p q Både p og q S S F F S F S F F F Sandhedstabel for konjunktionen p q p eller q S S S S F S F Sandhedstabel for disjunktionen p q Hvis p så q S S S

Transkript

1 3. Udsagnslogik Der er meget mere at sige om den logiske slutning end det, man får ud af at studere Aristoteles' klassiske syllogismer. elv hos Aristoteles findes der mange andre væsentlige bidrag til studiet af logisk argumentation, men mens det vigtige for Aristoteles var opbygningen af de enkelte påstande og konsekvenserne heraf, med henblik på mulighederne for at drage logiske slutninger, blev interessen i logikken i de efterfølgende århundreder rettet mod udsagnslogikken, d.v.s. den form for logik, der tager udsagnene som de fundamentale enheder. Udsagnslogikken blev grundlagt inden for stoicismen, som var en meget betydningsfuld filosofisk retning, der samlede førende tænkere fra ca. 300 f.kr. og helt frem til ca. 200 e.kr.. or stoikerne bestod filosofien af tre områder: Logik, fysik og etik, men der var udbredt enighed om, at logikken var den første af de tre. I stoisk logik skelnes der mellem enkle og sammensatte udsagn. De enkle er i realiteten blot særsætninger, som f. eks. det er dag. De sammensatte består af enkle domme kædet sammen med et bindeord. De bindeord, som stoikerne især beskæftigede sig med var: og, eller samt hvis... så.... or disse sammensatte udsagn søgte de at beskrive sandhedsbetingelserne. De konkluderede, at en konjunktion (d.v.s. to enkle udsagn bundet sammen med og ) kun er sand, hvis begge er sande. En disjunktion (d.v.s. to enkle udsagn kædet sammen med eller ) er sand, hvis blot et af de to udsagn er sandt. Implikationen, hvor bindemidlet er hvis... så..., er falsk, når det første udsagn er sandt og det andet falsk; ellers er implikationen sand. andhedstabellerne for de tre typer af sammensatte udsagn fremgår af følgende skemaer. 34

2 p q Både p og q andhedstabel for konjunktionen p q p eller q andhedstabel for disjunktionen p q Hvis p så q andhedstabel for implikationen I udsagnslogikken indfører man symbolske udtryk for de nævnte sammensatte udsagn. Man benytter p q, p q og p q for henholdsvis konjunktion, disjunktion og implikation. Hertil kommer negation, ~p, som har den modsatte sandhedsværdi af p. Med ovenstående sandhedstabeller kan man udregne tabeller for kombinationer af logiske udtryk. Hvis der kun indgår to forskellige udsagnsvariable (f.eks. p og q) i et udtryk, bliver der som ovenfor fire rækker i tabellerne. Indgår der 3 udsagnsvariable, bliver der 8 rækker i tabellerne osv. Udtryk, som kun har sandhedsværdien i sandhedstabellen, kaldes tautologier. Man kan f.eks. vise, at følgende sammensatte udtryk er tautologier: 35

3 p ~p (p q) ~(~p ~q) (p q) ~(~p ~q) (p q) ~(p ~q) ~(p ~q) (p q) q (p q) ~p (p q) Konjunktion og disjunktion Der er imidlertid problemer i forbindelse med ovenstående definitioner. Vi har allerede set, at og kan optræde i flere betydninger. Manden sidder, og manden står, behøver ikke at være selvmodsigende, for der kan være underforstået en tidslig række mellem sidder og står, således som det må være tilfældet i sætningen: Hun bagte en kage i ovnen og spiste den. Her er rækkefølgen af de enkelte dele af det sammensatte udsagn tydeligvis betydningsfuld. (Prøv selv at vende om på rækkefølgen!) Men i konjunktionen er rækkefølgen ligegyldig, d.v.s. at både p og q betyder det samme som både q og p. I forbindelse med disjunktionen er der også noget at diskutere. Det gælder især m.h.t. det tilfælde, hvor både p og q er sande. Ifølge skemaet er p eller q sand i det tilfælde. Men det er ikke altid, at vi bruger eller på den måde. Af og til mener man med p eller q, at præcis ét af de to udsagn er sandt, men ikke begge. Hvis man mener det, kan det fremhæves i stedet ved at sige enten p eller q. Implikationen I oldtiden diskuterede man imidlertid især problemer i forbindelse med implikationen. Mange mente, at man måtte skelne mellem en implikation, der kan tillades bare at være gyldig til én tid, og en implikation, der skal være gyldig til alle tider for overhovedet at være gyldig [Mates, 1961, p. 36]. Den berømte konflikt om implikationen mellem Diodorus og hans elev Philon angik dette forhold mellem tid og implikation.: 36

4 or om følgende implikation, Hvis det er dag, samtaler jeg, gælder det, at når det faktisk i øjeblikket er dag, og jeg faktisk i øjeblikket samtaler, da er den ifølge Philon sand, eftersom den begynder med den sande dom, Det er dag, og ender med den sande dom, Jeg samtaler; men ifølge Diodorus er den falsk. Thi den er i stand til engang at være begyndt med den sande dom, Det er dag, og være endt med den falske dom, Jeg samtaler, nemlig når jeg faktisk har tiet stille. Og den er stadig i stand til at begynde med en sand dom og slutte med den falske dom, Jeg samtaler; thi før jeg begyndte at samtale, begyndte den med den sande dom, Det er dag, og endte med den falske, Jeg samtaler. [løk 1966, p ] Konflikten mellem Diodorus og Philon drejede sig altså om, hvorvidt man skulle tillade sandhedsværdien af en implikation at variere med tiden eller ej. I middelalderen var logikerne opmærksomme på problemet, og de løste det ved at tillade begge slags implikation. Den tidsafhængige implikation, som man kaldte consequentia ut nunc, som svarer til Philons implikation, var dog relativt sjælden. En af de få der spekulerede over den var Johannes Buridanus (ca ), som bl. a. betragtede implikationen: Hvis alle mennesker løber, så løber okrates. Denne implikation er tydeligvis kun sand, sålænge okrates lever. Nu efter hans død, kan han ikke løbe mere! Det betyder, at implikationen er falsk nu, hvis alle mennesker (evt. inden for visse begrænsninger) sætter i løb. Implikationen har altså været sand i Philon's forstand, men den er ikke og har aldrig været sand i Diodorus' forstand. Diskussionerne om implikationer m.m. har stået på lige siden stoikerne. Lad os se på ét af de særligt berømte problemer i den forbindelse, nemlig de såkaldte implikationsparadoxer. Betragt udsagnene: Hvis 1=2, så er månen en grøn ost. Hvis Rundetårn ligger i Århus, så er 1 og 2 forskellige. 37

5 Hvis H.C. Andersen var dansker, så er 2 et lige primtal. Disse tre implikationer er alle sande ifølge den nævnte, udsagnslogiske definition, som har været accepteret siden stoikerne. Der er imidlertid noget galt i forhold til vor dagligsproglige intuition. Hovedproblemet er nok, at sandheden af en hvis... så... sætning udsagnslogisk set ikke betyder, at der er en forbindelse mellem de to komponenter i udsagnet. Misforholdet mellem den udsagnslogiske implikation og det dagligsproglige hvis... så... har givet anledning til utallige afhandlinger, artikler og bøger siden oldtiden - også i den moderne forskning. (e f. eks. [Nørreklit 1987]). Blandt vanskelighederne i forbindelse med implikationen bør man også nævne de såkaldte kontrafaktiske implikationer. Betragt f.eks. udsagnet: Hvis Cæsar havde deltaget i Korea-krigen, ville han have brugt atom-våben. Udsagnet kan evalueres som sandt, hvis vi antager, at Cæsar transformeret til moderne tid stadig ville være en koldblodig kriger, som ville sætte alle til rådighed stående midler ind på at vinde krigen. - Vi kunne imidlertid lige så vel have argumenteret for holdbarheden af udsagnet: Hvis Cæsar havde deltaget i Korea-krigen, ville han have brugt katapult. Her forestiller vi os Korea-krigen transformeret til Cæsars tid, hvorefter Cæsar naturligvis må forventes at anvende de våben, som på hans tid blev anset for de mest effektive. I disse eksempler spiller overvejelser vedrørende mulige forløb i tiden (historien) tydeligvis en vigtig rolle. Det er ofte tilfældet i forbindelse med de kontrafaktiske konditionaler. Tænk f. eks. på den tragiske katastrofe på candinavian tar færgen, hvor det bl. a. har været hævdet: 38

6 Hvis man havde holdt brandøvelse dagen før, ville besætningen kunne have reddet flere af passagererne. Her kan der være nyttigt at benytte forestillingen om forgrenet tid, som A.N. Prior introducerede: ~m b m ~b ~m m b: brandævelse m: mange omkommer Ved at følge pilene på figuren fra venstre mod højre finder man det faktiske (tragiske) forløb fra ingen brandøvelse (~b) til, at mange omkommer (m). De øvrige indtegnede forløb er kontrafaktiske. iguren viser også, at hvis der havde været afholdt brandøvelse i går (dvs. b), ville der ikke have været mange omkomne (dvs. ~m). Det er klart, at opstilling af et sådant forgreningsskema mhp. evaluering af en kontrafaktisk implikation som den ovenstående forudsætter, at man har et betragteligt overblik over de fysiske forhold og sammenhænge på skibet og de deraf følgende forskellige mulige forløb i forbindelse med branden på skibet. Der kan dog aldrig blive tale om et fuldstændigt kendskab til alle detaljer. Man vil altid skulle foretage et valg af et grad af detaljering. Og her er vi ved noget afgørende. Der skal altså udvælges et antal faktorer, som der skal tages hensyn til ved evalueringen. Men som vist i diskussionen ovenfor er det bestemt ikke altid, at der mellem to diskussionsparter kan opnås enighed om, hvilke faktorer der skal tages hensyn til. Derfor må man i diskussionens løb kunne udvide den ramme, der danner baggrund for diskussionen. Det forhold gør evaluering af kontrafaktiske implikationer meget kompliceret - logisk set. 39

7 Andre sammensatte udsagn Endnu et andet problemfelt for udsagnslogikken siden oldtiden har været antallet af logiske bindeord. toikerne betragtede, som vi har set, 3 bindeord ( og, eller, hvis... så... ) som logisk interessante. I middelalderen var der imidlertid en vis diskussion om dette antal. Man var enige om at anerkende de tre. Men var der flere, som burde tages i betragtning? I en del vigtige værker inden for den senskolastiske logik opfattede man bl. a. temporalis, som kan konstrueres med bindeordet mens (latin: quando), som et sammensat udsagn på linje med konjunktion, disjunktion og implikation. Man var imidlertid opmærksom på, at temporalis opfører sig på en anden måde end de tre nævnte sammensætninger. Det forhold, som gør temporalis afgørende anderledes end konjunktion, disjunktion og implikation, kan illustreres med følgende eksempler, som gør sig bedst på latin: Pater meus fuit, quando Adam fuit (Min far var, mens Adam var) Pater meus fuit, quando Adam non fuit (Min far var, mens Adam ikke var) Det første eksempel viser, at en temporalis kan være falsk, selv om begge komponenter ( Pater meus fuit og Adam fuit ) er sande, mens det andet viser, at en temporalis kan være sand, selv om en af komponenterne er falsk ( Adam non fuit ). ådan er det imidlertid slet ikke altid. Man kan nemt finde eksempler, hvor begge komponenter er sande, og hvor den resulterende temporalis også er det. Tænk f. eks. bare på min far var, mens min far var. Man kan også nemt finde et eksempel på en sand temporalis med sand første komponent og falsk anden komponent. Dermed bliver det umuligt, at opstille en sandhedstabel for temporalis, sådan som vi kunne det for konjunktionen, disjunktionen og Philon's implikation. Vi siger, at temporalis ikke er sandhedsfunktionel. Meget af det, som vi har nævnt ovenfor om implikationen tyder på, at der i hvert fald er vigtige typer af implikationer, som heller ikke er sandhedsfunktionelle. 40

8 Udsagnslogiske slutninger Blandt de klare fordele i forbindelse med udsagslogikken bør nævnes, at den åbner mulighed for en enkel repræsentation af slutningsregler. Det indså allerede stoikerne, som f. eks. formulerede en række fundamentale regler: Hvis det første, så det andet. Men det første. Altså det andet. Hvis det første, så det andet. Men ikke det andet. Altså ikke det første. Ikke både det første og det andet. Men det første. Altså ikke det andet. Det første eller det andet. Men ikke det første. Altså det andet. toikerne talte om disse regler som ubeviselige argumenter, og de karakteriserede dem som argumenter, der efter deres påstand ikke behøver noget bevis for at blive opretholdt, men som selv tjener som bevis for andre argumenters gyldighed [løk 1966, p. 57]. Den første af disse slutningsregler kaldes nu modus ponens, mens den anden betegnes modus tollens. Ved psykologiske forsøg har P. N. Johnson-Laird [1983] vist, at modus tollens forekommer mennesker langt vanskeligere end modus ponens. I slutningsreglerne ovenfor lægger man mærke til stoikernes anvendelse af ordenstallene (jvnf. anvendelsen ovenfor af det første og det andet ) som repræsentanter for vilkårlige udsagn. Det kan sådan set betragtes som en tidlig forløber for den moderne udsagnslogiks anvendelse af variable som symboler for udsagn. 41

9 Det er klart, at slutningsreglerne ovenfor kun angår en lille del af de udsagn, som logikeren kan opbygge. Når vi går til mere komplicerede udsagn, kan det blive meget svært at finde de acceptable slutningsregler. Prøv selv at overveje, hvilke slutningsregler, der gælder for udsagn, der indeholder mens! 42

10 Øvelse 3 I hvert af nedenstående tilfælde er der angivet 2 præmisser. Overvej i hvert af tilfældene, hvad man kan slutte (om noget overhovedet!) fra præmisserne. 1) Hvis Hans er hjemme, så er Grethe hjemme. Grethe er hjemme. 2) Hvis Hans er hjemme, så er Grethe hjemme. Hans er hjemme. 3) Hvis Hans er hjemme, så er Grethe hjemme. Grethe er ikke hjemme. 4) Hvis Hans er hjemme, så er Grethe hjemme. Hans er ikke hjemme. 5) Hans eller Grethe er hjemme Hans er ikke hjemme. 6) Hans har været hjemme, mens Grethe var hjemme Grethe var hjemme i går. 7) Hans vil altid være hjemme, mens Grethe er hjemme Grethe er hjemme i morgen. 8) Hans vil altid være hjemme, mens Grethe er hjemme Grethe var hjemme i går. Øvelse 4 Vis ved hjælp af sandhedstabeller, at de sammensatte symbolske udtryk på side 35 som hævdet faktisk er tautologier. 43