- Samme formelsamling som du har fået udleveret.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "http://tinyurl.com/jmgformel - Samme formelsamling som du har fået udleveret."

Transkript

1 JG s matematikkompendium Nyttige links: - Tilføjelse til Word. Et rigtig godt hjælpeværktøj til matematikken. - Samme formelsamling som du har fået udleveret. - Uundværligt geometriprogram. 1

2 JG s matematikkompendium Indholdsfortegnelse Regneark... 3 Tur til Fårup Sommerland... 6 Økonomiopgave Algebra Eksempel - Ubekendt på begge sider af lighedstegnet Procent Vækst Vækstformlen Logaritmeformel Opgaver til vækstformlen Funktioner grads funktioner ligninger med 2 ubekendte Omvendt proportionalitet / hyperblen Areal Pythagoras Rumfang Trigonometri Ensvinklede trekanter Enhedscirklen Sinus, Cosinus og Tangens Formler for retvinklede trekanter Statistik Enkeltobservationer Grupperede observationer Boksplot Opgaver til boksplot Statistisk sandsynlighed...78 Kombinatorisk sandsynlighed grads funktioner Parablen Beregninger på parablen Værktøjskassen Sjov med 2. grads funktioner

3 JG s matematikkompendium Regneark Funktioner og variabler Et regneark består af celler, som hver især har navn efter hvor på arket de befinder sig (Næsten lige som i et koordinatsystem). F.eks. hedder den markerede celle, i figur 1, A1 (række 1, kolonne A): Figur 1 Man kunne selvfølgelig godt bare skrive nogle tal, og så bede regnearket om at finde resultatet. (Du kan se på øverste linie i figur 2, at man skal skrive [=] først for at regnearket ved at det skal lave en beregning. Så står der: fx 12): Figur 2 Det smarte ved regnearket er nu, at i stedet for at skrive tallene ind i regnestykket, kan man bare skrive dem i nogle andre celler, og så få Excel til at bruge det der nu står i cellerne (se figur 3): Figur 3 På øverste linie i figur 3 kan I nu se, at jeg ikke beder Excel om at lægge nogle bestemte tal sammen, men derimod værdierne af nogle celler:. Prøv selv at skrive nogle andre tal i disse celler (her: A2 og B2), og Excel finder så automatisk det nye resultat, brug gerne flere end to tal. Man kan også bruge andre regnearter end + Ved denne metode regner du faktisk med funktioner og variabler. Resultatet ( fx ) er en funktion af celle A2+B2. 3

4 JG s matematikkompendium Det hedder variabler, fordi det varierer, hvad der står i cellerne. Hver gang du taster et nyt tal ind, får du også et nyt resultat (funktionsværdi). Til mange af de ting man laver i Excel, er der nogle funktioner der gør det nemmere og hurtigere at lave beregninger. På figur4 kan du se hvordan det ser ud, hvis du skriver =sum(a1:a5) i celle c2 og derefter bruger musen til at markere de tal der skal lægges sammen. Når det er gjort taster du bare [ ] og celle c2 viser resultatet. Figur 4 1. Lav selv nogle flere beregninger, hvor du også bruger andre regnearter. Her er nogle smarte hjælpefunktioner: 1. Skriv f.eks. [2] i celle A1, og placér derefter musen over nederste højre hjørne. Der fremkommer nu et lille og du kan ved at holde venstre museknap nede trække værdien af celle A1 i den ene eller den anden retning, så flere celler bliver fyldt med den samme værdi. Se figur 5. Dette kan gøres uanset, hvad der står i cellerne, så du kan altså også trække variabler. På figur 6 kommer der altså til at stå =A1 i celle B1, og =B1 i celle C1, o.s.v. Figur 5 Figur 6 2. Når der står =A1 i celle B1 og vi trækker mod højre, kommer der altså her til at stå =E1 i celle F1. 4

5 JG s matematikkompendium Man kunne godt forestille sig at få brug for at celleværdien ikke vokser når man trækker i en celle. Dvs. at når vi trækker i celle B1, hvor der jo står =A1, skal der også i celle F1 stå =A1. For at kunne gøre dette, skal du lave en absolut reference. Det betyder at det er lige præcis værdien af den celle der trækkes i, der skal føres videre til de andre celler. Figur 7 På figur 7 kan du se at funktionen der kommer til at stå i de andre celler hedder =$A$1. Disse $-tegn finder du ved at bruge [ALT GR] Hvis du har Excel kan du bare trykke [F4] I et regneark er der forskel på tekst og tal. Hvis du skriver tekst i en celle som i figur 8, kan der ikke laves beregninger. Figur 8 Skal der skrives tekst, skal det stå i en celle for sig selv. Og hvis det skal regnes i kroner, skal du ikke skrive Løn foran eller kr bagefter, men derimod klikke eller i værktøjsbjælken ovenfor. Endnu bedre er det at bruge en ny celle til at skrive tekst i. 5

6 JG s matematikkompendium Tur til Fårup Sommerland En klasse fra HU vil gerne til Fårup Sommerland. Da der ikke er økonomi på skolen til at betale hele turen, må eleverne også selv betale lidt penge til turen. For at finde ud af, hvor meget turen kommer til at koste for hver elev, laver klassen et budget for turen. Det er i den sammenhæng lettest at finde klassens samlede pris for turen (altså indtægter minus udgifter) og så dele denne pris med antallet af elever. Opgave 1 For at gøre det let at rette i budgettet, vil klassen lave budgettet i et regneark. I første omgang vil de skrive nogle grundoplysninger, som skal bruges mange gange i forbindelse budgettet. En af disse grundoplysninger kunne være antallet af elever. Der er 24 elever i klassen. Eks. Bemærk at tekst og antal står i samme række men i forskellige celler (A1 og B1). Regnearket kan ikke finde ud af at regne hvis der står tal og bogstaver i samme celle. Der skal 2 lærere med på turen. Du skal nu skrive grundoplysningen Lærere ind i række 2. Hvis din tekst går ud over cellerne, kan du justere cellebredden ved at holde musen på linen mellem kolonerne og trække dem bedre. Opgave 2 I første omgang vil klassen kigge på nogle indtægter. En af indtægterne er at skolen giver 50 kr. pr. elev. Klassen laver budgettet således, at de i samme række skriver tekst, en sats og et resultat i tre forskellige celler ved siden af hinanden. Teksten kunne være: Penge fra skolen Satsen er: 50 Resultatet finder vi ved at sige antallet af elever gange satsen. Når vi skal skrive det ind i regnearket, kunne formlen være =B1*E2. Bemærk, at i stedet for at skrive B1 kan man bare klikke på cellen B1. 6

7 JG s matematikkompendium Og når man så trykker enter ser det således ud: Hvis man vil gøre det fint kan man efterfølgende gå ind og formatere cellen, så der i E- og F-kolonnen er 2 decimaler og der står kr efter tallet. (Fremgangsmåden: marker cellen og klik på ikonet med 0 erne for at ændre på antallet af decimaler. Og klik på valuta ikonet for at få det til at være kr.) Den kvikke elev vil nu opdage, at der står tekst og tal i samme celle, og at computeren godt kan regne med kr. når bare man har brugt ikonet og ikke selv skrevet KR. Sådan er det bare!!! Virksomheden Tøfex vil gerne være sponsor for klassen. De vil gerne give 33,27 kr. pr. elev. Skriv denne oplysning ind i række 3. Opgave 3 En anden sponsor Brutto vil gerne give klassen et beløb på 2000 kr. Eks. 1 Fortjeneste på salg i skoleboden giver klassen et beløb på 1134 kr. Skriv denne oplysning ind i række 5 Opgave 4 Klassen vil nu gerne have et overblik over de samlede indtægter. 1 I denne opgave kunne man også bare have skrevet de 2000 kr. direkte ind i resultat-cellen uden at bruge sats-cellen, men det er ikke altid, det er en god idé! 7

8 JG s matematikkompendium Det gør de ved, at de nedenfor beløbene i resultat-kolonnen laver en sammentælling af de 4 beløb. Her kan man bruge funktionen Autosum, som man finde i menuen (Har form som et sigmategn). Efterfølgende markerer man de celler, som skal lægges sammen og trykker på enter. Senere vil der komme en opgave, hvor man skal bruge denne viden. Så her skal du bare læse og forstå, det som er forklaret. Selvfølgelig skal du så også skrive det ind i regnearket. Opgave 5 Den største udgift i forbindelse med turen er betalingen for at komme ind i Fårup Sommerland. Det koster 150 kr. pr person. Så elever og lærere skal betale den samme pris. Eks. En anden udgift er betaling til bus. Busselskabet skal have 130 kr. pr. person, der skal med i bussen. Skriv denne oplysning ind i række 9. 8

9 JG s matematikkompendium Opgave 6 Find de samlede udgifter og skriv dem ind i række 10. (se evt. opgave 4) Opgave 7 Find og beregn klassens samlede egenbetaling for turen. (Udgifter minus indtægter) Opgave 8 For at finde den pris, som hver enkelt elev skal betale, skal man sige klassens samlede egenbetaling divideret med antallet af elever. Find hvor meget hver elev skal betale til turen. Opgave 9 Lav et lidt pænere layout på dit regneark. Brug ikonerne herunder til f.eks. at lave udgifter røde, indtægter blå og grundinformationerne grønne. Prøv at lave en ramme om dit regneark. Brug samme ikon til at lave to steger under facit. Opgave 10 Lav et diagram som viser fordelingen af klassens indtægter. Vælg indsæt i menulinjen og marker indtægterne Derefter klikker du på cirkeldiagrammet og får et ubrugeligt cirkeldiagram frem, da du jo ikke kan se hvad der er hvad. Vælg en af cirkeldiagramtyperne. Klik derefter på ikonet vælg data. 9

10 JG s matematikkompendium Nu kommer følgende frem på din skærm For at få forklaringer til diagrammet, skal du vælge at redigere i den vandrette (kategori) akseetiketten. Klik på rediger og marker cellerne med Penge fra skolen til penge fra skoleboden og tryk OK. Nu vil der kommer til at stå teksten fra cellerne i steder for 1,2,3,4 som på billedet herover. Klik på OK Vupti, dit cirkeldiagram er færdigt og øv, du har ikke selv skulle beregne procent og grader. Ups, Jeg har glemt at forklare hvordan man ændrer i diagramtitlen - prøv dig frem 10

11 JG s matematikkompendium Opsamling på det første 9 opgaver Nedenfor kan du se hvordan formlerne og cirkeldiagrammet kan se ud. 11

12 JG s matematikkompendium Opgave 10 Fordelen ved at lave budgettet i regneark er, at man hurtigt kan ændre et tal i budgettet og hvis man så har lavet formlerne rigtigt, så vil regnearket automatisk tilpasse budgettet til denne ændring. F.eks. kunne det jo være, at en af eleverne i klassen ikke skal med fordi vedkommende skal ud og rejse med sin familie. Således er der kun 23 elever, som skal afsted. Derfor retter man i celle A2 tallet fra 24 til 23. Og vupti, så laver regnearket rettelserne i budgettet, som ændringen i elevtallet medfører! Eks. Du skal nu ændre følgende: a) Der skal 3 lærere med Hvad er prisen nu? b) Skolens betaling til turen er sat op til 55 kr. pr. elev Hvad er prisen nu? c) Lærerne skal ikke betale for at komme ind i Fårup Sommerland Hvad er prisen nu? d) prøv at sætte beløbet fra skolen op til 100 kr. pr elev og se om cirkeldiagrammet ændre sig af sig selv. Hvis ikke, er der noget galt!! Hvis du ikke allerede har gemt, så opret en matematikmappe, økonomimappe og kald den budget Fårup.. Indset små kommentarer i cellerne i regnearket til dig selv, så du kan finde hjælp til de forskellige funktioner. (Højre klik på cellen. Vælg indsæt kommentar og skriv det du tror, du ellers vil komme til at glemme). Husk at gemme dit regneark igen 12

13 JG s matematikkompendium Økonomiopgave Et regneark kan bruges til mange nyttige ting i hverdagen. Du kan f.eks. bruge det til at holde styr på din egen økonomi. Prøv nu at lave et regneark, der holder styr på din egen økonomi. Det skal laves sådan at saldoen ændres, når du ændrer på indtægter og udgifter. Eks: Min økonomi Indtægter Januar Februar Marts April Maj Løn Lommepenge Feriepenge Indtægter i alt Udgifter Mobiltelefon Internet Fest Mad Udgifter i alt Balance Saldo (år) 6130 HUSK!: Det gælder om at være doven! - Det vil sige, at det gælder om at lave et grundigt forarbejde. Så bliver det nemlig let at lave ændringer senere. 13

14 JG s matematikkompendium Cykelopgave Jakob køber ny cykel. Regnskabet for køb af cyklen kan f.eks. laves som det ses herunder: 1. Stil selv opgaven op i et regneark. De steder hvor der er beregninger skal der ikke bare tastes tal ind, men derimod beregningerne som vist i nedenstående eksempel: Hvis teksten ikke kan være i cellen, kan du bare dobbeltklikke mellem de to kolonnenavne, så tilpasses bredden på kolonnen automatisk. a) Når regnskabet er sat op og beregningerne virker, skal du bruge lidt tid på at få det til at se overskueligt og flot ud. b) Lav et diagram (vælg det der passer bedst), der viser fordelingen af cyklens pris. Jakob synes nu alligevel at det er for dyrt for bagagebæreren, så han vælger i stedet at bruge den fra hans gamle cykel. Til gengæld vil han have en bedre lås. Den koster 120 kr. 2. Hvad koster cyklen nu? Jakob er handelsmand og prutter om prisen. De bliver enige om at der skal slås 5 % af den samlede pris før klargøring. 3. Hvad koster cyklen nu? 14

15 JG s matematikkompendium Busturen (Nørdopgaven) En klasse skal på bustur. Afhængig af hvor mange de bliver, skal der lejes en stor eller en lille bus. Dermed afhænger prisen også af deltagerantallet. Regnearket opbygges på følgende måde: Antal kilometer 600 Antal deltagere 15 En lille bustur Personer Leje Km-pris Leje af lille bus 14 kr 3.000,00 kr 1,50 Leje af stor bus 30 kr 5.000,00 kr 2,50 Antal busser Pris for lille bus kr 7.800,00 >>> 0 "lille bus" Pris for stor bus kr 6.500,00 >>> 1 "stor bus" Buspris kr 6.500,00 Pris pr. deltager kr 433, , Jakob Mols Græsborg Nogle steder gemmer sig HVIS-funktionen og RUND.OP-funktionen, men jeg synes I selv skal prøve at finde ud af, hvordan den fungerer. Få også styr på, i hvilke celler der kan indtastes data, og i hvilke celler der laves beregninger, så det er til at finde rundt i. 15

16 JG s matematikkompendium Algebra Ligninger Hvad skal der stå i den tomme figur for at påstanden bliver sand? Hvis to figurer er ens, skal der stå det samme tal i figurerne = = = = : 6 = : = : 14 = : = = = = = Reducer følgende udtryk: æg + 3 æg + 4 høns + 1 æg + 1 høne æbler + 3 pærer + 2 æbler + 10 pærer 5 æbler fluer 2 myg 8 fluer + 4 myg + 3 myg 1 flue 20. 2x + 3x + 4y + x + y 21. 4b + 3a + 2b + 10a 5b 22. 8x 2y 10x + 4y + 3y x 23. Hvilke udtryk er ligninger? 24. En bil = en jaguar 25. To plus to = Godt vejr = regnvejr 27. x + 2 = en elefant og to myg = to myg og en elefant 29. y y = æbler og 1 æble = 3 æbler g minus 20 g = 30 g 16

17 JG s matematikkompendium Eksempel - Ubekendt på begge sider af lighedstegnet Løsningen til ligningen er altså. Vi undlader her at omregne til et afrundet decimaltal som fx 0,14, fordi vi ønsker en eksakt (helt præcis) angivelse af løsningen. Hvad er der galt i disse omformninger? 32. 5x = 35 6x = 36 x = x + 3 = 15 4x = 18 X = 4½ 34. ½x + 2 = 4 x + 2 = 8 x = x = 2x = 3x 13/3 = x 17

18 JG s matematikkompendium Løs nedenstående ligninger i gruppen. Det er vigtigt at alle i gruppen forstår fremgangsmåden. x 11 2x 9 2x 5 3x 2 x 3 9 2x 9 2x 4 3x x= 5 x 7 x x= 6 2x 8x 14 x= 20 7x 20 3x x= 2( x 1) 4x 8 x= 3x x x= 3x 2 12x 7 x= 3( x 1) 15 x x= 2(4 x) 4x x= 3( x 1) 11 x x= 5 (8 2x) 15 (3x 1) x= 4 ( x 2) 5 2x x= 8 (3 2x) 4 ( x 2) x= 2(3 x) 4x 10 x= 2(8x 9) 316x 15 x= 2(3x 4) 3(2x 1) x= 3 x 4 x= x= x= x= 18

19 JG s matematikkompendium 36. Forklar hvad der sker med hver ligning fra linie til linie 19

20 JG s matematikkompendium Kvadratsætninger (tegn, beregn, fortæl ) Kvadratet på en toleddet størrelse er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på sidste led plus eller minus det dobbelte produkt ( ) Vis ved hjælp af nedenstående figur at denne sætning passer:, og forklar sætningen øverst på siden. ( ) Vis ved hjælp af nedenstående figur at denne sætning passer:, og forklar sætningen øverst på siden. To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på det første tal minus kvadratet på det sidste tal ( ) ( ) Prøv evt. at bevise ovenstående sætning geometrisk ved hjælp af denne (og egne) figur(er): 20

21 JG s matematikkompendium Brøker 21

22 JG s matematikkompendium Brøkregler: a. a b c a d cb a d bc d bd db bd Eksempel: Fællesnævner skal kun findes når du lægger sammen eller trækker fra b. a n b a n a na n b b b c. a : b m a bm a bm 16 : d. a c b d a c bd e. a : b c d a d bc 5 : Fortegnsregler: Eksempel: (+) (+) = (+) & (+) : (+) = (+) 2 5 & 2 : 5 er positive (-) (-) = (+) & (-) : (-) = (+) (-2) (-4) & (-2) : (-4) er positive (-) (+) = (-) & (-) : (+) = (-) (-5) 6 & (-2) : 6 er negative (+) (-) = (-) & (+) : (-) = (-) 3 (-5) & 3 : (-5) er negative Regnereglernes hierarki 1. Først udregnes eksponenter i potenser 2 3*2 + 4 * * 25 = 2. Dernæst udregnes potenser og rødder * * 25 = 3. Så udregnes multiplikation og division * 49 5 * 25 = i brøker udregnes tæller og nævner, = før brøken udregnes f. Til sidst udregnes addition (+) og subtraktion (-)

23 JG s matematikkompendium A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S. V T. W U. X Hvad er størst: 8 58 eller 81 Begrund dit svar! 23

24 JG s matematikkompendium Bogstavregning: Opgave 1 Som bekendt gælder. Udtryk dette mere generelt med bogstaverne og Opgave 2 Som bekendt gælder, og.. Udtryk dette mere generelt med bogstaverne Opgave 3 Som bekendt gælder. Udtryk dette mere generelt. Opgave 4 Vis at Opgave 5 1. Formulér i ord: Hvad sker der når du lægger 2 gange et tal til 3 gange det samme tal? 2. Formulér med matematiske symboler: Hvad sker der når du lægger 2 gange et tal til 3 gange det samme tal? Opgave 6: Lyse og mørke felter Undersøg følgende figurer: 1. Tegn hvordan de følgende figurer vil se ud, hvis du fortsætter efter samme mønster. 2. Udfyld tabellen 3. Beskriv med egne ord, hvordan sammenhængen er mellem antallet af mørke felter og antallet af lyse felter. 4. Beskriv med matematiske symboler, hvordan sammenhængen er mellem antallet af mørke felter og antallet af lyse felter. Opgave 7 På et universitet er der 6 gange så mange studerende som der er lærere. Det kan udtrykkes i ligningen 1. Hvad står for i ligningen: 1. Lærere 2. Lærer 3. Antal lærere 4. Ingen af de ovenfor nævnte 5. Ved ikke 2. Hvad står for i ligningen: 1. Lærer 2. Student 3. Studerende 24

25 JG s matematikkompendium 4. Antal studerende 5. Ved ikke Opgave 8 Du har en stak én-kroner og en stak to-kroner. Værdien af den ene stak er lig værdien af den anden. Lad betegne antallet af én-kroner og betegne antallet af to-kroner. Opstil en ligning der udtrykker sammenhængen mellem og. Opgave 9 Overvej hvor vanskeligt det ville være at løse en større ligning, der var formuleret i ord - uden at anvende matematiske symboler: I den indiske afhandling "Lilawati" fra det 8. århundrede formuleres et sted følgende problem: "Af en dynge ægte lotusblomster blev en tredjedel, en femtedel og en sjettedel ofret til guderne Siva, Vishnu og Solen; en fjerdedel blev foræret til Bhavani. De sidste seks blomster blev givet til den ærværdige lærer. Sig mig hurtigt, hvor mange blomster der var" Kan du løse det indiske problem? 25

26 JG s matematikkompendium Brev til mormor - når en centicube holder fødselsdag! Når en centicube holder fødselsdag sker der to ting A den bliver én større på hver led B den bliver dyppet i maling så hele overfladen får en ny farve Beskriv hvor mange af de små centicubes der bliver malet på hvor mange sider. Udfyld resten af skemaet. Alder Antal centicubes 6 sider 5 sider 4 sider 3 sider 2 sider 1 side 0 sider Samlet Overflade x Beskriv med egne ord hvad der sker Skriv et brev til mormor. Brug et sprog så mormor kan forstå det! 26

27 JG s matematikkompendium Procent Simpel procentregning I alle opgaverne skal du regne både skønsmæssigt (i hovedet!) og på lommeregner 37. Hvad er? 10 % af % af % af % af % af % af % af Hvor mange procent udgør 30 af af af af af af Hvad er den procentvise forskel på 100 og og og og og og og Hvad koster en vare der før kostede 600 kr. når den. Stiger med 17 % Falder med 10 % Stiger med 84 % Falder med 100 % Stiger med 1/3 Herunder er lige et par kontrolopgaver i simpel procentregning I tvivlsspørgsmål brug følgende guide: 1 Tænk dig om og husk % betyder hundrededele! 2 Brug din formelsamling!! 3 Spørg sidemanden eller onkel Jakob 4 I nødstilfælde kan man spørge Jakob, men har man ikke først prøvet 1 og 2 kan Jakob være træls! 27

28 JG s matematikkompendium Ekstra procentopgaver Opgave 1 Find 22 % af 350 kr. Et hus har kostet kr. og er faldet 3 % i værdi. Hvor meget er det faldet? Hvad er 5,5 % af 90 Find 120 % af 50 Opgave En cykel koster 2995 kr. plus 5 % i handelsomkostninger Hvad skal du betale? 42. Der boede tidligere 6732 personer i Matematikkøbing men 3,5 % er rejst Hvor mange bor der nu? 43. En bil koster kr. plus moms Prisen inkl. Moms er? 44. Antallet af teenagere med dårlig holdning til skolearbejdet var i 1989 = men er desværre steget med 245 % frem til i dag Gider du regne ud hvor mange der er i dag? Opgave Der er i en klasse 11 piger og 14 drenge hvor mange procent er piger? 46. Hvad er 55 i procent af 512? 47. Hver 3. elev på Nørrevangsskolen vil gerne have mere matematik hvor mange procent vil ikke have mere matematik? 48. Hvad er 400 i procent af 40? Opgave drenge i 7.b udgør 60 % af klassen hvor mange elever er der i 7.b 50. Et sejlskib koster kr. inkl. moms hvad er prisen ekskl. moms? 51. En håndboldspiller scorede i en turnering på 75 % af sine forsøg han lavede 16 mål på hvor mange skud? udgør 125 % - hvad er 100 % Opgave Forklar i ord og med tal, at man kan lægge x % til et tal ved at gange tallet med (1+x) 28

29 JG s matematikkompendium Vækst Når du indsætter penge i banken og de ikke hæves tilskrives der rente. Næste gang, der tilskrives rente, får man også rente af den tilskrevne rente fra første periode. Den nye rente kaldes rentes rente eller sammensat rente. Hvis en kapital står urørt på en bankkonto i flere terminer (rentetilskrivningsperioder), hvor der tilskrives renter hver termin, kan man finde værdien af kapitalen (beløb) + renter og renters rente ved hjælp af vækstformlen og væksttabellen. Tilskrivning af renter Eks. Start med 100 kr. (startkapital) Rente 10 % p.a. rente af 110 kr. rente af kr kr kr. 1. april 1. april 1. april 1 år 1 år Termin Kapital ,10 1,10 Termin n Kapital K0 K(1+r) n (1+r) Vækstformlen Kn = Ko(1+r) n Kn: kapitalens værdi efter n terminer (perioder hvor der tilskreves renter f.eks. kvartaler, måneder eller år) Ko: kapitalens startværdi ( K0 Udtales som K nul ) r: renten (som decimaltal eks. 5 % = 5 0, 05 ) 100 n: antal terminer (perioder) 29

30 JG s matematikkompendium Eks. Peter indsætter 100 kr. til 8 % p.a. på sin 7 års fødselsdag. Der tilskrives renter 1 gang om året. Hvor meget kan Peter hæve 7 år efter? Kn =? Ko = 100 kr. n = 7 r = 0,08 Det kan regnes på flere måder ved hjælp af lommeregneren, væksttabellen og computeren. Lommeregneren Kn = K0 (1+r) n De tal vi kender indsættes i formlen. K7 = 100 (1+0,08) 7 K7 = 100 (1,08) 7 K7 = 171,38 kr. Udregning på lommeregner: 100 (1,08) ^ 7 Væksttabellen Bagerst i formelsamlingen findes en væksttabel Start med at finde procentkolonnen, i dette tilfælde 8 %. Find derefter n (antal terminer/ perioder), i dette tilfælde 7 terminer. Find derefter tabeltallet, dvs. gå ud fra 8 % og ned til 7 terminer. Tabeltallet er her: 1,

31 JG s matematikkompendium Tabeltallet er et udtryk for, hvor meget 1 krone har udviklet sig med tilskrivning af renter og rentes renter gennem n antal terminer. I dette tilfælde er 1 krone til 8 % med 1 årlig rentetilskrivning i 7 år blevet til 1,7138 kroner. Da vores startkapital var 100 kr., skal vi gange tabeltallet med 100: 100 1,7138 = 171,38 kr. Ofte ser man, at der efter procenttallet står p.a.. F.eks. 8% p.a. Det betyder pro anno, som oversat til dansk er per år. Det vil sige, at når der står 8% p.a., er det den årlige rente. Dette er dog ikke det samme som at sige, at pengene på et år bliver forrentet med 8%. Det kommer nemlig også an på, hvor mange gange om året der tilskrives rente. Hvad så hvis der var rentetilskrivning hvert halve år? Kn =? Ko = 100 Renten er 8 % p.a.(pr. år), så vi skal dividere 8% med 2, da renten tilskrives hvert halve år, med halvdelen af de 8 % hver gang. 8 4% 2 pr. termin. r = 0,04 n = 14 (7 år á 2 perioder) I tabellen skal du nu finde 4 % og 14 terminer. Tabeltallet er i dette tilfælde: 1,7317 De 100 kr. ville have vokset til 173,17 kroner på 7 år. Tabeltallet er altså et udtryk for: (1+r) n Computeren Prøv dig frem. På nuværende tidspunkt ved du nok om brug af Excel til at kunne løse opgaverne. Hint: brug sildeben, og gør regnearket automatisk 31

32 JG s matematikkompendium Slutkapital (Kn) Jane sætter 2000 kr. i banken til 3 % p.a. I banken, som hedder Aars Sparekasse, får man tilskrevet renter 1 gang om året. 54. Hvor mange penge har Jane om 10 år? Anders sætter også 2000 kr. i banken til 3 % p.a. Men i den bank, hvor Anders har sine penge ( Aars Banken ), er der tilskrivning hvert halve år. 55. Hvor mange penge har Anders om 10 år? Signe har kr. stående på en konto i 8 år til 7 ½ % p.a. Renten tilskrives en gang om året. 56. Hvor stor er slutkapitalen? Den 1. april 1997 indsætter Dorthe kr. på en ny konto, hvor der tilskrives renter en gang om året (Hver gang det er 1. april) med 8 ¾ % p.a. 57. Hvor meget vil beløbet være vokset til d. 1. april 2001? 58. Hvor meget vil beløbet være vokset til den 1. april 2004? Kontoen bliver lukket den 14. juni 2004, da Dorthe skal starte på HU og gerne vil bruge pengene på en ny computer. 59. Hvor meget kan Dorthe hæve? NB: Denne formel kan bruges når man arbejder med rentetilskrivning i et bestemt antal dage. K p d R 360 Først beregnes antal dage, og R: rente derefter indsættes tallene i K: kapitalen renteformlen. p: renten som decimal d: antal dage Erik har haft kr. stående uberørt i 10 år på en konto med helårlig rentetilskrivning. De første 6 år var renten 9 % pr. år, derefter 10 ½ %. 60. Hvor stort et beløb kan hæves efter de 10 år? Da Jesus blev født indsatte Jomfru Maria 1 kr. på en bankkonto til 1 % p.a. Helårlig rentetilskrivning. 61. Hvis Jesus havde levet i dag, hvor meget kunne han så hæve? 32

33 JG s matematikkompendium Startkapitalen Ind i mellem vil det være rart at vide, hvor mange penge man skal starte med at sætte ind, når man ved, hvor mange penge, man gerne vil kunne hæve på et senere tidspunkt. Man kender altså det beløb, man gerne vil ende med at kunne hæve (Kn). Man kender den rente pengene forrentes med (r) og antallet af perioder pengene skal stå i banken (n) Det vi mangler er startkapitalen (Ko) Eksempel Alfred ved at han skal bruge kr. til en ny bil om 5 år. Renten er 4 % p.a. med rentetilskrivning en gang om året. 62. Hvor meget skal Alfred indsætte i banken. Kn= Ko =? r = 0,04 n = = Ko (1, +0,04) 5 Der skal så indsættes ,11 kr. Hint: Isolerer Ko, så man kommer frem til formlen: (1+r) n kan findes i væksttabellen, hvis man ikke vil bruge lommeregneren. Anne Mette skal den 1/ bruge kr. til at købe en computer. Pengene forrentes med 8 % p.a. Rentetilskrivningen er hvert halve år. 63. Hvor stort et beløb skal hun den 1/ indsætte på kontoen? Karen skal den 1/ bruge kr til at købe en ny computer. Pengene forrentes med 8 % p.a. 64. Hvor stort et beløb skal Karen indsætte den 1/7-2013? K 0 K n ( 1 r) n Renten Det kan også være, at den rente, som vores penge forrentes med, er ukendt. Her er det altså r vi mangler. Eks. Louise satte 100 kr. i banken for 5 år siden, hun har fået helårlig rentetilskrivning. Da hun hævede pengene fik hun 140,26 kr. 65. Hvad havde Louise fået i rente? Kn= 140,26 Ko= 100,00 n = 5 r =? 33

34 JG s matematikkompendium 140,26 = 100(1+r) 5 Formlen ender med at se sådan ud:, når man vender rundt på den. Eks.: Kn = K 0 (1+r) n K K K n K n n o K K (1 r) n o n o n (1 r) 1 r 140,26 5 r 5 1 r 1, r 1,07 1 r 0,07 r 7% Udregn r når, Kn= kr., Ko = kr. og n = 8 - Regn opgaven ved hjælp af lommeregner. Malene satte 400 kr. i banken for 16 år siden, hun har fået renter helårligt. Da hun hævede pengene fik hun 1095,60 kr. 67. Hvilken procent er pengene forrentet med? Johannes satte 500 kr. i banken for 15 år siden. I dag står der 900 kr. På kontoen er der helårlig rentetilskrivning 68. Hvad var renten p.a.? Terminer Man kan også komme ud for at det er antallet af terminer, som er ukendt. Denne del er lidt vanskeligere, og kan findes ved hjælp af vækstformlen eller ved beregning med logaritmer. Eksempel Mathilde satte 100 kr. i banken til en årlig forrentning til 6 %. Da hun hæver pengene har hun 189,83 kr. 69. Hvor lang tid har Mathilde haft den i banken? Kn= 189,83 Ko= 100,00 n =? r = 6 % 189,83 = 100(1, +0,06) n 34

35 JG s matematikkompendium Logaritmeformel Når man er nået frem til: ( ), kan man også beregne n ved hjælp af noget der hedder logaritmer. I virkeligheden skal du bare lære at bruge en ny knap på din lommeregner: [log]. Husk dog, at du altid skal gøre det samme på begge sider af lighedstegnet. Problemet er at når du har: kan du ikke rigtig umiddelbart komme videre. Her er det at man kan bruge logaritmefunktionen, så bliver til. Der gælder at Eks.: Nu bruger jeg logaritmefunktionen på begge sider af lighedstegnet så der kommer til at stå: Dette kan jeg så ved at bruge reglen lave om til noget jeg lettere kan beregne: Nu er det simpel ligningsløsning for resten: Det bliver så til: Og til sidst: Opgaver Du vælger selv om du nu vil bruge væksttabellen eller den noget smartere logaritmeformel. 70. Udregn n når, Kn= kr., Ko = 8000 kr. og r = 3 % p.a. Anne Marie satte 1600 kr. i banken. Da hun hævede dem fik hun 6473,28 kr. Anne Maries penge er forrentes helårlig med 5,75 %. 71. Hvor mange år har de stået i banken? Dorthe hævede sin opsparing på 2639,80 kr. Renten havde været 3,5 % p.a. med halvårlig tilskrivning. I sin tid satte Dorthe 2000 kr. ind. 72. Hvor mange terminer har pengene stået i banken? Ib sætter 5000 kr. i banken til 3,75 %. 35

36 JG s matematikkompendium 73. Hvor mange år går der inden pengene er fordoblet? Tredoblet? Firedoblet? Femdoblet? Seksdoblet? Flere vækstopgaver 74. Fra 1980 til 2000 oplevede Danmark en årlig vækst i befolkningstallet på 1,5 %. 75. Der boede i 1980: mennesker i Danmark. Hvor mange boede der i år 2000? 76. Du har sat dine konfirmationspenge (4573 kr.) ind på en konto til 1,25% p.a. Du lader dem fornuftigt stå i 5 år, så du har dem, når du flytter hjemme fra Hvor meget er der på kontoen efter fem år? 77. En anden har gjort det samme og kan efter de fem år hæve 7534 kr. Hvor meget fik han i konfirmationsgave? 78. En tredje fornuftig ung havde i sin tid sat 5200 kr. ind på kontoen og efter de fem år, havde han 5741,22 kr. Hvad har han fået i rente? 79. På ti år er en ejerlejlighed i Århus steget fra kr. til 1,7 mio. kr. Hvis prisudviklingen har været konstant de 10 år hvor meget er den så steget i procent hvert år? 80. Du sætter kr. ind på en konto med en rente på 1,75 % p.a. og vil gerne hæve pengene når der er kr. hvor mange år går der? 36

37 JG s matematikkompendium Her under er en tabel med data om ræve i Matematikkøbings gader 81. Find den gennemsnitlige stigning i procent. År Antal ræve En bestemt type bakterier i en kylling formerer sig forskelligt alt efter om den er i fryser, køleskab eller ligger på køkkenbordet. Til tiden nul er der ca bakterier i kyllingen. Der er en grænse værdi på bakterier for at den bliver farlig at spise. Frem skrivningsfaktoren for en time er: Fryser: 1,003 Køleskab: 1,09 Køkkenbord: 1,6 82. Hvor længe må man opbevare kyllingen de forskellige steder? 83. Hvad er x, hvis 84. Hvorfor er log(ab) = log(a) + log(b)??? 85. Hvor meget vejer en ræv? 37

38 JG s matematikkompendium Opgaver til vækstformlen K K ( 1 x) n n Du har ,- kr. på en konto med en årlig rente på 6 %. Efter 20 år hæver du pengene. Hvor mange penge kan du hæve? Du har talt at der er 950 kakerlakker på væggen. Du har læst i ekstrabladet at kakerlakker formerer sig med 8,5 % i døgnet. Hvor mange kakerlakker var der for 7 døgn siden? Du skal ende med at have ting. For nogle timer siden havde du kun ting. Hvilken procentsats er dine ting ynglet med, når de har ynglet i 5 timer? Dine evner som fodboldspiller kan måles med måleenheden Græsborg. Når du begyndte med 1500 Græsborg da du blev 15 år Hvor mange år vil der gå, inden dine evner er 3000 Græsborg med en vækst på 4,5 % pr år? 38

39 JG s matematikkompendium Funktioner Tegn trekanter ud fra forskrifter (Brug gerne Geogebra) 86. Tegn et koordinatsystem 87. Mindsteværdi på x-aksen: Størsteværdi på x-aksen: Mindsteværdi på y-aksen: Størsteværdi på y-aksen: Tegn nedenstående funktioner ind i koordinatsystemet Trekant 1 1. y = 2x y = 1/2x-6,5 3. y = -x+7 Trekant 2 3. y = 3,5x+7 4. y = -1/2x-4,5 5. y = 1/4x+1 Tegn figurer ud fra punkter (Brug gerne Geogebra) 92. Tegn et koordinatsystem 1. Mindsteværdi på x-aksen: Størsteværdi på x-aksen: Mindsteværdi på y-aksen: Størsteværdi på y-aksen: 8,5 93. Tegn punkterne ind i koordinatsystemet i rækkefølge 94. Tegn streger mellem punkterne (tegn figuren HELT færdig) 95. Hvilke figurer forestiller det? Figur 1 1. (-4;2,5) 2. (-1,4) 3. (3;4,5) 4. (5,2) 5. (9,5;3) 6. (7,5;1) 7. (9,5;-1) 8. (5,0) 9. (3;-2,5) 10. (-1,-2) 11. (-4;-0,5) 12. (-2,1) Figur 2 1. (-10,5;-3) 2. (-10,5;2) 3. (-11,2) 4. (-8;4,5) 5. (-5,2) 6. (-5,5;2) 7. (-5,5;-3) Figur 3 1. (3,5;7) 2. (6,5;7) 3. (6,5;8,5) 4. (9,5;8,5) 5. (9,5;7) 6. (12,7) 7. (12,5) 8. (5,5) 39

40 JG s matematikkompendium 1. grads funktioner Hvad er en funktion? En funktion er en sammenhæng mellem to variable. Den ene variabel, som regel x, kalder vi for den uafhængige variabel, og den anden variabel, typisk y, kalder vi for den afhængige variabel. For eksempel er antal kørte km den uafhængige variabel, mens den samlede omkostning ved at køre bil er den afhængige variabel, fordi den samlede omkostning afhænger af, hvor mange km du har kørt i bilen. For at sammenhængen kan kaldes en funktion, skal der gælde, at til hver værdi af den uafhængige variabel, skal der netop svare én og kun én værdi for den afhængige variabel. For eksempel vil den samlede omkostning ved at køre km være netop kr. Vi kalder y-værdien, altså værdien af den afhængige variabel, for funktionsværdien. For eksempel er funktionsværdi for Eller skrevet matematisk f(10.000) = Hvis du kender funktionens forskrift, kan du beregne funktionsværdien ved at indsætte den valgte x-værdi i forskriften. Forskriften for denne funktion er: 96. Beregn y når x er 8 000, , og Undersøg om det passer med nedenstående graf Undersøg om punkterne er en del af grafen for en ret linies funktion (der hører 4 koordinatsæt til hver opgave): 1. (4,11) (-3,-3) (2,7) (-1,1) 2. (3,6) (-2,-14) (-1,-9) (1,-2) 3. (5,-13) (-3,11) (2,-4) (0,2) 4. (6,0) (0,6) (2,4) (-2,8) Grafen for den rette linies funktion har en forskrift, som ser sådan ud:, hvor a er grafens hældningstal, og b viser skæring med y-aksen i punktet (0,b) 40

41 JG s matematikkompendium Opgaver Tegn i samme koordinatsystem graferne for forskrifterne (lav gerne sildeben / støttepunktstabel) Det koster 3 kr. pr km at køre med taxi. Derudover koster det 28 kr. i startgebyr 101. Lav en graf der viser hvad det koster at køre 10, 20, 30, 50 km 102. Er dette en lineær funktion, og hvis det er, kan du så finde forskriften? En bil koster 400 kr. at lege om dagen, og 200 kr i depositum Fremstil en tabel og en graf der viser hvad det koster at lege bilen 1,2,...7 dage 104. Find forskriften for funktionen Prisen for 1 Sommersby er 12 kr Fremstil en tabel der viser hvor meget det koster at købe sommersby 106. Sæt punkterne ind i en graf 107. Angiv hvad selve forskriften for denne funktion er, altså hvordan vil du skrive denne funktion Aflæs på grafen hvor meget det vil koste for dig at holde en god fest Aflæs på grafen hvor meget det vil koste at købe 6 Sommersby 110. Aflæs på grafen, hvor mange Sommersby du får for 48 kr (Nørdopgaven) Find en måde du kan udregne de 2 sidste spørgsmål på, uden at aflæse på grafen (Nørdopgaven) Beskriv eller udtænk mindst én lineær funktion fra virkeligheden hvor f.eks.: 112. x er vægten i kg og y er prisen i kroner 113. x er tiden i timer og y er afstanden i kilometer 114. x er tid i minutter og y er pris i kroner 115. andet 41

42 JG s matematikkompendium Positiv hældning y 2x 3 Fra et punkt tegnes 1 til højre. På grafen til højre skal man så tegne 2 op for igen at ramme grafen. Hældningstallet er altså +2 Grafen skærer y-aksen i (0,-3) Derfor taler vi om en positiv hældning. Negativ hældning y x 4 Forskriften kan også skrives som: y 1x4 For at finde hældningstallet, går vi 1 til højre fra et tilfældigt punkt ligesom før. For igen at ramme grafen, skal vi tegne 1 ned. Så er hældningstallet altså -1. Derfor taler vi om en negativ hældning. 42

43 JG s matematikkompendium 116. Bestem forskriften til hver af linierne: 117. Bestem forskriften for en ret linie, der går gennem: c) (3,7) og (-1,-9) d) (4,-1) og (-2,11) e) (8,10) og (-2,5) f) (-2,-7) og (1,2) g) (4,14) og (-2,-1) h) (3,-2) og (-2,-7) i) (5,2) og (-1,-10) j) (6,-6) og (-2,6) 118. Find liniens ligning ud fra hældningstal og et punkt på linien. a = 2 (3,4) a = -2 (1,1) a = 10 (-2,4) a = ½ (0,40) a = -1 (1,-3) Du skal til elevfest, og det koster 60 kr. at komme ind. Drinksene koster 10 kr. pr. stk Lav en funktion der beskriver hvor meget festen koster dig i forhold til, hvor mange drinks du køber. Hver gang du lyser med dit laserlys på en politibil i Prag, kommer tre betjente stormende i fuld kampudrustning og lægger dig i benlås Lav en funktion der viser hvor mange betjente der kommer som en funktion af hvor mange politibiler du lyser på. 43

44 JG s matematikkompendium Ekstraopgaver (Nørdopgaver vælg selv) Du skal have ny mobiltelefon, og har to muligheder (minutprisen er den samme så den udelader vi i regnestykket): A) Giv 99,- kr. for telefonen og betal 199,- kr. i abonnement pr. måned B) Giv 1299,- kr. for telefonen og undgå abonnement 121. Lav forskrifter for de to funktioner og tegn deres grafer ind i samme koordinatsystem 122. Hvornår er A billigst? Lad linien være den ene side i et rektangel Find forskriften for tre øvrige linier så linierne danner et rektangel (med arealet 10). Supernørdopgave! Et rektangel har omkredsen Beskriv sammenhængen mellem siderne og arealet 125. Lav en figur (graf/tegning) der beskriver dette 126. Lav en formel / forskrift 127. Hvilke sidestørrelser skal rektanglet have, hvis arealet skal være så stort som muligt? 44

45 JG s matematikkompendium 2 ligninger med 2 ubekendte 128. Tegn i samme koordinatsystem de grafiske billeder af ligningerne 129. Aflæs skæringspunkterne mellem graferne 130. (ekspertopgaven) Forsøg også at beregne hvor de to linier skærer hinanden Opgave 1 a) b) Opgave 2: a) b) Opgave 3: a) b) Opgave 4: a) b) Opgave 5: a) b) Opgave 6: a) b) Opgave 7: a) b) Opgave 8: a) b) Opgave 9 (nørdopgaven!): Et mejeri opkræver 6 øre pr. kg mælk for at hente mælken hos landmanden Hvad hedder forskriften for funktionen? Et andet mejeri tilbyder en anden aftale, nemlig at der opkræves 12 kr. pr. afhentning samt 4 øre pr. kg mælk. Hvad hedder forskriften for funktionen? Tegn graferne for de to funktioner i ét koordinatsystem. Hvor mange kg mælk skal der hentes før den nye ordning er en fordel for landmanden? (beregn) Kontrollér dit svar ved hjælp af grafen. Ser det rimeligt ud? 45

46 JG s matematikkompendium Flere funktionsopgaver Jakob kører i en bil med gule plader. Bilen kostede kr. Den samme bil med hvide plader kostede kr. Det koster 5000 kr. ekstra om året at have en bil med gule plader. Bilerne kører lige langt pr liter benzin 132. Tegn de to køb i et koordinatsystem med år på x-aksen og kroner op ad y- aksen Hvornår bliver det billigst at have købt bilen på hvide plader? En energirigtig vaskemaskine koster 4500 kr. i indkøb og 1200 kr. om året ved familien Hansens brug. En ikke så energirigtig maskine koster 3000 kr. i indkøb og 1650 kr. om året Hvilken maskine skal familien Hansen købe? Du har arbejde ved siden af skolen som flaskedreng/-pige og tjener 55 kr./time. Du arbejder 4 timer om ugen. Vis din løn i et koordinatsystem (uger ud af x-aksen og kroner op ad y-aksen) 135. Hvor lang tid der går før du har tjent til en ny bærbar til 5500 kr.? 136. Og hvor lang tid går der før du kan få en til 7500 kr.? 46

47 JG s matematikkompendium Omvendt proportionalitet / hyperblen En hyperbel er en kurve, der svarer til funktioner på formen y = a/x, hvor a er en konstant og x er forskellig fra nul 137. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 8 / x y = 2 / x y = 20 / x 138. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 24 / x y = 1 / x y = 10 / x 139. Indtegn i samme koordinatsystem følgende simple hyperbler: y = 36 / x y = 6 / x y = 12 / x En bil skal gennemkøre strækningen fra Århus til Kolding Indtegn i et koordinatsystem den simple hyperbel, der viser sammenhængen mellem den hastighed (i km/t), bilen kører med, og den tid (i timer), det tager at køre strækningen mellem de to byer, når afstanden fra Århus til Kolding er 100 km. På x-aksen afsættes hastigheden og på y-aksen tiden Angiv hyperbelens ligning. En bjælke på 24 m skal udsaves i stykker, der er lige lange Indtegn i et koordinatsystem den simple hyperbel, der viser sammenhængen mellem længden af hvert stykke (i cm), og antallet af stykker, man får på x-aksen afsættes længden af hvert stykke, på y-aksen antal stykker Angiv hyperbelens ligning Hvor mange stykker bliver der, hvis længden af det enkelte stykke skal være 40 cm? 145. Hvad bliver længden af hvert stykke (hele cm), hvis vi ønsker at opskære bjælken i 30 stykker? 47

48 JG s matematikkompendium Areal Opgave 1 Opgave 2 48

49 JG s matematikkompendium Opgave 3 Beregn arealet af hvert af følgende områder: et rektangel hvis sider er 179 mm og 123 mm et kvadrat hvis sider er 145 mm en trekant hvor grundlinien er 242 mm, og højden er 186 mm en cirkel med radius 68 mm et trapez hvor de parallelle sider er 314 og 105 mm, og hvor afstanden mellem dem er 94 mm et parallelogram hvor et par modstående sider hver er 207 mm, og hvor afstanden mellem dem er 88 mm Opgave 4 Opgave 5 Lav en cirkel med radius 5 cm. Lav det indskrevne kvadrat Beregn ud fra radius sidelængde og areal på kvadratet. Opgave 6 En metalkrans ydre diameter er 4,2 cm og den indre diameter er 3,0 cm. Beregn arealet af metalkransen 49

50 JG s matematikkompendium Opgave 7 Opgave 8 (Nørdopgaven) I den retvinklede trekant ABC betegnes grundlinien g og højden h. Rektanglet har samme areal som trekanten. Udtryk rektanglets bredde x ved hjælp af h. Et trapez er på figuren fremhævet med gråt. Udtryk trapezets areal som en brøkdel af trekant ABC s areal. Hvis du også har løst denne opgave, skal du få regnearket til at gøre det for dig! 50

51 JG s matematikkompendium Pythagoras Den Pythagoræiske Læresætning - også kendt som Pythagoras Læresætning siger, at, i en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lige med summen af kateternes kvadrater. På tegningen til venstre betegner de små kvadrater kateternes og hypotenusens kvadrater. Hvis man tæller kvadraterne ved kateterne a og b, og bagefter tæller kvadraterne ved hypotenusen, c viser det sig, at der i begge tilfælde er 25 små kvadrater. På tegningen til venstre er indsat tal for siderne og deres kvadrater Eks.: Det er altid c der er den længste side (hypotenusen) mens a og b altid er de to korteste sider (kateterne). 51

52 JG s matematikkompendium Her kommer endnu et eksempel: Hvor lang er siden a? Vi anvender Pythagoras sætning for at beregne længden af a. Kontrollér regnestykket ved at indsætte 9 i stedet for a. Beregn den manglende side i en retvinklet trekant, når: a = 5 cm og b = 12 cm b = 21 cm og c = 29 cm a = 15 cm og c = 39 cm Opgaver til Pythagoras Opgave 1: Beregn længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 11 cm og 15 cm Opgave 2: Beregn længden af en diagonal i et kvadrat med sidelængde 12 cm Opgave 3: Beregn længden af en diagonal i et rektangel med siderne 7cm og 5 cm Opgave 4 (mest for nørder): I et koordinatsystem er afsat to punkter, A med koordinaterne (4;3) og B med koordinaterne (0;1). Beregn afstanden imellem de to punkter. Opgave 5: Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængderne 7 cm Opgave 6: Beregn højden i en ligesidet trekant med sidelængden 2a 52

53 JG s matematikkompendium Opgave 7 (Mest for nørder): I et koordinatsystem afsættes punkterne A (-2;5), B (3;5) og C ( 5;9) Sammen med punktet D udgør de tre punkter vinkelspidserne i et parallelogram. a) Angiv koordinatsættet til D. b) Beregn parallelogrammets sidelængder samt omkreds. c) Beregn længden af de to diagonaler AC og BD Opgave 8 (Mest for nørder): I et koordinatsystem afsættes punkterne A (3;2), B (7;9) og C (10;2) a) Beregn trekantens omkreds og areal. b) Beregn ha og hc Opgave 9: 53

54 JG s matematikkompendium Nørdopgaverne 54

55 JG s matematikkompendium Rumfang Beregn cylinderens rumfang når længde = 13 cm og radius = 0,02 m Hvor mange liter kan der være i cylinderen? Beregn cylinderens overflade. Den lidt nørdede: Hr. og Fru Jensen vil lave et akvarium af glas. Det skal kunne rumme 55 liter Hr. Jensen vil have det firkantet og Fru Jensen vil have et cylinderformet akvarium. Hvilket akvarium skal der bruges mest glas til? 55

56 56 JG s matematikkompendium

57 57 JG s matematikkompendium

58 58 JG s matematikkompendium

59 JG s matematikkompendium Trigonometri Trigonometri betyder bare: (fra græsk trigonon = tre vinkler og metro = måle) og handler altså blot om trekantsberegning. Vi skal primært arbejde med retvinklede trekanter, og for jeres vedkommende handler det mere eller mindre bare om at lære et par nye knapper på lommeregneren at kende. Vinklen A er på 30 grader Dette kan skrives: a er navnet på vinkel A`s modstående side b er navnet på vinkel B`s modstående side c er navnet på vinkel C`s modstående side Ensvinklede trekanter I disse trekanter er forholdet mellem to sider i den ene trekant det samme som forholdet mellem de tilsvarende sider i den anden trekant. For eksempel har vi at: Eksempel: 59

60 JG s matematikkompendium Enhedscirklen I en enhedscirkel har radius altid længden 1. Derfor kan man også se på tegningen herunder, at sinus og cosinus altid må være mindre end 1, da de jo ellers ville rage ud over cirklens kant. De trigonometriske funktioner er lavet efter denne enhedscirkel, og man kan se på tegningen at sin er den katete der ligger modsat vinkel A og cos er den katete der ligger hos vinkel A. Eks. Hvis radius er 1 og vinkel A er, er både sinus og cosinus til vinkel A = 0,707 Det passer meget godt med tegningen. 60

61 JG s matematikkompendium Tangens kan være lidt sværere at forstå, da radius her ikke længere er 1. Den hosliggende katete er derimod blevet til radius og har derfor længden 1 i enhedscirklen. Hvis vinkel A er er tangens 1. Altså har vi en ligebenet trekant. Hvis vinkel A bliver større, vokser tangens, og hvis vinkel A bliver mindre, bliver tangens også mindre. Prøv selv at finde tangens til både større og mindre vinkler end passer. Find både sin, cos og tan ved: og tjek om det 61

62 JG s matematikkompendium Sinus, Cosinus og Tangens De nye funktioner (knapper) du skal lære at kende hedder: Sinus (sin), Cosinus (cos) og Tangens (tan). Find knapperne på din lommeregner. Når man ganger skal man nogen gange gøre det modsatte, altså dividere. Sådan er det også med trigonometri. På din lommeregner hedder det modsatte af Sinus sandsynligvis. På samme måde med cos og tan. Find de modsatte funktioner på din lommeregner. Her kan du se, hvordan de forskellige funktioner bruges: a c Der kan opstilles følgende betegnelser for forholdet mellem den retvinklede trekants sider: cos A (cosinus til vinkel A ( A )) sin A (sinus til vinkel A) tan A (tangens til vinkel A (nogle gange vise denne som tg)) cot A (cotangens til vinkel A) b A Cosinus, sinus, tangens og cotangens kaldes med et fælles navn for de trigonometriske funktioner. Cosinus Forholdet mellem den til A hosliggende katete a og hypotenusen c benævnes cos A eller cos A. Ved cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den hosliggende katete divideret med hypotenusen. Sinus Forholdet mellem den til A modstående katete og hypotenusen c benævnes sin A. Ved sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den modstående katete divideret med hypotenusen 62

63 JG s matematikkompendium Tangens Forholdet mellem den til A modstående katete b og den hosliggende katete a, benævnes tan A. Opgaver Ved tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant forstås den modstående katete divideret med den hosliggende katete. Hypotenusen i en retvinklet trekant er 150 mm og cos A er 0,799. Hvor store er de to kateter a og b? a c Hypotenusen i en retvinklet trekant er 130 mm og kateten a er 90 mm. Hvor stor er kateten b? b A a c Vinkel A=35, siden b=4cm Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A a c Vinkel A=40, siden a=7 cm. Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A 63

64 JG s matematikkompendium a c Vinkel B=70, siden c=11 cm. Find de resterende sider og vinkler i figuren. b A Tegn en retvinklet trekant, og a) Navngiv vinkelspidserne med A, B og C og siderne med a, b og c. C skal være den rette vinkel. b) Skriv hvilke sider der er kateter og hvilken side der er hypotenuse. c) Skriv hvilken side der er den hosliggende katete til A og hvilken side der er den modstående katete til A. d) Skriv hvilken side, der er den hosliggende katete til B og hvilken side, der er den modstående katete til B. Trekant ABC er retvinklet (C = 90 ). Der gælder A = 60 og a = 5. a) Beregn gradtallet for B. b) Konstruér trekanten. c) Mål siderne b og c. Trekant ABC er retvinklet (C = 90 ). Der gælder b = 8 og c = 10. a) Beregn længden af siden a. b) Konstruér trekanten. c) Mål vinklerne A og B. Tegn en retvinklet trekant med en spids vinkel på 60. Kald denne vinkel for A. a) Mål længden af a. Den hosliggende katete til A. b. Den modstående katete til A. c. Hypotenusen. b) Beregn forholdene: a. b. c. 64

65 JG s matematikkompendium c) Tegn nu en trekant der er ligedannet med den første du tegnede. Den kan være større eller mindre. d) Gennemfør opgave b) og c) med den nye trekant. Hvad opdager du? e) Gælder den for alle størrelser trekanter der er retvinklede og har en spids vinkel på 60? f) Gør det samme sig gældende for en spids vinkel på 40? g) Hvad gør sig gældende for forholdene mellem siderne i de ligedannede retvinklede trekanter? 65

66 JG s matematikkompendium Praktiske opgaver a c Hypotenusen i en retvinklet trekant er 150 mm og cosa er 0,799. Hvor store er de to kateter a og b? Hypotenusen i en retvinklet trekant er 130 mm og kateten a er 90 mm. Hvor stor er kateten b? b A For at besøge den søde pige i huset, er du nødt til at vide, om stigen kan nå helt derop! Hvor højt når den, når den har en vinkel ved jorden på 70? Beregn træets højde ved hjælp af de trigonometriske funktioner 66

67 JG s matematikkompendium 67 Formler for retvinklede trekanter Husk: Vinkler angives med store bogstaver (A,B og C) Sider angives med små bogstaver (a,b og c) Vinkel C er altid 90 Vælg den side du vil beregne find den formel hvor du kender oplysningerne. Bruger du Mathcad eller SMath så husk at sætte deg som benævnelse. Kender du ikke vinklen men 2 sider kan man finde vinklens størrelse ved at bruge f. x. sin - 1 (x) f. x. sin(x)=0,71 så er x=sin -1 (0,71) = grader. ) 90 ( B A b a Tan A c b Cos A c a Sin A o ) 90 ( o o A B a b Tan B c a Cos B c b Sin B

68 JG s matematikkompendium Statistik Statistik handler kort og godt om at holde styr på en stor mængde forskellige observationer. Vi bruger to forskellige metoder til at holde styr på tallene afhængig af, om der er mange eller få tal. Hvis der er få forskellige observationer, benytter vi enkeltobservationer. Hvis der derimod er mange forskellige observationer, er vi nødt til at putte dem i nogle grupper for at bevare overblikket. Dette kaldes grupperede observationer. Enkeltobservationer Her er et eksempel med karakterfordeling i en klasse (en stor klasse!) Observationssæt Hyppighedstabel x h(x) H(x) f(x) F(x) ,86 2, ,57 11, ,43 22, ,00 42, ,57 71, ,14 88, ,43 100,00 Indenfor statistik er der nogle begreber der er værd at kende: Middeltal Typetal: Median: Størsteværdi Mindsteværdi Variationsbredde Kvartiler: nedre kvartil miderste kvartil (median) øvre kvartil Ud for begreberne ovenfor er der tre svarmuligheder til hver. Kun én af dem er rigtig. Undersøg hvad de forskellige begreber betyder, og sæt ring om det rigtige (benyt den blå grundbog). 68

69 JG s matematikkompendium Diagrammer kan se ud på mange forskellige måder, alle tilpasset det de nu skal vise. Her er et par stykker, der ofte er brugt. Søjlediagram 12 h(x) Trappediagram 120,00 F(x) 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0, Hvad viser de to diagrammer? Hvad kan aflæses? (benyt den blå grundbog). 69

70 JG s matematikkompendium Grupperede observationer Hvis man skal overskue mange forskellige observationer, kan det ofte svare sig at inddele dem i intervaller. (det gør også matematiklæreren glad). Elevers højde i to tilfældige klasser ses her: Da det jo er en ret uoverskuelig mængde inddeler jeg dem i grupper for at bevare overblikket: Interval im Hyppighed Sum hyp Frekvens Sum frekv [ 140 ; 150 [ ,12 6,12 [ 150 ; 160 [ ,49 30,61 [ 160 ; 170 [ ,53 57,14 [ 170 ; 180 [ ,57 85,71 [ 180 ; 190 [ ,29 100,00 [ 190 ; 200 [ ,00 100,00 [ 200 ; 210 [ ,00 100,00 Prisen for at gøre det overskueligt er naturligvis at det bliver mere upræcist. F.eks. kan jeg jo ikke se hvor mange der er 167 cm høje. Derfor skal man også kun gruppere når der er mange tal. Når jeg grupperer observationerne bliver det også lidt mere kringlet at beregne middeltallet. Derfor har jeg lavet kolonnen med im intervalmidtpunkt. Dette tal er, sjovt nok, midten af intervallet. Når im er fundet, beregner man middeltal på samme måde som ved enkeltobservationer. Få styr på hvad de forskellige elementer i tabellen betyder Beregn det grupperede middeltal 70

71 JG s matematikkompendium Herunder er der en samling data der beskriver unges surfingvaner på Nettet. Timer pr uge til at surfe på Nettet blandt 49 elever i 10. klasse Interval im Hyppighed Sum hyp Frekvens Sum frekv [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ Udfyld tabellen med tallene om de unges surfingvaner Find: intervalmidtpunkt, typeinterval, middeltal, mindsteværdi, median, størsteværdi, variationsbredde Lav et hyppighedsdiagram over observationerne Hvis man vil aflæse kvartilerne kan man f.eks. lave en sumkurve over den summerede frekvens. I eksemplet med højder ville den se sådan ud: 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 Sum frekv 0, Lav en tilsvarende sumkurve over den summerede frekvens i opgaven om elevernes surfing vaner. Forklar begreberne nedre kvartil, median, øvre kvartil. Hvad kan man aflæse på kvartilerne? 71

72 JG s matematikkompendium Opgave 1 Tabellen herunder viser resultaterne af en klasses Coopers test. Alma 2900 Casper 2900 Egon 3200 Ernst 3000 Jan 2200 Kaj 3000 Karsten 3200 Kasper 2900 Kirsten 2700 Laura 2600 Louise 2100 Marlene 2500 Mette 2600 Mogens 3100 Naja 2500 Palle 3000 Pelle 3000 Per 2400 Pernille 2500 Poul 3400 Rikke 2600 Virgil 2900 Øjvind 2900 Få styr på tallene i tabellen (lav en tabel med en fornuftig intervalinddeling - som øverst på side 102 i matematikhåndbogen) Tabellen skal indeholde: observationer, hyppighed, summeret hyppighed, frekvens og summeret frekvens Find: intervalmidtpunkt, typeinterval, middeltal (gennemsnit), mindsteværdi, median, størsteværdi, variationsbredde Lav et søjlediagram over hyppighederne Lav en sumkurve over den summerede frekvens Forklar, hvad man kan aflæse på sumkurven (bl.a. de forskellige kvartiler) 72

73 ] 140, 150 ] ] 150, 160 ] ] 160, 170 ] ] 170, 180] ] 180, 190 ] ] 190, 200 ] ] 200, 210 ] JG s matematikkompendium Opgave 2 I en undersøgelse af 500 forskellige voksne menneskers højde, fremkom nedenstående diagram Hyppighed Lav en hyppighedstabel over fordelingen af højder Lav en sumkurve over den summerede frekvens Beregn middeltallet - hvad beskriver middeltallet? Aflæs de tre kvartiler - Hvad kan man se ud fra dem? 73

74 JG s matematikkompendium Boksplot Når man vil lave et boksplot er det en fordel at bruge et elektronisk værktøj til hjælp. Jeg har valgt at tage udgangspunkt i Geogebra. Herunder er nogle fiktive karakterer for en skoleklasse med 28 elever. Karakterer i 10. G For at lave boksplottet åbnes Geogebra: 1. Klik på [Vis] 2. Vælg [Regneark] 3. Indsæt nu alle karaktererne(observationerne) i Geogebras regneark i kolonne A. 4. Klik på [A] så du marker hele kolonne A. 5. Når du arbejder med tallene i Geogebras regneark, ændrer menuen foroven sig. Vælg nu knappen. Hvis man ikke kan se knappen, findes den ved at klikke på den lille pil nederst i højre hjørne på en af knapperne. 6. Klik på 7. Nu vælges [Boksplot] i rullemenuen 74

75 JG s matematikkompendium 8. Vupti, dit boksplot er lavet. Hvis du samtidig vil kende de værdier man kan undersøge, klikkes blot på Boksplot - flere i samme koordinatsystem 1. Gentag trin 1-4, hvor du indsætter 1. talmængde i kolonne A, næste talmængde i kolonne B, osv. 2. Nå dette er gjort, vælges [Flervariabelanalyse] 3. Herefter fortsættes med trin 6-8 fra forrige opgave. 4. Nu ser dit boksplot formentlig sådan ud: Krydserne i højre side markere størsteværdien som Geogebra vurderer ligger markant uden for området, og derfor er en statistisk unøjagtighed, der ikke skal tælles med. Coopers test For at få alle målinger med, skal du klikke på den lille pil 6. Herefter fjernes fluebent ved [Vis Outliers] En anden metode 1. Gå i vis tryk på regneark 2. Træk i bjælken til regnearket så du kan se både a og b kolonne 3. Find nogle data fra en opgave 4. Gå i geogebra stil dig i A1 højreklik og tryk sæt ind 5. Tryk nu i geogebra på kolonne overskriften A. (så bliver hele kolonnen markeret) 6. Højreklik nu markeringen og vælg lav liste 7. I algebra vinduet fremkommer nu L1={180,175,171,184 (eller andre tal) 8. Skriv nu i input linjen: Boksplot[1,0.5,liste1] 9. Kommandoen for boksplot er Boksplot[hvor på y-aksen skal midten af boksplottet være, hvor bred skal boksplottet være, Hvilken liste skal jeg bruge] 10. Hvis man ikke kan se, der er sket noget i geogebra er det fordi boksplottet ligger længere ude af x- aksen. Tryk på og træk tegnefladen, så man kan se boksplottet. 11. Formindst tegnefladen (højreklik på tegnefladen, og vælg zoom, 50%, gøres måske flere gange) 75

76 JG s matematikkompendium Opgaver til boksplot Opgave 1 To elever, A og B, ønsker at sammenligne deres taletid i mobiltelefon. De indsamler derfor over samme periode taletiden på alle deres mobilsamtaler. Nedenfor ses resultatfordelingerne afbildet i to boksplot. π Sammenlign de to elevers taletid ud fra de to boksplot ved at inddrage kvartilsættene. Opgave 2 Sorteret efter størrelse er ordlængderne af de første 25 ord i en Harry Potter-bog: 2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,14 π Bestem median og middeltal for ordlængderne af disse 25 ord. Nedenstående boksplot viser fordelingen af ordlængderne af de 25 første ord i hfbekendtgørelsen. π Tegn et boksplot over ordlængderne af de 25 første ord i Harry Potter-bogen. π Sammenlign ved hjælp af boksplottene de to fordelinger af ordlængderne. 76

77 JG s matematikkompendium Opgave 3 To personer skyder med luftgevær mod en skydeskive. De skyder hver en længere serie skud og måler for hvert skud afstanden til centrum af skydeskiven. Resultaterne for person nr. 1 kan beskrives ved følgende deskriptorer: Deskriptor Mindste observation Nedre kvartil Median Øvre kvartil Største observation Afstand (mm) Herunder er et boksplot for person nr. 2. HINT: Tast ind i Geogebra: [højdebeliggenhed for boksplot, tykkelse af boksplot, mindste observation, nedre kvartil, median, øvre kvartil, største observation]. π Tegn et boksplot for resultaterne for person 1. π Sammenlign de to personers resultater. 77

78 JG s matematikkompendium Statistisk sandsynlighed Statistisk sandsynlighed handler om at man ved hjælp af fortiden prøver at forudsige fremtiden. Eller med andre ord: man bruger statistikken til at gætte på fremtiden. F.eks. Hvis en elev er blevet taget i at snyde med en matematikaflevering, er der rimelig sandsynlighed for at han gør det igen. Statistisk sandsynlighed er ofte udregnet i procent. F.eks.: En elev har kastet op til en af de tre fester hun var til i weekenden. Hun har altså kastet op i ét ud af tre tilfælde. Dvs.: Derfor kan man konkludere at den statistiske sandsynlighed for at eleven kaster op til næste fest er Det skal dog tilføjes at troværdig statistik bygger på langet flere observationer end blot de tre i tilfældet ovenfor. Opgave 1 Sandsynlighed for en dreng/pige? På Dr s hjemmeside kan man se at hver gang der bliver født 100 piger, bliver der født 106 drenge. 2 Hvad er den statistiske sandsynlighed for at få en dreng? Hvad er den statistiske sandsynlighed for at få en pige? Opgave 2 I 10 I er der 26 elever. Der har været ca. 40 undervisningsgange, og i de 32 af dem er der mindst én og ofte flere elever, der er kommet for sent. Beregn den statistiske sandsynlighed for at alle elever møder til tiden Opgave 3 Herunder kan man se, hvor mange trafikuheld der var i november 2011 og Trafikuheld i november Ulykker Med personskade Alene materiel skade I alt Hvor mange procent af ulykkerne i 2011 indeholdt personskader? Hvor mange procent af ulykkerne i 2010 indeholdt personskader? Hvad er den omtrentlige statistiske sandsynlighed for at en ulykke indeholder personskader i 2012?

79 JG s matematikkompendium Opgave 4 Tallene stammer fra Juel, Sørensen, Brønnum: Risikofaktorer og folkesundhed i Danmark. Statens Institut for Folkesundhed for Sundhedsstyrelsen, Jeg fandt dem via Kræftens Bekæmpelses hjemmeside. De taler vist for sig selv. Hvert år dør næsten mennesker af at ryge! Hvor mange er døde af rygning i 2006? Når en er død i 2006 af en af ovenstående årsager, hvad er så den statistiske sandsynlighed for at man er død af rygning? 79

Excel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK

Excel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK Excel regneark Et regneark er et computerprogram, der bl.a. kan regne, tegne grafer og lave diagrammer. Regnearket kan bruges i mange forskellige sammenhænge, når I arbejder med matematik. Det kan gøre

Læs mere

Matematisk formelsamling

Matematisk formelsamling Matematisk formelsamling Almen voksenuddannelse Niveau D Denne udgave af Matematisk formelsamling til den skriftlige prøve på almen voksenuddannelse (avu) niveau D er udgivet af Børne- og Undervisningsministeriet

Læs mere

M A T E M A T I K B A NK E NS E X C E L K O M P E ND I U M

M A T E M A T I K B A NK E NS E X C E L K O M P E ND I U M M A T E M A T I K B A NK E NS E X C E L K O M P E ND I U M Øvelser Dynamisk Celleforståelse Diagrammer Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen LÆRINGSMÅL 1. Eleverne kender og kan

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Opgave 1 For at gøre det let at rette i budgettet, vil klassen lave budgettet i et regneark.

Opgave 1 For at gøre det let at rette i budgettet, vil klassen lave budgettet i et regneark. TUR TIL KORUP SOMMERLAND En klasse fra Næsbjergskolen vil gerne til Korup Sommerland. Da der ikke er økonomi på skolen til at betale hele turen, må eleverne også selv betale lidt penge til turen. For at

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal.

Statistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Statistik Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over talmaterialet, og man kan konkludere

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Matematik c - eksamen

Matematik c - eksamen Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan

Læs mere

Louise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde

Louise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Matematik. Tema: Brøker og procent Uge 33. Skoleåret 2019/20 Årsplan 9. Klasse. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering.

Matematik. Tema: Brøker og procent Uge 33. Skoleåret 2019/20 Årsplan 9. Klasse. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering. Tema: Brøker og procent Uge 33 1 Procent og promille Hvordan reagerer kroppen på alkohol? Hvordan reagerer kroppen på alkohol 2 Promille Promille Sådan reagerer kroppen, når man drikker vin Hvor mange

Læs mere

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering Tema: Plangeometri Uge 34-36 Mål Aktiviteter Øvelser/ 6 Trigonometri Sider og vinkler i retvinklede trekanter: Du kender trekantens linier og kan anvende ligedannethed til beregning af ukendte vinkler

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Deskriptiv statistik for hf-matc

Deskriptiv statistik for hf-matc Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Årsplan matematik 8. klasse

Årsplan matematik 8. klasse Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf

Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Formelsamling. Ib Michelsen

Formelsamling. Ib Michelsen Formelsamling T = log(2) 2 log(a) Ikast 2016 Ib Michelsen Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede, har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2015/2016, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres. KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering

Matematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering Tema: Plangeometri Uge 34-36 6 Trigonometri Sider og vinkler i retvinklede trekanter: Du kender trekantens linjer og kan anvende ligedannethed til beregning af ukendte vinkler og sidelængder Sider og vinkler

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen

Læs mere

Årsplan i matematik for 9. klasse 2017/2018

Årsplan i matematik for 9. klasse 2017/2018 Årsplan i matematik for 9. klasse 2017/2018 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

EN SKOLE FOR LIVET ÅRSPLAN 19/20

EN SKOLE FOR LIVET ÅRSPLAN 19/20 ÅRSPLAN 19/20 Lærer: LH Fag: Matematik Eleverne skal i 7. klasse primært arbejde i webbogen, der kommer rundt om de forskellige matematiske emner. Der vil i forbindelse med de enkelte emner og kapitler

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel 2 " #. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat9 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Årsplan i matematik for 9. klasse 2018/2019

Årsplan i matematik for 9. klasse 2018/2019 Årsplan i matematik for 9. klasse 2018/2019 Undervisningen generelt: Undervisningen tilrettelægges ud fra fagets CKF er og forenklede fællesmål for faget. Undervisning bygges primært op ud fra emnerne

Læs mere

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur

Huskeliste Printark. U4 Tastetider U5 Hvor hurtigt regner du? E4 Begreber og fagord - Statistik. Materialer. Mobiltelefon Stopur Statistik - Lærervejledning Om kapitlet I dette kapitel om statistik skal eleverne arbejde med statistik og lære at indsamle, beskrive, bearbejde og præsentere store mængder af tal og data. I kapitlet

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal

Emne Mål Brug af IT Materialer Evaluering Timetal Årsplan 10 E KJ Generelt er der i klassen stor sprednig, men der er god arbejdsmoral Arbejdet organiseres som en blanding af klasseundervisning, gruppearbejde og pararbejde med hovedvægt på sidstnævnte.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel Grundforløb januar 2018 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Årsplan 4. Årgang

Årsplan 4. Årgang Årsplan 4. Årgang 2019-2020 Eleverne går fra engangsmaterialer til Grundbog med skrivehæfte. Det kan være en stor omvæltning for nogle elever. Vi bruger følgende materialer: - Matematrix grundbog - Matematrix

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere