Tal, funktioner og grænseværdi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tal, funktioner og grænseværdi"

Transkript

1 Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner 004 Karsten Juul

2 Udgave 1: 8/8-04 Udgave : 8/9-04

3 1. Her er vist graferne for tre funktioner: Der er kun én af graferne som opfylder: For ethvert punkt på grafen gælder: Punktets.koordinat er lig det tal der fås når man dividerer med punktets 1.koordinat og til resultatet lægger 1. Find ud af hvilken af graferne der opfylder dette, og skriv f ved grafen.. I opgave 1 er to linjer skrevet med kursiv. Disse to linjer med kursiv er en ligning. Når vi lader og y betyde 1.koordinat og.koordinat, kan vi skrive denne ligning med symboler. Skriv den her:. 3. Du har skrevet f ved én af de tre grafer. Skriv g ved den første af de andre to grafer, og skriv h ved den sidste af graferne. I opgave 1 er der med ord skrevet en ligning for grafen for f. Her fik man.koordinaten ved at lave en udregning og lægge 1 til resultatet. Hvis man i stedet for 1 lægger et større tal til, så bliver.koordinaten større, dvs. grafen ligger højere oppe i koordinatsystemet. Skriv med ord en ligning for grafen for g : Skriv med symboler en ligning for g :. 4. I opgave 1 er der med ord skrevet en ligning for grafen for f. Her fik man.koordinaten ved at lave en udregning og lægge 1 til resultatet. Hvis man i stedet for at lægge 1 til lægger noget til der ikke er en konstant, så kan man få grafen for h frem. Skriv med ord en ligning for grafen for h : Skriv med symboler en ligning for h :. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 1 af 1 8/9-04 Karsten Juul

4 5. Lad P være det punkt på 1.aksen som har 1.koordinat 5, og lad A være det punkt på grafen for f som har 1.koordinat 5. Afsæt punkterne P og A på den relevante af figurerne i opgave 1. Beregn derefter afstanden mellem P og A, og skriv en mellemregning og facit her: PA = =. 6. Lad stadig P være det punkt på 1.aksen som har 1.koordinat 5, og lad B være det punkt på grafen for g som har 1.koordinat 5. Afsæt punkterne P og B på den relevante af figurerne i opgave 1. Beregn derefter afstanden mellem P og B, og skriv en mellemregning og facit her: PB = =. 7. Figuren nedenfor viser grafen for en ny funktion f. For ethvert punkt på grafen gælder: Punktets.koordinat er lig det tal der fås når man fra 7 trækker det tal der fås når seks divideres med punktets 1.koordinat Skriv denne ligning med symboler her:. Beregn følgende afstande: AB = CD EF = = 8. Grafen for f i opgave 7 fortsætter uendelig langt mod højre. Undersøg om der findes et punkt på grafen for f hvis.koordinat afviger mindre end fra 7. Hvis du finder sådan et punkt, så skriv dets koordinatsæt. Hvis du ikke finder sådan et punkt, så skriv en begrundelse for at der ikke eksisterer sådan et punkt. Skriv her: Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side af 1 8/9-04 Karsten Juul

5 9. Funktionen f fra opgave 7 har de positive tal som definitionsmængde. Der er altså ikke punkter på grafen der har et negativt tal som 1.koordinat. Undersøg om der findes et punkt på grafen for f hvis.koordinat er større end 7. Hvis du finder sådan et punkt, så skriv dets koordinatsæt. Hvis du ikke finder sådan et punkt, så skriv en begrundelse for at der ikke eksisterer sådan et punkt. Skriv her: 10. Figuren viser grafen for en funktion f : Udfyld de tomme pladser: BC fås når tallet divideres med 1.koordinaten for C. EF fås når tallet divideres med 1.koordinaten for F. HI fås når tallet divideres med 1.koordinaten for I. C 's.koordinat er lig AB + BC = + =. F 's.koordinat er lig DE + EF = + =. I 's.koordinat er lig GH + HI = + =. De foregående linjer antyder at en bestemt regel gælder for alle punkter på grafen. Gå ud fra at dette er tilfældet. Lad J være det punkt på grafen hvis 1.koordinat er 50. J 's.koordinat er. Når 1.koordinaten til et punkt på grafen er et tal t, så er punktets.koordinat lig. Grafen har ligningen. 11. Funktionen f fra opgave 10 har de positive tal som definitionsmængde. Der er altså ikke punkter på grafen der har et negativt tal som 1.koordinat. Undersøg om der findes et punkt på grafen hvis.koordinat er,00. Hvis der er sådan et punkt, skal du skrive dets 1.koordinat. Ellers skal du skrive en begrundelse for at der ikke er sådan et punkt på grafen. Skriv her: Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 3 af 1 8/9-04 Karsten Juul

6 1. På internettet kan man bestille billetter til en koncert hvor prisen pr. person er 3 kr. Ud over de 3 kr. pr. person skal der betales et gebyr på 56 kr. Hvis f 8 bestiller sammen, så er der 8 til at dele udgiften til gebyret, dvs. hver person skal betale 30 kr. for at komme til koncerten. Denne oplysning er nedenfor brugt til at afsætte ét punkt på en graf der viser hvordan prisen aftager når flere bestiller sammen. Beregn nogle flere punkter på grafen og tegn grafen. Der skal være personer som bestiller sammen, hvis prisen hver skal betale, skal være 3,50 kr. En ligning for grafen:. 13. På internettet er der udsalg af musik-cd'er. Hver dag nedsættes priserne 10%. Prisen på en cd skal ganges med for at få prisen næste dag. Prisen på en cd skal ganges med for at få prisen om dage. Heraf ses at på dage falder prisen lidt mindre end 0%. Prisen skal ganges med for at få prisen om 3 dage. Prisen skal ganges med for at få prisen om n dage. En cd koster 39,80 kr. den første dag, Prisen efter dage er y =. Der går dage før prisen er under 10 kr. Uanset hvornår man køber cd'en, skal man betale 1 kr. for at få den sendt, så den samlede udgift ved at købe cd'en er 1 kr. større end dens pris. Den samlede udgift dage efter start er y =. Grafen der har denne ligning, skal du tegne i koordinatsystemet nedenfor. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 4 af 1 8/9-04 Karsten Juul

7 14. Figuren viser graferne for to funktioner f og g. Nedenfor er med ord formuleret en ligning for hver af graferne. Find ud af hvilken graf der hører til hvilken ligning, og skriv de korrekte funktionsnavne på de tomme pladser. For ethvert punkt på grafen for gælder: Punktets.koordinat er lig det tal der fås når man opløfter 0,8 til punktets 1.koordinat, ganger resultatet med, og til det fremkomne tal lægger 1. For ethvert punkt på grafen for gælder: Punktets.koordinat er lig det tal der fås når man opløfter 1,5 til punktets 1.koordinat, ganger resultatet med 0.5, og til det fremkomne tal lægger 1. Funktionen f er defineret for alle reelle tal, dvs. ethvert tal på 1.aksen er 1.koordinat til et punkt på grafen for f. Ikke alle tal på.aksen er.koordinat til et punkt på grafen for f. De tal der er.koordinat til et punkt på grafen for f, udgør intervallet. Funktionen g er defineret for alle reelle tal, dvs. ethvert tal på 1.aksen er 1.koordinat til et punkt på grafen for g. Ikke alle tal på.aksen er.koordinat til et punkt på grafen for g. De tal der er.koordinat til et punkt på grafen for g, udgør intervallet. Skriv med symboler en ligning for hver af graferne: Ligning for grafen for f :. Ligning for grafen for g :. 15. I tabellen nedenfor er angivet værdien af funktionen for forskellige værdier 1 af. Tallene i tabellen tyder på at værdien af 4 + kan komme lige så tæt på 4 det skal være, hvis man vælger tilstrækkelig store værdier af. Opgaven fortsætter på næste side! Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 5 af 1 8/9-04 Karsten Juul

8 ,5 4,1 4,01 4,001 Vi kan indse at dette er rigtig: 1 Forskellen på 4 + og 4 er 1, og 1 er mindre end hvis er større end tusind, 1 er mindre end hvis er større end en million, osv. 1 Det at 4 + kan komme lige så tæt på 4 det skal være, hvis man vælger tilstrækkelig store værdier af, udtrykkes ved at sige at går mod 4 for gående mod. Med symboler skrives dette sådan: for. Bemærk at den første pil læses "går mod" og den anden pil læses "gående mod". 16. I tabellen nedenfor er angivet værdien af funktionen 1,01+ 0,93 for forskellige værdier af. Tallene i tabellen tyder på at værdien af 1,01+ 0,93 kan komme lige så tæt på 1 det skal være, hvis man vælger tilstrækkelig store værdier af ,01+ 0,93 1,706 1,494 1,13 1,011 Men dette er ikke rigtigt. For enhver værdi af vil værdien af 1,01+ 0,93 afvige mere end fra 1. Der gælder altså ikke at 1,01+ 0,93 går mod 1 for gående mod. Derimod gælder at 1,01+ 0,93 for. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 6 af 1 8/9-04 Karsten Juul

9 17. Funktionen er ikke defineret for lig da. Vi vil udregne funktionen for værdier af der ligger tæt ved 1. Vi begynder med værdier af der er mindre end 1: 0,4 0,7 0,9 0, 0,35 0,45 Disse værdier af funktionen er afsat som stolper nedenfor. Udfyld de tomme pladser i tabellen nedenfor og afsæt de fundne værdier af funktionen som stolper i koordinatsystemet ovenfor. 0,95 0,98 0,99 1 Det ser ud til at vi kan få værdien af så tæt på det skal være ved at vælge tilstrækkelig tæt på 1. For at undersøge om dette er rigtigt, vil vi først reducere udtrykket: ( ) = =. ( ) Ved hjælp af dette simplere udtryk for stolpehøjden indser vi følgende: Når er 0,1 mindre end 1, er stolpehøjden Når d er et lille positivt tal gælder: Når er d mindre end 1, er stolpehøjden mindre end 1. mindre end 1. Opgaven fortsætter på næste side! Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 7 af 1 8/9-04 Karsten Juul

10 For værdier af mindre end 1 gælder altså at vi kan få vilkårlig tæt på 1 ved at vælge tilstrækkelig tæt på 1. Dette udtrykkes ved at sige at 1 går mod for Med symboler skrives dette gående mod 1 fra venstre. 1 for 1 hvor det er minusset efter 1 der betyder "fra venstre". 18. Betragt stadig funktionen fra opgave 17. For værdier af større end 1 gælder at vi kan få vilkårlig tæt på ved at vælge tilstrækkelig tæt på 1. Dette udtrykkes ved at sige at går mod for gående mod 1 fra højre. Med symboler skrives dette + for 1 hvor det er plusset efter 1 der betyder "fra højre". 19. Funktionen fra de to foregående opgaver går mod både når går mod 1 fra, og når går mod 1 fra. Dette udtrykkes ved at sige at går mod for gående mod 1. Med symboler skrives dette for 1. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 8 af 1 8/9-04 Karsten Juul

11 0. Udregn nogle værdier af funktionen tomme pladser: 1 1 og gæt hvad der skal stå på de 1 1 for for Nedenfor er vist grafen for en funktionen f (). Grafen er en ret linje bortset fra at et af dens punkter er rykket et stykke op. Udfyld tabellen: : 4 4,5 4,9 5,1 5,5 6 f (): Når vi skal se på hvad f () går mod når går mod 5, skal vi ikke tage hensyn til hvad værdien af f () er når har værdien 5. Vi skal derimod finde det tal som f () er tæt på når er tæt på 5, men forskellig fra 5. f ( ) for 5. Når har værdien 5, har f () værdien. Udfyld tabellen: :,5,9 3,1 3,5 4 f (): For at kunne udfylde de tre følgende felter skal du sammenligne med de tre linjer under foregående tabel. Når vi skal se på hvad f () går mod når går mod 3, skal vi ikke tage hensyn til hvad værdien af f () er når har værdien. Vi skal derimod finde det tal som f () er tæt på når er tæt på, men forskellig fra. Opgaven fortsætter på næste side! Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 9 af 1 8/9-04 Karsten Juul

12 f ( ) for 3. Når har værdien 3, har f () værdien. Vi siger at f () er kontinuert i 3 da det tal f () går mod for gående mod 3 er lig værdien af f () når er 3. f () er ikke kontinuert i 5 da det tal f () går mod for gående mod 5 ikke er lig værdien af f () når er 5. Da f () er kontinuert i 3, har grafen ikke et spring ved det punkt der har førstekoordinat 3. Tallet "værdien af f () når er 5" kan skrives som et kort symboludtryk på følgende måde:. Ved at bruge dette udtryk kan betingelsen for at f () er kontinuert i 5, skrives sådan: f ( ) for 5.. Figuren viser grafen for en funktionen g () : Udfyld de tomme pladser: : 7 6,5 6,1 6 5,9 5,5 5 g () : Opgaven fortsætter på næste side! Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 10 af 1 8/9-04 Karsten Juul

13 Når går mod 6, så går g () mod, og g ( 6) =, så g () er ikke i da. : 1 1,5 1,9,1,5 3 g () : g () er ikke kontinuert i for når går mod fra, så går g () mod, og g () = og. : 5 5,5 5,9 6 6,1 6,5 7 g () : g () er kontinuert i 6 da g( ) g( ) for. 3. I koordinatsystemet nedenfor skal du tegne grafen for en funktion f som opfylder alle følgende betingelser: 1) f () går mod for gående mod 3 fra højre. ) f () har værdien 0 for lig 3. 3) f () går mod 0 for gående mod 3 fra venstre. + 4) f ( ) f (5) for 5. 5) f er ikke kontinuert i 5. 6) Der er kun to -værdier hvori f ikke er kontinuert. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 11 af 1 8/9-04 Karsten Juul

14 4. Et tal som en funktion går mod, kaldes en grænseværdi. For funktionen g() fra opgave gælder nedenstående. Man betegner tallet som g () går mod for gående mod 6 med symbolet lim g( ) 6 som læses græseværdien af g () for gående mod 6. Grænseværdien lim g( ) eksisterer ikke. Funktionen g () er kontinuert i 1 da lim g( ) 1 = g(1). lim 3 =. 4 + lim 3 =. I det følgende er f () funktionen fra opgave 1. lim 5 f ( ) = og lim f ( ) = 3. f (5) = og f (3) =. Hvis k = så er lim f ( ) f ( k) k, så f er ikke i. Tal, funktioner og grænseværdi, udg. Side 1 af 1 8/9-04 Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE

SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE SPØRGESKEMAUNDERSØGELSE Sådan ser du svarprocenten og rykker for eller tilbagekalder besvarelser I denne vejledning kan du læse, hvordan du kan følge arbejdspladsens svarprocent på spørgeskemaundersøgelsen

Læs mere

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold.

Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Start med at vælge hvilken afdeling der skal laves ændringer i f.eks. fodbold. Her ses da alle sider og undersider som siden fodbold indeholder. Nu kan du gå i gang med f.eks. at tilføje nye sider. Klik

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Kært barn har mange navne

Kært barn har mange navne Kært barn har mange navne 0: Hvilke af funktionsforskrifterne og teksterne herunder 1 y = x y = x y = x : x y = y = 0,5 x y = x y er det halve af x x er det halve af y y er det dobbelte af x 1: Hvilke

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort 9. juli 2014 Version 1.1 Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort Du kan altid se på forsiden af Mit3F, hvornår du skal indsende det næste dagpengekort. Du finder dagpengekortet på Mit3f ved at

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet

Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1

APV og trivsel 2015. APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 APV og trivsel 2015 1 APV og trivsel 2015 I efteråret 2015 skal alle arbejdspladser i Frederiksberg Kommune udarbejde en ny grundlæggende APV og gennemføre en trivselsundersøgelse.

Læs mere

Arduino kursus lektion 4:

Arduino kursus lektion 4: Arduino kursus lektion 4: I denne lektion skal vi bruge et digitalt termometer til at aflæse temperaturen! Herefter skal vi tænde 3 dioder som hver indikerer forskellige temperaturer! Opgave 1: Temperatursensor

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark Regn med tallene 1 Spil Væddeløbet Du skal bruge Kuber To terninger Arbejdsark 47 48 KG 2 Regn med lommeregner Du skal bruge Lommeregner Målebånd Stopur Vægt Arbejdsark 49 50 51 KG Værksted : Leg butik.

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG ØRESTAD PLEJECENTER

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG ØRESTAD PLEJECENTER BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG ØRESTAD PLEJECENTER Sundheds- og Omsorgsforvaltningen Brugerundersøgelse : Plejebolig 1 Brugerundersøgelse Plejebolig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling

Læs mere

Få mere synlighed! Vejledningshæfte

Få mere synlighed! Vejledningshæfte Få mere synlighed! Vejledningshæfte Vejledning Sådan kommer dit arrangement på OplevRudersdal.dk Dit arrangement kommer nemt og enkelt på www.oplevrudersdal.dk ved at du opretter dit arrangement på hjemmesiden.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-13.00 Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/b-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB

NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB NR. 66 VER. 2, LUDUS WEB DEN 15. DECEMBER 2011 INDHOLD Undervisningsbeskrivelser og studieplaner Grundbegreber Forskellige arbejdsgange Forløb først Forløb sidst Arbejde via skemabrikker (parallelle forløb)

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Kære Stine Damborg, Lone Langballe og Jens Rohde 02-11-15

Kære Stine Damborg, Lone Langballe og Jens Rohde 02-11-15 Jens Rohde (V), Lone Langballe (DF) og Stine Damborg (K) Viborg Byråd stdp@viborg.dk Ministeriet for Børn, Undervisning og Ligestilling Ministeren Frederiksholms Kanal 21 1220 København K Tlf. 3392 5000

Læs mere

Minutnormer og puljetimer Sidst opdateret 20-11-2009/version 1.0/UNI C/Jytte Michelsen og Steen Eske Christensen

Minutnormer og puljetimer Sidst opdateret 20-11-2009/version 1.0/UNI C/Jytte Michelsen og Steen Eske Christensen Minutnormer og puljetimer Sidst opdateret 20-11-2009/version 1.0/UNI C/Jytte Michelsen og Steen Eske Christensen Indhold Ændringer Centrale begreber Generelt Arbejdsgange Vejledningen består af 3 dele,

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Sikkerhedsstillelse ved overførsel af affald i EU-området (ikke-midlertidig-behandling)

Sikkerhedsstillelse ved overførsel af affald i EU-området (ikke-midlertidig-behandling) Sikkerhedsstillelse ved overførsel af affald i EU-området (ikke-midlertidig-behandling) I forordning 1013/2006 artikel 4, stk. 5 og i artikel 6 er der anført at der skal stilles en sikkerhedsstillelse

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD)

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Hvor finder jeg ServiceDesk?...2 Fanebladet Start Startside...3 Hvordan opretter jeg en ny opgave?...4 Hvordan laver jeg et skærmdump og får lagt det ind i min

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Folkeskolelever fra Frederiksberg

Folkeskolelever fra Frederiksberg Folkeskolelever fra Frederiksberg Analyse af 9. klasses eleverne 2008-2010 INDHOLD Indledning... 2 Status for uddannelse 1. oktober 2012... 3 Fuldført ungdomsuddannelse... 6 Igangværende ungdomsuddannelse...

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Vejledning til AT-eksamen 2016

Vejledning til AT-eksamen 2016 Sorø Akademis Skole Vejledning til AT-eksamen 2016 Undervisningsministeriets læreplan og vejledning i Almen Studieforberedelse kan findes her: http://www.uvm.dk/uddannelser/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner/fagpaa-stx/almen-studieforberedelse-stx

Læs mere

Bilag 19: Vejledende fortolkningsbidrag vedrørende regulering af takster

Bilag 19: Vejledende fortolkningsbidrag vedrørende regulering af takster Bilag 19: Vejledende fortolkningsbidrag vedrørende regulering af takster Model for indregning af overskud eller underskud i taksterne Overskud op til 5 procent kan overføres indenfor samme ledelsesområde/center.

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

penge, rente og valuta

penge, rente og valuta brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -

Læs mere

Folkesundhed Aarhus Dit Liv - Din Sundhed

Folkesundhed Aarhus Dit Liv - Din Sundhed Side 1 1. CPR-nummer - 2. Angiv din alder år 3. Dato for udfyldelse af skemaet - - 2 0 De følgende spørgsmål handler om rygning 4. Ryger du? (dette gælder også e-cigaretter og vandpibe), hver dag, mindst

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere