Andengradspolynomier

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Andengradspolynomier"

Transkript

1 Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer Andengradspolynomiets graf (parablen) Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og definitioner 15 Per H. Christiansen Dalskrænten Frederikssund

2 2 Andengradspolynomier 1 Forskydning af grafer Nedenfor ses graferne for funktionerne f, g og h, givet ved: f(x) = ¼ x² g(x) = ¼ x² - 4 h(x) = ¼ x² + 5 Vi bemærker, at h(x) er 5 større end f(x) for ethvert x. F.eks. er h(4) - f(4) = 9-4 = 5. Vi bemærker også, at g(x) er 4 mindre end f(x) for ethvert x. Graferne for f, g og h er med andre ord kongruente. Den eneste forskel på dem er deres forskellige placering i koordinatsystemet. Sammenfattende kan vi sige, at graferne for g og h fremkommer som forskydninger af grafen for f: Da f(x) + 5 = h(x), får vi grafen for h ved at forskyde grafen for f 5 enheder opad langs (eller parallelt) med y-aksen. Da f(x) - 4 = g(x), får vi grafen for g ved at forskyde grafen for f 4 enheder nedad langs (eller parallelt) med y-aksen. REGEL: Dersom man forskyder grafen for en funktion f med t enheder langs (eller parallelt) med y-aksen, får man grafen for f(x) + t. Bemærk: Hvis t > 0, forskydes grafen opad. Hvis t < 0, forskydes grafen nedad.

3 3 Opgave 1 Tegn grafen for f(x) = Tegn graferne for funktionerne g(x) = + 4 og h(x) = 5. Tegn grafen for m(x) =. Forskyd grafen for m (der er en såkaldt hyperbel) 3 enheder opad langs (eller parallelt) med y-aksen. Anfør regneforskriften for den forskudte funktion. I det følgende skal vi se nogle eksempler på Forskydninger (til højre og venstre) langs (eller parallelt) med x-aksen. Vi beregner støttepunkter for funktionerne f og g, givet ved: f(x) = = g(x) = = ,4 1,7 2 2,2 2, ,4 1,7 2 2,2 2,4

4 4 Af overensstemmelsen mellem funktionsværdierne i sildebenene (på foregående side) ses det, at graferne for f og g har samme størrelse og facon: Hver gang vi i indsætter en x-værdi, der er 3 større end den i indsatte x-værdi, får vi den samme funktionsværdi i begge funktionerne. Da g(x + 3) altså er lig med f(x) for et hvilket som helst x, fremstår grafen for g som en forskydning af grafen for f med 3 enheder til højre langs (eller parallelt) med x-aksen (se side 3 nederst). Opgave 2 Tegn grafen for f(x) = og bestem Dm(f). Tegn grafen for g(x) = ¼ x². Tegn også graferne for h og m, givet ved: h(x) = ¼ (x 4)² m(x) = ¼ (x + 1)² Hvordan forholder graferne sig til hinanden? Når man f.eks. erstatter x i en funktions regneforskrift med (x - 2), forskydes den tilsvarende graf 2 enheder til højre langs (eller parallelt) med x-aksen. Omvendt forskydes grafen 2 enheder til venstre, dvs. i den stik modsatte retning, hvis x i regneforskriften erstattes af (x + 2). Regel: Når man fra ethvert x i en grafs forskrift trækker et tal s, forskydes grafen s enheder til højre langs (parallelt) med x-aksen, dersom s > 0, og s enheder til venstre langs (parallelt) med x-aksen, dersom s < 0. Opgave 3 Angiv forskrifterne for de 2 funktioner, der fremkommer, når grafen for f(x) = forskydes hhv. 3 enheder til højre og 2 enheder til venstre langs (parallelt) med x-aksen. Angiv de 3 funktioners definitionsmængder. Indtegn de 3 grafer i koordinatsystemet øverst til venstre på side 4.

5 5 Bestem også en regneforskrift for de funktioner, som fremkommer, når grafen for f(x) = 2 x² forskydes hhv. 5 enheder til venstre og 4 enheder til højre langs (parallelt) med x-aksen. Indtegn de 3 grafer i koordinatsystemet øverst til højre. 2 Andengradspolynomiets graf (parablen) Husk: En funktion f, der har en forskrift af typen: f(x) = ax² + bx + c, a 0, er et andengradspolynomium. Andengradspolynomiets graf er en såkaldt parabel, som har ligningen: y = ax² + bx + c. Bestem de ovenfor tegnede parablers ligninger.

6 6 Samtlige parabler (jf. s. 5 nederst) er symmetriske omkring y-aksen, da det for ethvert x gælder, at: f(x) = f(-x) = a(-x)² = ax². Hvis a (koefficienten til x²) > 0, er funktionsværdien ax² positiv for alle x 0, og parablens ben vender dermed opad. Er a < 0, er funktionsværdien negativ for samtlige x 0, hvorfor benene vender nedad. Dersom a < 0, har andengradspolynomiet f(x) = ax² en størsteværdi, som er andenkoordinaten i den tilsvarende parabels højeste punkt, det såkaldte toppunkt. Er a > 0, er parablens toppunkt dens laveste punkt, hvis andenkoordinat er funktionens mindsteværdi. Værdien af a afgør desuden, hvor smal eller bred parablen er. For a > 0 gælder, at jo mindre a er, jo bredere er parablen. For a < 0 gælder, at jo større a er, jo bredere er parablen. Som det vil fremgå af det følgende, er enhver parabel, bestemt ved ligningen y = ax² + bx + c, en forskydning af den enkle parabel, som har ligningen y = ax². Kender man forskrifterne for de enkle parabler, kan man uden problemer konstruere de mere komplicerede (forskudte) parabler. Opgave 4: Tegn de parabler, hvis ligninger er bestemt ved: y = -½ x², y = ½ x², y = -⅓ x², y = ⅓ x². Hvis vi forskyder parablen, som har ligningen y = ½ x² henholdsvis 5 enheder til højre langs (parallelt) med x-aksen og 3 enheder opad langs (parallelt) med y-aksen, får vi grafen for en funktion med følgende regneforskrift: g(x) = ½ (x 5)² + 3. g(x) = ½ (x 5)² + 3 g(x) = ½ (x² - 10x + 25) + 3 g(x) = ½ x² - 5x + 12,5 + 3 g(x) = ½ x² - 5x + 15,5.

7 7 Som det ses, er g et andengradspolynomium, i hvilket a = ½, b = -5 og c = 15,5. Grafen for g er en parabel, hvis laveste punkt eller toppunkt er (5; 3): Opgave 5 Bestem regneforskriften for den parabel, der har toppunktet (3; 5), og som er en forskydning af grafen for y = -½ x². Tegn dernæst parablen, som har ligningen 1,5 x², og forskyd den. Vælg selv et topunkt for den forskudte parabel og angiv dennes ligning.

8 8 Forskyder vi parablen, der har ligningen y = ax², s enheder langs (parallelt) med x-aksen og t enheder langs (parallelt) med y-aksen, får vi grafen for en funktion h, der er givet ved: h(x) = a(x - s)² + t. Regner vi på denne forskrift, finder vi, at: h(x) = a(x - s)² + t h(x) = a(x² - 2sx + s²) + t h(x) = ax² - 2asx + as² + t. Som det ses, er h et andengradspolynomium, idet b = -2as, og c = as² + t (vedr. andengradspolynomiets forskrift, jf. s. 5). Polynomiets graf er en parabel med toppunktet (s; t). Som ovenstående udregning viser, kan regneudtrykket for et vilkårligt andengradspolynomium f(x) = ax² + bx + c omskrives til f(x) = a(x - s)² + t. Vi kan nu bestemme toppunktets koordinater s og t ved hjælp af konstanterne a, b og c: b = -2as s =, som indsat i c = as² + t giver følgende: c = a ² + t t = c - a ² t = c - a t = c t = c t = t = t = Størrelsen b² - 4ac ses i mange sammenhænge, når man beskæftiger sig med andengradspolynomier. Den betegnes med et d og kaldes diskriminanten. Dermed er t =. RESUME: Hvis man forskyder parablen med ligningen y = ax², får man grafen for andengradspolynomiet f(x) = ax² + bx + c, hvis toppunkt er givet ved: (s; t) =, idet d = b² - 4ac.

9 9 Har man glemt toppunktsformlen, kan man let rekonstruere den ved brug af differentialregning: f(x) = ax² + bx + c f (x) = 2ax + b. Hvis vi sætter f (x) lig 0, kan vi bestemme toppunktets første koordinat: 2ax + b = 0 x =, som nu indsættes i den oprindelige funktion (f): y = a ² + b + c y = a + + c y = + c. Vi forlænger ligningens andet og tredie led med henholdsvis 2 og 4a: y = y = y = y =, idet diskriminanten d = b² - 4ac. Toppunktet T er således givet ved: T = (x; y) =, idet d = b² - 4ac.

10 10 Opgave 6 Angiv konstanterne a, b og c samt diskriminanten d for funktionerne f, g og h: f(x) = 2x² + 4x - 6 g(x) = 1,5 x² - 6 h(x) = -x² + 4 Vil vi f.eks. tegne parablen, bestemt ved f(x) = 2x² + 4x - 6, beregner vi først dens toppunkt (s; t): a = 2, b = 4, c = -6, d = b² - 4ac = 4² (-6) = 64, (s; t) = = = (-1; -8). Hvis vi nu forskyder hvert af støttepunkterne for 2x² 1 enhed til venstre langs (parallelt) med x-aksen og 8 enheder nedad langs (parallelt) med y-aksen, er det let at tegne grafen for f(x) = 2x² + 4x 6: x² x²+4x

11 11 Opgave 7 Tegn grafen for andengradspolynomierne, bestemt ved: f(x) = -x² + 2x + 3 g(x) = x² - 4x - 5 h(x) = -½ x² - 4x Hjælp: Beregn toppunktet først og anvend dernæst støttepunkter for den enkle ligning y = ax². 3 Andengradsligninger HUSK: En andengradsligning er en ligning af typen: ax² + bx + c = 0, a 0. Den enkleste andengradsligning er givet ved: x² = k, k 0. Da x² 0, har ligningen ingen løsninger, hvis k < 0. Man plejer at sige, at løsningsmængden i givet fald er den tomme mængde: L = Ø. Dersom k < 0, er x² = k en absurditet, idet ligningens højre og venstre side så er forskellige og ikke lig med hinanden. Er k = 0, har ligningen kun en løsning: x = 0. Er k > 0, har ligningen to løsninger: og. Den positive løsning er det positive tal, som kvadreret, dvs. opløftet til 2. potens, giver k. Når der også er en negativ løsning, skyldes det, at k både er lig med og Det gælder dermed, at: x² = k x = eller x =. Hvis f.eks. k = 25, er x = 5 eller -5, da 5² = (-5) ² = 25. NB. I stedet for ordet eller kan man bruge tegnet v: x = v x =. Bemærk: I mange matematikbøger anvendes formuleringen der gælder, at, men det er ukorrekt dansk, hvilket man kan forvisse sig om ved at bytte om på hoved- og bisætningen. Hvem kunne f.eks. finde på at sige eller skrive: At f(x) = 2x², der gælder? Det hedder naturligvis: At f(x) = 2x², det gælder!

12 12 Som vi tidligere har set, er grafen for andengradspolynomiet, givet ved f(x) = ax² + bx + c, en parabel med toppunkt i (s; t) =. Vi har endvidere set, at ax² + bx + c kan omskrives til a(x - s)² + t. Vi finder med andre ord, at: ax² + bx + c = 0, a 0 a(x - s)² + t = 0 a ² = 0 a ² = ² =. Ligningens venstreside er 0. Hvis d < 0, bliver højresiden negativ og L = Ø. Ligningen har altså i givet fald ingen løsning(er). Grafisk viser det sig ved, at parablen hverken skærer eller berører x-aksen noget sted. Hvis d = 0, har andengradsligningen kun én løsning: ² = 0 = 0 =. Da der kun er én løsning, skærer parablen ikke x-aksen. Den berører den kun med (eller i) sit toppunkt, hvis førstekooridnat (s) med andre ord er ligningens eneste løsning. Hvis d > 0, er: ² = = ². Når to kvadrater a² og b² er lig med hinanden, er den ene rod a = ± den anden rod b. Demed er: = eller =. Løser vi disse ligninger finder vi, at: x = x = x = eller x = x = x =.

13 13 En mere direkte måde at bestemme røddernes formel på er angivet i det følgende. Vi starter med at reducere ligningen ax² + bx + c = 0, a 0 ved at dividere igennem med koefficienten til x²: ax² + bx + c = 0 x² x = 0 x² x =. Før vi kan isolere x, må vi omskrive venstresiden til kvadratet på en toleddet størrelse. Vi lægger først kvadratet af det halve af koefficienten til x til på begge sider af lighedstegnet: x² x = x² x =. Venstresiden kan nu skrives således: = = x = x = x = x = x =, idet diskriminanten d = b² - 4ac. For y = 0 er x =. Hvis d > 0, skærer parablen med ligningen ax² + bx + c altså førsteaksen i punkterne S 1 og S 2, givet ved: S 1 og S 2

14 14 RESUME: Andengradsligningen ax² + bx + c = 0 har: 1) ingen løsninger, når d < 0, 2) kun én løsning, givet ved x =, når d = 0, 3) to løsninger, givet ved x =, når d > 0. Hvis a > 0, vender parablens ben opad. Hvis a < 0, vender parablens ben nedad. Hvis eksempelvis -2x ² - 4x + 6 = 0, er diskriminanten d = b² - 4ac = 16-4 (-2) 6 = 64. Dermed er x = = x = -3 v x = 1. Løs andengradsligningerne: 2x ² + x - 3 = 0 7x ² - 3x + 5 = 0 -x ² - 5x - 6 = 0 2(x - 1)(x + 4) = 0 -x ² - 4x + 5 = 0 2(x - 2)(x + 1) = 0 (5x - 1)² - 56 = (2x + 1)² (x - ½)² - 5 = -(x + ½)². Når det blæser, føles luften koldere, end den gør i vindstille vejr. Jo hurtigere det blæser, jo hurtigere afkøles det tynde lag af varm luft, kroppen løbende danner omkring sig, for at opretholde en normal legemstemperatur (37 C). Når det f.eks. fryser 5 grader, og vinden samtidig blæser 14 m/sek., mister kroppen lige så meget varme, som hvis den blev udsat for 15 graders kulde i vindstille vejr. Forholdet mellem varmtab, temperatur og vindhastighed er givet ved den såkaldte Windchilleffekt = 13,3 + 0,62 T 13,95 V 0,16 + 0,486 T V 0,16, hvor T er temperaturen i celsiusgrader og V er vindhastigheden i meter i sekundet. Bestem windchilleffekten, når det fryser 20 grader, og vinden blæser med en hastighed på 18 m/sek. Bestem vindhastigheden, når windchilleffekten er -21, og temperaturen er -10.

15 15 4 Andengradsuligheder Indsætter man i en andengradsligning (ax² + bx + c = 0) et ulighedstegn (>,, <, ) i stedet for lighedstegnet, får man en såkaldt andengradsulighed, der løses på følgende måde: Først løser man andengradsligningen (ax² + bx + c = 0). Siden vurderer man, hvordan parablen med ligningen y = ax² + bx + c er placeret i koordinatsystemet. Her følger nogle eksempler: 3x² + 3x - 6 < 0. 3x² + 3x - 6 = 0 x = -2 v x = 1 Da a i ligningen er 3 og dermed større end 0, vender parablens ben opad. Desuden skærer den x-aksen to streder: i punkterne (-2; 0) og (1; 0). Vi kan med andre ord konkludere, at den ser nogenlunde således ud: Som det fremgår af tegningen, er funktionsværdien negativ (< 0) for ethvert x mellem -2 og 1. Uligheden 3x² + 3x - 6 < 0 har med andre ord løsningsmængden L = ]-2; 1[. Skal man kun finde eventuelle rødder (og ikke toppunktet) i en andengradsligning, kan man gøre sådan: 3x² + 3x - 6 = 0 x² + x - 2 = 0 x² + x = 2 x² + x + (½)² = 2 + (½)² (x + ½)² = 2,25 x + ½ = ± x = -½ ± 1,5 x = 1 v x = -2. Bliver tallet under kvadratrodstegnet negativt, er der ingen rødder. Se endvidere disse eksempler: 3x² + 3x L = [-2; 1] 3x² + 3x - 6 > 0 L = ]- ; -2[ U ]1; [ 3x² + 3x L = ]- ; -2] U [1; [.

16 16 Vi løser nu uligheden: 3x² - 6x + 5 > 0. 3x² - 6x + 5 = 0 L = Ø, da diskriminanten (d = b² - 4ac) = (-6)² = -24 Eftersom parablens ben vender opad, og den ikke skærer/berører x-aksen (se ovenfor), er samtlige funktionsværdier positive. Da f(x) > 0 for ethvert x Є R, er L = R. Løsningsmængden (L), der tilfredsstiller uligheden 3x² - 6x + 5 > 0, er med andre ord alle de reelle tal (R). Vi finder endvidere, at: 3x² - 6x L = Ø 3x² - 6x + 5 < 0 L = Ø 3x² - 6x L = R. Opgave 8 Løs ulighederne: 6x² - 5x x² - 11x - 12 > 0 4x² + 15x + 9 < 0 2x² - 7x + 8 < 0 3x² + 4x x² - x + 1 > 2 - x² 2x² - 5x + 1 < x + 1.

17 17 Nyttige formler, forskrifter, beviser og definitioner Andengradsligning: ax² + bx + c = 0 eller a(x - x 1 )(x - x 2 ) = 0 for d 0. Diskriminanten d = b² - 4ac x 1 = x 2 = Toppunktet T =. Overalt ovenfor er a 0. Andengradspolynomium: f(x) = ax² + bx + c. Andengradspolynomiets graf (parablen) har ligningen: y = ax² + bx + c. Overalt ovenfor er a 0. ax² + bx + c = 0, a 0. Hvis b = 0, og a og c har samme fortegn, er der ingen rødder. Eksempel: 2x² + 8 = 0 x² = -8 : 2 X² = -4. Ligningen har ingen rødder, da man ikke kan uddrage kvadratroden af et negativt tal.

18 18 ax² + bx + c = 0, a 0. Hvis b = 0, og a og c har forskellige fortegn, er der 2 rødder: og. Eksempel: 2x² - 8 = 0 x² = 8 : 2 = 4 x = 2 v x = -2. ax² + bx + c = 0, a 0. Hvis b = 0 og c = 0, er der kun èn (dobbelt-) rod, som er lig med 0. ax² + bx + c = 0, a 0. Hvis b 0, og c = 0, er der 2 rødder: og 0. Eksempel: 4x² - 8x = 0 x(4x - 8) = 0 x = 0 v x = 2. I den (efter faldende potenser ordnede og) reducerede andengradsligning x² + ax + b = 0, hvor der med andre ord er divideret igennem med koefficienten til x 2, så denne er 1, er x = ±, dersom 0. Det kan formuleres sådan: I den (efter faldende potenser ordnede og) reducerede andengradsligning, er x lig med det halve af koefficienten til x med modsat fortegn (-a/2) plus/minus kvadratroden af samme tal (-a/2) i anden fulgt af ligningens sidste led (b) med modsat fortegn.

19 19 I den reducerede andengradsligning x² + ax + b = 0, hvor d 0, er: a = -(x 1 + x 2 ) = summen af rødderne med modsat fortegn og b = x 1 x 2 = røddernes produkt. Endelig er x 1 = -a - x 2 og x 2 = -a - x 1. Det kan bevises, at: x 1 + x 2 = -a og x 1 x 2 = b: Den ubekendte x 1 kaldes y, og den ubekendte x 2 kaldes x: Ligning 1: y + x = -a y = -x - a. Ligning 2: y x = b y = b : x, x 0. -x - a = b : x x + a = -b : x x(x + a) = -b x² + ax = -b x² + ax + b = 0. Hermed har vi den oprindelige, reducerede andengradsligning. ax² + bx + c = 0, a 0. Hvis c = 0, kan rødderne findes som vist i dette eksempel: x² + 2x = 0 x(x + 2) = 0. Løsning 1: x = 0 : (x + 2) x = 0. Løsning 2: x + 2 = 0 : x x = -2.

20 20 ax² + bx + c = 0, a 0. I andengradsligninger, hvor c 0, og hvor c og rødderne kendes, kan a og b bestemmes på denne måde: Eksempel: c = 4, x 1 = -4, x 2 = 1. Efter reduktion af ligningen, er 1) a altid 1, 2) b = -(x 1 + x 2 ) = -(-4 + 1) = 3, 3) c = (x 1 x 2 ) = -4 1 = -4. Efter reduktion hedder ligningen altså: x² + 3 x - 4 = 0. Men da c = 4 i den ikke reducerede ligning, ganges der igennem med -1: -1 x² - 3 x + 4 = 0. Det vil sige, at i den oprindelige (ikke reducerede) ligning, er a = -1 og b = -3. Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus eller minus det dobbelte produkt (af de to led): Eksempel: (x - 5) (x - 5) = (x - 5)² = Kvadratet på en toleddet størrelse = x² x = x² - 10 x Differencen mellem to tals kvadrater er lig med de to tals sum gange de samme to tals differens: Eksempel: (x² - 25). De to tal er x og 5. Dermed er (x² - 25) = (x + 5) (x - 5). Bevis: (x + 5) (x - 5) = x² - 5x + 5x - 25 = x² - 25.

21 21 Ligninger af typen (x + 5) (x - 5) = 0 har 2 løsninger: 1) x + 5 = x = -5. 2) x - 5 = x = 5. Andengradsligninger kan ofte løses ved hjælp af faktorisering: Eksempel 1: 2x² + 8x + 6 = 0 x² + 4x + 3 = 0 (x ² + 4 x + 4) = 0 (x + 2)² = 0 (x + 2)² = 4-3 = 1 = ± x + 2 = ± 1 x = -2 ± 1 x = -1 v x = -3. I den reducerede ligning x² + 4x + 3 = 0 er x 1 + x 2 = -a. Dermed er: -1 + x 2 = -4 x 2 = = -3. Eksempel 2: -2x² + 2x + 4 = 0 x² - x - 2 = 0 (x + 1) (x - 2) = 0. Dermed er x 1 = -1 og x 2 = 2.

22 22 Supplerende opgaver Opgave 9 Bestem regneforskriften for den funktion, der fremkommer, når grafen for a) f(x) = 2x 2 forskydes 3 enheder til venstre langs (parallelt) med x-aksen, b) g(x) = ¼ x 2 forskydes 6 enheder til højre langs (parallelt) med x-aksen, c) h(x) = -7x 2 forskydes 5 enheder opad langs (parallelt) med y-aksen, d) j(x) = -x 2 forskydes 2 enheder til højre langs med x-aksen og 1 enhed nedad langs med y-aksen. Opgave 10 Tegn grafen for a) f(x) = (¼) x b) g(x) = (¼) x-2 c) h(x) = (¼) x - 5 c) h(x) = (¼) x Opgave 11 Bestem regneforskriften g for den graf, der fremkommer, når grafen for f(x) = ½ x + 2 forskydes 2 enheder til højre langs med x-aksen og 3 enheder nedad langs med y-aksen. Bestem også s og t i formlen g(x) = a(x - s) + t. Opgave 12 Tegn grafen for hver af disse funktioner a) f(x) = -x 2 b) g(x) = -x c) h(x) = -(x - 1) 2 d) k(x) = -(x - 1) Opgave 13 Tegn i et koordinatsystem graferne for disse funktioner: a) f(x) = -2x 2 + 4x + 6 b) g(x) = -2x 2-4x - 6 c) h(x) = -2x 2 + 4x 6 d) j(x) = -2x 2 + 4x + 6

23 23 Opgave 14 Bestem toppunktet og tegn parablerne. a) y = x 2-6x - 7 b) y = x 2 + 2x - 15 c) y = x 2-7x + 12 d) y = x 2 + 4x + 5 Opgave 15 Bestem symmetriakse og toppunkt for hver af parablerne og tegn disse. a) y = -x 2-5x - 4 b) y = -x 2-4x + 5 c) y = x 2 + 7x + 6 d) y = -x 2 + 4x + 5 e) y = 2x 2-2x - 4 f) y = 3x 2 + 6x + 3 g) y = x 2-2x - 3 Opgave 16 Angiv fortegnet for a, b, c og d i hver af disse parablers ligninger. Opgave 17 Parablen med ligningen y = 2x 2 + bx + c har topunktet (3, ). Bestem b og c. Opgave 18 En parabel går gennem punkterne (3, 0), (5, 12) og (-2, 5). Bestem parablens ligning.

24 24 Opgave 19 Bestem a i ligningen x 2 - (a + 5)x + 5a = 0, så denne kun har en løsning. Opgave 20 a) x 2-2x - 35 = 0 b) (3x - 3)(x + 2) = 0 c) (-2x - 4)(x + 1) = 0 d) (5x - 1) 2 - (2x + 1) 2 = 56 e) (x - ½) 2 + (x + ½) 2 = 5 f) 2x 2-2x - 4 g) (2x + 3) 2 - (2x - 3) 2 = 240 Opgave 21 a) b) c) 3 Opgave 22 I en retvinklet trekant er hypotenusen 1 cm længere end længste katete og 8 cm længere end den korteste. Vis, at trekantens omkreds er 30 cm. Opgave 23 Bestem en andengradsligning, der har rødderne: a) -1 b) 3 c) 1 d) -1 Opgave 24 Tegn parablerne givet ved y = 1¼ x ² - 3½ x - 36¾ og y = (-½ x + 3½) 2, og bestem deres skæringspunkter.

25 25 Opgave 25 Bestem hvor de parallelle linjer, givet ved a) y = 2x - 2 b) y = 2x + 2 c) y = 2x - 14 d) y = 2x - 5 skærer parablen, der har ligningen y = -x 2 + 4x + 1. Opgave 26 Tegn parablen, der har ligningen y = ¼ (x - 4) 2 7. Linien l a er givet ved y = -x - a, idet a er et reelt tal. For hvilke værdier af a skærer linjen parablen henholdsvis to steder, kun ét sted og ingen steder? Opgave 27 Løs ulighederne: a) 2x 2-5x + 1 < x + 2 b) 5x 2 - x + 1 > -x c) < 1 d) > 4 e) > 2 f) x + 7 ½ x 2-2x + 1 Opgave 28 Tegn i samme koordinatsystem graferne for funktionerne f(x) = x - 1 og g(x) = -x 2 + 4x - 1. Skravér de områder i koordinatsystemet, for hvilket det gælder, at f(x) > g(x). Opgave 29 Bestem mænden af reelle tal a, for hvilke det gælder, at uligheden ax 2 + 4x - 5 > 0 ikke har nogen løsninger.

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2010 Institution Vejle Handelsskole Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik B Lærer(e) LSP ( Liselotte

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematikkens mysterier. 3. Analytisk geometri

Matematikkens mysterier. 3. Analytisk geometri Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 3. Analytisk geometri y 4 9,6 0 5 7 x En bro Hvad er mon højden af støttepælene? 3. Analytisk geometri Indhold 3. Koordinatsystemet

Læs mere

7 Funktioner. Hayati Balo, AAMS. Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger

7 Funktioner. Hayati Balo, AAMS. Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 7 Funktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus B-niveau 1 og 2 2. Hans Sloth, Trip s matematiske bog

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0).

Læringsmål på 3 niveauer: Eleverne arbejder med at opstille og løse 2.gradsligninger (ax 2 +bx+c=0). Planlægningsmodel UVD Forløb med løsning af en 2. gradsligning 9 klasse i 5-6 lektioner Fælles mål /kompetencemål: Tal og algebra Eleverne kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) MIHY (Michael

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Partikelbevægelser i magnetfelter

Partikelbevægelser i magnetfelter Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med

Læs mere

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller-

1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- 1. Modeller Redegør for regneforskrift og graf for forskellige vækstmodeller. Du skal specielt redegøre for eksponentielle modeller- Vækstmodellerne: Lineær funktion: Forskrift: a er hældningskoefficient

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold 3 ) Lærer(e) Hold

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere