dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)"

Transkript

1 dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009

2 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal repræsenteret i det binære talsystem. I SCO, afsnit 3.2.3, er det forklaret hvordan en aritmetisk logisk enhed kan udføre binær addition. Vi skal se, hvordan denne binære addition både kan benyttes til at lave addition og subtraktion af ikke-negative heltal og til addition og subtraktion af heltal. Samtidig skal vi se, hvordan disse operationer benyttes i et højniveausprog, som f.eks. C, til at lave addition og subtraktion på simple heltallige værdier. 1.1 Konvertering imellem ikke-negative heltal og heltal Betragt følgende C-program: #include <stdio.h> #define printint16(i) printf("i = %hd \n", i) #define printuint16(ui) printf("ui = %hu \n", ui) typedef short int INT16 ; typedef unsigned short int UINT16 ; int main() { INT16 i; UINT16 ui; } i = 5; ui = i; printint16(i); printuint16(ui); i = -3; ui = i; printint16(i); printuint16(ui); ui = 65526; i = ui; printint16(i); printuint16(ui); Variable af typen INT16 har værdier som ligger i I 16 = [ 2 15, ] mens variable af typen UINT16 har værdier i UI 16 = [ 0, ]. Dette gælder i hvert fald hvis der benyttes 2-komplement repræsentation af heltal og der bruges 16 bit til variable af typen short int. 1

3 En kørsel af programmet gav: i = 5 ui = 5 i = -3 ui = i = -10 ui = At de to først udskrevne værdier er identiske kan vel ikke undre. Sådan skulle det gerne være. Værdien 5 ligger jo i begge værdiområder. Men for de fire sidst udskrevne værdier kræves vist en forklaring. Værdien -3 ligger jo ikke i UI 16, så hvordan får ui så værdien ved tildelingen ui = i? Vi ved fra forrige afsnit, at værdien -3 repræsenteres i variablen i med et bitmønster W B 16 så der gælder: 3 = W 2 = W 2 16 dvs. W = = = Så noget kunne jo tyde på, at de 16 bit som repræsenterer værdien -3 i variablen i blot er kopieret fra i over i ui ved tildelingssætningen; det er de to forskellige fortolkninger af bitmønstret W, som giver de to forskellige resultater i udskriften. Denne antagelse om hvad der foregår passer også med de to sidste udskrifter: 10 = W 2 = W 2 16 = Nu kan det være lidt besværligt at tænke i bitmønstre, når vi i almindelighed skal finde en sammenhæng imellem de to fortolkninger. I stedet kan vi indføre følgende simple afbildninger UINT N : I N UI N og INT N : UI N I N idet i I N, ui UI N : { i når i 0 UINT N (i) = i + 2 N når i < 0 og { ui når ui < 2 N 1 INT N (ui) = ui 2 N når ui 2 N 1 Med disse afbildninger kan vi simpelt beskrive hvad der sker ved tildelingssætningerne i C-programmet: UINT 16 ( 3) = = og INT 16 (65526) = = Addition og subtraktion af ikke-negative heltal Når den aritmetiske enhed udfører addition (f.eks. når IJVM udfører ordren iadd med to bitmønstre af længde 32 som operander) sker det som binær addition af de binære cifre i de to operander; de enkelte binære cifre adderes med menteoverføring fra de mindst betydende cifre til de mest betydende cifre. En eventuel mente fra additionen af de mest betydende cifre ses der bort fra. Dette kan udtrykkes som en afbildning add : B N B N B N. F.eks. således i B 5 : 2

4 add(01000, 00110) = add(01011, 10110) = add(10011, 11000) = add(11111, 11111) = add(01100, 01000) = En konkret implementation af denne afbildning ved hjælp af digitale komponenter i den aritmetisk logiske enhed kan ses i SCO, figur 3-20 og I figur 3-18 redegøres der for, at resultatet af en beregning i det kombinatoriske kredsløb i (b) netop svarer til den lille additionstabel for binær addition, (a) i figuren. I figur 3-20 er det to 8 bit operander A = A 7... A 0 og B = B 7... B 0. Resultatet O = O 7... O 0 er altså det bitmønster som kommer ud af afbildningen add(a, B) vel at mærke hvis INC = 0 (INC er menten ind i den mindst betydende bitposition). Kalder vi menten fra den mest betydende bitposition for C N ( Carry; optræder som C bit i Program Status Word (PSW) på de fleste maskiner, SCO, s. 310) fås generelt, at afbildningen add opfylder: add(w 1, W 2 ) + C N 2 N = W 1 + W 2 Dette slutter vi ud fra strukturen i figur 3-20 og korrektheden af den enkelte ciffervise addition forklaret i figur Vi kan også skrive sammenhængen imellem en ikke-negativ heltalsfortolkning af bitmønstrene add(w 1, W 2 ), W 1 og W 2 således: { W1 + W add(w 1, W 2 ) = 2 når C N = 0 W 1 + W 2 2 N når C N = 1 eller add (W 1, W 2 ) = ( W 1 + W 2 ) mod 2 N Hvis der ikke er mente, altså hvis C N = 0, gælder der jo: add (W 1, W 2 ) = W 1 + W 2 Dvs. resultatet er korrekt betragtet som addition i de ikke-negative heltal UI N. Hvis der derimod optræder en mente, er resultatet større end 2 N 1 altså udenfor værdiområdet for UI N og vil derfor ikke kunne repræsenteres med N bit ved afbildningen 1. I denne situation taler vi om overløb m.h.t. UI N. Når der er overløb, er resultatet altså ikke korrekt, men de N bit som fås ved add(w 1, W 2 ) er dog korrekte i den forstand, at de svarer til de mindst betydende N bit af de N + 1 bit der ved overløb skal til for at repræsenterer summen W 1 + W 2. Når vi udfører addition på elementer i UI N kan vi altså risikere at ryge ud af værdiområdet. Vi skal nu undersøge hvordan dette viser sig i følgende C-program: 3

5 #include <stdio.h> #define printuint16(ui) printf("ui = %hu \n", ui) typedef unsigned short int UINT16 ; int main() { UINT16 max = 65535; UINT16 ui, ui1, ui2; } // Addition ui1=32000; ui2=32000; ui = ui1 + ui2; printuint16(ui); ui1=64000; ui2=64000; ui = ui1 + ui2; printuint16(ui); ui1=max; ui2=1; ui = ui1 + ui2; printuint16(ui); // Subtraction ui1=45; ui2=27; ui = ui1 - ui2; printuint16(ui); ui1=7; ui2=10; ui = ui1 - ui2; printuint16(ui); ui1=0; ui2=1; ui = ui1 - ui2; printuint16(ui); Resultatet af en kørsel blev: ui = ui = ui = 0 ui = 18 ui = ui = Første resultat er jo i UI 16, så det er godt nok. Den anden addition skulle jo give , men giver Det rigtige resultat kan skrives som = = Dette stemmer med, at vi i denne situation får 4

6 smidt menten væk og resultatet er altså korrekt på nær menten. Og max + 1 skulle jo give 65536, men resultatet er 0. Der startes simpelthen forfra ved 0, når vi lægger en til det bitmønster som repræsenterer det største tal i UI 16. En slags binær kilometertæller. Addition i UI N, afbildningen add UI : UI N UI N UI N, udføres altså som binær addition i den aritmetisk logiske enhed på de to bitmønstre som repræsenterer de to aktuelle operandværdier ui 1 og ui 2. Dette giver os følgende udtryk for addition af ikke-negative heltal: { ui1 + ui add UI (ui 1, ui 2 ) = 2 når ui 1 + ui 2 < 2 N ui 1 + ui 2 2 N når ui 1 + ui 2 2 N eller add UI (ui 1, ui 2 ) = (ui 1 + ui 2 ) mod 2 N Læg også mærke til, at man ikke får noget at vide om, at der har været overløb undervejs ved kørslen af C-programmet. Ved subtraktion fås det rigtige resultat, når dette er i værdiområdet. Et eksempel ses i den første subtraktion i C-programmet. Hvis resultatet derimod ikke er i værdiområdet er resultatet forkert. F.eks. er dette tilfældet i udregningen 7-10 = -3, hvor resultatet i udskriften er et stort heltal Nu ved vi jo fra tidligere, at dette netop er ikke-negativ heltalsfortolkningen af det bitmønster som repræsenterer -3. I denne situation ser det altså ud som om subtraktionen foregår ved at vi får lov til at låne 2 16 = 65536, altså i almindelighed: { ui1 ui sub UI (ui 1, ui 2 ) = 2 når ui 1 ui 2 2 N + ui 1 ui 2 når ui 1 < ui 2 eller sub UI (ui 1, ui 2 ) = (ui 1 + (2 N ui 2 )) mod 2 N Den subtraktion, der foregår, kan således forstås ud fra addition af ikke-negative heltal, nemlig denne addition: sub UI (ui 1, ui 2 ) = add UI (ui 1, (2 N ui 2 )) Dette viser, at subtraktion kan udføres ved hjælp af den tidligere definerede addition, hvis vi vel at mærke først udregner 2 N ui 2. Nu er dette igen en subtraktion, så det ser ud som om vi alligevel ikke slipper for at skulle lave en subtraktion. Men netop denne specielle subtraktion 2 N ui kan klares simpelt uden subtraktion: 2 N ui = ui + 1 hvor ui er det heltal man får ved at se på bitmønstret for ui, dvs. ui 1, danne bitvis komplement af dette og så fortolke dette som et ikke-negativt heltal. Resultatet fås ud fra den relation vi udledte i forrige afsnit: som her kan udtrykkes således: W + W = 2 N 1 ui + ui = 2 N 1 Heraf fås: sub UI (ui 1, ui 2 ) = add UI (ui 1, add UI (ui 2, 1)) 5

7 Det er netop sådan den aritmetisk logiske enhed i SCO udfører subtraktion: Bitmønstret for den ene operand adderes binært til det bitkomplementerede bitmønster for den anden operand, der lægges 1 til ved at lade menten ind i den mindst betydende bit være 1 (INC = 1 i figur 3-20). Den sidste subtraktion i C-programmet passer også med denne beskrivelse: Alt ialt har vi altså fundet at: sub UI (0, 1) = add UI (0, add UI (1, 1)) = add UI (0, add UI (2 16 2, 1)) = add UI (0, ) = = sub UI (ui 1, ui 2 ) = add UI (ui 1, add UI (ui 2, 1)) = { ui1 ui 2 når ui 1 ui 2 2 N + ui 1 ui 2 når ui 1 < ui 2 Dette viser, at subtraktion giver det korrekte resultat, når resultatet er i værdiområdet og at subtraktion kan udføres ved hjælp af bitkomplementering og addition. Bemærk, at vi heller ikke ved subtraktion får at vide om der har været overløb undervejs ved kørslen af programmet. 1.3 Addition og subtraktion af heltal Betragt C-programmet: #include <stdio.h> #define printint16(i) printf("i = %hd \n", i) typedef short int INT16 ; int main() { INT16 maxpos = 32767; INT16 minneg = ; INT16 i, i1, i2; i1=5; i2=7; i = i1 + i2; printint16(i); i1=32000; i2=32000; i = i1 + i2; printint16(i); i1=maxpos; i2=1; i = i1 + i2; printint16(i); 6

8 } i1=45; i2=27; i = i1 - i2; printint16(i); i1=-32000; i2=32000; i = i1 - i2; printint16(i); i1=minneg; i2=1; i = i1 - i2; printint16(i); og resultatet af en kørsel: i = 12 i = i = i = 18 i = 1536 i = Igen er resultaterne korrekte sålænge de er i værdiområdet for de heltallige variable, her I 16. Når resultatet er udenfor værdiområdet [-32768, 32767] er det tydeligvis ikke korrekt. Ser man i den genererede symbolske maskinkode (f.eks. til en SPARC), så kan man se, at udregningen af i1 + i2 = faktisk bliver udført af samme ordre som blev brugt i det forrige C-program til at udføre ui1 + ui2 = Der blev resultatet jo korrekt udregnet til Fortolker vi bitmønstret for som et tal i I 16 får vi: INT 16 (64000) = = 1536 altså netop den udskrevne værdi i anden linie. Addition af heltal i et C-program, altså afbildningen add I : I N I N I N, kan derfor udtrykkes således: add I (i 1, i 2 ) = INT N (add UI (UINT (i 1 ), UINT (i 2 ))) De to operander i 1 og i 2 opfattes som ikke-negative heltal, dernæst adderes disse som bitmønstre i den aritmetisk logiske enhed, og endelig fortolkes resultatet som et 2-komplement repræsenteret heltal. Men hvad har nu dette med det resultat at gøre som vi ønsker, altså i 1 + i 2? Og hvornår er der overløb i denne beregning? For at finde ud af det skal vi først bemærke, at der gælder følgende for i I N : UINT (i) = i mod 2 N Dette fås simpelt ud fra definitionen af UINT. Bruges dette fås: add I (i 1, i 2 ) = INT N (add UI (i 1 mod 2 N, i 2 mod 2 N )) = INT N ((i 1 mod 2 N + i 2 mod 2 N ) mod 2 N ) = INT N ((i 1 + i 2 ) mod 2 N ) = INT N { i1 + i 2 når 0 i 1 + i 2 i 1 + i N når i 1 + i 2 < 0 7

9 Benyttes definitionen for INT N på de to tilfælde fås: i 1 + i 2 når 0 i 1 + i 2 < 2 N 1 i add I (i 1, i 2 ) = 1 + i 2 2 N når 2 N 1 i 1 + i 2 < 2 N i 1 + i N når 2 N < i 1 + i 2 < 2 N 1 i 1 + i 2 når 2 N 1 i 1 + i 2 < 0 Resultatet er altså korrekt, når i 1 +i 2 I N. Hvis vi derimod falder udenfor værdiområdet bliver resultatet forkert. Dette kaldes også her for overløb. Overløb kan forekomme på to måder: 1. summen af to positive tal i 1 og i 2 er større end 2 N 1 1, i denne situation bliver resultatet af beregningen i 1 + i 2 2 N, altså et negativt tal, som jo oplagt er forkert; 2. summen af to negative tal bliver mindre end 2 N 1, i denne situation bliver resultatet i 1 + i N, altså et positivt tal, igen oplagt forkert. I begge de to overløbssituationer er resultatet altså forkert, men vi får dog den korrekte restklasse mod 2 N. På lignende måde kan vi finde afbildningen sub I : I N I N I N ud fra sub UI : sub I (i 1, i 2 ) = INT N (sub UI (UINT N (i 1 ), UINT (i 2 ))) = INT N (sub UI (i 1 mod 2 N, i 2 mod 2 N )) = INT N ((i 1 mod 2 N + 2 N i 2 mod 2 N ) mod 2 N ) = INT N ((i 1 i 2 ) mod 2 N ) { i1 i = INT 2 når 0 i 1 i 2 N i 1 i N når i 1 i 2 < 0 i 1 i 2 når 0 i 1 i 2 < 2 N 1 i = 1 i 2 2 N når 2 N 1 i 1 i 2 < 2 N i 1 i N når 2 N < i 1 i 2 < 2 N 1 i 1 i 2 når 2 N 1 i 1 i 2 < 0 Igen er resultatet korrekt, når det er i værdiområdet. Og igen kan overløb forekomme på to måder. Addition og subtraktion af heltal kan altså foregå med de samme maskinordre, som blev benyttet ved de tilsvarende regneoperationer i de ikke-negative heltal. Der er imidlertid forskel m.h.t. hvilke situationer, der betragtes som overløb giver ikke overløb i UI N, mens det giver overløb i I N giver overløb i UI N men ikke i I N. Ønsker man i et program at kunne kontrollere om der har været overløb m.h.t. UI N kan man i et maskinprogram efter udførelsen af en regneoperation undersøge indholdet af PSW og kontrollere bit C. Overløb m.h.t. I N kontrolleres ved at se på bit V (overflow), SCO, s

10 1.4 Relationer Vi skal nu se på, hvordan man udregner relationer imellem heltal på maskinniveau f.eks. en relationen som x < y, hvor de to operander er 32 bit 2- komplement repræsenterede heltal, som vi kender det fra elementerne på stakken på IJVM. Umiddelbart kunne vi jo forsøge os med: iload x iload y isub // stack = x - y, x - y < 0 => x < y iflt else Sådan bliver det jo blevet gjort i darkos-e02-nr.2 i metoden gcd. Der er vi i den situation, at de to operander er antaget at være positive. Og så går det godt. Der kan jo ikke optræde overløb i subtraktionen i den situation. Men i almindelighed kan der jo optræde overløb og hvad sker der så? Ja, så kan resultatet blive forkert. Betragt f.eks. x = og y = -10. Så er resultatet jo x - y = Da værdiområdet for 32 bit heltal er [ , ] vil staktoppen altså i dette tilfælde ikke rumme det rigtige resultat, men i stedet vil vi få et bitmønster, som vil blive fortolket som negativt i iflt. Dette fører til, at x fejlagtigt betragtes som mindre end y. Vi kan altså ikke klare os med den simple programstump ovenfor. Problemet er at vi lidt sløset har skrevet stack = x - y i stedet for stack = sub(x,y) og vi har ikke taget stilling til hvad der skal ske ved overløb. Hvad skal vi stille op med dette problem? En mulighed er at undersøge fortegn for de to operander og så bruge dette til at afgøre forholdet imellem de to operander i de tilfælde, hvor isub kan føre til overløb. På den måde kan man sikre sig, at man kun udføre subtraktion, når der ikke kan forekomme overløb. Det bliver imidlertid ret omfattende at tage hånd om overløb eksplicit på denne måde. På JVM er der da også ordrer, som klarer heltalsrelationerne direkte, f.eks. vil ordren if icmplt sammenligne de to værdier øverst på stakken med relationsoperatoren <. På de fleste maskiner er der sådanne ordrer. 9

11 Opgaver Opgave 2.1 Få definitionen af INT N og UINT N til at passe med: fra afsnit 1. Opgave 2.2 Betragt W 2 = W w N 1 2 N add(01000, 00110) = add(01011, 10110) = add(10011, 11000) = add(11111, 11111) = add(01100, 01000) = i B 5. Kontroller at add (W 1, W 2 ) = ( W 1 + W 2 ) mod 2 N gælder i eksemplerne. Hvor optræder der overløb m.h.t. UI 5? Opgave 2.3 Betragt igen add(01000, 00110) = add(01011, 10110) = add(10011, 11000) = add(11111, 11111) = add(01100, 01000) = i B 5. Kontroller at add (W 1, W 2 ) 2 mod 2 N = ( W W 2 2 ) mod 2 N gælder i eksemplerne. I hvilke af eksemplerne er der overløb m.h.t. I 5? Få eksemplerne til at passe med analysen af overløb. Opgave 2.4 Når vi udfører binær subtraktion sker det f.eks. således: Vi låner altså 2 5 = 32 i det første eksempel. Generelt fås: { W1 W sub (W 1, W 2 ) = 2, når W 1 W 2 2 N + W 1 W 2, når W 1 < W 2 Få formlen til at passe med de to eksempler i B 5 ovenfor. 10

12 Opgave 2.5 Betragt to simple heltalsvariable i og j i et symbolsk IJVM program. Vi refererer til dem ved hjælp af navnene i og j f.eks. således iload i. Beskriv, hvordan de seks relationsoperatorer <, <=, >, >=, = og kan udregnes på IJVM anvendt på i og j. Man kan f.eks. vise, hvordan C-sætningen: if ( i relationsoperator j ) S_1 else S_2 programmeres på IJVM for de seks relationsoperatorer. Prøv bare for en af dem at tage højde for overløb. Det er godt nok besværligt, men prøv alligevel. 11

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Computere og Netværk (dcomnet)

Computere og Netværk (dcomnet) Computere og Netværk (dcomnet) http://www.cs.au.dk/dcomnet Jens Kargaard Madsen (jkm@iha.dk) Jens Bennedsen (jbb@iha.dk) dcomnet 1 Computere og netværk Beskrivelse At give den studerende kendskab til computere

Læs mere

Eksamen dcomnet Q2/2010. Navn

Eksamen dcomnet Q2/2010. Navn 2582 Eksamen dcomnet Q2/2010 ID Navn Example I A32-prg1 Betragt følgende program skrevet i IA-32 symbolsk maskinsprog:.section.data x:.long 2 r:.long 27.section.text.globl _start _start: pushl x movl $0,%ebx

Læs mere

Programmering i C Intro og grundlæggende C 5. marts 2007

Programmering i C Intro og grundlæggende C 5. marts 2007 Programmering i C Intro og grundlæggende C 5. marts 2007 Mads Pedersen, OZ6HR mads@oz6hr.dk Plan for kurset Ma. 5/3: Ma. 19/3: Ma. 2/4: To. 12/4: Formål, intro, grundlæggende Videre, sprogkonstruktioner

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Introduktion til C programmering

Introduktion til C programmering Introduktion til C programmering Rasmus Erik Voel Jensen Uge 17 voel@math.ku.dk Dagens forelæsning Formalia Indledende programmering, main, include, printf, variable, scanf, if-else, statements, eksempler

Læs mere

DATALOGI 1E. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen mandag den 28. maj 2001. 1 60 min. 2 60 min. 3 60 min. 4 60 min.

DATALOGI 1E. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen mandag den 28. maj 2001. 1 60 min. 2 60 min. 3 60 min. 4 60 min. Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen mandag den 28. maj 2001 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen, og hver opgaves besvarelse

Læs mere

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie???

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie??? Romertal. Hvordan var de struktureret?? Systematisk?? I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Regler: Hvis et lille tal skrives foran et stort tal trækkes tallet fra: IV = 5-1 = 4 Hvis et lille tal skrives

Læs mere

Et alfabet er en ordnet mængde af bogstaver og andre tegn

Et alfabet er en ordnet mængde af bogstaver og andre tegn 16. Tegn og alfabet I dette kapitel studerer vi tegn. Tegn udgør grundbestanddelen i enhver form for tekstbehandling. I senere kapitler, nærmere betegnet kapitel 27 - kapitel 31, ser vi på sammensætningen

Læs mere

Niveauer af abstrakte maskiner

Niveauer af abstrakte maskiner Det digitale niveau Niveauer af abstrakte maskiner Digitale kredsløb Logiske tilstande: (- V), (2-5 V) Kombinatoriske kredsløb Logiske tilstande: (- V), (2-5 V) Registre Logiske tilstande: (- V), (2-5

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Pentium IA-32 Maskinarkitekturen

Pentium IA-32 Maskinarkitekturen Pentium IA-32 Maskinarkitekturen 1 Historie (1) Starter i 1970 med udviklingen af Intel 4004: 2 Historie (2) Baglæns kompatibilitet tilbage til 8086. 3 Intel 4004 and Pentium 4 http://www.intel.com/museum/archives/index.htm

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) { int wmid, wmevent; programmering med

LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) { int wmid, wmevent; programmering med LRESULT CALLBACK WndProc(HWND hwnd, UINT message, WPARAM wparam, LPARAM lparam) int wmid, wmevent; PAINTSTRUCT Introduktion ps; til HDC hdc; programmering med switch (message) case WM_COMMAND: wmid = LOWORD(wParam);

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

CITIZEN TM CX-85. Strimmelregner. Instruktionsmanual

CITIZEN TM CX-85. Strimmelregner. Instruktionsmanual ITIZEN TM X-85 Strimmelregner Instruktionsmanual BESKRIVELSE AF TASTATUR OG KNAPPER... Slettetast (clear entry / clear) Anvendes til at slette et forkert indtastet beløb. Øvrige indhold af hukommelsen

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else

Integer.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. 10) til heltal (10). if (udtryk) else Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,

Læs mere

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag Programmering i C Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet Sammendrag Dette er et undervisningsmateriale om introducerende programmering i et imperativt sprog. Mere konkret er det et

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Programmering i C Programmering af microcontroller i C (4 af 4) 12. april 2007

Programmering i C Programmering af microcontroller i C (4 af 4) 12. april 2007 Programmering i C Programmering af microcontroller i C (4 af 4) 12. april 2007 Mads Pedersen, OZ6HR mads@oz6hr.dk Plan i dag Afrunding af OZ3VB's program Fra "almindelig C" til "microcontroller C" Lighederne

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

! #!! $ % $! & " &'"! & *+ "! " $ $ ""!,-! $!.! $! " # 1!! &' "

! #!! $ % $! &  &'! & *+ !  $ $ !,-! $!.! $!  # 1!! &' ""# "" # $ % $ & " &'" & " "()" *+ " " $ $ *+" $ %"&'" "( "",- $. + /"&'"-0 $ " # 1 &' " +"% $ %'('" 2 ' ) )030 )030) * )033 " )033 // " " 1 1 41 ")035)036 5- " " " *+773,8 *+ % " " )035& " )036& " 1 %"

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale.

1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Opgave 1 1.1 Beregn priselasticiteten for de to produkter ved de givne priser og vis v.h.a. monopolprisformlen om priserne er optimale. Liniens ligning for strømper: p = am + b To tal på linien: Nuværende

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software

Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Teknologi historie Datateknologi, Hardware og software Følgende fremstilling er delvis baseret på Dr. Paul E. Dunne s forelæsningsnotater. Notaterne findes på http://www.csc.liv.ac.uk/~ped/teachadmin/histsci/content.html

Læs mere

Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange.

Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange. Kontoskema Kontoskemaet i DSM kan benyttes til at lave forskellige regnskabs- eller nøgletalsrapporter, mulighederne er mange. I det efterfølgende vises, hvordan en simpel regnskabsrapport kan laves ved

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Multiple Choice Prøver

Multiple Choice Prøver Teori og Praksis for Multiple Choice Prøver Michael I. Schwartzbach Multiple Choice ved Datalogi Anvendt i mange datalogikurser siden 2006: Oversættelse Databaser Webteknologi Programmingssprog Dynamiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

Projekt Træningsmaskine

Projekt Træningsmaskine Computer- og El-teknik A. Holstebro Tekniske Gymnasium - HTX Projekt Træningsmaskine Afleveret: Fredag d. 10/10-2008. Udarbejdet af: Bent Arnoldsen, Holstebro HTX. Gruppemedlem: Hjalmar Krarup Andersen,

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Regneark for begyndere

Regneark for begyndere Regneark for begyndere Regneark i Open- og LibreOffice Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er et regneark?...4 Grundlæggende opbygning...4 Kast dig ud i det!...5 Du arbejder med: Din første

Læs mere

Tips og tricks til Proc Means. Per Andersen

Tips og tricks til Proc Means. Per Andersen Tips og tricks til Proc Means Capgemini gruppen Grundlagt 1967 i Paris, startet i Danmark 1984 Omsætning på verdensplan i 2008 8,7 milliader euro 91.600 medarbejdere på verdensplan, heraf 300 i Danmark

Læs mere

Om at konvertere PDF - den gode, den dårlige og den forfærdelige metode

Om at konvertere PDF - den gode, den dårlige og den forfærdelige metode Dokumentation Om at konvertere PDF - den gode, den dårlige og den forfærdelige metode Forfatter Leonard Rosenthal PDF Standards Architect, Adobe Inc. Oversættelse Søren Frederiksen / Søren Winsløw DDPFF

Læs mere

På en digital indgang kan en computer kun se forskel på, om en kontakt er tændt eller slukket. Men til gengæld er den hurtig og god til at regne.

På en digital indgang kan en computer kun se forskel på, om en kontakt er tændt eller slukket. Men til gengæld er den hurtig og god til at regne. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik Dette temahæfte introducerer to-talsystemet og logiske udtryk (Boolesk algebra). Vi oplever, at de almindelige regneregler også gælder i to-talsystemet,

Læs mere

Excel-6: HVIS-funktionen

Excel-6: HVIS-funktionen Excel-6: HVIS-funktionen Regnearket Excel indeholder et væld af "funktioner" som kan bruges til forskellige ting indenfor f.eks. finans, statistik, logiske beregninger, beregninger med datoer og meget

Læs mere

Klasser. Grundlæggende Programmering med Projekt. Peter Sestoft Tirsdag 2. september 2008. (Tak til Jakob Bardram for nogle slides) Dagens begreber

Klasser. Grundlæggende Programmering med Projekt. Peter Sestoft Tirsdag 2. september 2008. (Tak til Jakob Bardram for nogle slides) Dagens begreber Klasser Grundlæggende Programmering med Projekt Peter Sestoft Tirsdag 2. september 2008 (Tak til Jakob Bardram for nogle slides) Dagens begreber Felt (field) Metode (method) Parameter (parameter) Sætning,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Start på Arduino og programmering

Start på Arduino og programmering Programmering for begyndere Brug af Arduino Start på Arduino og programmering EDR Hillerød Knud Krogsgaard Jensen / OZ1QK 1 Start på Arduino og programmering Sidste gang (Introduktion) Programmeringssproget

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

vil jeg blive mindet om det af VBA allerede mens jeg skriver koden, da der er tale om en såkaldt kompileringsfejl:

vil jeg blive mindet om det af VBA allerede mens jeg skriver koden, da der er tale om en såkaldt kompileringsfejl: Fejlhåndtering Selv de bedste programmører laver af og til fejl! Dette kommer sikkert som en overraskelse for de fleste, bortset fra de, der har arbejdet med et hvilket som helst større program. Fejl kan

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Processoren: Fler-cyklus implementation

Processoren: Fler-cyklus implementation Processoren: Fler-cykls implementation artin Zachariasen, DIKU Litteratr: Patterson & Hennessy, afsnit 5.4 5. Ulemper ved enkelt-cykls maskinen Ændring til fler-cykls maskine Styresignaler Implementering

Læs mere

1121 PD L. Brugervejledning

1121 PD L. Brugervejledning 1121 PD L Brugervejledning Oversigt Generelle instruktioner... 2 Udskiftning af farvebånd........ 3 Isætning af papirrullen... 3 Display symboler... 4 Tastatur fortegnelse.... 5 Skydeknap funktioner......

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Medicinsk billeddannelse

Medicinsk billeddannelse Medicinsk billeddannelse Introduktion Billedtyper - Opgaver Billedegenskaber Billedbehandling Lars Møller Albrecht Lars.moeller.albrecht@mt.regionsyddanmark.dk Billedtyper Analog f.eks. billeder, malerier,

Læs mere

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser

Åben uddannelse, Efterår 1996, Oversættere og køretidsomgivelser 3/10/96 Seminaret den 26/10 vil omhandle den sidste fase af analysen og de første skridt i kodegenereringen. Det drejer sig om at finde betydningen af programmet, nu hvor leksikalsk og syntaktisk analyse

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Tips og tricks til Proc Means. Per Andersen Senior IM Consultant Dong Energy, Group IT, Trading IT, Analytics

Tips og tricks til Proc Means. Per Andersen Senior IM Consultant Dong Energy, Group IT, Trading IT, Analytics Tips og tricks til Proc Means Per Andersen Senior IM Consultant Dong Energy, Group IT, Trading IT, Analytics ENERGI I FORANDRING Marts 2012 DONG Energy er en af Nordeuropas førende energikoncerner med

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Introduktion til programmering. Af mikroprocessor Atmel ATmega328P i en Arduino Uno

Introduktion til programmering. Af mikroprocessor Atmel ATmega328P i en Arduino Uno Introduktion til programmering Af mikroprocessor Atmel ATmega328P i en Arduino Uno Min baggrund: Intel 4004, 4 bit, maskinsprog Intel 8008, 8 bit, maskinsprog bit for bit I sprogene: assembler, Fortran

Læs mere

1231X, 1232X & 1491X

1231X, 1232X & 1491X 1231X, 1232X & 1491X 1231X 1232X 1491X Type Elektronisk udskrift / Regnemaskine m. display Elektronisk udskrift / Regnemaskine m. display Elektronisk udskrift / Regnemaskine m. display Tastatur 10-Tast

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Robusthed i geometriske algoritmer Michael Neidhardt

Robusthed i geometriske algoritmer Michael Neidhardt Kandidatspeciale, Datalogisk Institut Københavns Universitet, december 2008 Vejleder Jyrki Katajainen Robusthed i geometriske algoritmer Michael Neidhardt Abstract The description of many geometric algorithms

Læs mere

Arbejd videre med statistik

Arbejd videre med statistik Danmarks Statistik databanker@dst.dk Arbejd videre med statistik Vejledning i PC-AXIS og Statistikbanken Danmarks Statistik juni 2003 1 www.dst.dk www.statistikbanken.dk Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2

Læs mere

Grundlæggende Programmering ITU, Efterår 1999. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering

Grundlæggende Programmering ITU, Efterår 1999. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering Skriftlig eksamen i Grundlæggende Programmering ITU, 20. januar 2000 Alle hjælpemidler tilladt, dog ikke datamat. Eksamen er skriftlig, fire timer, og bedømmes efter 13-skalaen. Opgavesættet består af

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

Brugervejledning til chauffører. webtour.mobi. Version 2013-06-12. Opdateret og seneste version kan altid hentes på http://webtour.

Brugervejledning til chauffører. webtour.mobi. Version 2013-06-12. Opdateret og seneste version kan altid hentes på http://webtour. Brugervejledning til chauffører webtour.mobi Version 2013-06-12 Opdateret og seneste version kan altid hentes på http://webtour.dk/manual Der arbejdes til stadighed på at forbedre vores brugervejledning

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Workshop 3. Koder og skjulte udregninger. Poul Græsbøll & Trine Nyvang

Workshop 3. Koder og skjulte udregninger. Poul Græsbøll & Trine Nyvang Workshop 3 Koder og skjulte udregninger Poul Græsbøll & Trine Nyvang PROGRAM - en kort præsentation af indholdet i årets bog - en teoretisk og historisk indføring i koders brug - en præsentation af et

Læs mere