for B- og A- niveau i stx og hf

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "for B- og A- niveau i stx og hf"

Transkript

1 fo - og - niea i sx og hf D s 01 Kasen Jl

2 Indhold 1: HÄjde og aeal Definiion HÄjde Eksemel En side kan Åe en häjde SÅning eal af ekan Eksemel eal e kend... : Pyhagoas' såning....1 Definiion Kaee og hyoense.... SÅning Pyhagoas' såning....3 Eksemel Hyoense og en kaee e kend emåkning En sogbg : Ensinklede ekane Definiion En sides modsçende inkel SÅning Ensinklede ekane Eksemel Udegne og bge skalafako Eksemel Ensinklede ekane : osins og sins i einkle ekan Definiion Vinkels hosliggende kaee og modsçende kaee Teoi Definiion af osins og sins Eksemel Udegning af cosins elle sins Eksemel Udegning af inkel med cosins elle sins Teoi Reinkle ekan ho hyoensen ikke e SÅning osins og sins i einkle ekan Eksemel osins og sins i einkle ekan : Tangens i einkle ekan Teoi Definiion af angens SÅning Tangens i einkle ekan Eksemel Tangens i einkle ekan : Vinkle Regle Vinkle Teoi Definiion af cosins il en sm inkel og il Teoi Definiion af sins il en sm inkel og il : Udegne aeal ed hjål af sins Teoi Udegne ekans aeal ed hjål af sins SÅning Sinsfomlen fo aeal af ekan : Sinselaionen SÅning Sinselaionen eis fo sinselaionen Eksemel Udegning af inkel med sinselaionen Eksemel Udegning af side med sinselaionen Eksemel Ogae med o läsninge : osinselaionen SÅning osinselaionen eis fo cosinselaionen Eksemel Udegning af side med cosinselaionen Eksemel Udegning af inkel med cosinselaionen Eksemel osinselaionen og sinselaionen bges fo a degne en afsand : Nogle begebe HÄjde Median Vinkelhaleingslinje Nogle beegnelse Eksemel HÄjde Eksemel Median Eksemel Vinkelhaleingslinje De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 0 De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 1 De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen... De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal... 3 De 3 fomle fo ilkçlig ekan... 3 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf É 01 Kasen Jl Dee håfe kan downloades fa HÅfe mç benyes i ndeisningen his låeen med de samme sende en il som olyse a dee håfe benyes (ski flde iel og Çsal), og olyse om hold, niea, låe og skole.

3 1: HÄjde og aeal 1.1 Definiion HÄjde. HÄjden fa e de linjesykke de gç fa og inkele ind Ç den modsçende side. HÄjden fa e de linjesykke de gç fa og inkele ind Ç den modsçende sides folångelse. 1. Eksemel En side kan Åe en häjde. HÄjden fa e linjesykke 1.3 SÅning eal af ekan. Tekanens aeal e eal 1 d a c nç d e en häjde i ekanen a e den side de e inkele Ç d. a d b Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 01 Kasen Jl

4 1.4 Eksemel eal e kend. PÇ billede se i:,6 Tekanens aeal e 4, h e en häjde h e inkele Ç siden de e, 6 3,9 h aeal 4,, f dee fç i a 4, h 1,6 Nsie läse denne ligning mh. h fo h 0 og fç h 1,. Vi ha bg såningen om ekans aeal (amme 1.3). : Pyhagoas' såning.1 Definiion Kaee og hyoense. Sidene og e ekanens kaee. De kan i se fodi inklen imellem og e e. Siden e hyoensen. De kan i se fodi ikke e en af kaeene. His en ekan ikke e einkle, sç ha den heken hyoense elle kaee.. SÅning Pyhagoas' såning. Fo en einkle ekan gålde: nç og e kaee, og e hyoense Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 01 Kasen Jl

5 .3 Eksemel Hyoense og en kaee e kend. Vi se: kaeene e d og 3, 6 hyoensen e 8, 1 Defo e 3,6 d 8,1 Nsie läse denne ligning mh. d fo d 0 og fç d 7, 3. 3,6 d 8,1.4 emåkning En sogbg. His de sç i ekan DEF e f 14 gålde de e siden oe fo inkelsidsen F de e 14. Sogbgen e nemlig sçdan a nç e so bogsa e en inkelsids i en ekan, gålde de ilsaende lille bogsa e siden oe fo inkelsidsen, his de ikke femgç ande. D f E e d F Eksemel Ç dnyelse af denne sogbg: I en ekan ho inkel e e, e a b c. dasel: Se figen il häje. He d de ikke his d skie m, 6. LÅseen kan ikke ide om de e elle de e, 6. Ski m Ç den side d mene. D skal alid egne en fig i en geomeiogae. M Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 3 01 Kasen Jl

6 3: Ensinklede ekane 3.1 Definiion En sides modsçende inkel. Foesil dig a d sidde Ç linjesykke M og holde i de o inkle ed linjesykkes endenke. Den inkel d ikke holde i (alsç H ) e den modsçende inkel il siden M. M H 3. SÅning Ensinklede ekane. De o ekane ha samme inkle. Defo e de en skalafako. k e de al som kaldes skalafakoen. NÇ i gange sidene i ense ekan med k, sç fç i sidene i häje ekan: mk da m og ha ens modsçende inkle. m n k k da og ha ens modsçende inkle. nk da n og ha ens modsçende inkle. Pilen Ç figen ise hilken ej i gange. His i i sede alge a gange sidene i häje ekan, sç ille k sç fo e ande al. De e illad a bge e ande bogsa i sede fo k. (LÅseen ed ikke Ç fohçnd a k sç fo skalafakoen, sç de e nädendig a i skie de). Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 4 01 Kasen Jl

7 3.3 Eksemel Udegne og bge skalafako. F d c D 1 E Vi begnde a de e en skalafako: De o ekane ha samme inkle. Defo e de en skalafako. Vi degne skalafakoen : Sidene med långde 6 og 9 ha ens modsçende inkle. Defo e 6 9 Vi diidee begge side med 6 og fç 1,. Vi bge skalafakoen 1, il a degne d : Sidene med långde 4 og d ha modsçende inkle de e lige soe. Defo e 4 1, d Vi degne ensesiden og fç d 6. Vi bge skalafakoen 1, il a degne c : Sidene med långde c og 1 ha modsçende inkle de e lige soe. Defo e c 1, 1 Vi diidee begge side med 1, og fç c 8. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 01 Kasen Jl

8 3.4 Eksemel Ensinklede ekane. E 1 1 D Tekanene e ensinklede De e olys a sidene og DE aallelle. Tekanene og DE e alsç ensinklede. Had il i degne? Vi il degne E. Plan fo degninge: Ved hjål af eglene fo ensinklede ekane kan i degne långde af side i ekanene, men E e ikke side i en af ekanene. Vi degne defo fäs. SÇ kan i deefe degne E ed a Åkke fa 1. Skalafakoen k: Da ekanene e ensinklede, skal alle side i ekan ganges med samme al k fo a fç den ilsaende side i ekan DE. Tilsaende side e side de ligge oe fo lige soe inkle. Vi degne k: Da sidene med långde og 1 ligge oe fo samme inkel, mç gålde k 1 Vi diidee begge side med og fç k 3 Vi degne : Da og siden med långde 1 ligge oe fo inklene og D de e lige soe, gålde 3 1 Vi diidee begge side med 3 og fç 7 Vi degne E : Vi fç n a ds. E E Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 6 01 Kasen Jl

9 4: osins og sins i einkle ekan 4.1 Definiion Vinkels hosliggende kaee og modsçende kaee. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. De o side d holde i, kaldes inklens hosliggende side. en inkel e sids, beyde a inklen e minde end 90. En af de side d holde i, e en kaee. Denne side kaldes inklens hosliggende kaee. De e Ñn side ilbage som d ikke holde i. Denne side kaldes inklens modsçende kaee. I den ise ekan gålde alsç: Vinkel 's hosliggende kaee e. Vinkel 's modsçende kaee e Teoi Definiion af osins og sins. NÇ e en sids inkel, e cosins il inklen = 's hosliggende kaee i en ekan med hyoense 1. 1 Vi skie cos( ). NÇ e en sids inkel, e sins il inklen = 's modsçende kaee i en ekan med hyoense 1. 1 Vi skie sin( ). 4.3 Eksemel Udegning af cosins elle sins. PÇ Nsie fç i degne a cos( 49,) 0, sin( 49,) 0, PÇ Nsie kan degningene se sçdan d: Nsie skal Åe indsille il a egne med enheden gade. FÄ d bge cos, sin elle an, skal d alid ase sin(90.0) ene. Reslae skal Åe 1. De ise sig a de e nädendig a d lae denne konol, sel om d o a d ha indsille Nsie il gade. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 7 01 Kasen Jl

10 4.4 Eksemel Udegning af inkel med cosins elle sins. Vi il finde en sids inkel sç cos( ) 0,800 Nsie läse denne ligning mh. fo og fç 36, 8699 SÇ ha i fnde d af a 36, He sç a inkel e mellem 0 og 90. PÇ Nsie kan degningen se sçdan d: Ligninge med sin kan i läse Ç samme mçde. 4. Teoi Reinkle ekan ho hyoensen ikke e 1. I ekanen il häje e hyoensen 1,. Vi il bge cos og sin. Defo egne i en ny ekan ho inklene e de samme, men ho hyoensen e 1. Kaeene i den nye ekan e allene cos( 3) og sin( 3 ). (Se amme 4.) Da de o ekane ha samme inkle, e de en skalafako k : 3 1, b a 1 3 cos( 3) sin( 3) k 3 1, b a Vi finde skalafakoen: Sidene med långde 1 og 1, ligge oe fo ens inkle (begge e 90) sç 1 k 1, ds. k 1,. Vi bge skalafakoen: Resla: 1, sin(3) a 1, cos(3) b a 0,86036 b 1, 873 Vi se a fo alle einklede ekane kan i skie fomle de sae il 1, cos(3) b og 1, sin(3) a Dee e indholde af såningen i amme 4.6. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 8 01 Kasen Jl

11 4.6 SÅning osins og sins i einkle ekan. NÇ e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsçende kaee sç gålde: cos( ) sin( ) I mange ilfålde hedde inklen og sidene noge ande end oenfo. Defo e de ofe en fodel a dykke eglen i od, f.eks. sçdan: Om en sids inkel i en einkle ekan gålde: NÇ i gange cosins il inklen med hyoensen sç fç i inklens hosliggende kaee NÇ i gange sins il inklen med hyoensen sç fç i inklens modsäende kaee 4.7 Eksemel osins og sins i einkle ekan. f den einklede ekan D fç i 6sin( ) Nsie läse denne ligning mh. fo og fç 6, 447. Ds.: 6, f den einklede ekan D fç i D cos( 0) Nsie läse denne ligning mh. fo 0 og fç 7, Ds.: PÇ Nsie kan degningene se sçdan d: 7,78 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 9 01 Kasen Jl

12 : Tangens i einkle ekan.1 Teoi Definiion af angens. NÇ e en sids inkel, e angens il = 's modsçende kaee i en ekan ho ' s hosliggende kaee e 1. Vi skie an( ) s. 1 s. SÅning Tangens i einkle ekan. NÇ e en sids inkel i en einkle ekan e ' s hosliggende kaee e ' s modsçende kaee sç gålde: an( ) I mange ilfålde hedde inklen og sidene noge ande end oenfo. Defo e de ofe en fodel a dykke eglen i od, f.eks. sçdan: Om en sids inkel i en einkle ekan gålde: NÇ i gange angens il inklen med inklens hosliggende kaee sç fç i inklens modsäende kaee.3 Eksemel Tangens i einkle ekan. 30 mee fa e Å sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il häje e en model af denne siaion. h f denne einklede ekan fç i 30 an() h Nsie degne ensesiden og fç 38, 398. Ds.: TÅes häjde e 38 m 30 Enhed: mee PÇ Nsie kan degningen se sçdan d: Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

13 6: Vinkle 6.1 Regle Vinkle En inkel i en ekan e sids his den e nde 90 e his den e 90 sm his den e oe 90. NÇ i lågge inklene i en ekan sammen, sç fç i alid 180 : Teoi Definiion af cosins il en sm inkel og il 90. His e 90 sç e cos( ) 0 ds. cos( 90) 0 His e mellem 90 og 180: Vi Åkke fa 180. SÇ fç i en inkel som e nde 90. Da e nde 90, ed i fa amme 4. had de fosçs ed cos( ). Vi definee a cos( ) cos( ) ho Teoi Definiion af sins il en sm inkel og il 90. His e 90 sç e sin( ) 1 ds. sin( 90) 1 His e mellem 90 og 180: Vi Åkke fa 180. SÇ fç i en inkel som e nde 90. Da e nde 90, ed i fa amme 4. had de fosçs ed sin( ). Vi definee a sin( ) sin( ) ho 180. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

14 7: Udegne aeal ed hjål af sins 7.1 Teoi Udegne ekans aeal ed hjål af sins. I den ise ekan kende i o side og inklen imellem dem. Vi il degne ekanens aeal Vi egne en häjde h. SÇ ha i o einklede ekane. I den ense e (se amme 4.6) 8 sin(9) h eale af hele ekanen e (se amme 1.3) h aeal aeal aeal 1 11 h 1 118sin(9 ) 1,3316 aeal 1,3 Vi se a his i ha en ekan ho i kende o side og inklen mellem dem, sç kan i alid finde ekanens aeal ed a skie en ligning de sae il aeal 1 118sin(9 ). Vi ha alsç indse gyldigheden af såningen i amme SÅning Sinsfomlen fo aeal af ekan. Sinsfomlen fo aeal af ekan e T 1 sin( ) ho T e aeale, og e o side i ekanen, og e inklen mellem disse side. Sinsfomlen fo aeal af ekan dyk i od: T eal af ekan = en hal gange den ene side gange den anden side gange sins il inklen imellem de o side. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 01 Kasen Jl

15 8: Sinselaionen 8.1 SÅning Sinselaionen. His de i en ekan gålde sç e siden e modsçende il inklen siden e modsçende il inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselaionen. 8. eis fo sinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde h. HÄjden dele ekanen i o ekane. Da disse o ekane e einklede, e sin( ) h og sin( ) h h Heaf fç i sin( ) sin( ) Vi diidee begge ligningens side med sin( ) sin( ) og fç sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi fokoe de o bäke: sin( ) sin( ) N ha i beis a sinselaionen gålde. 8.3 Eksemel Udegning af inkel med sinselaionen. Vi il degne inklen Ç figen Vi bge sinselaionen: 34 sin( ) sin(110) Nsie läse denne ligning mh. fo og fç , 9094 elle 14, 091 ds. 37, 9 fo mç Åe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

16 8.4 Eksemel Udegning af side med sinselaionen. Vi il degne siden b Ç figen Vi bge sinselaionen: b sin( 48) 6 sin(10) Nsie läse denne ligning mh. b fo og fç b 4, Ds.: 0b b 4,6 8. Eksemel Ogae med o läsninge. Ogaen I ekan e (* ) 34, a og c 8. Vi il degne inkel. Skisen Vi egne en skise: Udegningen Vi såe ind i sinselaionen: sin(34 ) 8 sin( ) Nsie läse denne ligning mh. fo og fç: 63, elle 116, De o ekane De ise sig a de e o ekane de ofylde (*). I den ene af disse ekane e 63,, og i den anden e 116,. Vi il egne de o ekane. FÄs egne i og inkel. l 34 8 Pnke ligge Ç l, og afsanden fa il e. Defo egne i en cikel med cenm og adis : N ha i de o ekane. l 34 8 Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

17 9: osinselaionen 9.1 SÅning osinselaionen. His de i en ekan gålde sç e Sidene e, og Siden e modsçende il inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselaionen. 9. eis fo cosinselaionen. PÇ figen ha i ilfäje en häjde. PÇ figen se i a n m sç n ( m) Vi omskie häjesiden: (1) n m m m h n HÄjden dele ekanen i o delekane. f den ense fç i () cos( ) m da ekanen e einkle. Da de o delekane e einklede, fç i h Heaf fç i m og h n n m Vi lågge n il begge ligningens side og fç m n Hei esae i n med häjesiden fa (1): hoaf m m m m Hei esae i m med ensesiden i (): cos( ) N ha i beis a cosinselaionen gålde. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 01 Kasen Jl

18 9.3 Eksemel Udegning af side med cosinselaionen. Vi il degne siden Ç figen. Vi bge cosinselaionen: cos(9) Nsie läse denne ligning mh. fo 0 og fç 1, Ds.: 4, Eksemel Udegning af inkel med cosinselaionen. Vi il degne inklen Ç figen. Vi bge cosinselaionen: 3,,4 6,0,4 6,0 cos( ) Nsie läse denne ligning mh. fo og fç 3, 09. Ds.: 3,,4 3, 1 6,0 9. Eksemel osinselaionen og sinselaionen bges fo a degne en afsand. Smmen af inklene i en ekan NÇ i kende o inkle i en ekan, sç kan i degne den edje. De e fodi man alid fç 180 nç man lågge alle e inkle sammen. Finde side i ekan med sinselaionen His i i en ekan kende inklene og en af sidene sç kan i degne enhe af de ande side. Dee kan i gäe med sinselaionen. Finde side i en ekan med cosinselaionen His i i en ekan kende o side og inklen mellem dem sç kan i degne den edje side. Dee kan i gäe med cosinselaionen. Eksemel ho i bge cosinselaionen og sinselaionen il a degne en afsand Figen ise e landomçde se oenfa. Vi il D finde afsand mellem og og, s men i kan ikke mçle denne afsand (Ç gnd af fohold i landskabe). Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

19 Voes mçlinge Vi finde o sede og D ho de gålde: Fa kan i se bçde, og D. Fa D kan i se bçde, og. Vi kan mçle afsanden mellem og D. Vi mçle inkle mellem sigelinje. fsande e i mee. Vi fç D 183, 81, 7, 7, 0, s 4, 9, 108, 8. Plan fo degninge His i i ekan kende sidene og og inklen imellem dem, sç kan i degne långden af med cosinselaionen. Vinklen kan i nem degne da i kende og. e en side i ekan D. I denne kende i inklene og, sç i kan nem degne inklen. Da i kende inklene og en side kan i degne långden af de ande side med sinselaionen. Vi näjes med a degne långden af. PÇ ilsaende mçde degne i siden i ekan D. Siden Vinkelsmmen i en ekan e 180, sç i ekan D e 180 3, 3 Sinselaionen sige a fo alle side i en ekan fç i de samme al nç i diidee siden med sins il sidens modsçende inkel. Defo gålde a D 183 d ds. 1 ho sin( ) sin( ) sin(3,3) sin(81,7) Nsie läse denne ligning mh. d1 og fç d 1 47, 806 d 1 Siden I ekan D lae i degninge af samme ye som i ekan D: 180 s 16, d sin(16,3) sin(4,9) d 33,449 ho d Siden I ekan e 33, 8 Da e inklen mellemsidene d1 og d, og cosinselaionen a c d1 d d1 d cos( ) Vi läse denne ligning mh. c og fç c 97,110 c e siden oe fo inklen, fälge af Konklsion fsanden mellem og e 97 mee. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

20 10: Nogle begebe 10.1 HÄjde En häjde i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il e nk Ç den modsçende side og e inkele Ç denne side. I enhe ekan e de e häjde. PÇ figen e is häjden ha fa fa. h a 10. Median En median i en ekan e e linjesykke de gç fa en inkelsids il midnke af den modsçende side. I enhe ekan e de e mediane. m b PÇ figen e is medianen mb fa Ç siden b 10.3 Vinkelhaleingslinje En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gç gennem en af inkelsidsene w w og halee inklen. I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÇ figen e is inkelhaleingslinjen fo inkel Nogle beegnelse e inkel i ekan. Eksemel: PÇ figen e RSQ. S R e linjesykke med endenke og. e långden af linjesykke. Eksemel: PÇ figen e PQ og PS ikke samme linjesykke, men PQ PS. I en ekan beegne, og bçde nke og inkle. Eksemel: Man kan skie P 90 elle P 90. P Q Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

21 10. Eksemel HÄjde. I en ekan e 3 Vi il degne inkel. og häjden hb fa e. HÄjdens fodnk Ç siden b kalde i D. Vinkel D i ekan D e e da häjden D e inkele Ç. Vi egne en skise. f den einklede ekan D fç i 3sin( ) Nsie läse denne ligning mh. fo 0 90 og fç 41, Ds. 41, Eksemel Median. Vi il degne långden af medianen Da mb m b. e median, e D midnk af, sç D 3 f den einklede ekan D fç i m b 3 ( ) Nsie läse denne ligning mh. m b,01 m fo m 0 b b og fç m b Ds., m b D Eksemel Vinkelhaleingslinje. I ekan ha i egne inkelhaleingslinjen. Vi il degne långden af. Vinkel D i ekan D e Vinkel i ekan D e Vinkel i ekan e 0 40 da halee inklen. f den einklede ekan fç i 7 an(40) Nsie degne ense side og fç,8737 Ds., 87 D Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side Kasen Jl

22 De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il häje e sidene med långde 3 og 4 kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med långde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsçende kaee. 4 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyoensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende kaee. cos(37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens hosliggende kaee. Hyoensen. cos( 37) Hyoensen og en kaee. Vinklen mellem disse. cos( ) inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen 4 Nsie läse mh. inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen 4 Nsie läse mh. fo inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Tye 4 Hyoensen og en sids inkel. Vinklens modsçende kaee. sin (37) inklens sids inkel hyoensen Nsie degne ense side modsçende kaee 37 Tye En sids inkel og dens modsçende kaee. Hyoensen. sin ( 37) 3 inklens sids inkel hyoensen Nsie läse mh. modsçende kaee 37 3 Tye 6 Hyoensen og en kaee. Kaeens modsçende inkel. sin ( ) 3 Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel hyoensen Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 0 01 Kasen Jl

23 Tye 7 Tye 8 En sids inkel og dens hosliggende kaee. Vinklens modsçende kaee. 4 an(37) Nsie degne ense side En sids inkel og dens modsçende kaee. Vinklens hosliggende kaee. an( 37) inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee 3 Nsie läse mh. inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 9 De o kaee. En sids inkel. 4 an( ) 3 Nsie läse mh. fo inklens modsçende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Tye 10 Tye 11 De o kaee. Hyoensen. 3 4 hyoense kaee Nsie läse mh. fo Hyoensen og en kaee. Den anden kaee. 4 Nsie läse mh. fo hyoense kaee De 4 fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af fälgende fie fomle: I en einkle ekan gålde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gålde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee (3) hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee (4) inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 1 01 Kasen Jl

24 De 4 ogaeye i läse ed hjål af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. En inkel mellem o side og disse o side. Siden oe fo inklen. 6 inklensben siden oe fo inklen alid 6 cos(41,4) Nsie läse ligningen mh. fo ,4 Tye 13: 4 Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. De e side. Vinklen. 6 inklensben siden oe fo inklen Nsie läse ligningen mh. fo alid 6 cos( ) Tye 14: siden de e Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. En side og o inkle. En af de ande side. sin( 41.4) sin( ) siden de e 6 enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 enhede, ligge oe fo inklen de e 41,4 Nsie läse ligningen mh. fo 0 41,4 His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sç mçe i fäs degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e ,8 6 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. To side og inklen oe fo en af dem. Vinklen oe fo den anden af de o side. 4 8,8 sin( 4 ) sin( 8,8 6 ) siden de e 6 enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e 4 enhede, ligge oe fo inklen af säelse 6 Nsie läse ligningen mh. fo Nsie gie bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. Hsk a begnde hilken af läsningene de skal bges. I dee ilfålde kan begndelsen Åe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den säse i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 01 Kasen Jl

25 De 3 ogaeye med sinsfomlen fo ekans aeal Tye 16 eale e alid 1 To side og inklen mellem dem. eale. T 1 6sin(41,4 ) inklen skal Åe mellem disse side T 6 41,4 Nsie degne ligningens häje side. Tye 17 alid 9,9 1 eale, inklen mellem o side og en af de o side. Den anden af de o side. 1 sin(41,4 ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie läse ligningen mh.. 9,9 41,4 Tye 18 alid 9,9 1 eale og o side. Vinklen mellem de o side. 1 6 sin( ) inklen skal Åe mellem disse side Nsie läse ligningen mh. fo Ligningen ha bçde en läsning nde 90 og en läsning oe 90. His ogaen e i en Äe, sç il de Åe flee olysninge sç de femgç hilken af de o ekane ogaen deje sig om. 9,9 6 De 3 fomle fo ilkçlig ekan He af meodene 1-18 bge en af fälgende e fomle: I alle ekane gålde 1 () T sin( ) nç T e ekanens aeal og e inklen mellem sidene og. (6) sin( ) nç e siden oe fo inklen og e siden oe fo inklen. sin( ) (7) cos( ) nç, og e sidene og e inklen mellem og. Tekansbeegning fo - og -niea i sx og hf Side 3 01 Kasen Jl

26

27

28 Sikodsegise aeal...1,, 1, 3 cosins...7, 8, 11 cosins i einkle ekan...9, 0, 1 cosinselaionen...1, 16, ensinklede ekane...4,, 6 hosliggende kaee...7, 0, 1 hyoense..., 0, 1 häjde...1, 18, 19 kaee..., 0, 1 median...18, 19 modsçende kaee...7, 0, 1 modsçende inkel...4 Pyhagoas' såning..., 3, 1 einkle ekan...0, 1 sins...7, 8, 11, 1 sins i einkle ekan...9, 0, 1 sinselaionen...13, 14, skalafako...4, angens...10 angens i einkle ekan...10, 1 ilkçlig ekan...3 inkel...11, 18 inkelhaleingslinje...18, 19

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave 2. 2014 Karsten Juul Tekansbeegning fo - og - niea i sx og hf dgae l 34 8 014 Kasen Jl Indhold 1. Vinkle... 1. Tekans häjde og aeal... 1.1 HÄjde.... 1. HÄjde-gndlinje-fomel fo ekans aeal... 1.3 Eksemel ho aeal e kend... 1

Læs mere

for C-niveau i stx udgave 2

for C-niveau i stx udgave 2 fo C-niea i sx dgae B D h a A C 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning... 5. Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee

Læs mere

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul fo C-niea i sx 01 Kasen Jl 1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning.... Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee

Læs mere

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D

Trekantsberegning. for C-niveau i hf Karsten Juul A D Tekansbeegning fo -niea i hf 0 01 Kasen Jl aeal...1, 7, 1 aeal og sins...7 beis fo sinsfomlen fo aeal af ekan...7 beis fo sinselaionen...8 cosins... cosins og Nsie... cosins i einkle ekan..., 11, 1 cosinselaionen...9,

Læs mere

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Kotfattet fo gymnasiet og hf 5 00 Kasten Jl Indhold. HÄjde og aeal.... Pythagoas' såtning... 3. Ensinklede tekante...4 4. Cosins og sins i etinklet tekant...6 5. Tangens i etinklet tekant...9 6. Vinkle...

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14.

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Det skrå kast. Teori: Erik Øhlenschlæger, Fysik for Diplomingeniører, Gyldendal 1996, side 13-14. Det skå kast o ballistiske kue side 1 Institut fo Matematik, DTU: Gymnasieopae Det skå kast Teoi: Eik Øhlenschlæe, Fysik fo Diplomineniøe, Gyldendal 1996, side 13-14 Fa kastemaskine til pojektile Fiu 1

Læs mere

til häftet Kortfattet Trekantsberegning for gymnasiet og hf

til häftet Kortfattet Trekantsberegning for gymnasiet og hf til häftet Kortfattet Treatsberegig for gyasiet og hf c 00 04 44 00 Karste Jl ette häfte ideholder bla age sädalige ogaer so låses hrtigt og fçr eleere til efterhçde at Äe sig til at behadle stoffet Ç

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.

Fysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3. Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1 De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller Tik køe. Nogle memiske modelle Memiske eme Tik køe Nogle memiske modelle Ole Wi-Hse Køge gymsium 008 Tik køe. Nogle memiske modelle Idhold Idhold.... Geeelle deiiioe og begige oe bil ik....3. Aiklig ik-køe

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Elementær Matematik. Parameterkurver

Elementær Matematik. Parameterkurver Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Lorentz kraften og dens betydning

Lorentz kraften og dens betydning Lorentz kraften og dens betydning I dette tillæg skal i se, at der irker en kraft på en ladning, der beæger sig i et agnetfelt, og i skal se på betydninger heraf. Før i gør det, skal i dog kigge på begrebet

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt.

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt. SANDARDBEINGELSER 1 GENERELLE BESEMMELSER 11 Disse beingelse nendes i lle fohold imellem Kunden og X, mminde nde e skiflig fl 12 Fo indgå fle m X skl undeskieen/ undeskiene fo Kunden æe egningsbeeige De

Læs mere

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70

K o. Belgien 120 Frankrig 9 000 Østrig 350. Danmark 120 Irland 5 000 Portugal 3 600. Tyskland 2 000 Italien 11 000 Finland 70 61 Få Anal få (udyk i usind) Belgien 120 Fankig 9 000 Øsig 350 Danmak 120 Iland 5 000 Pougal 3 600 Tyskland 2 000 Ialien 11 000 Finland 70 Gækenland 9 000 Luxemboug 7 Sveige 440 Spanien 24 000 Nedelandene

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE

CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE CITTASLOW CITTASLOW SVENDBORG UDVIKLING OG OMTANKE As fas as necessay as slow as possible KONTAKT TEKST: PR konoe SVENDBORG KOMMUNE RAMSHERRED 5 5700 SVENDBORG FOTO: Gei Haukusson WWW.SVENDBORG.DK WWW.CITTASLOW-SVENDBORG.DK

Læs mere

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens

MSLT: Undersøgelse af søvnlatens MSLT: Udesøgelse af laes Du skal have foeage e Mulipel Søv Laes Tes - MSLT. Søvlaes e de id, de gå, fa du ha lag hovede på pude fo a, il du. SÅDAN FOREGÅR UNDERSØGELSEN Udesøgelse age e hel dag. Med 2

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014 Roskilde Kommune Teknik og Milø Rådhusbuen 000 Roskilde Jyllinge, den. uli 0 Kommenteing fa de 0 gundefoeninge nod fo v i Jyllinge Nodmak til Gontmiappoten Skitsepoekt fo lokale løsninge til siking af

Læs mere

Ö ØÒ ÅÓÒÖÙÔ Ò ØÐ ÓÐÚÖÚ ÓÖ ÓÖ ÓÐ ØÖ Ó ÐÚÖ ¼¼¼ Ö ØÒ ÅÓÒÖÙÔ ÒÑÓ ºµ Å ÖØ ÓÔÖ ØÐ ÓÑÑÖÐÐ ÓÖÑÐ ÀÇÄ Ö ÄÖ Ò ÂÙÐ Ò ÇÐ ÖÚ ÖØ ÖÒ ÂÖ ÚÒØ ÂÙÐÒØ ½¼ ÓÖ ÅÓÒÖÙÔ ÅÖÐØ ½ ÓÖ ÅÓÒÖÙÔ ÄÙØÐ ½ Ä ÖÒ Ò ÎÒØÖÒ ØÙÒÒÐ ½ ÓÔÖÒ ÐØ ÒÓÖ

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Mdt. lse ved renoveri altanudvidelse

Mdt. lse ved renoveri altanudvidelse Ejefeningen Slettehageej 23, 25, ZT Ekstadinæ genealfsamling d. 26111 200S BLAG A2 Side 1 af 3 'e Mdt. lse ed enei altanudidelse Fælleslån (Banktån) ndiiduel Realkediilån Entepisesum Ansl. Stiftelsesmk.

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Geografi 8. klasse 2011/2012

Geografi 8. klasse 2011/2012 Geogafi 8. klasse 2011/2012 Ca. 75 lektione Åsplanen tage udgangspunkt i fælles mål fo faget geogafi. Det femgå af afkydsningslisten på de følgende side, hilke tinmål de il blie behandlet i de enkelte

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

t2c,l2d,l2m, 12n,t2p ogl2q Til orientering vedr. ejendommen, Åboulevarden 51-53 Bilag: Skr. mrkt. t2 a + tegn. mrkt. 8000 Aarhus C 20LL Den 25.

t2c,l2d,l2m, 12n,t2p ogl2q Til orientering vedr. ejendommen, Åboulevarden 51-53 Bilag: Skr. mrkt. t2 a + tegn. mrkt. 8000 Aarhus C 20LL Den 25. 8000 Aarhus C De 25. maj 20LL Plalægig og Byggeri Tekik og Miljø Aarhus Kommue Til orieerig vedr. ejedomme, Åboulevarde 51-53 Ejere af Åboulevarde 51-53 har søg om illadelse il idreig af bolig i ageage

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 1

Matematik F2 Opgavesæt 1 Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5.

Oure Friskole. Utrygheder ved skolen. Utrygge punkter Antal udpegninger. Utrygge strækninger Antal udpegninger 5 til til til 5. Oue ikole Uyghede ved kolen Piv-/ikole, Oue ikole Uygge punke Anl udpegninge 5 il 5 il 5 3 il il 3 il Uygge ækninge Anl udpegninge 5 il il 5 3 il il 3 il Svfodeling Skolefikken fodeling Svpocen f kolevejlyen

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

ÅTOFTENS GRUNDEJERFORENING 20. se p t e mb e r 2006 I h e n h o l d t i l v e d t æ g t e rn e s 4 i n d k al d e s h e rme d t i l ORDINÆ R GENERA L FORSA M L ING t o rsd ag d e n 5. o k t o b e r 2006

Læs mere

musik Phillip Faber tekst H.C. Andersen Konen med Æggene En gammel Historie sat i Riim for blandet kor a cappella

musik Phillip Faber tekst H.C. Andersen Konen med Æggene En gammel Historie sat i Riim for blandet kor a cappella musik Philli Faber tekst H.C. Andersen Konen med Æggene En gammel Historie sat i Riim for blan kor a caella 2 Konen med Æggene SOPRAN Stolt vandrende (q. = 116) Philli Faber H. C. Andersen ALT TENOR Node

Læs mere

CENTER FOR KLINISKE RETNINGSLINJER

CENTER FOR KLINISKE RETNINGSLINJER BILAG 2 Bilag 2 Evidenstabel Fofatte Å Studietype Studiets Aevalo, J.J. 2012 Valideingsstudie Palliative patiente Sammenligning af fie skalae til vudeing af sedationsniveau. Vancouve Inteaction Calmness

Læs mere

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47

Afdeling for Virksomhedsledelse. Uge 47 B4 - egnsab og Fnanseng -. del Efteå 005 Esben Kolnd Laustu (mal@ezben.d Afdelng fo Vsomhedsledelse Uge 47 Fnancal Maets and Cooate Stategy af Ma Gnblatt og Shedan Ttman (G&T e en sædeles god læebog, som

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet

WWW g SOCIALE MEDIER. IQg NQ. I Ng takt med at vi bruger mere og mere tid på nettet VIRKELIG g VIRTUEL WWW g SOCIALE MEDIER I takt med at vi bge mee og mee tid på nettet smelte det sammen med nævæ og fysisk kontakt. Vi få hologamme d kan øe. De sociale medie blive alt afgøende fo fastholde

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Maksimal strømning 1

Maksimal strømning 1 Makimal rømning 1 Srømningneærk E rømningneærk (eller blo e neærk) N beår af En æge, orienere graf G med ikke-negaie helallige kanæge, hor ægen af en kan e kalde kapacieen c(e) af e To ærlige knder, og

Læs mere

Statistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas

Statistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Tol dbodgade 6520 Tof und www. kke und. kke n@mi kke und. Sal gsopsti Med dej bel ggenhed ukket vel anl agt undst ykke sæl ges meget vel hol

Tol dbodgade 6520 Tof und www. kke und. kke n@mi kke und. Sal gsopsti Med dej bel ggenhed ukket vel anl agt undst ykke sæl ges meget vel hol To ad13 65 20To T 74831280 www m n o d m n@m n o d Sa gop Ad K up j 78,K up,6100had Kon an p 1 170 Sagn O16033 udg md 1 Da o08 04 B Mddj gb ggnhdpå uog an agg yæ gmg ho d ogcha m ndomm hub ggndmdo a and

Læs mere

Statistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas

Statistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas Statistisk ekanik 6 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere