- Samme formelsamling som du har fået udleveret.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "http://tinyurl.com/jmgformel - Samme formelsamling som du har fået udleveret."

Transkript

1 JG s matematikkompendium Nyttige links: - Tilføjelse til Word. Et rigtig godt hjælpeværktøj til matematikken. - Samme formelsamling som du har fået udleveret. - Uundværligt geometriprogram. 1

2 JG s matematikkompendium Indholdsfortegnelse Regneark... 3 Tur til Fårup Sommerland... 6 Økonomiopgave Algebra Eksempel - Ubekendt på begge sider af lighedstegnet Procent Vækst Vækstformlen Logaritmeformel Opgaver til vækstformlen Funktioner grads funktioner ligninger med 2 ubekendte Omvendt proportionalitet / hyperblen Areal Pythagoras Rumfang Trigonometri Ensvinklede trekanter Enhedscirklen Sinus, Cosinus og Tangens Formler for retvinklede trekanter Statistik Enkeltobservationer Grupperede observationer Boksplot Opgaver til boksplot Statistisk sandsynlighed...78 Kombinatorisk sandsynlighed grads funktioner Parablen Beregninger på parablen Værktøjskassen Sjov med 2. grads funktioner

3 JG s matematikkompendium Regneark Funktioner og variabler Et regneark består af celler, som hver især har navn efter hvor på arket de befinder sig (Næsten lige som i et koordinatsystem). F.eks. hedder den markerede celle, i figur 1, A1 (række 1, kolonne A): Figur 1 Man kunne selvfølgelig godt bare skrive nogle tal, og så bede regnearket om at finde resultatet. (Du kan se på øverste linie i figur 2, at man skal skrive [=] først for at regnearket ved at det skal lave en beregning. Så står der: fx 12): Figur 2 Det smarte ved regnearket er nu, at i stedet for at skrive tallene ind i regnestykket, kan man bare skrive dem i nogle andre celler, og så få Excel til at bruge det der nu står i cellerne (se figur 3): Figur 3 På øverste linie i figur 3 kan I nu se, at jeg ikke beder Excel om at lægge nogle bestemte tal sammen, men derimod værdierne af nogle celler:. Prøv selv at skrive nogle andre tal i disse celler (her: A2 og B2), og Excel finder så automatisk det nye resultat, brug gerne flere end to tal. Man kan også bruge andre regnearter end + Ved denne metode regner du faktisk med funktioner og variabler. Resultatet ( fx ) er en funktion af celle A2+B2. 3

4 JG s matematikkompendium Det hedder variabler, fordi det varierer, hvad der står i cellerne. Hver gang du taster et nyt tal ind, får du også et nyt resultat (funktionsværdi). Til mange af de ting man laver i Excel, er der nogle funktioner der gør det nemmere og hurtigere at lave beregninger. På figur4 kan du se hvordan det ser ud, hvis du skriver =sum(a1:a5) i celle c2 og derefter bruger musen til at markere de tal der skal lægges sammen. Når det er gjort taster du bare [ ] og celle c2 viser resultatet. Figur 4 1. Lav selv nogle flere beregninger, hvor du også bruger andre regnearter. Her er nogle smarte hjælpefunktioner: 1. Skriv f.eks. [2] i celle A1, og placér derefter musen over nederste højre hjørne. Der fremkommer nu et lille og du kan ved at holde venstre museknap nede trække værdien af celle A1 i den ene eller den anden retning, så flere celler bliver fyldt med den samme værdi. Se figur 5. Dette kan gøres uanset, hvad der står i cellerne, så du kan altså også trække variabler. På figur 6 kommer der altså til at stå =A1 i celle B1, og =B1 i celle C1, o.s.v. Figur 5 Figur 6 2. Når der står =A1 i celle B1 og vi trækker mod højre, kommer der altså her til at stå =E1 i celle F1. 4

5 JG s matematikkompendium Man kunne godt forestille sig at få brug for at celleværdien ikke vokser når man trækker i en celle. Dvs. at når vi trækker i celle B1, hvor der jo står =A1, skal der også i celle F1 stå =A1. For at kunne gøre dette, skal du lave en absolut reference. Det betyder at det er lige præcis værdien af den celle der trækkes i, der skal føres videre til de andre celler. Figur 7 På figur 7 kan du se at funktionen der kommer til at stå i de andre celler hedder =$A$1. Disse $-tegn finder du ved at bruge [ALT GR] Hvis du har Excel kan du bare trykke [F4] I et regneark er der forskel på tekst og tal. Hvis du skriver tekst i en celle som i figur 8, kan der ikke laves beregninger. Figur 8 Skal der skrives tekst, skal det stå i en celle for sig selv. Og hvis det skal regnes i kroner, skal du ikke skrive Løn foran eller kr bagefter, men derimod klikke eller i værktøjsbjælken ovenfor. Endnu bedre er det at bruge en ny celle til at skrive tekst i. 5

6 JG s matematikkompendium Tur til Fårup Sommerland En klasse fra HU vil gerne til Fårup Sommerland. Da der ikke er økonomi på skolen til at betale hele turen, må eleverne også selv betale lidt penge til turen. For at finde ud af, hvor meget turen kommer til at koste for hver elev, laver klassen et budget for turen. Det er i den sammenhæng lettest at finde klassens samlede pris for turen (altså indtægter minus udgifter) og så dele denne pris med antallet af elever. Opgave 1 For at gøre det let at rette i budgettet, vil klassen lave budgettet i et regneark. I første omgang vil de skrive nogle grundoplysninger, som skal bruges mange gange i forbindelse budgettet. En af disse grundoplysninger kunne være antallet af elever. Der er 24 elever i klassen. Eks. Bemærk at tekst og antal står i samme række men i forskellige celler (A1 og B1). Regnearket kan ikke finde ud af at regne hvis der står tal og bogstaver i samme celle. Der skal 2 lærere med på turen. Du skal nu skrive grundoplysningen Lærere ind i række 2. Hvis din tekst går ud over cellerne, kan du justere cellebredden ved at holde musen på linen mellem kolonerne og trække dem bedre. Opgave 2 I første omgang vil klassen kigge på nogle indtægter. En af indtægterne er at skolen giver 50 kr. pr. elev. Klassen laver budgettet således, at de i samme række skriver tekst, en sats og et resultat i tre forskellige celler ved siden af hinanden. Teksten kunne være: Penge fra skolen Satsen er: 50 Resultatet finder vi ved at sige antallet af elever gange satsen. Når vi skal skrive det ind i regnearket, kunne formlen være =B1*E2. Bemærk, at i stedet for at skrive B1 kan man bare klikke på cellen B1. 6

7 JG s matematikkompendium Og når man så trykker enter ser det således ud: Hvis man vil gøre det fint kan man efterfølgende gå ind og formatere cellen, så der i E- og F-kolonnen er 2 decimaler og der står kr efter tallet. (Fremgangsmåden: marker cellen og klik på ikonet med 0 erne for at ændre på antallet af decimaler. Og klik på valuta ikonet for at få det til at være kr.) Den kvikke elev vil nu opdage, at der står tekst og tal i samme celle, og at computeren godt kan regne med kr. når bare man har brugt ikonet og ikke selv skrevet KR. Sådan er det bare!!! Virksomheden Tøfex vil gerne være sponsor for klassen. De vil gerne give 33,27 kr. pr. elev. Skriv denne oplysning ind i række 3. Opgave 3 En anden sponsor Brutto vil gerne give klassen et beløb på 2000 kr. Eks. 1 Fortjeneste på salg i skoleboden giver klassen et beløb på 1134 kr. Skriv denne oplysning ind i række 5 Opgave 4 Klassen vil nu gerne have et overblik over de samlede indtægter. 1 I denne opgave kunne man også bare have skrevet de 2000 kr. direkte ind i resultat-cellen uden at bruge sats-cellen, men det er ikke altid, det er en god idé! 7

8 JG s matematikkompendium Det gør de ved, at de nedenfor beløbene i resultat-kolonnen laver en sammentælling af de 4 beløb. Her kan man bruge funktionen Autosum, som man finde i menuen (Har form som et sigmategn). Efterfølgende markerer man de celler, som skal lægges sammen og trykker på enter. Senere vil der komme en opgave, hvor man skal bruge denne viden. Så her skal du bare læse og forstå, det som er forklaret. Selvfølgelig skal du så også skrive det ind i regnearket. Opgave 5 Den største udgift i forbindelse med turen er betalingen for at komme ind i Fårup Sommerland. Det koster 150 kr. pr person. Så elever og lærere skal betale den samme pris. Eks. En anden udgift er betaling til bus. Busselskabet skal have 130 kr. pr. person, der skal med i bussen. Skriv denne oplysning ind i række 9. 8

9 JG s matematikkompendium Opgave 6 Find de samlede udgifter og skriv dem ind i række 10. (se evt. opgave 4) Opgave 7 Find og beregn klassens samlede egenbetaling for turen. (Udgifter minus indtægter) Opgave 8 For at finde den pris, som hver enkelt elev skal betale, skal man sige klassens samlede egenbetaling divideret med antallet af elever. Find hvor meget hver elev skal betale til turen. Opgave 9 Lav et lidt pænere layout på dit regneark. Brug ikonerne herunder til f.eks. at lave udgifter røde, indtægter blå og grundinformationerne grønne. Prøv at lave en ramme om dit regneark. Brug samme ikon til at lave to steger under facit. Opgave 10 Lav et diagram som viser fordelingen af klassens indtægter. Vælg indsæt i menulinjen og marker indtægterne Derefter klikker du på cirkeldiagrammet og får et ubrugeligt cirkeldiagram frem, da du jo ikke kan se hvad der er hvad. Vælg en af cirkeldiagramtyperne. Klik derefter på ikonet vælg data. 9

10 JG s matematikkompendium Nu kommer følgende frem på din skærm For at få forklaringer til diagrammet, skal du vælge at redigere i den vandrette (kategori) akseetiketten. Klik på rediger og marker cellerne med Penge fra skolen til penge fra skoleboden og tryk OK. Nu vil der kommer til at stå teksten fra cellerne i steder for 1,2,3,4 som på billedet herover. Klik på OK Vupti, dit cirkeldiagram er færdigt og øv, du har ikke selv skulle beregne procent og grader. Ups, Jeg har glemt at forklare hvordan man ændrer i diagramtitlen - prøv dig frem 10

11 JG s matematikkompendium Opsamling på det første 9 opgaver Nedenfor kan du se hvordan formlerne og cirkeldiagrammet kan se ud. 11

12 JG s matematikkompendium Opgave 10 Fordelen ved at lave budgettet i regneark er, at man hurtigt kan ændre et tal i budgettet og hvis man så har lavet formlerne rigtigt, så vil regnearket automatisk tilpasse budgettet til denne ændring. F.eks. kunne det jo være, at en af eleverne i klassen ikke skal med fordi vedkommende skal ud og rejse med sin familie. Således er der kun 23 elever, som skal afsted. Derfor retter man i celle A2 tallet fra 24 til 23. Og vupti, så laver regnearket rettelserne i budgettet, som ændringen i elevtallet medfører! Eks. Du skal nu ændre følgende: a) Der skal 3 lærere med Hvad er prisen nu? b) Skolens betaling til turen er sat op til 55 kr. pr. elev Hvad er prisen nu? c) Lærerne skal ikke betale for at komme ind i Fårup Sommerland Hvad er prisen nu? d) prøv at sætte beløbet fra skolen op til 100 kr. pr elev og se om cirkeldiagrammet ændre sig af sig selv. Hvis ikke, er der noget galt!! Hvis du ikke allerede har gemt, så opret en matematikmappe, økonomimappe og kald den budget Fårup.. Indset små kommentarer i cellerne i regnearket til dig selv, så du kan finde hjælp til de forskellige funktioner. (Højre klik på cellen. Vælg indsæt kommentar og skriv det du tror, du ellers vil komme til at glemme). Husk at gemme dit regneark igen 12

13 JG s matematikkompendium Økonomiopgave Et regneark kan bruges til mange nyttige ting i hverdagen. Du kan f.eks. bruge det til at holde styr på din egen økonomi. Prøv nu at lave et regneark, der holder styr på din egen økonomi. Det skal laves sådan at saldoen ændres, når du ændrer på indtægter og udgifter. Eks: Min økonomi Indtægter Januar Februar Marts April Maj Løn Lommepenge Feriepenge Indtægter i alt Udgifter Mobiltelefon Internet Fest Mad Udgifter i alt Balance Saldo (år) 6130 HUSK!: Det gælder om at være doven! - Det vil sige, at det gælder om at lave et grundigt forarbejde. Så bliver det nemlig let at lave ændringer senere. 13

14 JG s matematikkompendium Cykelopgave Jakob køber ny cykel. Regnskabet for køb af cyklen kan f.eks. laves som det ses herunder: 1. Stil selv opgaven op i et regneark. De steder hvor der er beregninger skal der ikke bare tastes tal ind, men derimod beregningerne som vist i nedenstående eksempel: Hvis teksten ikke kan være i cellen, kan du bare dobbeltklikke mellem de to kolonnenavne, så tilpasses bredden på kolonnen automatisk. a) Når regnskabet er sat op og beregningerne virker, skal du bruge lidt tid på at få det til at se overskueligt og flot ud. b) Lav et diagram (vælg det der passer bedst), der viser fordelingen af cyklens pris. Jakob synes nu alligevel at det er for dyrt for bagagebæreren, så han vælger i stedet at bruge den fra hans gamle cykel. Til gengæld vil han have en bedre lås. Den koster 120 kr. 2. Hvad koster cyklen nu? Jakob er handelsmand og prutter om prisen. De bliver enige om at der skal slås 5 % af den samlede pris før klargøring. 3. Hvad koster cyklen nu? 14

15 JG s matematikkompendium Busturen (Nørdopgaven) En klasse skal på bustur. Afhængig af hvor mange de bliver, skal der lejes en stor eller en lille bus. Dermed afhænger prisen også af deltagerantallet. Regnearket opbygges på følgende måde: Antal kilometer 600 Antal deltagere 15 En lille bustur Personer Leje Km-pris Leje af lille bus 14 kr 3.000,00 kr 1,50 Leje af stor bus 30 kr 5.000,00 kr 2,50 Antal busser Pris for lille bus kr 7.800,00 >>> 0 "lille bus" Pris for stor bus kr 6.500,00 >>> 1 "stor bus" Buspris kr 6.500,00 Pris pr. deltager kr 433, , Jakob Mols Græsborg Nogle steder gemmer sig HVIS-funktionen og RUND.OP-funktionen, men jeg synes I selv skal prøve at finde ud af, hvordan den fungerer. Få også styr på, i hvilke celler der kan indtastes data, og i hvilke celler der laves beregninger, så det er til at finde rundt i. 15

16 JG s matematikkompendium Algebra Ligninger Hvad skal der stå i den tomme figur for at påstanden bliver sand? Hvis to figurer er ens, skal der stå det samme tal i figurerne = = = = : 6 = : = : 14 = : = = = = = Reducer følgende udtryk: æg + 3 æg + 4 høns + 1 æg + 1 høne æbler + 3 pærer + 2 æbler + 10 pærer 5 æbler fluer 2 myg 8 fluer + 4 myg + 3 myg 1 flue 20. 2x + 3x + 4y + x + y 21. 4b + 3a + 2b + 10a 5b 22. 8x 2y 10x + 4y + 3y x 23. Hvilke udtryk er ligninger? 24. En bil = en jaguar 25. To plus to = Godt vejr = regnvejr 27. x + 2 = en elefant og to myg = to myg og en elefant 29. y y = æbler og 1 æble = 3 æbler g minus 20 g = 30 g 16

17 JG s matematikkompendium Eksempel - Ubekendt på begge sider af lighedstegnet Løsningen til ligningen er altså. Vi undlader her at omregne til et afrundet decimaltal som fx 0,14, fordi vi ønsker en eksakt (helt præcis) angivelse af løsningen. Hvad er der galt i disse omformninger? 32. 5x = 35 6x = 36 x = x + 3 = 15 4x = 18 X = 4½ 34. ½x + 2 = 4 x + 2 = 8 x = x = 2x = 3x 13/3 = x 17

18 JG s matematikkompendium Løs nedenstående ligninger i gruppen. Det er vigtigt at alle i gruppen forstår fremgangsmåden. x 11 2x 9 2x 5 3x 2 x 3 9 2x 9 2x 4 3x x= 5 x 7 x x= 6 2x 8x 14 x= 20 7x 20 3x x= 2( x 1) 4x 8 x= 3x x x= 3x 2 12x 7 x= 3( x 1) 15 x x= 2(4 x) 4x x= 3( x 1) 11 x x= 5 (8 2x) 15 (3x 1) x= 4 ( x 2) 5 2x x= 8 (3 2x) 4 ( x 2) x= 2(3 x) 4x 10 x= 2(8x 9) 316x 15 x= 2(3x 4) 3(2x 1) x= 3 x 4 x= x= x= x= 18

19 JG s matematikkompendium 36. Forklar hvad der sker med hver ligning fra linie til linie 19

20 JG s matematikkompendium Kvadratsætninger (tegn, beregn, fortæl ) Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på sidste led plus eller minus det dobbelte produkt ( ) Vis ved hjælp af nedenstående figur at denne sætning passer:, og forklar sætningen øverst på siden. ( ) Vis ved hjælp af nedenstående figur at denne sætning passer:, og forklar sætningen øverst på siden. To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på det første tal minus kvadratet på det sidste tal ( ) ( ) Prøv evt. at bevise ovenstående sætning geometrisk ved hjælp af denne (og egne) figur(er): 20

21 JG s matematikkompendium Brøker 21

22 JG s matematikkompendium Brøkregler: a. a b c a d cb a d bc d bd db bd Eksempel: Fællesnævner skal kun findes når du lægger sammen eller trækker fra b. a n b a n a na n b b b c. a : b m a bm a bm 16 : d. a c b d a c bd e. a : b c d a d bc 5 : Fortegnsregler: Eksempel: (+) (+) = (+) & (+) : (+) = (+) 2 5 & 2 : 5 er positive (-) (-) = (+) & (-) : (-) = (+) (-2) (-4) & (-2) : (-4) er positive (-) (+) = (-) & (-) : (+) = (-) (-5) 6 & (-2) : 6 er negative (+) (-) = (-) & (+) : (-) = (-) 3 (-5) & 3 : (-5) er negative Regnereglernes hierarki 1. Først udregnes eksponenter i potenser 2 3*2 + 4 * * 25 = 2. Dernæst udregnes potenser og rødder * * 25 = 3. Så udregnes multiplikation og division * 49 5 * 25 = i brøker udregnes tæller og nævner, = før brøken udregnes f. Til sidst udregnes addition (+) og subtraktion (-)

23 JG s matematikkompendium A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S. V T. W U. X Hvad er størst: 8 58 eller 81 Begrund dit svar! 23

24 JG s matematikkompendium Bogstavregning: Opgave 1 Som bekendt gælder. Udtryk dette mere generelt med bogstaverne og Opgave 2 Som bekendt gælder, og.. Udtryk dette mere generelt med bogstaverne Opgave 3 Som bekendt gælder. Udtryk dette mere generelt. Opgave 4 Vis at Opgave 5 1. Formulér i ord: Hvad sker der når du lægger 2 gange et tal til 3 gange det samme tal? 2. Formulér med matematiske symboler: Hvad sker der når du lægger 2 gange et tal til 3 gange det samme tal? Opgave 6: Lyse og mørke felter Undersøg følgende figurer: 1. Tegn hvordan de følgende figurer vil se ud, hvis du fortsætter efter samme mønster. 2. Udfyld tabellen 3. Beskriv med egne ord, hvordan sammenhængen er mellem antallet af mørke felter og antallet af lyse felter. 4. Beskriv med matematiske symboler, hvordan sammenhængen er mellem antallet af mørke felter og antallet af lyse felter. Opgave 7 På et universitet er der 6 gange så mange studerende som der er lærere. Det kan udtrykkes i ligningen 1. Hvad står for i ligningen: 1. Lærere 2. Lærer 3. Antal lærere 4. Ingen af de ovenfor nævnte 5. Ved ikke 2. Hvad står for i ligningen: 1. Lærer 2. Student 3. Studerende 24

25 JG s matematikkompendium 4. Antal studerende 5. Ved ikke Opgave 8 Du har en stak én-kroner og en stak to-kroner. Værdien af den ene stak er lig værdien af den anden. Lad betegne antallet af én-kroner og betegne antallet af to-kroner. Opstil en ligning der udtrykker sammenhængen mellem og. Opgave 9 Overvej hvor vanskeligt det ville være at løse en større ligning, der var formuleret i ord - uden at anvende matematiske symboler: I den indiske afhandling "Lilawati" fra det 8. århundrede formuleres et sted følgende problem: "Af en dynge ægte lotusblomster blev en tredjedel, en femtedel og en sjettedel ofret til guderne Siva, Vishnu og Solen; en fjerdedel blev foræret til Bhavani. De sidste seks blomster blev givet til den ærværdige lærer. Sig mig hurtigt, hvor mange blomster der var" Kan du løse det indiske problem? 25

26 JG s matematikkompendium Brev til mormor - når en centicube holder fødselsdag! Når en centicube holder fødselsdag sker der to ting A den bliver én større på hver led B den bliver dyppet i maling så hele overfladen får en ny farve Beskriv hvor mange af de små centicubes der bliver malet på hvor mange sider. Udfyld resten af skemaet. Alder Antal centicubes 6 sider 5 sider 4 sider 3 sider 2 sider 1 side 0 sider Samlet Overflade x Beskriv med egne ord hvad der sker Skriv et brev til mormor. Brug et sprog så mormor kan forstå det! 26

27 JG s matematikkompendium Procent Simpel procentregning I alle opgaverne skal du regne både skønsmæssigt (i hovedet!) og på lommeregner 37. Hvad er? 10 % af % af % af % af % af % af % af Hvor mange procent udgør 30 af af af af af af Hvad er den procentvise forskel på 100 og og og og og og og Hvad koster en vare der før kostede 600 kr. når den. Stiger med 17 % Falder med 10 % Stiger med 84 % Falder med 100 % Stiger med 1/3 Herunder er lige et par kontrolopgaver i simpel procentregning I tvivlsspørgsmål brug følgende guide: 1 Tænk dig om og husk % betyder hundrededele! 2 Brug din formelsamling!! 3 Spørg sidemanden eller onkel Jakob 4 I nødstilfælde kan man spørge Jakob, men har man ikke først prøvet 1 og 2 kan Jakob være træls! 27

28 JG s matematikkompendium Ekstra procentopgaver Opgave 1 Find 22 % af 350 kr. Et hus har kostet kr. og er faldet 3 % i værdi. Hvor meget er det faldet? Hvad er 5,5 % af 90 Find 120 % af 50 Opgave En cykel koster 2995 kr. plus 5 % i handelsomkostninger Hvad skal du betale? 42. Der boede tidligere 6732 personer i Matematikkøbing men 3,5 % er rejst Hvor mange bor der nu? 43. En bil koster kr. plus moms Prisen inkl. Moms er? 44. Antallet af teenagere med dårlig holdning til skolearbejdet var i 1989 = men er desværre steget med 245 % frem til i dag Gider du regne ud hvor mange der er i dag? Opgave Der er i en klasse 11 piger og 14 drenge hvor mange procent er piger? 46. Hvad er 55 i procent af 512? 47. Hver 3. elev på Nørrevangsskolen vil gerne have mere matematik hvor mange procent vil ikke have mere matematik? 48. Hvad er 400 i procent af 40? Opgave drenge i 7.b udgør 60 % af klassen hvor mange elever er der i 7.b 50. Et sejlskib koster kr. inkl. moms hvad er prisen ekskl. moms? 51. En håndboldspiller scorede i en turnering på 75 % af sine forsøg han lavede 16 mål på hvor mange skud? udgør 125 % - hvad er 100 % Opgave Forklar i ord og med tal, at man kan lægge x % til et tal ved at gange tallet med (1+x) 28

29 JG s matematikkompendium Vækst Når du indsætter penge i banken og de ikke hæves tilskrives der rente. Næste gang, der tilskrives rente, får man også rente af den tilskrevne rente fra første periode. Den nye rente kaldes rentes rente eller sammensat rente. Hvis en kapital står urørt på en bankkonto i flere terminer (rentetilskrivningsperioder), hvor der tilskrives renter hver termin, kan man finde værdien af kapitalen (beløb) + renter og renters rente ved hjælp af vækstformlen og væksttabellen. Tilskrivning af renter Eks. Start med 100 kr. (startkapital) Rente 10 % p.a. rente af 110 kr. rente af kr kr kr. 1. april 1. april 1. april 1 år 1 år Termin Kapital ,10 1,10 Termin n Kapital K0 K(1+r) n (1+r) Vækstformlen Kn = Ko(1+r) n Kn: kapitalens værdi efter n terminer (perioder hvor der tilskreves renter f.eks. kvartaler, måneder eller år) Ko: kapitalens startværdi ( K0 Udtales som K nul ) r: renten (som decimaltal eks. 5 % = 5 0, 05 ) 100 n: antal terminer (perioder) 29

30 JG s matematikkompendium Eks. Peter indsætter 100 kr. til 8 % p.a. på sin 7 års fødselsdag. Der tilskrives renter 1 gang om året. Hvor meget kan Peter hæve 7 år efter? Kn =? Ko = 100 kr. n = 7 r = 0,08 Det kan regnes på flere måder ved hjælp af lommeregneren, væksttabellen og computeren. Lommeregneren Kn = K0 (1+r) n De tal vi kender indsættes i formlen. K7 = 100 (1+0,08) 7 K7 = 100 (1,08) 7 K7 = 171,38 kr. Udregning på lommeregner: 100 (1,08) ^ 7 Væksttabellen Bagerst i formelsamlingen findes en væksttabel Start med at finde procentkolonnen, i dette tilfælde 8 %. Find derefter n (antal terminer/ perioder), i dette tilfælde 7 terminer. Find derefter tabeltallet, dvs. gå ud fra 8 % og ned til 7 terminer. Tabeltallet er her: 1,

31 JG s matematikkompendium Tabeltallet er et udtryk for, hvor meget 1 krone har udviklet sig med tilskrivning af renter og rentes renter gennem n antal terminer. I dette tilfælde er 1 krone til 8 % med 1 årlig rentetilskrivning i 7 år blevet til 1,7138 kroner. Da vores startkapital var 100 kr., skal vi gange tabeltallet med 100: 100 1,7138 = 171,38 kr. Ofte ser man, at der efter procenttallet står p.a.. F.eks. 8% p.a. Det betyder pro anno, som oversat til dansk er per år. Det vil sige, at når der står 8% p.a., er det den årlige rente. Dette er dog ikke det samme som at sige, at pengene på et år bliver forrentet med 8%. Det kommer nemlig også an på, hvor mange gange om året der tilskrives rente. Hvad så hvis der var rentetilskrivning hvert halve år? Kn =? Ko = 100 Renten er 8 % p.a.(pr. år), så vi skal dividere 8% med 2, da renten tilskrives hvert halve år, med halvdelen af de 8 % hver gang. 8 4% 2 pr. termin. r = 0,04 n = 14 (7 år á 2 perioder) I tabellen skal du nu finde 4 % og 14 terminer. Tabeltallet er i dette tilfælde: 1,7317 De 100 kr. ville have vokset til 173,17 kroner på 7 år. Tabeltallet er altså et udtryk for: (1+r) n Computeren Prøv dig frem. På nuværende tidspunkt ved du nok om brug af Excel til at kunne løse opgaverne. Hint: brug sildeben, og gør regnearket automatisk 31

32 JG s matematikkompendium Slutkapital (Kn) Jane sætter 2000 kr. i banken til 3 % p.a. I banken, som hedder Aars Sparekasse, får man tilskrevet renter 1 gang om året. 54. Hvor mange penge har Jane om 10 år? Anders sætter også 2000 kr. i banken til 3 % p.a. Men i den bank, hvor Anders har sine penge ( Aars Banken ), er der tilskrivning hvert halve år. 55. Hvor mange penge har Anders om 10 år? Signe har kr. stående på en konto i 8 år til 7 ½ % p.a. Renten tilskrives en gang om året. 56. Hvor stor er slutkapitalen? Den 1. april 1997 indsætter Dorthe kr. på en ny konto, hvor der tilskrives renter en gang om året (Hver gang det er 1. april) med 8 ¾ % p.a. 57. Hvor meget vil beløbet være vokset til d. 1. april 2001? 58. Hvor meget vil beløbet være vokset til den 1. april 2004? Kontoen bliver lukket den 14. juni 2004, da Dorthe skal starte på HU og gerne vil bruge pengene på en ny computer. 59. Hvor meget kan Dorthe hæve? NB: Denne formel kan bruges når man arbejder med rentetilskrivning i et bestemt antal dage. K p d R 360 Først beregnes antal dage, og R: rente derefter indsættes tallene i K: kapitalen renteformlen. p: renten som decimal d: antal dage Erik har haft kr. stående uberørt i 10 år på en konto med helårlig rentetilskrivning. De første 6 år var renten 9 % pr. år, derefter 10 ½ %. 60. Hvor stort et beløb kan hæves efter de 10 år? Da Jesus blev født indsatte Jomfru Maria 1 kr. på en bankkonto til 1 % p.a. Helårlig rentetilskrivning. 61. Hvis Jesus havde levet i dag, hvor meget kunne han så hæve? 32

33 JG s matematikkompendium Startkapitalen Ind i mellem vil det være rart at vide, hvor mange penge man skal starte med at sætte ind, når man ved, hvor mange penge, man gerne vil kunne hæve på et senere tidspunkt. Man kender altså det beløb, man gerne vil ende med at kunne hæve (Kn). Man kender den rente pengene forrentes med (r) og antallet af perioder pengene skal stå i banken (n) Det vi mangler er startkapitalen (Ko) Eksempel Alfred ved at han skal bruge kr. til en ny bil om 5 år. Renten er 4 % p.a. med rentetilskrivning en gang om året. 62. Hvor meget skal Alfred indsætte i banken. Kn= Ko =? r = 0,04 n = = Ko (1, +0,04) 5 Der skal så indsættes ,11 kr. Hint: Isolerer Ko, så man kommer frem til formlen: (1+r) n kan findes i væksttabellen, hvis man ikke vil bruge lommeregneren. Anne Mette skal den 1/ bruge kr. til at købe en computer. Pengene forrentes med 8 % p.a. Rentetilskrivningen er hvert halve år. 63. Hvor stort et beløb skal hun den 1/ indsætte på kontoen? Karen skal den 1/ bruge kr til at købe en ny computer. Pengene forrentes med 8 % p.a. 64. Hvor stort et beløb skal Karen indsætte den 1/7-2013? K 0 K n ( 1 r) n Renten Det kan også være, at den rente, som vores penge forrentes med, er ukendt. Her er det altså r vi mangler. Eks. Louise satte 100 kr. i banken for 5 år siden, hun har fået helårlig rentetilskrivning. Da hun hævede pengene fik hun 140,26 kr. 65. Hvad havde Louise fået i rente? Kn= 140,26 Ko= 100,00 n = 5 r =? 33

34 JG s matematikkompendium 140,26 = 100(1+r) 5 Formlen ender med at se sådan ud:, når man vender rundt på den. Eks.: Kn = K 0 (1+r) n K K K n K n n o K K (1 r) n o n o n (1 r) 1 r 140,26 5 r 5 1 r 1, r 1,07 1 r 0,07 r 7% Udregn r når, Kn= kr., Ko = kr. og n = 8 - Regn opgaven ved hjælp af lommeregner. Malene satte 400 kr. i banken for 16 år siden, hun har fået renter helårligt. Da hun hævede pengene fik hun 1095,60 kr. 67. Hvilken procent er pengene forrentet med? Johannes satte 500 kr. i banken for 15 år siden. I dag står der 900 kr. På kontoen er der helårlig rentetilskrivning 68. Hvad var renten p.a.? Terminer Man kan også komme ud for at det er antallet af terminer, som er ukendt. Denne del er lidt vanskeligere, og kan findes ved hjælp af vækstformlen eller ved beregning med logaritmer. Eksempel Mathilde satte 100 kr. i banken til en årlig forrentning til 6 %. Da hun hæver pengene har hun 189,83 kr. 69. Hvor lang tid har Mathilde haft den i banken? Kn= 189,83 Ko= 100,00 n =? r = 6 % 189,83 = 100(1, +0,06) n 34

35 JG s matematikkompendium Logaritmeformel Når man er nået frem til: ( ), kan man også beregne n ved hjælp af noget der hedder logaritmer. I virkeligheden skal du bare lære at bruge en ny knap på din lommeregner: [log]. Husk dog, at du altid skal gøre det samme på begge sider af lighedstegnet. Problemet er at når du har: kan du ikke rigtig umiddelbart komme videre. Her er det at man kan bruge logaritmefunktionen, så bliver til. Der gælder at Eks.: Nu bruger jeg logaritmefunktionen på begge sider af lighedstegnet så der kommer til at stå: Dette kan jeg så ved at bruge reglen lave om til noget jeg lettere kan beregne: Nu er det simpel ligningsløsning for resten: Det bliver så til: Og til sidst: Opgaver Du vælger selv om du nu vil bruge væksttabellen eller den noget smartere logaritmeformel. 70. Udregn n når, Kn= kr., Ko = 8000 kr. og r = 3 % p.a. Anne Marie satte 1600 kr. i banken. Da hun hævede dem fik hun 6473,28 kr. Anne Maries penge er forrentes helårlig med 5,75 %. 71. Hvor mange år har de stået i banken? Dorthe hævede sin opsparing på 2639,80 kr. Renten havde været 3,5 % p.a. med halvårlig tilskrivning. I sin tid satte Dorthe 2000 kr. ind. 72. Hvor mange terminer har pengene stået i banken? Ib sætter 5000 kr. i banken til 3,75 %. 35

36 JG s matematikkompendium 73. Hvor mange år går der inden pengene er fordoblet? Tredoblet? Firedoblet? Femdoblet? Seksdoblet? Flere vækstopgaver 74. Fra 1980 til 2000 oplevede Danmark en årlig vækst i befolkningstallet på 1,5 %. 75. Der boede i 1980: mennesker i Danmark. Hvor mange boede der i år 2000? 76. Du har sat dine konfirmationspenge (4573 kr.) ind på en konto til 1,25% p.a. Du lader dem fornuftigt stå i 5 år, så du har dem, når du flytter hjemme fra Hvor meget er der på kontoen efter fem år? 77. En anden har gjort det samme og kan efter de fem år hæve 7534 kr. Hvor meget fik han i konfirmationsgave? 78. En tredje fornuftig ung havde i sin tid sat 5200 kr. ind på kontoen og efter de fem år, havde han 5741,22 kr. Hvad har han fået i rente? 79. På ti år er en ejerlejlighed i Århus steget fra kr. til 1,7 mio. kr. Hvis prisudviklingen har været konstant de 10 år hvor meget er den så steget i procent hvert år? 80. Du sætter kr. ind på en konto med en rente på 1,75 % p.a. og vil gerne hæve pengene når der er kr. hvor mange år går der? 36

37 JG s matematikkompendium Her under er en tabel med data om ræve i Matematikkøbings gader 81. Find den gennemsnitlige stigning i procent. År Antal ræve En bestemt type bakterier i en kylling formerer sig forskelligt alt efter om den er i fryser, køleskab eller ligger på køkkenbordet. Til tiden nul er der ca bakterier i kyllingen. Der er en grænse værdi på bakterier for at den bliver farlig at spise. Frem skrivningsfaktoren for en time er: Fryser: 1,003 Køleskab: 1,09 Køkkenbord: 1,6 82. Hvor længe må man opbevare kyllingen de forskellige steder? 83. Hvad er x, hvis 84. Hvorfor er log(ab) = log(a) + log(b)??? 85. Hvor meget vejer en ræv? 37

38 JG s matematikkompendium Opgaver til vækstformlen K K ( 1 x) n n Du har ,- kr. på en konto med en årlig rente på 6 %. Efter 20 år hæver du pengene. Hvor mange penge kan du hæve? Du har talt at der er 950 kakerlakker på væggen. Du har læst i ekstrabladet at kakerlakker formerer sig med 8,5 % i døgnet. Hvor mange kakerlakker var der for 7 døgn siden? Du skal ende med at have ting. For nogle timer siden havde du kun ting. Hvilken procentsats er dine ting ynglet med, når de har ynglet i 5 timer? Dine evner som fodboldspiller kan måles med måleenheden Græsborg. Når du begyndte med 1500 Græsborg da du blev 15 år Hvor mange år vil der gå, inden dine evner er 3000 Græsborg med en vækst på 4,5 % pr år? 38

39 JG s matematikkompendium Funktioner Tegn trekanter ud fra forskrifter (Brug gerne Geogebra) 86. Tegn et koordinatsystem 87. Mindsteværdi på x-aksen: Størsteværdi på x-aksen: Mindsteværdi på y-aksen: Størsteværdi på y-aksen: Tegn nedenstående funktioner ind i koordinatsystemet Trekant 1 1. y = 2x y = 1/2x-6,5 3. y = -x+7 Trekant 2 3. y = 3,5x+7 4. y = -1/2x-4,5 5. y = 1/4x+1 Tegn figurer ud fra punkter (Brug gerne Geogebra) 92. Tegn et koordinatsystem 1. Mindsteværdi på x-aksen: Størsteværdi på x-aksen: Mindsteværdi på y-aksen: Størsteværdi på y-aksen: 8,5 93. Tegn punkterne ind i koordinatsystemet i rækkefølge 94. Tegn streger mellem punkterne (tegn figuren HELT færdig) 95. Hvilke figurer forestiller det? Figur 1 1. (-4;2,5) 2. (-1,4) 3. (3;4,5) 4. (5,2) 5. (9,5;3) 6. (7,5;1) 7. (9,5;-1) 8. (5,0) 9. (3;-2,5) 10. (-1,-2) 11. (-4;-0,5) 12. (-2,1) Figur 2 1. (-10,5;-3) 2. (-10,5;2) 3. (-11,2) 4. (-8;4,5) 5. (-5,2) 6. (-5,5;2) 7. (-5,5;-3) Figur 3 1. (3,5;7) 2. (6,5;7) 3. (6,5;8,5) 4. (9,5;8,5) 5. (9,5;7) 6. (12,7) 7. (12,5) 8. (5,5) 39

40 JG s matematikkompendium 1. grads funktioner Hvad er en funktion? En funktion er en sammenhæng mellem to variable. Den ene variabel, som regel x, kalder vi for den uafhængige variabel, og den anden variabel, typisk y, kalder vi for den afhængige variabel. For eksempel er antal kørte km den uafhængige variabel, mens den samlede omkostning ved at køre bil er den afhængige variabel, fordi den samlede omkostning afhænger af, hvor mange km du har kørt i bilen. For at sammenhængen kan kaldes en funktion, skal der gælde, at til hver værdi af den uafhængige variabel, skal der netop svare én og kun én værdi for den afhængige variabel. For eksempel vil den samlede omkostning ved at køre km være netop kr. Vi kalder y-værdien, altså værdien af den afhængige variabel, for funktionsværdien. For eksempel er funktionsværdi for Eller skrevet matematisk f(10.000) = Hvis du kender funktionens forskrift, kan du beregne funktionsværdien ved at indsætte den valgte x-værdi i forskriften. Forskriften for denne funktion er: 96. Beregn y når x er 8 000, , og Undersøg om det passer med nedenstående graf Undersøg om punkterne er en del af grafen for en ret linies funktion (der hører 4 koordinatsæt til hver opgave): 1. (4,11) (-3,-3) (2,7) (-1,1) 2. (3,6) (-2,-14) (-1,-9) (1,-2) 3. (5,-13) (-3,11) (2,-4) (0,2) 4. (6,0) (0,6) (2,4) (-2,8) Grafen for den rette linies funktion har en forskrift, som ser sådan ud:, hvor a er grafens hældningstal, og b viser skæring med y-aksen i punktet (0,b) 40

41 JG s matematikkompendium Opgaver Tegn i samme koordinatsystem graferne for forskrifterne (lav gerne sildeben / støttepunktstabel) Det koster 3 kr. pr km at køre med taxi. Derudover koster det 28 kr. i startgebyr 101. Lav en graf der viser hvad det koster at køre 10, 20, 30, 50 km 102. Er dette en lineær funktion, og hvis det er, kan du så finde forskriften? En bil koster 400 kr. at lege om dagen, og 200 kr i depositum Fremstil en tabel og en graf der viser hvad det koster at lege bilen 1,2,...7 dage 104. Find forskriften for funktionen Prisen for 1 Sommersby er 12 kr Fremstil en tabel der viser hvor meget det koster at købe sommersby 106. Sæt punkterne ind i en graf 107. Angiv hvad selve forskriften for denne funktion er, altså hvordan vil du skrive denne funktion Aflæs på grafen hvor meget det vil koste for dig at holde en god fest Aflæs på grafen hvor meget det vil koste at købe 6 Sommersby 110. Aflæs på grafen, hvor mange Sommersby du får for 48 kr (Nørdopgaven) Find en måde du kan udregne de 2 sidste spørgsmål på, uden at aflæse på grafen (Nørdopgaven) Beskriv eller udtænk mindst én lineær funktion fra virkeligheden hvor f.eks.: 112. x er vægten i kg og y er prisen i kroner 113. x er tiden i timer og y er afstanden i kilometer 114. x er tid i minutter og y er pris i kroner 115. andet 41

42 JG s matematikkompendium Positiv hældning y 2x 3 Fra et punkt tegnes 1 til højre. På grafen til højre skal man så tegne 2 op for igen at ramme grafen. Hældningstallet er altså +2 Grafen skærer y-aksen i (0,-3) Derfor taler vi om en positiv hældning. Negativ hældning y x 4 Forskriften kan også skrives som: y 1x4 For at finde hældningstallet, går vi 1 til højre fra et tilfældigt punkt ligesom før. For igen at ramme grafen, skal vi tegne 1 ned. Så er hældningstallet altså -1. Derfor taler vi om en negativ hældning. 42

43 JG s matematikkompendium 116. Bestem forskriften til hver af linierne: 117. Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem: c) (3,7) og (-1,-9) d) (4,-1) og (-2,11) e) (8,10) og (-2,5) f) (-2,-7) og (1,2) g) (4,14) og (-2,-1) h) (3,-2) og (-2,-7) i) (5,2) og (-1,-10) j) (6,-6) og (-2,6) 118. Find liniens ligning ud fra hældningstal og et punkt på linien. a = 2 (3,4) a = -2 (1,1) a = 10 (-2,4) a = ½ (0,40) a = -1 (1,-3) Du skal til elevfest, og det koster 60 kr. at komme ind. Drinksene koster 10 kr. pr. stk Lav en funktion der beskriver hvor meget festen koster dig i forhold til, hvor mange drinks du køber. Hver gang du lyser med dit laserlys på en politibil i Prag, kommer tre betjente stormende i fuld kampudrustning og lægger dig i benlås Lav en funktion der viser hvor mange betjente der kommer som en funktion af hvor mange politibiler du lyser på. 43

44 JG s matematikkompendium Ekstraopgaver (Nørdopgaver vælg selv) Du skal have ny mobiltelefon, og har to muligheder (minutprisen er den samme så den udelader vi i regnestykket): A) Giv 99,- kr. for telefonen og betal 199,- kr. i abonnement pr. måned B) Giv 1299,- kr. for telefonen og undgå abonnement 121. Lav forskrifter for de to funktioner og tegn deres grafer ind i samme koordinatsystem 122. Hvornår er A billigst? Lad linien være den ene side i et rektangel Find forskriften for tre øvrige linier så linierne danner et rektangel (med arealet 10). Supernørdopgave! Et rektangel har omkredsen Beskriv sammenhængen mellem siderne og arealet 125. Lav en figur (graf/tegning) der beskriver dette 126. Lav en formel / forskrift 127. Hvilke sidestørrelser skal rektanglet have, hvis arealet skal være så stort som muligt? 44

45 JG s matematikkompendium 2 ligninger med 2 ubekendte 128. Tegn i samme koordinatsystem de grafiske billeder af ligningerne 129. Aflæs skæringspunkterne mellem graferne 130. (ekspertopgaven) Forsøg også at beregne hvor de to linier skærer hinanden Opgave 1 a) b) Opgave 2: a) b) Opgave 3: a) b) Opgave 4: a) b) Opgave 5: a) b) Opgave 6: a) b) Opgave 7: a) b) Opgave 8: a) b) Opgave 9 (nørdopgaven!): Et mejeri opkræver 6 øre pr. kg mælk for at hente mælken hos landmanden Hvad hedder forskriften for funktionen? Et andet mejeri tilbyder en anden aftale, nemlig at der opkræves 12 kr. pr. afhentning samt 4 øre pr. kg mælk. Hvad hedder forskriften for funktionen? Tegn graferne for de to funktioner i ét koordinatsystem. Hvor mange kg mælk skal der hentes før den nye ordning er en fordel for landmanden? (beregn) Kontrollér dit svar ved hjælp af grafen. Ser det rimeligt ud? 45

46 JG s matematikkompendium Flere funktionsopgaver Jakob kører i en bil med gule plader. Bilen kostede kr. Den samme bil med hvide plader kostede kr. Det koster 5000 kr. ekstra om året at have en bil med gule plader. Bilerne kører lige langt pr liter benzin 132. Tegn de to køb i et koordinatsystem med år på x-aksen og kroner op ad y- aksen Hvornår bliver det billigst at have købt bilen på hvide plader? En energirigtig vaskemaskine koster 4500 kr. i indkøb og 1200 kr. om året ved familien Hansens brug. En ikke så energirigtig maskine koster 3000 kr. i indkøb og 1650 kr. om året Hvilken maskine skal familien Hansen købe? Du har arbejde ved siden af skolen som flaskedreng/-pige og tjener 55 kr./time. Du arbejder 4 timer om ugen. Vis din løn i et koordinatsystem (uger ud af x-aksen og kroner op ad y-aksen) 135. Hvor lang tid der går før du har tjent til en ny bærbar til 5500 kr.? 136. Og hvor lang tid går der før du kan få en til 7500 kr.? 46

47 JG s matematikkompendium Omvendt proportionalitet / hyperblen En hyperbel er en kurve, der svarer til funktioner på formen y = a/x, hvor a er en konstant og x er forskellig fra nul 137. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 8 / x y = 2 / x y = 20 / x 138. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 24 / x y = 1 / x y = 10 / x 139. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 36 / x y = 6 / x y = 12 / x En bil skal gennemkøre strækningen fra Århus til Kolding Indtegn i et koordinatsystem den simple hyperbel, der viser sammenhængen mellem den hastighed (i km/t), bilen kører med, og den tid (i timer), det tager at køre strækningen mellem de to byer, når afstanden fra Århus til Kolding er 100 km. På x-aksen afsættes hastigheden og på y-aksen tiden Angiv hyperbelens ligning. En bjælke på 24 m skal udsaves i stykker, der er lige lange Indtegn i et koordinatsystem den simple hyperbel, der viser sammenhængen mellem længden af hvert stykke (i cm), og antallet af stykker, man får på x-aksen afsættes længden af hvert stykke, på y-aksen antal stykker Angiv hyperbelens ligning Hvor mange stykker bliver der, hvis længden af det enkelte stykke skal være 40 cm? 145. Hvad bliver længden af hvert stykke (hele cm), hvis vi ønsker at opskære bjælken i 30 stykker? 47

48 JG s matematikkompendium Areal Opgave 1 Opgave 2 48

49 JG s matematikkompendium Opgave 3 Beregn arealet af hvert af følgende områder: et rektangel hvis sider er 179 mm og 123 mm et kvadrat hvis sider er 145 mm en trekant hvor grundlinien er 242 mm, og højden er 186 mm en cirkel med radius 68 mm et trapez hvor de parallelle sider er 314 og 105 mm, og hvor afstanden mellem dem er 94 mm et parallelogram hvor et par modstående sider hver er 207 mm, og hvor afstanden mellem dem er 88 mm Opgave 4 Opgave 5 Lav en cirkel med radius 5 cm. Lav det indskrevne kvadrat Beregn ud fra radius sidelængde og areal på kvadratet. Opgave 6 En metalkrans ydre diameter er 4,2 cm og den indre diameter er 3,0 cm. Beregn arealet af metalkransen 49

50 JG s matematikkompendium Opgave 7 Opgave 8 (Nørdopgaven) I den retvinklede trekant ABC betegnes grundlinien g og højden h. Rektanglet har samme areal som trekanten. Udtryk rektanglets bredde x ved hjælp af h. Et trapez er på figuren fremhævet med gråt. Udtryk trapezets areal som en brøkdel af trekant ABC s areal. Hvis du også har løst denne opgave, skal du få regnearket til at gøre det for dig! 50

51 JG s matematikkompendium Pythagoras Den Pythagoræiske Læresætning - også kendt som Pythagoras Læresætning siger, at, i en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lige med summen af kateternes kvadrater. På tegningen til venstre betegner de små kvadrater kateternes og hypotenusens kvadrater. Hvis man tæller kvadraterne ved kateterne a og b, og bagefter tæller kvadraterne ved hypotenusen, c viser det sig, at der i begge tilfælde er 25 små kvadrater. På tegningen til venstre er indsat tal for siderne og deres kvadrater Eks.: Det er altid c der er den længste side (hypotenusen) mens a og b altid er de to korteste sider (kateterne). 51

52 JG s matematikkompendium Her kommer endnu et eksempel: Hvor lang er siden a? Vi anvender Pythagoras sætning for at beregne længden af a. Kontrollér regnestykket ved at indsætte 9 i stedet for a. Beregn den manglende side i en retvinklet trekant, når: a = 5 cm og b = 12 cm b = 21 cm og c = 29 cm a = 15 cm og c = 39 cm Opgaver til Pythagoras Opgave 1: Beregn længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 11 cm og 15 cm Opgave 2: Beregn længden af en diagonal i et kvadrat med sidelængde 12 cm Opgave 3: Beregn længden af en diagonal i et rektangel med siderne 7cm og 5 cm Opgave 4 (mest for nørder): I et koordinatsystem er afsat to punkter, A med koordinaterne (4;3) og B med koordinaterne (0;1). Beregn afstanden imellem de to punkter. Opgave 5: Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængderne 7 cm Opgave 6: Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængden 2a 52

53 JG s matematikkompendium Opgave 7 (Mest for nørder): I et koordinatsystem afsættes punkterne A (-2;5), B (3;5) og C ( 5;9) Sammen med punktet D udgør de tre punkter vinkelspidserne i et parallelogram. a) Angiv koordinatsættet til D. b) Beregn parallelogrammets sidelængder samt omkreds. c) Beregn længden af de to diagonaler AC og BD Opgave 8 (Mest for nørder): I et koordinatsystem afsættes punkterne A (3;2), B (7;9) og C (10;2) a) Beregn trekantens omkreds og areal. b) Beregn ha og hc Opgave 9: 53

54 JG s matematikkompendium Nørdopgaverne 54

55 JG s matematikkompendium Rumfang Beregn cylinderens rumfang når længde = 13 cm og radius = 0,02 m Hvor mange liter kan der være i cylinderen? Beregn cylinderens overflade. Den lidt nørdede: Hr. og Fru Jensen vil lave et akvarium af glas. Det skal kunne rumme 55 liter Hr. Jensen vil have det firkantet og Fru Jensen vil have et cylinderformet akvarium. Hvilket akvarium skal der bruges mest glas til? 55

56 56 JG s matematikkompendium

57 57 JG s matematikkompendium

58 58 JG s matematikkompendium

59 JG s matematikkompendium Trigonometri Trigonometri betyder bare: (fra græsk trigonon = tre vinkler og metro = måle) og handler altså blot om trekantsberegning. Vi skal primært arbejde med retvinklede trekanter, og for jeres vedkommende handler det mere eller mindre bare om at lære et par nye knapper på lommeregneren at kende. Vinklen A er på 30 grader Dette kan skrives: a er navnet på vinkel A`s modstående side b er navnet på vinkel B`s modstående side c er navnet på vinkel C`s modstående side Ensvinklede trekanter I disse trekanter er forholdet mellem to sider i den ene trekant det samme som forholdet mellem de tilsvarende sider i den anden trekant. For eksempel har vi at: Eksempel: 59

60 JG s matematikkompendium Enhedscirklen I en enhedscirkel har radius altid længden 1. Derfor kan man også se på tegningen herunder, at sinus og cosinus altid må være mindre end 1, da de jo ellers ville rage ud over cirklens kant. De trigonometriske funktioner er lavet efter denne enhedscirkel, og man kan se på tegningen at sin er den katete der ligger modsat vinkel A og cos er den katete der ligger hos vinkel A. Eks. Hvis radius er 1 og vinkel A er, er både sinus og cosinus til vinkel A = 0,707 Det passer meget godt med tegningen. 60

61 JG s matematikkompendium Tangens kan være lidt sværere at forstå, da radius her ikke længere er 1. Den hosliggende katete er derimod blevet til radius og har derfor længden 1 i enhedscirklen. Hvis vinkel A er er tangens 1. Altså har vi en ligebenet trekant. Hvis vinkel A bliver større, vokser tangens, og hvis vinkel A bliver mindre, bliver tangens også mindre. Prøv selv at finde tangens til både større og mindre vinkler end passer. Find både sin, cos og tan ved: og tjek om det 61

62 JG s matematikkompendium Sinus, Cosinus og Tangens De nye funktioner (knapper) du skal lære at kende hedder: Sinus (sin), Cosinus (cos) og Tangens (tan). Find knapperne på din lommeregner. Når man ganger skal man nogen gange gøre det modsatte, altså dividere. Sådan er det også med trigonometri. På din lommeregner hedder det modsatte af Sinus sandsynligvis. På samme måde med cos og tan. Find de modsatte funktioner på din lommeregner. Her kan du se, hvordan de forskellige funktioner bruges: a c Der kan opstilles følgende betegnelser for forholdet mellem den retvinklede trekants sider: cos A (cosinus til vinkel A ( A )) sin A (sinus til vinkel A) tan A (tangens til vinkel A (nogle gange vise denne som tg)) cot A (cotangens til vinkel A) b A Cosinus, sinus, tangens og cotangens kaldes med et fælles navn for de trigonometriske funktioner. Cosinus Forholdet mellem den til A hosliggende katete a og hypotenusen c benævnes cos A eller cos A. Ved cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Sinus Forholdet mellem den til A modstående katete og hypotenusen c benævnes sin A. Ved sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den modstående katete divideret med hypotenusen 62

63 JG s matematikkompendium Tangens Forholdet mellem den til A modstående katete b og den hosliggende katete a, benævnes tan A. Opgaver Ved tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den modstående katete divideret med den hosliggende katete. Hypotenusen i en retvinklet trekant er 150 mm og cos A er 0,799. Hvor store er de to kateter a og b? a c Hypotenusen i en retvinklet trekant er 130 mm og kateten a er 90 mm. Hvor stor er kateten b? b A a c Vinkel A=35, siden b=4cm Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A a c Vinkel A=40, siden a=7 cm. Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A 63

64 JG s matematikkompendium a c Vinkel B=70, siden c=11 cm. Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A Tegn en retvinklet trekant, og a) Navngiv vinkelspidserne med A, B og C og siderne med a, b og c. C skal være den rette vinkel. b) Skriv hvilke sider der er kateter og hvilken side der er hypotenuse. c) Skriv hvilken side der er den hosliggende katete til A og hvilken side der er den modstående katete til A. d) Skriv hvilken side, der er den hosliggende katete til B og hvilken side, der er den modstående katete til B. Trekant ABC er retvinklet (C = 90 ). Der gælder A = 60 og a = 5. a) Beregn gradtallet for B. b) Konstruér trekanten. c) Mål siderne b og c. Trekant ABC er retvinklet (C = 90 ). Der gælder b = 8 og c = 10. a) Beregn længden af siden a. b) Konstruér trekanten. c) Mål vinklerne A og B. Tegn en retvinklet trekant med en spids vinkel på 60. Kald denne vinkel for A. a) Mål længden af a. Den hosliggende katete til A. b. Den modstående katete til A. c. Hypotenusen. b) Beregn forholdene: a. b. c. 64

65 JG s matematikkompendium c) Tegn nu en trekant der er ligedannet med den første du tegnede. Den kan være større eller mindre. d) Gennemfør opgave b) og c) med den nye trekant. Hvad opdager du? e) Gælder den for alle størrelser trekanter der er retvinklede og har en spids vinkel på 60? f) Gør det samme sig gældende for en spids vinkel på 40? g) Hvad gør sig gældende for forholdene mellem siderne i de ligedannede retvinklede trekanter? 65

66 JG s matematikkompendium Praktiske opgaver a c Hypotenusen i en retvinklet trekant er 150 mm og cosa er 0,799. Hvor store er de to kateter a og b? Hypotenusen i en retvinklet trekant er 130 mm og kateten a er 90 mm. Hvor stor er kateten b? b A For at besøge den søde pige i huset, er du nødt til at vide, om stigen kan nå helt derop! Hvor højt når den, når den har en vinkel ved jorden på 70? Beregn træets højde ved hjælp af de trigonometriske funktioner 66

67 JG s matematikkompendium 67 Formler for retvinklede trekanter Husk: Vinkler angives med store bogstaver (A,B og C) Sider angives med små bogstaver (a,b og c) Vinkel C er altid 90 Vælg den side du vil beregne find den formel hvor du kender oplysningerne. Bruger du Mathcad eller SMath så husk at sætte deg som benævnelse. Kender du ikke vinklen men 2 sider kan man finde vinklens størrelse ved at bruge f. x. sin - 1 (x) f. x. sin(x)=0,71 så er x=sin -1 (0,71) = grader. ) 90 ( B A b a Tan A c b Cos A c a Sin A o ) 90 ( o o A B a b Tan B c a Cos B c b Sin B

68 JG s matematikkompendium Statistik Statistik handler kort og godt om at holde styr på en stor mængde forskellige observationer. Vi bruger to forskellige metoder til at holde styr på tallene afhængig af, om der er mange eller få tal. Hvis der er få forskellige observationer, benytter vi enkeltobservationer. Hvis der derimod er mange forskellige observationer, er vi nødt til at putte dem i nogle grupper for at bevare overblikket. Dette kaldes grupperede observationer. Enkeltobservationer Her er et eksempel med karakterfordeling i en klasse (en stor klasse!) Observationssæt Hyppighedstabel x h(x) H(x) f(x) F(x) ,86 2, ,57 11, ,43 22, ,00 42, ,57 71, ,14 88, ,43 100,00 Indenfor statistik er der nogle begreber der er værd at kende: Middeltal Typetal: Median: Størsteværdi Mindsteværdi Variationsbredde Kvartiler: nedre kvartil miderste kvartil (median) øvre kvartil Ud for begreberne ovenfor er der tre svarmuligheder til hver. Kun én af dem er rigtig. Undersøg hvad de forskellige begreber betyder, og sæt ring om det rigtige (benyt den blå grundbog). 68

69 JG s matematikkompendium Diagrammer kan se ud på mange forskellige måder, alle tilpasset det de nu skal vise. Her er et par stykker, der ofte er brugt. Søjlediagram 12 h(x) Trappediagram 120,00 F(x) 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0, Hvad viser de to diagrammer? Hvad kan aflæses? (benyt den blå grundbog). 69

70 JG s matematikkompendium Grupperede observationer Hvis man skal overskue mange forskellige observationer, kan det ofte svare sig at inddele dem i intervaller. (det gør også matematiklæreren glad). Elevers højde i to tilfældige klasser ses her: Da det jo er en ret uoverskuelig mængde inddeler jeg dem i grupper for at bevare overblikket: Interval im Hyppighed Sum hyp Frekvens Sum frekv [ 140 ; 150 [ ,12 6,12 [ 150 ; 160 [ ,49 30,61 [ 160 ; 170 [ ,53 57,14 [ 170 ; 180 [ ,57 85,71 [ 180 ; 190 [ ,29 100,00 [ 190 ; 200 [ ,00 100,00 [ 200 ; 210 [ ,00 100,00 Prisen for at gøre det overskueligt er naturligvis at det bliver mere upræcist. F.eks. kan jeg jo ikke se hvor mange der er 167 cm høje. Derfor skal man også kun gruppere når der er mange tal. Når jeg grupperer observationerne bliver det også lidt mere kringlet at beregne middeltallet. Derfor har jeg lavet kolonnen med im intervalmidtpunkt. Dette tal er, sjovt nok, midten af intervallet. Når im er fundet, beregner man middeltal på samme måde som ved enkeltobservationer. Få styr på hvad de forskellige elementer i tabellen betyder Beregn det grupperede middeltal 70

71 JG s matematikkompendium Herunder er der en samling data der beskriver unges surfingvaner på Nettet. Timer pr uge til at surfe på Nettet blandt 49 elever i 10. klasse Interval im Hyppighed Sum hyp Frekvens Sum frekv [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ Udfyld tabellen med tallene om de unges surfingvaner Find: intervalmidtpunkt, typeinterval, middeltal, mindsteværdi, median, størsteværdi, variationsbredde Lav et hyppighedsdiagram over observationerne Hvis man vil aflæse kvartilerne kan man f.eks. lave en sumkurve over den summerede frekvens. I eksemplet med højder ville den se sådan ud: 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 Sum frekv 0, Lav en tilsvarende sumkurve over den summerede frekvens i opgaven om elevernes surfing vaner. Forklar begreberne nedre kvartil, median, øvre kvartil. Hvad kan man aflæse på kvartilerne? 71

72 JG s matematikkompendium Opgave 1 Tabellen herunder viser resultaterne af en klasses Coopers test. Alma 2900 Casper 2900 Egon 3200 Ernst 3000 Jan 2200 Kaj 3000 Karsten 3200 Kasper 2900 Kirsten 2700 Laura 2600 Louise 2100 Marlene 2500 Mette 2600 Mogens 3100 Naja 2500 Palle 3000 Pelle 3000 Per 2400 Pernille 2500 Poul 3400 Rikke 2600 Virgil 2900 Øjvind 2900 Få styr på tallene i tabellen (lav en tabel med en fornuftig intervalinddeling - som øverst på side 102 i matematikhåndbogen) Tabellen skal indeholde: observationer, hyppighed, summeret hyppighed, frekvens og summeret frekvens Find: intervalmidtpunkt, typeinterval, middeltal (gennemsnit), mindsteværdi, median, størsteværdi, variationsbredde Lav et søjlediagram over hyppighederne Lav en sumkurve over den summerede frekvens Forklar, hvad man kan aflæse på sumkurven (bl.a. de forskellige kvartiler) 72

73 ] 140, 150 ] ] 150, 160 ] ] 160, 170 ] ] 170, 180] ] 180, 190 ] ] 190, 200 ] ] 200, 210 ] JG s matematikkompendium Opgave 2 I en undersøgelse af 500 forskellige voksne menneskers højde, fremkom nedenstående diagram Hyppighed Lav en hyppighedstabel over fordelingen af højder Lav en sumkurve over den summerede frekvens Beregn middeltallet - hvad beskriver middeltallet? Aflæs de tre kvartiler - Hvad kan man se ud fra dem? 73

74 JG s matematikkompendium Boksplot Når man vil lave et boksplot er det en fordel at bruge et elektronisk værktøj til hjælp. Jeg har valgt at tage udgangspunkt i Geogebra. Herunder er nogle fiktive karakterer for en skoleklasse med 28 elever. Karakterer i 10. G For at lave boksplottet åbnes Geogebra: 1. Klik på [Vis] 2. Vælg [Regneark] 3. Indsæt nu alle karaktererne(observationerne) i Geogebras regneark i kolonne A. 4. Klik på [A] så du marker hele kolonne A. 5. Når du arbejder med tallene i Geogebras regneark, ændrer menuen foroven sig. Vælg nu knappen. Hvis man ikke kan se knappen, findes den ved at klikke på den lille pil nederst i højre hjørne på en af knapperne. 6. Klik på 7. Nu vælges [Boksplot] i rullemenuen 74

75 JG s matematikkompendium 8. Vupti, dit boksplot er lavet. Hvis du samtidig vil kende de værdier man kan undersøge, klikkes blot på Boksplot - flere i samme koordinatsystem 1. Gentag trin 1-4, hvor du indsætter 1. talmængde i kolonne A, næste talmængde i kolonne B, osv. 2. Nå dette er gjort, vælges [Flervariabelanalyse] 3. Herefter fortsættes med trin 6-8 fra forrige opgave. 4. Nu ser dit boksplot formentlig sådan ud: Krydserne i højre side markere størsteværdien som Geogebra vurderer ligger markant uden for området, og derfor er en statistisk unøjagtighed, der ikke skal tælles med. Coopers test For at få alle målinger med, skal du klikke på den lille pil 6. Herefter fjernes fluebent ved [Vis Outliers] En anden metode 1. Gå i vis tryk på regneark 2. Træk i bjælken til regnearket så du kan se både a og b kolonne 3. Find nogle data fra en opgave 4. Gå i geogebra stil dig i A1 højreklik og tryk sæt ind 5. Tryk nu i geogebra på kolonne overskriften A. (så bliver hele kolonnen markeret) 6. Højreklik nu markeringen og vælg lav liste 7. I algebra vinduet fremkommer nu L1={180,175,171,184 (eller andre tal) 8. Skriv nu i input linjen: Boksplot[1,0.5,liste1] 9. Kommandoen for boksplot er Boksplot[hvor på y-aksen skal midten af boksplottet være, hvor bred skal boksplottet være, Hvilken liste skal jeg bruge] 10. Hvis man ikke kan se, der er sket noget i geogebra er det fordi boksplottet ligger længere ude af x- aksen. Tryk på og træk tegnefladen, så man kan se boksplottet. 11. Formindst tegnefladen (højreklik på tegnefladen, og vælg zoom, 50%, gøres måske flere gange) 75

76 JG s matematikkompendium Opgaver til boksplot Opgave 1 To elever, A og B, ønsker at sammenligne deres taletid i mobiltelefon. De indsamler derfor over samme periode taletiden på alle deres mobilsamtaler. Nedenfor ses resultatfordelingerne afbildet i to boksplot. π Sammenlign de to elevers taletid ud fra de to boksplot ved at inddrage kvartilsættene. Opgave 2 Sorteret efter størrelse er ordlængderne af de første 25 ord i en Harry Potter-bog: 2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,14 π Bestem median og middeltal for ordlængderne af disse 25 ord. Nedenstående boksplot viser fordelingen af ordlængderne af de 25 første ord i hfbekendtgørelsen. π Tegn et boksplot over ordlængderne af de 25 første ord i Harry Potter-bogen. π Sammenlign ved hjælp af boksplottene de to fordelinger af ordlængderne. 76

77 JG s matematikkompendium Opgave 3 To personer skyder med luftgevær mod en skydeskive. De skyder hver en længere serie skud og måler for hvert skud afstanden til centrum af skydeskiven. Resultaterne for person nr. 1 kan beskrives ved følgende deskriptorer: Deskriptor Mindste observation Nedre kvartil Median Øvre kvartil Største observation Afstand (mm) Herunder er et boksplot for person nr. 2. HINT: Tast ind i Geogebra: [højdebeliggenhed for boksplot, tykkelse af boksplot, mindste observation, nedre kvartil, median, øvre kvartil, største observation]. π Tegn et boksplot for resultaterne for person 1. π Sammenlign de to personers resultater. 77

78 JG s matematikkompendium Statistisk sandsynlighed Statistisk sandsynlighed handler om at man ved hjælp af fortiden prøver at forudsige fremtiden. Eller med andre ord: man bruger statistikken til at gætte på fremtiden. F.eks. Hvis en elev er blevet taget i at snyde med en matematikaflevering, er der rimelig sandsynlighed for at han gør det igen. Statistisk sandsynlighed er ofte udregnet i procent. F.eks.: En elev har kastet op til en af de tre fester hun var til i weekenden. Hun har altså kastet op i ét ud af tre tilfælde. Dvs.: Derfor kan man konkludere at den statistiske sandsynlighed for at eleven kaster op til næste fest er Det skal dog tilføjes at troværdig statistik bygger på langet flere observationer end blot de tre i tilfældet ovenfor. Opgave 1 Sandsynlighed for en dreng/pige? På Dr s hjemmeside kan man se at hver gang der bliver født 100 piger, bliver der født 106 drenge. 2 Hvad er den statistiske sandsynlighed for at få en dreng? Hvad er den statistiske sandsynlighed for at få en pige? Opgave 2 I 10 I er der 26 elever. Der har været ca. 40 undervisningsgange, og i de 32 af dem er der mindst én og ofte flere elever, der er kommet for sent. Beregn den statistiske sandsynlighed for at alle elever møder til tiden Opgave 3 Herunder kan man se, hvor mange trafikuheld der var i november 2011 og Trafikuheld i november Ulykker Med personskade Alene materiel skade I alt Hvor mange procent af ulykkerne i 2011 indeholdt personskader? Hvor mange procent af ulykkerne i 2010 indeholdt personskader? Hvad er den omtrentlige statistiske sandsynlighed for at en ulykke indeholder personskader i 2012? 2 78

79 JG s matematikkompendium Opgave 4 Tallene stammer fra Juel, Sørensen, Brønnum: Risikofaktorer og folkesundhed i Danmark. Statens Institut for Folkesundhed for Sundhedsstyrelsen, Jeg fandt dem via Kræftens Bekæmpelses hjemmeside. De taler vist for sig selv. Hvert år dør næsten mennesker af at ryge! Hvor mange er døde af rygning i 2006? Når en er død i 2006 af en af ovenstående årsager, hvad er så den statistiske sandsynlighed for at man er død af rygning? 79

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011

fsa 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem Matematisk problemløsning Folkeskolens Afgangsprøve December 2011 fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning December 2011 Som bilag til dette opgavesæt er vedlagt et svarark 1 På tryk tryk på 2 På dvd 3 På tv 4 På film 5 I koordinatsystem 1 På tryk tryk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.

Statistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer. Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK

FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK FORMELSAMLING FOLKESKOLENS AFSLUTTENDE PRØVER I MATEMATIK Redaktion og tilrettelæggelse af indhold for Skolestyrelsen: Lektor Hans Jørgen Beck,

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard Lindeløv mac2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matematik Demo excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk matematik excel F+E+D bernitt-matematik.dk 1 excel 2+ 2004 by bernitt-matematik.dk brikkerne til regning &matematik excel F+E+D 3. udgave som E-bog 978-87-92488-23-7 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Mundtlig eksamen Maj-Juni 2014 Institution VUF Uddannelse Fag og niveau stx (Studenterkursus) Matematik C

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Lise A.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Vest - Esbjerg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Peter

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Grupperede observationer

Grupperede observationer Grupperede observationer Tallene i den følgende tabel viser antallet af personer på Læsø 1.januar 2012, opdelt i 10-års intervaller. alder antal 0 131 10 181 20 66 30 139 40 251 50 318 60 421 70 246 80

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere