Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736"

Transkript

1 Den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele Storgruppe 9736 Titel: Digital ignalbehandling Synopi: Projektperiode: P //98-9/5/98 Projektgruppe: 347 Deltagere: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien Vejledere: ørge Lindberg Suanne Flydtkjær Oplagtal: Sideantal: 8 ilag: Dikette Dette projekt omhandler digital ignalbehandling (DSP). Den generelle udvikling i elektronikindutrien, der betår i en overgang fra fremtilling af dedikeret hardware til anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, behandle. En række konekvener af denne udvikling underøge. Med udgangpunkt i kontruktionen af en digital mixer med en 3-bånd equalizer til PC øge det demontreret, at udviklingen medfører en række teknike fordele. På baggrund af erfaringerne med denne kontruktion overveje det, hvilke krav udviklingen tiller til metoder til udvikling af oftware. Det konkludere, at der er behov for at fokuere på udviklingen af nye metoder til oftwareudvikling.

2 Forord Nærværende krivele er en rapport udarbejdet af projektgruppe 347 om dokumentation for denne arbejde i p-projektperioden 998 på den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele. Vi takker Morten Lydorf og ørge Lindberg for det udmærkede projektenhed-kuru om Digital Signalbehandling. Læevejledning I rapporten vil henvininger til litteratur ke på følgende måde: [<forkortele>,. <ide>]. Værket, om forkortelen henvier til, kan finde i litteraturhenviningen. Hvi kilderne er internetider bliver de i rapporten refereret til på følgende måde: [<forkortele>]. Forkortelen henvier til en URL, om kan finde i kildehenviningen. Engelke fagudtryk og danke overætteler anvende, hvor det finde paende. Figurer, tabeller og ligninger er nummereret endimenionalt fortløbende hver for ig. Der er anvendt amerikank decimaltalangivele i grafer og tal fra MATLA. Peudokode angive på grå baggrund. Specielt teorikapitlerne om digital ignalbehandling anbefale læt i kronologik rækkefølge, da teorien i de tidligere kaptiler forudætte i de enere. Rapporten er udarbejdet af: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien

3 Indholdfortegnele. INDLEDNING...6. PROLEMANALYSE...7. UDVIKLINGEN I ELEKTRONIKINDUSTRIEN Fra hardware til oftware Digital ignalbehandling Signalproceorer Teknike fordele og ulemper PC en Softwareudvikling AFGRÆNSNING OG PROLEMFORMULERING DIGITAL SIGNALEHANDLING TIDSKONTINUERT SYSTEMTEORI Sytem Fourierrækker Ekponentiel Fourierrække Fouriertranformation Fouriertranformationregler Komplekt frekvenpektrum LAPLACETRANSFORMATION S-planen Tranformationen Regler for Laplacetranformationer Overføringfunktioner i -domænet Poler og nulpunkter Impulrepon Foldning SAMPLINGSTEORI Sampling Nyquit-frekvenen TIDSDISKRETE SYSTEMER FIR-ytemer Enhedimpul Impul repon

4 4.4.4 Foldning Z-TRANSFORMATIONER Definition af z-tranformationen Overføringfunktionen Superpoition Inver z-tranformation Z-tranformation for ytemer med uendelig impulrepon Foldning og z-tranformationen Overføringfunktionen for ytemer med uendelig impulrepon FREKVENSRESPONSANASLYSE Introduktion Frekvenreponfunktionen Faefunktionen Grafik frekvenreponanalye Fortolkning af pol-nulpunktdiagrammet FIR-FILTRE Fordele Ulemper Differenligning Frekvenreponanalye Kontruktion af et FIR-filter eregning af koefficenter Vinduefunktioner MATLA DIGITAL MIXER SPECIFIKATIONER KONSTRUKTION AF FILTRENE Filterteknik Orden Inddeling af båndene Vinduefunktion De tre bånd PROGRAMDOKUMENTATION Analye Deign og implementering Tet rugervejledning

5 5.4 FORDELE VED DIGITAL SIGNALEHANDLING I PROGRAMMET Ændring af filterpecifikationer Ændring af kanalantal Tilføjning af nye effekter Ændring af brugerflade PERSPEKTIVERING KONKLUSION APPENDIKS A) DEN EKSPONENTIELLE NOTATIONSFORM FOR KOMPLEKSE TAL ) INVERS LAPLACE TRANSFORMATION VED PARTIELRØKSOPLØSNING C) FILTERKONSTRUKTION - IIR-FILTRE D) ILINEÆR Z-TRANSFORMATION Metoder til z-tranformation ilineær z-tranformation generelt Prewarping ordenkoefficienter ordenkoefficienter E) INVERS Z-TRANSFORMATION LITTERATUR- OG KILDELISTE...7 5

6 . Indledning DSP er en forkortele for det engelke Digital Signal Proceing, der på dank kalde digital ignalbehandling. DSP anvende i forbindele med redigering, detektering og generering af analoge ignaler, ved hjælp at digitale metoder. En af DSP en forcer er, at det benytter ig af generel hardware med pecifik oftware, hvor man eller er vant til dedikeret hardware. Derfor er man ogå inden for den enete årrække begyndt at anvende DSP på flere og flere områder; bl.a. inden for audio- og videobehandling. Det betyder, at man gradvit er begyndt at udvikle generel hardware med pecifik oftware, frem for pecifik hardware. Det er netop i denne udvikling nærværende projekt tager it udgangpunkt. Hidtil er al ignalbehandling foregået analogt og har delvit kabt et amfund, der var indrettet efter den analoge verden normer. Og det giver elvagt en række problemer, at kulle overgå til en verden, hvor der gøre brug af digitale ytemer. Udover die amfundmæige apekter, har der fra projektgruppen amtidigt lydt et ønke om at lave digital lydbehandling, del for at opnå kendkab til den teknike del af DSP, men ogå for at vie, hvorlede mulighederne er for at implementere forkellige dele af et DSP baeret ytem. 6

7 . Problemanalye. Udviklingen i elektronikindutrien.. Fra hardware til oftware Traditionelt blev analoge elektrike kredløb pecialfremtillet til at opfylde pecifikke mål. Skulle de anvende til andre formål eller blev pecifikationerne ændret bare en lille mule, måtte de tilpae ved rekontruktion af måke hele eller tore dele af kredløbene. Hardware fremtillet med et betemt mål for øje, kalde dedikeret hardware. De enere år er udviklingen i elektronikindutrien gået mod anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, altå ved programmering. Eller om Otto Vinter, leder af oftwareproceforbedringer ho rüel & Kjær Sound & Vibration Meaurement A/S, formulerer det: Det er nart kun elve tranduceren, om opfanger lyden eller vibrationerne og omætter dem til elektrike impuler, der er rigtig elektronik. Reten er PC, Window og C programmering [Hanon]. Han anlår, at 8 pct. af udviklingtiden går på programmering. [Hanon]. Udviklingen kylde i høj grad, at mikroelektronike komponenter ydeevne i forhold til prien har været kontant tigende de enete årtier. [ITcenter] Denne udvikling medfører ændringer for producenterne på følgende områder : Produktion At oftwaren integrere i elektronike løninger medfører, at programudviklere i tigende grad bliver en del af det nye produktionapperat. Komplekiteten og flekibiliteteten af udtyret til produktion af elektrike kredløb falder dratigt, da al tilpaning foretage ved programmering. Hardwareløningerne kan maeproducere om enkelte generelle modulopbyggede løninger, i tedet for flere forkellige dedikerede løninger. 7

8 Arbejdmiljø Det fyike arbejdmiljø ændrer ig ikke. Udviklingen af elektrike kredløb er gennem en del år foregået ved hjælp af computere. Peronale/uddannele Udviklerne kal ikke længere tegne diagrammer og vælge komponenter, men programmere. [Hanon]. Dette vil enten kræve anættele af nyuddannede dataingeniører, dataloger, eleltronikingerniører ov., eller efteruddannele af gammelt peronale. Udviklingmetoder Der anvende andre udviklingmetoder til fremtilling af oftware end til fremtilling af hardware. Udviklingen af programmer er ikke å moden en diciplin om elektronik. Deuden er metoderne under forandring. Gennem de idte ti år er analye og deign gået fra at være truktureret til at være objektorienteret. Deuden påpeger Otto Vinter, at udviklingen ikke bør kille i en hardware-del og en oftware-del men amle - metoderne til en ådan udvikling ekiterer endnu ikke. [Hanon] Økonomi Økonomik er der flere apekter. Et af de vigtigte er den amlede fortjenete, der i dag er ved produktion af DSP ytemer. Problemet er for lav profit! [Sound Pro] På trod af lave materiale-omkotninger, er der tenden til at nettofortjeneten bliver lav, idet der påføre nye udgiftpoter, åom online-brugerhjælp, opdatering af oftware o.lign... Digital ignalbehandling Digital ignalbehandling har parallelt med den generelle udvikling i elektronikindutrien overtaget en tadig tørre dele af den analoge ignalbehandling. Digital ignalbehandling kan impelt bekrive om: - digitalt at behandle, detektere eller generere analoge ignaler. 8

9 Signalerne kan være elektromagnetik tråling eller f.ek. mekanike bølger opfanget eller udendt til omverdenen. Selve den digitale behandling foregår i ignalproceorer. Opfange ignalerne kal de analoge, tidkontinuerte ignaler, forinden omdanne til digitale, tiddikrete, ignaler. Dette gøre ved ampling - konvertering fra antalog til digital (A/D). Af typike traditionelle anvendeleområder kan nævne: Elektronik filtrering og equalizering Spektrumanalye Datatranmiion Spredt pektrum radiokommunikation Proceregulering og -tyring Tet- og måleudtyr Lagring og behandling af HIFI- og videoignaler Talegenkendele og taleyntee [Hüche,. 5]. ranchen er i en rivende udvikling, og der bliver tadig flere anvendeleområder. De her nævnte tammer fra en DSP-bog fra og er muligvi ikke fyldetgørende...3 Signalproceorer Signalproceoren udfører elve den digitale ignalbehandling, der betår i en algoritme. Kravet til proceoren, det, der gør den velegnet om ignalproceor, er den evne til at udføre aritmike beregninger, multiplikationer og additioner, med tor hatighed og nøjagtighed. Hatigheden er pecielt en kritik faktor i ytemer, der kal fungere i realtid. De realiere typik om en integreret, eller delvit integreret, ignalproceorkred, der indeholder multiplier, adder, accumulator, program- og lagerhukommele plu input- og 9

10 outputbuffere. [Hüche,. 9]. I dag programmere ignalproceorerne i C, i modætning til tidligere, hvor de blev programeret i aembler [Hanon]...4 Teknike fordele og ulemper Overgangen, fra den dedikerede hardware til generelle hardwareløninger, tilpaet de enkelte opgaver gennem oftwaren, kan tilkrive en række uomtvitelige teknike fordele i forbindele med digitale ignalbehandlingytemer: Kontrolleret ignal-tøjforhold og dynamikområde Die kan betemme, og kontrollere, gennem digitale ytemer bitantal, hvorimod de i analoge ytemer er mere ukontrollerbare. Nemmere/billigere pecifikationændringer Hele elektrike kredløb, printplader, kal ikke omkontruere, hvilket kan være en langommelig og omkotningkrævende proce ammenlignet med ændringer i oftware. Udgifterne til lønninger og materialer bliver ålede reduceret. Nemmere/billigere fejlretning Serier af produkter kal ikke nødvendigvi kaere, men blot oftwareopgradere ved fejl. Eller gælder amme fordele om ved pecifikationændringer. Hardwaren kan elvfølgelig tadig være behæftet med fejl. Minimering af problemer i forbindele med komponentdrift og komponenttolerance Elektrike komponenter karakteritika kan være mere eller mindre temperaturafhængige og ælde. Med begrænning af hardwareomfanget, dv. komponentantal, mindke die problemer. Kraftig reduktion af hardwareomfang En tørre dele af hardwaren bliver, ved overgangen til digital ignalbehandling, mikroproceorer, og hardwareomfanget reducere ålede.

11 Ingen trimning af produktet De varierende karakteritikker for de forkellige komponenter, der måtte indgå i et analogt kredløb, kan nødvendiggøre en trimning af produktet. Alt efter produktet foretage tidkrævende trimning manuelt af peronale. Realiering af analogt ikke realierbare funktioner landt andet adaptive ytemer kan være problematike at realiere analogt. Filtre af meget høj orden vil gøre analoge ytemer ydert kompleke, eller helt umulige. I digital ignalbehandling er filterorden udelukkende et pørgmål om proceorkraft. Mere intuitive brugerflader rugerfladen kan kontruere traditionelt med fyike drejekiver og knapper, men kan ogå realiere gennem en kærmbaeret brugerflade, om f.ek. Window, med mulighed for en mere intuitiv betjening. Den kan, alt efter hardwarekonfiguration, tilpae forkellige målgrupper [Hanon]. Et par fænomener, der må betegne om ulemper ved digital ignalbehandling, er aliaering og kvantieringtøj. [Hüche,. 5]...5 PC en Pc-teknologien er et markant ekempel på vækten af generelle hardwareløninger, der tilpae pecielle formål ved hjælp af oftware, og mange virkomheder mærker konekvenerne af pc en fremmarch. Det gælder f.ek. den danke måleintrumentindutri. Hvor man i denne indutri tidligere udviklede egne apparater helt fra bunden, og derfor havde en unik kompetence, pecielt indenfor hardware-deign, om vankeligt lod ig efterligne, er det nu pc er, der udgør fundamentet i moderne måleintrumenter. Produktudvikling er derfor i høj grad blevet oftwareudvikling på pc-platforme. Det betyder, at tore dele af produkterne hardwaremæigt minder mere og mere om hinanden. Det er både en fordel, idet produkterne lettere kan udvikle på amme platform, og en ulempe, da den pecielle teknologike kompetence alene er knyttet til enorerne, der opamler måledata [Ramkov].

12 Den tigende integration af pc-teknolgien i måleintrumenter kan medføre, at kunderne venter amme tærkt faldende prier, om for andre pc-produkter. Denne forventning kan udløe et pre på de meget høje avancer på det enkelte apparat, der traditionelt er i denne indutri [Ramkov]. Ikke alle måleintrumentvirkomheder har været i tand til at omtille ig til de nye krav. Reultatet er mange teder tagnation eller fald i omætningen. Udviklingen har mange teder medført udkiftning af ledele og ejere, heraf nogle til udenlandke invetorer, inden for de idte få år.[ramkov]...6 Softwareudvikling Det ovenfor bekrevne ekempel er udtryk for nogle generelle tendener. Erhvervlivet befinder ig om følge af die tendener midt i en trukturændring, idet f.ek. elektronike apparater funktion og dermed virkomhederne konkurrenceevne, i et hidtil uet og tadig tigende omfang betemme af den oftware, apparaterne er forynet med[itcenter] Som nævnt angiver Otto Vinter, at 8 pct. af udviklingtiden går til oftware. Leif Chritianen, projektchef ho GN Nettet, Elmi diviion, anlår tallet til at være 6-7 pct. afhængigt af hvilket udtyr vi taler om [Hanon]. Dette giver anledning til vie problemer, der er forbundet med udviklingen af programmer. Chritianen iger, at det ikke er ualmindeligt med en overkridele af perontiden på op til 5 pct. [Hanon]. Ifølge en rapport fra forkningminiteriet medgår over halvdelen af udviklingomkotningerne, i mange virkomheder, til oftware [ITcenter]. Metoderne til oftwareudvikling er ikke å modne om de, der anvende til udvikling af hardware. Det e blandt andet af, at der ifølge rapporten fra forkningminiteriet er et behov for forbedret produktivitet i udviklingen [ITcenter]. Virkomhederne ledeler har heller ikke indarbejdet metoderne [Hanon]. Store oftwareprojekter kræver ærlige kompetencer, om erhvervlivet endnu ikke beidder [ITcenter].

13 Tidligere har oftwareudvikling hovedageligt betået i udvikling af adminitrative ytemer. Den tigende andel af oftwareudvikling i forbindele med elektronikytemer, f.ek. intrumenter og måleapparatur, har dog ikke medført problemer, der adkiller ig fra de allerede kendte, i forbindele med udvikling af adminitrative ytemer. Den tørte forkel betår i, at elektronikytemerne i højere grad kal afvikle i realtidammenhæng, hvorimod de adminitrative ytemer har flere databaer. [Hanon] En del af problemerne med oftwareudvikling, i forbindele med elektronikytmer, tilkriver Otto Vinter, at virkomheder forøger at dele udviklingen op i to adkilte dele. Dette, mener han, bevirker, at koordineringen mellem delene ikke bliver god nok. Der kal være et fælle anvar for, at produktet bliver færdigt til tiden. [Hanon]. Han mener endvidere, at der mangler gode oftwareudviklere. Det er pecielt igennem de indledende faer af udviklingen, dv. faen frem mod en pecifikation, at problemerne kabe, fatlår rapporten fra forkningminiteriet. Den påpeger endvidere, at Omfanget af forkningindaten på Danmark univeriteter og højere lærerantalter på oftwareområdet er langtfra øget i amme udtrækning om erhvervlivet indat på området. Samtidig har der været en tenden til, at mange af univeritetmiljøerne forkning inden for oftware ikke har været rettet mod de problemer, om erhvervlivet kæmper med. Kontakten mellem univeriteterne og de godkendte teknologike erviceintitutter [..] på oftwareområdet har ogå traditionelt været ret pinkel [ITcenter]. 3

14 3. Afgrænning og problemformulering En tadig tørre del af udviklingen i elektronikindutrien er oftwareudvikling. Denne udvikling er behæftet med både muligheder og begrænninger. Der er behov for at tyrke oftwareudviklingmetoder, pecielt hvad angår de tidlige faer af oftwareudviklingen og der er behov for bedre oftwarekvalitet, karakterieret ved overlegen ydeevne, lang levetid, udtrakt genbrug, elegant deign, brugerglæde, fejlfrie og effektive programmer amt problemfri vedligeholdele [ITcenter]. Med udgangpunkt i vore analye vil vi forøge at demontrere vie teknike fordele om overgangen fra analog til digital ignalbehandling har. Vi vil kontruere en digital lydmixer med følgende pecifikationer: indgange, udgang. Lyden fra de to indgange kal behandle i to eperate kanaler med følgende effekter: Gain 3 bånd EQ Noie Gate Volume VU-meter De to kanaler kal herefter mixe vha. en crofader. Sidt i ignalvejen kal der være en amlet volume-regulering. Mixeren kal fungere i realtid, og kal benytte lydkort af typen Sound later 6 til input/output Med baggrund i kontruktionen af mixeren vil vi forøge at vie, hvor enkelt det er at ændre pecifikationerne for denne ved hjælp af relativt imple ændringer i programmet. Som programmeringprog har vi valgt Pacal, om vi har et godt forudkendkab til. 4

15 Da der i elektronikindutrien er et behov for, at oftwareudviklingen foregår metodik, har vi tiltræbt en metodik udvikling af programmet. Som metode har vi valgt elementer fra metoden Struktureret Programudvikling (SPU). Dette valg er foretaget på baggrund af en vurdering af vore reourcer, da vi havde brug for en let tilgængelig metode. Vi er bekendt med at SPU ikke længere er tidvarende, idet man i dag fortrinvi benytter Objektorienteret Programudvikling. Problemløningfaen betår af to dele: en del omhandlende digital ignalbehandling og en omhandlende fremtillingen af mixeren. 5

16 4. Digital ignalbehandling I fremtillingen af hele kapitlet om digital ignalbehandling er Erik Hüche Digital Signalbehandling [Hüche] og Jame H. McClellan, Ronald W. Schafer og Mark A. Yoder: DSP Firt [DSP Firt] anvendt. 4. Tidkontinuert ytemteori 4.. Sytem Et ytem er et elektronik kredløb, en formel eller en funktion, der behandler ignaler. Se Figur. x(t) Sytem h(t) y(t) Figur : Sytem, med input x(t) og output y(t). Sammenhængen mellem x(t) og y(t) kalde h(t), impulreponen. Ekempelvi er et lavpafilter et ytem, der behandler indgangignalet x(t), ved kun at lade de lave frekvener paere til udgangignalet y(t). Sytemet kan både realiere om et analogt elektrik kredløb, paivt eller aktivt, og digitalt om en formel eller funktion. Sammenhængen mellem indgangignalet x(t) og udgangignalet y(t) kan bekrive med impulreponen h(t) i tiddomænet, eller f.ek. med den kompleke overføringfunktion H(ω) i frekvendomænet. I gennemgangen af teorien bag DSP, vil vi begræne o til ytemer med følgende egenkaber: Linearitet: Et ytem er lineært, hvi ax (t) bx (t) ay (t) by (t) () 6

17 Dette varer til, at ytemet opfylder både homogenitetprincippet x(t) y(t) ax(t) ay(t) () og uperpoitionprincippet hvi x(t) y (t) og x (t) y(t) gælder følgende, hvi uperpoitionprincippet er opfyldt: x (t) x (t) y (t) y(t) (3) Tidinvarian: Et tidinvariant ytem er karakterieret ved, at det parametre er uafhængige af tiden. Sytemet vil altå opføre ig en til tiden t om til tiden t : x(t) y(t) x(t t) y(t t) (4) Kaualitet: Et ytem er kaualt, hvi det ikke afgiver udgangrepon, før det har fået tilført et indgangignal. 4.. Fourierrækker Enhver periodik funktion, f(t), kan krive om en Fourierrække, om er en uendelig um af inu- og coinukompoanter med forkellige amplituder. Dette kan notere på kort form om m a co(mωt) b in(mωt (5) m m ) Sinu- og coinukompoanterne har hver en frekven, om er et heltalmultiplum af grundfrekvenen ω, ogå kaldet den m te harmonike af grundfrekvenen. Koefficienterne a m og b m kalde reelle Fourierkoefficienter, og angiver den numerike værdi af inu- og 7

18 coinukompoanterne amplitude. Ønke et ukendt periodik ignal bekrevet om en Fourierrække, kan Fourierkoefficienterne a m og b m beregne med følgende integraler, hvor periodetid: T er det periodike ignal π f ω T T a f (t) dt (6) T T T a m f (t) co (mωt) dt (7) T T T b m f (t) in (mωt) dt (8) T 4..3 Ekponentiel Fourierrække Indætte den ekponentielle notationform for inu- og coinuignalet i (5), få: f (t) a m m m m c (a m (e e m jmωt jb jmωt e m c jmωt )e * m e jmωt ) jmωt bm j (e (a m jmωt e jb m jmωt )e ) jmωt (9) * hvor c (a jb ) og c (a jb ) er de kompleke Fourierkoefficienter. m m m m m m Da c * m c m kan ligningen forkorte til: jmωt j( m) ωt jmωt f (t) c me c me c me () m m Denne ligning repræenterer den ekponentielle Fourierrække. Det periodike ignal er her 8

19 bekrevet af en um af kompleke elementarvingninger med amplituden cm, faen φm (hvor c m jφm c m φ m c m e ) og frekvenen ω ± m. De kompleke Fourierkoefficienter c m kan beregne med integralet c T jmωt m f (t) e dt () T T hvor m,, 4..4 Fouriertranformation Med Fourierrækker var det kun muligt at bekrive periodike funktioner. Med Fouriertranformation indføre en metode til at bekrive aperiodike ignaler. Denne ignaltype gennemløber kun amme forløb én gang i tidintervallet < t <, derfor kan ignalet opfatte om et periodik ignal med uendelig periodetid T. Det periodike ignal frekvenpektrum er dikret. Aftanden mellem pektrallinierne er ω πf π T. Da periodetiden for et aperiodik ignal går mod uendelig, må aftanden mellem pektrallinierne gå mod. Altå er frekvenpektret for et aperiodik ignal ikke dikret, men kontinuert. Den dikrete frekvenvariabel mω ertatte med en kontinuert variabel ω, ligeom de kompleke Fourierkoefficienter c m ertatte af en kontinuert funktion F(ω). Hvi vi indætter de nævnte ændringer i () får vi Fouriertranformationudtrykket (Forward Fouriertranform): F( ω) f (t)e jωt dt I[f (t)] () hvor F(ω) er en komplek funktion, og kan afbilde om et amplitudepektrum (lige funktion) og et faepektrum (ulige funktion). Det invere Fouriertranformationudtryk krive om 9

20 f (t) π F( ω)e jωt dω I [F( ω)] (3) 4..5 Fouriertranformationregler Regel f(t) F(ω) F af (t) bf (t) af ( ω) bf ( ω) F (t t ) f j ω t F( ω)e F3 t f (t)e j ω F( ω ω ) F4 f(t) f (t τ) dτ F ( ω) F ( ω) F5 (t) f (t) f F ( ω) F ( ω Ω) dω Tabel : Tabel over Fouriertranformationregler. [Hüche,. 9]. F: Linearitetreglen Fouriertranformationen er en lineær proce. Superpoitionbetingelen er opfyldt og der er tale om en homogen proce. Derfor kan en um tranformere ledvi, og koefficienter (a og b) går uændret igennem tranformationen. F: Tidforkydningreglen En tidforkydning af f(t) på t ekunder medfører en faeforkydning. F3: Frekvenforkydningreglen En multiplikation i tiddomænet med en komplek elementarvingning med frekvenen ω medfører en frekvenforkydning på ω. F4: Tiddomænefoldning Foldning af to tidfunktioner varer til, at de to tidfunktioner pektrumfunktioner multiplicere frekven for frekven.

21 F5: Frekvendomænefoldning: Multiplikation af to tidfunktioner varer til foldning af de to ignaler pektrumfunktioner Komplekt frekvenpektrum Da et periodik ignal, om nævnt ovenover, betår af kompleke elementarvingninger med frekvenen mω, hvor ω er grundfrekvenen og m er heltal mellem - og, vil ignalet frekvenpektrum være dikret. Et ådant pektrum betår af både et amplitudepektrum og et faepektrum, da c m er kompleke koefficienter. I amplitudepektret tegne c m om funktion af frekvenen. I faepektret tegne φ m om funktion af frekvenen. Se Figur Figur : Dikret amplitude- og faepectrum for et periodik ignal. [Hüche,. 75]. Det e at amplitudepektret er en lige funktion ( f (x) f ( x)) men faepektret er ulige ( f (x) f ( x)).

22 4. Laplacetranformation Laplacetranformation er en vigtig tranformationmetode, om bruge til at overføre en tidfunktion, f(t), fra tiddomænet til -domænet (Laplacedomænet). 4.. S-planen Til Laplacetranformation bruge en komplek frekvenvariabel,, om er defineret på følgende måde: σ jω (4) hvor σ angiver den reelle frekvenvariabel og jω angiver den imaginære del. -planen er et todimenionalt komplekt talplan, om grafik er ud på følgende måde, Figur 3: jϖ σ Figur 3: -planen. 4.. Tranformationen Laplacetranformation kan bruge ved kauale tidfunktioner, dv. funktioner, hvor: f(t) for t < f(t) er defineret for t >

23 f(t) kan være defineret for t, men den behøver ikke at være det. Laplacetranformation er defineret ved Laplaceintegralet, hvi integrationgræne går fra til : F() f (t) e t dt (5) F() er ålede den Laplacetranformerede f(t), hvilke ogå kan udtrykke på følgende måde: F() [f(t)] (6) Tidfunktionen f(t) er ved Laplacetranformationen blevet overført fra tiddomænet til - domænet. Modat kan man ved inver Laplacetranformation fremtille tidfunktionen f(t), hvi man kender F(). Denne tranformation udtrykke på følgende måde: f(t) - [F()] (7) Der er lavet forkellige tabeller med Laplacetranformationpar, om letter omkrivningproceen. Det er dog ikke altid muligt at bruge die tabeller til inver Laplacetranformation. Man er ålede nød til at foretage den invere tranformation ved partielbrøkopløning (Se Appendik ) Regler for Laplacetranformationer Generelt gælder der en række regler, om bruge ved Laplacetranformationer: 3

24 Regel f(t) F() L af (t) bf (t) af () bf () L f(t-t ) t F() e L3 L4 L5 f(t) t e F(- ) d dt f(t) F( ) f( t) dt F() Tabel : Regler for Laplacetranformation. [Hüche,. 97]. L er liniaritetreglen, om angiver at Laplacetranformationen opfylder uperpoitionprincippet. En um af tidfunktioner kan dermed tranformere ledvi uden at eventuelle koefficienter ændre. L er tidforkydningreglen, om iger, at en tidforinkele af tidfunktionen f(t) på t ekunder varer til at multiplicere F() med e t. L3 er frekvenforkydningreglen, om angiver, at multiplikation af tidfunktionen f(t) og den kompleke elementarvingning e t nulpunkter i -planen med værdien. forårager en forkydning af F() poler og L4 er differentiationreglen. Ifølge denne regel varer differentiation i tiddomænet til at multiplicere den Laplacetranformerede med. L5 er integrationreglen, om iger, at integration i tiddomænet varer til at dividere den Laplacetranformerede med Overføringfunktioner i -domænet Hvi man har den Laplacetranformerede til en kendt timulufunktion X(), og kender ytemet udgangrepon i -domænet Y(), kan man betemme ytemet overføringfunktion i -domænet H() på følgende måde: 4

25 H() Y ( ) X( ) (8) Generelt vil H() have følgende form: H() a a a a... m b b b... b n m n (9) hvor m og n angiver højete ekponent af i henholdvi tæller og nævner Poler og nulpunkter Poler og nulpunkter er kritike frekvener, om betemme vha. ytemet overføringfunktion H(). De bruge ved indtegning i et pol-nulpunktdiagram i -planen til at give en grafik bekrivele af det pågældende ytem egenkaber. Et givet ytem poler er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H () for X( ), er polerne identike med rødderne i H() nævnerpolynomium X(). De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med et kryd. Se Figur 4 Nulpunkterne for et givet ytem er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H() for Y() er nulpunkterne identike med rødderne i H() tællerpolynomium. De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med en cirkel. Se Figur 4 Ekempel. Et. orden ytem er givet ved følgende overføringfunktion: H() Ført betemme nulpunkterne: 4 4 5

26 Der er altå et dobbelt nulpunkt i. Derefter betemme polerne: 4 3 ± j3 Der er altå følgende to komplekt konjugerede poler: j3 * j3 Sytemet pol-nulpunktdiagram kommer dermed til at e ålede ud.: jϖ x j3 - σ x -j3 Figur 4: Pol-nulpunktdiagram Impulrepon En vigtig indikator for et ytem tabilitetforhold er ytemet impulrepon. Impulreponen h(t) er identik med et ytem udgangrepon y(t), hvi timulufunktionen er enhedpulenδ( t ). Enhedimpulen δ( t) er karakterieret ved følgende egenkaber: δ( t) dt og δ( t ) for t () 6

27 Enhedimpulen ekiterer altå kun for t og arealet under funktionen kurve er pr. definition. Enhedimpulen bruge om timulufunktion ved teoretik ytemanalye, da den Laplacetraformerede er meget impel: [ δ( t ) ] () Ved at bruge enhedimpulen om timulufunktion, dv. x( t) δ ( t), få følgende X( ) [ x( t)] [ δ( t)] () Udgangreponen i -domænet bliver dermed: Y( ) X( ) H( ) H( ) H( ) (3) Det er herefter muligt at betemme impulreponen h(t) ved inver Laplacetraformation: h( t) [ H( )] (4) Afhængig af impulreponen kan et ytem have en af de tre følgende tabilitettiltande. Se Figur 5. Stabilt ytem Ved et tabilt ytem går det impulrepon mod nul for t gående mod : h( t) for t (5) Polerne for tabile ytemer ligger alle i -planen ventre halvplan.. Marginalt tabilt ytem 7

28 Ved et marginalt tabilt ytem er impulreponen enten en fat DC-værdi eller ocillerer inuformet med kontant amplitude. Polerne for marginalt tabile ytemer ligger på -planen jω -ake. 3. Utabilt ytem Ved et utabilt ytem går impulreponen mod uendelig: h( t) for t (6) Polerne for et utabilt ytem ligger i -planen højre halvplan jϖ jϖ jϖ x x x σ σ σ h(t) h(t) h(t) t t t Figur 5: De tre tabilitettiltande: ) Stabilt ytem ) Marginalt tabilt ytem 3) Utabilt ytem. Øvert e polplacering, og nedenunder de tilhørende impulreponer Foldning Et meget anvendt værktøj til ytemanalye er foldning. For ethvert ytem med lineær og tidinvariant impulrepon h(t) kan ytemet udgangrepon y(t) beregne ved alle timulufunktioner x(t) vha. foldningintegralet: 8

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret

Læs mere

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse Hjemmeopgave Makroøkonomi,. årprøve, foråret 2005 Vejledende bevarele Opgave. Korrekt. Arbejdtyrken er en beholdning- (tock) variabel, idet man på et givet tidpunkt (fx. jan) kan tælle, hvor mange der

Læs mere

Semesterprojekt 2007 - Svingningssystemer mekanisk/elektrisk analogi

Semesterprojekt 2007 - Svingningssystemer mekanisk/elektrisk analogi Semeterprojekt SDU - Det Teknik Fakultet Gruppe 6 DDF1 Vejleder: Henning Bremøe Hanen Projektperiode: 10. eptember 007-14. december 007 Semeterprojekt 007 - Svingningytemer mekanik/elektrik analogi Udarbejdet

Læs mere

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi Fag: Termodynamik - Statitik fyik - Termodynamike relationer - Fri energi - Entropi 1 Indholdfortegnele... 2 Forord... 3 Formelle definitioner... 3 Et ytem... 3 Et lukket ytem... 3 Et ioleret ytem... 3

Læs mere

SHARKY varmeenergimålere

SHARKY varmeenergimålere SHARKY varmeenergimålere SHARKY 773 er kabt til måling af varmeenergi i tørre og mindre varmeanlæg. Den er let at intallere og er meget betjeningvenlig. Med it patenterede måleytem og indat ikre tor måletabilitet,

Læs mere

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig Brugerunderøgele 2013 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion AS og Afdeling for Data og Analye, Sundhed- og Omorgforvaltningen, København Kommune. Layout: KK deign Foridefoto: Henrik Friberg

Læs mere

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar - 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1 BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG Sundhed- og Omorgforvaltningen - Brugerunderøgele 2014: Plejebolig 1 Brugerunderøgele 2014 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling for Data

Læs mere

Regulering af dynamiske systemer

Regulering af dynamiske systemer Regulering af dynamike ytemer p. / Regulering af dynamike ytemer Seminar 2 Tom Pederen, Jan Dimon Bendten Aalborg Univeritet Regulering af dynamike ytemer p. 2/ deign Sytem V For () R() E() D() U() 0 5

Læs mere

Rehabilitering og Palliation ved kræft

Rehabilitering og Palliation ved kræft Rehabilitering og Palliation ved kræft Implementeringplan for forløbprogram for rehabilitering og palliation i forbindele med kræft. For hopitaler, kommuner og almen praki i Region Hovedtaden Godkendt

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matemati Tiddirete ignaler og ytemer Seion 0. Deign of digital IIR filter Ved Samuel Schmidt chmidt@ht.aau.d htt://www.ht.aau.d/~chmidt/mat/ IIR og FIR filtre IIR FIR Sytemer med uendelige

Læs mere

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen: Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte. χ 2 -fordelingen Program Statitik og Sandynlighedregning 2 Normalfordelingen venner og bekendte Helle Sørenen Uge 9, ondag Reultaterne fra denne uge kal bruge om arbejdhete i projekt 1. I formiddag: χ 2 -fordelingen, t-fordelingen,

Læs mere

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guide Januar 2015 få billigere el kift elelkab og par en formue Se flere guider på bt.dk/plu og b.dk/plu 2 SKIFT ELSELSKAB SPAR EN FORMUE INDHOLD SIDE 4 Mange kan core hurtige og nemme penge ved at kifte

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

6 ARMEREDE BJÆLKER 1

6 ARMEREDE BJÆLKER 1 BETONELEMENTER, SEP. 009 6 ARMEREDE BJÆLKER 6 ARMEREDE BJÆLKER 1 6.1 Brudgrænetiltande 3 6.1.1 Bøjning 3 6.1.1.1 Tværnitanalye generel metode 3 6.1.1. Kanttøjning 5 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5

Læs mere

Praktikperiode på andet intensivafsnit

Praktikperiode på andet intensivafsnit Studieplan for Kuriter på ITA 0531/0633 Praktikophold på 6-12 uger Godkendt November 2003 Uddannele- & udviklinganvarlig ygeplejerke Dori Chritenen Revideret 2014 Inteniv 0531/0633 Praktikperiode på andet

Læs mere

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP. Udarbejdet for: Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP Udarbejdet

Læs mere

Antal Antal STU- Erhverv STU Ungdom I alt

Antal Antal STU- Erhverv STU Ungdom I alt Ungdomuddannelerne (STU) årrapport 2013 STU på CSU-Slagele Unge under 25 år, der af fyike eller pykike grunde ikke, elv med pecialpædagogik tøtte, vil kunne gennemføre en ungdomuddannele på normale vilkår,

Læs mere

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP. Udarbejdet for: Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP Udarbejdet

Læs mere

Søgning i decentrale og ustrukturerede P2P netværk

Søgning i decentrale og ustrukturerede P2P netværk Speciale Mart 2003 Internetteknologilinjen IT-højkolen i København Glentevej 67 2400 København NV Søgning i decentrale og utrukturerede P2P netværk Sune Kloppenborg Jeppeen Vejleder: Kåre Jelling Kritofferen

Læs mere

Planstrategi. s s. Hverdag og fællesskab i bevægelse

Planstrategi. s s. Hverdag og fællesskab i bevægelse Plantrategi 2015 Hverdag og fællekab i bevægele Hverdag og fællekab i bevægele Byrådet i Egedal har en viion for kommunen fremtidige udvikling. Viionen handler om, at alle kal have en god og velfungerende

Læs mere

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator

En ny mellemfristet holdbarhedsindikator En ny mellemfrie holdbarhedindikaor Andrea Øergaard Iveren Danih aional Economic Agen Model, DEAM Peer Sephenen Danih aional Economic Agen Model, DEAM DEAM Arbejdpapir 03: Februar 03 Abrac Arbejdpapire

Læs mere

PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN 20. NOVEMBER 2006 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 23. OKTOBER 2006 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST

PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN 20. NOVEMBER 2006 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 23. OKTOBER 2006 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN. NOVEMBER 6 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 3. OKTOBER 6 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST Side 1 af FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST FORORD OG INDHOLDSFORTEGNELSE

Læs mere

KILDEPARKEN 2020 EN DEL AF DET NYE AALBORG

KILDEPARKEN 2020 EN DEL AF DET NYE AALBORG KILDEPARKEN 2020 EN DEL AF DET NYE AALBORG 1 2 KILDEPARKEN 2020 EN DEL AF DET NYE AALBORG KILDEPARKEN 2020 EN DEL AF DET NYE AALBORG 3 Det øtlige Aalborg Et markant væktområde i landet 3. tørte kommune

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation SCANTRUCK A/S SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. 3 Nyt amarbejde. 4-5 Salg- og marketingafdelingen. 6-7 Bejtrup Makintation Forhandler af CASE, MANITOU, ATLAS og McCLOSKEY SCANTRUCK A/S Peter Daugbjerg

Læs mere

Betjeningvejledning Verion 1.0 Oktober 2005 DANSK VIGTIGE SIKKERHEDSANVISNINGER FORSIGTIG: For at mindke riikoen for elektrik tød må toppen ikke tage af (heller ikke bagbeklædningen). Ingen indvendige

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Underøgele af forældre brugerhed med dagilbud i kommun Apr. 2012 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommun, om de pørgmål, der

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

"GRØNTTORVS-OMRÅDET" Bilag 1. Startredegørelse Indstilling om redegørelse for igangsætning af forslag til lokalplan

GRØNTTORVS-OMRÅDET Bilag 1. Startredegørelse Indstilling om redegørelse for igangsætning af forslag til lokalplan "GRØNTTORVS-OMRÅDET" Bilag 1 Startredegørele Indtilling om redegørele for igangætning af forlag til lokalplan URTEHAVEN KULBANEVEJ SØNDERVANGS ALLÉ URTEHAVEN NØDDEHAVEN ROSENHAVEN ÆBLEHAVEN SØNDERVANGS

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmark Teknike Univeritet Side 1 af 7 Skriftlig prøve, tordag den 6 maj, 1, kl 9:-1: Kuru navn: Fyik 1 Kuru nr 1 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Bevarelen bedømme om en

Læs mere

REMKO ETF 360 / ETF 460

REMKO ETF 360 / ETF 460 REMKO ETF 360 / ETF 460 Mobile Funktion Te nolog Udgave GB B01 Indholdfortegnele 4-6 6 7 Intall 8 8-11 11 Tranport 12 12-13 13-14 14 15 15 15 16 17 18 19 Denne bruganvining kal læe omhyggeligt inden ibrugtagning

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Bedre førstehjælpsberedskab gennem mere lovgivning

Bedre førstehjælpsberedskab gennem mere lovgivning N r. 1 0 5 U d g i v e a f D a n k F o l k e h j æ l p en lp g nin ehjæ v i å: t g p v lp lo ør f æ j ik teh k en y n t r e o p fø jobb ituti t en før Tema: om n teh e i ko l jælp n r ø b Bedre førtehjælpberedkab

Læs mere

Tennis eksempel på opgaveløsning i MatematiKan.nb

Tennis eksempel på opgaveløsning i MatematiKan.nb Opgave 1 1.1 Caroline alder, da hun blev profeionel: 2005-1990 15 18-11 7 Caroline var 15 år og 7 dage gammel. 1.2-1.6 1.5 Det er ud til, at den ekponentielle tendenlinje følger punkterne bedt. 1.6 R-kvadreret

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2014. 23. maj 2014

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2014. 23. maj 2014 Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Løninger til ekaenopgaver på fyik A-niveau 014. aj 014 Opgave 1: Poelukker a) Den oatte effekt i en leder er givet ved P U I, og Oh 1. lov giver aenhængen elle

Læs mere

Behovsstyret ventilation

Behovsstyret ventilation OVERSIGT Behovtyret ventilation Topprodukterne til behovtyret ventilation! www.wegon.com Behovtyret ventilation Behovtyret ventilation giver høj komfort og lave driftomkotninger Når rummet benytte, tyre

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Cirkelbevægelsen og klotoiden

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Cirkelbevægelsen og klotoiden Cirkelbeægelen og klotoiden ide Intitut for Matematik, DTU: Gymnaieopgae Cirkelbeægelen og klotoiden Teori: Erik Øhlenchlæger, Fyik for Diplomingeniører, Gyldendal 996, ide -4. Indledning Figur. Kørel

Læs mere

ARBEJDSPORTFOLIO. 1. hovedforløb. mia phillippa fabricius

ARBEJDSPORTFOLIO. 1. hovedforløb. mia phillippa fabricius ARBEJDSPORTFOLIO 1. hovedforløb mia phillippa fabriciu Out of Office ikoner, november 2014 Idékiter Det færdige reultat af ikonerne Out of Office ikoner, november 2014 I mit praktikophold ho MediaXpre

Læs mere

"GRØNTTORVS- OMRÅDET"

GRØNTTORVS- OMRÅDET "GRØNTTORVS- OMRÅDET" Startredegørele Bilag 1 til indtilling om redegørele for igangætning af forlag til lokalplan Bilag 1 Vigerlev Allé Høffdingvej Retortvej Grønttorvet Luftfoto af lokalplanområdet og

Læs mere

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College Underviningmiljøvurdering 2014 Underøgelen er gennemført via pørgekemaunderøgele Wellne Efterår 2014 10 9 8 7 6 79,2 73,4 88,6 Overordnede reultater 73,2 73,8 74,1 67,7 64,4 57,7 85,5 80,4 96,8 5 4 3 2

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

Bygningsfilm Isoleringsfilm s Sikringsfilm Autofilm

Bygningsfilm Isoleringsfilm s Sikringsfilm Autofilm Trit punktum for Schioldan Side 28-29 TIRSDAG 15. mart 2011 NS 245. årgang Uge 11 Nr. 72 Kr. 20,00 Sej kamp mod brand i køleolie Klichéfyldt, men flot Side 4-5 Side 24-25 Hårdt pre på læger 159 kilo lettere

Læs mere

GLOBAL ØKOLOGI. Tema: Grøn økonomi. Tidsskriftet der tager pulsen på dansk og international miljøpolitik

GLOBAL ØKOLOGI. Tema: Grøn økonomi. Tidsskriftet der tager pulsen på dansk og international miljøpolitik Tidkriftet der tager pulen på dank og international miljøpolitik GLOBAL ØKOLOGI NR. 4 10. ÅRGANG OKTOBER 2003 Tema: Grøn økonomi Læ ogå: Vandet i grunden er det rent? Sydamerika miljøbevægele på vej Dalai

Læs mere

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD Gældende fra d. Endnu ikke gældende 1 Formål m.v. 1 2 Lovgrundlag 1 3 Definitioner 1 4 Regitrering af udenlandke virkomheder 2 5 Gebyrer 2 6 Klage m.v. 2

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

Signalbehandling 1. Compressorer, gates, digitale filtre. Litteratur: Roads s. 390-418

Signalbehandling 1. Compressorer, gates, digitale filtre. Litteratur: Roads s. 390-418 Signalbehandling 1 Compressorer, gates, digitale filtre Litteratur: Roads s. 390-418 Envelopes Tidsvariant forstærkning/dæmpning Mange formål Syntese Overlap (FFT) Klip Musikalsk virkemiddel Compressor

Læs mere

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR HUSHOLDNINGSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR HUSHOLDNINGSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende Sønderborg Kommune REGULATIV FOR HUSHOLDNINGSAFFALD Gældende fra d. Endnu ikke gældende 1 Formål 1 2 Lovgrundlag 1 3 Definitioner 1 4 Ordninger 6 5 Pligter og rettigheder 6 6 Tilyn 8 7 Gebyrer 8 8 Klage

Læs mere

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid MAKING MODERN LIVING POSSIBLE Energibeparende løninger til renovering af varme- og kølingytemer 18 referencer med tilbagebetalingtid Beregninger vier, hvor hurtigt din invetering vil blive tilbagebetalt

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

1. Lineær kinematik. 1.1 Kinematiske størrelser

1. Lineær kinematik. 1.1 Kinematiske størrelser . Lineær kinematik Kinematik anaye og dermed kinematik udgør en tor og vigtig de af biomekanikken. I en tørre biomekanik anaye vi kinematikken normat være det ted man tarter, da begrebet omhander ammenhængen

Læs mere

Optimeret slæderegulering

Optimeret slæderegulering Forord Denne rapport dokuenterer arbejdet ed projektet Optieret læderegulering på 6. eeter. Projektet er udført i perioden februar 003 til aj 003 på Aalborg univeritet, Intitut for Elektronike yteer, Afdeling

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Indholdsfortegnelse - 1 udgave

Indholdsfortegnelse - 1 udgave Indholdfortegnele - 1 udgave S. 01/1 udg. Stamdata Navn: Adree: hl-repro a/ Reprovej 2-4, 8722 Hedented, Bagværd Torv 12, 3 al, 2880 Bagværd Telefon: 7589 1911-7674 1981 e-mail: Web-ted: hl@hl-repro.dk

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) Hold LTN

Læs mere

Kort vejledning Verion 1 2007-06 VIGTIGE SIKKERHEDSANVISNINGER FORSIGTIG: For at mindke riikoen for elektrik tød må toppen ikke tage af (heller ikke bagbeklædningen). Ingen indvendige dele må eftere af

Læs mere

Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM. En håndbog om SEJL TRIM. En håndbog om sejltrim. Stuart H. Walker

Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM. En håndbog om SEJL TRIM. En håndbog om sejltrim. Stuart H. Walker 1 Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM En håndbog om En håndbog om ejltrim SEJL TRIM Stuart H. Walker 2 Andre bøger af Stuart H. Walker The Technique of Small Boat Racing (ed.) The Tactic of Small Boat

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

BÆKKENLØFT. Tina Alstrup Larsen Inger Brorson Mønsted Lasse Lindgren Nielsen Bjarne Vad Nilsen

BÆKKENLØFT. Tina Alstrup Larsen Inger Brorson Mønsted Lasse Lindgren Nielsen Bjarne Vad Nilsen BÆKKENLØFT Tina Altrup Laren Inger Broron Mønted Lae Lindgren Nielen Bjarne Vad Nilen Hovedopgave F98 Ergo- og fyioterapeutkolen Aalborg, Juni. Denne rapport er udarbejdet af tuderende på fyioterapeutkolen

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

GETO Gigaport Volumenbagdøre

GETO Gigaport Volumenbagdøre L Til kae- eller preenningopbygninger Certificeret i henhold til DIN EN 122 Priguntig GETO Gigaport Volumenbagdøre TITGEMEYER Tf108DK(1007)2 Let læeadgang Optimal åbning på grund af dobbeltleddede hængler.

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Betonkonstruktioner, 2 (Brudstyrke af bøjningspåvirkede tværsnit)

Betonkonstruktioner, 2 (Brudstyrke af bøjningspåvirkede tværsnit) Chritian Frier Aalborg Univeritet 006 Betonkontruktioner, (Brudtrke a bøjningpåvirkede tværnit) Jernbeton / arbejdkurver / ikkerheder Bæreevne a jernbetontværnit ved ren bøjning -Normaltarmeret tværnit

Læs mere

Løsning, Beton opgave 5.1

Løsning, Beton opgave 5.1 Løning, Beton opgave 5. Dækelementerne er 0, m tykke og pænder over 5 m. Der anvende ølgende materialeparamee: Beton: 8, MPa α 8 rmering: 85 MPa. E d,5 0 5 MPa E k 0 5 MPa tanden ra armeringen tyngdepunkt

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 7

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 7 Løning, Bygningkonuktion og rkitektur, opgave 7 Dækelementerne er 0, m tykke og pænder over m. Der anvende ølgende regningmæige materialeparamee: Beton: 8, MPa α 8 rmering: 8 MPa. E d, 0 MPa E k 0 MPa

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER FLERFAMILIEHUSE. Version 2011. beregnet forbrug. Høring 24. januar 2011.

HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER FLERFAMILIEHUSE. Version 2011. beregnet forbrug. Høring 24. januar 2011. HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER Verion 2011 FLERFAMILIEHUSE beregnet forbrug Høring 24. januar 2011. Indhold 1 Vægge, gulve og lofter... 1 1.1 Regitrering af vægge, gulve og lofter... 1 1.2 Måltagning arealer,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

KILDEPARKEN 2020 FORELØBIG HELHEDSPLAN

KILDEPARKEN 2020 FORELØBIG HELHEDSPLAN KILDEPARKEN 2020 FORELØBIG HELHEDSPLAN 2 INDHOLD FORORD KILDEPARKEN 2020 S. 3 Aalborg Øt nu og fremover S. 5 Helhedplanen S. 7 Tranformation af de centrale plader S.11 Boligtranformationer S.13 Nye bygninger

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Ny byudviklingsplan for. SKALBORG Debatoplæg Fokus på Skalborg

Ny byudviklingsplan for. SKALBORG Debatoplæg Fokus på Skalborg Ny byudviklingplan for SKALBORG Debatoplæg Foku på Skalborg 2015 Foku på Skalborg Baggrund Byudviklingplanen for Skalborg kal kabe en fælle viion og rammen for en helhedorienteret udvikling af Skalborg

Læs mere

GBFbladet Medlemsorientering nr. 156

GBFbladet Medlemsorientering nr. 156 GBFbladet Medlemorientering nr. 156 40. Årgang. Nr. 4 November 2015 ISSN 1903-0347 Gigtramte Børn Forældreforening www.gbf.dk Indholdfortegnele Formanden ord...eller rettere November 2015 Dette nummer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Skriftlig prøve i matematik 4

Skriftlig prøve i matematik 4 Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 03 080527HEb Skriftlig prøve i matematik 4 Prøve d. 4. juni 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 17% (Kompleks funktionsteori

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Testsignaler til kontrol af en målekæde

Testsignaler til kontrol af en målekæde 20. marts 2007 RL 12/07 OFC/THP/CB/lm MILJØSTYRELSENS Testsignaler til kontrol af en målekæde Resumé Der er udarbejdet testsignaler, som gør det muligt at kontrollere en samlet målekæde. Testsignalerne,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai 4 vi.iq!uodai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai r 4. Procebekrivele 8 2. Stamolyninger 5 3.3 Strategi 7 Q 3. Præentation af virkomheden 6 3.2 Kernekometencer 7 3.1 Ledele og organiering 6 -b 1. Forord med ledelen

Læs mere