Lineære normale modeller (3) udkast
|
|
- Claus Lindholm
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 E6 efteå 999 Notat 20 Jøgen Lasen 30 novembe 999 Lineæe nomale modelle (3) udkast 44 Tosidet vaiansanalyse Man ha nogle obsevatione y de e aangeet i et tosidet skema: 2 j s y k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2 y jk k=,2,,n j y sk k=,2,,n s y 22k y 2 jk y 2sk k=,2,,n 22 k=,2,,n 2 j k=,2,,n 2s i y ik k=,2,,n i y k k=,2,,n y i2k y i jk y isk k=,2,,n i2 k=,2,,n i j k=,2,,n is y 2k y jk y sk k=,2,,n 2 k=,2,,n j k=,2,,n s Vi buge betegnelsen y i jk fo obsevation n k i skemaets (i, j)-te celle som i alt indeholde n i j obsevatione Den (i, j)-te celle befinde sig i skemaets i-te ække og j-te søjle; de e i alt ække og s søjle Vi opstille en statistisk model gående ud på at y i jk -ene e obseveede vædie af uafhængige nomalfodelte stokastiske vaiable Y i jk med samme vaians σ 2 og med en middelvædistuktu de e bestemt ud fa den måde obsevationene e inddelt på elle måske e det inddelingen de e bestemt af den fomodede middelvædistuktu Hvoom alting e, he e en pæsentation af gundmodel og mulige inteessante hypotese: 2 Gundmodellen G e at Y-e høende til samme celle ha samme middelvædi Mee pæcist skal de findes tal η i j, i =, 2,,, j =, 2,, s, således at E Y i jk = η i j fo alle i, j og k Vi fomulee det kot som G : E Y i jk = η i j Additivitetshypotesen elle hypotesen om fosvindende vekselvikning sige at de ikke e nogen vekselvikning mellem ække og søjle, men at I engelske og ameikanske bøge vil de typisk væe ows and c columns 2 Vi omtale kun middelvædipaametene; det e bestandig undefostået at alle Y-e ha samme ukendte vaians σ 2
2 Lineæe nomale modelle (3) Side 2 af 0 ækkevikninge og søjlevikninge 3 indgå additivt Mee pæcist sige hypotesen at de findes tal α,α 2,,α og β, β 2,, β s således at E Y i jk = α i + β j fo alle i, j og k Den kote fomuleing af additivitetshypotesen e H 0 : E Y i jk = α i + β j Hypotesen om ens søjle elle om fosvindende søjlevikning sige at de ikke e nogen foskel på søjlene, mee pæcist at de findes tal α,α 2,,α således at E Y i jk = α i fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H : E Y i jk = α i Hypotesen om ens ække elle om fosvindende ækkevikning sige at de ikke e nogen foskel på ækkene, mee pæcist at de findes tal β, β 2,, β s således at E Y i jk = β j fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H 2 : E Y i jk = β j Hypotesen om total homogenitet sige at de ikke e nogen foskel på cellene ovehovedet, mee pæcist at de findes et tal γ således at E Y i jk = γ fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H 3 : E Y i jk = γ Vi vil nu skive tingene op i lineæ algeba-spog Vi opfatte obsevationene som udgøende en vekto y V = R n hvo n e antallet af obsevatione; vektoene e stuktueet i et todimensionalt skema som ovenfo Gundmodellen og de fie hypotese kan fomulees som udsagn om at middelvædivektoen µ = EY tilhøe bestemte undeum: G : µ L hvo L = {ξ : ξ i jk = η i j } H 0 : µ L 0 hvo L 0 = {ξ : ξ i jk = α i + β j } H : µ L hvo L = {ξ : ξ i jk = α i } H 2 : µ L 2 hvo L 2 = {ξ : ξ i jk = β j } H 3 : µ L 3 hvo L 3 = {ξ : ξ i jk = γ} De gælde visse elatione mellem hypotesene/undeummene: G H 0 H H 2 H 3 og L L 0 L L 2 L 3 3 Nogle menneske synes at mene at gaden af videnskabelighed i tekst og tale e popotional med antallet af femmedod, så he e et pa femmedod: vekselvikning = inteaktion, ække/ søjlevikning = ække/søjleeffekt
3 Lineæe nomale modelle (3) Side 3 af 0 Gundmodellen samt modellene svaende til H og H 2, e eksemple på k-stikpøvepoblemet (k e hhv s, og s), og modellen svaende til H 3 e et enstikpøvepoblem Defo kan vi uden videe skive estimatene ove middelvædipaametene op i disse fie modelle: Unde G e ˆη i j = ȳ i j, dvs gennemsnittet i celle (i, j) Unde H e ˆα i = ȳ i, dvs gennemsnittet i den i-te ække Unde H 2 e ˆβ j = ȳ j, dvs gennemsnittet i den j-te søjle Unde H 3 e ˆγ = ȳ, dvs totalgennemsnittet Deimod e det ikke lige så let at estimee paametene unde H En påstand om at det hele blive sælig pænt hvis alle n i j -ene e lige stoe, vil næppe komme som nogen støe oveaskelse, også selv om læseen måske ikke e kla ove hvad det egentlig e de blive pænt, og hvofo I»det vikelige liv«kan man ikke satse på at de altid vil væe lige mange obsevatione i hve celle, så defo vil vi nu undesøge hvilke kav og hvilke ønske man skal stille til antallene n i j 44 Sammenhængende modelle Må nogle af cellene væe tomme? Det sige sig selv at de ikke må væe tomme ække elle søjle, men hvad med enkelte celle? Fo klalægge poblemene se vi på et oveskueligt eksempel Lad os sige at = 2 og s = 2, og at n i j -ene e n = 0 n 2 = 9 n 2 = 9 n 22 = 0 I dette tilfælde e L todimensionalt (de e kun de to paamete η 2 og η 2 ), og faktisk e L = L 0 = L = L 2 I sædeleshed e L L 2 = L 3, selv om mange måske ville have toet at de altid gjaldt at L L 2 = L 3 Poblemet e at modellen i ealiteten bestå af to sepaate delmodelle (fo hhv celle (, 2) og celle (2, )), og defo blive dim(l L 2 ) > elle ensbetydende hemed 4 dim(l 0 ) < + s Vi kan fomulee det som en betingelse på n i j -ene: lav en gaf hvo knudene e de talpa (i, j) fo hvilke n i j > 0, og hvo kantene fobinde pa af»naboknude«som enten ha samme i elle samme j Betingelsen e at denne gaf skal væe en sammenhængende gaf 5 4 Iflg den geneelle fomel dim(l + L 2 ) = dim L + dim L 2 dim(l L2) og da L 0 = L + L 2 5 Ved bevis: man ovebevise sig let om at gafen e sammenhængende hvis og kun hvis nulummet fo den lineæe afbildning de afbilde (α,α 2,,α, β, β 2,, β s ) R R s ove i den»tilsvaende«vekto i L 0, e endimensionalt; og dimensionen af L 0 = L + L 2 e lig + s minus dimensionen af dette nulum
4 Lineæe nomale modelle (3) Side 4 af 0 He e et eksempel på en sådan gaf: n > 0 n 2 > 0 n 3 = 0 n 2 > 0 n 22 = 0 n 23 > 0 I det følgende beskæftige vi os kun med sammenhængende modelle 442 Pojektionen på L 0 Ifølge den geneelle teoi estimees middelvædivektoen µ unde H 0 ved pojektionen p 0 y af y på L 0 I visse tilfælde findes en nem fomel til beegning af denne pojektion Vi minde om at L 0 = L + L 2 og L 3 = L L 2 Antag at det e sådan at i så fald e (L L 3 ) (L 2 L 3 ); () L 0 = (L L 3 ) (L 2 L 3 ) L 3 og demed dvs p 0 = (p p 3 ) + (p 2 p 3 ) + p 3 α i + β j = (ȳ i ȳ ) + (ȳ j ȳ ) + ȳ (2) = ȳ i + ȳ j ȳ Se, det va jo en meget fin fomel Spøgsmålet e nu hvonå foudsætningen () e opfyldt Nødvendigt og tilstækkeligt fo () e at p e p 3 e, p 2 f p 3 f = 0 (3) fo alle e, f E hvo E e en basis fo L Som E kan man feks buge vektoene e ρσ hvo (e ρσ ) i jk = hvis (i, j) = (ρ,σ), og 0 elles Hvis man indsætte sådanne vektoe i (3) finde man let at den nødvendige og tilstækkelige betingelse e at n i j = n i n j n, i =, 2,, ; j =, 2,, s (4) Nå denne betingelse e opfyldt, sige man at de foeligge det balanceede tilfælde Sammenfattende kan vi nu sige at i det balanceede tilfælde, dvs nå (4) e opfyldt, så kan estimatoene unde additivitetshypotesen udegnes efte fomlene (2)
5 Lineæe nomale modelle (3) Side 5 af Test af hypotese De foskellige hypotese om middelvædistuktuen kan nu testes; hve gang kan man benytte en F-teststøelse hvo nævneen e vaiansskønnet i den aktuelle gundmodel, og tælleen e et skøn ove»hypotesens vaiation omking gundmodellen«sine to fihedsgadsantal ave F fa hhv tælle- og nævnevaiansskønnet Additivitetshypotesen H 0 testes med F = s2 s 2 0 hvo s 2 0 = = n dim L n g i= s j= y py 2 n i j k= (y i jk ȳ i j ) 2 beskive vaiationen inden fo guppe (g = dim L e antal ikketomme celle), og s 2 = = dim L dim L 0 py p 0 y 2 g ( + s ) i= s j= n i j k= ( ) 2 ȳ i j ( αi + β j ) beskive vekselvikningsvaiationen I det balanceede tilfælde e s 2 = g ( + s ) i= s j= n i j k= (ȳi j ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 Ovenstående foudsætte at n > g, dvs de skal væe celle med mee end én obsevation 2 Hvis additivitetshypotesen acceptees, udegne man et nyt vaiansskøn s 2 0 = = y p n 0 y 2 dim L 0 ( y py 2 + py p n 0 y 2) dim L 0 og alt efte de konkete omstændighede og poblemstillinge vil man så teste H og/elle H 2 Fo at teste hypotesen H om fosvindende søjlevikning buges teststøelsen F = s 2 /s2 0 hvo s 2 = = dim L 0 dim L p 0 y p y 2 s i= s ( ) 2 n i j αi + β j ȳ i j=
6 Lineæe nomale modelle (3) Side 6 af 0 I det balanceede tilfælde e s 2 = s s ) 2 n j (ȳ j ȳ j= Fo at teste hypotesen H 2 om fosvindende ækkevikning buges teststøelsen F = s 2 2 /s2 0 hvo s 2 2 = = dim L 0 dim L 2 p 0 y p 2 y 2 i= s ( ) 2 n i j αi + β j ȳ j j= I det balanceede tilfælde e s 2 2 = n i (ȳ i ȳ ) 2 i= Bemæk at H og H 2 testes sideodnet, altså i fohold til det samme s 2 0 ; i det balanceede tilfælde e de to F-tællee s 2 og s2 2 stokastisk uafhængige (fodi p 0 y p y og p 0 y p 2 y e otogonale) 444 Et eksempel 6 Fo at opnå de optimale vækstbetingelse skal plante have de fonødne næingsstoffe i de ette fohold Dette eksempel handle om at bestemme det ette fohold mellem mængden af tilføt kvælstofgødning og mængden af tilføt fosfogødning til katofle Man ha dyket nogle katoffelmake på seks foskellige måde, svaende til seks foskellige kombinatione af mængde tilføt fosfo (0, elle 2 enhede) og mængde tilføt kvælstof (0 elle enhed), og deefte ha man målt høstudbyttet På den måde få man nogle obsevatione, høstudbyttene, som e inddelt i guppe efte dykningsmetode således at guppene e fastlagt ved hjælp af to kiteie, nemlig tilføt kvælstof og tilføt fosfo Et sådant dykningsfosøg udføt i 932 ved Ely gav de esultate de e vist i Tabel 7 Opgaven e nu at undesøge hvodan de to faktoe kvælstof og fosfo vike hve fo sig og sammen E det feks sådan at vikningen af at gå fa en til to enhede fosfo afhænge af om de tilføes kvælstof elle ej? Det kan undesøges med en tosidet vaiansanalysemodel 6 Kopieet foholdsvis diekte fa IMFUFA-tekst 67 defo visse notationsmæssige foskelle 7 Bemæk i øvigt at høstudbyttene ha undegået visse foandinge på dees vej til Tabel Den væsentligste e at man ha taget logaitmen til tallene Gunden hetil e at efaingsmæssigt e høstudbyttet af katofle ikke sælig nomalfodelt, hvoimod det det se bede ud med logaitmen til høstudbyttet Da man havde taget logaitmen til tallene, viste det sig at alle esultatene hed 3- komma-et-elle-andet, så fo at få nogle pæne tal ud af det ha man tukket 3 fa og ganget med 000
7 Lineæe nomale modelle (3) Side 7 af 0 Tabel Udbytte ved dykningsfosøg med katofle Vædiene e 000 (log(udbytte målt i lbs) 3) fo 36 pacelle 0 kvælstof fosfo Vi udegne føst estimatene Man kan væe inteesseet i fo en odens skyld at teste gundmodellens antagelse om vaianshomogenitet, og defo beegnes fo hve af de seks guppe ikke blot gennemsnit, men også vaiansestimate, se Tabel 2 Endvidee finde man den samlede kvadatsum til 87, således at den fælles vaians inden fo guppe estimees til s 2 0 = = Batletts teststøelse blive B obs = 95 de skal sammenlignes med χ 2 - fodelingen med 6 = 5 fihedsgade Tabelopslag vise at de e knap 0% chance fo at få en støe vædi, og de e således ikke noget de tale alvoligt imod antagelsen om vaianshomogenitet Vi kan defo basee de videe undesøgelse på den fomodede gundmodel Vi vil deefte gå i gang med at nu undesøge om talmateialet kan beskives med en model hvo vikningene af de to faktoe»tilføt fosfo«og»tilføt kvælstof«indgå additivt Vi betegne den k-te obsevation i den i-te ække og j-te søjle y i jk Gundmodellen e at y i jk -ene opfattes som obseveede vædie af uafhængige nomalfodelte stokastiske vaiable Y i jk hvo Y i jk e nomalfodelt med middelvædi µ i j og vaians σ 2 Additivitetshypotesen kan fomulees som H 0 : EY i jk = ξ + η i + ζ j He beskive ξ det fælles niveau, η i -ene vikningene af tilføt fosfo og ζ j -ene vikningene af tilføt kvælstof, og det e sådan at η = ζ = 0 Det fælles niveau ξ estimees til ȳ = De estimeede fosfovikninge (ækkevikninge) e ȳ ȳ = 8692 ȳ 2 ȳ = 342 ȳ 3 ȳ = 7350
8 Lineæe nomale modelle (3) Side 8 af 0 Tabel 2 Middeltal ȳ (øvest) og vaiansestimat s 2 (nedest) i hve af de seks guppe, jf Tabel Tabel 3 Guppegennemsnit (øvest) og estimeede guppemiddelvædie unde additivitetshypotesen (nedest) kvælstof 0 kvælstof fosfo fosfo De estimeede kvælstofvikninge (søjlevikninge) e ȳ ȳ = 4347 ȳ 2 ȳ = 4347 Heudfa kan man eventuelt udegne de estimeede guppemiddelvædie unde additivitetshypotesen, se Tabel 3 Det vaiansestimat de skal benyttes hvis additivitetshypotesen e igtig, e s 2 0 = (3 + 2 ) = 3527 med 36 (3 + 2 ) = 32 fihedsgade Vi kan nu teste om de e additivitet mellem fosfo og kvælstof i katoffeldykningseksemplet Vi ha tidligee fundet at Vekselvikningsvaiansen findes til s 2 0 = = s 2 = (3 + 2 ) = = 4385 Teststøelsen e demed F = s2 s 2 0 = = 02 de skal sammenlignes med F-fodelingen med (2,30) fihedsgade Tabelopslag vise at testsandsynligheden e lidt unde 90%, så de e næppe nogen tvivl om at additivitetshypotesen kan godkendes
9 Lineæe nomale modelle (3) Side 9 af 0 Tabel 4 Vaiansanalyseskema f stå fo antal fihedsgade, SS fo Sum af kvadatiske afvigelse, s 2 = SS/ f vaiation f SS s 2 test inden fo guppe vekselvikning /3727=02 additivitetshypotesen mellem N-niveaue /3522=9 mellem P-niveaue /3522=22 omking total-gns Som fobedet estimat ove den fælles vaians benyttes heefte s 2 0 = (3 + 2 ) = 3527 med 36 (3 + 2 ) = 32 fihedsgade Nu da vi ved at den additive model give en god beskivelse af obsevationene og det således ha mening at tale om en kvælstofvikning og en fosfovikning, kan det væe af inteesse at undesøge om e e en signifikant vikning af kvælstof hhv fosfo Fo at undesøge om kvælstof ha en vikning, testes hypotesen H 2 om fosvindende kvælstofvikning (søjlevikning) Vaiansen mellem kvælstofniveaue udegnes til s 2 2 = = Vaiansestimatet i den additive model va s 2 02 og F-teststøelsen blive defo = 3522 med 32 fihedsgade, F obs = s2 2 s 2 02 = = 9 de skal sammenlignes med F,32 -fodelingen Vædien F obs = 9 e ganske utvetydigt signifikant sto således at hypotesen om fosvindende kvælstofvikning må fokastes, dvs konklusionen blive at det ha en vikning at tilføe kvælstof Hvis man undesøge om de e en fosvindende fosfovikning, så må også denne hypotese fokastes, dvs det ha også en signifikant vikning at tilføe fosfogødning Vaiansanalyseskemaet (Tabel 4) give en samlet ovesigt ove analysen
10 Lineæe nomale modelle (3) Side 0 af En opgave Dette e en beømt tosidet vaiansanalyse-opgave fa Københavns Univesitet: En student cykle hve dag fa sit hjem til HC Østed Institutet og tilbage igen Han kan cykle to foskellige veje, én som han pleje at benytte, og én som han mistænke fo at væe en genvej Fo at undesøge dette måle han nogle gange hvo lang tid tuen tage ham Resultatene femgå af nedenstående skema hvo tidene e opgivet med 0 sekunde som enhed og ud fa et beegningsnulpunkt på 9 minutte genvej sædvanlig vej ud hjem Da det som bekendt kan væe vanskeligt at slippe væk fa HC Østed Institutet på cykel, tage hjemtuen gennemsnitligt længee tid end udtuen Havde studenten et i sin mistanke? Vejledning: Det e klat at disse esultate må kunne behandles ved tosidet vaiansanalyse; da cellene imidletid ikke indeholde lige mange obsevatione, kan den sædvanlige fomel fo pojektionen på undeummet svaende til additivitetshypotesen ikke buges
Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen
HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...
Læs mereKap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.
- 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)
Læs mereIndhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.
Læs mereRegional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016
Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed
Læs mereArealet af en sfærisk trekant m.m.
ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt
Læs mereGÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET
GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET Anmeldelse af satsbilag fo opgøelse af livsfosikingshensættelse unde fosikingsklasse I til makedsvædi gældende indtil andet anmeldes. Risikoelemente
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:
Læs mereAnnuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På
Læs mereTrivselsundersøgelse 2010
Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og
Læs merepraktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.
Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mereHTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00
1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,
Læs mereRumgeometri Side 1 af 20
Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle
Læs mereAnnuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.
Læs mererekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,
ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet
Læs mereAlt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007
Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereProjekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige
Læs mereLøsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen.
Løsninge til kapitel Opgave. a) I Excel-udskiften ses bl.a. p-vædien fo testen med nulhypotesen. Det ses, at denne p-vædi e på, og da dette e minde end signifikansniveauet på %, så konkludes det, at gennemsnittene
Læs mereVektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul
Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i
Læs mereDen stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.
16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode
Læs mereTDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud
TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige
Læs mereVariansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger
Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en
Læs mereForløb om annuitetslån
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes
Læs mereKompendium over testteorien
Kompenium ove testteoien L 7HRUHWLNWDWLWLNIRU NRRPHU 9HULR Uabejet af imon Reusch Maj Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Inhol Op- %LRPLDOIRUGHOLJH Test i én...3 ammenligning af...3 ammenligning
Læs merePÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING
PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs merePension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet
Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig
Læs mereRentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen
Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?
Læs merePrivatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................
Læs mereProjekt 1.8 Design en optimal flaske
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn
Læs mereGravitationsfeltet. r i
Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo
Læs mere, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.
Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereTEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?
TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk
Læs mereElektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3
Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mere3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger
VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg
Læs mereAppendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere
Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereWear&Care Brugervejledning. A change for the better
A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone
Læs mereProjekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele
Læs mereOpsparing og afvikling af gæld
Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mere11: Det skjulte univers
: Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereAt score mål på hjørnespark
At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,
Læs mereElektrostatisk energi
Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,
Læs mereVI SEJREDE! Vi kom, vi så,
Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag
Læs mereBeregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer
Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereSHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING
SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG IELS YGRD Det e velkendt at mens det e meget nemt at få en compute til at gange to tal sammen e det meget svæee at gå den anden vej, at få en compute til at faktoisee
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereKvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )
Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan
Læs merePraksis om miljøvurdering
Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereProjekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende
Læs mereLokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.
VORDINGBORG KOMMUNE CHR RICHARDTSVEJ N KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-16.2 Boligomåde vest fo Solbakkevej, Vodingbog By Vodingbog septembe 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mereImpulsbevarelse ved stød
Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereEr A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.
Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv
Læs mereAKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007
AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereErhvervs- og Selskabsstyrelsen
Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereWor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken?
Wo King Papes Management Woking Papes 2017-08 Mee egenkapal i de stoe nodiske banke hvad koste det fo banken? Johannes Raaballe, mil Snede Andesen og Jacob Kjæ Bahlke Mee egenkapal i de stoe nodiske banke
Læs mereg-påvirkning i rutsjebane
g-påvikning i utsjebane I denne note skal vi indføe begebet g-påvikning fo en peson, som sidde i en vogn, de bevæge sig undt i en utsjebane i et lodet plan. Dette skal vi gøe via begebet elativ bevægelse.
Læs mereTo-sidet variansanalyse
Program 1. To-sidet variansanalyse 2. Hierarkisk princip 3. Tre (og flere) sidet variansanalyse 4. Variansanalyse med blocking 5. Flersidet variansanalyse med tilfældige faktorer 6. En oversigtsslide til
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereFremstilling af F1 hybrider i raps ved brug af cytoplasmatiskgenetisk
Femstilling af F1 hybide i aps ved bug af tiskgenetisk hansteilitet, samt faveudspaltning i F2 efte kydsning af hvidblomstet linje med gulblomstet linje. På side 2-3 vises esultatet af en kydsning med
Læs mereElektrostatisk energi
Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereAntag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.
Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles
Læs mereNotat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked
Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereRoskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014
Roskilde Kommune Teknik og Milø Rådhusbuen 000 Roskilde Jyllinge, den. uli 0 Kommenteing fa de 0 gundefoeninge nod fo v i Jyllinge Nodmak til Gontmiappoten Skitsepoekt fo lokale løsninge til siking af
Læs mereCykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel
Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple
Læs mereEtiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis
side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereTrekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul
Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1
Læs mereJanuar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.
Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001
Læs mereMatematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering. Tal Eleven kan anvende reelle tal Eleven har viden om irrationale tal
Tema: Tal og egning; egning med tal Uge 33-36 Mål Aktivitete Øvelse/Evalueing Poblembehandling Eleven kan planlægge og gennemføe poblemløsningspocesse Eleven ha viden om elemente i poblemløsningspocesse
Læs mereHvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:
0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække
Læs mereProcent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler
Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereLOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG
LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,
Læs mereMed disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereTilstandsligningen for ideale gasser
ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereDe dynamiske stjerner
De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til
Læs mere