University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April Algebra 3

Transkript

1 University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version. The students may choose freely among the versions. Solutions may be written in English or in Danish. The students are allowed to use their lecture notes and books and personal notes, eg. solutions to the exercises from the exercise classes. Computers and calculators of any kind are not allowed. Solutions may also be written using a pencil and an eraser (blyant og viskelæder), provided that corrections are clearly made. It is recommended that in case of major changes the old version is crossed out. Eksamenssættet indeholder 5 opgaver som bør regnes på 3 timer. Opgaverne er formulerede i en engelsk og i en dansk version. Deltagerne kan frit vælge mellem versionerne. Besvarelserne kan afleveres på engelsk eller på dansk. Deltagerne må benytte deres noter, bøger and personlige notater, for eksempel løsningerne til opgaverne fra øvelsestimerne. Computere og lommeregnere af enhver slags er ikke tilladte. Besvarelserne kan skrives med blyant og viskelæder, under forudsætning af, at eventuelle rettelser er klare og entydige. Det anbefales i tilfælde af væsentlige ændringer at overstrege de gamle versioner. 1

2 English version Exercise 1: (25 p) Let G be a finite group of order 693 = Let P Syl 11 (G), Q Syl 7 (G), R Syl 3 (G) (1) Use Sylow s theorems to show that P G. (2) Show that H = P Q and K = P R are subgroups of G of order 77 and 99, respectively. (3) Show, eg. using a theorem from the notes, that H is cyclic. (4) Show that R K. Show then that K P R, so that K is abelian. (Hint: A theorem in Chapter 1.15 may be relevant. Is R abelian?) (5) Explain how the facts that H and K are abelian subgroups of G imply that P Z(G). Exercise 2: (15 p) Let G be a finite group. (1) If g, h G satisfies aga 1 = h for some a G, ie. g and h are conjugate elements in G, show that ac G (g)a 1 = C G (h) and conclude that C G (g) = C G (h). Consider now the following subset of G G P(G) = {(g, h) G G gh = hg} (2) Is P(G) in general a subgroup of G G? (3) Show that P(G) = k(g) G where k(g) is the number of conjugacy classes in G. (Hint: Show first that P(G) = g G C G(g) and then apply part (1).) 2

3 Exercise 3: (15 p) (1) Let F 2 be the finite field with 2 elements. Decide if the polynomial x 4 + x + 1 is irreducible in F 2 [x]. (2) Find the smallest positive integer n such that x 4 + x + 1 divides x 2n x inside the polynomial ring F 2 [x]. (Hint: It may be useful to look at the proof of Theorem 2.79 in the notes of Alg3.) Exercise 4 (25 p) Let M 1 be the splitting field over Q for x 3 3. Let M 2 be the splitting field over Q for x (1) Show that each of the fields M 1 and M 2 is a normal extension of Q. (2) Determine the Galois group of M 1 /Q. (3) Decide whether M 1 is a subfield of M 2 or not. (4) Prove that M 1 contains a root of the polynomial x (5) Use (4) to decide whether or not M 1 = M 2. Exercise 5: (20 p) (1) Show that the polynomial g(x) = x 4 10x is irreducible in Q[x] and find the roots of g(x). (2) Let L be the splitting field of g(x) over Q. Find the Galois group of L/Q. (3) Find all subfields of L. 3

4 Dansk version Opgave 1: (25 p) Lad G være en endelig gruppe af orden 693 = Lad P Syl 11 (G), Q Syl 7 (G), R Syl 3 (G) (1) Benyt Sylow s sætninger til at vise at P G. (2) Vis at H = P Q og K = P R er undergrupper i G af orden 77 og 99, henholdsvis. (3) Vis, for eksempel ved at benytte en sætning fra noterne, at H er cyklisk. (4) Vis at R K. Vis dernæst at K P R, således at K er abelsk. (Hint: En sætning i Kapitel 1.15 kan være relevant. Er R abelsk?) (5) Forklar hvordan den kendsgerning, at H og K er abelske undergrupper i G, medfører, at P Z(G). Opgave 2: (15 p) Lad G være en endelig gruppe. (1) Hvis g, h G opfylder, at aga 1 = h for et a G, dvs. at g og h er konjugerede elementer i G, vis at ac G (g)a 1 = C G (h) og slut heraf, at C G (g) = C G (h). Betragt nu den følgende delmængde af G G : P(G) = {(g, h) G G gh = hg} (2) Er P(G) i almindelighed en undergruppe af G G? (3) Vis at P(G) = k(g) G hvor k(g) betegner antallet af konjugationsklasser i G. (Hint: Vis først at P(G) = g G C G(g) og anvend dernæst (1).) 4

5 Opgave 3: (15 p) (1) Lad F 2 være det endelige legeme med 2 elementer. Afgør om polynomiet x 4 + x + 1 er irreducibelt i F 2 [x]. (2) Find det mindste naturlige tal n således at x 4 + x + 1 er en divisor af x 2n x i polynomringen F 2 [x]. (Hint: Det kan være nyttigt at se på beviset for Theorem 2.79 i noterne.) Opgave 4 (25 p) Lad M 1 være spaltningslegemet over Q for x 3 3. Lad M 2 være spaltningslegemet over Q for x (1) Vis at begge legemer M 1 og M 2 er normale udvidelser af Q. (2) Bestem Galoisgruppen for M 1 /Q. (3) Afgør om M 1 er et dellegeme af M 2 eller ej. (4) Vis at M 1 indeholder en rod for polynomiet x (5) Benyt (4) til at afgøre om M 1 = M 2 eller ej. Opgave 5: (20 p) (1) Vis at polynomiet g(x) = x 4 10x er irreducibelt i Q[x] og bestem rødderne for g(x). (2) Lad L være spaltningslegemet for g(x) over Q. Find Galoisgruppen for L/Q. (3) Find alle dellegemer af L. 5