Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
|
|
- Ingrid Carlsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Oversigt Konfidensintervallet for µ 4 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme 5 Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) 6 En formel fortolkning af konfidensintervallet 7 Planlægning af studie med krav til præcision, højdedata igen 8 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 - Højde af 10 studerende: Theorem 3.2: Fordeling for gennemsnit af normalfordelinger Stikprøve, n = 10: Sample mean og standard deviation: x = 178 s = NYT:Konfidensinterval, µ: 178± [169.3; 186.7] Estimerer population mean og standard deviation: ˆµ = 178 ˆσ = NYT:Konfidensinterval, σ: [8.4; 22.3] (Stikprøve-) fordelingen/ The (sampling) distribution for X Assume that X 1,..., X n are independent and identically normally distributed random variables, X i N(µ, σ 2 ), i = 1,..., n, then: X = 1 n X i N ) (µ, σ2 n Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
2 Middelværdi og varians følger af regneregler Vi kender nu fordelingen af den fejl vi begår: (Når vi bruger x som estimat for µ) Middelværdien af X E( X) = 1 n E(X i ) = 1 n µ = 1 n nµ = µ Spredningen af X σ X = σ n Variansen for X Var( X) = 1 n 2 Var(X i ) = 1 n 2 σ 2 = 1 n 2 nσ2 = σ2 n Spredningen af ( X µ) σ ( X µ ) = σ n Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Standardiseret version af de samme ting, Corollary 3.3: Praktisk problem i alt dette, so far: Fordelingen for den standardiserede fejl vi begår: Assume that X 1,..., X n are independent and identically normally distributed random variables, X i N (µ, σ 2 ) where i = 1,..., n, then: Z = X µ σ/ n N ( 0, 1 2) That is, the standardized sample mean Z follows a standard normal distribution. Hvordan skal alt dette omsættes til et konkret interval for µ? Når nu populationsspredningen σ indgår i alle formlerne? Oplagt løsning: Anvend estimtatet s i stedet for σ i formlerne! MEN MEN: Så bryder den givne teori faktisk sammen!! HELDIGVIS: Der findes en udvidet teori, der kan klare det!! Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
3 Theorem 3.4: More applicable extension of the same stuff: (kopi af Theorem 2.49) med 9 frihedsgrader (n = 10): tager højde for usikkerheden i at bruge s: Assume that X 1,..., X n are independent and identically normally distributed random variables, where X i N ( µ, σ 2) and i = 1,..., n, then: T = X µ S/ n t where t is the t-distribution with n 1 degrees of freedom. dt(x, 9) Black: standard normal Red: t(9) x Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 med 9 frihedsgrader og standardnormalfordelingen: med 9 frihedsgrader og standardnormalfordelingen: dt(x, 9) Black: standard normal Red: t(9) P(T>2)=0.038 dt(x, 9) Black: standard normal Red: t(9) P(Z>2)= x x Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
4 Konfidensintervallet for µ Konfidensintervallet for µ Metodeboks 3.8: One-sample konfidensinterval for µ Højde-eksempel Brug den rigtige t-fordeling til at lave konfidensintervallet: For a sample x 1,..., x n the 100(1 α)% confidence interval is given by: x ± t 1 α/2 s n where t 1 α/2 is the 100(1 α)% quantile from the t-distribution with n 1 degrees of freedom. Mest almindeligt med α = 0.05: The most commonly used is the 95%-confidence interval: x ± t s n The t-quantiles for n=10: qt(0.975,9) [1] Og vi kan genkende det allerede angivne resultat: which is: 178 ± ± 8.74 = [169.3; 186.7] Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Konfidensintervallet for µ Konfidensintervallet for µ Højde-eksempel, 99% Konfidensinterval (CI) Der findes en R-funktion, der kan gøre det hele (og lidt mere til): qt(0.995,9) [1] som giver 178 ± ± = [165.4; 190.6] x <- c(168,161,167,179,184,166,198,187,191,179) t.test(x,conf.level=0.99) Results of Hypothesis Test Null Hypothesis: mean = 0 Alternative Hypothesis: True mean is not equal to 0 Test Name: One Sample t-test Estimated Parameter(s): mean of x = 178 Data: x Test Statistic: t = Test Statistic Parameter: df = 9 P-value: e-12 99% Confidence Interval: LCL = UCL = Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
5 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Den formelle ramme for statistisk inferens Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Den formelle ramme for statistisk inferens - Fra enote, Chapter 1: An observational unit is the single entity/level about which information is sought (e.g. a person) (Observationsenhed) The statistical population consists of all possible measurements on each observational unit (Population) The sample from a statistical population is the actual set of data collected. (Stikprøve) Sprogbrug og koncepter: µ og σ er parametre, som beskriver populationen x er estimatet for µ (konkret udfald) X er estimatoren for µ (nu set som stokastisk variabel) Fra enote, Chapter 1, højdeeksempel Vi måler højden for 10 tilfældige personer i Danmark Stikprøven/The sample: De 10 konkrete talværdier: x 1,..., x 10 Populationen: Højderne for alle mennesker i Danmark. Observationsenheden: En person Begrebet statistic(s) er en fællesbetegnelse for begge Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Statistisk inferens = Learning from data Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Tilfældig stikprøveudtagning Learning from data: Is learning about parameters of distributions that describe populations. Vigtigt i den forbindelse: Stikprøven skal på meningsfuld vis være repræsentativ for en eller anden veldefineret population Hvordan sikrer man det: F.eks. ved at sikre at stikprøven er fuldstændig tilfældig udtaget Definition 3.11: A random sample from an (infinite) population: A set of observations X 1, X 2,..., X n constitutes a random sample of size n from the infinite population f(x) if: 1 Each X i is a random variable whose distribution is given by f(x) 2 These n random variables are independent Hvad betyder det???? 1 Alle observationer skal komme fra den samme population 2 De må IKKE dele information med hinanden (f.eks. hvis man havde udtaget hele familier i stedet for enkeltindivider) Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
6 Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) Theorem 3.13: The Central Limit Theorem Uanset hvad bliver fordelingen for et gennemsnit en normalfordeling: Let X be the mean of a random sample of size n taken from a population with mean µ and variance σ 2, then Z = X µ σ/ n Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) CLT in action - gennemsnit af Uniform fordelte observationer n=1 k=1000 u=matrix(runif(k*n),ncol=n) hist(apply(u,1,mean),col="blue",main="means: n=1",xlab="", cex.lab =0.7, cex=0.7) Means: n=1 is a random variable whose distribution function approaches that of the standard normal distribution, N(0, 1 2 ), as n Dvs., hvis n er stor nok, kan vi (tilnærmelsesvist) antage: Frequency 0 60 X µ σ/ n N(0, 12 ) Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) CLT in action - gennemsnit af Uniform fordelte observationer Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) CLT in action - gennemsnit af Uniform fordelte observationer n=2 k=1000 u=matrix(runif(k*n),ncol=n) hist(apply(u,1,mean),col="blue",main="means: n=2",xlab="", cex.lab =0.7, cex=0.7) n=6 k=1000 u=matrix(runif(k*n),ncol=n) hist(apply(u,1,mean),col="blue",main="means: n=6",xlab="", cex.lab =0.7, cex=0.7) Means: n=2 Means: n=6 Frequency Frequency Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
7 Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) CLT in action - gennemsnit af Uniform fordelte observationer Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) Konsekvens af CLT: n=30 k=1000 u=matrix(runif(k*n),ncol=n) hist(apply(u,1,mean),col="blue",main="means: n=30",xlab="", nclass=15, cex.lab =0.7, cex=0.7) Frequency Means: n=30 Vores CI-metode virker OGSÅ for ikke-normale data: Vi kan bruge konfidens-interval baseret på i stort set alle situationer, blot n er stor nok Hvad er stor nok? Faktisk svært at svare præcist på, MEN: Tommelfingerregel:n 30 Selv for mindre n kan formlen være (næsten)gyldig for ikke-normale data Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 En formel fortolkning af konfidensintervallet Repeated sampling fortolkning En formel fortolkning af konfidensintervallet Repeated sampling fortolkning I det lange løb fanger vi den sande værdi i 95% af tilfældene: Konfidensintervallet vil variere i både bredde (s) og position ( x) hvis man gentager sit studie. Mere formelt udtrykt (Theorem 3.4 og 2.49): ( ) X µ P S/ n < t = 0.95 Som er ækvivalent med: ( ) S P X t n < µ < X S + t n = 0.95 P( X µ S n < t 0.975) t t Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
8 Planlægning af studie med krav til præcision Planlægning af studie med krav til præcision Planlægning af studie med krav til præcision, højdedata igen, højdedata igen Method 3.45: The one-sample CI sample size formula: When σ is known or guessed at some value, we can calculate the sample size n needed to achieve a given margin of error, ME, with probability 1 α as: ( z1 α/2 σ ) 2 n = (1) ME Sample mean og standard deviation: x = 178 s = Estimerer population mean og standard deviation: ˆµ = 178 ˆσ = Hvis vi nu ønsker at ME = 3cm med 95% konfidens, hvor stor skal n så være? ( ) n = = Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Stikprøvefordelingen for varians-estimatet (Theorem 2.53) Produktion af tabletter Vi producere pulverblanding og tabletter deraf, så koncenttrationen af det aktive stof i tabletterne skal være 1 mg/g med den mindst mulige spredning. En tilfældig stikprøve udtages, hvor vi måler mængden af aktivt stof. Variansestimater opfører sig som en χ 2 -fordeling: Let then: S 2 = 1 n 1 χ 2 = (X i X) 2 (n 1)S2 σ 2 is a stochastic variable following the χ 2 -distribution with v = n 1 degrees of freedom. Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
9 χ 2 -fordelingen med ν = 9 frihedsgrader x <- seq(0, 20, by = 0.1) plot(x, dchisq(x, df = 9), type = "l") dchisq(x, df = 9) x Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Metode 3.18: Konfidensinterval for stikprøvevarians og -spredning Variansen: A 100(1 α)% confidence interval for a sample variance ˆσ 2 is: [ ] (n 1)s 2 (n 1)s 2 χ 2 ; 1 α/2 χ 2 α/2 where the quantiles come from a χ 2 -distribution with ν = n 1 degrees of freedom. Spredningen: A 100(1 α)% confidence interval for the sample standard deviation ˆσ is: [ ] (n 1)s 2 (n 1)s 2 ; χ 2 1 α/2 χ 2 α/2 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Data: En tilfældig stikprøve med n = 20 tabletter er udtaget og fra denne får man: ˆµ = x = 1.01, ˆσ 2 = s 2 = %-konfidensinterval for variansen - vi skal bruge χ 2 -fraktilerne: χ = , χ = qchisq(c(0.025, 0.975), df = 19) Så konfidensintervallet for variansen σ 2 bliver: [ ; ] = [ ; ] Og konfidensintervallet for spredningen σ bliver: [ ; ] = [0.053; 0.102] [1] Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
10 Højdeeksempel - Højde af 10 studerende - recap: Vi skal bruge χ 2 -fraktilerne med ν = 9 frihedsgrader: χ = , χ = qchisq(c(0.025, 0.975), df = 9) [1] Så konfidensintervallet for højdespredningen σ bliver: [ ] ; 2 = [8.4; 22.3] Stikprøve, n = 10: Sample mean og standard deviation: x = 178 s = NYT:Konfidensinterval, µ: 178± [169.3; 186.7] Estimerer population mean og standard deviation: ˆµ = 178 ˆσ = NYT:Konfidensinterval, σ: [8.4; 22.3] Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47 Oversigt Konfidensintervallet for µ 4 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme 5 Ikke-normale data, Central Grænseværdisætning (CLT) 6 En formel fortolkning af konfidensintervallet 7 Planlægning af studie med krav til præcision, højdedata igen 8 Klaus KA og Per BB (klaus@cancer.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Efteråret / 47
Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Oversigt 1 Motiverende eksempel - energiforbrug 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Læs mereda er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X 1 +... + X n ) N(µ, σ2
Statistik og Sandsynlighedsregning IH kapitel Overheads til forelæsninger, onsdag 5. uge Resultater om normalfordeling X N(µ,σ ). N har tæthed ϕ µ,σ (x) = exp (x µ) πσ σ EX = µ, Var(X) = σ X µ N(0,) σ
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBasal statistik. 30. januar 2007
Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereDansk. Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 2 Konfidensintervallet for µ Eksempel. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
Itroduktio til Statistik enote 3: Kofidesitervaller for é gruppe/stikprøve Egelsk Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 8: Simpel lineær regression. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 10: Inferens for andele. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote 2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Building 303B, Room 017 Danish Technical University 2800 Lyngby
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereQuestion I.1 (1) We use Method 3.8 from Chapter 3 to achieve
Correct answers: 35132 25225 11354 53441 12141 32235 Exercise I Question I.1 (1) We use Method 3.8 from Chapter 3 to achieve And since, qt(0.95, 24) ## [1] 1.710882 90.4 ± t 0.95 10.3 25 We get that 10.3
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereKommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge
Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Opgave 1. Data indlæses i 3 kolonner, som f.eks. kaldessalt,pre ogpost. Der er således i alt tale om 26 observationer, idet de to grupper lægges
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 7: Simuleringsbaseret statistik Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereGeneralized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments. Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US
Generalized Probit Model in Design of Dose Finding Experiments Yuehui Wu Valerii V. Fedorov RSU, GlaxoSmithKline, US Outline Motivation Generalized probit model Utility function Locally optimal designs
Læs mereKursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKlasseøvelser dag 2 Opgave 1
Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereenote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt
enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med
Læs mereVariansanalyse i SAS 1. Institut for Matematiske Fag December 2007
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 1 Ensidet variansanalyse Bartlett s test Tukey s test PROC
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereVIGTIGT! Kurset består af: 1. Forelæsninger. 2. Øvelser. 3. Litteraturlæsning
Intro til statistik Rasmus F. Brøndum, Institut 17 (Matematik) Hjemmeside: people.math.aau.dk/~froberg 22 forelæsninger (hvor af jeg afholder de første 13) + det samme antal øvelsesgange. Hjælpelærer:
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer.
Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. What is a continuous variable? Give two illustrations. 2 Hvorfor kan man bedre drage konklusioner
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereForelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Estimation
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Estimation Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev herefter
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger
Oversigt: De næste forelæsninger Økonometri Inferens i den lineære regressionsmodel 5. september 006 Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereØkonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater
Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi
Læs mereVina Nguyen HSSP July 13, 2008
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between
Læs mereStatistik for MPH: 7
Statistik for MPH: 7 3. november 2011 www.biostat.ku.dk/~pka/mph11 Attributable risk, bestemmelse af stikprøvestørrelse (Silva: 333-365, 381-383) Per Kragh Andersen 1 Fra den 6. uges statistikundervisning:
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereReeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på
Læs mereMultipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test
Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x k uafhængige variable
Læs mere