Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag."

Transkript

1 Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise hvorda ma ka modellere udfaldet af et berømt slag. Hertil bruges Lachesters modeller for at aalysere udfaldet af krige, i dette tilfælde Lachesters kvadratiske model. Som ved alle matematiske modeller er der tale om e foreklig af de virkelige verde, så modelles styrke er ikke at de giver et præcist etydigt billede af hvad der foregår i virkelighede, me forhåbetligt ka modelle give idsigt i ogle vigtige mekaismer bag de virkelige krig. Der fides mage slags modeller i matematik, me typisk er de kvatitative, dvs. de beskriver sammehæge mellem ogle umeriske variable. Matematiske modeller er oget ma reger på J Der er to hovedtyper af kvatitative modeller: Stokastiske og determiistiske. I de stokastiske modeller iddrager ma et elemet af tilfældighed og simulerer udfaldet af modelle mage gage, for at se om der er typiske træk, som ma ka forvete dukker op i de virkelige verde med stor sadsylighed. Vejrforudsigelser er typisk stokastiske ( der er 40% chace for reg i morge ). Determiistiske modeller kører ma derimod ku é gag, da modelle fører til et etydigt resultat. Determiistiske modeller vil ofte være kyttet til middelopførsle eller de forvetede opførsel af e stokastisk model. Da tilfældigheder klart spiller e vigtig rolle i de virkelige verdes krige, er e stokastisk model mere realistisk ed e determiistisk, me for at forekle modelle vil vi holde os til de determiistiske modeller. Determiistiske modeller deles ige op i to hovedtyper: Diskrete modeller og kotiuerte modeller. I de diskrete modeller følger ma udviklige af et system i små skridt. De er emme at rege på og kræver ku kedskab til de vigtigste væksttyper, såsom lieær vækst og ekspoetiel vækst. Dertil kommer almideligt kedskab til fx procetregig. De kotiuerte modeller forudsætter kedskab til differetial- og itegralregig og modellerer typisk systemet udviklig med e differetialligig. For at forekle diskussioe vil vi holde os til diskrete modeller, me i idsatte bokse, som ka overspriges ude at de væsetligste poiter går tabt, viser vi hvorda modellerige foregår i e kotiuert model. I det følgede forudsættes altså ku et almet kedskab til procetregig, lieær, kvadratisk og ekspoetiel vækst, dvs. vi er på et typisk B-iveau (og meget af modelle bruger i virkelighede ku C- iveau). Me i de idsatte bokse, forudsættes at elevere har valgt A-iveau og er fortrolige med differetialregige. For at kue rege på modelle er det ødvedigt med et matematisk værktøjsprogram. Det er da afgørede at have adgag til et godt regeark. Hvis klasse bruger fx TI-Nspire CAS aveder de blot det idbyggede regeark. Me her vil vi illustrere Lachesters model med regiger i Excel, da dette er det mest udbredte regeark i historie-samfudsfag. Du ka fide Excel-arket her Slaget ved Trafalgar foregik i 1805 uder Napoleoskrigee. Slaget fik afgørede betydig for Eglads rolle som verdes førede sømagt. Ved slaget edkæmpede eglædere uder ledelse af Lord Nelso e kombieret frask-spask flåde uder ledelse af Villeeuve. Før slaget havde Nelso udtækt e såvel sedig som dristig krigspla, hvor ha ville sede e midre gruppe af hurtigt gåede skibe direkte mod de frask-spaske flåde og splitte dee i to grupper: De ee gruppe ville ha deræst edkæmpe med si hovedflåde, mes de ade del blev holdt i skak. Derefter ville ha vede sig mode de ade del og edkæmpe dee. Lord Nelsos pla er bevaret i detaljer, iklusive has skitser.

2 The famous icidet whe Nelso, visitig Lord Sidmouth five weeks before Trafalgar, dipped a figer i the port ad sketched his pla for the expected battle. This is reproduced from the colour paitig by A. D. McCormick. Figure 2: 'It was like a electric shock. Lord Nelso explaiig to the Officers previous to the Battle of Trafalgar the Pla of Attack, ad Positio of the Combied Forces of Frace & Spai. I the great cabi of HMS Victory o 29 September Watercolour by Daiel Orme.

3 . '... Nelso's Trafalgar Memoradum Victory, off Cadiz, 9th October, Memoradum. Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive, I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. The Secod i Commad will, after my itetios are made kow to him, have the etire directio of his Lie to make the attack upo the Eemy, ad to follow up the blow util they are captured or destroyed. If the Eemy's Fleet should be see to widward i Lie of Battle, ad that the two Lies ad the Advaced Squadro ca fetch them, they will probably be so exteded that their Va could ot succour their frieds. I should therefore probably make the Secod i Commad's sigal to lead through, about their twelfth Ship from their Rear, (or wherever he could fetch, if ot able to get so far advaced); my Lie would lead through about their Cetre, ad the Advaced Squadro to cut two or three or four Ships a-head of their Cetre, so as to esure gettig at their Commader-i-Chief, o whom every effort must be made to capture. The whole impressio of the British Fleet must be to overpower from two or three Ships a-head of their Commader-i- Chief, supposed to be i the Cetre, to the Rear of their Fleet. I will suppose twety Sail of the Eemy's Lie to be utouched, it must be some time before they could perform a maœuvre to brig their force compact to attack ay part of the British Fleet egaged, or to succour their ow Ships, which ideed would be impossible without mixig with the Ships egaged. Somethig must be left to chace; othig is sure i a Sea Fight beyod all others. Shot will carry away the masts ad yards of frieds as well as foes; but I look with cofidece to a Victory before the Va of the Eemy could succour their Rear, ad the that the British Fleet would most of them be ready to receive their twety Sail of the Lie, or to pursue them, should they edeavour to make off. If the Va of the Eemy tacks, the Captured Ships must ru to leeward of the British Fleet; if the Eemy wears, the British must place themselves betwee the Eemy ad the Captured, ad disabled British Ships; ad should the Eemy close, I have o fears as to the result. The Secod i Commad will i all possible thigs direct the movemets of his Lie, by keepig them as compact as the ature of the circumstaces will admit. Captais are to look to their particular Lie as their rallyig poit. But, i case Sigals ca either be see or perfectly uderstood, o Captai ca do very wrog if he places his Ship alogside that of a Eemy. Of the iteded attack from to widward, the Eemy i Lie of Battle ready to receive a attack, The divisios of the British Fleet will be brought early withi gu shot of the Eemy's Cetre. The sigal will most probably the be made for the Lee Lie to bear up together, to set all their sails, eve steerig sails, i order to get as quickly as possible to the Eemy's Lie, ad to cut through, begiig from the 12 Ship from the Eemy's Rear. Some Ships may ot get through their exact place, but they will always be at had to assist their frieds; ad if ay are throw roud the Rear of the Eemy, they will effectually complete the busiess of twelve Sail of the Eemy. Should the Eemy wear together, or bear up ad sail large, still the twelve Ships composig, i the first positio, the Eemy's Rear, are to be the object of attack of the Lee Lie, uless otherwise directed from the Commader-i-Chief which is scarcely to be expected as the etire maagemet of the Lee Lie, after the itetios of the Commader-i- Chief, is [are] sigified, is iteded to be left to the judgmet of the Admiral commadig that Lie. The remaider of the Eemy's Fleet, 34 Sail, are to be left to the maagemet of the Commader-i-Chief, who will edeavour to take care that the movemets of the Secod i Commad are as little iterrupted as is possible. NELSON AND BRONTE. Plae er et eksempel på e kvalitativ aalyse af slagets forvetede gag og det er bestemt værd at geemgå de i detaljer. Me her vil vi i stedet prøve at byge e simpel matematisk model op for slagets gag. Læg mærke til at vi bygger e model op for hvorda slaget formodes at gå, ikke for hvorda det i virkelighede gik. Der er altså tale om e simulerig af et virtuelt slag, et krigsspil, i stedet for e aalyse af det faktiske slag! Vi starter med at forekle de to flåder til et ekelt tal: Atallet af skibe i de to flåder. Nelso regede med at kue møstre 40 skibe, mod Villeeuves formodede 46 skibe. De samlede frask-spaske flåde var altså større ed de egelske. Atallet af skibe er de to fudametale variable i modelle.

4 Læg mærke til at vi allerede her har foreklet problemstillige betydeligt: I virkelighede er der stor forskel på de ekelte skibe, me vi har udjævet forskellee ved ku at se på atallet af skibe. Ma må så sidehe diskutere betydige af e såda foreklig - om de i virkelighede ødelægger modelles prediktive kraft! Vi gør u edu e foreklig: Vi atager at fjedes skibe er lige så slagkraftige som vores ege. I de virkelige verde regede Nelso med at has skibe havde større erfarig med søkrige og derfor ville være fjedes overlege. Me for at få oget erfarig med modelle vil vi i første omgag igorere dee forskel i slagkraft og atage symmetri: De to flåders krigsskibe er lige stærke i kamp. Vi vil seere udbygge modelle, så de også ka tage højde for asymmetri mellem de to stridede parter. Ma kue u forestille sig e meget ekel model, hvor skibee sækes lieært, hvorfor forskelle mellem atallet af skibe bevares og at de fraske flåde derfor med et overskud på 6 skibe vil ede med 6 skibe i overskud. Fx kue ma forestille sig at vi sedte skibee i krig mod hiade ét ad gage. Da de er lige stærke vil udfaldet af tvekampee halvdele af gagee være i Nelsos favør, halvdele af gagee i Villeeuves favør. De to flåder vil derfor miste skibe i samme takt, hvilket etop fører til de lieære model, hvor forskelle i atal skibe er kostat. Me det er forkert ifølge Lachester: E mere detaljeret aalyse af hvorda slaget udkæmpes vil afsløre at fraskmædees talmæssige fordel er lagt større ed blot de lieære forskel på 6 skibe. Skibee udkæmper ikke tvekampe, me kæmper alle mod alle på é gag og e talmæssig overlegehed i atal skibe vil derfor føre til e hurtigere edkæmpig af fjedes skibe. For at idse det må vi kigge ærmere på dyamikke i slagets gag! Hvis vi på et givet tidspukt har N skibe, der kæmper for Nelso og V skibe, der kæmper for Villeeuve, så vil vi i løbet af e skudrude, som vi for simpelheds skyld vil atage tager et kvarter miste skibe på begge sider. De simpleste atagelse er da at Nelso vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Villeeuves skibe, dvs. Villeeuves ildkraft. Tilsvarede vil Villeeuve vil miste et atal skibe, der er proportioalt med atallet af Nelsos skibe, dvs. Nelsos ildkraft. Det udmøtes i ligigere N = N V + 1 V = V N + 1 Her har vi sat proportioalitetskostate til Dee model ka vi u køre i regearket. Vi idfører da tre søjler: E for atallet af ruder, e for atallet af skibe i Nelsos flåde og e for atallet af skibe i Villeeuves flåde: Først idskriver vi startværdiere som vist. Derefter idtaster vi formlere for hvorda tallee udvikler sig, dvs. i celle A3 skriver i =A2+1, i celle B3 skriver vi =B2-0.03*C2, og i celle C3 skriver vi =C2-0.03*B2: Efter é rude ser det derfor således ud: `

5 Nu er dyamikke på plads og vi sværter de tre celler A3:C3 til og trækker dem ed geem regearket ved at trække i akeret i ederste højre hjøre, idtil vi har ået 90 ruder: Her ser vi resultatet af de første ti ruder! Læg mærke til at forskelle mellem Villeueves atal og Nelsos atal u er oppe på ca. 8 skibe, dvs. forspriget øges! Vi ka se på udviklige i atallet af skibe for de to kombattater grafisk ved at markere søjlere og afbilde dem som et puktdiagram: Vi lægger da mærke til at modelle rummer et helt urealistisk træk: Atallet af skibe er ikke begræset til at være positivt! Efter godt fyrre ruder er Nelsos skibe helt udkæmpet, og slaget er såda set overstået. Me i modelle ka ma rege videre og fider et egativt atal skibe for Nelso og et voksede atal skibe for Villeeuve. Begge dele er selvfølgelig helt uacceptable i virkelighede, me det uderstreger blot

6 at modelle ku er meigsfyldt, så læge atallet af skibe på begge sider ikke bliver egativt. I dette tilfælde er modelle derfor ku gyldig i 44 ruder: Vi ser også at Villeeuve stort set ikke mister flere skibe i de sidste fjerdel af det virtuelle slag: Fra rude 34 til 44 falder atallet af skibe på Villeeuves side ku fra 23.5 skib til 22.3 skibe altså lidt over et ekelt skib, mes Nelsos side mister 7 skibe. På grud af de voksede overvægt slutter slaget altså grumt med at de tabede side hurtigt går helt til grude. Læge før vil de tabede side derfor være stærkt motiveret til at overgive sig! Vi ka opå mere idsigt i modelle ved at tilføje yderligere to søjler: È for det samlede atal skibe, dvs. summe, og é for forspriget, dvs. differese. VI trækker derfor celleformlere D2=B2+C2 og E2=C2-B2 ed geem regearket. Ved at markere søjlere for atal ruder, totale og forspriget (hold CTRL ed for at markere søjler, der ikke ligger lige op ad hiade) ka vi u afbilde Totale og Forspriget som fuktio af atallet af ruder i et puktdiagram:

7 Ige er modelle ku gyldig idtil vi år 45 ruder, for forskelle ka selvfølgelig ikke overstige totale, me matematisk set ka vi godt fortsætte modelberegigere som vist. Disse vækst kurver er u meget simplere ed vækstkurvere for Villeeuves og Nelsos skibe som fuktio af tide. Vi gætter derfor på at de simpelthe udvikler sig ekspoetielt. Markeres grafe, ka vi højreklikke og vælge Tedeslije, der sættes til ekspoetiel. Samtidigt slår vi ligige og forklarigsgrade til: Der er altså tale om e ekspoetiel vækst i såvel totale, der aftager ekspoetielt efter ligige 0.03 y= 86 e - x x, som forspriget, der vokser ekspoetielt efter ligige y= 6 e. Det er især de ekspoetielle vækst af forspriget, der er iteressat. Det er jo oget helt adet ed det kostate forsprig i de aive lieære model. Hvorda ka vi forstå dee ekspoetielle vækst? Veder vi tilbage til vækstligigere N = N V + 1 V = V N + 1 ka vi fide vækstligige for totale S ved at lægge de to ligiger samme. Vi fider da S + 1 = N + 1+ V + 1 = ( N + V ) ( V + N ) = S S = 0.97 S Me det viser jo etop at summe følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate I hver rude aftager totale altså med 3%, hvilket etop viser at totale følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle S = S 0.97 = Hvis vi bemærker at l(0.97)» fås etop Excelformle passede! S e = 86 der af Excel afrudes Trækker vi tilsvarede vækstligigere fra hiade fås vækstligige for forspriget D

8 D + 1 = V + 1- N + 1 = ( V - N ) ( V - N ) = D D = 1.03 D Me det viser jo etop at differese også følger e gage-vækst, idet vi i hver rude gager med kostate I hver rude vokser forspriget altså med 3%, hvilket etop viser at forspriget følger e ekspoetiel vækst givet ved kapitalfremskrivigsformle D = D 1.03 = Hvis vi bemærker at l(1.03)» fås etop Excelformle passede! S = 6 e der ige af Excel afrudes De ekspoetielle vækst for totale og forspriget er altså idbygget i Lachesters model. Udyttes det at vi ka fide atal skibe for de to kombattater ved at lægge taotale og forspriget samme, heholdsvis trække dem fra hiade har vi u også fudet formlere for hvorda atal skibe ædres med tide: ( ( ) ( )) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) N = N + V - V - N = S - D = V = N + V + V - N = S + D = Me ok så iteressat er det at bemærke, at summe aftager med 3% i hver rude, mes differese vokser med 3%. Det betyder æste at deres produkt er kostat, fordi de 3% summe formidskes med i hver rude æste ophæves af de 3% som differese forøges med i hver rude. Når det ku er æste er det på grud af retes-rete: Starter vi med 100% vil det formidskes til 97%, som derefter vil forøges med 3%, me ikke af 100%! I stedet forøges det med 3% af 97%. Alt i alt vokser produktet derfor med faktore = (1-0.03) ( ) = = = Produktet aftager altså gaske svagt med 0.9 promille i hver rude. Tilføjer vi e søjle med produktet ser vi da også at det ku falder fra 516 til 496 i løbet af de 44 ruder, som det samlede søslag varer, dvs. det samlede fald er 4%, som vi vil tillade os at igorere. Lachester bemærkede altså at ( V+ N) ( V- N) = V -N med god tilærmelse er kostat. Dette er Lachesters berømte kvadratlov: Lachesters kvadratlov: De to flåders kampstyrke er proportioal med kvadratet på atal skibe.

9 Forskelle på kampstyrke mellem de to flåder er med god tilærmelse kostat uder slaget, dvs. V - N» V -N 0 0 Da Villeeuve dispoerer over 46 skibe og Nelso over 40 skibe er forskelle i kampstyrke givet ved = 86 6 = 516 Når Nelsos flåde er edkæmpet har Villeeuve derfor stadigvæk et atal skibe tilbage givet ved 516» 22.7 I de mere præcise geemregig i regearket fadt vi 22.3 skibe tilovers, så kvadratlove er god ok i praksis. Villeeuve beholder altså ca. halvdele af sie skibe i de virtuelle model. Bemærkig: Kvadratlove ka også illustreres geometrisk, hvis vi afbilder søslaget i et såkaldt faseplot, hvor vi afsætter Nelsos skibe ud af førsteakse og Villeeuves skibe op ad adeakse. Vi markerer altså de to søjler og opretter et puktdiagram: Slaget starter i øverste højre hjøre i pukt (40,46) og bevæger sig ed mod y-akse. Det er ku de ee halvdel af hyperble, V - N = 516, der er meigsfyldt. Når vi rammer y-akse, dvs. Nelso ikke flere skibe har tilbage, er slaget slut. Dermed slutter vores diskussio af de diskrete model for det virtuelle slag mellem Nelso og Villeeuve, hvor Nelso altså tabte, fordi vi ikke har fulgt has brillate strategi! Ide vi kommer tilbage til de er der et kort idspark om de kotiuerte model, som roligt ka spriges over i første geemlæsig!

10 Fra de diskrete model til de kotiuerte model: Bevægelsesligigere i Lachesters model ka omskrives til differesligiger DN N+ 1 = N V Û N+ 1- N = V Û D N= V Û = V D med D = 1 DV V+ 1 = V N Û V+ 1- V = N Û D N= N Û = N D med D = 1 I de kotiueret model erstattes differesligige med e differetialligig. VI opfatter da atallet af skibe som e fuktio af tide t, der u varierer kotiuert : dn = V dt dv = N dt De løses på samme måde som i de diskrete model. Lægges ligigere samme fås differetialligige for summe S: ds dn dv = + = ( N+ V) = S dt dt dt Me det er etop differetialligige for e aftagede ekspoetiel vækst med vækstrate De har som bekedt løsige S= S0 e = 86 e t t Trækker vi tilsvarede de to differetialligiger fra hiade fås differetialligige for differese D: dd dv dn = - = 0.03 ( V- N) = 0.03 D dt dt dt Me det er etop differetialligige for e voksede ekspoetiel vækst med vækstrate De har som bekedt løsige D= D e = e 0.03 t 0.03 t 0 6 Da summe og differese har modsatte vækstrater, ophæver de hiade år vi gager dem samme! S D= S e D e = S D t 0.03 t I de kotiueret model er Lachesters kvadratlov altså eksakt: V - N = V0 - N0 = 516 Edelig ka vi føre løsigere for summe og differese tilbage til løsigere for de opridelige koblede differetialligiger:

11 t 0.03 t t 0.03 t ( ) ( ) N= ( S- D) = 86 e - 6 e, V = ( S+ D) = 86 e + 6 e Nelsos strategi: Me i virkelighede vadt Nelso som bekedt slaget! Vi vil u forsøge at belyse has strategi i lyset af Lachesters kvadratlov. Nelso øskede ikke at idgå i et direkte stort søslag lije for lije med Villeeuves skibe. Det ka ha have mage grude til. Selv skriver ha: Thikig it almost impossible to brig a Fleet of forty Sail of the Lie ito a Lie of Battle i variable wids, thick weather, ad other circumstaces which must occur, without such a loss of time that the opportuity would probably be lost of brigig the Eemy to Battle i such a maer as to make the busiess decisive I stedet besluttede ha at dele si styrke i 2 gage 16 skibe samt 8 hurtigt sejlede skibe, der skulle sedes direkte mod fjedes flåde: I have therefore made up my mid to keep the Fleet i that positio of sailig (with the exceptio of the First ad Secod i Commad) that the Order of Sailig is to be the Order of Battle, placig the Fleet i two Lies of sixtee Ships each, with a Advaced Squadro of eight of the fastest sailig Two-decked Ships, which will always make, if wated, a Lie of twety-four Sail, o whichever Lie the Commader-i-Chief may direct. Skematisk ser Nelsos pla således ud:

12 De 8 hurtigt sejlede skibe skal splitte Villeeuves flåde i to dele her agivet som 23 skibe, der holdes he og 23 skibe, der idgår i et direkte søslag med Nelsos resterede 32 skibe. De 8 skibe sejler direkte mod fjedes flåde og ka derfor til at begyde med ikke skyde på fjedes skibe (kaoere på krigsskibee peger vikelret på skibet). Til gegæld fremstår de også med lille tværsitsareal og er derfor svære at ramme. Og år de geembryder fjedes rækker er det dem, der har fordele af at kue beskyde fjedes skibe mes disse ete må vede eller forsøge at sejle væk. Ifølge Lachesters kvadratlov vider Nelso u første rude og har efter dee rude 22 skibe tilbage eftersom 32-23» 22.2 Skulle de 8 skibe være gået tabt i kampe om at holde de 23 skibe ude af hovedslaget, så ville Villeeuve u ifølge kvadratlove også have 21 skibe tilbage 23-8» 21.6 Nelso har altså udliget Villeeuves talmæssige overlegehed. Vi ka edda også se matematisk på hvorda Nelso bør splitte de fraske flåde. Hvis Nelso splitter x skibe fra, så Villeeuve i stedet har to flåder med heholdsvis x skibe og 46 - x skibe er de samlede kampstyrke reduceret til 2 x x x x + (46 - ) = Teger vi grafe for dette adegradspolyomium ser vi at det har et miimum for x = 23 hvor kampstyrke er halveret til Ideelt set bør Nelso derfor splitte Villeeuves flåde i to lige store dele. Selv bruger ha 8 skibe til at splitte flåde med, dvs. has kampstyrke reduceres til

13 = 1088 Det ligger over Villeeuves kampstyrke og Nelso vider derfor alt adet lige det samlede søslag.

14 Bemærkig: I det foregåede er vi gået ud fra e symmetrisk model. Me modelle ka sagtes udvides til e asymmetrisk model af forme: x = x - k y y = y - k x Tricket består i at omdae dee til e symmetrisk model ved e simpel skalatrasformatio, idet vi gager de øverste ligig med k 2 og de ederste ligig med k 1 : k x = k x - k k y = k x - k k k y k y = k y - k k x = k y - k k k x Sætter vi k= k1 k2, X = k2 x og Y = k1 y fås altså de symmetriske model X = X - ky + 1 Y = Y - k X + 1 Me så ka vi jo overføre resultatere fra de symmetriske model og ser at kampstyrke for de to flåder dee gag er givet ved: X = k x 2 Y = k y 1 Kvadratlove siger da at forskelle mellem kampstyrkere med god tilærmelse er kostat: X - Y = k x - k y = k x - k y

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

The River Underground, Additional Work

The River Underground, Additional Work 39 (104) The River Underground, Additional Work The River Underground Crosswords Across 1 Another word for "hard to cope with", "unendurable", "insufferable" (10) 5 Another word for "think", "believe",

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

2. februar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 9. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. . februar 006 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 9. februar 006 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 4 DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 4 DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET TBER 2011 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data evelopet

Læs mere

Miniprojekt: Ondskabens filosofi, af Johannes Kjær Kristensen Side 1 af 17

Miniprojekt: Ondskabens filosofi, af Johannes Kjær Kristensen Side 1 af 17 Miniprojekt: Ondskabens filosofi, af Johannes Kjær Kristensen Side 1 af 17...4 "...5 #$ # % #...7...8 "...8 & ' $ ( ) "* (...10 $...13 "...13...14 *(...15 +, % 1 Miniprojekt: Ondskabens filosofi, af Johannes

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

BIKE COMPUTER. >> Kilometers. >> Heart Rate. >> Cadence. >> Altitude ROX 9.0 DANSK

BIKE COMPUTER. >> Kilometers. >> Heart Rate. >> Cadence. >> Altitude ROX 9.0 DANSK BIKE COMPUTER >> Kilometers >> Heart Rate >> Altitude >> Cadece ROX 9.0 Istallatios og betjeigsvejledig DANSK INDEHOLD 1 Emballage ideholder... 4 2 Moterig af SIGMA ROX 9.0 og des tilbehør... 5 2.1 Moterig

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Indholdsfortegnelse VI ER FRIVILLIGE I DET DANSKE REDNINGSBEREDSKAB... 5 BEREDSKABSFORBUNDET I 2006... 6 BERETNING... 10 FUGLEINFLUENZA...

Indholdsfortegnelse VI ER FRIVILLIGE I DET DANSKE REDNINGSBEREDSKAB... 5 BEREDSKABSFORBUNDET I 2006... 6 BERETNING... 10 FUGLEINFLUENZA... årsberetig 2006 Idholdsfortegelse VI ER FRIVILLIGE I DET DANSKE REDNINGSBEREDSKAB.................................. 5 BEREDSKABSFORBUNDET I 2006.................................................. 6 BERETNING...................................................................

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne

HALLO no en hjemme? Tema. + s. 28 Forstå dit barns hjerne HALLO o e hjemme? Eksperte forklarer, hvorfor det er så svært for små ører at høre efter. Se, hvorda det går, år Elie Holm tester de gode råd på si datter Liva, og få idblik i, hvad der sker i de lille

Læs mere

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Landsbyer i storkommunen Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørgen. Publication date: 2011 Aalborg Uiversitet Ladsbyer i storkommue Lemvigh, Kasper ; Møller, Jørge Publicatio date: 2011 Documet Versio Tidlig versio også kaldet pre-prit Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio for published

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2015

Trolling Master Bornholm 2015 Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Panorama billede fra starten den første dag i 2014 Michael Koldtoft fra Trolling Centrum har brugt lidt tid på at arbejde med billederne fra

Læs mere

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER

FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER Hadligspla for FOREBYGGELSE OG BEKÆMPELSE AF ROTTER 2016-2018 LYNGBY-TAARBÆK KOMMUNE 2015 Lygby-Taarbæk Kommue Trykt på Rådhustrykkeriet Grafik Layout: Ole Lud Aderse, Iter Service INDHOLD Rotte - dyret

Læs mere

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015

Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Sejladsbestemmelser for Faurby Yacht 2STAR CUP 2015 Lørdag de 20. jui 2015 Arr. Middelfart- og Fredericia Sejlklubber. 1 Regler 1.1 Sejladse sejles efter de i Kapsejladsreglere defierede regler ikl. Skadiavisk

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Statistiske test. Silkeborg efteråret 2009 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Silkeborg efteråret 2009 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Silkeborg efteråret 009 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Part 5 Leisure Time and Transport

Part 5 Leisure Time and Transport Part 5 Leisure Time and Transport Lesson 3 Situation and Listen & Practice Situation Line and Louise are colleagues. They meet at a café before work. Line is late because h bike had a puncture on the way.

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere