Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik Karsten Juul

Transkript

1 Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul

2 Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i planen e givet to vektoe a og b Vektoen c e bestemt ved at c a b Bestem koodinatsættet til c, og bestem c Bestem a + b En vekto d t e bestemt ved d hvo t e et tal 5 Bestem de vædie af t fo hvilke d 13 Bestem de vædie af t fo hvilke længden af a + d e VP I et koodinatsystem e givet vektoene Bestem koodinatsættet til Bestem tallene s og t så a + 7b sa + tb 8 a 3 og b VP 3 Paallelogammet ABCD udspændes af vektoene Bestem koodinatsættet til AC, og bestem AC 8 0 AB og AD 15 8 Bestem længden af diagonalen BD VP 4 I et koodinatsystem i planen e givet to punkte A (4, 7) og B ( 8, 16) Bestem koodinatsættet til AB 8 Et punkt C e bestemt ved at AC Bestem koodinatsættet til C Et punkt D e bestemt ved at AD e ensettet med AB, og at længden af AD e 3 gange længden af AB Bestem koodinatsættet til AD, og bestem koodinatsættet til D Om et punkt E på linjestykket AB oplyses at AE 3 AB Bestem koodinatsættet til E Om et punkt F på linjestykket AB oplyses at AF 4 Bestem koodinatsættet til F Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 1 af 7 14/10-04 Kasten Juul

3 Vektoe i planen Opgavesæt n af 5 Dette opgavesæt deje sig om skalapodukt Desuden epetees emnene fa føste sæt VP 5 De e givet vektoene a, b 1 6, c t 1 og d samt punktene A (3, 5) og B (, 6) Bestem a b Bestem t så a c 4 Undesøg om vektoene a og d e vinkelet på hinanden Bestem t så a og c e vinkelet på hinanden Bestem t så a e vinkelet på vektoen w t t Bestem t så a e vinkelet på a + tb Bestem t så c e vinkelet på AB t t + 7 Det oplyses at BC Bestem t så b e vinkelet på AC 1 VP 6 De e givet vektoene C (11, 4) Bestem vinklen mellem a og b Bestem vinklen mellem AB og AC Bestem vinklen mellem a og a + b a 1 og b 3 samt punktene A (10, ), B (4, 7) og 4 Bestem i tekant ABC vinklen mellem siden AB og medianen BC m a med fodpunkt på siden VP 7 De e givet vektoene a 5, b 3 og c 4 t Bestem koodinatsættet til pojektionen af a på b Bestem t så pojektionen af c på b e b Bestem længden af pojektionen af b på a De e givet punktene A (0, 3), B (4, 4) og C (1, 7) Lad D betegne fodpunktet af højden fa C på AB Bestem koodinatsættet til BD, og bestem deefte koodinatsættet til OD Vektoe i planen Fem opgavesæt Side af 7 14/10-04 Kasten Juul

4 Vektoe i planen Opgavesæt n 3 af 5 Dette opgavesæt deje sig om deteminant og linjens ligning Desuden epetees emnene fa de foegående sæt VP 8 De e givet vektoene Q (4, 3) a, b 10 3 og c 3 a + b 8 ˆ samt punktene P (, 1) og Bestem koodinatsættet til c, og bestem længden af c ^ Bestem længden af vektoen PQ PQ Bestem koodinatsættet til punktet R bestemt ved PR a + aˆ VP 9 De e givet vektoene a 6, b 3 5, c 1 t samt punktene P ( 3, ) og Q (3, 5) Bestem det( a, b ) Bestem t så det( a, c ) 7 Undesøg om vektoene a og d e paallelle Bestem t så a og c e paallelle Bestem t så a e paallel med PQ + tb og 9 d 15 VP 10 De e givet vektoene a 4, b 5 og c 1 t + 1 Bestem aealet af det paallelogam de udspændes af a og b Bestem de vædie af t fo hvilke a og c udspænde et paallelogam med aealet 8 Bestem de vædie af t fo hvilke b + ta og b udspænde et paallelogam med aealet Et paallelogam ABCD e bestemt ved A (, 3), B (1, 7) og D ( 0, 5) Bestem aealet af dette paallelogam VP 11 De e givet vektoene a 3 og b 14 4, og en linje l ha ligningen 3 x y Angiv koodinatsættet til en vekto som e vinkelet på l, og bestem koodinatsættet til en vekto som e paallel med l Bestem gadtallet fo den spidse vinkel mellem a og l Bestem koodinatsættet til b 's pojektion på l Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 3 af 7 14/10-04 Kasten Juul

5 Vektoe i planen Opgavesæt n 4 af 5 Dette opgavesæt deje sig om ligning og paametefemstilling fo linje Desuden epetees emnene fa de foegående sæt VP 1 En linje l 1 ha paametefemstillingen l 1: x + t, t R 1 3 5, og en linje l ha ligningen l : 4 ( x 1) + 7 ( y ( ) ) 0 Angiv koodinatsættet til et punkt de ligge på l 1, og til en vekto de e paallel med l 1 Angiv koodinatsættet til et punkt de ligge på l, og til en vekto de e vinkelet på l I en mellemegning, men ikke i et facit, kan man skive en linjes ligning sådan som ligningen fo l e skevet ovenfo Skiv ligningen fo l educeet, fx på fomen a x + b y + c 0 De e givet to punkte A ( 6, 3) og B (, 7) samt en vekto u 1 4 Bestem en paametefemstilling fo den linje l 3 de gå gennem A og e paallel med u Bestem en ligning fo den linje l 4 de gå gennem A og e vinkelet på u Bestem en ligning fo den linje l 5 de gå gennem B og e paallel med u Bestem en paametefemstilling fo den linje l 6 de gå gennem A og B VP 13 En linje l ha paametefemstillingen l : x + t 5, t R 1 4, 6 og en linje m ha ligningen m : x 3y Angiv koodinatsættet til en vekto som e paallel med l, og til en vekto som e vinkelet på m 10 De e givet vektoene a 4 3 og b 6 4 Gø ede fo at a e paallel med l Gø ede fo at b e paallel med m Bestem gadtallet fo den spidse vinkel mellem b og l Bestem koodinatsættet til pojektionen af a på m Opgavesættet fotsætte på næste side! Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 4 af 7 14/10-04 Kasten Juul

6 VP 14 En linje l ha paametefemstillingen l : x 0 + t 1, t R 3 3 Man kan altid foestille sig at sådan en paametefemstilling angive bevægelsen af en patikel Nå vi indsætte et tidspunkt (dvs et tal) fo t og egne højesiden ud, så få vi koodinatsættet ( x, y) til det punkt hvo patiklen e på det pågældende tidspunkt Bestem koodinatsættet til det punkt P 4 på l hvo patiklen e på tidspunktet 4 Bestem koodinatsættet til det punkt P t på l hvo patiklen e på tidspunktet t De e givet punktet A (4,1) Bestem koodinatsættet til vektoen P t A Bestem t så P t A e vinkelet på l, og benyt esultatet til at bestemme koodinatsættet til det punkt P på l fo hvilket PA e vinkelet på l Bestem koodinatsættet til det punkt R på l fo hvilket RA e paallel med vektoen En linje m ha ligningen x y Undesøg om punktet B ( 8, 6) ligge på linjen m a 1 Bestem t så P t ligge på m, og benyt esultatet til at bestemme koodinatsættet til skæingspunktet mellem l og m En linje n ha paametefemstillingen x + t 1, t R 1 1 En patikels bevægelse e fastlagt ved denne paametefemstilling Bestem koodinatsættet til det punkt Q på n hvo patiklen e på tidspunktet s s Bestem de to tal t og s fo hvilke P t Qs, og benyt esultatet til at bestemme koodinatsættet til skæingspunktet mellem l og n Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 5 af 7 14/10-04 Kasten Juul

7 Vektoe i planen Opgavesæt n 5 af 5 Dette opgavesæt e et eksempel på hvodan en pøve kan se ud nå de e 45 minutte til delpøven uden hjælpemidle og 45 minutte til delpøven med hjælpemidle VP 15 (Uden hjælpemidle) a) De e givet to punkte A (3, 1) og B ( 1, 5) samt en vekto v 8 Bestem koodinatsættet til vektoen AB Bestem aealet af det paallelogam som udspændes af AB og v b) To vektoe e bestemt ved a 1 og b 1 t 3 4 Bestem t så a e paallel med b c) Bestem længden af vektoen a t 3 d) En linje l e givet ved paametefemstillingen x 1 + t 4 1 3, t R Gø ede fo at vektoen a 1 stå vinkelet på l e) De e givet to punkte A (, 0) og B ( 3, ) Bestem en ligning fo linjen gennem punktene A og B f) To linje l og m e givt ved l : x 1 + t 3 1, t R m : x + s 0 1, s R Bestem koodinatsættet til skæingspunktet mellem l og m Opgavesættet fotsætte på næste side! Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 6 af 7 14/10-04 Kasten Juul

8 VP 16 (Med hjælpemidle) De e givet to vektoe Bestem b a Bestem gadtallet fo vinklen mellem a og Bestem t så pojektionen af VP 17 (Med hjælpemidle) a og b b a t b på a e vektoen Fo t 4 e et paallelogam ABCD bestemt ved 1 3 AB, AD 1 t t og A (5, 3 ) Bestem de vædie af t fo hvilke paallelogammets aeal e 5 Bestem den vædi af t fo hvilke punktene A, D og E ( 1, ) ligge på linje Vektoe i planen Fem opgavesæt Side 7 af 7 14/10-04 Kasten Juul