Projekt 1.3 Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 1.3 Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne"

Transkript

1 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Introduktion Kontinuitet er et betydeligt sværere begreb at få styr på end differentiabilitet Det skyldes, at differentiabilitet er en finere egenskab, således at klassen af differentiable funktioner er meget mindre omfattende, end klassen af kontinuerte funktioner I kapitel har vi præsenteret nogle eksempler på mærkelige funktioner, der lidt i strid med vores intuition er kontinuert næsten overalt Vi møder ikke så mange skøre funktioner, der er differentiable De grundlæggende og svære problem i håndteringen af kontinuitet er at kunne håndtere et grænseværdibegreb På B-niveau har vi givet den klassiske definition, som man anvendte i mange hundrede år, den såkaldte talfølge-definition, hvor vi sender en (uendelig) følge af tal ind mod et fast tal, og så undersøger, hvad der sker med de tilsvarende funktionsværdier I dette projekt vil vi undersøge svagheden ved denne definition, og derefter giver den moderne definition som er præsenteret i kapitel Vi vil demonstrere styrken i brugen af den moderne definition men hovedsigtet med projektet er at bevise, at de to definitioner faktisk er ækvivalente, blot vi formulerer os tilstrækkeligt præcist Vi indleder med en historisk ramme, som rummer stof, du kan genfinde i indledningen til kapitel, og som er beslægtet med den matematik, der blev præsenteret i B-bogens kapitel 7 om Fourierrækker Man behøver ikke gennemgå hele projektet, men kan vælge udelukkende at arbejde med beviset for ækvivalensen af de to definitioner Differential- og integralregningens historiske udvikling Matematikken udviklede sig eksplosivt, efter at Newton og Leibniz i slutningen af 600-tallet havde åbnet portene til differential- og integralregningen Det var et kæmpekontinent, der her var opdaget det største indenfor hele matematikkens verden Og i begejstring stormede matematikerne gennem det næste århundrede ind over det, mens de udviklede stadigt nye teknikker Hidtil var næsten al matematik bygget op over geometriske betragtninger: Matematikken var så at sige vokset frem af den klassiske græske geometri Indenfor geometriens verden følte man sig på sikker grund, med dennes aksiomer og strenge krav til at være præcis i sine argumenter I aritmetikken talbehandlingen var man på mere usikker grund I 600-tallet var man stadig ikke fortrolig med negative tal! Når en andengradsligning havde en positiv og en negativ løsning kaldte man den sidste for en falsk eller en umulig løsning, og man så normalt bort fra sådanne Dengang repræsenterede et tal altid noget virkeligt længder, vægt, arealer, rumfang osv Derfor var det naturligt at opløfte i tredje, svarende til rumfang, men suspekt at opløfte i fjerde, for hvad skulle det repræsentere? Irrationale tal optrådte, idet man uden betænkeligheder skrev kvadratroden eller den tredje rod af et tal Allerede i 500-tallet, hvor man fandt formlen for at løse en tredjegradsligning, var man imidlertid begyndt at fundere over, om man kunne tillægge kvadratroden af negative tal nogen mening Det kunne man næppe, men ligesom med falske rødder opskrev man dem alligevel Sådanne tal blev kaldt indbildte tal og repræsenterede de første skridt ind i de komplekse tals verden Og dette sker som sagt, mens man stadig er usikker på, hvad et negativt tal er Geometriske betragtninger kom også til at præge differential- og integralregningen de første 50 år Differentialkvotienter blev defineret som hældningskoefficienter for tangenter En tangent er som bekendt graf for det approksimerende førstegradspolynomium, og man fandt tidligt ud af, at dette kunne generaliseres til approksimerende andengrads-, tredjegrads-,, n tegradspolynomium Jo større grad, desto bedre tilnærmelse 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

2 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Hvorfor så ikke fortsætte i det uendelige? Det så ud til, at en funktion kunne skrives som en uendelig sum af potenser en slags uendeliggradspolynomium Efterhånden lykkedes det at udtrykke flere og flere af de kendte funktioner på denne måde, feks: x x x x cos( x ) = ! 6! 8! x x x x sin ( x) = x ! 5! 7! 9! 4 x x x x e = + x ! 4! Ligesom en tangent ligger i et bestemt punkt, således er de approksimerende polynomier også bestemt ud fra et bestemt punkt Det samme gælder de uendelige rækker, hvor ovenstående rækkeudviklinger af cos( x ), sin( x ) og e x er foretaget i x 0 = 0 Da det lykkedes at finde sådanne uendelige summer for flere og flere funktioner, når nogle af de største matematikere i 700-tallet, som Euler og Lagrange, frem til den (fejlagtige) opfattelse, at dette gælder for alle funktioner Men er dette tilfældet, kan man derved også helt slippe af med det mystiske grænseværdibegreb, ræsonnerer Lagrange, og han beslutter faktisk at definere differentialkvotienten som koefficienten til førstegradsleddet i den uendelige række hørende til funktionen I ovenstående eksempler er således x ifølge Lagrange: cos(0) = 0, sin(0) = og exp(0) =, hvor vi anvender notationen e= exp( x) De uendelige rækker konstrueres normalt ud fra den første, anden, tredje osv afledede af funktionen, så det ser måske ud til, at Lagrange gik i ring Men det er ikke tilfældet For hvis den uendelige række findes, så kan vi jo lave definitionen som Lagrange gør Dernæst kommer ganske vist spørgsmålet, om vi i praksis kan finde disse koefficienter, men det er et teknisk problem Euler er ikke helt så radikal Han søger stadig at få hold på et grænseværdibegreb og indfører en slags uendeligt små størrelser, som han betegner med 0, og som han rask væk regner med; feks lader han 0 indgå i brøker og forkorter det væk, hvor han kan Og Euler når frem til så mange korrekte resultater, at det i sig selv var et argument for hans metode Omskrivning af funktioner til uendelige summer af potenser havde en række indlysende fordele Matematikerne havde nemlig tidligt opdaget, at det er let at differentiere hvad som helst kan vi klare men det er svært at integrere Potenser kan vi let finde stamfunktioner til, men komplicerede sammensatte udtryk må vi ofte give op over for Hvis nu alt er summer af potenser, så kan vi vel bare finde stamfunktionen led for led, og på den måde integrere vilkårlige funktioner? Se feks på rækkerne for sin(x) og cos(x): Vi finder en stamfunktion til cos(x) led for led: ò x x x x x x x x cos ( x) dx æ ö = ò ç dx = x k 4! 6! 8! è ø! 5! 7! 9!, og det er netop sin( x) + k Metoden slog igennem og var i årtier den dominerende indenfor differential- og integralregningen Den anvendtes også med succes til løsning af differentialligninger Metodens gennemslagskraft skyldtes naturligvis først og fremmest, at den var effektiv Men det talte også til dens fordel, at man undgik alle de mærkelige og løse ideer om grænseovergange Eulers nuller feks 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

3 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Titlen på Lagranges værk var meget sigende:»teorien om analytiske funktioner, indeholdende differentialregningens principper, renset for betragtninger om uendeligt små eller forsvindende størrelser, og for betragtninger om grænseværdier og fluxioner, og indskrænket til algebraisk analyse af endelige størrelser«i begyndelsen af 800-tallet opstår der imidlertid tvivl om gyldigheden af denne matematiske metode Man opdager på den ene side funktioner, der ikke er specielt indviklede, men som ikke kan skrives som uendelige summer af potenser Og på den anden side begynder man at betragte uendelige summer af andre størrelser end potenser, specielt uendelige summer af trigonometriske funktioner Og her finder man besynderlige resultater: Summen: cos( u) - cos( u) + cos ( 5u) - cos ( 7 u) + giver en funktion med følgende graf: 5 7 p/4 -p/ -p -p/ p/ p p/ -p/4 Den kaldes Fouriers firkantbølge, opkaldet efter den matematiker, Joseph Fourier, der som den første undersøgte disse summer systematisk Han fandt tilsvarende ud af, at den uendelige sum: sin( u) - sin( u) + sin( u) - sin ( u) + 4 giver den såkaldte»savtakfunktion«med følgende graf: p/4 -p/ -p -p/ p/ p p/ -p/4 En sum af to kontinuerte funktioner giver naturligvis en kontinuert funktion Tager vi flere og flere led med i summen gør det ingen forskel: Det er stadig en pæn kontinuert funktion Og det uanset hvor mange millioner og milliarder led vi tog med Det forekommer også indlysende, at når vi adderer grafer, der er sammenhængende, må vi som resultat få noget der igen er sammenhængende Men hvad ser vi så her: Tager vi alle led med dvs uendeligt mange så får vi en diskontinuert funktion Der kommer et spring på grafen! Dette var meget mærkelige resultater, og det tvang matematikerne til at revidere mange af deres hidtidige opfattelser Fourier publicerede sine undersøgelser i 8 Året før havde en af 800-tallets største matematikere Augustin Cauchy udgivet et af sine hovedværker om den matematiske analyse et værk, der genindfører grænseværdibetragtninger, og som er det første»moderne«værk om differential- og integralregningen Men heri»beviser«cauchy, at en uendelig sum af kontinuerte funktioner er kontinuert! Det bliver dog ikke Fourier selv, der påpeger fejlen hos Cauchy Fourier var først og fremmest interesseret i matematikkens anvendelser, og hans epokegørende værk med de mærkelig summer er slet ikke en matematikbog, men en fysikbog omhandlende varmeteori Det er derimod den norske matematiker Niels Henrik Fluxioner var Newtons betegnelser for de uendeligt små størrelser 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

4 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Abel, der få år senere gør opmærksom på fejlen hos Cauchy og netop med»savtakfunktionen«som et modeksempel Så selv de største matematikere kan miste overblikket og begå fejl Cauchys store fortjeneste var genindførelsen af grænseværdibetragtninger Hans grænseværdibegreb er stort set det, vi anvender i dag: Hvis en række af tal x, x,, x n nærmer sig et fast tal x 0, på en sådan måde, at forskellen til sidst er så lille, som man har ønsket det, så kaldes x 0 for grænseværdien af de andre Sådan skrev Cauchy i 8 Ved hjælp af sit nye grænseværdibegreb definerede Cauchy kontinuitet og differentiabilitet Cauchy er fra matematikkens hovedland Frankrig og derfor den, man lagde mærke til Hans bøger blev anvendt over hele Europa Men få år før definerede en tjekkisk matematiker, Bolzano, faktisk grænseværdier og kontinuitet på samme moderne måde som Cauchy Bolzanos målsætning var at bevise den første hovedsætning om kontinuerte funktioner, og han nåede længere end andre på hans tid, men dog ikke til vejs ende Han stødte panden mod den mur, der hedder de reelle tals opbygning Hans værk fik ikke den betydning, det havde fortjent i Tyskland og Frankrig blev Bolzano først kendt, efter han var død Det blev tyskeren Karl Weierstrass, der i 860 erne fuldførte Cauchys værk og endelig fik skabt det moderne og præcise grænseværdibegreb Den måde, hvorpå en matematiker i dag opskriver definitionen på kontinuitet, når han skal være helt præcis, er ord til andet taget fra Weierstrass Dette gennemgår vi i næste afsnit Weierstrass arbejde lagde også grunden til, at en af hans elever, Georg Cantor, sammen med Richard Dedekind i 880 erne endelig fik hold på de reelle tals opbygning Disse to tyske matematikere fordybede sig ikke mindst i de matematiske og filosofiske problemer omkring de reelle tal og uendelighedsbegrebet De opdagede nemlig, at uendelighed ikke bare er uendelighed: Allerede Galilei havde faktisk gjort opmærksom på det paradoks, at der i kraft af sammenparringen:, 4, 9, 4 6,, n n, tilsyneladende er lige mange naturlige tal og kvadrattal selv om mængden af kvadrattal åbenlyst er en beskeden delmængde af de naturlige tal Der er også i en vis forstand lige mange hele tal og rationale tal, idet samtlige brøker kan stilles op på række og tælles Dette er lidt vanskeligere end Galileis sammenparring, men prøv selv, om du kan løse opgaven for de positive, rationale tal, ved at følge denne opskrift: Gruppér først alle brøkerne i halve, tredjedele, fjerdedele osv, og stil tallene i hver af disse grupper op i rækkefølge, feks således:,,, 4, Placer alle disse (uendeligt mange) rækker under hinanden Og find nu en snedig måde at tælle diagonalt, så du får alle med Lykkes det, er alle brøkerne stillet op på række, og derved parret sammen med de naturlige tal Men de irrationale tal kan ikke stilles op i række: Der er langt flere irrationale end rationale tal Der er altså forskellige grader af uendelighed Det var en af Cantors store opdagelser Den moderne matematiske analyse tager sit udgangspunkt i det arbejde, som disse matematikere lavede for godt 00 år siden Du kan finde de præcise argumenter om uendelighedsbegrebet i den indledende fortælling til A-bogens kapitel Fast grund under grænseværdi- og kontinuitetsbegrebet To skikkelser i matematikhistorien rager op i bestræbelserne på at få styr på grænseværdibegrebet og dermed også på kontinuitetsbegrebet: Franskmanden Augustin Cauchy ( ) og tyskeren Karl Weierstrass (85-897) Abel er i matematikhistorien bla kendt som den, der beviste, at der ikke kan findes en formel for løsning af femtegradsligninger (og heller ikke af nogen højere grad), som vi kender det fra andengradsligninger, og som der også findes for tredje- og fjerdegradsligninger 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

5 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Cauchy publicerede meget, og i det mest berømte af hans skrifter, Cours d Analyse fra 8 findes den definition på grænseværdibegrebet, som vi i praksis anvender i gymnasiet i dag: Når en følge af tal nærmer sig en fast størrelse på en sådan måde, at talfølgens elementer slutteligt adskiller sig fra den faste størrelse med så lidt som vi kunne ønske os, så siger vi, at den faste størrelse er grænseværdi for de øvrige Hans definition på kontinuitet lyder: f er kontinuert i et interval, hvis det gælder, at en uendelig lille tilvækst h af variablen x, giver en uendelig lille tilvækst f( x+ h) - f( x) af funktionsværdien Også den sidste definition virker ganske moderne; men vi bemærker dog, at Cauchy kun definerede kontinuitet i et helt interval, ikke i et enkelt punkt Når vi forsøger at oversætte Cauchy s formuleringer:»så tæt på vi ønsker«,»en uendelig lille tilvækst«osv til et præcist matematisk sprog, der giver mulighed for beregninger og præcise svar, opstår der imidlertid åbenlyse problemer Vanskelighederne heri illustreres af, at Cauchy selv»beviste«nogle forkerte sætninger Der var kort sagt brug for en så præcis matematisk formulering, at den kunne anvendes til at gennemføre præcise beviser Og det var netop hvad Weierstrass gjorde Weierstrass var oprindelig slet ikke professionel matematiker Hans far ønskede, han studerede økonomi og administration; men da sønnen ikke fandt interesse i disse fag, men derimod var en stor ynder af tyske ølstuer, gik årene, uden Weierstrass nogensinde fik en eksamen Han forlod universitetet og tog forskelligt forefaldende arbejde inden for undervisning, samtidig med at han i fritiden dyrkede sin store lidenskab, matematikken Og han demonstrerede sin store begavelse gennem en række opsigtsvækkende matematiske artikler, der resulterede i at han»blev kaldet«til en stilling på Berlins Universitet Weierstrass publicerede ikke selv ret meget; men gennem sine berømte forelæsninger præsenterede han en række nye tanker og metoder fra sin forskning, ideer, som han generøst overlod til sin store skare af højt kvalificerede studenter at færdiggøre Stort set alle Europas unge lovende matematikere drog i de år fra først i 860 erne til Berlin for at følge hans forelæsninger, og med Weierstrass forskydes tyngdepunktet i matematikhistorien fra Frankrig til Tyskland Weierstrass blev tidligt så syg, at han ikke kunne stå op og skrive under en forelæsning; han sad derfor ned, dikterede til en student, der på hans bud malede tavlen fuld Denne anstrengende arbejdsform var givetvis medvirkende til, at Weierstrass gennemarbejdede sine forelæsninger ned til den mindste detalje, hvorved de notater, studenterne tog, faktisk var som lærebøger Og netop gennem kopier af sådanne notater og gennem de artikler, hvori Weierstrass elever bearbejdede hans resultater, lærte matematikverdenen hurtigt om disse nye»weierstrasske krav til stringens (præcision)«og hans metoder blev overtaget ord til andet Men det var som nævnt altid andre, der præsenterede ideerne således var det Eduard Heine og Sofia Kovalevskaya (der begge siden indskrev sig i matematikhistorien), der publicerede Weierstrass nye tilgang til kontinuitetsbegrebet Det centrale spørgsmål var at få styr på grænseværdibegrebet: Hvad skal vi forstå ved følgende formulering: f( x) L når x a? Ud fra den intuitive opfattelse af kontinuitet som svarende til, at grafen er sammenhængende, er forestillingen om kontinuitet i et enkelt punkt også en svært begribelig egenskab Kontinuitet forstået som sammenhæng vil man umiddelbart knytte til et interval 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

6 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Vi er vant til at gribe sagen således an: Vi begynder med en følge af x-værdier, og dernæst ser vi på, hvad der sker med fx 'erne Men dette giver de føromtalte problemer: Hvordan kan vi vide, at den følge, vi begyndte med, er typisk ville vi få samme resultat med en hvilken som helst anden følge af x er? Weierstrass løser knuden ved at vende problemstillingen 80 : Hvad er det, vi vil frem til, spørger han Ifølge Cauchy vil vi frem til en konklusion om, at forskellen på f(x) og L kan gøres så lille, som det ønskes (ved at vælge x på den og den måde) Men så er det her, vi begynder, siger Weierstrass Lad os forestille os det som»et spil«: Over for os står en»modstander«, der udfordrer os ved at fastlægge et meget snævert interval om L, måske med en afstand på /000 eller / fra L Eller endnu tættere på: Vi indfører en ny størrelse (græsk bogstav:»epsilon«), der skal angive, hvor tæt vi ønsker at være på L har vi ingen indflydelse på det stikkes os ud af vores»modstander«nu er det så vor opgave at fastlægge et interval om a, på en sådan måde, at når x er i dette interval, er vi sikre på, at f( x) er i det ønskede interval om L Det interval, vi fastlægger omkring a, bestemmes mest enkelt ved at angive et tal δ (græsk bogstav:»delta«), der måler afstanden fra x til a Lad os navngive de omtalte intervaller: J = ] L- ; L+ [, og Iδ = ] a- δ; a+ δ[ Weierstrass definition på grænseværdi lyder så: Definition: Grænseværdi ( Version) f ( x ) har grænseværdien L, når x går mod a, på kort form: f ( x) eksisterer et δ> 0, således at der for x a ¹ gælder: xîi Þ f x Î J δ L når x a, hvis der til ethvert > 0 Bemærkning: Definitionen er sammensat således, at x ikke kan blive lig med a Dette er vigtigt, for f ( x) kan sagtens have en grænseværdi uden at være defineret i a Grafisk kan situationen være således: J e L+ e L L-e a ) Først vælges intervallet J ) J fastlægger nu via grafen de ydre grænser for intervallet I ) I δ kan vælges på utallige måder, men feks som på tegningen xîi Þ f x Î J : 4) Vi kontrollerer nu, at: f kører x op ad den skraverede vej δ I I d Når vi skal til at udnytte definitionen til at regne, er det ofte en fordel at have den skrevet med uligheder i stedet for intervaller: Definition: Grænseværdi ( Version) f x L når x a, hvis der til ethvert > 0 eksisterer et δ> 0, således at: Vi siger at 0 < x- a < δþ f x - L < 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

7 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Øvelse Lav en skitse af f ( x) = x i intervallet [ ;] f ( x ) 4 når x -, og illustrer på din tegning, at der gælder: Definitionen på grænseværdi fører straks over i definitionen på kontinuitet: Definition: Kontinuitet i et punkt f x Vi siger, at f er kontinuert i x 0, hvis der gælder, at 0 Til ethvert > 0 eksisterer et δ> 0, således at: 0 < x- a < δþ f x - L < f x når x x0, dvs hvis der gælder: Bemærk at vi her har erstattet 0 < x- a < δ med: x- a < δ, idet situationen for x x0 er helt triviel: f er jo defineret i x 0 Det var ikke denne definition på kontinuitet, Weierstrass i første omgang gav Som tidligere omtalt opfattede de stadig kontinuitet som en egenskab i et interval; og bestræbelserne hos Weierstrass og samtidige var at få styr det lidt mere komplicerede begreb»uniform kontinuitet«(på dansk:»ligelig kontinuitet«), som vi omtaler i appendiks Det blev således en af Weierstrass elever Eduard Heine, der som den første definerede begrebet kontinuitet i et punkt Anvendelse af definitionen på grænseværdi eller kontinuitet volder altid besvær i starten Det skyldes sikkert, at vi har svært ved at slippe fokus fra x erne og i stedet sætte fokus på f(x) Men det er her, hele ideen ligger: Vi begynder med den ønskede konklusion: f ( x) L - < Ud fra en analyse af dette, når vi gennem forskellige omskrivninger frem til hvilket krav, der så må stilles til x erne, dvs til fastlæggelse af δ Før vi illustrerer dette med et par eksempler, så prøv at løse følgende opgaver grafisk: Øvelse Indtast i de følgende opgaver regneforskriften og indret grafvinduet således at x-værdierne ligger tæt ved tallet a, og y-værdierne tæt ved tallet L Få endelig en grafisk fremstilling af, hvilket krav det givne stiller til det interval, vi ønsker at lægge om a, ved at indtaste de to konstante funktioner y = L + og y = L Bestem fx ved hjælp af skæringspunkterne mellem graferne en værdi af δ, der»matcher«f ( x) = x+ ; undersøg påstanden: f ( x ) når x ved at finde et δ, der matcher = 0,0, dvs opgaven er at finde et δ, således at: x - < δþ f ( x) - < 0,0 eller: x ] ; [ f ( x) ] 0,0; 0,0[ Î - + Þ Î - + f ( x) f ( x) = x ; undersøg påstanden: f ( x ) 8 når x ved at finde et δ, der matcher = 0, x = + ; undersøg påstanden: f x når x 0 ved at finde et δ, der matcher = 0,05 x - 4 Undersøg påstanden: 0 + x når x ved at finde et δ, der matcher = 0,0 x + 5 Undersøg påstanden: - x - når x - ved at finde et δ, der matcher = 0,00 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

8 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Anvendelse af definitionen til præcise beviser for grænseværdier Eksempel Vi skal vise: x+ 7 når x Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: ( x+ ) - 7 < Vi omskriver: ( x+ ) - 7 = x- 6 = x- Den ønskede konklusion fås, hvis x- <, dvs hvis Derfor vælges δ = Så får vi: x- < δþ x+ - 7 < x - < Eksempel Vi skal vise: -4x -x Løsning: når x : Lad være givet Den ønskede konklusion er: -4x -x - < Vi omskriver: ( + x)( -x) -4x - = - = + x- = x- = x- - x -x Den ønskede konklusion fås, hvis x - <, dvs hvis x - < Derfor vælges δ = Så får vi: -4x x- < δþ - < -x Eksempel Vi skal vise: x når x 4 : Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: x - < Vi omskriver: x - x + x-4 x - = = = x-4 x+ x + x + 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

9 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Da vi skal undersøge x 4, kan vi uden indskrænkning nøjes med at se på x ³, dvs x ³ Dermed er x + ³ + =, og < x + Indsæt dette: 4 4 x x - x - + Den ønskede konklusion opnås, hvis: x- 4 <, eller: x - 4 < Derfor vælges δ = Så får vi: x- 4 < δþ x - < Vi kan opsummere således: Praxis: Metode til at afgøre spørgsmål om grænseværdi og kontinuitet En påstand vedrørende kontinuitet i et bestemt punkt eller vedrørende en bestemt grænseværdi: f x L, når x a, undersøges på følgende måde: Vi begynder med at opskrive den ønskede konklusion: f ( x) L - < Dernæst foretages omskrivninger af typen: f ( x) - L = K x- a, hvor K er en eller anden konstant Ud fra dette ser vi, at vi kan sikre f ( x) L Altså løser vi problemet ved at vælge δ < K - <, hvis blot vi vælger x- a < K Opgaver Vis: 5- x, når x x + x Vis: -, når x - x+ (Hjælp: Forkort brøken) Vis: x+, når x (Hjælp: Forlæng x+ - med x+ + I din vurdering kan du indskrænke dig til at se på feks x ³ ) 4 Vis: x, når x 5 Vis: x 8, når x (Hjælp: Foretag polynomiers division med x - ) 6 Vis at grænseværdier er entydige, dvs Hvis f ( x) L= M L, når x a, og f ( x) M, når x a, så er 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

10 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Vi vil nu bevise, at følgende fundamentale sætning gælder: Hovedsætning om grænseværdier Weierstrass - δ definition er ensbetydende med vores traditionelle talfølge-definition Bevis: - δ egenskaben medfører talfølge-egenskaben f x L, når x a, ifølge Weierstrass definition Antag: Lad x, x, x,, x n være en følge af tal, så x n a Vi ønsker at vise: f x L f x nærmer sig vilkårligt tæt til tallet L, dvs n Læg derfor et lille interval J om L, bestemt ved e: J = ] L- ; L+ [ J : I ] a a [ Vælg nu ifølge Weierstrass et interval I δ om a, der afbildes ind i δ = - δ; + δ Da nu x n a, vil x n erne fra et vist trin, feks nr N, være helt med i I δ Weierstrass definition på grænseværdi giver os: xîi Þ f x Î J δ Men så kan vi sammenfatte: x, x, x, ÎI Þ f x, f x, f x, Î J N N+ N+ δ N N+ N+ Altså netop den ønskede konklusion Talfølge-egenskaben medfører - δ egenskaben f x L, når x a, ifølge den traditionelle definition med talfølger, dvs vi antager: Antag: For enhver talfølge: xn a vil f ( x n ) Lad e være givet og betragt J ] L L [ L = - ; + Læg nu for ethvert helt tal n i et interval I n om a, bestemt ved: I ; n = ù ûa- a+ é n në Antag at ingen af disse intervaller bliver afbilledet helt ind i J, dvs ingen af dem opfylder Weierstrass xîi Þ f x Î J krav: n Vi får nu en modstrid på følgende måde: f x Ï J Vælg et x k fra hvert I k, således at: ( k ) Ifølge valget af x erne vil der gælde: x, x, x,, xn a (Overvej dette!) Men ifølge beliggenheden af f(x k ) erne holder disse sig alle uden for intervallet gælde: f ( xk ) L Dette er i modstrid med, at påstanden skal gælde for enhver talfølge Altså kan vi konkludere, at ét af intervallerne I n vil blive afbildet ind i J Og dermed er Weierstrass definition opfyldt J, så derfor kan der ikke Hovedsætningen gælder specielt for kontinuerte funktioner og fortælle altså: -δ-kontinuitet er ensbetydende med følgekontinuitet Følgekontinuitet appellerer til intuitionen og sætningen siger altså, at der ikke er noget galt med at fortsætte med at anvende intuitionen Men vi skal blot hele tiden have i baghovedet, at argumenterer vi ud fra følger, så skal argumentet holde for enhver følge Det kan af og til være svært at overskue, om det nu også er tilfældet som følgende eksempel i dimensioner illustrerer: 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

11 Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Eksempel Talfølger og grænseværdi for funktioner af to variable Funktioner af to variable er naturligvis mere komplicerede end funktioner af én variabel Men det kan være lettere at se, hvilke fælder man kan lande i, ved at se på regneforskrifter for sådanne Lad os se på: ìx -y ï for ( xy, ) ¹ (0,0) fxy (, ) = íx + y ï î0 for ( xy, ) = (0,0) Funktionen er defineret i hele planen Hvad sker der med funktionsværdierne, når vi nærmer os (0,0)? Hvis vi bevæger os ind langs x-aksen, er y = 0, dvs funktionsværdierne er hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs y-aksen, er x = 0, dvs funktionsværdierne er - hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs linjen y = x i x-y-planen fås funktionsværdien 0 hele vejen ind Ved at følge andre retninger ind mod (0,0) får vi endnu flere forskellige grænseværdier Konklusionen er, at der ikke er nogen grænseværdi i (0,0), og at f derfor ikke er kontinuert i (0,0) Eksemplet indgår i A-bogens kapitel, hvor der også på hjemmesiden ligger en graf som en interaktiv figur, man kan gå på opdagelse i 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil

Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Lederadfærdsanalyse II egen opfattelse af ledelsesstil Instruktion Formålet med Lederadfærdsanalyse II Egen er at give dig oplysninger om, hvordan du opfatter din ledelsesstil. I det følgende vil du blive

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modulpakke 3: Uendelige Rækker

Modulpakke 3: Uendelige Rækker Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt

Succesfuld start på dine processer. En e-bog om at åbne processer succesfuldt Succesfuld start på dine processer En e-bog om at åbne processer succesfuldt I denne e-bog får du fire øvelser, der kan bruges til at skabe kontakt, fælles forståelser og indblik. Øvelserne kan bruges

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori

Ny Nordisk Skole. Arbejdshæfte til forandringsteori Ny Nordisk Skole Arbejdshæfte til forandringsteori Introduktion Ny Nordisk Skole handler om at styrke dagtilbud og skoler, så de har de bedste forudsætninger for at give børn og unge et fagligt løft. Dette

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

De fire Grundelementer og Verdensrummet

De fire Grundelementer og Verdensrummet De fire Grundelementer og Verdensrummet Indledning Denne teori går fra Universets fundament som nogle enkelte små frø til det mangfoldige Univers vi kender og beskriver også hvordan det tomme rum og derefter

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det

Læs mere

Manual til skinnelayoutprogram

Manual til skinnelayoutprogram Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4

Læs mere

Miniguide for oplægsholdere

Miniguide for oplægsholdere Miniguide for oplægsholdere Intro Vi har lavet den her miniguide, som en hjælp til dig i din fremtidige rolle som oplægsholder. Guiden er din værktøjskasse og huskeliste. Den samler alt det, vi gennemgår

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Årsplan matematik 7 kl 2015/16

Årsplan matematik 7 kl 2015/16 Årsplan matematik 7 kl 2015/16 I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale, og har matematikfessor som suplerende materiale, samt kopisider. I systemet er der,ud over grundbogen, også kopiark

Læs mere

Victor, Sofia og alle de andre

Victor, Sofia og alle de andre Victor, Sofia og alle de andre Victor betyder vinder, og Sofia betyder vis dom. Begge er egenskaber, som vi alle sammen gerne vil eje. I denne bog er det navnene på to af de børn, vi møder i mange af bogens

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

starten på rådgivningen

starten på rådgivningen p l a n f o r 2.1 starten på rådgivningen Ved det første møde bør der som minimum afsættes 40 minutter. Denne vejledning retter sig mod den første indledende del af dette møde. Her er målet at skabe en

Læs mere

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk

Netværksguide. sådan bruger du dit netværk. Danmarks måske stærkeste netværk Netværksguide sådan bruger du dit netværk Danmarks måske stærkeste netværk Step 1 Formålet med guiden Hvor kan netværk hjælpe? Netværk er blevet et centralt middel, når det gælder om at udvikle sig fagligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Sommer 2015 Københavns

Læs mere

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik. Formål for faget matematik. Slutmål for faget matematik efter 9. klasse. Matematiske kompetencer. Matematiske emner

Matematik. Formål for faget matematik. Slutmål for faget matematik efter 9. klasse. Matematiske kompetencer. Matematiske emner Formål for faget matematik Matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1

Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1 Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen side: 1 Sikker Slank Kort fortalt Af John Buhl e-bog Forlaget Nomedica 1. udgave juni 2016 ISBN: 978-87-90009-34-2 Sikker Slank kort fortalt Til indholdsfortegnelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe11-mat/b-3108011 Onsdag den 31. august 011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Københavns åbne Gymnasium

Københavns åbne Gymnasium Københavns åbne Gymnasium Information om eksamen i Almen Studieforberedelse AT 2015 Redaktion Nina Jensen Vigtige datoer: 26. januar udmelder Undervisningsministeriet emnet og det såkaldte ressourcerum,

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL

PERSONALE- OG LEDELSESPOLITIKKEN SAT I SPIL 114659_Manual_250x250 17/10/03 13:38 Side 1 Kunde & Co. Frederiksholms Kanal 6 1220 København K Tlf: 33 92 40 49 perst@perst.dk www.perst.dk Løngangstræde 25, 4. 1468 København K Tlf: 38 17 81 00 cfu@cfu-net.dk

Læs mere