvad forstår man ved vinklen i dette hjørne? Nu har du basis for at gå i gang med at definere, hvad man forstår ved en vinkel. Du skal muligvis komme med flere definitioner for at forklare alle egenskaberne ved en vinkel. Der er mindst tre forskellige perspektiver ud fra hvilke, du kan definere vinkel. E: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. F: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum. Problem 4: Sætningen om topvinkler Bevis, at vinklerne u og v, der er dannet af to linjer, der skærer hinanden, er lige store. Her skal ordet bevis forstås som en diskussion, der er tilstrækkelig til at overbevise en fornuftig skeptiker (men selv om vi er glade for definitioner, vil vi her undlade at definere fornuftig det er op til læseren). Vink: Forklar, hvordan du vil bevæge u, for at den kan falde sammen med v. Hvilke symmetriegenskaber fra den rette linje bruger du? Virker dit bevis også på kuglen? A: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. B: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum.

5 5 2 De sfæriske cosinusrelationer og nogle anvendelser Hensigten med dette arbejdskort er, at skal fremstille en konkret model, der tydeliggør, hvordan man kan bruge trigonometrien fra den euklidiske plangeometri til at forstå og udtrykke trigonometrien i den sfæriske geometri Arbejde med nogle anvendelser af de sfæriske cosinusrelationer grundbogsafsnittet er de sfæriske cosinusrelationer udledt ved anvendelse af cosinusrelationerne fra den euklidiske plangeometri i kombination med relationer fra den retvinklede trekant i den euklidiske plangeometri.. Model for Pyramiden OB C A Den sfæriske trekant er trekant ABC. i forbindelse med den er tegnet en pyramide OAB C som vist på figuren. Ved at anvende almindelig trigonometri på sidefladerne i pyramiden kan den sfæriske cosinusrelation udledes. For at få et konkret billede af pyramiden og dens sideflader, konstrueres den udfoldede pyramide i et geometriprogram. den her beskrevne konstruktion er A, A og A alle udfoldninger af punktet A. Konstruer en vilkårlig spidsvinklet trekant OB C. Det gør konstruktionen lidt lettere, hvis du lader B C være vandret. Konstruér trekant C AO, så vinkel A bliver ret. Konstruer punktet A, så OA B bliver ret: Da OA = OA, må A ligge på en cirkel med centrum i O og OA som radius og da A er ret, må A også ligge på cirklen med B O som diameter. Nu mangler vi bare at konstruere A i trekant A B C, men da B A = B A og C A = C A, kan A konstrueres som skæringspunktet mellem to cirkler. Siderne i de tre trekanter konstrueres, alle hjælpelinjer og -cirkler skjules, den udfoldede figur printes, klippes ud, og foldes til en pyramide. Ud fra trekanterne på den udfoldede figur kan cosinusrelationerne udledes.

6 6 Eksempler på anvendelse af cosinusrelationerne Opgave 1 Københavns position: 55,7 nordlig bredde, 12,6 østlig længde. Los Angeles position: 34,0 nordlig bredde, 118,1 vestlig længde. 1: llustrer byernes beliggenhed på en kugleflade. Jorden betragtes i det følgende som en kugle med radius 6370 km. 2: Find den sfæriske afstand mellem de to byer. En flyverute København Los Angeles går via Søndre Strømfjord, som ligger på position 66,0 nordlig bredde, 54,0 vestlig længde. 3: Beregn afstanden mellem København Søndre Strømfjord og Søndre Strømfjord Los Angeles, og sammenlign den samlede flyveafstand med resultatet fra 2. 4: Med hvilken kurs skal der startes fra København? Opgave 2: Storcirkelsejlads En storcirkelbue mellem to steder A og B på Jorden er den korteste vej mellem punkterne. Skal man sejle storcirkelsejlads kan man enten bruge storcirkelkort eller man kan beregne sig frem. Vi skal forestille os at vi skal sejle fra en position A: 45 17,3 N.br. og 16 23,5 vestlig længde. Vores kurs er S.39V (kursen regnes fra den nordlige del af meridianen, hvilket betyder at kursvinklen er ). Den tilbagelagte distance er 151,3 sømil. Hvor ender vi, dvs. hvad er længde og bredde for position B (resultatet skal angives i grader og minutter). Lidt oplysninger: 1 nautisk sømil er 1852 m. 1 nautisk sømil er en omtrentlig værdi for buelængden af en storcirkelbue spændende over 1 bueminut på jorden. 1 grad km/ ,11 km 1 bueminut 111,11/60 km 1,852 km 1 = 60 = 3600 (1 grad = 60 bueminutter og 1 bueminut = 60 buesekunder).

7 7 3 De sfæriske sinusrelationer og en anvendelse De sfæriske sinusrelationer giver en sammenhæng mellem siderne (målt i grader) og vinklerne i en sfærisk trekant ABC, med siderne a, b og c. De sfæriske sinusrelationer: sin( a ) sin( ) sin( ) b c sin( A) sin( B) sin( C) Sinusrelationerne kan udledes ud fra cosinusrelationerne samt grundrelationen mellem sinus og cosinus til en vinkel x: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Du vil i det følgende blive guidet igennem et bevis for formlerne: For at opstille sinusrelationerne kan vi bruge følgende: (1) cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(a) og (2) cos 2 (x) + sin 2 (x) = cos ( x) 1 sin ( x) Leddet i (1) (cosinusrelationen), der indeholder sinusfunktionen, isoleres. Så får man: sin(b) sin(c) cos(a) = cos(a) cos(b) cos(c) Derefter kvadreres på begge sider af lighedstegnet sin 2 (b) sin 2 (c) cos 2 (A) = cos 2 (a) + cos 2 (b) cos 2 (c) 2 cos(a) cos(b) cos(c) Relationen (2) bruges, så cos 2 (A), cos 2 (a), cos 2 (b) og cos 2 (c) udtrykkes ved sinus til de tilsvarende vinkler: Det skulle gerne efter at være reduceret føre til følgende udtryk: sin 2 (b) sin 2 (c) sin 2 (A) = 2 + sin 2 (a) + sin 2 (b) + sin 2 (c) + 2 cos(a) cos(b) cos(c) Vi benytter nu, at højresiden er symmetrisk i a, b og c. Det betyder, at ligegyldig hvilken af de tre vinkelspidser vi tager som udgangspunkt, så er højresiden den samme, altså må de tilsvarende venstresider også være ens, og vi får:

8 8 sin 2 (b) sin 2 (c) sin 2 (A) = sin 2 (a) sin 2 (b) sin 2 (C) = sin 2 (a) sin 2 (c) sin 2 (B) Vi uddrager nu kvadratroden på alle sider af lighedstegnene (idet vi antager, at alle vinkler og sider er mindre end 180, hvilket betyder at alle sinusværdier er positive): sin(b) sin(c) sin(a) = sin(a) sin(b) sin(c) = sin(a) sin(c) sin(b). Heraf fås ved passende omskrivninger de sfæriske sinusrelationer: sin( a ) sin( ) sin( ) b c sin( A) sin( B) sin( C) Udfyld hullerne i beregningskæden i beviset. kapitlet side 15 og side 21 så vi et eksempel på beregning af længden af en flyrute fra København med geografisk position 55,7 nordlig bredde 12,6 østlig længde til San Franciscos, hvis position er 37,7 nordlig bredde, 122,4 vestlig længde. Flyvningen foregår langs en storcirkel. Ved brug af de sfæriske cosinusrelationer finder vi afstanden i grader mellem de to positioner til a = 79,053. llustrér de to byers beliggenhed på en kugleflade. Med hvilken kurs skal startes fra København? rutens nordligste punkt er kursen stik vest. Benyt dette samt sinusrelationerne til at bestemme positionen for rutens nordligste punkt. Hvor i Verden er det? Her er det stort set ikke muligt at slutte dette arbejdskort uden at præsentere en klassiker. Den har noget med matematik (forskellige geometrier) at gøre, men også med zoologi, geografi og samme spørgsmål som før: Hvor på Jorden kan vi mon befinde os? Den lyder tosset men den kan løses. Her kommer den så: En mand er på bjørnejagt. Sent på eftermiddagen finder han et sted at slå lejr. Han rejser sit telt, tænder sit medbragte gasblus, spejler et par æg og varmer en dåse baked beans. Glad og mæt finder han derefter vej til sin sovepose og sover de retfærdiges søvn hele natten. Dagen efter står han op, spiser morgenmad, griber sin riffel og går på jagt. Først går han 5 km stik syd fra sin lejr. Derefter går han 3 km stik øst. Her møder han en bjørn og skyder den! Han markerer stedet, så han senere kan finde det, går 5 km stik nord og så er han tilbage i sin lejr. Og så kommer spørgsmålet: Hvilken farve havde bjørnen?

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),

Læs mere

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π

I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Vi går ud fra, at vi kender udgangspunktets position det kunne f.eks. være en europæisk havn.

Vi går ud fra, at vi kender udgangspunktets position det kunne f.eks. være en europæisk havn. Om Bestikregning Bestikregning går ud på, at man forsøger at finde ud af hvor man er ved at benytte sig af følgende oplysninger: a. Udgangspunktets position (breddegrad og længdegrad) b. Hvilken retning

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1

Kursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Procesorienteret. skrivning

Procesorienteret. skrivning Procesorienteret Dansk 84 skrivning Skriveprocessen kan være en hjælp til at tænke og samle sig, en erkendelsesform Når man skriver, hvad man tænker, finder man ud af hvad man mener I Norge har Stiftelsen

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Det danske sundhedsvæsen

Det danske sundhedsvæsen Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE

HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT GEOMETRI MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE 4. 10. KLASSE HANS CHRISTIAN HANSEN JOHN SCHOU KRISTINE JESS JEPPE SKOTT MATEMATIK FOR LÆRERSTUDERENDE GEOMETRI 4. 10. KLASSE Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende

Læs mere

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition.

Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. 1 Årsprøvespørgsmål 1x matematika 011. Læg mærke til at de første 14 spørgsmål er dublerede. Den bedste forberedelse er at danne grupper, som gennemgår spørgsmålene og laver en disposition. Hvert spørgsmål

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45

Indhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45 Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering

Læs mere

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning

Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Inspiration til brug af mapop i din læringsmålstyrede undervisning Dette er en hjælp til dig der gerne vil bringe mapop ind i din læringsmålstyrede undervisning. Vi tager udgangspunkt i Læringsmålstyret

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014.

Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Anna er 14 år, går på Virupskolen i Hjortshøj, og bor i Hjortshøj. Intervieweren i dette interview er angivet med

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres.

Trekanttypespil. 7 Trekanter. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En retvinklet trekant med siderne 3, 4, og 5. Kan ikke konstrueres. .01 Trekanter Trekanttypespil En retvinklet trekant med siderne,, og. Kan ikke konstrueres. En trekant, hvor to af vinklerne er 90. En ligesidet trekant med siden. En spidsvinklet trekant hvor den ene

Læs mere

Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004.

Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi. Refleksionsark. Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Projekt Guidet egenbeslutning og epilepsi Refleksionsark Tilpasset fra: Vibeke Zoffmann: Guidet Egen-Beslutning, 2004. Label: Refleksionsark, der er udfyldt og drøftet 1. Samarbejdsaftale Markér 1a. Invitation

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012

Sæt ord pa sproget. Indhold. Mål. November 2012 Sæt ord pa sproget November 2012 Indhold Mål... 1 Baggrund... 1 Projektets mål... 1 Sammenhæng... 2 1 Beskrivelse af elevernes potentialer og barrierer... 2 2 Beskrivelse af basisviden og hverdagssprog...

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Bilag Omfang. Besvarelsens omfang forventes at være mellem 15 og 20 sider, hvortil kommer bilag i form af eksperimentelle data, grafer og lignende.

Bilag Omfang. Besvarelsens omfang forventes at være mellem 15 og 20 sider, hvortil kommer bilag i form af eksperimentelle data, grafer og lignende. Hovedfag Matematik A Inddragne fag Fysik B (Astronomi C) Område Astronomisk navigation Opgave Astronomisk navigation og sfærisk geometri Gør rede for grundbegreberne i sfærisk geometri, herunder sfæriske

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Go On! 7. til 9. klasse

Go On! 7. til 9. klasse Go On! 7. til 9. klasse Fra skoleåret 2013 / 2014 Introduktion til linjer Alle er genier. Men hvis du dømmer en fisk på dens evne til at klatre i træer, vil den leve hele sit liv i den tro, at den er dum.

Læs mere