Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736

Transkript

1 Den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele Storgruppe 9736 Titel: Digital ignalbehandling Synopi: Projektperiode: P //98-9/5/98 Projektgruppe: 347 Deltagere: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien Vejledere: ørge Lindberg Suanne Flydtkjær Oplagtal: Sideantal: 8 ilag: Dikette Dette projekt omhandler digital ignalbehandling (DSP). Den generelle udvikling i elektronikindutrien, der betår i en overgang fra fremtilling af dedikeret hardware til anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, behandle. En række konekvener af denne udvikling underøge. Med udgangpunkt i kontruktionen af en digital mixer med en 3-bånd equalizer til PC øge det demontreret, at udviklingen medfører en række teknike fordele. På baggrund af erfaringerne med denne kontruktion overveje det, hvilke krav udviklingen tiller til metoder til udvikling af oftware. Det konkludere, at der er behov for at fokuere på udviklingen af nye metoder til oftwareudvikling.

2 Forord Nærværende krivele er en rapport udarbejdet af projektgruppe 347 om dokumentation for denne arbejde i p-projektperioden 998 på den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele. Vi takker Morten Lydorf og ørge Lindberg for det udmærkede projektenhed-kuru om Digital Signalbehandling. Læevejledning I rapporten vil henvininger til litteratur ke på følgende måde: [<forkortele>,. <ide>]. Værket, om forkortelen henvier til, kan finde i litteraturhenviningen. Hvi kilderne er internetider bliver de i rapporten refereret til på følgende måde: [<forkortele>]. Forkortelen henvier til en URL, om kan finde i kildehenviningen. Engelke fagudtryk og danke overætteler anvende, hvor det finde paende. Figurer, tabeller og ligninger er nummereret endimenionalt fortløbende hver for ig. Der er anvendt amerikank decimaltalangivele i grafer og tal fra MATLA. Peudokode angive på grå baggrund. Specielt teorikapitlerne om digital ignalbehandling anbefale læt i kronologik rækkefølge, da teorien i de tidligere kaptiler forudætte i de enere. Rapporten er udarbejdet af: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien

3 Indholdfortegnele. INDLEDNING...6. PROLEMANALYSE...7. UDVIKLINGEN I ELEKTRONIKINDUSTRIEN Fra hardware til oftware Digital ignalbehandling Signalproceorer Teknike fordele og ulemper PC en Softwareudvikling AFGRÆNSNING OG PROLEMFORMULERING DIGITAL SIGNALEHANDLING TIDSKONTINUERT SYSTEMTEORI Sytem Fourierrækker Ekponentiel Fourierrække Fouriertranformation Fouriertranformationregler Komplekt frekvenpektrum LAPLACETRANSFORMATION S-planen Tranformationen Regler for Laplacetranformationer Overføringfunktioner i -domænet Poler og nulpunkter Impulrepon Foldning SAMPLINGSTEORI Sampling Nyquit-frekvenen TIDSDISKRETE SYSTEMER FIR-ytemer Enhedimpul Impul repon

4 4.4.4 Foldning Z-TRANSFORMATIONER Definition af z-tranformationen Overføringfunktionen Superpoition Inver z-tranformation Z-tranformation for ytemer med uendelig impulrepon Foldning og z-tranformationen Overføringfunktionen for ytemer med uendelig impulrepon FREKVENSRESPONSANASLYSE Introduktion Frekvenreponfunktionen Faefunktionen Grafik frekvenreponanalye Fortolkning af pol-nulpunktdiagrammet FIR-FILTRE Fordele Ulemper Differenligning Frekvenreponanalye Kontruktion af et FIR-filter eregning af koefficenter Vinduefunktioner MATLA DIGITAL MIXER SPECIFIKATIONER KONSTRUKTION AF FILTRENE Filterteknik Orden Inddeling af båndene Vinduefunktion De tre bånd PROGRAMDOKUMENTATION Analye Deign og implementering Tet rugervejledning

5 5.4 FORDELE VED DIGITAL SIGNALEHANDLING I PROGRAMMET Ændring af filterpecifikationer Ændring af kanalantal Tilføjning af nye effekter Ændring af brugerflade PERSPEKTIVERING KONKLUSION APPENDIKS A) DEN EKSPONENTIELLE NOTATIONSFORM FOR KOMPLEKSE TAL ) INVERS LAPLACE TRANSFORMATION VED PARTIELRØKSOPLØSNING C) FILTERKONSTRUKTION - IIR-FILTRE D) ILINEÆR Z-TRANSFORMATION Metoder til z-tranformation ilineær z-tranformation generelt Prewarping ordenkoefficienter ordenkoefficienter E) INVERS Z-TRANSFORMATION LITTERATUR- OG KILDELISTE...7 5

6 . Indledning DSP er en forkortele for det engelke Digital Signal Proceing, der på dank kalde digital ignalbehandling. DSP anvende i forbindele med redigering, detektering og generering af analoge ignaler, ved hjælp at digitale metoder. En af DSP en forcer er, at det benytter ig af generel hardware med pecifik oftware, hvor man eller er vant til dedikeret hardware. Derfor er man ogå inden for den enete årrække begyndt at anvende DSP på flere og flere områder; bl.a. inden for audio- og videobehandling. Det betyder, at man gradvit er begyndt at udvikle generel hardware med pecifik oftware, frem for pecifik hardware. Det er netop i denne udvikling nærværende projekt tager it udgangpunkt. Hidtil er al ignalbehandling foregået analogt og har delvit kabt et amfund, der var indrettet efter den analoge verden normer. Og det giver elvagt en række problemer, at kulle overgå til en verden, hvor der gøre brug af digitale ytemer. Udover die amfundmæige apekter, har der fra projektgruppen amtidigt lydt et ønke om at lave digital lydbehandling, del for at opnå kendkab til den teknike del af DSP, men ogå for at vie, hvorlede mulighederne er for at implementere forkellige dele af et DSP baeret ytem. 6

7 . Problemanalye. Udviklingen i elektronikindutrien.. Fra hardware til oftware Traditionelt blev analoge elektrike kredløb pecialfremtillet til at opfylde pecifikke mål. Skulle de anvende til andre formål eller blev pecifikationerne ændret bare en lille mule, måtte de tilpae ved rekontruktion af måke hele eller tore dele af kredløbene. Hardware fremtillet med et betemt mål for øje, kalde dedikeret hardware. De enere år er udviklingen i elektronikindutrien gået mod anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, altå ved programmering. Eller om Otto Vinter, leder af oftwareproceforbedringer ho rüel & Kjær Sound & Vibration Meaurement A/S, formulerer det: Det er nart kun elve tranduceren, om opfanger lyden eller vibrationerne og omætter dem til elektrike impuler, der er rigtig elektronik. Reten er PC, Window og C programmering [Hanon]. Han anlår, at 8 pct. af udviklingtiden går på programmering. [Hanon]. Udviklingen kylde i høj grad, at mikroelektronike komponenter ydeevne i forhold til prien har været kontant tigende de enete årtier. [ITcenter] Denne udvikling medfører ændringer for producenterne på følgende områder : Produktion At oftwaren integrere i elektronike løninger medfører, at programudviklere i tigende grad bliver en del af det nye produktionapperat. Komplekiteten og flekibiliteteten af udtyret til produktion af elektrike kredløb falder dratigt, da al tilpaning foretage ved programmering. Hardwareløningerne kan maeproducere om enkelte generelle modulopbyggede løninger, i tedet for flere forkellige dedikerede løninger. 7

8 Arbejdmiljø Det fyike arbejdmiljø ændrer ig ikke. Udviklingen af elektrike kredløb er gennem en del år foregået ved hjælp af computere. Peronale/uddannele Udviklerne kal ikke længere tegne diagrammer og vælge komponenter, men programmere. [Hanon]. Dette vil enten kræve anættele af nyuddannede dataingeniører, dataloger, eleltronikingerniører ov., eller efteruddannele af gammelt peronale. Udviklingmetoder Der anvende andre udviklingmetoder til fremtilling af oftware end til fremtilling af hardware. Udviklingen af programmer er ikke å moden en diciplin om elektronik. Deuden er metoderne under forandring. Gennem de idte ti år er analye og deign gået fra at være truktureret til at være objektorienteret. Deuden påpeger Otto Vinter, at udviklingen ikke bør kille i en hardware-del og en oftware-del men amle - metoderne til en ådan udvikling ekiterer endnu ikke. [Hanon] Økonomi Økonomik er der flere apekter. Et af de vigtigte er den amlede fortjenete, der i dag er ved produktion af DSP ytemer. Problemet er for lav profit! [Sound Pro] På trod af lave materiale-omkotninger, er der tenden til at nettofortjeneten bliver lav, idet der påføre nye udgiftpoter, åom online-brugerhjælp, opdatering af oftware o.lign... Digital ignalbehandling Digital ignalbehandling har parallelt med den generelle udvikling i elektronikindutrien overtaget en tadig tørre dele af den analoge ignalbehandling. Digital ignalbehandling kan impelt bekrive om: - digitalt at behandle, detektere eller generere analoge ignaler. 8

9 Signalerne kan være elektromagnetik tråling eller f.ek. mekanike bølger opfanget eller udendt til omverdenen. Selve den digitale behandling foregår i ignalproceorer. Opfange ignalerne kal de analoge, tidkontinuerte ignaler, forinden omdanne til digitale, tiddikrete, ignaler. Dette gøre ved ampling - konvertering fra antalog til digital (A/D). Af typike traditionelle anvendeleområder kan nævne: Elektronik filtrering og equalizering Spektrumanalye Datatranmiion Spredt pektrum radiokommunikation Proceregulering og -tyring Tet- og måleudtyr Lagring og behandling af HIFI- og videoignaler Talegenkendele og taleyntee [Hüche,. 5]. ranchen er i en rivende udvikling, og der bliver tadig flere anvendeleområder. De her nævnte tammer fra en DSP-bog fra og er muligvi ikke fyldetgørende...3 Signalproceorer Signalproceoren udfører elve den digitale ignalbehandling, der betår i en algoritme. Kravet til proceoren, det, der gør den velegnet om ignalproceor, er den evne til at udføre aritmike beregninger, multiplikationer og additioner, med tor hatighed og nøjagtighed. Hatigheden er pecielt en kritik faktor i ytemer, der kal fungere i realtid. De realiere typik om en integreret, eller delvit integreret, ignalproceorkred, der indeholder multiplier, adder, accumulator, program- og lagerhukommele plu input- og 9

10 outputbuffere. [Hüche,. 9]. I dag programmere ignalproceorerne i C, i modætning til tidligere, hvor de blev programeret i aembler [Hanon]...4 Teknike fordele og ulemper Overgangen, fra den dedikerede hardware til generelle hardwareløninger, tilpaet de enkelte opgaver gennem oftwaren, kan tilkrive en række uomtvitelige teknike fordele i forbindele med digitale ignalbehandlingytemer: Kontrolleret ignal-tøjforhold og dynamikområde Die kan betemme, og kontrollere, gennem digitale ytemer bitantal, hvorimod de i analoge ytemer er mere ukontrollerbare. Nemmere/billigere pecifikationændringer Hele elektrike kredløb, printplader, kal ikke omkontruere, hvilket kan være en langommelig og omkotningkrævende proce ammenlignet med ændringer i oftware. Udgifterne til lønninger og materialer bliver ålede reduceret. Nemmere/billigere fejlretning Serier af produkter kal ikke nødvendigvi kaere, men blot oftwareopgradere ved fejl. Eller gælder amme fordele om ved pecifikationændringer. Hardwaren kan elvfølgelig tadig være behæftet med fejl. Minimering af problemer i forbindele med komponentdrift og komponenttolerance Elektrike komponenter karakteritika kan være mere eller mindre temperaturafhængige og ælde. Med begrænning af hardwareomfanget, dv. komponentantal, mindke die problemer. Kraftig reduktion af hardwareomfang En tørre dele af hardwaren bliver, ved overgangen til digital ignalbehandling, mikroproceorer, og hardwareomfanget reducere ålede.

11 Ingen trimning af produktet De varierende karakteritikker for de forkellige komponenter, der måtte indgå i et analogt kredløb, kan nødvendiggøre en trimning af produktet. Alt efter produktet foretage tidkrævende trimning manuelt af peronale. Realiering af analogt ikke realierbare funktioner landt andet adaptive ytemer kan være problematike at realiere analogt. Filtre af meget høj orden vil gøre analoge ytemer ydert kompleke, eller helt umulige. I digital ignalbehandling er filterorden udelukkende et pørgmål om proceorkraft. Mere intuitive brugerflader rugerfladen kan kontruere traditionelt med fyike drejekiver og knapper, men kan ogå realiere gennem en kærmbaeret brugerflade, om f.ek. Window, med mulighed for en mere intuitiv betjening. Den kan, alt efter hardwarekonfiguration, tilpae forkellige målgrupper [Hanon]. Et par fænomener, der må betegne om ulemper ved digital ignalbehandling, er aliaering og kvantieringtøj. [Hüche,. 5]...5 PC en Pc-teknologien er et markant ekempel på vækten af generelle hardwareløninger, der tilpae pecielle formål ved hjælp af oftware, og mange virkomheder mærker konekvenerne af pc en fremmarch. Det gælder f.ek. den danke måleintrumentindutri. Hvor man i denne indutri tidligere udviklede egne apparater helt fra bunden, og derfor havde en unik kompetence, pecielt indenfor hardware-deign, om vankeligt lod ig efterligne, er det nu pc er, der udgør fundamentet i moderne måleintrumenter. Produktudvikling er derfor i høj grad blevet oftwareudvikling på pc-platforme. Det betyder, at tore dele af produkterne hardwaremæigt minder mere og mere om hinanden. Det er både en fordel, idet produkterne lettere kan udvikle på amme platform, og en ulempe, da den pecielle teknologike kompetence alene er knyttet til enorerne, der opamler måledata [Ramkov].

12 Den tigende integration af pc-teknolgien i måleintrumenter kan medføre, at kunderne venter amme tærkt faldende prier, om for andre pc-produkter. Denne forventning kan udløe et pre på de meget høje avancer på det enkelte apparat, der traditionelt er i denne indutri [Ramkov]. Ikke alle måleintrumentvirkomheder har været i tand til at omtille ig til de nye krav. Reultatet er mange teder tagnation eller fald i omætningen. Udviklingen har mange teder medført udkiftning af ledele og ejere, heraf nogle til udenlandke invetorer, inden for de idte få år.[ramkov]...6 Softwareudvikling Det ovenfor bekrevne ekempel er udtryk for nogle generelle tendener. Erhvervlivet befinder ig om følge af die tendener midt i en trukturændring, idet f.ek. elektronike apparater funktion og dermed virkomhederne konkurrenceevne, i et hidtil uet og tadig tigende omfang betemme af den oftware, apparaterne er forynet med[itcenter] Som nævnt angiver Otto Vinter, at 8 pct. af udviklingtiden går til oftware. Leif Chritianen, projektchef ho GN Nettet, Elmi diviion, anlår tallet til at være 6-7 pct. afhængigt af hvilket udtyr vi taler om [Hanon]. Dette giver anledning til vie problemer, der er forbundet med udviklingen af programmer. Chritianen iger, at det ikke er ualmindeligt med en overkridele af perontiden på op til 5 pct. [Hanon]. Ifølge en rapport fra forkningminiteriet medgår over halvdelen af udviklingomkotningerne, i mange virkomheder, til oftware [ITcenter]. Metoderne til oftwareudvikling er ikke å modne om de, der anvende til udvikling af hardware. Det e blandt andet af, at der ifølge rapporten fra forkningminiteriet er et behov for forbedret produktivitet i udviklingen [ITcenter]. Virkomhederne ledeler har heller ikke indarbejdet metoderne [Hanon]. Store oftwareprojekter kræver ærlige kompetencer, om erhvervlivet endnu ikke beidder [ITcenter].

13 Tidligere har oftwareudvikling hovedageligt betået i udvikling af adminitrative ytemer. Den tigende andel af oftwareudvikling i forbindele med elektronikytemer, f.ek. intrumenter og måleapparatur, har dog ikke medført problemer, der adkiller ig fra de allerede kendte, i forbindele med udvikling af adminitrative ytemer. Den tørte forkel betår i, at elektronikytemerne i højere grad kal afvikle i realtidammenhæng, hvorimod de adminitrative ytemer har flere databaer. [Hanon] En del af problemerne med oftwareudvikling, i forbindele med elektronikytmer, tilkriver Otto Vinter, at virkomheder forøger at dele udviklingen op i to adkilte dele. Dette, mener han, bevirker, at koordineringen mellem delene ikke bliver god nok. Der kal være et fælle anvar for, at produktet bliver færdigt til tiden. [Hanon]. Han mener endvidere, at der mangler gode oftwareudviklere. Det er pecielt igennem de indledende faer af udviklingen, dv. faen frem mod en pecifikation, at problemerne kabe, fatlår rapporten fra forkningminiteriet. Den påpeger endvidere, at Omfanget af forkningindaten på Danmark univeriteter og højere lærerantalter på oftwareområdet er langtfra øget i amme udtrækning om erhvervlivet indat på området. Samtidig har der været en tenden til, at mange af univeritetmiljøerne forkning inden for oftware ikke har været rettet mod de problemer, om erhvervlivet kæmper med. Kontakten mellem univeriteterne og de godkendte teknologike erviceintitutter [..] på oftwareområdet har ogå traditionelt været ret pinkel [ITcenter]. 3

14 3. Afgrænning og problemformulering En tadig tørre del af udviklingen i elektronikindutrien er oftwareudvikling. Denne udvikling er behæftet med både muligheder og begrænninger. Der er behov for at tyrke oftwareudviklingmetoder, pecielt hvad angår de tidlige faer af oftwareudviklingen og der er behov for bedre oftwarekvalitet, karakterieret ved overlegen ydeevne, lang levetid, udtrakt genbrug, elegant deign, brugerglæde, fejlfrie og effektive programmer amt problemfri vedligeholdele [ITcenter]. Med udgangpunkt i vore analye vil vi forøge at demontrere vie teknike fordele om overgangen fra analog til digital ignalbehandling har. Vi vil kontruere en digital lydmixer med følgende pecifikationer: indgange, udgang. Lyden fra de to indgange kal behandle i to eperate kanaler med følgende effekter: Gain 3 bånd EQ Noie Gate Volume VU-meter De to kanaler kal herefter mixe vha. en crofader. Sidt i ignalvejen kal der være en amlet volume-regulering. Mixeren kal fungere i realtid, og kal benytte lydkort af typen Sound later 6 til input/output Med baggrund i kontruktionen af mixeren vil vi forøge at vie, hvor enkelt det er at ændre pecifikationerne for denne ved hjælp af relativt imple ændringer i programmet. Som programmeringprog har vi valgt Pacal, om vi har et godt forudkendkab til. 4

15 Da der i elektronikindutrien er et behov for, at oftwareudviklingen foregår metodik, har vi tiltræbt en metodik udvikling af programmet. Som metode har vi valgt elementer fra metoden Struktureret Programudvikling (SPU). Dette valg er foretaget på baggrund af en vurdering af vore reourcer, da vi havde brug for en let tilgængelig metode. Vi er bekendt med at SPU ikke længere er tidvarende, idet man i dag fortrinvi benytter Objektorienteret Programudvikling. Problemløningfaen betår af to dele: en del omhandlende digital ignalbehandling og en omhandlende fremtillingen af mixeren. 5

16 4. Digital ignalbehandling I fremtillingen af hele kapitlet om digital ignalbehandling er Erik Hüche Digital Signalbehandling [Hüche] og Jame H. McClellan, Ronald W. Schafer og Mark A. Yoder: DSP Firt [DSP Firt] anvendt. 4. Tidkontinuert ytemteori 4.. Sytem Et ytem er et elektronik kredløb, en formel eller en funktion, der behandler ignaler. Se Figur. x(t) Sytem h(t) y(t) Figur : Sytem, med input x(t) og output y(t). Sammenhængen mellem x(t) og y(t) kalde h(t), impulreponen. Ekempelvi er et lavpafilter et ytem, der behandler indgangignalet x(t), ved kun at lade de lave frekvener paere til udgangignalet y(t). Sytemet kan både realiere om et analogt elektrik kredløb, paivt eller aktivt, og digitalt om en formel eller funktion. Sammenhængen mellem indgangignalet x(t) og udgangignalet y(t) kan bekrive med impulreponen h(t) i tiddomænet, eller f.ek. med den kompleke overføringfunktion H(ω) i frekvendomænet. I gennemgangen af teorien bag DSP, vil vi begræne o til ytemer med følgende egenkaber: Linearitet: Et ytem er lineært, hvi ax (t) bx (t) ay (t) by (t) () 6

17 Dette varer til, at ytemet opfylder både homogenitetprincippet x(t) y(t) ax(t) ay(t) () og uperpoitionprincippet hvi x(t) y (t) og x (t) y(t) gælder følgende, hvi uperpoitionprincippet er opfyldt: x (t) x (t) y (t) y(t) (3) Tidinvarian: Et tidinvariant ytem er karakterieret ved, at det parametre er uafhængige af tiden. Sytemet vil altå opføre ig en til tiden t om til tiden t : x(t) y(t) x(t t) y(t t) (4) Kaualitet: Et ytem er kaualt, hvi det ikke afgiver udgangrepon, før det har fået tilført et indgangignal. 4.. Fourierrækker Enhver periodik funktion, f(t), kan krive om en Fourierrække, om er en uendelig um af inu- og coinukompoanter med forkellige amplituder. Dette kan notere på kort form om m a co(mωt) b in(mωt (5) m m ) Sinu- og coinukompoanterne har hver en frekven, om er et heltalmultiplum af grundfrekvenen ω, ogå kaldet den m te harmonike af grundfrekvenen. Koefficienterne a m og b m kalde reelle Fourierkoefficienter, og angiver den numerike værdi af inu- og 7

18 coinukompoanterne amplitude. Ønke et ukendt periodik ignal bekrevet om en Fourierrække, kan Fourierkoefficienterne a m og b m beregne med følgende integraler, hvor periodetid: T er det periodike ignal π f ω T T a f (t) dt (6) T T T a m f (t) co (mωt) dt (7) T T T b m f (t) in (mωt) dt (8) T 4..3 Ekponentiel Fourierrække Indætte den ekponentielle notationform for inu- og coinuignalet i (5), få: f (t) a m m m m c (a m (e e m jmωt jb jmωt e m c jmωt )e * m e jmωt ) jmωt bm j (e (a m jmωt e jb m jmωt )e ) jmωt (9) * hvor c (a jb ) og c (a jb ) er de kompleke Fourierkoefficienter. m m m m m m Da c * m c m kan ligningen forkorte til: jmωt j( m) ωt jmωt f (t) c me c me c me () m m Denne ligning repræenterer den ekponentielle Fourierrække. Det periodike ignal er her 8

19 bekrevet af en um af kompleke elementarvingninger med amplituden cm, faen φm (hvor c m jφm c m φ m c m e ) og frekvenen ω ± m. De kompleke Fourierkoefficienter c m kan beregne med integralet c T jmωt m f (t) e dt () T T hvor m,, 4..4 Fouriertranformation Med Fourierrækker var det kun muligt at bekrive periodike funktioner. Med Fouriertranformation indføre en metode til at bekrive aperiodike ignaler. Denne ignaltype gennemløber kun amme forløb én gang i tidintervallet < t <, derfor kan ignalet opfatte om et periodik ignal med uendelig periodetid T. Det periodike ignal frekvenpektrum er dikret. Aftanden mellem pektrallinierne er ω πf π T. Da periodetiden for et aperiodik ignal går mod uendelig, må aftanden mellem pektrallinierne gå mod. Altå er frekvenpektret for et aperiodik ignal ikke dikret, men kontinuert. Den dikrete frekvenvariabel mω ertatte med en kontinuert variabel ω, ligeom de kompleke Fourierkoefficienter c m ertatte af en kontinuert funktion F(ω). Hvi vi indætter de nævnte ændringer i () får vi Fouriertranformationudtrykket (Forward Fouriertranform): F( ω) f (t)e jωt dt I[f (t)] () hvor F(ω) er en komplek funktion, og kan afbilde om et amplitudepektrum (lige funktion) og et faepektrum (ulige funktion). Det invere Fouriertranformationudtryk krive om 9

20 f (t) π F( ω)e jωt dω I [F( ω)] (3) 4..5 Fouriertranformationregler Regel f(t) F(ω) F af (t) bf (t) af ( ω) bf ( ω) F (t t ) f j ω t F( ω)e F3 t f (t)e j ω F( ω ω ) F4 f(t) f (t τ) dτ F ( ω) F ( ω) F5 (t) f (t) f F ( ω) F ( ω Ω) dω Tabel : Tabel over Fouriertranformationregler. [Hüche,. 9]. F: Linearitetreglen Fouriertranformationen er en lineær proce. Superpoitionbetingelen er opfyldt og der er tale om en homogen proce. Derfor kan en um tranformere ledvi, og koefficienter (a og b) går uændret igennem tranformationen. F: Tidforkydningreglen En tidforkydning af f(t) på t ekunder medfører en faeforkydning. F3: Frekvenforkydningreglen En multiplikation i tiddomænet med en komplek elementarvingning med frekvenen ω medfører en frekvenforkydning på ω. F4: Tiddomænefoldning Foldning af to tidfunktioner varer til, at de to tidfunktioner pektrumfunktioner multiplicere frekven for frekven.

21 F5: Frekvendomænefoldning: Multiplikation af to tidfunktioner varer til foldning af de to ignaler pektrumfunktioner Komplekt frekvenpektrum Da et periodik ignal, om nævnt ovenover, betår af kompleke elementarvingninger med frekvenen mω, hvor ω er grundfrekvenen og m er heltal mellem - og, vil ignalet frekvenpektrum være dikret. Et ådant pektrum betår af både et amplitudepektrum og et faepektrum, da c m er kompleke koefficienter. I amplitudepektret tegne c m om funktion af frekvenen. I faepektret tegne φ m om funktion af frekvenen. Se Figur Figur : Dikret amplitude- og faepectrum for et periodik ignal. [Hüche,. 75]. Det e at amplitudepektret er en lige funktion ( f (x) f ( x)) men faepektret er ulige ( f (x) f ( x)).

22 4. Laplacetranformation Laplacetranformation er en vigtig tranformationmetode, om bruge til at overføre en tidfunktion, f(t), fra tiddomænet til -domænet (Laplacedomænet). 4.. S-planen Til Laplacetranformation bruge en komplek frekvenvariabel,, om er defineret på følgende måde: σ jω (4) hvor σ angiver den reelle frekvenvariabel og jω angiver den imaginære del. -planen er et todimenionalt komplekt talplan, om grafik er ud på følgende måde, Figur 3: jϖ σ Figur 3: -planen. 4.. Tranformationen Laplacetranformation kan bruge ved kauale tidfunktioner, dv. funktioner, hvor: f(t) for t < f(t) er defineret for t >

23 f(t) kan være defineret for t, men den behøver ikke at være det. Laplacetranformation er defineret ved Laplaceintegralet, hvi integrationgræne går fra til : F() f (t) e t dt (5) F() er ålede den Laplacetranformerede f(t), hvilke ogå kan udtrykke på følgende måde: F() [f(t)] (6) Tidfunktionen f(t) er ved Laplacetranformationen blevet overført fra tiddomænet til - domænet. Modat kan man ved inver Laplacetranformation fremtille tidfunktionen f(t), hvi man kender F(). Denne tranformation udtrykke på følgende måde: f(t) - [F()] (7) Der er lavet forkellige tabeller med Laplacetranformationpar, om letter omkrivningproceen. Det er dog ikke altid muligt at bruge die tabeller til inver Laplacetranformation. Man er ålede nød til at foretage den invere tranformation ved partielbrøkopløning (Se Appendik ) Regler for Laplacetranformationer Generelt gælder der en række regler, om bruge ved Laplacetranformationer: 3

24 Regel f(t) F() L af (t) bf (t) af () bf () L f(t-t ) t F() e L3 L4 L5 f(t) t e F(- ) d dt f(t) F( ) f( t) dt F() Tabel : Regler for Laplacetranformation. [Hüche,. 97]. L er liniaritetreglen, om angiver at Laplacetranformationen opfylder uperpoitionprincippet. En um af tidfunktioner kan dermed tranformere ledvi uden at eventuelle koefficienter ændre. L er tidforkydningreglen, om iger, at en tidforinkele af tidfunktionen f(t) på t ekunder varer til at multiplicere F() med e t. L3 er frekvenforkydningreglen, om angiver, at multiplikation af tidfunktionen f(t) og den kompleke elementarvingning e t nulpunkter i -planen med værdien. forårager en forkydning af F() poler og L4 er differentiationreglen. Ifølge denne regel varer differentiation i tiddomænet til at multiplicere den Laplacetranformerede med. L5 er integrationreglen, om iger, at integration i tiddomænet varer til at dividere den Laplacetranformerede med Overføringfunktioner i -domænet Hvi man har den Laplacetranformerede til en kendt timulufunktion X(), og kender ytemet udgangrepon i -domænet Y(), kan man betemme ytemet overføringfunktion i -domænet H() på følgende måde: 4

25 H() Y ( ) X( ) (8) Generelt vil H() have følgende form: H() a a a a... m b b b... b n m n (9) hvor m og n angiver højete ekponent af i henholdvi tæller og nævner Poler og nulpunkter Poler og nulpunkter er kritike frekvener, om betemme vha. ytemet overføringfunktion H(). De bruge ved indtegning i et pol-nulpunktdiagram i -planen til at give en grafik bekrivele af det pågældende ytem egenkaber. Et givet ytem poler er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H () for X( ), er polerne identike med rødderne i H() nævnerpolynomium X(). De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med et kryd. Se Figur 4 Nulpunkterne for et givet ytem er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H() for Y() er nulpunkterne identike med rødderne i H() tællerpolynomium. De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med en cirkel. Se Figur 4 Ekempel. Et. orden ytem er givet ved følgende overføringfunktion: H() Ført betemme nulpunkterne: 4 4 5

26 Der er altå et dobbelt nulpunkt i. Derefter betemme polerne: 4 3 ± j3 Der er altå følgende to komplekt konjugerede poler: j3 * j3 Sytemet pol-nulpunktdiagram kommer dermed til at e ålede ud.: jϖ x j3 - σ x -j3 Figur 4: Pol-nulpunktdiagram Impulrepon En vigtig indikator for et ytem tabilitetforhold er ytemet impulrepon. Impulreponen h(t) er identik med et ytem udgangrepon y(t), hvi timulufunktionen er enhedpulenδ( t ). Enhedimpulen δ( t) er karakterieret ved følgende egenkaber: δ( t) dt og δ( t ) for t () 6

27 Enhedimpulen ekiterer altå kun for t og arealet under funktionen kurve er pr. definition. Enhedimpulen bruge om timulufunktion ved teoretik ytemanalye, da den Laplacetraformerede er meget impel: [ δ( t ) ] () Ved at bruge enhedimpulen om timulufunktion, dv. x( t) δ ( t), få følgende X( ) [ x( t)] [ δ( t)] () Udgangreponen i -domænet bliver dermed: Y( ) X( ) H( ) H( ) H( ) (3) Det er herefter muligt at betemme impulreponen h(t) ved inver Laplacetraformation: h( t) [ H( )] (4) Afhængig af impulreponen kan et ytem have en af de tre følgende tabilitettiltande. Se Figur 5. Stabilt ytem Ved et tabilt ytem går det impulrepon mod nul for t gående mod : h( t) for t (5) Polerne for tabile ytemer ligger alle i -planen ventre halvplan.. Marginalt tabilt ytem 7

28 Ved et marginalt tabilt ytem er impulreponen enten en fat DC-værdi eller ocillerer inuformet med kontant amplitude. Polerne for marginalt tabile ytemer ligger på -planen jω -ake. 3. Utabilt ytem Ved et utabilt ytem går impulreponen mod uendelig: h( t) for t (6) Polerne for et utabilt ytem ligger i -planen højre halvplan jϖ jϖ jϖ x x x σ σ σ h(t) h(t) h(t) t t t Figur 5: De tre tabilitettiltande: ) Stabilt ytem ) Marginalt tabilt ytem 3) Utabilt ytem. Øvert e polplacering, og nedenunder de tilhørende impulreponer Foldning Et meget anvendt værktøj til ytemanalye er foldning. For ethvert ytem med lineær og tidinvariant impulrepon h(t) kan ytemet udgangrepon y(t) beregne ved alle timulufunktioner x(t) vha. foldningintegralet: 8