Lineære normale modeller (3) udkast

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineære normale modeller (3) udkast"

Transkript

1 E6 efteå 999 Notat 20 Jøgen Lasen 30 novembe 999 Lineæe nomale modelle (3) udkast 44 Tosidet vaiansanalyse Man ha nogle obsevatione y de e aangeet i et tosidet skema: 2 j s y k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2 y jk k=,2,,n j y sk k=,2,,n s y 22k y 2 jk y 2sk k=,2,,n 22 k=,2,,n 2 j k=,2,,n 2s i y ik k=,2,,n i y k k=,2,,n y i2k y i jk y isk k=,2,,n i2 k=,2,,n i j k=,2,,n is y 2k y jk y sk k=,2,,n 2 k=,2,,n j k=,2,,n s Vi buge betegnelsen y i jk fo obsevation n k i skemaets (i, j)-te celle som i alt indeholde n i j obsevatione Den (i, j)-te celle befinde sig i skemaets i-te ække og j-te søjle; de e i alt ække og s søjle Vi opstille en statistisk model gående ud på at y i jk -ene e obseveede vædie af uafhængige nomalfodelte stokastiske vaiable Y i jk med samme vaians σ 2 og med en middelvædistuktu de e bestemt ud fa den måde obsevationene e inddelt på elle måske e det inddelingen de e bestemt af den fomodede middelvædistuktu Hvoom alting e, he e en pæsentation af gundmodel og mulige inteessante hypotese: 2 Gundmodellen G e at Y-e høende til samme celle ha samme middelvædi Mee pæcist skal de findes tal η i j, i =, 2,,, j =, 2,, s, således at E Y i jk = η i j fo alle i, j og k Vi fomulee det kot som G : E Y i jk = η i j Additivitetshypotesen elle hypotesen om fosvindende vekselvikning sige at de ikke e nogen vekselvikning mellem ække og søjle, men at I engelske og ameikanske bøge vil de typisk væe ows and c columns 2 Vi omtale kun middelvædipaametene; det e bestandig undefostået at alle Y-e ha samme ukendte vaians σ 2

2 Lineæe nomale modelle (3) Side 2 af 0 ækkevikninge og søjlevikninge 3 indgå additivt Mee pæcist sige hypotesen at de findes tal α,α 2,,α og β, β 2,, β s således at E Y i jk = α i + β j fo alle i, j og k Den kote fomuleing af additivitetshypotesen e H 0 : E Y i jk = α i + β j Hypotesen om ens søjle elle om fosvindende søjlevikning sige at de ikke e nogen foskel på søjlene, mee pæcist at de findes tal α,α 2,,α således at E Y i jk = α i fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H : E Y i jk = α i Hypotesen om ens ække elle om fosvindende ækkevikning sige at de ikke e nogen foskel på ækkene, mee pæcist at de findes tal β, β 2,, β s således at E Y i jk = β j fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H 2 : E Y i jk = β j Hypotesen om total homogenitet sige at de ikke e nogen foskel på cellene ovehovedet, mee pæcist at de findes et tal γ således at E Y i jk = γ fo alle i, j og k Den kote fomuleing e H 3 : E Y i jk = γ Vi vil nu skive tingene op i lineæ algeba-spog Vi opfatte obsevationene som udgøende en vekto y V = R n hvo n e antallet af obsevatione; vektoene e stuktueet i et todimensionalt skema som ovenfo Gundmodellen og de fie hypotese kan fomulees som udsagn om at middelvædivektoen µ = EY tilhøe bestemte undeum: G : µ L hvo L = {ξ : ξ i jk = η i j } H 0 : µ L 0 hvo L 0 = {ξ : ξ i jk = α i + β j } H : µ L hvo L = {ξ : ξ i jk = α i } H 2 : µ L 2 hvo L 2 = {ξ : ξ i jk = β j } H 3 : µ L 3 hvo L 3 = {ξ : ξ i jk = γ} De gælde visse elatione mellem hypotesene/undeummene: G H 0 H H 2 H 3 og L L 0 L L 2 L 3 3 Nogle menneske synes at mene at gaden af videnskabelighed i tekst og tale e popotional med antallet af femmedod, så he e et pa femmedod: vekselvikning = inteaktion, ække/ søjlevikning = ække/søjleeffekt

3 Lineæe nomale modelle (3) Side 3 af 0 Gundmodellen samt modellene svaende til H og H 2, e eksemple på k-stikpøvepoblemet (k e hhv s, og s), og modellen svaende til H 3 e et enstikpøvepoblem Defo kan vi uden videe skive estimatene ove middelvædipaametene op i disse fie modelle: Unde G e ˆη i j = ȳ i j, dvs gennemsnittet i celle (i, j) Unde H e ˆα i = ȳ i, dvs gennemsnittet i den i-te ække Unde H 2 e ˆβ j = ȳ j, dvs gennemsnittet i den j-te søjle Unde H 3 e ˆγ = ȳ, dvs totalgennemsnittet Deimod e det ikke lige så let at estimee paametene unde H En påstand om at det hele blive sælig pænt hvis alle n i j -ene e lige stoe, vil næppe komme som nogen støe oveaskelse, også selv om læseen måske ikke e kla ove hvad det egentlig e de blive pænt, og hvofo I»det vikelige liv«kan man ikke satse på at de altid vil væe lige mange obsevatione i hve celle, så defo vil vi nu undesøge hvilke kav og hvilke ønske man skal stille til antallene n i j 44 Sammenhængende modelle Må nogle af cellene væe tomme? Det sige sig selv at de ikke må væe tomme ække elle søjle, men hvad med enkelte celle? Fo klalægge poblemene se vi på et oveskueligt eksempel Lad os sige at = 2 og s = 2, og at n i j -ene e n = 0 n 2 = 9 n 2 = 9 n 22 = 0 I dette tilfælde e L todimensionalt (de e kun de to paamete η 2 og η 2 ), og faktisk e L = L 0 = L = L 2 I sædeleshed e L L 2 = L 3, selv om mange måske ville have toet at de altid gjaldt at L L 2 = L 3 Poblemet e at modellen i ealiteten bestå af to sepaate delmodelle (fo hhv celle (, 2) og celle (2, )), og defo blive dim(l L 2 ) > elle ensbetydende hemed 4 dim(l 0 ) < + s Vi kan fomulee det som en betingelse på n i j -ene: lav en gaf hvo knudene e de talpa (i, j) fo hvilke n i j > 0, og hvo kantene fobinde pa af»naboknude«som enten ha samme i elle samme j Betingelsen e at denne gaf skal væe en sammenhængende gaf 5 4 Iflg den geneelle fomel dim(l + L 2 ) = dim L + dim L 2 dim(l L2) og da L 0 = L + L 2 5 Ved bevis: man ovebevise sig let om at gafen e sammenhængende hvis og kun hvis nulummet fo den lineæe afbildning de afbilde (α,α 2,,α, β, β 2,, β s ) R R s ove i den»tilsvaende«vekto i L 0, e endimensionalt; og dimensionen af L 0 = L + L 2 e lig + s minus dimensionen af dette nulum

4 Lineæe nomale modelle (3) Side 4 af 0 He e et eksempel på en sådan gaf: n > 0 n 2 > 0 n 3 = 0 n 2 > 0 n 22 = 0 n 23 > 0 I det følgende beskæftige vi os kun med sammenhængende modelle 442 Pojektionen på L 0 Ifølge den geneelle teoi estimees middelvædivektoen µ unde H 0 ved pojektionen p 0 y af y på L 0 I visse tilfælde findes en nem fomel til beegning af denne pojektion Vi minde om at L 0 = L + L 2 og L 3 = L L 2 Antag at det e sådan at i så fald e (L L 3 ) (L 2 L 3 ); () L 0 = (L L 3 ) (L 2 L 3 ) L 3 og demed dvs p 0 = (p p 3 ) + (p 2 p 3 ) + p 3 α i + β j = (ȳ i ȳ ) + (ȳ j ȳ ) + ȳ (2) = ȳ i + ȳ j ȳ Se, det va jo en meget fin fomel Spøgsmålet e nu hvonå foudsætningen () e opfyldt Nødvendigt og tilstækkeligt fo () e at p e p 3 e, p 2 f p 3 f = 0 (3) fo alle e, f E hvo E e en basis fo L Som E kan man feks buge vektoene e ρσ hvo (e ρσ ) i jk = hvis (i, j) = (ρ,σ), og 0 elles Hvis man indsætte sådanne vektoe i (3) finde man let at den nødvendige og tilstækkelige betingelse e at n i j = n i n j n, i =, 2,, ; j =, 2,, s (4) Nå denne betingelse e opfyldt, sige man at de foeligge det balanceede tilfælde Sammenfattende kan vi nu sige at i det balanceede tilfælde, dvs nå (4) e opfyldt, så kan estimatoene unde additivitetshypotesen udegnes efte fomlene (2)

5 Lineæe nomale modelle (3) Side 5 af Test af hypotese De foskellige hypotese om middelvædistuktuen kan nu testes; hve gang kan man benytte en F-teststøelse hvo nævneen e vaiansskønnet i den aktuelle gundmodel, og tælleen e et skøn ove»hypotesens vaiation omking gundmodellen«sine to fihedsgadsantal ave F fa hhv tælle- og nævnevaiansskønnet Additivitetshypotesen H 0 testes med F = s2 s 2 0 hvo s 2 0 = = n dim L n g i= s j= y py 2 n i j k= (y i jk ȳ i j ) 2 beskive vaiationen inden fo guppe (g = dim L e antal ikketomme celle), og s 2 = = dim L dim L 0 py p 0 y 2 g ( + s ) i= s j= n i j k= ( ) 2 ȳ i j ( αi + β j ) beskive vekselvikningsvaiationen I det balanceede tilfælde e s 2 = g ( + s ) i= s j= n i j k= (ȳi j ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 Ovenstående foudsætte at n > g, dvs de skal væe celle med mee end én obsevation 2 Hvis additivitetshypotesen acceptees, udegne man et nyt vaiansskøn s 2 0 = = y p n 0 y 2 dim L 0 ( y py 2 + py p n 0 y 2) dim L 0 og alt efte de konkete omstændighede og poblemstillinge vil man så teste H og/elle H 2 Fo at teste hypotesen H om fosvindende søjlevikning buges teststøelsen F = s 2 /s2 0 hvo s 2 = = dim L 0 dim L p 0 y p y 2 s i= s ( ) 2 n i j αi + β j ȳ i j=

6 Lineæe nomale modelle (3) Side 6 af 0 I det balanceede tilfælde e s 2 = s s ) 2 n j (ȳ j ȳ j= Fo at teste hypotesen H 2 om fosvindende ækkevikning buges teststøelsen F = s 2 2 /s2 0 hvo s 2 2 = = dim L 0 dim L 2 p 0 y p 2 y 2 i= s ( ) 2 n i j αi + β j ȳ j j= I det balanceede tilfælde e s 2 2 = n i (ȳ i ȳ ) 2 i= Bemæk at H og H 2 testes sideodnet, altså i fohold til det samme s 2 0 ; i det balanceede tilfælde e de to F-tællee s 2 og s2 2 stokastisk uafhængige (fodi p 0 y p y og p 0 y p 2 y e otogonale) 444 Et eksempel 6 Fo at opnå de optimale vækstbetingelse skal plante have de fonødne næingsstoffe i de ette fohold Dette eksempel handle om at bestemme det ette fohold mellem mængden af tilføt kvælstofgødning og mængden af tilføt fosfogødning til katofle Man ha dyket nogle katoffelmake på seks foskellige måde, svaende til seks foskellige kombinatione af mængde tilføt fosfo (0, elle 2 enhede) og mængde tilføt kvælstof (0 elle enhed), og deefte ha man målt høstudbyttet På den måde få man nogle obsevatione, høstudbyttene, som e inddelt i guppe efte dykningsmetode således at guppene e fastlagt ved hjælp af to kiteie, nemlig tilføt kvælstof og tilføt fosfo Et sådant dykningsfosøg udføt i 932 ved Ely gav de esultate de e vist i Tabel 7 Opgaven e nu at undesøge hvodan de to faktoe kvælstof og fosfo vike hve fo sig og sammen E det feks sådan at vikningen af at gå fa en til to enhede fosfo afhænge af om de tilføes kvælstof elle ej? Det kan undesøges med en tosidet vaiansanalysemodel 6 Kopieet foholdsvis diekte fa IMFUFA-tekst 67 defo visse notationsmæssige foskelle 7 Bemæk i øvigt at høstudbyttene ha undegået visse foandinge på dees vej til Tabel Den væsentligste e at man ha taget logaitmen til tallene Gunden hetil e at efaingsmæssigt e høstudbyttet af katofle ikke sælig nomalfodelt, hvoimod det det se bede ud med logaitmen til høstudbyttet Da man havde taget logaitmen til tallene, viste det sig at alle esultatene hed 3- komma-et-elle-andet, så fo at få nogle pæne tal ud af det ha man tukket 3 fa og ganget med 000

7 Lineæe nomale modelle (3) Side 7 af 0 Tabel Udbytte ved dykningsfosøg med katofle Vædiene e 000 (log(udbytte målt i lbs) 3) fo 36 pacelle 0 kvælstof fosfo Vi udegne føst estimatene Man kan væe inteesseet i fo en odens skyld at teste gundmodellens antagelse om vaianshomogenitet, og defo beegnes fo hve af de seks guppe ikke blot gennemsnit, men også vaiansestimate, se Tabel 2 Endvidee finde man den samlede kvadatsum til 87, således at den fælles vaians inden fo guppe estimees til s 2 0 = = Batletts teststøelse blive B obs = 95 de skal sammenlignes med χ 2 - fodelingen med 6 = 5 fihedsgade Tabelopslag vise at de e knap 0% chance fo at få en støe vædi, og de e således ikke noget de tale alvoligt imod antagelsen om vaianshomogenitet Vi kan defo basee de videe undesøgelse på den fomodede gundmodel Vi vil deefte gå i gang med at nu undesøge om talmateialet kan beskives med en model hvo vikningene af de to faktoe»tilføt fosfo«og»tilføt kvælstof«indgå additivt Vi betegne den k-te obsevation i den i-te ække og j-te søjle y i jk Gundmodellen e at y i jk -ene opfattes som obseveede vædie af uafhængige nomalfodelte stokastiske vaiable Y i jk hvo Y i jk e nomalfodelt med middelvædi µ i j og vaians σ 2 Additivitetshypotesen kan fomulees som H 0 : EY i jk = ξ + η i + ζ j He beskive ξ det fælles niveau, η i -ene vikningene af tilføt fosfo og ζ j -ene vikningene af tilføt kvælstof, og det e sådan at η = ζ = 0 Det fælles niveau ξ estimees til ȳ = De estimeede fosfovikninge (ækkevikninge) e ȳ ȳ = 8692 ȳ 2 ȳ = 342 ȳ 3 ȳ = 7350

8 Lineæe nomale modelle (3) Side 8 af 0 Tabel 2 Middeltal ȳ (øvest) og vaiansestimat s 2 (nedest) i hve af de seks guppe, jf Tabel Tabel 3 Guppegennemsnit (øvest) og estimeede guppemiddelvædie unde additivitetshypotesen (nedest) kvælstof 0 kvælstof fosfo fosfo De estimeede kvælstofvikninge (søjlevikninge) e ȳ ȳ = 4347 ȳ 2 ȳ = 4347 Heudfa kan man eventuelt udegne de estimeede guppemiddelvædie unde additivitetshypotesen, se Tabel 3 Det vaiansestimat de skal benyttes hvis additivitetshypotesen e igtig, e s 2 0 = (3 + 2 ) = 3527 med 36 (3 + 2 ) = 32 fihedsgade Vi kan nu teste om de e additivitet mellem fosfo og kvælstof i katoffeldykningseksemplet Vi ha tidligee fundet at Vekselvikningsvaiansen findes til s 2 0 = = s 2 = (3 + 2 ) = = 4385 Teststøelsen e demed F = s2 s 2 0 = = 02 de skal sammenlignes med F-fodelingen med (2,30) fihedsgade Tabelopslag vise at testsandsynligheden e lidt unde 90%, så de e næppe nogen tvivl om at additivitetshypotesen kan godkendes

9 Lineæe nomale modelle (3) Side 9 af 0 Tabel 4 Vaiansanalyseskema f stå fo antal fihedsgade, SS fo Sum af kvadatiske afvigelse, s 2 = SS/ f vaiation f SS s 2 test inden fo guppe vekselvikning /3727=02 additivitetshypotesen mellem N-niveaue /3522=9 mellem P-niveaue /3522=22 omking total-gns Som fobedet estimat ove den fælles vaians benyttes heefte s 2 0 = (3 + 2 ) = 3527 med 36 (3 + 2 ) = 32 fihedsgade Nu da vi ved at den additive model give en god beskivelse af obsevationene og det således ha mening at tale om en kvælstofvikning og en fosfovikning, kan det væe af inteesse at undesøge om e e en signifikant vikning af kvælstof hhv fosfo Fo at undesøge om kvælstof ha en vikning, testes hypotesen H 2 om fosvindende kvælstofvikning (søjlevikning) Vaiansen mellem kvælstofniveaue udegnes til s 2 2 = = Vaiansestimatet i den additive model va s 2 02 og F-teststøelsen blive defo = 3522 med 32 fihedsgade, F obs = s2 2 s 2 02 = = 9 de skal sammenlignes med F,32 -fodelingen Vædien F obs = 9 e ganske utvetydigt signifikant sto således at hypotesen om fosvindende kvælstofvikning må fokastes, dvs konklusionen blive at det ha en vikning at tilføe kvælstof Hvis man undesøge om de e en fosvindende fosfovikning, så må også denne hypotese fokastes, dvs det ha også en signifikant vikning at tilføe fosfogødning Vaiansanalyseskemaet (Tabel 4) give en samlet ovesigt ove analysen

10 Lineæe nomale modelle (3) Side 0 af En opgave Dette e en beømt tosidet vaiansanalyse-opgave fa Københavns Univesitet: En student cykle hve dag fa sit hjem til HC Østed Institutet og tilbage igen Han kan cykle to foskellige veje, én som han pleje at benytte, og én som han mistænke fo at væe en genvej Fo at undesøge dette måle han nogle gange hvo lang tid tuen tage ham Resultatene femgå af nedenstående skema hvo tidene e opgivet med 0 sekunde som enhed og ud fa et beegningsnulpunkt på 9 minutte genvej sædvanlig vej ud hjem Da det som bekendt kan væe vanskeligt at slippe væk fa HC Østed Institutet på cykel, tage hjemtuen gennemsnitligt længee tid end udtuen Havde studenten et i sin mistanke? Vejledning: Det e klat at disse esultate må kunne behandles ved tosidet vaiansanalyse; da cellene imidletid ikke indeholde lige mange obsevatione, kan den sædvanlige fomel fo pojektionen på undeummet svaende til additivitetshypotesen ikke buges

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET

GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET GÆLDENDE SATSBILAG VEDRØRENDE MARKEDSVÆRDIGRUND- LAGET Anmeldelse af satsbilag fo opgøelse af livsfosikingshensættelse unde fosikingsklasse I til makedsvædi gældende indtil andet anmeldes. Risikoelemente

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Rumgeometri Side 1 af 20

Rumgeometri Side 1 af 20 Rumgeometi Side af Idhold. Puktmægde i ummet..... Lije i ummet..... Pla... Paametefemstillige fo e pla i ummet e givet ved... Fa ligig til paametefemstillig... Fa paametefemstillig til ligig..... Kugle

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen.

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen. Løsninge til kapitel Opgave. a) I Excel-udskiften ses bl.a. p-vædien fo testen med nulhypotesen. Det ses, at denne p-vædi e på, og da dette e minde end signifikansniveauet på %, så konkludes det, at gennemsnittene

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Kompendium over testteorien

Kompendium over testteorien Kompenium ove testteoien L 7HRUHWLNWDWLWLNIRU NRRPHU 9HULR Uabejet af imon Reusch Maj Kompenium ove testteoien, imon Reusch, maj Inhol Op- %LRPLDOIRUGHOLJH Test i én...3 ammenligning af...3 ammenligning

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K. Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

SHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING

SHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG IELS YGRD Det e velkendt at mens det e meget nemt at få en compute til at gange to tal sammen e det meget svæee at gå den anden vej, at få en compute til at faktoisee

Læs mere

Konfidensinterval for µ (σ kendt)

Konfidensinterval for µ (σ kendt) Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE CHR RICHARDTSVEJ N KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-16.2 Boligomåde vest fo Solbakkevej, Vodingbog By Vodingbog septembe 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie

Program. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007 AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken?

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken? Wo King Papes Management Woking Papes 2017-08 Mee egenkapal i de stoe nodiske banke hvad koste det fo banken? Johannes Raaballe, mil Snede Andesen og Jacob Kjæ Bahlke Mee egenkapal i de stoe nodiske banke

Læs mere

g-påvirkning i rutsjebane

g-påvirkning i rutsjebane g-påvikning i utsjebane I denne note skal vi indføe begebet g-påvikning fo en peson, som sidde i en vogn, de bevæge sig undt i en utsjebane i et lodet plan. Dette skal vi gøe via begebet elativ bevægelse.

Læs mere

To-sidet variansanalyse

To-sidet variansanalyse Program 1. To-sidet variansanalyse 2. Hierarkisk princip 3. Tre (og flere) sidet variansanalyse 4. Variansanalyse med blocking 5. Flersidet variansanalyse med tilfældige faktorer 6. En oversigtsslide til

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 6.

En Introduktion til SAS. Kapitel 6. En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Fremstilling af F1 hybrider i raps ved brug af cytoplasmatiskgenetisk

Fremstilling af F1 hybrider i raps ved brug af cytoplasmatiskgenetisk Femstilling af F1 hybide i aps ved bug af tiskgenetisk hansteilitet, samt faveudspaltning i F2 efte kydsning af hvidblomstet linje med gulblomstet linje. På side 2-3 vises esultatet af en kydsning med

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Ensidet variansanalyse

Ensidet variansanalyse Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014 Roskilde Kommune Teknik og Milø Rådhusbuen 000 Roskilde Jyllinge, den. uli 0 Kommenteing fa de 0 gundefoeninge nod fo v i Jyllinge Nodmak til Gontmiappoten Skitsepoekt fo lokale løsninge til siking af

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering. Tal Eleven kan anvende reelle tal Eleven har viden om irrationale tal

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering. Tal Eleven kan anvende reelle tal Eleven har viden om irrationale tal Tema: Tal og egning; egning med tal Uge 33-36 Mål Aktivitete Øvelse/Evalueing Poblembehandling Eleven kan planlægge og gennemføe poblemløsningspocesse Eleven ha viden om elemente i poblemløsningspocesse

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

Tilstandsligningen for ideale gasser

Tilstandsligningen for ideale gasser ilstandsligningen for ideale gasser /8 ilstandsligningen for ideale gasser Indhold. Udledning af tilstandsligningen.... Konsekvenser af tilstandsligningen...4 3. Eksempler og opgaver...5 4. Daltons lov...6

Læs mere

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet

Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere