Bjørn Grøn. Det gyldne snit og Fibonacci-tallene

Transkript

1 jør Grø Det glde sit og Fiboacci-tallee

2 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 Det glde sit og Fiboacci-tallee Fordsætiger: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige. Grdlæggede smbolmaiplatio, herder kvadratsætiger. Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder og forvetes at have ået midst til og med øvelse 6. i løbet af de første to lektioer. 3. Fælles samlig: a. Afklarig af evetelle spørgsmål b. Præsetatio af Fiboacci-tallee c. Præsetatio af idée i et idktiosbevis 4. Grppere arbejder videre og tager hrtigt fat på afsittet om Fiboacci-tallee. Hver grppe afleverer e rapport. Rapporte skal ideholde: e præsetatio med die ege ord af, hvad det glde sit er i kst, arkitektr mv., og hvad det har med matematik at gøre (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsetatio med die ege ord af, hvad Fiboacci-tallee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvad de har med det glde sit at gøre. (se evt. etadresse i pkt 5). løsig af øvelsere om Fiboacci-tallee til og med øvelse 3. Hver grppe laver ete øvelse 7. eller fider e ade geometrisk opgave på ettet, som de løser i stedet.

3 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 3 af 4 Det glde sit. D opsøger selv via leksika, fagbøger eller iteret iformatioer om»det glde sit«d skal have sat dig id i det på e såda måde, at d med ege ord ka give e mdtlig og skriftlig fremstillig af det.. De følgede matematiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. E øvelse begder med, at der står ØVELSE NR, og de sltter med, at der er agivet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og aført forskellige bemærkiger. DEFINITION Et rektagel ACD kaldes et gldet rektagel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvadrat AEF væk, så får vi et t rektagel ECDF, E C A F D som er ligedaet med det store rektagel ACD: + C C D A + D E F EMÆRKNING. Når rektaglere er ligedaede gælder + =, () dvs. forholdet mellem de lage og de korte side er es for de to rektagler. DEFINITION I et gldet rektagel kaldes forholdet mellem de lage side og de korte side for det glde sit og beteges med det græske bogstav Φ (dtales»phi«eller»fi«), dvs. + Φ = (eller Φ = ).

4 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 4 af 4 ØVELSE (eregig af det glde sit) Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til + = eller = 0. Ligige omskrives videre til = 0. (a) Læg mærke til at det ikke er eller, me derimod forholdet, som er det glde sit, og som vi er iteresseret i at berege. er altså de kedte størrelse og fides som e løsig til adegradsligige z z = 0. (b) Vis at løsige er ± 5 z =. Heraf ka vi kokldere: Det glde sit er lig med ØVELSE + 5 Φ =,68... (3) De ade løsig beteges af og til + 5 Φ = og Φ '. Med dee betegelse har vi altså, at 5 Φ ' = er løsigere til adegradsligige z z = 0. Redegør for at der gælder, at Φ + Φ ' = og Φ Φ ' =. ØVELSE 3 Hvis et gldet rektagel har side som de lage side og side som de korte side, så er de lage side Φ = = de korte side (4) Idsæt i Φ Φ ' = og vis, at de korte side Φ ' = = de lage side. (5) Redegør også for at Φ ' = +.

5 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 5 af 4 ØVELSE 4 (Tilærmet kostrktio af det glde sit) Læg lijestkkere i forlægelse af hiade: E C Vi øsker at fide d af, hvor stor e del dgør af hele lægde +. Vis at svaret på dette er Φ' eller tilærmet 0,68 Dvs. dgør ca. 6 % af hele lijestkket. Vi skal således dmåle 6% af lijestkket og dér afsætte et mærke, år et lijestkke skal deles i et forhold som det glde sit. Vi ka atrligvis måle d fra hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. ØVELSE 5. Hvorda skal ma dele et lijestkke på 0, således at de to stkker ka dgøre sidere i et gldet rektagel? ØVELSE 5. Vi har givet et lijestkke på. Vi øsker at dette skal dgøre de korte side i et gldet rektagel. Hvor stor skal de lage side være? de lage side emærk at dtrkket Φ =, der gælder for et gldet rektagel, ka omskrives til de korte side de korte side Φ = de lage side. ØVELSE 5.3 Vi øsker at lave et gldet rektagel med areal 40. Hvor lage skal sidere være? ØVELSE 6. (Eksakt kostrktio af det glde sit) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregigere i øvelse 5..) Kostrér e retviklet trekat, hvor de lægste katete er (eheder), og de korte katete er (ehed) se figre. D A E C

6 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 6 af 4 Med e passer kostreres e cirkel med cetrm i og radis C =. Skærigspktet med A kaldes D. Med passere teges e cirkel med cetrm i A og radis AD. Skærigspktet med AC kaldes E. AC Vis at AE = 5. Vis at dette ka omskrives til + 5, dvs. det er lig med tallet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. ØVELSE 6. (Geometrisk kostrktio af et gldet rektagel d fra et givet kvadrat) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svarede til beregige i øvelse 5..) Vi har givet et kvadrat med sidelægde E A F og øsker at kostrere et rektagel ACD, som er et gldet rektagel. Lav følgede kostrktio (se tegige): E halveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som radis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse af E i et pkt C. M E C A F Påstad: Side C er de lage side i et gldet rektagel, hvor side A er de korte side, dvs. rektaglet ACD er gldet, hvor D fides på forlægelse af AF. C + 5 evis påstade, dvs. bevis følgede at = = Φ. A

7 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 7 af 4 ØVELSE 7. Teg e ligebeet trekat med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Halvér vikel A. Skærigspktet med side C kaldes D. 36 Vis at ACD er esviklet med AC D Argmetér for at sidere AD og D har samme lægde, som vi kalder. A 7 C Lægde af DC kaldes. Vis at + =. Omskriv til = 0. Argmetér for at forholdet mellem sidere og i trekat ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekat. (Trekater med disse vikler kaldes af og til for glde trekater.) ØVELSE 7. Teg e reglær femkat ACDE, dvs. e femkat, hvor sidere og viklere er lige store. v A Teg også diagoalere AC, E og D. Argmetér for at viklere i e femkat, f.eks. hele vikel E, er 08. v w P v E Gå på jagt efter ligebeede trekater ide i femkate, og argmeter for at viklere markeret med v faktisk er lige store. (Hjælp: egd f.eks. med at se på trekat AE og dreg, hvor stor v er). Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at = v. (Hjælp: se først på vikle markeret w.) v C Q v D Argmetér for at viklere markeret er lige store, og at de derfor må være lig med. Vis at 3v = 08, og altså at v = 36. Heraf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekater ide i femkate. Udt dette til at vise at CQ = CP = Φ. QP PA Koklsio: Diagoalere skærer hiade op i glde sit.

8 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 8 af 4 Fiboacci-tallee 3. Læs de egelske versio af Leoardo af Pisa s kai-problem. Leoardo af Pisa kaldes ofte Fiboacci. Ha levede i Norditalie omkrig år 00 og var med at gøre de højtdviklede arabiske matematik kedt i Eropa. Ha dede bl.a. et stort bidrag til, at de arabiske tal blev kedt og efterhåde avedt i stedet for romertallee. Kaiproblemet gav aledig til at stdere de mærkelige talrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kaldt Fiboacci-tallee. Giv e kort præsetatio af kaiproblemet, hvor d bl.a. redegør for, hvad det har med Fiboacci-tallee at gøre. 4. De følgede matematiske del om Fiboacci-tallee er bgget op geem øvelser, som d selv arbejder igeem. E øvelse begder med, at der står ØVELSE NR, og de sltter med, at der er agivet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skal svare på, eller dregiger, d ærmere skal redegøre for. DEFINITION Fiboacci-tallee er de talfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, at»det æste elemet«daes som smme af de to foregåede (dette kaldes i matematik e»rekrsiv defiitio«). Med smboler ka dette dtrkkes således: Lad betege det te tal i talfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om»det æste elemet«ka så skrives således: + = (6) ØVELSE 8 Opskriv de første 5 Fiboacci-tal i et skema som dette: ØVELSE 9 Idtast Fiboacci-tallee som e talfølge i dit CAS-værktøj. Hertil skal d først omstille maskies program til talfølger (ædrig i»mode«). Der er plads til flere talfølger, og d idtaster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tal og det te tal i følge hedder i maskies sprog (4) og (). Regle om»det æste elemet«, som er formleret i (6), idtastes så. Edelig skal d give begdelsesværdier, og dette er de første to tal i følge, der idskrives således: {,}. I Table ka d se følges tal. Hvad er Fiboacci-tal r. 40? ØVELSE 0 Udreg forholdet mellem ét tal i Fiboacci-talfølge og det foregåede tal, dvs.: 3 4 5,,,, Ka d se et møster et tal, som dee følge ærmer sig?

9 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 9 af 4 Udreg tilsvarede: 3 4,,,, Hvilket tal ærmer dee følge sig tilseladede? ØVELSE Lad os kalde brøkere fra forrige øvelse a, a, a 3,..., dvs. 3 4 a = = a = = a3 = =,5 3 Lav e tallije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort atal af tallee i talfølge a, a, a,..., at d ka svare på følgede: eskriv med ord det møster, d ser. 3 DEFINITION (Græseværdi) Atag vi har e talfølge a, a, a 3,... Hvis der fides et bestemt tal a 0, som talfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, at a 0 er græseværdie for talfølge, og vi skriver a 0 år. (Læses:»a går mod a 0, år går mod edelig.«) EMÆRKNING Udtrkket»ærmer sig mere og mere«betder: Hvis vi øsker at komme tættere på a ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så ka vi fide et bestemt tri i talfølge, hvorfra alle følgede tal er så tæt på som øsket. PÅSTAND Vi vil tage vores eksperimet med dregig og afsætig på tallije som et argmet for, at talfølge a, a, a 3,... af brøker lavet d fra Fiboacci-tallee faktisk har e græseværdi (dee påstad vil vi bevise seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tallet Φ. Ka vi bevise dette? Det er opgave i de æste øvelse. ØVELSE (Når d er kommet igeem øvelse og har fdet d af, hvad er, ved så tilbage og se, hvor kom fra. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretager omskrivigere.) Lad os begde med at kalde græseværdie for, dvs. a år. Af defiitioe på Fiboacci-tal har vi: + = (6) Vis dette ka omskrives til = +. (7) Vi øsker at omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil har vi brg for følgede to tig:. = a. = (vis det sidste ved at begde med a ) a

10 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 0 af 4 Idsættes. og. i (7), får vi a = + (8) a Når bliver meget stor vil både a og a ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også»til sidst«gælde, at = + Omskriv dette til = + eller (9) = 0 (0) Argmeter for at = Φ ved simpelthe at løse ligige. Da var græseværdie for a-følge, ved vi derfor, at a Φ år. Formler dette resltat med ord. EMÆRKNING Det er lidt besværligt at drege Fiboacci-tal lagt fremme i følge, fordi vi skal arbejde os frem tri for tri. CAS-værktøjet er atrligvis e stor hjælp. Me ke ma fide e formel for dregig af et givet Fiboacci-tal, var det eklere. Og der fides faktisk e gaske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte at drege f.eks. Fiboacci-tal r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet af e matematiker ved av iet, og år ma ser de, tror ma, det er løg, at de formel altid giver et helt tal. Fiboacci-tallee bliver hrtigt meget store, så formle har hovedsagelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til at vise formle skal vi først klare følgede: SÆTNING Hvis tallet opflder = +, så gælder for ethvert atrligt tal, at = +, () hvor ere er Fiboacci-tallee. (emærk: Tallet keder vi godt: Det er ete Φ eller Φ'.) ØVELSE 3 (eviset for sætige) eviset laves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig at formel (9) gælder:. tri: Vi ved, at = +, og det er det samme som = + (hvorfor?). 3. tri: Vi gager ligige (9) igeem med på begge sider og får = +. 3 Vis at dette ka omskrives til = +. 3 Me det er det samme som = + (hvorfor?) () 3 3. tri: Vi gager ligige () igeem med på begge sider og får = Vis at dette ka omskrives til ( ) Me det er det samme som = osv. Lad os sige, at vi har vist formle id til tri r. 9, dvs. vi har vist formle 0 = =

11 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 0. tri: Vi gager prøv selv at geemføre dette tri, så d år frem til = + 0. Vi ka således altid komme et skridt derligere fremad. Derfor siger vi, at sætige er bevist ved de tekik, der kaldes matematisk idktio. SÆTNING (iets formel) Det te led i Fiboacci-talfølge ka dreges således: = 5 (3) EMÆRKNING Prøv at drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for at se, at formle giver det øskede. ØVELSE 4 (eviset for iets sætig) De to tal Φ = og Φ ' = er løsiger til ligige = +, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert atrligt tal : Φ = Φ + Φ ' = Φ ' + Φ Φ = Φ Φ. Vis at d heraf ka få ' ( ') Vis at Φ Φ ' = 5. Idsættes dette, får vi Φ Φ ' = 5. Vis edelig at vi herfra får iets formel. 5. Der fides på ettet et væld af adresser vedrørede Fiboacci-tallee. På adresse ka d fide e omfattede iformatio. Prøv at gå id på de og led efter: Fiboacci-tal og det glde sit i atre Fid på hjemmeside midst to matematiske sammehæge, som ikke er omtalt i disse oter og gør rede for dem. Tillæg Dette tillæg hadler om, hvorfor talfølge af forhold mellem Fiboacci-tallee opfører sig som de gør, og som vi bl.a. så i øvelse.

12 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 ØVELSE 5 etragt de første Fiboacci-tal: i i Læg mærke til: = og = og = 44 og samt følgede: = og 4 3 = og = 9 6 = 64 8 = 44 3 = 4 5 = = 68 og 7 = 69 Formler med ord de regler d ka se d af dette møster. ØVELSE 6 Vi så i foregåede øvelse, at vi af og til har brg for at skele mellem lige tal (, 4, 6, ) og lige tal (, 3, 5, ). Når vi skal ræsoere matematisk om lige og lige tal, er vi ødt til at ke skele mellem tallee ved hjælp af matematisk smbolsprog. Det gør vi ved at skrive de lige tal som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt atrligt tal. De lige tal skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tal ka skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det afgørede er, at vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tallet. Når vi skriver lige tal og lige tal således, ka regle fra øvelse 4 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fiboacci-talfølge (som 6 og 8 ) gælder: = (4) For efterfølgede lige mre i Fiboacci-talfølge (som 7 og 9 ) gælder: = (5) + Dette vises trivist med samme tekik, som vi avedte i øvelse 3. Vi har set, at formlere (4) og (5) gælder for Fiboacci-tallee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi af, ka vi så vise, at de også gælder for de æste Fiboacci-tal? Hvis vi ka det, så siger vi, at formlere er vist for alle tal ved hjælp af matematisk idktio. Vi øsker at vise de æste to formler. Overvej at disse skrives: = (4') = (5') Vi viser (4') ved at drege vestre side og her bette, at det er Fiboacci-tal. (Gør øje rede for hvert skridt i det følgede.)

13 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 3 af 4 = + ( ) + = + + = + + = + + ( ) + = + + hvilket var det øskede. Prøv selv med samme metode at vise (5'), dvs. vise, at EMÆRKNING =... = Fid tilbage til de første dregiger af forholdet mellem Fiboacci-tallee og afsætig af disse på e tallije. Vi kaldte for emheds skld: a a 3 =, 4 =, a3 =, 3 For følge a, a, a 3,... så vi følgede:. Forskelle mellem efterfølgede tal i a følge bliver midre og midre.. Tallee a, a4, a 6,... (de lige mre) bliver midre og midre. 3. Tallee a, a3, a 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i a-følge bliver tallet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. a er større ed a, a 3 er midre ed a, a 4 er større ed a 3, Tilsamme giver dette, at følge af a-tal sviger frem og tilbage og lagsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi i øvelse beviste, var lig med Φ). Vi beviser påstadee -4 ved hjælp af formlere (4) og (5) fra øvelse 6. ØVELSE 7 Formler påstadee, 3 og 4 ved hjælp af smbolere a, a, a og a +. ØVELSE 8 Påstad r. : Forskelle mellem to efterfølgede tal dreges: a a = = Argmeter for at = ±. Sammefatter vi, har vi derfor: ± a a = Tallee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre.

14 Det glde sit og Fiboacci-tallee Side 4 af 4 Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tal bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstad r. : Vi ser på tallee a, a4, a6,..., a og vil vise, at a < a. Overvej at dette dtrkker, at tallee bliver midre og midre. Af (4) får vi: = < Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): eller: < + < + ( ) ( ) + < + < + < + a < a + Påstad r. 3: Prøv selv at vise, at a < a+, dvs. <, med brg af formel (5). + Påstad r. 4: Formel (4) giver som ævt: <, hvilket ka omskrives til: < eller: a < a (6) Formel (5) giver tilsvarede: + <, hvilket ka omskrives til: + < eller: a > (7) a Prøv at askeliggøre de to resltater fra (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, at for hvert tri bliver a-tallet skiftevis større og midre. Samlet har vi set, at a-følges led sviger frem og tilbage, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tal ærmer sig 0. Derfor må følge have e græseværdi.