Delmængder af Rummet
|
|
- Jens Vestergaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion 2 2 Linjer Frihedsgrader Parameterfremstilling af linjer Planer Parametrisering af planer Normalvektor for en plan Ligning for en plan Kugler Tangentplaner Parametrisering af en kugle? Parameterkurver 11 6 Parametriserede flader 11
3 Resumé I dette dokument kigger vi på nogle forskellige delmængder af det tredimensionelle koordinatsystem: Linjer, Planer og Kugler. Vi ser på hvordan de kan beskrives og giver simple eksempler på hvad man kan gøre ved dem. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! side 1
4 1 Introduktion Velkommen i det tredimensionelle rum! Her er masser af plads til alle mulige forskellige delmængder. Vi skal se på nogle af de mest fundamentale af disse i dette dokument, nemlig linjer, planer og kugler. Forudsætninger For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer 1. Vi får både brug for prikproduktet og krydsproduktet og mange af de sætninger som gælder om dem. Men hvis ikke du gider at læse en masse teori om vektorer først, kan du klare dig med at slå disse ting op efterhånden som vi får brug for dem. 1 Læs om vektorer i rummet her. side 2
5 2 Linjer Det første objekt man kommer i tanker om at tegne i det tredimensionelle rum, som ikke bare er et punkt, er sandsynligvis en linje. Hvis bare man udpeger to forskellige punkter i rummet, så har man indirekte udpeget en linje, nemlig den der går igennem disse to punkter. Bemærk at vi med ordet linje altid mener ret linje. Hvis vi nogensinde vil tale om streger som kan bøje eller krumme, så vil vi bruge ordet en kurve i stedet for. 2.1 Frihedsgrader I planen kan alle linjer beskrives med en ligning af typen: ax + by = c hvor a, b og c er reelle tal. Hvis linjen ikke er lodret, kan man endda nøjes med ligninger af typen: y = ax + b hvor a er linjens hældningskoefficient og b er højden hvori linjen skærer y-aksen. Linjer i rummet kan desværre ikke beskrives ved hjælp af en enkelt ligning. En god intuitiv måde at forstå dette på er ved at bruge begrebet frihedsgrader 2 I det tredimensionelle rum har man tre frihedsgrader, forstået på den måde at man altid har tre uafhængige retninger at bevæge sig i. Hvis man opstiller en begrænsning af hvilket punkter der må bruges, i form af f.eks. en ligning som punkternes koordinater skal opfylde, så fjerner man en frihedsgrad. 2 Vi vil ikke kaste os ud i at definere dette begreb præcist, eftersom det faktisk er meget svært. I stedet vil vi gøre som man ofte gør i fysik og antage at alle ved hvad det betyder. side 3
6 Derfor vil en ligning som regel 3 beskrive en delmængde af rummet med 2 frihedsgrader. Det kunne f.eks. være en plan eller (overfladen af) en kugle som vi skal se på senere. Hvis man vil beskrive noget som kun har 1 frihedsgrad (som f.eks. en linje) kan man derfor vælge at gøre en af følgende to ting: 1. Opstille to ligninger, som hver fjerner en frihedsgrad. Vi skal senere se at dette svarer til at defineret to forskellige planer. Og linjen består dermed af de punkter som opfylder begge ligninger (dvs. skæringspunkterne mellem de to planer). 2. Starte fra den modsatte ende, idet vi ikke fortæller hvad et punkt i rummet skal opfylde for at være med, men i stedet fortælle præcis hvordan man fremstiller de punkter som er med. En sådan beskrivelse kaldes en parameterfremstilling. Når vi skal arbejde med planer vil du se at begge disse strategier kan være fordelagtige, alt efter hvad vi vil bruge beskrivelsen til. 2.2 Parameterfremstilling af linjer Den bedste måde at beskrive linjer i rummet på er altså ved at give en måde at producere punkterne på dem med en såkaldt parameterfremstilling. Først skal vi lige bruge et nyt begreb: Definition 1. Hvis L er en linje i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for L hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt på L, så peger den på et andet punkt på L. Med andre (mere upræcise) ord: Hvis v peger i en retning som er parallel med L. 3 Det er ikke en præcis regel. F.eks. beskriver ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 0 noget 0- dimensionalt, nemlig punktet (0;0;0). side 4
7 Nu er det så rigtig vigtigt at fange ideen: Vi vil lave en opskrift på hvordan samtlige punkter på linjen kan beregnes 4. Hvis man allerede kender et punkt på en linje og en retningsvektor for denne linje, så er det næsten oplagt at finde på sådan en opskrift: Hvis man indtegner retningsvektoren fra det punkt som vi kender i forvejen, så peger den ihvertfald på et punkt mere som ligger på linjen. Dette punkts koordinater er givet som vores kendte punkts koordinater plus retningsvektorens koordinater. Men hvis man skalerer retningsvektoren (altså ganger den med et reelt tal), så har vi en ny retningsvektor. Hvis vi skalerer med et negativt tal, så vender den bare den modsatte vej, men stadig parallelt med linjen. Kun hvis vi skalerer med nul, så kommer der ikke en retningsvektor ud af det, fordi det giver nulvektor. Ved at indtegne alle de skalerede retningsvektorer fra det punkt som vi kender i forvejen kan vi lave uendeligt mange andre punkter. Selv hvis vi bruger skaleringen med nul så fremkommer får vi bare det punkt vi havde fra starten. Ethvert punkt på linjen kan produceres på denne måde. Det er bare et spørgsmål om at vælge den rigtige skalering af retningsvektoren og lægge til punktet. Man skal have et billede i stil med figur?? i hovedet. Sætning 2. Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) R 3 4 Hvis du allerede kender til begrebet vektorfunktioner, så lyder dette som en opgave for lige præcis en vektorfunktion. Men eftersom vektorfunktioner i rummet er en (meget gennemskuelig) hemmelighed i gymnasiematematik vil vi krybe uden om at tale om vektorfunktioner, og holde os til begrebet en opskrift. side 5
8 og v = a b c V 3 så udgør punkterne givet ved koordinaterne: x y z = x 0 y 0 z 0 + t a b c, t R den linje som går gennem P og har v som retningsvektor. Allerede med linjer kan man finde på mange forskellige spørgsmål. Det skal vi lige se et par eksempler på. Eksempel 1. Lad os starte med punkterne: og P = (3;4;7) Q = ( 1;18;4) Der findes præcis en linje som går igennem disse to punkter, og vi kan nemt finde en parameterfremstilling for den. Det eneste vi skal bruge er en retningsvektor for den, og det kan findes som den forbindende vektor: r = PQ = = Dermed er punkterne på linjen givet ved parameterfremstillingen: x y z = t side 6
9 (Bemærk at den samme linje har uendeligt mange andre parameterfremstillinger. F.eks. kunne vi sagtens have brugt Q s koordinater som den første vektor, og vi kunne have brugt QP eller en hvilken som helst skalering af den som retningsvektor.) 3 Planer 3.1 Parametrisering af planer 3.2 Normalvektor for en plan 3.3 Ligning for en plan 4 Kugler Sætning 3. Hvis og så P = (a;b;c) R 3 r R 4.1 Tangentplaner Hvis man kender et punkt på en kugle, så er det nemt at finde en beskrivelse af kuglens tangentplan i dette punkt: Eksempel 2. Lad os sige at vi har gang i kuglen med ligningen: (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z + 3) 2 = 9 side 7
10 Altså den kugle som har centrum i punktet og radius C = (2;1; 3) R = 3 Det er ikke svært at se at punktet: P = (4; 1; 4) ligger på kuglen. Lad os finde en beskrivelse af tangentplanen i dette punkt. For det første må P være et punkt i denne plan. Og for det andet må vektoren som går fra centrum ud til P være en normalvektor for denne plan. Vi har altså en normalvektor n givet ved: n = C P = ( 3) = Dermed er tangentplanen givet ved ligningen: 2 (x 4) 2 (y ( 1)) 1 (z ( 4)) = 0 eller omskrevet: 2x 2y z 10 = Parametrisering af en kugle? Så er vi nået til det punkt hvor forfatteren går i selvsving. Hvis du har svært ved at følge med til dette afsnit, så er det ikke noget problem at stoppe med at læse lige her. Hvis du alligevel hænger på, så lover jeg at det bliver sjovt og spændende. Kan vi mon producere overfladen af en kugle med en parameterfremstilling i stedet for at beskrive den med en ligning? Dette spørgsmål side 8
11 opstår nogle gange når man sidder med et af de sjældne grafprogrammer som kan tegne tredimensionelt, hvis de f.eks. ikke tillader at beskrive delmængder ved hjælp af ligninger 5. Svaret er heldigvis ja, men vi skal være lidt kreative. Her er en ide som virker. Vi vil parametrisere enhedskuglen, men det er ret nemt at ændre til alle andre kugler. Vi vil lade den ene parameter, s, løbe fra 1 til 1, og forestille os at dette angiver et punkt på x-aksen. Til hver værdi af s vil vi så lade den anden parameter, t, styre os igennem en cirkelbevægelse som foregår i y z-retningerne omkring det aktuelle punkt på x-aksen, og med den rigtige radius. Det ser sådan her ud: x y z = s r cos(t) r sin(t), s [ 1;1], t [0;2π] Det eneste som vi mangler er at indse hvordan den rigtige radius afhænger af de to parametre. Det kan man indse hvis man forestiller sig at det aktuelle punkt på x-aksen (med koordinaterne: (s;0;0)) som vi tegner en cirkel omkring indgår i en retvinklet trekant. Nemlig den trekant som opstår hvis hvis først vi tegner en kant fra origo ud til punktet på x-aksen. Denne kant har længden s. Derfra fortsætter vi vinkelret ud (f.eks. lodret opad) indtil vi møder kuglen. Denne kant har længden r den rigtige radius. Til sidst tegner vi en kant tilbage til origo. Denne har længde 1, fordi den er en radius i enhedskuglen. Nu siger Pythagoras at: s 2 + r 2 = 1 2 dvs. r = 1 s 2 5 Det er ret ofte tilfældet ikke fordi programmøren har været ond, men fordi det faktisk er en kollosal beregning for computeren at finde de punkter i rummet som opfylder en given ligning. side 9
12 (Vi valgte den positive løsning fordi radius bør være positiv). Nu er det blot at indsætte denne viden i parameterfremstillingen: x y z = s 1 s2 cos(t) 1 s2 sin(t), s [ 1;1], t [0;2π] Det er ganske nydeligt, men hvis man tænker lidt over det, så er der en enkelt detalje som måske virker irriterende: Når s = ±1, svarende til at vi står ude i de alleryderste punkter på kuglen på x-aksen, så kører vi rundt på en cirkel med radius nul. Med andre ord: Vi får det samme punkt frem uanset hvad vi sætter den anden paramter, t til at være. Dette virker som temmeligt meget spild af gode parametre, ikke? Man kunne så spørge om kugleoverfladen kunne parametriseres mere elegant. Dermed vi snuser vi faktisk til en meget dybsindig (og meget flot) sætning, som vi desværre ikke har magt nok til at bevise på dette niveau. Men den er nem nok at forstå: Sætning 4. Der findes ikke nogen (kontinuerte) parametriseringer af kugler i rummet, hvor hvert punkt gennemløbes præcis 1 gang, og hvor begge parametre kan tage alle værdier inden for et lukket interval. Eksempel 3 (Lidt om computerspil). Den foregående sætning kan faktisk blive enormt relevant i praksis. Lad os forestille os at vi er i gang med at programmere et computerspil, hvor spillerne skal styre et eller andet som bevæger sig på overfladen af en kugle. Dermed har vi brug for hele tiden at holde styr på hvilket punkt på kuglen en spiller befinder sig i. Det gør man i praksis ved at lave en eller anden form for koordinater dvs. nogle talvariable som tilsammen angiver en entydig position på side 10
13 kuglen. Et oplagt valg kunne være længdegrad og breddegrad sådan som man f.eks. gør med GPS-koordinater på jordoverfladen. Men det har en irritende bivirkning som minder meget om problemerne vi så ovenover; Nemlig at når man befinder sig på nordpolen eller sydpolen, så kan breddegradskoordinaten ændre sig uden at man flytter sig. Dette kan føre til mange besværligheder i praksis. F.eks. kan man ikke se om to spiller er kørt ind i hinanden alene ved at undersøge om begge deres koordinater er ens. Et andet (og værre) problem kommer når man gerne vil lave en måde at styre på, som fungerer ens uanset hvorhenne man befinder sig. Vi skal slet ikke gå ind i detaljerne om disse problemer her, men blot afsløre at det hænger nøje sammen med en masse spændende matematik som hedder topologi. Og sætningen ovenover er et eksempel på et resultat fra denne gren af matematikken. 5 Parameterkurver 6 Parametriserede flader side 11
Delmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 4. marts 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereGode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen
Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTeknologi & Kommunikation
Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige
Læs mereNår mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet
Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereBogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45
Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,
Læs mereRUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83
RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs merePartikelbevægelser i magnetfelter
Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5
Læs merehttps://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf
Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereLøsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner
Læs mereTil underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.
Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt 3. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.
Læs mereIkke-lineære funktioner
I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereKursusmappe. HippHopp. Uge 29: Nørd. Vejledning til HippHopp guider HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1
Uge 29: Nørd Vejledning til HippHopp guider Kursusmappe Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 29 Nørd side 1 HIPPY HippHopp uge_29_guidevejl_nørd.indd 1 06/07/10 10.42 Denne vejledning er et supplement
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereBilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014.
Bilag 14: Transskribering af interview med Anna. Interview foretaget d. 20. marts 2014. Anna er 14 år, går på Virupskolen i Hjortshøj, og bor i Hjortshøj. Intervieweren i dette interview er angivet med
Læs mereTranskribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds..
Transkribering af interview, Christian A: Og oprindeligt tror jeg, at vi måske havde mest lyst til at trække det op på sådan et samfunds.. Sådan, hvad skal vi overhovedet bruge uddannelse til, og hvad
Læs mereMiniguide for oplægsholdere
Miniguide for oplægsholdere Intro Vi har lavet den her miniguide, som en hjælp til dig i din fremtidige rolle som oplægsholder. Guiden er din værktøjskasse og huskeliste. Den samler alt det, vi gennemgår
Læs merePotens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder
Læs mereHøjdekurver set fra to sider
Højdekurver set fra to sider Hvis ækvidistancen er 5 meter, er der 5 meters højdeforskel mellem hver stiplet linje på tegningen nedenfor. De steder, hvor højdekurverne ligger tæt på hinanden, er der meget
Læs mereBilag 4: Transskription af interview med Ida
Bilag 4: Transskription af interview med Ida Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet i grove træk handler om, anonymitet, og at Ida til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål hun
Læs mereAreal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO
Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereOpgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:
Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereBilag F - Caroline 00.00
Bilag F - Caroline 00.00 Benjamin: Så det første jeg godt kunne tænke mig, det var hvis du kunne fortælle mig om en helt almindelig hverdag hvor arbejde indgår. Caroline: Ja. Jamen det er jo fyldt med
Læs mereGo On! 7. til 9. klasse
Go On! 7. til 9. klasse Fra skoleåret 2013 / 2014 Introduktion til linjer Alle er genier. Men hvis du dømmer en fisk på dens evne til at klatre i træer, vil den leve hele sit liv i den tro, at den er dum.
Læs mereProgrammering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C
Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion
Læs mereDet gode personalemøde og arbejdspladskulturen
TEMA Stress Tekst indsættes Det gode personalemøde og arbejdspladskulturen Værktøj nr. 6 i serien Vi finder os ikke i stress! Værktøj nr. 6 i serien Vi finder os ikke i stress! Personlige strategier mod
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereProjekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner
Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),
Læs mereLille Georgs julekalender 08. 1. december
1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken
Læs mereVejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet
Vejledning til Uddannelsesplan for elever i 10. klasse til ungdomsuddannelse eller anden aktivitet Om uddannelsesplanen Uddannelsesplanen er din plan for fremtiden. Du skal bruge den til at finde ud af,
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mere2. Funktioner af to variable
. Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum
Læs mereLæsning og skrivning i 3. og 4. klasse
Læsning og skrivning i 3. og 4. klasse Center for Skoler og Dagtilbud FAKTA Læse- og skriveudvikling De fleste børn kan i starten af 3. kl. læse og forstå lette aldersvarende tekster, dvs. tekster, hvor
Læs mereInterview med O, bilag 1
1 Interview med O, bilag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Øhm PP første spørgsmål er O: mmm hvor længe har du benyttet second life O: ja hvad var det PP det var ikke længe efter att at du kom og interviewede P eller
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs mereEn mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB
En mini e-bog til dig fra Aros Business Academy 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB 7 FEJL DU IKKE MÅ BEGÅ, NÅR DU SØGER JOB Kan du svare klart på alle 7 spørgsmål i den her bog? Hvis ikke, så begår
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs merePinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298
Pinsedag Joh. 14,15-21; Jer. 31,31-34; Apg. 2,1-11 Salmer: 290, 300, 283-291,292 (alterg.), 298 Lad os bede! Kære hellige ånd, tak fordi Du er hos os som vor ledsager gennem livet. Vi beder dig: bliv hos
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereMatematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte
Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mere