At den magnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt sammen ses af flg. omskrivning af udtryk (8.2):

Transkript

1 Elektroagnetise 8 Side 1 af 8 Magnetisk induktion To punktladninger og q påvirker (i vakuu) so bekendt hinanden ed en q1 elektrisk kraft (oulobkraft) F 1 qq 1 1 = 4πε 1 0 r1 r ˆ. (8.1) Hvis de to ladninger bevæger sig, er der tillige en agnetisk kraft 1 0 qq 1 F μ = v ( v1 rˆ 1), (8.) 4π r 1 hvor 7 μ0 4π 10 Ns er vakuupereabiliteten. Ifølge udtryk (1.9) kan den elektriske kraft i udtryk (8.1) skrives so produktet af ladningen og det elektriske felt skabt af i det punkt r, hvor q befinder sig: q q1 1 q F = q E r E r = rˆ ( ), ( ) πε0 r1, (8.3) og bidragene fra de to punktladninger kan på sae åde faktoriseres for den agnetiske kraft: 1 0 q1 F μ = qv B1( r ), B1( r) = ( v1 rˆ 1), (8.4) 4π r Ns hvor B, B = T er den agnetiske induktion. 1 Den salede elektriske og agnetiske kraft på en punktladning q kaldes Lorentzkraften : F = q E+ v B q ( ). (8.5) Hvoriod den elektriske kraft på en punktladning er enten parallel eller antiparallel ed E-feltet, er den agnetiske kraft vinkelret på B-feltet. Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

2 Elektroagnetise 8 Side af 8 B-feltet er desuden vinkelret på punktladningens bevægelse givet ved dens hastighed v, sådan at B-feltets effekt ifølge udtryk (7.1) er nul, svarende til at den agnetiske kraft ikke udfører noget arbejde. At den agnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt saen ses af flg. oskrivning af udtryk (8.): 1 qq F = μεv v rˆ = μεv v F ( ) πε0 r 1 Heraf ses endvidere, at ( ) skrive με 0 0 s. (8.6) =, sådan at an for en eller anden fart c kan 1 με 0 0=. (8.7) c Ved indsættelse af de to naturkonstanter, vakuupereabiliteten μ 0 og vakuuperittiviteten ε 0, fås en ny naturkonstant: nelig lysets fart i vakuu. 1 8 c =, με s, (8.8) 0 0 Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

3 Elektroagnetise 8 Side 3 af 8 Ved at kobinere udtryk (8.6) og (8.7) fås 1 v v 1 1 F = F : c c v v, 1 (8.9) c c F 1 F F hvorfor an i ange saenhænge ed god tilnærelse kan se bort fra den agnetiske kraft. 1 Det begrebsapparat, so præsenteres i dette kursus, er ikke-relativistisk og gælder derfor ikke for saenlignelige ed c. v, v 1 Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

4 Elektroagnetise 8 Side 4 af 8 Kræfter på strøførende ledere Den agnetiske kraft på et infinitesialt udsnit dl, der peger i strøens retning i en strøførende ledning anbragt i et B-felt, er ifølge udtryk (8.5) givet ved df = dq v B = ρadl v B = ρ Av dl B : df = I dl B, (8.10) idet Av er det rufang, der hver sekund sender sine ladningsbærere genne et tværsnit A, og ρ er tætheden af disse ladningsbærere, sådan at ρ Av= I er den ængde ladning, der hvert sekund passerer et sådant tværsnit. dl B Den salede kraft er således F = I dl B = I B l ( ) dl l. (8.11) Den agnetiske kraft på et lukket jævnstrøskredsløb, der befinder sig i et hoogent B-felt er = 0. ( ) ( ) ( ) F = I dl B = Idl B = I dl B (8.1) Beærk overenssteelsen ed den velkendte højrehåndsregel. Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

5 Elektroagnetise 8 Side 5 af 8 Kraftoentet på udsnittet dl er dτ = r df = I r dl B ( ), (8.13) sådan at kraftoentet på en lukket jævnstrøskreds i et hoogent B-felt er τ = I r ( dl B), (8.14) hvor xˆ yˆ zˆ dl B = dx dy dz = ( Bzdy Bydz) xˆ+ ( Bxdz Bzdx) yˆ+ ( Bydx Bxdy) zˆ B B B x y z xˆ yˆ zˆ r ( dl B) = x y z B dy B dz B dz B dx B dx B dy z y x z y x ( y x x z ) ( z y y x ) ( x z z + y ) = B ydx B ydy B zdz + B zdx xˆ + B zdy B zdz B xdx + B xdy yˆ + B xdz B xdx B ydy B ydz zˆ. For indeholdt i kassen givet ved x x ; xax, y y ; yax, z z ; zax er in in in og tilsvarende for x og z. yax yin yin ydy = ydy + ydy = 0, yax Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

6 Elektroagnetise 8 Side 6 af 8 xax xin ø xin xax ydx= y ( x) dx+ y ( x) dx =± A xy, n y ax y yø( x) hvor A xy > 0 er det osluttede areal, sådan at fortegnet afhænger af strøens oløbsretning ( + Axy på figuren). Nu indføres y in xin yn( x) xdy Az, ydz Ax, zdx A y. A xy xax x Jf. figuren er 3 ydx = A, zdy = A, xdz = A y. z x Ved indsættelse af ovenstående i udtryk (8.14) fås ( ), ( ) τ = IB ydx+ IB zdx= IBA+ IBA= I AB BA = I A B x y z y z z y y z y z x sådan at 4 τ = I A B. (8.15) A er således en vektor, hvis z-koordinat er lig arealet af s projektion i xy-planen ganget ed strøretningens fortegn jf. højrehåndsreglen ( A = A < 0 på figuren) 5. z xy 3 Ovenstående er positive cykliske perutationer xyz, yzx, zxy, hvoriod nedenstående er negative cykliske perutationer yxz, zyx, xzy af koordinaterne i et højreorienteret koordinatsyste. 4 Vha. et B-felt er det således uligt at få en spole til at rotere, hvilket f.eks. kunne finde anvendelse i en elektrootor ( τ = I α, hvor I er inertioentet, og α er vinkelaccelerationen). 5 Så hvis strøen skifter retning, gør A og dered τ det også. Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

7 Elektroagnetise 8 Side 7 af 8 Magnetisk dipoloent Det agnetiske dipoloent er defineret IA, = A sådan at udtryk (8.15) kan skrives, (8.16) τ = B. (8.17) For plane kredsløb er A og dered vinkelret på kredsløbet pegende i retningen givet ved højrehåndsreglen. Et sådant kredsløb kunne være en elektron, der kredser o en atokerne 6. e Ifølge opg. G er 1 I r dl. (8.18) Udtryk (8.18) gælder i et lukket jævnstrøskredsløb (en ledning). Generaliseringen til et generelt jævnstrøsførende ediu kan opnås ved at foretage flg. oskrivning, hvor A er ledningens tværsnitsareal: Idl Idl = ( Adl) = JdV, (8.19) Adl sådan at det agnetiske dipoloent af et rufang V er givet ved 1 r J dv. (8.0) V 6 Dette billede er rent klassisk. Ifølge kvanteekanikken er elektroner ikke kendetegnet ved sådanne deterinistiske baner, en de er stadig kendetegnet ved et agnetisk dipoloent. Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007

8 Elektroagnetise 8 Side 8 af 8 Den potentielle energi af en agnetisk dipol i et eksternt B-felt Ifølge den klassiske ekanik er F dw = F ds = Fdscosv = Frd cosv = Frsinφd (8.1) v = r F d = τd. ds φ Ifølge udtryk (8.17) er det arbejde, so r den agnetiske kraft udfører på en agnetisk dipol, dered givet ved dw = Bsin d, (8.) d hvor inustegnet skyldes, at den agnetiske kraft ifølge figuren udfører et positivt arbejde for d < 0 7. τ B Dipolens potentielle energi er dered ref π [ ] E = dw = Bsin d = B sin d = B cos = Bcos : E π = B. (8.3) So tilfældet var for elektriske dipoler, vil agnetiske dipoler således søge at indstille sig parallelt ed et eksternt B-felt. 7 En ere stringent forulering af udtryk (8.1) er således dw = τ d, hvor d er orienteret vinkelret på odrejningsplanen i en retning givet ved højrehåndsreglen. Da d og τ således er odsatrettede, fås dw = τ d. Thoas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 01/11/007