Del 2 Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger

Transkript

1 Del 2 Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger Projektformål Delprojekt 2 tager udgangspunkt i en sandfyldt rende, i efterfølgende kaldet sandkassen, hvori der implementeres en grundvandsstrømning. På figur 1 og figur 2 er forsøgsopstillingen af sandkassen vist. Figur 1 Sandkassen (Hold musen over billedet for at se detaljer om de enkelte komponenter) Figur 2 Indløbskammer (Hold musen over billedet for at se detaljer om de enkelte komponenter) Sandkassen fungerer ved, at der i indløbskammeret etableres et højere trykniveau end i udløbskammeret; denne trykforskel genererer strømningen gennem sandkassen. Trykniveauet i indog udløbskammeret reguleres af overløb, der sikrer, at vandstanden i kamrene altid er konstant. Trykniveauet kan aflæses i ind- og udløbskammeret samt i fire standrør på siden af sandkassen. Dimensionerne på sandkassen er cm (længde bredde højde) og ind- og udløbskammeret har en længde på 10 cm. Der udføres sigteanalyser, udtages intaktprøver samt udføres strømnings- og afdræningsforsøg i sandkassen med henbilk på at bestemme nedenstående hydrogeologiske parametre: 1

2 - Kornfordeling - Vandindhold - Porøsititet - Poretal - Densitet - Kapillær stighøjde - Hydraulisk ledningsevne - Specifik ydelse Der opstilles en numerisk finite differens model med løsning af Richards ligning i to dimensioner for både mættet og umættet zone. I modellen anvendes relevante målte hydrogeologiske parametre, og udgangspunktet for modelleringen er både at modellere stationært og transient. Udover de hydrogeologiske parametre bestemmes en række stoftransportrelevante parametre ud fra konservative stoftransportforsøg, dels med en saltopløsning og dels med en visuel tracer. Hermed kan følgende parametre bestemmes: - Dispersionskoefficient - Porevandshastighed - Effektiv porøsitet - Dispersivitet Desuden kan der ud fra forsøgene med den visuelle tracer fås et visuelt indtryk af, hvordan strømningen foregår i sandkassen. Der opstilles en random walk stofspredningsmodel baseret på resultaterne fra den hydrodynamiske model og de ovennævnte parametre for stoftransport. Ovenstående forsøg udføres i tre forskellige forsøgsopstillinger to med homogene pakninger med hhv. finsand (Baskarpsand) og grovsand, samt en vertikalt lagdelt opstilling med grovsand, grus og finsand (Baskarpsand) Projektets struktur Afrapporteringen af projektet er delt op i to hovedafsnit. Først præsenteres det udførte målearbejde med formål at estimere forskellige hydrogeologiske parametre. I andet afsnit udføres det numeriske modelarbejde med udgangspunkt i de i afsnit 1 bestemte parametre. Estimering af hydrogeologiske parametre Modellering af vand- og stoftransport 2

3 Sammenfatning af resultater i 2. delprojekt Målinger Målearbejdet i projektet er generelt forløbet tilfredsstillende. Forudsætningerne for den anvendte teori i analytiske og numeriske metoder burde dog i højere grad have været taget in mente under forsøgsopsætningen end tilfældet har været. Eksempelvis kunne trykniveauforskelle have været mindre og herved antagelsen om 1-dimensionel strømning være bedre opfyldt. Ydermere burde bund og sider i kassen eventuelt have været ru, så randeffekter kunne mindskes. Modellering Det numeriske modelleringsarbejde er forløbet delvist tilfredsstillende. For HD-modellens vedkommende er det lykkedes at modellere den mættede zone, hvorimod den umættede zone ikke modelleres tilfredsstillende. Dette skyldes sandsynligvis model-konceptuelle problemer med beregning af retentionskurvens gradient i overgangszonen mellem mættet og umættet zone. Givet en korrekt bagvedliggende hydrodynamisk model og korrekte indgående parametre er partikelspredningsmodellen fundet at producere gode resultater. Partikelspredningsmodellen kan anvendes til at bestemme parameteren effektiv porøsitet bedre end den anvendte analytiske løsningsmetode, da forudsætningen for denne ikke til fulde er opfyldt i de foretagne forsøg, men på grund af tidspres er dette ikke foretaget. Ligesom der af samme årsag ikke er foretaget transiente modelleringer samt modellering af den heterogene opstilling. 3

4 Estimering af hydrogeologiske parametre Kornfordeling En anvendelig information, ved karakteriseringen af en jordtype, er fordelingen af kornene i fraktioner efter diameter. Kornfordelingen for Baskarpsand og grovsand er bestemt ved finsigtning på 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,425; 0,25; 0,125 og 0,075 mm sigterne. Gruset er sigtet på 12,5; 8; 6,7; 5,6; 4; 2; 1; 0,5; 0,425; 0,250 mm sigter. Figur 1 Sigteopstilling til sigtning af grusprøve. Efter sigtning i 10 min er sigteresterne vejet. Den vægtmæssige fordeling i de enkelte kornstørrelser korrigeres mht. vandindhold i jordtypen, og det procentvise gennemfald gennem de enkelte sigter udregnes. Kornfordelingen for de tre jordtyper ses af kornkurvene på figur 2 4

5 Vægtprocent < d 100% 90% 80% 70% 60% Baskarpsand 50% Grovsand 40% Grus 30% 20% 10% 0% Kornstørrelse d [mm] Figur 2 Kornkurverne for de tre jordtyper. Dokumentation Baskarpsand: Det ses, at kornkurven er relativt stejl og går fra % gennemfald indenfor et snævert interval af korndiametre. Dette indikerer en meget velsorteret prøve, hvilket afspejles i uensformighedstallet U [Harremoës et al., 1997]: (1) d U = d = 0,17 mm 0,09 mm = 1,89 hvor: d 60 : d 10 : 60 % fraktil på kornkurven 10 % fraktil på kornkurven U > 5 betegnes en velgraderet kornkurve U < 2,5 betegnes en velsorteret kornkurve Ud fra kornkurven må Baskarpsandet betragtes som meget fint sand med langt den overvejende del ( 100 %) af kornstørrelserne i intervallet 0,075 mm 0,25 mm. Grovsand: Det ses af kornkurven, at der forekommer væsentligt flere forskellige fraktioner af korndiametre end tilfældet ved Baskarpsand. Dette indikerer en mere gradueret prøve, hvilket også afspejles i et uensformighedstal på 2,67 Ud fra kornkurven må sandet betragtes som groft sand, men med fraktioner i både finsand og grusfraktionen. 10 % fraktilen d 10 er bestemt til 0,27 mm. 5

6 Grus: Det ses af den forholdsvis stejle kornkurve, at gruset er velsorteret med den største fraktion i intervallet 4-7 mm. Uensformighedstallet er 1,93 Ud fra kornkurven må gruset betragtes som fint til mellem groft grus med en lille del i grovsandsfraktionen. 10 % fraktilen d 10 er bestemt til 3 mm. Informationen fra kornkurven og specielt d 10 anvendes i de følgende afsnit i en række empiriske formler bl.a. til bestemmelse af den kapillære stighøjde og den hydrauliske ledningsevne Vandindhold, porøsitet, poretal og volumenvægt Til bestemmelse af porøsitet, poretal og volumenvægt for Baskarpsandet er der udtaget 3 intaktprøver under og 3 over vandspejlet i sandkassen. De udtagne prøver over vandspejlet kan i dette tilfælde også anvendes til bestemmelsen af porøsiteten, da det kapillære vandspejl stod i overfladen af kassen og vandindholdet i de 3 prøver var det samme som i prøverne udtaget under vandspejlet, jf. tabel 1. For grovsandet er der udtaget 5 intaktprøver under vandspejl. Porøsiteten, poretallet og volumenvægten for gruset er skønsmæssigt vurderet ud fra lejring af gruset i et kendt volumen. Efterfølgende vil vandindhold, porøsitet, poretal og volumenvægt fra prøverne blive præsenteret. Figur 3 Udtagning af intaktprøver i grovsand Figur 4 De anvendte prøverør 6

7 Det gennemsnitlige vandindhold er ved tørring beregnet til: Jord Middelværdi af vandindhold [g H 2 O / g TS] Spredning på vandindhold [g H 2 O / g TS] Baskarpsand over 0,24 0,003 vandspejl Baskarpsand under 0,25 0,003 vandspejl Grovsand 0,17 0,001 Grus 0,23 0,002 Tabel 1 Gennemsnitlige vandindhold. Dokumentation I det følgende er der valgt ikke at differentiere mellem prøverne i baskarpsandet over og under vandspejlet, da tabel 1 viser, at prøverne taget over vandspejlet har næsten samme vandindhold som prøverne under vandspejlet. Porøsiteten bestemmes ved tørring af intaktprøverne ved 105 o C. Poretallet (e) kan beregnes på baggrund af porøsiteten (n) ved formel 2 n e = (2) 1 n De beregnede porøsiteter og poretal er ses af tabel 2 Jord Middelporøsitet [-] Spredning på porøsitet [-] Poretal [-] Spredning på poretal [-] Baskarpsand 0,37 0,006 0,57 0,014 Grovsand 0,27 0,004 0,38 0,007 Grus 0,38 0,004 0,60 0,011 Tabel 2 Porøsitet og poretal. Dokumentation Poretallene anvendes senere til bestemmelse af den hydrauliske ledningsevne og den kapillære stighøjde. 7

8 Densiteten er beregnet til: Jord Middelværdi af in situ densitet (vandmættet) [g/cm 3 ] Spredning på in situ densitet [g/cm 3 ] Middelværdi af bulkdensitet [g TS/cm 3 ] Spredning på bulkdensitet [g TS/cm 3 ] Baskarpsand 1,83 0,016 1,47 0,015 Grovsand 1,90 0,026 1,63 0,023 Grus 2,01 0,031 1,63 0,027 Tabel 3 In situ- og bulkdensiteter. Dokumentation Kapillær stighøjde De fine porer mellem kornene i sandkassen skaber en form for hårrør i sandet. Vandet vil således stige i disse hårrør til et niveau, enten til toppen af prøven eller til det sted hvor tyngdekraften overstiger adhæssionen mellem menisken og kornoverfladen. For Baskarpsandet er den kapillære stighøjde så stor, at toppen af sandkassen begrænser en yderligere stigning. Ud fra 10 % fraktilen fra kornkurven og poretallet, kan stighøjden (h c ) beregnes ud fra følgende empiriske udtryk. [Harremoës et al., 1997]: (3) h c d e = kst 10 Konstanten kan variere mellem 0,1 0,5 cm 2. Ved anvendelse af ydergrænserne af dette interval, d 10 og poretal beregnet før på denne side, antager den kapillære stighøjde en værdi på mellem 19,5 og 97,5 cm. Det er forsøgt at måle den kapillære stighøjde i en plexiglascylinder med en højde på 65 cm, jf. figur 5. Men forsøget viste, at den kapillære zone gik helt op til toppen af cylinderen og mislykkedes derfor. Dog kan der konstateres, at den kapillære zone i Baskarpsandet er mindst 65 cm. 8

9 Figur 5 Cylinder til måling af kapillær stighøjde i Baskarpsand Den kapillære stighøjde i grovsandet er målt under stationære forhold i sandkassen til ca. 13 cm. Under antagelse af, at den empiriske formel 3 er gældende og ved indsættelse af stighøjden, d 10 og poretallet opnås en konstantværdi på 0,13 cm 2, hvilket ligger indenfor det angivne interval. Stighøjden i gruset beregnes ud fra det empiriske udtryk, formel 3, til at være mellem 0,5 3 cm. Dette er i overensstemmelse med iagttagelser fortaget under stationære forhold i sandkassen, hvor kapillær zonen begrænser sig til en højde over vandspejlet på under 1 cm. I det videre er det antaget, at den kapillære stighøjde for gruset kan negligeres. Hydraulisk ledningsevne Formålet med følgende afsnit er ved en række forskellige metoder at fremskaffe estimater på den mættede hydrauliske ledningsevne for de forskellige forsøgsopstillinger. De estimerede ledningsevner vil blive anvendt i den opstillede numeriske model. 9

10 Metoder Ledningsevnen vil i det følgende blive fundet ved tre forskellige metoder: Et ledningsevneforsøg foretaget direkte i sandkassen. Forsøget udføres ved at registrere vandstrømmen gennem sandkassen, under stationær trykniveauforskel. Ved hjælp af en empirisk formel med baggrund i 10 %-fraktilen Ved hjælp af en empirisk formel med baggrund i poretallet (kun gældende for Baskarpsandet) Teori Den hydrauliske ledningsevne bestemmes ved ledningsevneforsøg ved Darcys lov, under antagelsen af at der kan regnes med 1 dimensional og stationær strømning i sandkassens længderetning. [Harremoës et al., 1997]: h v = K (4) L hvor Q v = [ v: Darcyhastigheden, givet ved A K: Mættet hydraulisk ledningsevne [ m s ] h: Trykniveauforskel [m] L: Længden af jordsøjlen [m] m [ 3 ] Q: Den målte vandføring s A: Jordsøjlens tværsnitsareal [m 2 ] Ledningsevnen kan også skønnes vha. 10 % fraktilen ved følgende udtryk [DS 415, 1984]: m s ] (5) K = 0,01 2 d 10 hvor K: Den hydrauliske ledningsevne [m/s] d 10 : 10 % fraktilen indsættes i mm Ledningsevnen, udtrykt ved den temperatur- og væskeafhængige permeabilitet, k, for Baskarpsand kan endvidere skønnes vha. poretallet ved følgende udtryk [Lund, 2003]: 12 2 (6) k = (1 + e) (21,7 e 8,0) 10 [m ] hvor k: Permeabiliteten [m 2 ] e: Poretallet [-] 10

11 Den hydrauliske ledningsevne kan herefter findes som [Harremoës et al., 1997]: K = k g (7) ν hvor k: Permeabiliteten [m 2 ] g: Tyngdeaccelerationen, 9,817 m/s 2 ν: Kinematisk viskositet for vand ved en given temperatur [m 2 /s] Resultater Baskarp Der blev pga. store kapillarkræfter i Baskarpsandet regnet med, at strømningen foregik i hele tværsnittet, og at Darcyhastigheden herved tilnærmelsesvist kunne regnes konstant, jf. afsnittet om kapillær stighøjde og sporstofforsøg. Resultatet af ledningsevneforsøget med forsøgsopstillingen med Baskarpsandet er angivet i tabel 4 Ledningsevne [m/s] 7, Spredning [m/s] 3, Tabel 4 Ledningsevneforsøg med Baskarpsandsopsætning. Dokumentation Den hydrauliske ledningsevne bestemt vha. de to erfaringsformler gav følgende resultater: K = 0,01 d = 0,01 0,09 = 8,1 10 m s Permeabiliteten bestemmes til: k = (1 + e) (21,7 e 8,0) = (1 + 0,57) (21,7 0,57 8,0) = 6, m 2 Temperaturen i endevolumenet ved indløbet blev målt til 14 C mens temperaturen ved udløbet blev målt til 18,5 C. Det er antaget, at viskositeten ved 16 C er repræsentativ for forsøget i sandkassen. Den hydrauliske ledningsevne findes herefter til: 9,817 m g s K = k = 6,9 10 m 6 2 ν m 1,17 10 s = 5, m s 11

12 Der er fundet god overensstemmelse mellem ledningsevnen bestemt ved forsøg samt vha. den beregnede af erfaringsudtrykket for permeabiliteten specifikt gældende for Baskarpsand, mens resulatet af den empiriske formel med baggrund i 10 %-fraktilen afviger fra disse. Ifølge Loll og Moldrup (2000) ligger den hydrauliske ledningsevne for forskellige sandtyper typisk i 7 3 m intervallet: s, med de fineste sandtyper i den nedre del af intervallet og de groveste sandtyper i den øvre del af intervallet. Ledningsevnen for den fine Baskarpsand kunne forventes at ligge i den nedre del af intervallet. Det bestemte ledningsevner ses imidlertid at ligge ca. midt i intervallet. Grovsand Modsat forsøget med Baskarpsandet i sandkassen kan det gennemstrømmede areal for den grove sand ikke regnes som hele tværsnittet pga. mindre kapillære kræfter. Det er i forbindelse med et ledningsevneforsøg for den grove sand registreret en stighøjde på ca. 13 cm. Denne højde vil i det følgende blive medregnet i bestemmelsen af det samlede gennemstrømmede areal. Til bestemmelse af det varierende gennemstrømmede areal anvendes Dupuit-Forchhiemer approksimation, hvor der antages tilnærmelsesvis 1 dimensional strømning i sandkassens længderetning, hvorefter arealet i den kapillære stighøjde adderes: [Schaarup-Jensen, 1993] Den varierende afstand fra bund til vandspejl beregnes ved følgende udtryk: x U = U(x) = h 0 (h 0 h L ) (8) L hvor h 0 og h L : Trykniveauerne i de to endevolumener L: Længden af sandkassen x: Afstanden i sandkassens længderetning På figur 6 er sammenhængen mellem den stigende Darcyhastighed og det faldende gennemstrømmede tværsnitsareal afbilledet sammen, som funktion af afstanden fra indstrømningskammeret. Det viste forsøg blev foretaget med en trykniveauforskel på 22,5 cm. 12

13 darcy hastighed [m/s] 1.0E E E E E E E E E E-05 Darcyhastighed Tværsnitsareal Tværsnitsareal [m 2 ] 0.0E afstand [m] 0 Figur 6 Darcyhastighed og gennemstrømmet tværsnitsareal ved et forsøg med grovsand. Dokumentation I tabel 5 er resultatet af ledningsevneforsøget for den grove sand angivet: Ledningsevne [m/s] 3, Spredning 2, Tabel 5 Ledningsevneforsøg med grovsandsopsætning. Dokumentation Vha. erfaringsformlen med 10 %-fraktilen fås [DS 415, 1984]: K = 0,01 d = 0,01 0,27 mm = 7,29 10 m s Igen afviger den beregnede ledningsevne vha. den empiriske formel med baggrund i 10 %-fraktilen fra den målte. Sammenholdes den målte ledningsevne med det typiske interval for forskellige sande, på, ses de fundne ledningsevner for den grove sand som ventet at placere sig i den øvre del af intervallet. Heterogen forsøgsopstilling Ved den sidste forsøgsopstilling blev sandkassen opbygget af forskellige lag i sandkassens længderetning, jf. figur 7. Her er sandkassen, som angivet på figur 7, delt op i fire forskellige lag, bestående af henholdsvis: grovsand, grus, grovsand og Baskarpsand. 13

14 Figur 7 Den blandede opsætning med lag 1(grovsand) længst tv., og lag 4 (Baskarp sand) længst th. Til at skaffe et skøn på den hydrauliske ledningsevne for gruslaget anvendes d 10 -erfaringsformlen, med den bestemte d 10 for gruset: K = 0,01 d = 0,01 3 = 9 10 m s I tabel 6 er lagtykkelse og ledningsevne for de 3 forskellige jordtyper i fire lag angivet. De angivne ledningsevner er for Baskarpsandet og grovsandet de ved forsøg fundne, mens ledningsevnen for gruset er bestem via d 10 -erfaringsformlen. Lagtykkelse [cm] Skønnet Ledningsevne [m/s] Lag , (grovsand) Lag 2 (grus) 47, Lag , (grovsand) Lag 4 37,75 7, (baskarp) Tabel 6 Lagtykkelse og ledningsevne for de tre forskellige jordtyper. Dokumentation Et skøn på en samlet ledningsevne for opsætningen med de forskellige lag kan bestemmes via formel 9 [Freeze et al, 1979]: (9) K = n i= 1 d d K i i = 0,4 m 3, ,5m 0,475 m 0,25m ,0 10 3, ,3775 m + 5 7,6 10 = 2, m s 14

15 hvor d: Samlet lagtykkelse i længderetning. d i : Tykkelse af enkelte lag. K i : Ledningsevne for enkelte lag. Der blev yderligere foretaget et ledningsevneforsøg på den heterogene sandkasseopsætning. Regnes der med et gennemsnitligt gennemstrømmet areal fundet på baggrund af: Dupuit-Forchhiemer approksimationen, en kapillær strømningszone i den grove sand på 13 cm, strømning i hele tværsnittet i Baskarpsandet, samt ingen kapillarzone i gruslaget, kan en samlet gennemsnitlig hydraulisk ledningsevne for hele sandkassen vha. Darcys lov estimeres til: Ledningsevne [m/s] 2, Spredning [m/s] 1, Tabel 7 Ledningsevneforsøg med heterogen forsøgsopsætning. Dokumentation Der ses at være fundet god overensstemmelse mellem den via formel 9 udregnede og ved forsøg bestemte hydrauliske ledningsevne. Sporstofforsøg med kaliumklorid Formålet med disse forsøg er at bestemme gennembrudskurver for en stationær strømning for kaliumklorid i Baskarp- og grovsand samt i heterogen opsætning, og herudfra at bestemme porevandshastighed, dispersionskoefficient, effektiv porøsitet samt dispersivitet for jordtyperne. Først blev det forsøgt at foretage sporstofforsøget med Rodamin som tracer, og en tilsluttet fluorescensmåler. Forsøget mislykkedes imidlertid, i det fluorescensmåleren intet udslag gav på den anvendte opløsning efter gennemstrømningen i sandkassen. Det blev vurderet, at problemet sandsynligvis skyldes, at Rodamin adsorberes til den fine Baskarpsand. Herefter blev det i stedet valgt at bruge kaliumklorid som sporstof. Ved stationær strømning indledtes forsøgene ved kontinuerlig tilførsel af en ca. 0,04 M KCl opløsning. Anvendelsen af KCl til bestemmelse af ovennævnte parametre skyldes, at den konservative kloridion ikke adsorberes i en væsentlig grad til jordens negative overflader, samt at kalium modsat f.eks. natrium ikke ændrer på strukturen i sandprøven. Det er vurderet, at massefyldeforskellen mellem den tilførte KCl-opløsning og det resterende hanevand i sandkassen ikke har medført nogen nævneværdig indflydelse på strømningen i sandkassen set i forhold til påvirkningen fra vandspejlsforskellen. En 0,04 M KCl svarer til en massefyldestigning på ca. 3 i forhold til 16 C varmt hanevand. 15

16 Målingen af udløbskoncentration er foretaget vha. en ledningsevnemåler af typen METTLER TOLEDO IN PRO Forsøgsopstillingen ses på figur 8. Figur 8 Forsøgsopstilling. Ved at flytte musen hen over billedet fås informationer om opstillingen. Til alle tre forsøg er den elektriske ledningsevne via et voltsignal logget hver 10. sekund. De målte gennembrudskurver benyttes til at fitte de analytiske kurver med det formål at finde middelporehastigheden u og den longitudinale dispersionskoefficient D, under antagelse af 1 dimensional strømning og dispersion. Den analytiske løsning er vist i formel 10 [Loll og Moldrup, 2000]: c c erfc L u t 4 D t + u L exp erfc D L + u t 4 D 1 1 = 2 ½ 2 ½ 0 t (10) ( ) ( ) hvor: erfc: Komplementære fejlfunktion L: Jordsøjlens længde [cm] u: Porevandshastighed [cm/sek] D: Longitudinale dispersionskoefficient [cm 2 /sek] t: Tid [sek] c: Aktuel koncentration c 0 : Initial koncentration 16

17 Da de målte koncentrationer ikke er et mål for den koncentration (c akt ) der passerer enden af prøven, men et mål for en opblandet koncentration i udløbskammeret, korrigeres den målte koncentration (c målt ) efter følgende udtryk, opstillet efter en massebalancebetragtning, jf. figur 9: Vudløb dc cakt = c målt + (11) Q udløb dt målt hvor V udløb : Volumen af udløbskammer Q udløb : Vandføring til udløbskammer Figur 9 Massebalance ved udløb. For at mindske fejlmarginen i bestemmelsen af u og D benyttes mindste kvadraters metode (RMSE), i fitningen af de teoretiske kurver til de målte kurver, og for at vurdere nøjagtigheden af fitningen, beregnes korrelationskoefficienten, R 2. Efterfølgende vil resultaterne af de tre forsøg blive præsenteret. 17

18 Gennembrudskurve - Baskarpsand c/c Målt Analytisk løsning Tid [sek] Figur 10 Gennembrudskurve i Baskarpsand. Dokumentation Den gennemsnitlige porevandshastighed og den longitudinale dispersionskoefficient over hele prøven med Baskarpsand er for det bedste fit vist i Tabel 5 sammen med RMSE og R 2. Porevandshastighed [cm/min] 0,20 Dispersionskoefficient [cm 2 /min] 0,42 RMSE 0,022 R 2 0,997 Tabel 5 Resultat af fitning af gennembrudskurver til analytisk løsning for Baskarpsand. Dokumentation Effektivt vandindhold/porøsitet Det effektive vandindhold/porøsitet kan beregnes med kendskab til Darcyhastigheden ved den aktuelle trykforskel mellem indløb og udløb samt porevandshastigheden. u θ eff. = (12) v hvor θ eff : Effektive vandindhold [-] u: Porevandshastighed [cm/min] v: Darcyhastighed [cm/min] 18

19 For Baskarpsandet er det effektive vandindhold beregnet til 0,36. Sammenligningsvist er vandindholdet ved mætning θ s beregnet tidligere til 0,37, hvilket indikerer, at strømningen foregår i praktisk talt alle porer. Dette er sandsynligt, da sandet er meget velsorteret og porestørrelsen dermed er forholdsvis konstant i hele prøven. Dispersivitet Dispersionskoefficienten (D) er en sum af molekylære diffusion og hydrodynamiske dispersion som angivet i formel 13: (13) D = D l + D h hvor: D l : D h : Molekylær diffusion [cm 2 /h] Hydrodynamisk dispersion [cm 2 /h] Ofte negligeres den molekylære diffusion, da den hydrodynamiske dispersion typisk er mange gange større. Dette gør sig især gældende for sandede/siltede jorde, mens den molekylære diffusion ofte er mere betydende i lerede jorde. For at eftervise, hvorvidt den molekylære diffusion er betydende i Baskarpsandet, udregnes denne af formel 14 [Loll og Moldrup, 2000]: (14) D l θ = n n akt b 3 D 0 hvor: n: Porøsitet [cm 3 /cm 3 ] θ akt : Aktuelt vandindhold under laboratorieforsøget [cm 3 /cm 3 ] b: Campbell b [-] D 0 : Diffusionskoefficient i rent vand [cm 2 /h] Det aktuelle vandindhold θ akt regnes lig det effektive vandindhold. Som værdi for diffusionskoefficienten i rent vand er anvendt D 0 =0,0012 cm 2 /min [Loll og Moldrup, 2000]. Under antagelse af, at Baskarpsandet kan regnes for en Campbell jord er der i et tidligere projekt fundet følgende sammenhæng mellem mættet hydraulisk ledningsevne og Campbell-b. [Bentzen et al, 2003] (15) b = 3,8 0,19 K s Campbell-b beregnes på baggrund af tidligere beregnet ledningsevne til 4,4 [-]. Den molekylære diffusion i Baskarpsandet antager jf. formel 14 en størrelse på 0,0004 cm 2 /min og udgør således kun 0,1 % af den hydrodynamiske dispersion. Når den molekylære diffusion negligeres, kan dispersionen anskues som en retlinet funktion af porevandshastigheden, hvor hældningen på linien er dispersiviteten, τ D jf. formel

20 D τ D = (16) u Dispersiviteten for Baskarpsandet er beregnet til 2,07 cm Som for Baskarpsandet er der for grovsandet og den heterogene opstilling beregnet samme parametre. Resultaterne følger herefter. Gennembrudskurve - Grovsand c/c Målt Analytisk løsning Tid [sek] Figur 11 Gennembrudskurve i grovsand. Dokumentation Porevandshastighed 1,18 [cm/min] Dispersionskoefficient 4,32 [cm 2 /min] RMSE 0,014 R 2 1,000 Effektivt vandindhold 0,27 Campbell-b [-] 3,27 Molekylær diffusion 0,0003 [cm 2 /min] Dispersivitet [cm] 3,65 Tabel 6 Resultat af fitning af gennembrudskurve til analytisk løsning for grovsand. Dokumentation 20

21 Gennembrudskurve - Heterogen prøve c/c Målt Analytisk løsning Tid [sek] Figur 12 Gennembrudskurve i heterogen prøve. Dokumentation Grunden til manglende datasæt i perioden 6000 til 8800 sekunder er, at loggeren uheldigvis blev frakoblet i dette tidsrum. Porevandshastighed 0,68 [cm/min] Dispersionskoefficient 5,40 [cm 2 /min] RMSE 0,033 R 2 0,996 Effektivt vandindhold 0,34 Campbell-b 4,1 Tabel 7 Resultat af fitning for heterogen prøve. Dokumentation Til beregning af den gennemsnitlige porøsitet vægtes porøsiteten af de enkelte lag efter deres udbredelse således at: 4 x n = ( L i= 1 i n ) = 0,33 i 21

22 hvor x i : n i : Den pågældende lagtykkelse Den pågældende porøsitet Det effektive vandindhold i tabel 7 ses at være større end den beregnede gennemsnitlige porøsitet, dog er de meget tæt på hinanden. Der anvendes herefter samme værdi på 0,34 for det effektive vandindhold og porøsitet og den molekylære diffusion kan herefter beregnes som produktet mellem diffusionskoefficienten i rent vand og porøsiteten. Molekylær 0,0004 diffusion [cm 2 /min] Dispersivitet [cm] 7,96 Tabel 8 Dispersivitet for heterogen prøve. Dokumentation Sammenligning I følgende afsnit sammenlignes parametrene fundet under de tre forsøg med KCl som sporstof. Sammenligningen af de tre forsøg kan foretages da alle tre forsøg blev gennemført ved næsten samme trykforskel. Forskellen var 24 cm under forsøget med Baskarpsand medens den var 23 cm ved de to andre Baskarpsand Grovsand Heterogen prøve Porevandshastighed [cm/min] Dispertionskoefficient [cm^2/min] Effektiv porøsitet x 10 [-] Dispersivitet [cm] Figur 13 Sammenligning af parametre fundet ved de tre forsøg. Dokumentation Porevandshastighed: Det ses umiddelbart af figur 13, at porevandshastigheden i Baskarpsandet er væsentlig lavere end i grovsandet samt, at Baskarpsandet i den heterogene prøve begrænser hastigheden. 22

23 Dispersionskoefficient: Af figur 13 ses det, at den longitudinale dispersionskoefficient stiger ved øget heterogenitet/korngraduering i prøven. Således, at koefficienten er ca. 10 gange større for den mere graduerede grovsand end for Baskarpsandet og ca. 12 gange større for den blandende prøve. Effektiv porøsitet: Den effektive porøsitet er praktisk talt den samme som den målte porøsitet for alle tre forsøg. Ingen indbyrdes sammenligning. Dispersivitet: Som for dispersionskoefficienten ses samme tendens for dispersiviteten større værdi ved større heterogenitet. De beregnede dispersiviteter sammenlignes i figur 14 med 359 sammenhørende værdier for dispersionskoefficient og porevandshastighed. Det ses af figur 14, at de beregnede værdier følger tendensen i erfaringsdatasættet. Figur 14 De fundne værdier for u og D, sammenholdt med 359 andre målinger. Frit efter Loll og Moldrup, Sporstofforsøg med printerblæk Der er foretaget sporstofforsøg med printerblæk som sporstof, for at få et visuelt indtryk af hvordan stofspredningen og transporten sker i sandkassen. Forsøget er foretaget med både Baskarpsand og grovsand. Baskarpsand Forsøget er udført ved følgende betingelser for Baskarpsandet: 23

24 Trykhøjde (indløb), h 0 Trykhøjde (udløb), h L 41,5 cm 17,5 cm Vandføring, Q 2, m 3 /s Tabel 9 Trykniveauer og vandføring. Der er taget billeder af sporstofforsøget med 15 minutters interval. Blæktilledningen er stoppet efter ca. 8 t 30 min, hvorefter rent vand tilføres sandkassen. Hele sporstofforsøget strækker sig over ca. 24 timer. Klik her for at se forløbet af sporstofforsøget i Baskarpsand Følgende graf er fremstillet ved at aflæse hhv. maksimum og minimum for blækfrontens udbredelse i den mættede zone til hvert enkelt billede. Grafen viser maksimum, minimum samt en midlet kurve. Afstand fra 0 (cm) y = x R 2 = Middelafstand fra 0 Min. afstand fra 0 Maks. afstand fra 0 Lineær (Maks. afstand fra 0) Tid (min) Figur 15 Blækfrontens udbredelse som funktion af tiden. Dokumentation Det ses af figur 15, at blækfrontens udbredelse er lineær med god tilnærmelse, dvs. at porevandshastigheden gennem sandkassen er konstant. Dette er sandsynligvis et resultat af strømningen i kapillarzonen, som medfører at der forekommer strømning i hele sandkassens dybde. 24

25 Heraf er det gennemstrømmede areal konstant gennem hele sandkassen, og derfor er porevandshastigheden konstant, jf. kontinuitetsligningen. Hældningen på maks. afstandskurven (blå kurve), dvs. porevandshastigheden, er vha. lineær regression beregnet til 0,20 cm/min eller 11,9 cm/t. Principielt er dette en stoftransporthastighed, men da der ikke vurderes at forekomme nogen stofretardation, er denne hastighed svarende til porevandshastigheden Beregnes hastigheden ud fra den givne vandføring, et areal svarende til hele kassens dybde, samt en effektiv porøsitet på 0,36, fås en porehastighed på ca. 12,2 cm/t. Heraf vurderes det rimeligt at antage strømning i hele sandkassens dybde. I figur 16 er der optegnet stoffront for sporstofforsøget. Figur 16 Optegnede stoffronter til forskellige tidsskridt Den første stoffront afbilledet på figur 14 er efter 1t 15min. De efterfølgende fire er efter 4 timer, 6 t 30 min, 10 timer og 12 t 30 min. Vurderingen om, at der kan antages strømning i hele sandkassens tværsnit syntes at underbygges af figur 16. På figur 17 kan stoffrontens udbredelse ses at foregå i sandkassens overflade. 25

26 Figur 17 Stoffront set i oppe fra. Det bemærkes at udbredelsen af sporstoffet foregår hurtigst ved randende Grovsand Sporstofforsøget i grovsand er udført ved følgende betingelser. Trykhøjde (indløb), h 0 Trykhøjde (udløb), h L 42,0 cm 19,5 cm Vandføring, Q 9, m 3 /s Tabel 11 Trykniveauer og vandføring. Der er taget billeder af sporstofforsøget med 2 minutters interval. Sporstofforsøget er stoppet efter ca. 3 timer Klik her for at se forløbet af sporstofforsøget i grovsandet Der er i sporstofforsøget med grovsand, som det var tilfældet med Baskarpsand, ingen tydelig stoffront, men en langt mere diffus overgang mellem høje og lave farvekoncentrationer. Om dette skyldes, at grovsandet har en anden adsorptionsevne end Baskarpsandet vides ikke, men umiddelbart virker det som om, at farven bliver hængende længere i grovsandet. Desuden er farven af en anden type og sværere at se i grovsandet, da dette er væsentligt mørkere end Baskarpsandet, og kontrasten bliver heraf mindre. 26

27 I Baskarpsandet er porene af samme størrelse, da sandet er velsorteret, og deraf varierer porevandshastighederne ikke betydeligt. I modsætning til dette er grovsandet langt mere uensformigt og derfor findes der både store porer, hvor porevandshastigheden er høj, og små porer hvor porevandshastigheden er lav. Heraf bliver farven mere spredt, på grund af de forskellige porevandshastigheder. På baggrund af ovenstående er der ikke optegnet en kurve over stoffrontens udbredelse som funktion af tiden. Der er gennembrud af farve efter ca. 2 timer, selvom det ikke er muligt rent visuelt at se på filmen, dog ses at der betydeligt større hastigheder i de nederste cm af sandkassen, jf. figur 18. Figur 18 Sporstofforsøg med blæk (efter ca. 1 time, 15 min) Der er i sporstofforsøget påvist en kapillær stighøjde i grovsandet på ca. 13 cm Drænforsøg Formål med at udføre et drænforsøg på forsøgsopstillingen er at bestemme størrelsen på den specifikke ydelse. Forsøgsopstilling Dræningsforsøgene blev foretaget ved, at lade vandspejlet i forsøgsopstillingen indstille sig således, at trykniveauet ved begge endevolumener var ens. Herefter blev trykniveauet sænket, ved at sænke overløbet ved sandkassens ene endevolumen, og efterfølgende monitere det afdrænede vand fra overløbet. 27

28 Figur 19 tv. Opstilling ved drænforsøg med den grove sand, th. vandstandslogger. Selve moniteringen af det afdrænede vandvolumen blev foretaget vha. en vandstandslogger, placereret i en 90 liters beholder jf. figur 19. Drænforsøget blev udført med den grove sand samt med den heterogene opsætning. Det var ikke muligt at udføre et drænforsøg på forsøgsopstillingen med Baskarpsandet. Det blev her fundet, at kapillarkræfterne var af en sådan størrelse, at det umuliggjorde at gennemføre et drænforsøg med den valgte forsøgsopstilling. Teori Den specifikke ydelse, S y, er defineret som den vandmængde et givet frit magasin frigiver ved en sænkning af grundvandsspejlet på 1 m [Henriksen et al., 2001]. Den specifikke ydelse kan bestemmes af formel 17: Vol S y = (17) h A hvor S y : Specifik ydelse [-] Vol: Samlet afdrænet vandvolumen h: Trykniveausænkning A: Tværsnitsareal 28

29 Resultater Grovsand Dræningsforløbet for forsøget med grovsand er angivet på figur Afdrænet volumen [cm3] Afdræning ren grovsand Tid [s] Figur 20 Dræningskurve for grovsand. Dokumentation Den angivne dræningskurve er fratrukket det afstrømmede vand fra de to endevolumener. Dræningsforsøget forløb over en periode på omkring 14 timer, men som det fremgår af figur 20 afdræner langt den største del af det samlede volumen først i måleperioden. Efter knap en halv time er 75 % af det samlede volumen således afdrænet. Den specifikke ydelse for den grove sand bestemmes af formel 17 til: S 3 Vol 23462,6 cm = = h A 17,5 cm (40 cm 150 cm) y = 0,22 I boringsdatabasen JUPITER er et eksempel for S y for et sandet magasin sat til 0,25. Den beregnede specifikke ydelse og værdien fra boringsdatabasen stemmer således relativt godt overens. [Henriksen, 2001b] Heterogen opsætning Der blev foretaget to drænforsøg med den heterogene opsætning, et hvor afdræningsudledningen henholdsvis foregik ved lag 1(grovsand) og ved lag 4(Baskarp), jf. figur

30 Figur 21, Den blandede opsætning med lag 1(grov sand) længst tv., og lag 4 (Baskarp sand) længst th. Dræningsforløbene for forsøgene med den blandede opsætning er angivet på figur Afdrænet volumen [cm3] Forsøg 1: Afdræning ved lag 1 Forsøg 2: Afdræning ved lag Tid [s] Figur 22 De to drænforsøg med den blandede opsætning i sandkassen. Dokumentation Ved forsøg 1, med afdræning ved det grove sandlag, blev trykniveauet sænket 20 cm, mens trykniveauet blev sænket 19,2 cm ved forsøg 2 med afdræning efter Baskarpsandslaget, som følge heraf afdrænes der ikke ens samlede volumener. Af figur 22 ses det som ventet, at forsøg 1 har en stejlere afdræningsforløb end tilfældet er for forsøg 2 som følge af, at det samlede afdrænede 30

31 volumen ved forsøg 2 skal passere Baskarpsandslaget. Således var 75 % af det samlede afdrænede volumen afdrænet efter ca. en halv time ved forsøg 1 mens der ved forsøg 2 gik ca. 1½ time før samme procentvise mængde var afdrænet. Den specifikke ydelse for den blandede opsætning blev af formel 17 bestemt til: Forsøg 1: S cm 20 cm (40 cm 150 cm) y = = 0,149 Forsøg 2: S cm 19,2 cm (40 cm 150 cm) y = = 0,150 For den heterogene opsætning blev den specifikke ydelse således fundet en del mindre end den fundet for den rene grovsandsopsætning. Dette stemmer godt overnes med, at det som nævnt, ikke blev fundet muligt at afdræne Baskarpsandet. 31

32 Modellering af vand- og stoftransport Der opstilles en 2-dimensionel vand- og stoftransportmodel, i hvilken det søges at modellere de stationære strømnings- og transportsituationer, der er udført eksperimentelt. Dette gøres i to dele; først opstilles en vandtransportmodel, som kalibreres på de udførte strømningsmålinger. Ovenpå strømningsmodellen kobles siden en stoftransportmodel, hvis formål er at eftervise de praktiske sporstofforsøg. Vandtransportmodel Den hydrodynamiske model (HD-modellen) opstilles som en 2-dimensionel model, der regner både mættet og umættet zone ved fuldt implicit finit differens approksimering af Richard s ligning. Den grundlæggende teori og den anvendte metode bag modelleringen er beskrevet i nedenstående link til dokumentation. Dokumentation for vandtransportmodel Af tidsmæssige årsager har det kun været muligt at modellere forsøgene med homogene sandpakninger med baskarpsand og grovsand. Det er forsøgt at modellere strømningen i den heterogene forsøgsopstilling, men på grund problemer med at modellere den umættede zone (omtales senere under modellering af strømning i grovsand) er det ikke umiddelbart lykkedes at opnå brugbare resultater. Af denne grund behandles modellering af den heterogene opstilling ikke yderligere. Forudsætninger for vandtransportmodel Efterfølgende gennemgås de forudsætninger der gælder i det specifikke modelleringstilfælde, og ikke er indeholdt i den førnævnte grundlæggende teori. Dimensioner og geometri Modellen opstilles i to dimensioner, sandkassen længde (x) og højde (z). Dermed forudsættes at der ikke foregår nævneværdig strømning i kassens bredde-retning (y). Geometrien er den samme som for den virkelige sandkasse, 150 cm i længden og 60 cm i højden, samt fast definerede trykniveauer i de tilstødende sidekamre. I indløbskammeret fastholdes vandstanden i 43 cm s højde og i udløbskammeret i 17 cm s højde. Diskretiseringen af sandkassen er i rektangulære bokse 5 cm i x-retningen 1 cm i z-retningen. Den diskretiserede model ses på figur 1. 32

33 Figur 1. Diskretisering af sandkasse til finit differens modellering. Tidsskridt Det anvendte tidsskridt i modellen er 30 min. Der er foretaget modelleringer med lavere tidsskridt som har givet samme resultater, hvilket indikerer, at modellen er stabil ved det anvendte tidsskridt. Retentionsegenskaber Retentionsegenskaberne for de anvendte jordtyper antages at kunne beskrives ved Campbell-udtryk i den umættede zone. Campbell-parametre er estimeret i forbindelse med forsøg her. Iden mættede zone beskrives retentionsegenskaberne ud fra den specifikke magasinkoefficient S S. Denne sættes i dette projekt til 0,0001 m -1 [Henriksen, 2001b] Hydraulisk ledningsevne Den mættede hydrauliske ledningsevne er den primære kalibreringsparameter i HD-modellen, da denne dels er en af de styrende parametre for vandtransport og dels er bestemt eksperimentelt med en vis usikkerhed. Som udgangspunkt anvendes de eksperimentelt bestemte mættede hydrauliske ledningsevner, og siden indkalibreres de, så modellens output bringes til at stemme overens med kalibreringsdata. Dette behandles nedenfor. Stationær model for Baskarpsand I følgende afsnit præsenteres kalibrering af den stationære model med Baskarpsand samt udvalgte resultater. Kalibrering Der er anvendt hydrauliske parametre for den stationære baskarpsandmodel som angivet i tabel 1. De forskellige værdier er fundet ud fra de målte hydrogeologiske parametre, bortset fra Campbell b der er beregnet ud fra sammenhængen mellem mættet hydraulisk ledningsevne. 33

34 Trykniveau (indløb), 43 cm h 0 Trykniveau (udløb), h L 17 cm Poretryk ved air entry, -43 cm ψ e Campbell b 4,2 - Porøsitet 0,37 cm 3 /cm 3 Immobilt vand 0,01 cm 3 /cm 3 Tabel 1 Hydrauliske parametre for Baskarpsandsmodellen På grund af den store kapillære stighøjde i Baskarpsandet findes ingen umættet zone, hvilket i modellen styres af poretrykket ved air entry. Da der ikke haves en målt værdi af den kapillære stighøjde, men det ud fra forsøg vides, at den er mindst 65 cm, sættes poretrykket ved air entry til - 43 cm, da der heraf er mættet zone i hele modellen. Kalibreringsparametrene begrænser sig på baggrund af ovenstående til den mættede hydrauliske ledningsevne samt den specifikke magasinkoefficient. Den specifikke magasinkoefficient er fastsat ud fra en erfaringsværdi [Henriksen, 2001b], men reelt er det kun den hydrauliske ledningsevne der har indflydelse på modellen Der kalibreres dels efter en vandføring målt til 11,3 l/h ved de givne randbetingelser, og dels efter en aflæsning af standrør til de givne randbetingelser. Resultatet af kalibreringen ses af figur 2. Figur 2 Resultat af kalibrering af stationær model for Baskarpsand (Ks = 1, m/s) 34

35 Model Målt Mættet hydraulisk [m/s] , ledningsevne, K S 4 Specifik magasin [m -1 ] koefficient S S Tabel 2 Målte og indkalibrerede værdier af kalibreringsparametrene Ved de i tabel 2 angivne modelparametre er vandføringen igennem hele kassens længde 11,3 l/h, hvilket svarer præcist til den målte vandføring. Anvendes den målte hydrauliske ledningsevne fås en vandføring gennem sandkassen på 8,5 l/h og tryknivauet modelleres til det i figur 3 viste. Figur 3 Resultat af stationær model for Baskarpsand med målt hydraulisk ledningsevne (Ks = 7, m/s) Det er ikke muligt på at konstatere en forskel i trykniveaufordelingen ud fra anvendelse af de to hydrauliske ledningsevner, dog er vandføringen gennem sandkassen ved den målte hydrauliske ledningsevne væsentlig mindre end ved en indkalibrerede hydrauliske ledningsevne. Det er ikke muligt ud fra ovenstående at fastsætte om det er usikkerhederne på målingerne (som er foretaget ud fra forudsætning om strømning i hele kassens tværsnit) eller det er modelopsætningen og randbetingelserne der giver afvigelsen i vandføringen gennem sandkassen. 35

36 Resultater I figur 4 ses hastighedsvektorer af porevandshastigheder i sandkassens dybde og længderetning. Figur 4 Porevandshastigheder som resulterende hastighedsvektorer Der ses tydeligt af figur 4, at der forekommer strømning i hele sandkassens dybde på grund af den kapillære stighøjde. For at belyse størrelsen af hastighederne er der i figur 5 optegnet 3 kurver for porevandshastigheden i 3 lodrette snit i sandkassen. 36

37 Figur 5 Porevandshastigheder i lodrette snit ved indløb og udløb samt i midten af sandkassen. Der ses af figur 5, at porevandshastighederne ved randene er begrænset til højden af vandspejlet, mens der i midten af sandkassen er hastigheder i hele sandkassens dybde på grund af den kapillære stighøjde. Ved x = 0 cm er hastighederne større i nærheden af vandspejlet end længere nede. Grunden til dette er, at vandet her spredes op i hele sandkassens højde, jf. figur 4, hvilket kræver større hastighed ved randen. Noget tilsvarende gør sig gældende ved x = 150 cm, hvor strømningen i sandkassens øvre lag koncentreres ved højre rand. Stationær model for grovsand I følgende afsnit præsenteres kalibreringen af den stationære model med grovsand samt udvalgte resultater. Kalibrering Der er anvendt de i tabel 3 viste hydrauliske parametre for den stationære grovsandmodel som angivet i tabel 1. 37

38 Trykniveau 42,0 cm (indløb), h L Trykniveau 19,5 cm (udløb), h 0 Porøsitet 0,27 cm 3 /cm 3 Immobilt vand 0,00 cm 3 /cm 3 Tabel 3 Hydrauliske parametre for grovsandsmodel Modellen kalibreres efter aflæsning af standrør, kapillær stighøjde samt vandføring og kalibrerings parametrene er mættet hydraulisk ledningsevne, poreundertryk ved air entry samt Campbell b. I figur 6 er vist vandspejl, kapillærvandspejl samt volumetrisk vandindhold i sandkassen. Figur 6 Vandspejl og kapillærvandspejl i grovsandet. Farvegradueringen angiver det volumetriske vandindhold [cm 3 H 2 0/cm 3 prøve]. Det ses af figur 6, at der findes mætning helt op til det kapillære vandspejl, og at vandindholdet herover aftager. I figur 7 ses hastighedsvektorer af porevandshastigheder i sandkassens dybde og længderetning. 38

39 Figur 7 Porevandshastigheder som resulterende hastighedsvektorer Det ses af figur 7, at hastighedsvektorerne i den umættede zone alle har en opadrettet retning og der er af den grund ikke massebalance, på grund af at den resulterende flux ind i og ud af den umættede zone ikke er nul, selv ved stationære forhold. Umiddelbart er det et resultat af, at poreundertrykket i den umættede zone netto er større end gravitationen, hvilket ikke burde være tilfældet under stationære forhold. Det har ikke været muligt at finde fejlen i modellen, men den formodes at være ψ forbundet til modellens beregning af gradienten i overgangszonen mellem mættet og umættet zone, som omtales her. Grundet denne fejl kalibreres grovsandsmodellen ikke. θ Massebalanceproblemet kan også anskueliggøres ved at betragte vandføringen gennem sandkassen. Som det fremgår af figur 8 er vandføringen ikke konstant gennem kassen, og der er derfor ikke massebalance i modellen. 39

40 Figur 8 Vandføring gennem sandkassen (grovsand) I tabel 4 er der, som i den stationære model for Baskarpsand, angivet hvilke af kalibreringsparametrene der er anvendt i modellen, dog er modellen ikke kalibreret yderligere ind på grund af den manglende massebalance. Model Målt/beregnet Poretryk ved air [cm] entry, ψ e Campbell b [ - ] - 3,3 Mættet [m/s] - 3, hydraulisk ledningsevne Tabel 4 Kalibreringsparametrene for grovsandsmodel. Sammenfatning på vandtransportmodel Det er ikke muligt at klarlægge hvorfor den umættede zone ikke beregnes korrekt i modellen. Fejlen skyldes sandsynligvis konceptuelle eller programmeringsmæssige fejl i modelkoden, som det ikke har været muligt af finde. Det vurderes, at modelleringen af strømning i Baskarpsand er forløbet tilfredsstillende, idet der i denne model ikke optræder umættede forhold. 40

41 På grund af tidsbegrænsningen i dette delprojekt samt modelfejlen, er der ikke foretaget transiente modelleringer af de afdræningsforsøg der blev foretaget i sandkassen. Stoftransportmodel Stoftransporten modelleres ved en partikelspredningsmodel (PT-model) Partikelspredningen modelleres ved en random walk metode i MatLab, hvis teoretiske grundlag og generelle metode ses her. Partikelspredningen modelleres kun i Baskarpsandet, da der som tidligere omtalt ikke er massebalance i HD-modellen for grovsand. Forudsætninger for partikelspredningsmodel Efterfølgende gennemgås de forudsætninger der gælder for den anvendte PT-model for sandkassen. Dimensioner Modellens geometri og diskretisering er den samme som for HD-modellen. Hastighedsfelt Det stationære hastighedsfelt beregnet i HD-modellen anvendes i PT-modellen til bestemmelse af konvektiv flytning til hvert tidsskridt. HD-modellen er beregnet under de forhold, hvorunder sporstofforsøgene er udført. HD-modellen er således sat op med trykniveauerne 42 cm i indløbskammeret og 18 cm i udløbskammeret (i forsøgene anvendes 41,5 cm og 17,5 cm, men modellen kan kun regne i hele cm pga. diskretiseringen), men ellers med samme hydrologiske parametre som beskrevet i kalibreringen ovenfor. Der er foretaget modelleringsforsøg med en avanceret og en simpel metode til at bestemme en given partikels hastighedskomposanter indenfor dette hastighedsfelt. Denne undersøgelse er beskrevet her. Resultatet af undersøgelsen er, at det er opgivet at anvende den avancerede metode, pga. for store problemer med implementering. I stedet anvendes den simple metode, hvor der til hver boks beregnes én hastighed i hhv. x- og z-retningen ud fra omkringliggende hastighedsvektorer. Fejlen ved at anvende denne tilnærmelse vurderes at være lille, givet den forholdsvist fine diskretisering i modellen. Det anvendte hastighedsfelt er skitseret på nedenstående figur for Baskarpsandet. 41

42 Figur 9. Hastighedsfelt i Baskarpsand beregnet for de enkelte bokse i PT-modellen (beregnet ud fra hastighedsfelt for boksrande importeret fra HD-modellen). Beregningsgrundlag ses her. Dispersion Den empirisk bestemte longitudinale dispersionskoefficient D l for Baskarpsand anvendes i 1 modelleringen. Den transversale dispersionskoefficient D t sættes erfaringsmæssigt til 50 af D l [Kjeldsen og Christensen, 1996]. De anvendte koefficienter ses af nedenstående tabel. Dispersionskoefficient Longitudinal (D l ) [cm 2 /min] Transversal (D t ) [cm 2 /min] Baskarpsand 0,42 0,0084 Tabel 5. Anvendte dispersionskoefficienter til partikelspredningsmodellering i sandkasse. Dokumentation Modellering Modellen køres med tilledning af 10 partikler i hver boks ved venstre rand til hvert tidsskridt, jf. figur 10. Dette svarer til fuld opblanding af sporstof og konstant sporstofkoncentration i indløbskammeret, som tilfældet er i de udførte forsøg. Koncentrationen i indløbskammeret (venstre kammer) C 0 bestemmes ud fra massebalancen på figur 10 og er givet ved formel 1. (1) N 10 partikler C0 = = q t partikler 3 m 42

43 hvor C 0 : Koncentration i indløbskammer [partikler/m 3 ] N: Antal bokse i kontakt med indløbskammeret = 42 q: Stationær vandføring gennem sandkassen. Denne er i den aktuelle modelopsætning beregnet til 2, m 3 /s t: Tidsskridt = 600 s Figur 10. Massebalance i PT-model ved stationær strømning, hvor der regnes med tilledning af 10 partikler til hver boks ved venstre rand til hvert tidsskridt. N er antallet af bokse, der er i kontakt med vandet i venstre kammer. Tykke pile markerer vandtransport, og tynde pile markerer partikeltransport. Der holdes konstant koncentration C 0 i venstre kammer, mens gennembrudskoncentrationen C til højre kammer varierer. Det primære output fra modellen er gennembrudskoncentrationen af partikler ved vandets passage fra sandkassen til højre kammer, C, normeret i forhold til C 0, så den kan sammenlignes med måledata. Den normerede gennembrudskoncentration bestemmes ved formel 2. C(t) p(t) = (2) C0 q t C0 hvor C(t): Gennembrudskoncentration af partikler ved passage fra sandkasse til højre kammer til tiden t [partikler/m 3 ] p(t): Antal partikler der passerer fra sandkassen til højre sidekammer til tiden t, jf. figur 10 (beregnes af PT-modellen) [partikler] 43