Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag."

Transkript

1 Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise hvorda ma ka modellere udfaldet af et berømt slag. Hertil bruges Lachesters modeller for at aalysere udfaldet af krige, i dette tilfælde Lachesters kvadratiske model. Som ved alle matematiske modeller er der tale om e foreklig af de virkelige verde, så modelles styrke er ikke at de giver et præcist etydigt billede af hvad der foregår i virkelighede, me forhåbetligt ka modelle give idsigt i ogle vigtige mekaismer bag de virkelige krig. Der fides mage slags modeller i matematik, me typisk er de kvatitative, dvs. de beskriver sammehæge mellem ogle umeriske variable. Matematiske modeller er oget ma reger på J Der er to hovedtyper af kvatitative modeller: Stokastiske og determiistiske. I de stokastiske modeller iddrager ma et elemet af tilfældighed og simulerer udfaldet af modelle mage gage, for at se om der er typiske træk, som ma ka forvete dukker op i de virkelige verde med stor sadsylighed. Vejrforudsigelser er typisk stokastiske ( der er 40% chace for reg i morge ). Determiistiske modeller kører ma derimod ku é gag, da modelle fører til et etydigt resultat. Determiistiske modeller vil ofte være kyttet til middelopførsle eller de forvetede opførsel af e stokastisk model. Da tilfældigheder klart spiller e vigtig rolle i de virkelige verdes krige, er e stokastisk model mere realistisk ed e determiistisk, me for at forekle modelle vil vi holde os til de determiistiske modeller. Determiistiske modeller deles ige op i to hovedtyper: Diskrete modeller og kotiuerte modeller. I de diskrete modeller følger ma udviklige af et system i små skridt. De er emme at rege på og kræver ku kedskab til de vigtigste væksttyper, såsom lieær vækst og ekspoetiel vækst. Dertil kommer almideligt kedskab til fx procetregig. De kotiuerte modeller forudsætter kedskab til differetial- og itegralregig og modellerer typisk systemet udviklig med e differetialligig. For at forekle diskussioe vil vi holde os til diskrete modeller, me i idsatte bokse, som ka overspriges ude at de væsetligste poiter går tabt, viser vi hvorda modellerige foregår i e kotiuert model. I det følgede forudsættes altså ku et almet kedskab til procetregig, lieær, kvadratisk og ekspoetiel vækst, dvs. vi er på et typisk B-iveau (og meget af modelle bruger i virkelighede ku C- iveau). Me i de idsatte bokse, forudsættes at elevere har valgt A-iveau og er fortrolige med differetialregige. For at kue rege på modelle er det ødvedigt med et matematisk værktøjsprogram. Det er da afgørede at have adgag til et godt regeark. Hvis klasse bruger fx TI-Nspire CAS aveder de blot det idbyggede regeark. Me her vil vi illustrere Lachesters model med regiger i Excel, da dette er det mest udbredte regeark i historie-samfudsfag. Du ka fide Excel-arket her Slaget ved Trafalgar foregik i 1805 uder Napoleoskrigee. Slaget fik afgørede betydig for Eglads rolle som verdes førede sømagt. Ved slaget edkæmpede eglædere uder ledelse af Lord Nelso e kombieret frask-spask flåde uder ledelse af Villeeuve. Før slaget havde Nelso udtækt e såvel sedig som dristig krigspla, hvor ha ville sede e midre gruppe af hurtigt gåede skibe direkte mod de frask-spaske flåde og splitte dee i to grupper: De ee gruppe ville ha deræst edkæmpe med si hovedflåde, mes de ade del blev holdt i skak. Derefter ville ha vede sig mode de ade del og edkæmpe dee. Lord Nelsos pla er bevaret i detaljer, iklusive has skitser.

2 The famous icidet whe Nelso, visitig Lord Sidmouth five weeks before Trafalgar, dipped a figer i the port ad sketched his pla for the expected battle. This is reproduced from the colour paitig by A. D. McCormick. Figure 2: 'It was like a electric shock. Lord Nelso explaiig to the Officers previous to the Battle of Trafalgar the Pla of Attack, ad Positio of the Combied Forces of Frace & Spai. I the great cabi of HMS Victory o 29 September Watercolour by Daiel Orme.

3 . '... Nelso's Trafalgar Memoradum Victory, off Cadiz, 9th October, Memoradum. Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive, I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. The Secod i Commad will, after my itetios are made kow to him, have the etire directio of his Lie to make the attack upo the Eemy, ad to follow up the blow util they are captured or destroyed. If the Eemy's Fleet should be see to widward i Lie of Battle, ad that the two Lies ad the Advaced Squadro ca fetch them, they will probably be so exteded that their Va could ot succour their frieds. I should therefore probably make the Secod i Commad's sigal to lead through, about their twelfth Ship from their Rear, (or wherever he could fetch, if ot able to get so far advaced); my Lie would lead through about their Cetre, ad the Advaced Squadro to cut two or three or four Ships a-head of their Cetre, so as to esure gettig at their Commader-i-Chief, o whom every effort must be made to capture. The whole impressio of the British Fleet must be to overpower from two or three Ships a-head of their Commader-i- Chief, supposed to be i the Cetre, to the Rear of their Fleet. I will suppose twety Sail of the Eemy's Lie to be utouched, it must be some time before they could perform a maœuvre to brig their force compact to attack ay part of the British Fleet egaged, or to succour their ow Ships, which ideed would be impossible without mixig with the Ships egaged. Somethig must be left to chace; othig is sure i a Sea Fight beyod all others. Shot will carry away the masts ad yards of frieds as well as foes; but I look with cofidece to a Victory before the Va of the Eemy could succour their Rear, ad the that the British Fleet would most of them be ready to receive their twety Sail of the Lie, or to pursue them, should they edeavour to make off. If the Va of the Eemy tacks, the Captured Ships must ru to leeward of the British Fleet; if the Eemy wears, the British must place themselves betwee the Eemy ad the Captured, ad disabled British Ships; ad should the Eemy close, I have o fears as to the result. The Secod i Commad will i all possible thigs direct the movemets of his Lie, by keepig them as compact as the ature of the circumstaces will admit. Captais are to look to their particular Lie as their rallyig poit. But, i case Sigals ca either be see or perfectly uderstood, o Captai ca do very wrog if he places his Ship alogside that of a Eemy. Of the iteded attack from to widward, the Eemy i Lie of Battle ready to receive a attack, The divisios of the British Fleet will be brought early withi gu shot of the Eemy's Cetre. The sigal will most probably the be made for the Lee Lie to bear up together, to set all their sails, eve steerig sails, i order to get as quickly as possible to the Eemy's Lie, ad to cut through, begiig from the 12 Ship from the Eemy's Rear. Some Ships may ot get through their exact place, but they will always be at had to assist their frieds; ad if ay are throw roud the Rear of the Eemy, they will effectually complete the busiess of twelve Sail of the Eemy. Should the Eemy wear together, or bear up ad sail large, still the twelve Ships composig, i the first positio, the Eemy's Rear, are to be the object of attack of the Lee Lie, uless otherwise directed from the Commader-i-Chief which is scarcely to be expected as the etire maagemet of the Lee Lie, after the itetios of the Commader-i- Chief, is [are] sigified, is iteded to be left to the judgmet of the Admiral commadig that Lie. The remaider of the Eemy's Fleet, 34 Sail, are to be left to the maagemet of the Commader-i-Chief, who will edeavour to take care that the movemets of the Secod i Commad are as little iterrupted as is possible. NELSON AND BRONTE. Plae er et eksempel på e kvalitativ aalyse af slagets forvetede gag og det er bestemt værd at geemgå de i detaljer. Me her vil vi i stedet prøve at byge e simpel matematisk model op for slagets gag. Læg mærke til at vi bygger e model op for hvorda slaget formodes at gå, ikke for hvorda det i virkelighede gik. Der er altså tale om e simulerig af et virtuelt slag, et krigsspil, i stedet for e aalyse af det faktiske slag! Vi starter med at forekle de to flåder til et ekelt tal: Atallet af skibe i de to flåder. Nelso regede med at kue møstre 40 skibe, mod Villeeuves formodede 46 skibe. De samlede frask-spaske flåde var altså større ed de egelske. Atallet af skibe er de to fudametale variable i modelle.

4 Læg mærke til at vi allerede her har foreklet problemstillige betydeligt: I virkelighede er der stor forskel på de ekelte skibe, me vi har udjævet forskellee ved ku at se på atallet af skibe. Ma må så sidehe diskutere betydige af e såda foreklig - om de i virkelighede ødelægger modelles prediktive kraft! Vi gør u edu e foreklig: Vi atager at fjedes skibe er lige så slagkraftige som vores ege. I de virkelige verde regede Nelso med at has skibe havde større erfarig med søkrige og derfor ville være fjedes overlege. Me for at få oget erfarig med modelle vil vi i første omgag igorere dee forskel i slagkraft og atage symmetri: De to flåders krigsskibe er lige stærke i kamp. Vi vil seere udbygge modelle, så de også ka tage højde for asymmetri mellem de to stridede parter. Ma kue u forestille sig e meget ekel model, hvor skibee sækes lieært, hvorfor forskelle mellem atallet af skibe bevares og at de fraske flåde derfor med et overskud på 6 skibe vil ede med 6 skibe i overskud. Fx kue ma forestille sig at vi sedte skibee i krig mod hiade ét ad gage. Da de er lige stærke vil udfaldet af tvekampee halvdele af gagee være i Nelsos favør, halvdele af gagee i Villeeuves favør. De to flåder vil derfor miste skibe i samme takt, hvilket etop fører til de lieære model, hvor forskelle i atal skibe er kostat. Me det er forkert ifølge Lachester: E mere detaljeret aalyse af hvorda slaget udkæmpes vil afsløre at fraskmædees talmæssige fordel er lagt større ed blot de lieære forskel på 6 skibe. Skibee udkæmper ikke tvekampe, me kæmper alle mod alle på é gag og e talmæssig overlegehed i atal skibe vil derfor føre til e hurtigere edkæmpig af fjedes skibe. For at idse det må vi kigge ærmere på dyamikke i slagets gag! Hvis vi på et givet tidspukt har N skibe, der kæmper for Nelso og V skibe, der kæmper for Villeeuve, så vil vi i løbet af e skudrude, som vi for simpelheds skyld vil atage tager et kvarter miste skibe på begge sider. De simpleste atagelse er da at Nelso vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Villeeuves skibe, dvs. Villeeuves ildkraft. Tilsvarede vil Villeeuve vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Nelsos skibe, dvs. Nelsos ildkraft. Det udmøtes i ligigere N = N V + 1 V = V N + 1 Her har vi sat proportioalitetskostate til Dee model ka vi u køre i regearket. Vi idfører da tre søjler: E for atallet af ruder, e for atallet af skibe i Nelsos flåde og e for atallet af skibe i Villeeuves flåde: Først idskriver vi startværdiere som vist. Derefter idtaster vi formlere for hvorda tallee udvikler sig, dvs. i celle A3 skriver i =A2+1, i celle B3 skriver vi =B2-0.03*C2, og i celle C3 skriver vi =C2-0.03*B2: Efter é rude ser det derfor således ud: `

5 Nu er dyamikke på plads og vi sværter de tre celler A3:C3 til og trækker dem ed geem regearket ved at trække i akeret i ederste højre hjøre, idtil vi har ået 90 ruder: Her ser vi resultatet af de første ti ruder! Læg mærke til at forskelle mellem Villeueves atal og Nelsos atal u er oppe på ca. 8 skibe, dvs. forspriget øges! Vi ka se på udviklige i atallet af skibe for de to kombattater grafisk ved at markere søjlere og afbilde dem som et puktdiagram: Vi lægger da mærke til at modelle rummer et helt urealistisk træk: Atallet af skibe er ikke begræset til at være positivt! Efter godt fyrre ruder er Nelsos skibe helt udkæmpet, og slaget er såda set overstået. Me i modelle ka ma rege videre og fider et egativt atal skibe for Nelso og et voksede atal skibe for Villeeuve. Begge dele er selvfølgelig helt uacceptable i virkelighede, me det uderstreger blot

6 at modelle ku er meigsfyldt, så læge atallet af skibe på begge sider ikke bliver egativt. I dette tilfælde er modelle derfor ku gyldig i 44 ruder: Vi ser også at Villeeuve stort set ikke mister flere skibe i de sidste fjerdel af det virtuelle slag: Fra rude 34 til 44 falder atallet af skibe på Villeeuves side ku fra 23.5 skib til 22.3 skibe altså lidt over et ekelt skib, mes Nelsos side mister 7 skibe. På grud af de voksede overvægt slutter slaget altså grumt med at de tabede side hurtigt går helt til grude. Læge før vil de tabede side derfor være stærkt motiveret til at overgive sig! Vi ka opå mere idsigt i modelle ved at tilføje yderligere to søjler: È for det samlede atal skibe, dvs. summe, og é for forspriget, dvs. differese. VI trækker derfor celleformlere D2=B2+C2 og E2=C2-B2 ed geem regearket. Ved at markere søjlere for atal ruder, totale og forspriget (hold CTRL ed for at markere søjler, der ikke ligger lige op ad hiade) ka vi u afbilde Totale og Forspriget som fuktio af atallet af ruder i et puktdiagram:

7 Ige er modelle ku gyldig idtil vi år 45 ruder, for forskelle ka selvfølgelig ikke overstige totale, me matematisk set ka vi godt fortsætte modelberegigere som vist. Disse vækst kurver er u meget simplere ed vækstkurvere for Villeeuves og Nelsos skibe som fuktio af tide. Vi gætter derfor på at de simpelthe udvikler sig ekspoetielt. Markeres grafe, ka vi højreklikke og vælge Tedeslije, der sættes til ekspoetiel. Samtidigt slår vi ligige og forklarigsgrade til: Der er altså tale om e ekspoetiel vækst i såvel totale, der aftager ekspoetielt efter ligige 0.03 y= 86 e - x x, som forspriget, der vokser ekspoetielt efter ligige y= 6 e. Det er især de ekspoetielle vækst af forspriget, der er iteressat. Det er jo oget helt adet ed det kostate forsprig i de aive lieære model. Hvorda ka vi forstå dee ekspoetielle vækst? Veder vi tilbage til vækstligigere N = N V + 1 V = V N + 1 ka vi fide vækstligige for totale S ved at lægge de to ligiger samme. Vi fider da S + 1 = N + 1+ V + 1 = ( N + V ) ( V + N ) = S S = 0.97 S Me det viser jo etop at summe følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate I hver rude aftager totale altså med 3%, hvilket etop viser at totale følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle S = S 0.97 = Hvis vi bemærker at l(0.97)» fås etop Excelformle passede! S e = 86 der af Excel afrudes Trækker vi tilsvarede vækstligigere fra hiade fås vækstligige for forspriget D

8 D + 1 = V + 1- N + 1 = ( V - N ) ( V - N ) = D D = 1.03 D Me det viser jo etop at differese også følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate I hver rude vokser forspriget altså med 3%, hvilket etop viser at forspriget følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle D = D 1.03 = Hvis vi bemærker at l(1.03)» fås etop Excelformle passede! S = 6 e der ige af Excel afrudes De ekspoetielle vækst for totale og forspriget er altså idbygget i Lachesters model. Udyttes det at vi ka fide atal skibe for de to kombattater ved at lægge taotale og forspriget samme, heholdsvis trække dem fra hiade har vi u også fudet formlere for hvorda atal skibe ædres med tide: ( ( ) ( )) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) N = N + V - V - N = S - D = V = N + V + V - N = S + D = Me ok så iteressat er det at bemærke, at summe aftager med 3% i hver rude, mes differese vokser med 3%. Det betyder æste at deres produkt er kostat, fordi de 3% summe formidskes med i hver rude æste ophæves af de 3% som differese forøges med i hver rude. Når det ku er æste er det på grud af retes-rete: Starter vi med 100% vil det formidskes til 97%, som derefter vil forøges med 3%, me ikke af 100%! I stedet forøges det med 3% af 97%. Alt i alt vokser produktet derfor med faktore = (1-0.03) ( ) = = = Produktet aftager altså gaske svagt med 0.9 promille i hver rude. Tilføjer vi e søjle med produktet ser vi da også at det ku falder fra 516 til 496 i løbet af de 44 ruder, som det samlede søslag varer, dvs. det samlede fald er 4%, som vi vil tillade os at igorere. Lachester bemærkede altså at ( V+ N) ( V- N) = V -N med god tilærmelse er kostat. Dette er Lachesters berømte kvadratlov: Lachesters kvadratlov: De to flåders kampstyrke er proportioal med kvadratet på atal skibe.

9 Forskelle på kampstyrke mellem de to flåder er med god tilærmelse kostat uder slaget, dvs. V - N» V -N 0 0 Da Villeeuve dispoerer over 46 skibe og Nelso over 40 skibe er forskelle i kampstyrke givet ved = 86 6 = 516 Når Nelsos flåde er edkæmpet har Villeeuve derfor stadigvæk et atal skibe tilbage givet ved 516» 22.7 I de mere præcise geemregig i regearket fadt vi 22.3 skibe tilovers, så kvadratlove er god ok i praksis. Villeeuve beholder altså ca. halvdele af sie skibe i de virtuelle model. Bemærkig: Kvadratlove ka også illustreres geometrisk, hvis vi afbilder søslaget i et såkaldt faseplot, hvor vi afsætter Nelsos skibe ud af førsteakse og Villeeuves skibe op ad adeakse. Vi markerer altså de to søjler og opretter et puktdiagram: Slaget starter i øverste højre hjøre i pukt (40,46) og bevæger sig ed mod y-akse. Det er ku de ee halvdel af hyperble, V - N = 516, der er meigsfyldt. Når vi rammer y-akse, dvs. Nelso ikke flere skibe har tilbage, er slaget slut. Dermed slutter vores diskussio af de diskrete model for det virtuelle slag mellem Nelso og Villeeuve, hvor Nelso altså tabte, fordi vi ikke har fulgt has brillate strategi! Ide vi kommer tilbage til de er der et kort idspark om de kotiuerte model, som roligt ka spriges over i første geemlæsig!

10 Fra de diskrete model til de kotiuerte model: Bevægelsesligigere i Lachesters model ka omskrives til differesligiger DN N+ 1 = N V Û N+ 1- N = V Û D N= V Û = V D med D = 1 DV V+ 1 = V N Û V+ 1- V = N Û D N= N Û = N D med D = 1 I de kotiueret model erstattes differesligige med e differetialligig. VI opfatter da atallet af skibe som e fuktio af tide t, der u varierer kotiuert : dn = V dt dv = N dt De løses på samme måde som i de diskrete model. Lægges ligigere samme fås differetialligige for summe S: ds dn dv = + = ( N+ V) = S dt dt dt Me det er etop differetialligige for e aftagede ekspoetiel vækst med vækstrate De har som bekedt løsige S= S0 e = 86 e t t Trækker vi tilsvarede de to differetialligiger fra hiade fås differetialligige for differese D: dd dv dn = - = 0.03 ( V- N) = 0.03 D dt dt dt Me det er etop differetialligige for e voksede ekspoetiel vækst med vækstrate De har som bekedt løsige D= D e = e 0.03 t 0.03 t 0 6 Da summe og differese har modsatte vækstrater, ophæver de hiade år vi gager dem samme! S D= S e D e = S D t 0.03 t I de kotiueret model er Lachesters kvadratlov altså eksakt: V - N = V0 - N0 = 516 Edelig ka vi føre løsigere for summe og differese tilbage til løsigere for de opridelige koblede differetialligiger:

11 t 0.03 t t 0.03 t ( ) ( ) N= ( S- D) = 86 e - 6 e, V = ( S+ D) = 86 e + 6 e Nelsos strategi: Me i virkelighede vadt Nelso som bekedt slaget! Vi vil u forsøge at belyse has strategi i lyset af Lachesters kvadratlov. Nelso øskede ikke at idgå i et direkte stort søslag lije for lije med Villeeuves skibe. Det ka ha have mage grude til. Selv skriver ha: Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive I stedet besluttede ha at dele si styrke i 2 gage 16 skibe samt 8 hurtigt sejlede skibe, der skulle sedes direkte mod fjedes flåde: I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. Skematisk ser Nelsos pla således ud:

12 De 8 hurtigt sejlede skibe skal splitte Villeeuves flåde i to dele her agivet som 23 skibe, der holdes he og 23 skibe, der idgår i et direkte søslag med Nelsos resterede 32 skibe. De 8 skibe sejler direkte mod fjedes flåde og ka derfor til at begyde med ikke skyde på fjedes skibe (kaoere på krigsskibee peger vikelret på skibet). Til gegæld fremstår de også med lille tværsitsareal og er derfor svære at ramme. Og år de geembryder fjedes rækker er det dem, der har fordele af at kue beskyde fjedes skibe mes disse ete må vede eller forsøge at sejle væk. Ifølge Lachesters kvadratlov vider Nelso u første rude og har efter dee rude 22 skibe tilbage eftersom 32-23» 22.2 Skulle de 8 skibe være gået tabt i kampe om at holde de 23 skibe ude af hovedslaget, så ville Villeeuve u ifølge kvadratlove også have 21 skibe tilbage 23-8» 21.6 Nelso har altså udliget Villeeuves talmæssige overlegehed. Vi ka edda også se matematisk på hvorda Nelso bør splitte de fraske flåde. Hvis Nelso splitter x skibe fra, så Villeeuve i stedet har to flåder med heholdsvis x skibe og 46 - x skibe er de samlede kampstyrke reduceret til 2 x x x x + (46 - ) = Teger vi grafe for dette adegradspolyomium ser vi at det har et miimum for x = 23 hvor kampstyrke er halveret til Ideelt set bør Nelso derfor splitte Villeeuves flåde i to lige store dele. Selv bruger ha 8 skibe til at splitte flåde med, dvs. has kampstyrke reduceres til

13 = 1088 Det ligger over Villeeuves kampstyrke og Nelso vider derfor alt adet lige det samlede søslag.

14 Bemærkig: I det foregåede er vi gået ud fra e symmetrisk model. Me modelle ka sagtes udvides til e asymmetrisk model af forme: x = x - k y y = y - k x Tricket består i at omdae dee til e symmetrisk model ved e simpel skalatrasformatio, idet vi gager de øverste ligig med k 2 og de ederste ligig med k 1 : k x = k x - k k y = k x - k k k y k y = k y - k k x = k y - k k k x Sætter vi k= k1 k2, X = k2 x og Y = k1 y fås altså de symmetriske model X = X - ky + 1 Y = Y - k X + 1 Me så ka vi jo overføre resultatere fra de symmetriske model og ser at kampstyrke for de to flåder dee gag er givet ved: X = k x 2 Y = k y 1 Kvadratlove siger da at forskelle mellem kampstyrkere med god tilærmelse er kostat: X - Y = k x - k y = k x - k y

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

how to save excel as pdf

how to save excel as pdf 1 how to save excel as pdf This guide will show you how to save your Excel workbook as PDF files. Before you do so, you may want to copy several sheets from several documents into one document. To do so,

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 De perfekte kombiatio til pritbrache Produktiossystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 produktiossystem Kokurrecedygtig udskrivig For at opå succes på markedet i dag skal ma som modere virksomhed

Læs mere

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16

Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Bookingmuligheder for professionelle brugere i Dansehallerne 2015-16 Modtager man økonomisk støtte til et danseprojekt, har en premieredato og er professionel bruger af Dansehallerne har man mulighed for

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard)

Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) Blomsten er rød (af Harry Chapin, oversat af Niels Hausgaard) På den allerførste skoledag fik de farver og papir. Den lille dreng farved arket fuldt. Han ku bare ik la vær. Og lærerinden sagde: Hvad er

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC)

Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) Sunlite pakke 2004 Standard (EC) (SUN SL512EC) - Gruppering af chasere igen bag efter. På den måde kan laves cirkelbevægelser og det kan 2,787.00 DKK Side 1 Sunlite pakke 2006 Standard (EC) LAN (SUN SL512EC

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Nyhedsmail, april 2014 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, april 2014 (scroll down for English version) Nyhedsmail, april 2014 (scroll down for English version) Kære Omdeler Forår og påske står for døren, og helligdagene i forbindelse med påsken betyder ændringer i omdelingen. Derudover kan du blandt andet

Læs mere

Overblik Program 17. nov

Overblik Program 17. nov Overblik Program 17. nov Oplæg, diskussion og sketchnoting af artikler Pencils before pixels, Drawing as... og Learning as reflective conversation... Intro til markers Øvelser: Formundersøgelser & idegenerering

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Trekantsområdets kystlejrpladser

Trekantsområdets kystlejrpladser Gl.Å bo v Selum Stederup Søderskov De østyske forde,, og forde, byder på uikke atur ser lags kyste. Alle e. Favetræspladse Jorde er god, og skove er derfor frodig og varieret. De markerede rute, der går

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

What s Love Got to Do With It?

What s Love Got to Do With It? What s Love Got to Do With It? Gram Grid Present Continuous Vi sætter verberne i ing-form, når vi vil beskrive at noget er i gang. Der er fire hovedkategorier af ing-form: 1 Den almindelige form (common

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR

Subject to terms and conditions. WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR WEEK Type Price EUR ITSO SERVICE OFFICE Weeks for Sale 31/05/2015 m: +34 636 277 307 w: clublasanta-timeshare.com e: roger@clublasanta.com See colour key sheet news: rogercls.blogspot.com Subject to terms and conditions THURSDAY

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

HØJESTERETS KENDELSE afsagt mandag den 20. august 2012

HØJESTERETS KENDELSE afsagt mandag den 20. august 2012 Lukkede døre (Det forbydes ved offentlig gengivelse af kendelsen at gengive navn, stilling eller bopæl eller på anden måde offentliggøre pågældendes identitet) HØJESTERETS KENDELSE afsagt mandag den 20.

Læs mere

Afbestillingsforsikring

Afbestillingsforsikring Afbestillingsforsikring Sygdomsafbestillingsforsikring ved akut sygdom, ulykke. Da afbestilling på grund af akut sygdom, ulykke m.m. ikke fritager deltagerne for betaling, kan det anbefales, at der tegnes

Læs mere

SPILLET INDEHOLDER 1 spilleplade 6 spillefigurer 1 terning Spilleregler

SPILLET INDEHOLDER 1 spilleplade 6 spillefigurer 1 terning Spilleregler SPILLET INDEHOLDER 1 spilleplade 6 spillefigurer 1 terning Spilleregler SPILLETS GANG The Brætgame kan spilles af 2-6 spillere. Inden spillets start vælger hver spiller en spillefigur (Fritz, Hansi, Gynther,

Læs mere

Rentemarkedet. Markedskommentarer og prognose. Kilde, afdækning Dato 12. august 2014

Rentemarkedet. Markedskommentarer og prognose. Kilde, afdækning Dato 12. august 2014 Rentemarkedet Markedskommentarer og prognose Kilde, afdækning Dato 12. august 2014 Rentemarkedet DKK siden august og fremover 2.5 2 1.5 1 0.5 August 2013 NU Vores forventning til renteniveauet om 1 år

Læs mere

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning?

Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? Forskning i socialpædagogik socialpædagogisk forskning? eller knudramian.pbwiki.com www.regionmidtjylland.dkc Indhold Professionsforskning til problemløsning eller som slagvåben? Hvad er forskning? Hvad

Læs mere

GU HHX. Engelsk A. Vejledende opgave 2014. Kl. 09.00-14.00. 1. delprøve. Kl. 09.00-10.00. GU2014 - ENA1 Vejledende

GU HHX. Engelsk A. Vejledende opgave 2014. Kl. 09.00-14.00. 1. delprøve. Kl. 09.00-10.00. GU2014 - ENA1 Vejledende GU HHX Engelsk A Vejledende opgave 2014 Kl. 09.00-14.00 1. delprøve Kl. 09.00-10.00 GU2014 - ENA1 Vejledende 1 Ataani immersugassat immersorneqassapput. Misilitsinnerup kingorna kakkersakkat (hæfte) nakkutilliisumut

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse. Oplægsholder: Inge Pia Christensen

Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse. Oplægsholder: Inge Pia Christensen Oplæg fra NHS`s baggrund for deres nye sundhedsprogram 2013-2016 - med fokus på ledelse Oplægsholder: Inge Pia Christensen Improving the safety of patients in NHS 2013-16 The National Health Service (NHS)

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Totally Integrated Automation. Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet.

Totally Integrated Automation. Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet. Totally Integrated Automation Totally Integrated Automation sætter standarden for produktivitet. Bæredygtighed sikrer konkurrenceevnen på markedet og udnytter potentialerne optimalt. Totally Integrated

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Jørgen Goul Andersen (email: goul@ps.au.dk) & Henrik Lolle (email: lolle@dps.aau.dk) Måling af lykke eksploderer!

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere