Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736"

Transkript

1 Den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele Storgruppe 9736 Titel: Digital ignalbehandling Synopi: Projektperiode: P //98-9/5/98 Projektgruppe: 347 Deltagere: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien Vejledere: ørge Lindberg Suanne Flydtkjær Oplagtal: Sideantal: 8 ilag: Dikette Dette projekt omhandler digital ignalbehandling (DSP). Den generelle udvikling i elektronikindutrien, der betår i en overgang fra fremtilling af dedikeret hardware til anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, behandle. En række konekvener af denne udvikling underøge. Med udgangpunkt i kontruktionen af en digital mixer med en 3-bånd equalizer til PC øge det demontreret, at udviklingen medfører en række teknike fordele. På baggrund af erfaringerne med denne kontruktion overveje det, hvilke krav udviklingen tiller til metoder til udvikling af oftware. Det konkludere, at der er behov for at fokuere på udviklingen af nye metoder til oftwareudvikling.

2 Forord Nærværende krivele er en rapport udarbejdet af projektgruppe 347 om dokumentation for denne arbejde i p-projektperioden 998 på den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele. Vi takker Morten Lydorf og ørge Lindberg for det udmærkede projektenhed-kuru om Digital Signalbehandling. Læevejledning I rapporten vil henvininger til litteratur ke på følgende måde: [<forkortele>,. <ide>]. Værket, om forkortelen henvier til, kan finde i litteraturhenviningen. Hvi kilderne er internetider bliver de i rapporten refereret til på følgende måde: [<forkortele>]. Forkortelen henvier til en URL, om kan finde i kildehenviningen. Engelke fagudtryk og danke overætteler anvende, hvor det finde paende. Figurer, tabeller og ligninger er nummereret endimenionalt fortløbende hver for ig. Der er anvendt amerikank decimaltalangivele i grafer og tal fra MATLA. Peudokode angive på grå baggrund. Specielt teorikapitlerne om digital ignalbehandling anbefale læt i kronologik rækkefølge, da teorien i de tidligere kaptiler forudætte i de enere. Rapporten er udarbejdet af: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten Jenen Peter Korgaard Robert Stepien

3 Indholdfortegnele. INDLEDNING...6. PROLEMANALYSE...7. UDVIKLINGEN I ELEKTRONIKINDUSTRIEN Fra hardware til oftware Digital ignalbehandling Signalproceorer Teknike fordele og ulemper PC en Softwareudvikling AFGRÆNSNING OG PROLEMFORMULERING DIGITAL SIGNALEHANDLING TIDSKONTINUERT SYSTEMTEORI Sytem Fourierrækker Ekponentiel Fourierrække Fouriertranformation Fouriertranformationregler Komplekt frekvenpektrum LAPLACETRANSFORMATION S-planen Tranformationen Regler for Laplacetranformationer Overføringfunktioner i -domænet Poler og nulpunkter Impulrepon Foldning SAMPLINGSTEORI Sampling Nyquit-frekvenen TIDSDISKRETE SYSTEMER FIR-ytemer Enhedimpul Impul repon

4 4.4.4 Foldning Z-TRANSFORMATIONER Definition af z-tranformationen Overføringfunktionen Superpoition Inver z-tranformation Z-tranformation for ytemer med uendelig impulrepon Foldning og z-tranformationen Overføringfunktionen for ytemer med uendelig impulrepon FREKVENSRESPONSANASLYSE Introduktion Frekvenreponfunktionen Faefunktionen Grafik frekvenreponanalye Fortolkning af pol-nulpunktdiagrammet FIR-FILTRE Fordele Ulemper Differenligning Frekvenreponanalye Kontruktion af et FIR-filter eregning af koefficenter Vinduefunktioner MATLA DIGITAL MIXER SPECIFIKATIONER KONSTRUKTION AF FILTRENE Filterteknik Orden Inddeling af båndene Vinduefunktion De tre bånd PROGRAMDOKUMENTATION Analye Deign og implementering Tet rugervejledning

5 5.4 FORDELE VED DIGITAL SIGNALEHANDLING I PROGRAMMET Ændring af filterpecifikationer Ændring af kanalantal Tilføjning af nye effekter Ændring af brugerflade PERSPEKTIVERING KONKLUSION APPENDIKS A) DEN EKSPONENTIELLE NOTATIONSFORM FOR KOMPLEKSE TAL ) INVERS LAPLACE TRANSFORMATION VED PARTIELRØKSOPLØSNING C) FILTERKONSTRUKTION - IIR-FILTRE D) ILINEÆR Z-TRANSFORMATION Metoder til z-tranformation ilineær z-tranformation generelt Prewarping ordenkoefficienter ordenkoefficienter E) INVERS Z-TRANSFORMATION LITTERATUR- OG KILDELISTE...7 5

6 . Indledning DSP er en forkortele for det engelke Digital Signal Proceing, der på dank kalde digital ignalbehandling. DSP anvende i forbindele med redigering, detektering og generering af analoge ignaler, ved hjælp at digitale metoder. En af DSP en forcer er, at det benytter ig af generel hardware med pecifik oftware, hvor man eller er vant til dedikeret hardware. Derfor er man ogå inden for den enete årrække begyndt at anvende DSP på flere og flere områder; bl.a. inden for audio- og videobehandling. Det betyder, at man gradvit er begyndt at udvikle generel hardware med pecifik oftware, frem for pecifik hardware. Det er netop i denne udvikling nærværende projekt tager it udgangpunkt. Hidtil er al ignalbehandling foregået analogt og har delvit kabt et amfund, der var indrettet efter den analoge verden normer. Og det giver elvagt en række problemer, at kulle overgå til en verden, hvor der gøre brug af digitale ytemer. Udover die amfundmæige apekter, har der fra projektgruppen amtidigt lydt et ønke om at lave digital lydbehandling, del for at opnå kendkab til den teknike del af DSP, men ogå for at vie, hvorlede mulighederne er for at implementere forkellige dele af et DSP baeret ytem. 6

7 . Problemanalye. Udviklingen i elektronikindutrien.. Fra hardware til oftware Traditionelt blev analoge elektrike kredløb pecialfremtillet til at opfylde pecifikke mål. Skulle de anvende til andre formål eller blev pecifikationerne ændret bare en lille mule, måtte de tilpae ved rekontruktion af måke hele eller tore dele af kredløbene. Hardware fremtillet med et betemt mål for øje, kalde dedikeret hardware. De enere år er udviklingen i elektronikindutrien gået mod anvendelen af generelle hardwareløninger, der tilpae de pecifikke formål gennem oftware, altå ved programmering. Eller om Otto Vinter, leder af oftwareproceforbedringer ho rüel & Kjær Sound & Vibration Meaurement A/S, formulerer det: Det er nart kun elve tranduceren, om opfanger lyden eller vibrationerne og omætter dem til elektrike impuler, der er rigtig elektronik. Reten er PC, Window og C programmering [Hanon]. Han anlår, at 8 pct. af udviklingtiden går på programmering. [Hanon]. Udviklingen kylde i høj grad, at mikroelektronike komponenter ydeevne i forhold til prien har været kontant tigende de enete årtier. [ITcenter] Denne udvikling medfører ændringer for producenterne på følgende områder : Produktion At oftwaren integrere i elektronike løninger medfører, at programudviklere i tigende grad bliver en del af det nye produktionapperat. Komplekiteten og flekibiliteteten af udtyret til produktion af elektrike kredløb falder dratigt, da al tilpaning foretage ved programmering. Hardwareløningerne kan maeproducere om enkelte generelle modulopbyggede løninger, i tedet for flere forkellige dedikerede løninger. 7

8 Arbejdmiljø Det fyike arbejdmiljø ændrer ig ikke. Udviklingen af elektrike kredløb er gennem en del år foregået ved hjælp af computere. Peronale/uddannele Udviklerne kal ikke længere tegne diagrammer og vælge komponenter, men programmere. [Hanon]. Dette vil enten kræve anættele af nyuddannede dataingeniører, dataloger, eleltronikingerniører ov., eller efteruddannele af gammelt peronale. Udviklingmetoder Der anvende andre udviklingmetoder til fremtilling af oftware end til fremtilling af hardware. Udviklingen af programmer er ikke å moden en diciplin om elektronik. Deuden er metoderne under forandring. Gennem de idte ti år er analye og deign gået fra at være truktureret til at være objektorienteret. Deuden påpeger Otto Vinter, at udviklingen ikke bør kille i en hardware-del og en oftware-del men amle - metoderne til en ådan udvikling ekiterer endnu ikke. [Hanon] Økonomi Økonomik er der flere apekter. Et af de vigtigte er den amlede fortjenete, der i dag er ved produktion af DSP ytemer. Problemet er for lav profit! [Sound Pro] På trod af lave materiale-omkotninger, er der tenden til at nettofortjeneten bliver lav, idet der påføre nye udgiftpoter, åom online-brugerhjælp, opdatering af oftware o.lign... Digital ignalbehandling Digital ignalbehandling har parallelt med den generelle udvikling i elektronikindutrien overtaget en tadig tørre dele af den analoge ignalbehandling. Digital ignalbehandling kan impelt bekrive om: - digitalt at behandle, detektere eller generere analoge ignaler. 8

9 Signalerne kan være elektromagnetik tråling eller f.ek. mekanike bølger opfanget eller udendt til omverdenen. Selve den digitale behandling foregår i ignalproceorer. Opfange ignalerne kal de analoge, tidkontinuerte ignaler, forinden omdanne til digitale, tiddikrete, ignaler. Dette gøre ved ampling - konvertering fra antalog til digital (A/D). Af typike traditionelle anvendeleområder kan nævne: Elektronik filtrering og equalizering Spektrumanalye Datatranmiion Spredt pektrum radiokommunikation Proceregulering og -tyring Tet- og måleudtyr Lagring og behandling af HIFI- og videoignaler Talegenkendele og taleyntee [Hüche,. 5]. ranchen er i en rivende udvikling, og der bliver tadig flere anvendeleområder. De her nævnte tammer fra en DSP-bog fra og er muligvi ikke fyldetgørende...3 Signalproceorer Signalproceoren udfører elve den digitale ignalbehandling, der betår i en algoritme. Kravet til proceoren, det, der gør den velegnet om ignalproceor, er den evne til at udføre aritmike beregninger, multiplikationer og additioner, med tor hatighed og nøjagtighed. Hatigheden er pecielt en kritik faktor i ytemer, der kal fungere i realtid. De realiere typik om en integreret, eller delvit integreret, ignalproceorkred, der indeholder multiplier, adder, accumulator, program- og lagerhukommele plu input- og 9

10 outputbuffere. [Hüche,. 9]. I dag programmere ignalproceorerne i C, i modætning til tidligere, hvor de blev programeret i aembler [Hanon]...4 Teknike fordele og ulemper Overgangen, fra den dedikerede hardware til generelle hardwareløninger, tilpaet de enkelte opgaver gennem oftwaren, kan tilkrive en række uomtvitelige teknike fordele i forbindele med digitale ignalbehandlingytemer: Kontrolleret ignal-tøjforhold og dynamikområde Die kan betemme, og kontrollere, gennem digitale ytemer bitantal, hvorimod de i analoge ytemer er mere ukontrollerbare. Nemmere/billigere pecifikationændringer Hele elektrike kredløb, printplader, kal ikke omkontruere, hvilket kan være en langommelig og omkotningkrævende proce ammenlignet med ændringer i oftware. Udgifterne til lønninger og materialer bliver ålede reduceret. Nemmere/billigere fejlretning Serier af produkter kal ikke nødvendigvi kaere, men blot oftwareopgradere ved fejl. Eller gælder amme fordele om ved pecifikationændringer. Hardwaren kan elvfølgelig tadig være behæftet med fejl. Minimering af problemer i forbindele med komponentdrift og komponenttolerance Elektrike komponenter karakteritika kan være mere eller mindre temperaturafhængige og ælde. Med begrænning af hardwareomfanget, dv. komponentantal, mindke die problemer. Kraftig reduktion af hardwareomfang En tørre dele af hardwaren bliver, ved overgangen til digital ignalbehandling, mikroproceorer, og hardwareomfanget reducere ålede.

11 Ingen trimning af produktet De varierende karakteritikker for de forkellige komponenter, der måtte indgå i et analogt kredløb, kan nødvendiggøre en trimning af produktet. Alt efter produktet foretage tidkrævende trimning manuelt af peronale. Realiering af analogt ikke realierbare funktioner landt andet adaptive ytemer kan være problematike at realiere analogt. Filtre af meget høj orden vil gøre analoge ytemer ydert kompleke, eller helt umulige. I digital ignalbehandling er filterorden udelukkende et pørgmål om proceorkraft. Mere intuitive brugerflader rugerfladen kan kontruere traditionelt med fyike drejekiver og knapper, men kan ogå realiere gennem en kærmbaeret brugerflade, om f.ek. Window, med mulighed for en mere intuitiv betjening. Den kan, alt efter hardwarekonfiguration, tilpae forkellige målgrupper [Hanon]. Et par fænomener, der må betegne om ulemper ved digital ignalbehandling, er aliaering og kvantieringtøj. [Hüche,. 5]...5 PC en Pc-teknologien er et markant ekempel på vækten af generelle hardwareløninger, der tilpae pecielle formål ved hjælp af oftware, og mange virkomheder mærker konekvenerne af pc en fremmarch. Det gælder f.ek. den danke måleintrumentindutri. Hvor man i denne indutri tidligere udviklede egne apparater helt fra bunden, og derfor havde en unik kompetence, pecielt indenfor hardware-deign, om vankeligt lod ig efterligne, er det nu pc er, der udgør fundamentet i moderne måleintrumenter. Produktudvikling er derfor i høj grad blevet oftwareudvikling på pc-platforme. Det betyder, at tore dele af produkterne hardwaremæigt minder mere og mere om hinanden. Det er både en fordel, idet produkterne lettere kan udvikle på amme platform, og en ulempe, da den pecielle teknologike kompetence alene er knyttet til enorerne, der opamler måledata [Ramkov].

12 Den tigende integration af pc-teknolgien i måleintrumenter kan medføre, at kunderne venter amme tærkt faldende prier, om for andre pc-produkter. Denne forventning kan udløe et pre på de meget høje avancer på det enkelte apparat, der traditionelt er i denne indutri [Ramkov]. Ikke alle måleintrumentvirkomheder har været i tand til at omtille ig til de nye krav. Reultatet er mange teder tagnation eller fald i omætningen. Udviklingen har mange teder medført udkiftning af ledele og ejere, heraf nogle til udenlandke invetorer, inden for de idte få år.[ramkov]...6 Softwareudvikling Det ovenfor bekrevne ekempel er udtryk for nogle generelle tendener. Erhvervlivet befinder ig om følge af die tendener midt i en trukturændring, idet f.ek. elektronike apparater funktion og dermed virkomhederne konkurrenceevne, i et hidtil uet og tadig tigende omfang betemme af den oftware, apparaterne er forynet med[itcenter] Som nævnt angiver Otto Vinter, at 8 pct. af udviklingtiden går til oftware. Leif Chritianen, projektchef ho GN Nettet, Elmi diviion, anlår tallet til at være 6-7 pct. afhængigt af hvilket udtyr vi taler om [Hanon]. Dette giver anledning til vie problemer, der er forbundet med udviklingen af programmer. Chritianen iger, at det ikke er ualmindeligt med en overkridele af perontiden på op til 5 pct. [Hanon]. Ifølge en rapport fra forkningminiteriet medgår over halvdelen af udviklingomkotningerne, i mange virkomheder, til oftware [ITcenter]. Metoderne til oftwareudvikling er ikke å modne om de, der anvende til udvikling af hardware. Det e blandt andet af, at der ifølge rapporten fra forkningminiteriet er et behov for forbedret produktivitet i udviklingen [ITcenter]. Virkomhederne ledeler har heller ikke indarbejdet metoderne [Hanon]. Store oftwareprojekter kræver ærlige kompetencer, om erhvervlivet endnu ikke beidder [ITcenter].

13 Tidligere har oftwareudvikling hovedageligt betået i udvikling af adminitrative ytemer. Den tigende andel af oftwareudvikling i forbindele med elektronikytemer, f.ek. intrumenter og måleapparatur, har dog ikke medført problemer, der adkiller ig fra de allerede kendte, i forbindele med udvikling af adminitrative ytemer. Den tørte forkel betår i, at elektronikytemerne i højere grad kal afvikle i realtidammenhæng, hvorimod de adminitrative ytemer har flere databaer. [Hanon] En del af problemerne med oftwareudvikling, i forbindele med elektronikytmer, tilkriver Otto Vinter, at virkomheder forøger at dele udviklingen op i to adkilte dele. Dette, mener han, bevirker, at koordineringen mellem delene ikke bliver god nok. Der kal være et fælle anvar for, at produktet bliver færdigt til tiden. [Hanon]. Han mener endvidere, at der mangler gode oftwareudviklere. Det er pecielt igennem de indledende faer af udviklingen, dv. faen frem mod en pecifikation, at problemerne kabe, fatlår rapporten fra forkningminiteriet. Den påpeger endvidere, at Omfanget af forkningindaten på Danmark univeriteter og højere lærerantalter på oftwareområdet er langtfra øget i amme udtrækning om erhvervlivet indat på området. Samtidig har der været en tenden til, at mange af univeritetmiljøerne forkning inden for oftware ikke har været rettet mod de problemer, om erhvervlivet kæmper med. Kontakten mellem univeriteterne og de godkendte teknologike erviceintitutter [..] på oftwareområdet har ogå traditionelt været ret pinkel [ITcenter]. 3

14 3. Afgrænning og problemformulering En tadig tørre del af udviklingen i elektronikindutrien er oftwareudvikling. Denne udvikling er behæftet med både muligheder og begrænninger. Der er behov for at tyrke oftwareudviklingmetoder, pecielt hvad angår de tidlige faer af oftwareudviklingen og der er behov for bedre oftwarekvalitet, karakterieret ved overlegen ydeevne, lang levetid, udtrakt genbrug, elegant deign, brugerglæde, fejlfrie og effektive programmer amt problemfri vedligeholdele [ITcenter]. Med udgangpunkt i vore analye vil vi forøge at demontrere vie teknike fordele om overgangen fra analog til digital ignalbehandling har. Vi vil kontruere en digital lydmixer med følgende pecifikationer: indgange, udgang. Lyden fra de to indgange kal behandle i to eperate kanaler med følgende effekter: Gain 3 bånd EQ Noie Gate Volume VU-meter De to kanaler kal herefter mixe vha. en crofader. Sidt i ignalvejen kal der være en amlet volume-regulering. Mixeren kal fungere i realtid, og kal benytte lydkort af typen Sound later 6 til input/output Med baggrund i kontruktionen af mixeren vil vi forøge at vie, hvor enkelt det er at ændre pecifikationerne for denne ved hjælp af relativt imple ændringer i programmet. Som programmeringprog har vi valgt Pacal, om vi har et godt forudkendkab til. 4

15 Da der i elektronikindutrien er et behov for, at oftwareudviklingen foregår metodik, har vi tiltræbt en metodik udvikling af programmet. Som metode har vi valgt elementer fra metoden Struktureret Programudvikling (SPU). Dette valg er foretaget på baggrund af en vurdering af vore reourcer, da vi havde brug for en let tilgængelig metode. Vi er bekendt med at SPU ikke længere er tidvarende, idet man i dag fortrinvi benytter Objektorienteret Programudvikling. Problemløningfaen betår af to dele: en del omhandlende digital ignalbehandling og en omhandlende fremtillingen af mixeren. 5

16 4. Digital ignalbehandling I fremtillingen af hele kapitlet om digital ignalbehandling er Erik Hüche Digital Signalbehandling [Hüche] og Jame H. McClellan, Ronald W. Schafer og Mark A. Yoder: DSP Firt [DSP Firt] anvendt. 4. Tidkontinuert ytemteori 4.. Sytem Et ytem er et elektronik kredløb, en formel eller en funktion, der behandler ignaler. Se Figur. x(t) Sytem h(t) y(t) Figur : Sytem, med input x(t) og output y(t). Sammenhængen mellem x(t) og y(t) kalde h(t), impulreponen. Ekempelvi er et lavpafilter et ytem, der behandler indgangignalet x(t), ved kun at lade de lave frekvener paere til udgangignalet y(t). Sytemet kan både realiere om et analogt elektrik kredløb, paivt eller aktivt, og digitalt om en formel eller funktion. Sammenhængen mellem indgangignalet x(t) og udgangignalet y(t) kan bekrive med impulreponen h(t) i tiddomænet, eller f.ek. med den kompleke overføringfunktion H(ω) i frekvendomænet. I gennemgangen af teorien bag DSP, vil vi begræne o til ytemer med følgende egenkaber: Linearitet: Et ytem er lineært, hvi ax (t) bx (t) ay (t) by (t) () 6

17 Dette varer til, at ytemet opfylder både homogenitetprincippet x(t) y(t) ax(t) ay(t) () og uperpoitionprincippet hvi x(t) y (t) og x (t) y(t) gælder følgende, hvi uperpoitionprincippet er opfyldt: x (t) x (t) y (t) y(t) (3) Tidinvarian: Et tidinvariant ytem er karakterieret ved, at det parametre er uafhængige af tiden. Sytemet vil altå opføre ig en til tiden t om til tiden t : x(t) y(t) x(t t) y(t t) (4) Kaualitet: Et ytem er kaualt, hvi det ikke afgiver udgangrepon, før det har fået tilført et indgangignal. 4.. Fourierrækker Enhver periodik funktion, f(t), kan krive om en Fourierrække, om er en uendelig um af inu- og coinukompoanter med forkellige amplituder. Dette kan notere på kort form om m a co(mωt) b in(mωt (5) m m ) Sinu- og coinukompoanterne har hver en frekven, om er et heltalmultiplum af grundfrekvenen ω, ogå kaldet den m te harmonike af grundfrekvenen. Koefficienterne a m og b m kalde reelle Fourierkoefficienter, og angiver den numerike værdi af inu- og 7

18 coinukompoanterne amplitude. Ønke et ukendt periodik ignal bekrevet om en Fourierrække, kan Fourierkoefficienterne a m og b m beregne med følgende integraler, hvor periodetid: T er det periodike ignal π f ω T T a f (t) dt (6) T T T a m f (t) co (mωt) dt (7) T T T b m f (t) in (mωt) dt (8) T 4..3 Ekponentiel Fourierrække Indætte den ekponentielle notationform for inu- og coinuignalet i (5), få: f (t) a m m m m c (a m (e e m jmωt jb jmωt e m c jmωt )e * m e jmωt ) jmωt bm j (e (a m jmωt e jb m jmωt )e ) jmωt (9) * hvor c (a jb ) og c (a jb ) er de kompleke Fourierkoefficienter. m m m m m m Da c * m c m kan ligningen forkorte til: jmωt j( m) ωt jmωt f (t) c me c me c me () m m Denne ligning repræenterer den ekponentielle Fourierrække. Det periodike ignal er her 8

19 bekrevet af en um af kompleke elementarvingninger med amplituden cm, faen φm (hvor c m jφm c m φ m c m e ) og frekvenen ω ± m. De kompleke Fourierkoefficienter c m kan beregne med integralet c T jmωt m f (t) e dt () T T hvor m,, 4..4 Fouriertranformation Med Fourierrækker var det kun muligt at bekrive periodike funktioner. Med Fouriertranformation indføre en metode til at bekrive aperiodike ignaler. Denne ignaltype gennemløber kun amme forløb én gang i tidintervallet < t <, derfor kan ignalet opfatte om et periodik ignal med uendelig periodetid T. Det periodike ignal frekvenpektrum er dikret. Aftanden mellem pektrallinierne er ω πf π T. Da periodetiden for et aperiodik ignal går mod uendelig, må aftanden mellem pektrallinierne gå mod. Altå er frekvenpektret for et aperiodik ignal ikke dikret, men kontinuert. Den dikrete frekvenvariabel mω ertatte med en kontinuert variabel ω, ligeom de kompleke Fourierkoefficienter c m ertatte af en kontinuert funktion F(ω). Hvi vi indætter de nævnte ændringer i () får vi Fouriertranformationudtrykket (Forward Fouriertranform): F( ω) f (t)e jωt dt I[f (t)] () hvor F(ω) er en komplek funktion, og kan afbilde om et amplitudepektrum (lige funktion) og et faepektrum (ulige funktion). Det invere Fouriertranformationudtryk krive om 9

20 f (t) π F( ω)e jωt dω I [F( ω)] (3) 4..5 Fouriertranformationregler Regel f(t) F(ω) F af (t) bf (t) af ( ω) bf ( ω) F (t t ) f j ω t F( ω)e F3 t f (t)e j ω F( ω ω ) F4 f(t) f (t τ) dτ F ( ω) F ( ω) F5 (t) f (t) f F ( ω) F ( ω Ω) dω Tabel : Tabel over Fouriertranformationregler. [Hüche,. 9]. F: Linearitetreglen Fouriertranformationen er en lineær proce. Superpoitionbetingelen er opfyldt og der er tale om en homogen proce. Derfor kan en um tranformere ledvi, og koefficienter (a og b) går uændret igennem tranformationen. F: Tidforkydningreglen En tidforkydning af f(t) på t ekunder medfører en faeforkydning. F3: Frekvenforkydningreglen En multiplikation i tiddomænet med en komplek elementarvingning med frekvenen ω medfører en frekvenforkydning på ω. F4: Tiddomænefoldning Foldning af to tidfunktioner varer til, at de to tidfunktioner pektrumfunktioner multiplicere frekven for frekven.

21 F5: Frekvendomænefoldning: Multiplikation af to tidfunktioner varer til foldning af de to ignaler pektrumfunktioner Komplekt frekvenpektrum Da et periodik ignal, om nævnt ovenover, betår af kompleke elementarvingninger med frekvenen mω, hvor ω er grundfrekvenen og m er heltal mellem - og, vil ignalet frekvenpektrum være dikret. Et ådant pektrum betår af både et amplitudepektrum og et faepektrum, da c m er kompleke koefficienter. I amplitudepektret tegne c m om funktion af frekvenen. I faepektret tegne φ m om funktion af frekvenen. Se Figur Figur : Dikret amplitude- og faepectrum for et periodik ignal. [Hüche,. 75]. Det e at amplitudepektret er en lige funktion ( f (x) f ( x)) men faepektret er ulige ( f (x) f ( x)).

22 4. Laplacetranformation Laplacetranformation er en vigtig tranformationmetode, om bruge til at overføre en tidfunktion, f(t), fra tiddomænet til -domænet (Laplacedomænet). 4.. S-planen Til Laplacetranformation bruge en komplek frekvenvariabel,, om er defineret på følgende måde: σ jω (4) hvor σ angiver den reelle frekvenvariabel og jω angiver den imaginære del. -planen er et todimenionalt komplekt talplan, om grafik er ud på følgende måde, Figur 3: jϖ σ Figur 3: -planen. 4.. Tranformationen Laplacetranformation kan bruge ved kauale tidfunktioner, dv. funktioner, hvor: f(t) for t < f(t) er defineret for t >

23 f(t) kan være defineret for t, men den behøver ikke at være det. Laplacetranformation er defineret ved Laplaceintegralet, hvi integrationgræne går fra til : F() f (t) e t dt (5) F() er ålede den Laplacetranformerede f(t), hvilke ogå kan udtrykke på følgende måde: F() [f(t)] (6) Tidfunktionen f(t) er ved Laplacetranformationen blevet overført fra tiddomænet til - domænet. Modat kan man ved inver Laplacetranformation fremtille tidfunktionen f(t), hvi man kender F(). Denne tranformation udtrykke på følgende måde: f(t) - [F()] (7) Der er lavet forkellige tabeller med Laplacetranformationpar, om letter omkrivningproceen. Det er dog ikke altid muligt at bruge die tabeller til inver Laplacetranformation. Man er ålede nød til at foretage den invere tranformation ved partielbrøkopløning (Se Appendik ) Regler for Laplacetranformationer Generelt gælder der en række regler, om bruge ved Laplacetranformationer: 3

24 Regel f(t) F() L af (t) bf (t) af () bf () L f(t-t ) t F() e L3 L4 L5 f(t) t e F(- ) d dt f(t) F( ) f( t) dt F() Tabel : Regler for Laplacetranformation. [Hüche,. 97]. L er liniaritetreglen, om angiver at Laplacetranformationen opfylder uperpoitionprincippet. En um af tidfunktioner kan dermed tranformere ledvi uden at eventuelle koefficienter ændre. L er tidforkydningreglen, om iger, at en tidforinkele af tidfunktionen f(t) på t ekunder varer til at multiplicere F() med e t. L3 er frekvenforkydningreglen, om angiver, at multiplikation af tidfunktionen f(t) og den kompleke elementarvingning e t nulpunkter i -planen med værdien. forårager en forkydning af F() poler og L4 er differentiationreglen. Ifølge denne regel varer differentiation i tiddomænet til at multiplicere den Laplacetranformerede med. L5 er integrationreglen, om iger, at integration i tiddomænet varer til at dividere den Laplacetranformerede med Overføringfunktioner i -domænet Hvi man har den Laplacetranformerede til en kendt timulufunktion X(), og kender ytemet udgangrepon i -domænet Y(), kan man betemme ytemet overføringfunktion i -domænet H() på følgende måde: 4

25 H() Y ( ) X( ) (8) Generelt vil H() have følgende form: H() a a a a... m b b b... b n m n (9) hvor m og n angiver højete ekponent af i henholdvi tæller og nævner Poler og nulpunkter Poler og nulpunkter er kritike frekvener, om betemme vha. ytemet overføringfunktion H(). De bruge ved indtegning i et pol-nulpunktdiagram i -planen til at give en grafik bekrivele af det pågældende ytem egenkaber. Et givet ytem poler er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H () for X( ), er polerne identike med rødderne i H() nævnerpolynomium X(). De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med et kryd. Se Figur 4 Nulpunkterne for et givet ytem er defineret om de værdier af, for hvilke H(). Da H() for Y() er nulpunkterne identike med rødderne i H() tællerpolynomium. De afbilde i et pol-nulpunktdiagram med en cirkel. Se Figur 4 Ekempel. Et. orden ytem er givet ved følgende overføringfunktion: H() Ført betemme nulpunkterne: 4 4 5

26 Der er altå et dobbelt nulpunkt i. Derefter betemme polerne: 4 3 ± j3 Der er altå følgende to komplekt konjugerede poler: j3 * j3 Sytemet pol-nulpunktdiagram kommer dermed til at e ålede ud.: jϖ x j3 - σ x -j3 Figur 4: Pol-nulpunktdiagram Impulrepon En vigtig indikator for et ytem tabilitetforhold er ytemet impulrepon. Impulreponen h(t) er identik med et ytem udgangrepon y(t), hvi timulufunktionen er enhedpulenδ( t ). Enhedimpulen δ( t) er karakterieret ved følgende egenkaber: δ( t) dt og δ( t ) for t () 6

27 Enhedimpulen ekiterer altå kun for t og arealet under funktionen kurve er pr. definition. Enhedimpulen bruge om timulufunktion ved teoretik ytemanalye, da den Laplacetraformerede er meget impel: [ δ( t ) ] () Ved at bruge enhedimpulen om timulufunktion, dv. x( t) δ ( t), få følgende X( ) [ x( t)] [ δ( t)] () Udgangreponen i -domænet bliver dermed: Y( ) X( ) H( ) H( ) H( ) (3) Det er herefter muligt at betemme impulreponen h(t) ved inver Laplacetraformation: h( t) [ H( )] (4) Afhængig af impulreponen kan et ytem have en af de tre følgende tabilitettiltande. Se Figur 5. Stabilt ytem Ved et tabilt ytem går det impulrepon mod nul for t gående mod : h( t) for t (5) Polerne for tabile ytemer ligger alle i -planen ventre halvplan.. Marginalt tabilt ytem 7

28 Ved et marginalt tabilt ytem er impulreponen enten en fat DC-værdi eller ocillerer inuformet med kontant amplitude. Polerne for marginalt tabile ytemer ligger på -planen jω -ake. 3. Utabilt ytem Ved et utabilt ytem går impulreponen mod uendelig: h( t) for t (6) Polerne for et utabilt ytem ligger i -planen højre halvplan jϖ jϖ jϖ x x x σ σ σ h(t) h(t) h(t) t t t Figur 5: De tre tabilitettiltande: ) Stabilt ytem ) Marginalt tabilt ytem 3) Utabilt ytem. Øvert e polplacering, og nedenunder de tilhørende impulreponer Foldning Et meget anvendt værktøj til ytemanalye er foldning. For ethvert ytem med lineær og tidinvariant impulrepon h(t) kan ytemet udgangrepon y(t) beregne ved alle timulufunktioner x(t) vha. foldningintegralet: 8

Rehabilitering og Palliation ved kræft

Rehabilitering og Palliation ved kræft Rehabilitering og Palliation ved kræft Implementeringplan for forløbprogram for rehabilitering og palliation i forbindele med kræft. For hopitaler, kommuner og almen praki i Region Hovedtaden Godkendt

Læs mere

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar - 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy

Læs mere

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen: Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,

Læs mere

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guide Januar 2015 få billigere el kift elelkab og par en formue Se flere guider på bt.dk/plu og b.dk/plu 2 SKIFT ELSELSKAB SPAR EN FORMUE INDHOLD SIDE 4 Mange kan core hurtige og nemme penge ved at kifte

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

Planstrategi. s s. Hverdag og fællesskab i bevægelse

Planstrategi. s s. Hverdag og fællesskab i bevægelse Plantrategi 2015 Hverdag og fællekab i bevægele Hverdag og fællekab i bevægele Byrådet i Egedal har en viion for kommunen fremtidige udvikling. Viionen handler om, at alle kal have en god og velfungerende

Læs mere

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation

SCANTRUCK A/S. SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. s. 3 Nyt samarbejde s. 4-5 Salg- og marketingafdelingen s. 6-7 Bejstrup Maskinstation SCANTRUCK A/S SCANTRUCK AVISEN z NR. 1 z JANUAR 2008. 3 Nyt amarbejde. 4-5 Salg- og marketingafdelingen. 6-7 Bejtrup Makintation Forhandler af CASE, MANITOU, ATLAS og McCLOSKEY SCANTRUCK A/S Peter Daugbjerg

Læs mere

Behovsstyret ventilation

Behovsstyret ventilation OVERSIGT Behovtyret ventilation Topprodukterne til behovtyret ventilation! www.wegon.com Behovtyret ventilation Behovtyret ventilation giver høj komfort og lave driftomkotninger Når rummet benytte, tyre

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Underøgele af forældre brugerhed med dagilbud i kommun Apr. 2012 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommun, om de pørgmål, der

Læs mere

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid

18 referencer. Energibesparende løsninger til renovering af varme- og kølingssystemer. varme.danfoss.dk. med tilbagebetalingstid MAKING MODERN LIVING POSSIBLE Energibeparende løninger til renovering af varme- og kølingytemer 18 referencer med tilbagebetalingtid Beregninger vier, hvor hurtigt din invetering vil blive tilbagebetalt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Optimeret slæderegulering

Optimeret slæderegulering Forord Denne rapport dokuenterer arbejdet ed projektet Optieret læderegulering på 6. eeter. Projektet er udført i perioden februar 003 til aj 003 på Aalborg univeritet, Intitut for Elektronike yteer, Afdeling

Læs mere

Indholdsfortegnelse - 1 udgave

Indholdsfortegnelse - 1 udgave Indholdfortegnele - 1 udgave S. 01/1 udg. Stamdata Navn: Adree: hl-repro a/ Reprovej 2-4, 8722 Hedented, Bagværd Torv 12, 3 al, 2880 Bagværd Telefon: 7589 1911-7674 1981 e-mail: Web-ted: hl@hl-repro.dk

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM. En håndbog om SEJL TRIM. En håndbog om sejltrim. Stuart H. Walker

Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM. En håndbog om SEJL TRIM. En håndbog om sejltrim. Stuart H. Walker 1 Stuart H. Walker EN HÅNDBOG OM SEJLTRIM En håndbog om En håndbog om ejltrim SEJL TRIM Stuart H. Walker 2 Andre bøger af Stuart H. Walker The Technique of Small Boat Racing (ed.) The Tactic of Small Boat

Læs mere

ARBEJDSPORTFOLIO. 1. hovedforløb. mia phillippa fabricius

ARBEJDSPORTFOLIO. 1. hovedforløb. mia phillippa fabricius ARBEJDSPORTFOLIO 1. hovedforløb mia phillippa fabriciu Out of Office ikoner, november 2014 Idékiter Det færdige reultat af ikonerne Out of Office ikoner, november 2014 I mit praktikophold ho MediaXpre

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai

vi.iq!suodsai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai 4 vi.iq!uodai 5LIIMOA6 )1ÅOM4N uaai r 4. Procebekrivele 8 2. Stamolyninger 5 3.3 Strategi 7 Q 3. Præentation af virkomheden 6 3.2 Kernekometencer 7 3.1 Ledele og organiering 6 -b 1. Forord med ledelen

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Hvor lang tid varer et stjerneskud?

Hvor lang tid varer et stjerneskud? Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den

Læs mere

Detektionsgraenser og isotopidentifikation

Detektionsgraenser og isotopidentifikation INlSmf 6 DET FJERDE NORDISKE RADIO0KOLOGISEMINAR 27. FEBRUAR. MARTS 985 GOL, NORGE Detektongraener og otopdentfkaton Sven Poul Ntlen Foraganlaeg R» DK4000 Roklde INDLEDNING Ved det nordke mnemnar 67 februar

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

D-Star. En moderne kommunikations form

D-Star. En moderne kommunikations form D-Star En moderne kommunikations form Indhold Problemformulering... 2 Starten på D-Star... 3 Om D-Star nettet... 4 Udstyr til D-Star... 8 Kilde angivelse... 10 Konklusion... 11 1 Problemformulering Jeg

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Grønt domicil Ellebjergvej 50-52, 2450 København SV

Grønt domicil Ellebjergvej 50-52, 2450 København SV Grønt domicil llebjergvej 50-52, 2450 København SV 1 LLRO Alt under ét tag ARKITKTONISK UDTRYK OG RKRATIV KVALITT I OMRÅDT Ifølge den ny lokalplan moderniere hele området ved Valby Hallen, når Grøntorvet

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Beregninger på digitale signaler

Beregninger på digitale signaler KAPITEL NI Beregninger på digitale signaler Et digitalt signals værdier kunne repræsenteres ved tal med et endeligt antal cifre (med endelig præcision ). Dette krav er en naturlig følge af, at digital

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

1 Ellebro - Ellebjergvej 50-52, 2450 København SV

1 Ellebro - Ellebjergvej 50-52, 2450 København SV 1 llebro - llebjergvej 50-52, 2450 København SV llebro en ejendom med omtanke Det arkitektonike udtryk og udvikling af ejendommen ydre arealer er løftet af Henning Laren Architect, ålede at ejendommen

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2008-2012. Maj 2008

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2008-2012. Maj 2008 Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Quizpillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løninger til ekaenopgaver på fyik A-niveau 008-01 Maj 008 Opgave 1: Geoterik anlæg a) Ved at uere de to effekter til en alet

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000

Kapitel 9. Optimering i Microsoft Excel 97/2000 Kapitel 9 Optimering i Microsoft Excel 97/2000 9.1 Indledning... 164 9.2 Numerisk løsning af ligninger... 164 9.3 Optimering under bibetingelser... 164 9.4 Modelformulering... 165 9.5 Gode råd ommodellering...

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Piano Tuning & String Analyzing Tool

Piano Tuning & String Analyzing Tool Piano Tuning & String Analyzing Tool Læs mig indeholder oplysninger om bedst brug af sitet samt oplysninger om Piano Tuning & String Analyzing Tool, operativsystemer og lydkort. Programmet vil herefter

Læs mere

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Løsninger til OPGAVER I FYSIK A-NIVEAU 2013-udgaven

Løsninger til OPGAVER I FYSIK A-NIVEAU 2013-udgaven Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Quizpillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løninger til OPGAVER I FYSIK A-NIVEAU 01-udgaven Opgave V1 ide 5: Effektfuld laer a) Energien af de enkelte fotoner betee:

Læs mere

Lokalplan nr. 351 Bolig- og erhvervsområde, Friland ved Feldballe,Tredje etape

Lokalplan nr. 351 Bolig- og erhvervsområde, Friland ved Feldballe,Tredje etape Bolig- og erhvervområde, Friland ved Feldballe,Tredje etape Kommuneplantillæg nr. 11, til Syddjur Kommuneplan 2009 Yderligere information kan få ho: SYDDJURS KOMMUNE Hovedpotadree: Hovedgaden 77 8410 Rønde

Læs mere

De fleste kender den typiske RIAA forstærkers frekvensgang(rød). Her er også vist dens fasegang (grøn). (simuleret)

De fleste kender den typiske RIAA forstærkers frekvensgang(rød). Her er også vist dens fasegang (grøn). (simuleret) Fasedrejning og dens betydning for lyden Hvad er fasedrejning? Hvis vi lige starter med den hardcore teori, så er fasedrejning en forskydning af strøm i forhold til spænding. Det opstår i spoler og kondensatorer,

Læs mere

ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS REFERENCELABORATORIUM FOR STØJMÅLINGER

ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS REFERENCELABORATORIUM FOR STØJMÅLINGER ORIENTERING FRA MILJØSTYRELSENS MÅLEUDSTYR HOS DE GODKENDTE LABORATORIER Orientering nr. 3 Ole F. Carlsen/Torben Holm Pedersen 2-7-19 OVERSIGT OVER MÅLEUDSTYR LYDTRYKMÅLING FFT-ANALYSE BÅNDOPTAGELSE OKTAVANALYSE

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Løsninger til Opgaver i fysik A-niveau Fysikforlaget 2007 (blå bog)

Løsninger til Opgaver i fysik A-niveau Fysikforlaget 2007 (blå bog) Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Løninger til Opgaver i fyik A-niveau Fyikforlaget 007 (blå bog) Opgave V1 ide 5: Effektfuld laer a) Energien af de enkelte fotoner betee: 4 8 6,66 10 J,9979 10

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Audioeffekter Datateknik P3-projekt rapport Gruppe 350 Aalborg Universitet 16. januar 2005

Audioeffekter Datateknik P3-projekt rapport Gruppe 350 Aalborg Universitet 16. januar 2005 Audioeffekter Datateknik P3-projekt rapport Gruppe 350 Aalborg Universitet 16. januar 2005 Institut for elektroniske systemer Fr. Bajers Vej 7 Telefon 96 35 86 00 http://www.ies.aau.dk Titel: Tema: Audioeffekter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Halsslynger. Tekniske målinger af halsslyngers kvalitet

Halsslynger. Tekniske målinger af halsslyngers kvalitet Halsslynger Tekniske målinger af halsslyngers kvalitet Side 2 af 21 Indhold 1. Forord... 3 2. Målinger... 3. Beskrivelse af halsslynger... 3.1 HearIt Mobile... 3.2 HearIt all... 3.2.1 Base enheden... 3.2.2

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Geometrisk Optik. Teori og forsøg

Geometrisk Optik. Teori og forsøg Geometrik Optik Teori og orøg Køge Gmaium 004-005 Ole Witt-Hae Idold Kap. Geometrik Optik.... Strålegage i toer.... relekio i et plat pejl... 3. elekio i et kokavt ulpejl... 4. elekio i et kovekt ulpejl...6

Læs mere

03-10-2012 side 1. Billeddannelsen. Anne Sofie Nielsen. UDDANNELSER I UDVIKLING www.ucl.dk

03-10-2012 side 1. Billeddannelsen. Anne Sofie Nielsen. UDDANNELSER I UDVIKLING www.ucl.dk 03-10-2012 side 1 Billeddannelsen Anne Sofie Nielsen 03-10-2012 side 2 Dataopsamling (Data acquisition) Slice by sice (sekventiel) Volumen (Helical eller spiral) 03-10-2012 side 3 Seeram 03-10-2012 side

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C PEJE (Pernille

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere