Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Transkript

1 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple regressosmodel Sammelgg af de smple og multple regressosmodel Regresso ude kostatled Mddelrette OLS estmatorer For mage/for få varable regressosmodel regressosmodel Defto og motvato Defto og motvato De multple regressosmodel er e udvdelse af de smple regressosmodel Defto: y = β0 + βx+ βx + + βkxk k forklarede varable: x,, x k Et kostatled k+ (ukedte) parametre: β0, β,..., βk u fejlled Atagelse E(u x,, x k )=0 regressosmodel 3 Fordele ved de multple regressosmodel er: Ma ka eksplct kotrollere for mage flere faktorer Det betyder, at dsse faktorer kke er deholdt u Det er forhåbetlg lettere at lave ceters parbus fortolkger Ma ka modellere mere geerelle fuktoelle former F.eks. modeller som y = β + β x+ β x 0 regressosmodel 4

2 De multple regressosmodel på matrxform For observatoer ka v opskrve y x x u β k 0 y x xk u β y =, X =, u = β = y x x u β k k y og u er e x matrx (vektor) X er e x(k+) matrx Parametere $ er e (k+)x matrx (vektor) Regressosmodel på matrxform De multple regressosmodel ka skrves som: y = Xβ OLS estmatore ka udreges som de smple regressosmodel ved brug af momet metode Momet betgelse: E( X ' u ) = 0 regressosmodel 5 regressosmodel 6 Regressosmodel på matrx form Fortolkg af OLS regresso OLS estmatore X ' uˆ = X '( y X ˆ β ) = 0 X ' y X ' X ˆ β = 0 ( X ' y) = ( X ' X) ˆ β Hvs (X X) er vertbel (X har fuld rag) ka OLS estmatore udreges tl ˆ β = ( X ' X) X ' y OLS estmatore ka også udledes ved at mmere uˆ regressosmodel 7 Fortolkg af OLS parametree Atag følgede model: y = β + β x + β x + + β x 0... k k De forudsagte værd af y er gvet ved yˆ = ˆ β0 + ˆ βx+ ˆ β ˆ x βkxk Ædrgere forudsagte værd af y, = ˆ + ˆ + + ˆ yˆ β x β x... βk xk regressosmodel 8

3 Fortolkg.. (fortsat) Eksempel: Tmelø Fortolkge af estmatet for $ l : Ædrge y år alle øvrge forklarede varable holdes kostate: y = ˆ β x ˆ l l De multple regressosmodel gver mulghed for at lave ceters parbus fortolkger, selvom data kke er dsamlet så ekelte varable ka holdes kostate V beytter u data fra 994 stedet for 980 Tl dee aalyse af tmelø troduceres e y varabel: Arbejdsmarkedserfarg (baseret på ATP dbetalger) målt år Modelle som estmeres er gvet ved: log( tmelo) = β + β ( uddaelse) + β ( erfarg) 0 regressosmodel 9 regressosmodel 0 Fortolkg.. (fortsat) Fortolkg.. (fortsat) OLS estmatore er besværlg at opskrve (med mdre ma aveder matrxforme) I tlfældet med to forklarede varable ka ma dog få et udtryk for OLS estmatere: Model y = β0 + βx+ βx ry ˆ Estmatet for $ ka skrves som β = r Hvor r er resdualere fra følgede OLS regresso x = δ + δ x + v 0 Resdualere r ka altså fortolkes som de del af x som er ukorreleret med x r er effekte af x efter at have kotrolleret for x Estmatet af $ ka opås ved følgede procedure: Regresser x på x og udreg resdualere r Regresser y på resdualere r regressosmodel regressosmodel 3

4 OLS Resdualer OLS resdualer (fortsat) For OLS resdualer fra de multple regressosmodel (med et kostatled) gælder følgede: Geemsttet af resdualere er lg 0: u ˆ = 0 = Goodess of ft: Læs selv Dette er helt aalogt tl de smple leære regressosmodel De emprske kovaras mellem resdualer og de forklarede varable er lg 0: ux ˆ j 0 j,.., k = = = Puktet ( yx,, x k ) er altd på på OLS regressosle regressosmodel 3 regressosmodel 4 Regressosmodel ude kostatled Mddelret OLS estmator Regressosmodel ude kostatled estmeret med OLS y = βx+ βx βkxk I dee model gælder: OLS resdualere har kke geemst lg 0 R er re-deferet tl og ka blve egatvet SSR R = SSR= ( y βx βx... βkxk) SST Hvs populatos modelle deholder et kostatled, vl OLS estmatere af $, $ k være based (kke mddelrette) Atagelser MLR (leær parametree): De afhægge varabel y ka beskrves ved følgede model: y = β + β x + β x + + β x 0.. k k MLR (tlfældg stkprøve): V har e tlfældg stkprøve (y,x,x,.., x k ),.., fra populatoe (se defto appedx c.) regressosmodel 5 regressosmodel 6 4

5 Mddelret.. (fortsat) Mddelret.. (fortsat) MLR 3 (betget mddelværd af fejlled): Eu ( x, x,..., x ) = 0 k Grude tl at MLR 3 kke er opfyldt: Forkert fuktoel form (mere om dette kap. 9) Udeladte varable, som er korreleret med e af de forklarede varable Målefejl de forklarede varable (mere om dette kap. 9) Hvs MLR 3 er opfyldt kaldes de forklarede varable for eksogee forklarede varable Hvs x j er korreleret med u kaldes x j for edoge forklarede varable MLR 4 (ge perfekt multkollartet) I stkprøve (og populatoe) ka ge af de forklarede varable skrves som e leær fukto af de øvrge De forklarede varable må godt være korreleret f.eks.: ka både x og x være forklarede varable Eksempler på perfekt multkollartet: log( y) = β0 + βlog( x) + βlog( x ) Alder og fødselsår ( tværstsdata) Atallet af observatoer er llle (<k+) regressosmodel 7 regressosmodel 8 Mddelret.. (fortsat) For mage varable modelle Teorem 3. Uder atagelse MLR -MLR 4 gælder: E( ˆ β ) = β j = 0,,.., k j Bevs laves som appedx E. (tavlegeemgag) j Irrelevate varable regressosmodelle: Eksempel: De sade model (som opfylder MLR -MLR4) y = β0 + βx+ βx Regressosmodelle som estmeres med OLS: yˆ = ˆ β + ˆ β x + ˆ β x + ˆ β x,..., Har det betydg for estmatere af β 0, β og β? Estmatere er stadg mddelrette: E( ˆ β0) = β0, E( ˆ β) = β ˆ ˆ, E( β) = β, E( β3) = 0 Me kluso af rrelevate varable påvrker varase af estmatere regressosmodel 9 regressosmodel 0 5

6 For få varable For få varable Udeladte relevate varable OLS estmatere er based (kke mddelrette) Eksempel: De sade model (som opfylder MLR - 4) y = β + β x + β x 0 Regressosmodelle som estmeres ved OLS yˆ ˆ ˆ = β0 + βx,..., Mddelværde af OLS estmatet ( x x)( x x) ˆ E( β) = β+ β = ( x x ) regressosmodel Bas β >0 β <0 Corr(x,x ) postv Postv bas Negatv bas Corr(x,x ) egatv Negatv Bas Postv bas regressosmodel 6