SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET"

Transkript

1 Kapitel 11 SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET Torben Obel Sonnenborg og Karsten Høgh Jensen Geologisk Institut, Københavns Universitet Nøglebegreber: Geostatistik, effektive parametre, skalaafhængighed opskalering, variabilitet i trykniveau, nøjagtighedskriterier. ABSTRACT: Ved opstilling af grundvandsmodeller er det afgørende for opnåelse af en troværdig model, at størrelsen og variationen af det hydrauliske trykniveau specificeres korrekt. Det er derfor nærliggende at udnytte tilgængelig information om målinger af hydraulisk trykniveau, når modellen parametriseres. Det kan imidlertid være problematisk at anvende målte værdier af hydraulisk ledningsevne direkte i modellen, da den hydrauliske ledningsevne er skalaafhængig. Kapitlet præsenterer resultater fra litteraturen, der dels dokumenterer denne skalaafhængighed, dels fremkommer med en mulig model for den hydrauliske ledningsevnes afhængighed af skalaen. Desuden anvises der metoder til beregning af den effektive hydrauliske ledningsevne baseret på enkeltmålinger, hvor den effektive ledningsevne er den homogene værdi af hydraulisk ledningsevne der resulterer i den mest korrekte reproduktion af strømningen i et grundvandsmagasin, hvor småskalaheterogeniteterne ikke eksplicit beskrives i modellen. Endelig præsenteres en metode, hvorpå størrelsen af afvigelserne mellem observeret og simuleret trykniveau, som skyldes ikke modelleret heterogenitet, kan estimeres. Denne information er vigtig i forbindelse med opstilling af nøjagtighedskrav til grundvandsmodellen, idet heterogenitet som der ikke er gjort rede for eksplicit i modellen vil give anledning til en signifikant del af den samlede forventede afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau INDLEDNING Geologisk heterogenitet har afgørende indflydelse på simulering af både grundvandsstrømning og transport. Det er f.eks. velkendt, at jo større heterogenitet et grundvandsmagasin er karakteriseret ved, des sværere er det at opnå god overensstemmelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Desuden vil spredningen af opløste blive større med stigende heterogenitet. Der kan differentieres mellem forskellige typer af heterogenitet, og i det efterfølgende vil det generelt blive antaget, at det er heterogeniteten indenfor facies, der analyseres. Variabiliteten i geologiske enheder antages at kunne karakteriseres vha. indikator-baserede statistiske metoder (f.eks. T-Progs, Carle & Fogg, 1997), men da der i praktiske problemstillinger normalt er foretaget en geologisk analyse, hvor de dominerende facies er identificeret og kortlagt, vil der her blive fokuseret på at karakterisere variationen i hydrogeologiske parametre indenfor de enkelte hydro-facies. Indenfor grundvandshydrologi beskrives heterogeniteten vha. nogle hydrauliske parametre, hvor den hydrauliske ledningsevne, K, er den dominerende. Darcy s lov beskriver sammenhængen mellem K og det hydrauliske trykniveau. Når K varierer, vil gradienten dh/dx alt andet lige også variere. For at kunne genskabe de observerede variationer i den hydrauliske gradient, er det nødvendigt at kunne reproducere et realistisk billede af fordelingen af K. Det kræver imidlertid information om, hvordan K varierer rumligt i grundvandsmagasinet, og denne information er normalt ikke til stede. Derfor må man ofte modellere et heterogent grundvandsmagasin som et effektivt medium, hvor K antages at være homogen. Herved introduceres uvilkårligt fejl, og disse fejl vil resultere i modellens manglende evne til at genskabe et nøjagtigt billede af det hydrauliske trykniveau i det pågældende magasin (såkaldt prediktionsfejl). Størrelsen af prediktionsfejlen afhænger naturligvis af, hvordan den geologiske heterogenitet er fordelt i grundvandsmagasinet. 11-1

2 Det er derfor vigtigt at kvantificere den geologiske heterogenitet både mht. karakter og størrelsen. Til dette formål anvendes normalt traditionelle statistiske redskaber, hvor størrelser som f.eks. middelværdi og varians af den hydrauliske ledningsevne bestemmes. For at beskrive den rumlige karakter af den geologiske heterogenitet benyttes geostatistik, hvorved det er muligt at kvantificere, hvordan K varierer rumligt. Erfaringsværdier fra danske grundvandsmagasiner mht. kvantificering af den geologiske heterogenitet er relativt begrænset. Det er gennemført nogle få undersøgelser i forbindelse med punktkildeforureninger, hvor den rumlige fordeling af den hydrauliske ledningsevne er velbestemt. På oplandsskala er der imidlertid sparsomt med litteratur om, hvordan K varierer. Det er imidlertid vigtigt at opnå erfaringsværdier for den geologiske heterogenitet på forskellige skalaer, da heterogeniteten afhænger af skalaen. På poreskala vil de enkelte korn have forskellig størrelse og dermed vil åbningerne, hvor igennem vandet kan strømme, være forskellige, hvilket resulterer i variation i strømningshastighed og retning. På lidt større skala vil der indenfor en given geologisk enhed, f.eks. sand, kunne findes forskellige fraktioner af sandet (finsand, mellemsand, grovsand), som vil give anledning til forskellige K-værdier. For endnu større skala vil heterogeniteten være domineret af kontrasterne mellem forskellige geologiske formationer, f.eks. moræneler og smeltevandssand. Det er derfor vigtigt at tage skalaen, hvorpå man arbejder, med i betragtning. Det gælder også i forbindelse med målinger af f.eks. den hydrauliske ledningsevne, som vil være afhængig af jordvolumenet, der inddrages i målingen (f.eks. slugtest, korttidsprøvepumpning, langtidsprøvepumpning). I det følgende vil de ovenstående problemstillinger blive beskrevet i flere detaljer. Efterfølgende vil sammenhængen mellem størrelsen af den geologiske heterogenitet og evnen til at simulere et sådant heterogent magasin blive beskrevet. De mere teoretiske udledninger og resultater vil blive illustreret gennem relativt simple eksempler, hvor effekten af den geologiske heterogenitet vil blive kvantificeret. 11. GEOSTATISTISK KARAKTERISERING AF GEOLOGISKE HETEROGENITET En af de mest anvendte metoder til karakterisering af geologisk heterogenitet er geostatistik, som er udviklet til at beskrive den rumlige struktur af naturlige variable såsom hydrogeologiske parametre. Grundlæggende betragter geostatistikken observerede værdier af geologiske parametre som realisationer af en stokastisk proces. Den pågældende variabel eller parameter er derfor en stokastisk variabel Y, med middelværdi µ Y og varians Y. Y E (11.1) Y Y E Y Y Y Var (11.) Den hydrauliske ledningsevne K har i praksis ofte vist sig at følge en log-normalfordeling (Hoeksema & Kitanidis, 1985). Derfor vil variablen Y = lnk være normalfordelt, og da en normalfordelt variabel er fuldkommen karakteriseret ved dens middelværdi og kovariansfunktion foretages transformationen Y = lnk i praksis næsten altid. Den rumlige variabilitet kan beskrives vha. autokovariansfunktionen Cov{Y(x), Y(x+h)}, hvor h er forskydningsvektoren, hvis størrelse svarer til afstanden mellem to steder, hvor Y evalueres. Autokovariansfunktionen Cov{Y(x), Y(x+h)} = Cov{x,h} er givet ved Cov x h EY ( x) Y ( x h), (11.3) Y Y Autokovariansfunktionen beskriver, hvordan Y varierer i rummet relativt til sig selv. Jo større kovariansværdi, des større korrelation. Hvis Cov{x,h} = 0 er der ingen korrelation mellem Y i punkterne x og x+h, mens der for Cov{x,h} = Y er en perfekt korrelation mellem Y i punkterne x og x+h. Hvis µ Y er konstant, siges Y at være første ordens stationær. Hvis også Cov{x,h} er konstant, dvs. ikke varierer med x, er Y også anden ordens stationær og Cov{x,h}=Cov{h}. Den rumlige korrelationsstruktur kan alternativt beskrives vha. semi-variogrammet (h) 11-

3 1 1 ( h) VarY x Y x h E Y ( x) Y ( x h) (11.4) som er et mål for den kvadrerede forskel på observationer som funktion af afstanden mellem observationer. For en given afstand h = h 1, vil øges med stigende forskel mellem værdierne af Y i hhv. lokaliteten x og x+h 1. Hvis der antages anden orden stationaritet gælder følgende sammenhæng mellem semi-variogrammet og autokovariansfunktionen, (h) = Cov(0) Cov(h), hvor Cov(0) = Y. semi-variogrammet går med andre ord fra (0) = 0 til (h) = Y. Variogrammet estimeres ud fra målinger af K (eller transmissiviteten T), som antages at være tilgængelig i et antal der gør en statistisk analyse meningsfuld. I praksis defineres et antal klasser af afstande, f.eks. 0-1 km, 1- km, osv. For hvor klasse vil der findes N 1 par af observationer, der ligger med en indbyrdes afstand svarende til den pågældende klasse. Den gennemsnitlige afstand mellem observationspar i den pågældende klasse beregnes (h 1 ), og middelværdien af ½(Y i -Y j ) beregnes og plottes mod den gennemsnitlige afstand h 1. På figur 11.1 ses et eksempel på et eksperimentelt variogram. Siden det er formålet med en geostatistisk analyse at uddrage information om de hydrogeologiske parametres struktur, er det hensigtsmæssigt at tilpasse en matematisk model til det eksperimentelle variogram. Der findes en række forskellige model-variogrammer, men her vil kun den mest almindeligt anvendte indenfor hydrogeologien blive præsenteret, det såkaldte eksponentielle semivariogram h *( h) a1 a 1 exp, h 0 (11.5) hvor a 1 er nugget effekten, som kan skyldes diskontinuitet i semivariogrammet for h = 0 og/eller småskalavariabilitet, som ikke fanges på den undersøgte skala. F.eks. vil K-observationer baseret på prøvepumpningsresultater ikke kunne kvantificere variabiliteten på en skala mindre end influensradius for prøvepumpningerne. a 1 + a kaldes for sill og betegner variogramværdien for store afstande, hvor der ikke nogen korrelation i data (a 1 + a = Y ). Afstanden, hvor sill nås, betegnes range, som er lig 3. angiver korrelationslængden, som er den afstand, hvor korrelationen er lig e Kvalitativt kan korrelationslængden betragtes som den afstand indenfor hvilken der er stærk korrelation mellem K-værdier, mens range angiver den afstand, udenfor hvilken K ikke længere er korreleret. På figur 11.1 ses en geostatistisk analyse af hydraulisk lednings-evnedata bestemt ud fra prøvepumpningstests i Danien-kalken i et område på Østsjælland. Korrelationslængden er bestemt til = 410 m, svarende til at data stort set er ukorrelerede for afstande større end h = 3 = 130 m. Da nugget effekten er nul, svarer sill til variansen på K, som kan aflæses til m /s. Standard afvigelsen er dermed givet ved K = m/s. 11-3

4 8.0E-08 Semivariogram (m /s ) 6.0E E-08.0E E Afstand, h (m) Figur 11.1 Semivariogram-analyse af hydraulisk ledningsevne. Punkterne angiver det eksperimentelle variogram. Det eksponentielle model-variogram har følgende parametre: Korrelationslængde = 410 m, sill = m /s. Da nugget effekten er lig nul er sill = K. Det skal nævnes, at der kan forekomme anisotropi i variogrammet, dvs. at der opnås forskellige resultater, hvis der foretages en retningsspecifik analyse. Der vil i det tilfælde kunne estimeres korrelationslængder i tre principale retninger, 1, og 3. Pga. lagdeling vil der ofte kunne antages isotropi i horisontal retning ( 1 = ), mens der vil være forskel på korrelationslængderne i horisontal og vertikal retning ( 1 = 3 ), hvilket data præsenteret i det efterfølgende afsnit vil illustrere OBSERVATIONER AF GEOLOGISKE HETEROGENITET Gelhar (1993) har samlet et stort datasæt om de geostatistiske egenskaber for hydrauliske parametre, se tabel 4.1. Standardafvigelsen på lnk (eller lnt) falder generelt i intervallet 0.5 Y.5, og der ses ikke nogen tendens til, at Y er skalaafhængig, se figur 11.. Korrelationslængderne i specielt horisontal retning varierer meget. For transmissivitetsdata findes korrelationslængder i størrelsesorden 10 til 10 4 m, mens der for infiltrationsundersøgelserne og lokale tre-dimensionale aquiferundersøgelser findes meget mindre horisontale korrelationslængder, typisk i størrelsesorden 10 m. Den statistiske anisotropi (forholdet mellem horisontal og vertikal korrelationslængde) ligger hovedsageligt i intervallet 10 40, hvilket er et udtryk for mere eller mindre grad af lagdeling i de undersøgte aflejringer. 11-4

5 Tabel 11.1 Standard afvigelse og korrelationslængde for lnk (eller lnt) for en række formationer (fra Gelhar, 1993). Medium Korrelationslængde Skala for undersøgelse Y (m) (m) (m) Horisontal Vertikal Horisontal Vertikal Transmissivitetsdata (dybdeintegrerede observationer baseret på pumpetests) Alluvialt magasin Alluvialt magasin Alluvialt bassin Alluvialt magasin Alluvialt bassin Kalkmagasin Kalkmagasin Sandstensmagasin Skrivekridtsmagasin Sandstensmagasin Jord (baseret på observationer af infiltrationsrater på jordoverfladen) Alluvialt silt-ler blandet jord Shale underjord 0.8 < 14 Prærie jord Rød middelhavs jord Alluvial jord Fluvial jord Groft sandblandet lerjord Tre-dimensionale aquiferdata Fluvialt sand 0.9 > Glacial-lacustrine sand magasin (Borden, Canada) Glacial smeltevandsaflejring (Cape Cod, USA) Glacial smeltevandsaflejring Eolisk sandstensblotning Fluvialt sand og grus magasin (Columbus, USA) Sand og grus aflejring Sandstensmagasin

6 De horisontale korrelationslængder har tendens til at være skalaafhængige. Dette ses tydeligere på figur 11., hvor hhv. standardafvigelsen og korrelationslængden er plottet mod undersøgelsesskalaen. Korrelationslængderne følger pænt den indlagte rette linie, som svarer til at korrelationslængden er lig 1/10 af undersøgelsesskalaen. Gelhar (1993) forklarer denne skalafhængighed i korrelationslængden med, at der på forskellige skalaer findes forskellige typer af heterogenitet, som hver vil resultere i en sill-værdi i en geostatistisk analyse, se figur Med øget skala vil der typisk blive integreret over flere typer af heterogenitet. F.eks. vil det på regional skala ( km) være forskellen mellem facies (f.eks. smeltevandssand og marint aflejret sand), der dominerer en analyse af heterogeniteten, mens det på lokal skala ( m) vil være heterogeniteten indenfor facies, der er afgørende. Antallet af danske undersøgelser af den geostatistiske fordeling af den hydrauliske ledningsevne er begrænset. I tabel 11. er en række data samlet. Y Figur 11. Standardafvigelse og korrelationslængde for lnk afbildet mod undersøgelsesskala for data fra tabel 11.1 (fra Gelhar, 1993). Figur 11.3 Mulig model for korrelations-længdens skalaafhængighed (fra Gelhar, 1986). 11-6

7 Tabel 11. Standardafvigelse og korrelationslængder for danske formationer. Medium Korrelationslængde Skala for undersøgelse Y (m) (m) (m) Horisontal Vertikal Horisontal Vertikal Transmissivitetsdata (dybdeintegrerede observationer baseret på pumpetests) Danien-kalk* Jord (permeametertest på 100 cm 3 prøver) Morænelandskab, Tåstrup (Hansen et al., 1986) 1.9 < Alluvial smeltevandsaflejring, Jyndevad (Hansen et al., 1986) Tre-dimensionale aquiferdata (baseret på slug tests) Vestskoven** (Christiansen, 1998) Glacial smeltevandsaflejring, Vejen (Højberg, 001) Glacial smeltevandsaflejring, Vejen (Bjerg et al., 199) Glacial smeltevandsaflejring, Grindsted (Petersen, 000) * Baseret på transmissivitetsdata i Greve-området. ** K værdier baseret på kornstørrelsesanalyser af jordprøver SKALA-FORHOLD I HYDRAULISK LEDNINGSEVNE Detaljerede undersøgelser af den hydrauliske ledningsevnes skalaafhængighed er først blevet gennemført for relativt nyligt (f.eks. Bradbury & Muldoon, 1990; Rovey & Cherkauer, 1995; Shculze-Makuch & Cherkauer, 1998). Disse undersøgelser viser, at K varierer med måleskalaen, og at der er en generel tendens til, at K øges med stigende skala, se figur Figur 11.4 Den hydrauliske ledningsevnes skalaafhængig for to geologiske medier (Bradbury & Muldoon, 1990). 11-7

8 Den samme tendens er konstateret i en dansk undersøgelse af morænelersaflejringer ved Ringe på Fyn (Nilsson et al., 001). Fredericia (1990) sammenligner mættet hydraulisk ledningsevne bestemt ved forskellige laboratorium- og felt-metoder for danske moræneaflejringer, og finder en lignende trend, som tilskrives tilstedeværelsen af sprækker. Schulze-Makuch & Cherkauer (1998) har vist, at skalaafhængigheden ikke skyldes måle-metoderne, der anvendes på forskellige skalaer (f.eks. slug test, prøvepumpningstest), men er en reel fysisk egenskab ved heterogene medier. Følgende type model er blevet foreslået til beskrivelse af K s afhængighed af skala (Neuman, 1994; Shculze- Makuch, 1999) K m cv, V Vm (11.6) hvor V er volumenet af geologisk materiale, der er inkluderet i målingen, m er en skaleringseksponent og c er en konstant, der teoretisk set beskriver den hydrauliske ledningsevne for V=0, dvs. en punktmåling. Prøvevolumenet for de enkelte metoder, der anvendes til karakterisering af hydraulisk ledningsevne, er anført i tabel Sánchez-Vila et al. (1996) har forslået en teori, der forklarer, hvorfor den hydrauliske ledningsevne stiger med skalaen, hvorpå der måles. De anfører, at skalaeffekterne i de fleste tilfælde skyldes tilstedeværelsen af høj-permeable zoner, der er forbundet med hinanden. I opsprækkede medier udgøres de høj-permeable zoner af sprækkerne, som via skæringer mellem sprækkeplaner kan være forbundet over store afstande. I porøse medier forventer Sánchez-Vila et al. at eksistensen af højpermeable zoner er mere reglen end undtagelsen. Som eksempel henviser de til Fogg (1990), der beskriver et fluvialt aflejringsmiljø som bestående af en lav-permeabel matrix med et høj-permeabelt sandet kanalnetværk indbygget, se figur Generelt forventer forfatterne derfor, at fluviale aflejringssystemer vil have høj-permeable zoner, der er forbundet langs palaeokanalerne, som pga. deres natur vil være velforbundne. Punkt-målinger af K fra systemet vist i figur 4.3 kan meget vel vise Tabel 11.3 Udregning af prøvevolumen for forskellige målemetoder (efter Schulze-Makuch et al., 1999). Test metode Volumen, V Permeameter V s Piezometer test (slug test) V w /n e Pakker test V w /n e Specifik kapacitets test Qt/n e Prøvepumpningstest Qt/n e Tracer test V p /n e Infiltrationstest L f L t B Numeriske strømningsmodeller L f L t B V s er volumenet af prøven V w er volumenet af vand tilført eller fjernet n e er den effektive porøsitet Q er pumperaten t er tiden V p er volumenet af fjernet til tiden, hvor den advektive front ankommer L f er strømningsafstand L t er transversal spredningsafstand (=L f /10) B er tykkelsen af den geologiske enhed sig at være log-normalfordelte, men korrelationsstrukturen kan ikke beskrives ved et enkelt variogram. Høje K-værdier vil have større korrelationslængder end lave K-værdier, og variogrammet vil derfor afhænge af K, = (h,k). Sánchez-Vila et al. (1996) viser i D numeriske eksempler, at den effektive hydrauliske ledningsevne er større end den geometriske middelværdi i heterogene K-felter med høj grad af konnektivitet af de høj-permeable zoner. Schulze-Makuch & Cherkauer (1998) forklarer skalaafhængigheden i prøvepumpningstests med den konceptuelle model vist i figur Den største del af modelområdet udgøres af et relativt lav-permeabelt materiale, hvori der er indlejret nogle højpermeable zoner. I et sådant system er det mest sandsynligt, at en tilfældigt placeret boring er filtersat i den lav-permeable matrix, som illustreret med boring P1 i figur I starten af prøvepumpningstesten måles en lav hydraulisk ledningsevne, men efter et stykke tid inkluderer indvindingsoplandet også nogle højpermeable zoner (som eventuelt er forbundet i et tre-dimensionalt netværk). Den målte hydrauliske ledningsevne vil derfor stige, når større volumener af magasinet påvirkes af indvindingen. 11-8

9 Figur 11.5 Konturplot af sandindholdet i et område i Texas. De mørkskraverede områder udgør høj-permeable velforbundne områder. Fra Fogg (1990). Figur 11.6 Konceptuel model for heterogenitet i porøse medier. De højpermeable zoner kan være forbundet i den tredje dimension (fra Schulze- Machus & Cherkauer, 1998). 11-9

10 I en omfattende analyse af målinger af den hydrauliske ledningsevne fra 39 forskellige formationer fandt Schulze-Makuch et al. (1999) frem til følgende parametre for forskellige typer af hydrogeologiske medier, se tabel Tabel 11.4 Middelværdier af parametre i relationen (4.6) baseret på eksperimentelle data. N angiver antallet af undersøgte geologiske formationer. c angiver K for V 1 m 3 (fra Schulze-Makuch et al., 1999). Nr. Type N m c (m/s) V m (m 3 ) 1 Heterogent porøst medium >1 - >10 5 Dobbelt-porøst medium > Sprække-strømning > Kanal-strømning > >10 9 Type 1 medium dækker over ukonsoliderede sandaflejringer samt konsoliderede bjergarter som f.eks. dolomit. Type medier inkluderer ukonsoliderede bjergarter såsom opsprækket moræneler og heterogene aflejringer med veludviklede lag og linser af sand. Desuden konsoliderede bjergarter som lagdelte dolomitter, packstone, samt kalk med tynde mergellag. Type 3 medier repræsenterer opsprækkede, konsoliderede bjergarter med lav matrix porøsitet og permeabilitet som shales, mudstones og krystallint dolomit. Type 4 medier inkluderer konsoliderede karbonatbjergarter, hvor sprækkerne kan være blevet udvidet af f.eks. opløsningsprocesser, så der opstår kanaler i sprækkerne. Prøvepumpningstest i denne type af hydrologisk medium udviser, ligesom type 3 medier, et retliniet trykrespons i et log-log plot. Figur 11.7 Eksempler på skala-afhængigheden for porøst medium facies samt de tilhørende modeller af typen givet ved ligning (4.5). Fra Schulze-Makuch & Cherkauer (1998). Analysen af skalaafhængigheden viser, at for porøse, ikke-opsprækkede, medier er m 0.5 (se figur 11.7), mens den for medier domineret af sprække-strømning er tæt på 1.0. For de dobbeltporøse medier findes en værdi midt imellem på ca For hver enkelt type af medium er m uafhængig af den geologiske aflejrings variabilitet, f.eks. udtrykt ved variansen på lnk ( Y ). Værdien af m er ligeledes uafhængig af, om der er tale om et konsolideret eller ukonsolideret medium

11 Værdien af c afhænger af det pågældendes mediums hydrauliske ledningsevne på punktskala, hvilket i praksis vil sig på den mindste skala, hvor der er udført hydrauliske tests. Den øvre grænse, hvor udtryk (11.6) gælder og over hvilken skala-afhængigheden ophører, afhænger af heterogeniteten af mediet. I medier med høj variabilitet skal der dermed inddrages et stort volumen af formationen, før en konstant værdi af K findes, mens der for relativt homogene medier hurtigt findes en hydraulisk ledningsevne, som vil være repræsentativ for en større skala. Iversen et al. (001) undersøgte skalaafhængigheden i en analyse af fire områder i Danmark (ler-blandet sand områderne Silstrup og Estrup, samt sandområderne Jyndevad og Tylstrup). I alle fire områder blev der indsamlet prøver på hhv. 100 cm 3 og 680 cm 3, hvorpå der bl.a. blev målt mættet hydraulisk ledningsevne. For de to heterogene jordtyper (Siltrup med Y på 1.44 og 1.14 for hhv. små og store prøver, og Estrup med Y på 1.56 og 1.58 for hhv. små og store prøver) blev der fundet en skalaafhængig, som understøtter analysen af Schulze-Makuch et al. (1999), med m- værdier på hhv og 0.6. For de to relativt homogene områder (Jyndevad med Y på 0.43 og 0.45 for hhv. små og store prøver, og Tylstrup med Y på 0.8 og 0.48 for hhv. små og store prøver) blev der ikke fundet nogen skala-afhængighed, hvilket kan skyldes, at den øvre grænse for gyldigheden af udtryk (11.6) allerede er nået ved en prøvestørrelse på 100 cm 3, hvilket stemmer godt overens med, at de to områder er relativt homogene EFFEKTIV HYDRAULISK LEDNINGSEVNE Heterogenitetens indflydelse på grundvandsstrømning og transport har været undersøgt af mange forskere og der er publiceret en omfattende mængde artikler om emnet (f.eks. Freeze, 1975; Bakr et al., 1978; Gutjahr et al., 1978; Dagan, 1979; Gelhar & Axness, 1983). I det følgende vil der fortrinsvis blive taget udgangspunkt i L.W. Gelhars stokastiske arbejde, f.eks. (Gelhar, 1993). Graden og karakteren af rumlig variabilitet i den hydrauliske ledningsevne er af afhørende betydning for grundvandsstrømning og transport. Der er to spørgsmål, som har haft stor bevågenhed siden midten af 1970 erne: (1) Hvordan bestemmes en ækvivalent (effektiv) hydraulisk ledningsevne, som kan repræsentere den integrerede effekt af et heterogent medium, og () hvordan forplanter usikkerhed i hydraulisk ledningsevne sig til usikkerhed i hydraulisk trykniveau. I dette afsnit vil det første spørgsmål blive adresseret, mens spørgsmål vil blive behandlet i næste afsnit. Det er imidlertid den samme metode og de samme antagelser, der anvendes til at analysere begge spørgsmål, og disse vil blive præsenteret her. For at svare på ovenstående spørgsmål er der blevet anvendt forskellige stokastiske metoder, hvor den såkaldte perturbationsmetode har været en af de mest succesfulde til at producere generelle analytiske udtryk, som umiddelbart kan anvendes i praksis. I perturbationsmetoden repræsenteres det hydrauliske trykniveau h og den hydrauliske ledningsevne K (eller Y = lnk) ved deres middelværdi og perturbationer h H h ; Y Y Y ; E E h 0 Y 0 (11.7) Ved indsættelse af ovenstående for h og lnk i strømningsligningen er det muligt at udlede udtryk for hhv. middeltrykniveauets afhængighed af middel hydrauliske ledningsevne H x i H x i Y x i 0 (11.8) og sammenhængen mellem trykniveauets perturbationer h og lnk s perturbationer Y h Y x x i i h H x x i i Y x i (11.9) 11-11

12 Den stokastiske partielle differentialligning (11.9), som relaterer inputtet Y til outputtet h, er udledt under antagelse af, at perturbationerne Y er små. Der findes forskellige metoder til at løse (11.9). En af de mest succesfulde er den spektrale metode, Gelhar (1986), men også andre metoder som f.eks. den såkaldte Greens funktion metode, Dagan (1986, 1989), har været anvendt. Perturbationsmetoden er approksimativ, da det antages, at fluktuationerne Y er relativt små. Desuden er det nødvendigt at introducere en række antagelser, for at kunne gennemføre analysen, som inkluderer stationær strømning i medier af uendelig udstrækning, hvor igennem der foregår en strømning med middel hydraulisk gradient J. Desuden forudsættes det, at lnk kan beskrives som en normalfordelt stationær stokastisk funktion. Vha. den spektrale perturbationsmetode kan den effektive hydrauliske ledningsevne for medier af forskellige geostatistiske egenskaber bestemmes. Den effektive hydrauliske ledningsevne kan defineres vha. Darcy s lov dh qi K (11.10) dx i Tages middelværdien af Darcy-ligningen fås dh dh E q i K eff E K eff J, J E (11.11) dxi dxi Hele konceptet omkring en effektiv hydraulisk ledningsevne bygger på, at der kan defineres en K eff, så ligning (11.11) er opfyldt. For stationær, planparallel strømning er dette tilfældet, og værdien af K eff afhænger bl.a. af, om det betragtede problem er 1,, eller 3-dimensionalt. Baseret på resultater af Gutjahr et al. (1978) foreslog Gelhar & Axness (1983) følgende generelle formel for den effektive hydrauliske ledningsevne i medier med isotrop korrelationsstruktur 1 1 K eff K g exp Y (11.1) D hvor D er antallet af dimensioner, hvori strømningen foregår, og K g er den geometriske middelværdi, der kan estimeres som n 1 K g exp ln K i n i1 (11.13) Det ses af (11.1), at K eff stiger med antallet af dimensioner D. I det to-dimensionale tilfælde (D=) fås det simple udtryk K eff = K g. Gelhar & Axness (1983) fandt også et udtryk for den effektive ledningsevne i tre-dimensionale medier med anisotropisk korrelationsstruktur ( 1 = 3 ) K 1 K g exp gii Y, i 1,,3 ( ingen sum over ) (11.14) eff, ii i hvor 0 g ii 1 er givet ved et relativt langt udtryk, der afhænger af forholdet mellem korrelationslængden hhv. parallelt med og vinkelret på stratificeringen ( 1 / 3 ). I tabel 11.5 ses g 11 og g 33 for forskellige forhold af 1 / 3. Desuden er forholdet mellem den effektive hydrauliske ledningsevne og den geometriske ledningsevne angivet. Det ses, at ledningsevnen parallelt med stratificering (K eff,11 ) stiger, når forholdet mellem korrelationslængderne øges, svarende til stigende grad af stratificering. 11-1

13 Tabel 11.5 Værdier af g 11 og g 33 samt K eff,11 /K g og K eff,33 /K g ( Y = 1) i udtryk (11.14) som funktion af 1 / 3. 1 / 3 g 11 g 33 K eff,11 /K g K eff,33 /K g Det modsatte gør sig gældende for K eff,33. For et perfekt lagdelt medium ( 1 / 3 ) fås g 11 = 0 og g 33 = 1. I dette tilfælde er den effektive ledningsevne parallel med lagdelingen altså givet ved 1 K eff,11 K g exp Y (11.15) Da exp(½ Y ) > 1 for fysisk realistiske værdier af Y, vil den effektive hydrauliske ledningsevne parallelt med lagdeling for det anisotrope medium være større end i det to-dimensionale tilfælde, hvor K eff = K g. Udtrykket (11.15) svarer til den aritmetiske middelværdi af K. Strømning i virkelige grundvandsmagasiner er tre-dimensional, men ofte behandler man grundvandsmagasinerne, som om de var to-dimensionale, dvs. der benyttes ét numerisk lag til at repræsentere dem, og den hydrauliske ledningsevne forudsættes homogen over dybden af magasinet. Ved prøvepumpningstests er det normalt transmissiviteten, der fastlægges, hvor transmissiviteten er et dybdeintegreret mål for magasinets vandføringsevne. I bedste fald karakteriseres den horisontale variabilitet i K, mens der stort set aldrig er data til rådighed til at belyse den vertikale variation i K. Vertikal heterogenitet bliver eventuelt kvantificeret vha. en anisotropifaktor, der oftest er svær at estimere, og normalt fastlægges ud fra en antagelse om en vis lagdeling i magasinets opbygning. Mht. observationer af trykniveauet står man normalt også i den situation, at trykniveauets variation over dybden af magasinet ikke kan kortlægges, da der kun er foretaget en enkelt måling af h på den pågældende lokalitet. Denne måling kan repræsentere enten et integreret mål for trykniveauet i magasinet, hvis der er tale om et langt filter, eller en mere punktformig information, hvis der måles i et relativt kort filter. I praksis bliver grundvandsmagasiner derfor ofte modelleret som todimensionale enheder, specielt hvis der kun fokuseres på strømning. Hvis det antages, at målingerne fra systemet (K og h) hovedsageligt repræsenterer dybdeintegrerede størrelser, vil det være mest korrekt, at benytte resultaterne fra analysen af D grundvandsstrømning til at kvantificere den effektive hydrauliske ledningsevne (K eff = K g ). Vha. ligning (11.1) eller (11.14) beregnes den homogene K-værdi, der strømningsmæssigt repræsenterer et område af en vis størrelse, og som vil kunne anvendes i en numerisk model. Det er imidlertid en forudsætning, at de lokale K-værdier, hvorpå den statistiske analyse baseres, er repræsentative for den skala, hvorpå der modelleres. Formel (11.1) og (11.14) er ikke opskaleringsudtryk, hvor man får parametre ud til brug på regional skala, hvis man sætter parametre ind, der er fundet på lokal skala (se afsnit 4.4). Hvis der modelleres på en skala, der er større end V m (hvor K er uafhængig af skala for V > V m ), bør K-værdier målt på en skala, der er mindre end V m principielt set opskaleres vha. udtryk (11.6) inden de anvendes som basis for beregning af effektive ledningsevner. Ved brug af de effektive hydrauliske ledningsevner sikres derefter, at fluksen gennem det betragtede område bliver lig middelfluksen gennem det tilsvarende heterogene magasin, dvs. at ligning (11.11) er opfyldt EFFEKTEN AF GEOLOGISK HETEROGENITET PÅ TRYKNIVEAU Den hydrauliske ledningsevne, K, afhænger kraftigt af undergrundens geologiske opbygning. F.eks. vil sand have en ledningsevne, der er flere størrelsesordener højere end ledningsevnen for ler. I praksis tilstræbes det at opbygge hydrogeologiske modeller, så den rumlige geometri af de 11-13

14 forskellige hydrostratigrafiske enheder, også benævnt hydrofacies, kortlægges. Men selv hvis det er muligt præcist at beskrive den rumlige placering og geometri af de forskellige hydrofacies, der forekommer i et område, vil variationen i K stadig ikke være fuldt beskrevet. Det er velkendt, at K varierer inden for den enkelte hydrofacies, f.eks. en smeltevandsaflejring. Pga. mangelfuld information om variationen i K indenfor facies, beskrives magasinet i praksis ofte vha. en zoneringsstrategi, hvor det opdeles i et endeligt antal (ofte få) enheder eller zoner, indenfor hvilke den hydrauliske ledningsevne antages at være konstant. Små-skala undersøgelser som f.eks. lossepladsundersøgelserne ved Vejen (Bjerg et al., 199; Højberg, 001) og Grindsted (Petersen, 000) har vist, at K varierer over selv ganske korte afstande, og det er derfor evident, at zoneringsmetoden ikke kan reproducere den sande trykniveaufordeling indenfor de enkelte zoner, da variationen i K ikke, på det foreliggende datagrundlag, kan beskrives. Ved passende valg af K for den enkelte zone kan det imidlertid forventes, at middeltrykniveauet kan beskrives, men småskalavariationerne i h vil ikke blive reproduceret. Når modellen kalibreres vil der med andre ord blive fundet en afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau, der kan kvantificeres vha. f.eks. en RMS-værdi. Det vil derfor være interessant at kvantificere, hvor stor denne afvigelse kan forventes at være, og at belyse hvilke faktorer der har indflydelse på dens størrelse. Da grundvandsmagasiner på oplandsskala ofte behandles som to-dimensionale systemer (ingen variation af K over dybden af magasinet, h-observationer repræsenterer hele magasinets tykkelse, ofte benyttes ét numerisk beregningslag til at repræsentere et grundvandsmagasin), vil der her kun blive refereret resultater fra analysen af to-dimensionale strømningssystemer med isotrop korrelationsstruktur. I dette tilfælde kan der udledes følgende udtryk for variansen på det hydrauliske trykniveau (Gelhar, 1993) h ln K C J (11.16) hvor C er en koefficient, som afhænger af strømningssystemet. Udtrykket viser, at variansen på trykniveauet afhænger ligeligt af variansen på lnk, korrelationslængden og middelgradienten på trykniveauet J. I tabel 11.7 ses, hvorledes koefficienten C afhænger af systemet der analyseres. Mens C er konstant og uafhængig af systemets Tabel 11.7 Koefficienten C i udtryk (11.16). B er tykkelsen af det frie magasin, J er middelgradienten, og er korrelationslængden. Strømningssystem C D artesisk 0.46 D frit 0.37 ln[1.1b/(j)] egenskaber for et artesisk magasin, afhænger C af både magasinets tykkelse B, middelgradienten J og korrelationslængden for lnk for et frit magasin. På figur 11.8 ses den beregnede standard afvigelse på trykniveauet for varierende værdier af korrelationslængden og den hydrauliske gradient (konstant Y ). For et artesisk magasin med en korrelationslængde på 500 m og en middelgradient på fås eksempelvis en s h = 0.34 m. Kurven for det frie magasin for J = viser en faldende tendens for høje korrelationslængder. Dette skyldes, at teorien, som ligning (11.16) bygger på, er approksimativ, og derfor giver fejlagtige resultater for kombinationer af høj gradient og korrelationslængde

15 sh (m) 4.0 J= J= Korrelationslængde (m) Hvis variansen på trykniveauerne skal give information om, hvor stor en RMS-værdi, der kan forventes for det pågældende system, skal der opstilles en relation mellem s h og RMS. Residualen mellem observeret og simuleret trykniveau er givet ved r h h h (11.17) obs sim og middelværdien af residualerne findes til E (11.18) r r h 1 n ME n ˆ (11.19) r r h i1 Figur 11.8 Standard afvigelse på trykniveauet beregnet vha for hhv. D artesisk (stiplet linie) og frit magasin (fuldt optrukken linie). Y = 1, B = 10 m. Variansen på trykresidualerne er givet ved h r Er Var (11.0) h h r der kan estimeres vha. følgende udtryk n 1 h sh rhi n i1 ˆ ME (11.1) RMS-værdien beregnes vha. følgende udtryk RMS 1 n n r hi i1 (11.) Indsættes udtrykket for RMS i udtryk (11.1) fås s h RMS ME (11.3) Det ses af ovenstående udtryk, at hvis ME = 0, er s h og RMS lig hinanden. I alle andre tilfælde vil RMS-værdien være større end s h

16 For at teste, hvor godt de approksimative analytiske udtryk udledt af Gelhar og andre estimerer usikkerheden på trykniveauet, er der udført et numerisk eksempel. Et to-dimensionalt rektangulært strømningsdomæne med sidelængderne 10 x 5 km er diskretiseret med celler af størrelsen 100 x 100 m. Randbetingelserne består i vestlig ende af fastholdt tryk på 10 m og i østlig ende af fasthold tryk på 0 m. Mod nord og syd er der impermeable rande. Vha. metoden udviklet af Frenzel (1995) er der genereret en realisation af den hydrauliske ledningsevne med en geometrisk middelværdi på m/s, en varians på lnk på 1, og en korrelationslængde på 500 m. På figur 11.9 ses den resulterende fordeling af den hydrauliske ledningsevne. Figur 11.9 Fordeling af hydraulisk ledningsevne samt den resulterende fordeling af hydraulisk trykniveau. Efterfølgende er der vha. MODFLOW000 fundet en strømningsløsning for problemet, hvor det antages at være et artesisk magasin. Den resulterende trykniveaufordeling ses også på figur Der er defineret 0 observationspunkter i den midterste del af området (for at undgå for store påvirkninger fra de fastholdte tryk rande), og det simulerede trykniveau er noteret. Herefter er det samme modelsetup simuleret ved anvendelse af en homogen hydraulisk ledningsevne i hele domænet på m/s. Resultatet ses på figur 11.10, hvor de 0 observationspunkter kan identificeres. Usikkerheden på de observerede trykniveauer er arbitrært sat til s h = 0.1 m. Den GMS producerede figur over afvigelserne illustrerer residualer, der ligger indenfor ± s h ved en grøn søjle, mellem ± s h og 4s h som en gul søjle og over ± 4s h som en rød søjle. Der ses at være en relativ jævn fordeling af afvigelserne over det betragtede område. Figur viser et scatterplot, hvor residualerne ligeledes ses at være rimeligt fordelt. Der beregnes en ME = m og en RMS = m. Standard afvigelsen på trykresidualerne beregnes vha. (11.1) til m, hvilket ses at være meget tæt på estimatet på 0.34 m opnået vha. udtryk (11.16). Effekten af den ikke modellerede heterogenitet i hydrauliske ledningsevne kan altså kvantificeres vha. det approksimative analytiske udtryk

17 Figur Hydraulisk trykniveaufordeling og afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Simuleret trykniveau (m) ME = m RMS = 0.31 m Observet trykniveau (m) Figur Observeret mod simuleret trykniveau. Den rette linie angiver perfekt simulering. I en kalibreringssituation vil man konkludere, at modellen er kalibreret optimalt, hvis der opnås en afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau, der svarer til værdien beregnet vha. formel (11.16), forudsat at heterogeniteten i K er den eneste kilde til afvigelser mellem observeret og simuleret trykniveau. Hvis trykniveauet skal simuleres mere præcist, vil det være nødvendigt at opløse og beskrive systemets heterogeniteter

18 11.7 DISKUSSION OG OPSUMMERING Dette kapitel har fokuseret på skalaafhængighed i hydraulisk ledningsevne, K, bestemmelse af effektiv hydraulisk ledningsevne, K eff, og betydningen af heterogenitet i hydrauliske ledningsevne for præcisionen i simulering af hydraulisk trykniveau, h. Hydraulisk ledningsevne er skalaafhængig op til en vis skala, der kan udtrykkes ved volumenet V m. V m afhænger af heterogeniteten af det medium, der betragtes, f.eks. udtrykt ved variansen på lnk, lnk. V m er en stigende (men ikke kendt) funktion af heterogeniteten, V m = f( lnk ). For et område med stor heterogenitet skal der derfor inddrages et stort volumen, før K kan forventes at være uafhængig af skala (K(V) = konst.). Ved modellering af et givet område skal der benyttes K- værdier, der repræsenterer den skala, som der modelleres på. Hvis der eksempelvis modelleres på markskala (V 10 5 m 3 ), skal der ideelt set anvendes værdier for K, der repræsenterer denne skala, hvilket godt kan være mindre end V m, dvs. punktet, hvor K bliver uafhængig af skalaen. Principielt set kan måleværdier af K skaleres vha. udtryk (11.6), så eksempelvis værdier opnået vha. slug tests kan opskaleres til den ønskede skala. Der er imidlertid usikkerhed på de i indtrykket indgående parametre (m og c), som også afhænger af typen af medium der arbejdes med (enkeltporøst medium, dobbeltporøst medium, etc.), og det er derfor problematisk i praksis at udføre denne opskalering. Det er imidlertid vigtigt at være opmærksom på skalaafhængigheden i den hydrauliske ledningsevne, da K-værdien kan variere betragteligt som funktion af skalaen, se f.eks. figur Man skal derfor være påpasselig med at anvende målte K-værdier som input til en grundvandsmodel, enten direkte eller via en a priori værdi til en invers model (se afsnit 14..3). Da opskalering kun undtagelsesvist vil være muligt, kan man stille spørgsmålstegn ved, om K-værdier målt ved f.eks. slug tests har nogen værdi for en grundvandsmodel, der opererer på oplandsskala. Da K stiger med stigende skala vil slug tests resultaterne angive en nedre grænse for den hydrauliske ledningsevne i det pågældende magasin. Desuden vil forskellen mellem slug tests resultater opnået i forskellige boringer kunne give kvalitativ information om variabiliteten i hydraulisk ledningsevne i magasinet. K vil altid variere fra punkt til punkt i et virkeligt grundvandsmagasin. I praksis har man imidlertid ikke information om denne kontinuerte variation, og det er derfor nødvendigt at antage homogenitet indenfor mere eller mindre velafgrænsede områder. Hvis der er nogle få målinger af K til rådighed, som forventes at repræsentere den ønskede skala, vil det ofte være ønskeligt på baggrund af disse målinger at kunne beregne en effektiv hydraulisk ledningsevne, som resulterer i en hensigtsmæssig simulering af strømningen gennem magasinet. Da grundvandsmagasinerne oftest er anisotrope, dvs. har længere korrelationslængde i horisontal retning end i vertikal retning, vil denne beregning normalt skulle foretages vha. ligning (11.14), eller hvis der antages perfekt lagdeling med ligning (11.15). Herved findes en homogen værdi af den hydrauliske ledningsevne som repræsenterer den betragtede enheds (zone, lag) hydrauliske egenskaber. Når et heterogent grundvandsmagasin modelleres som en homogen enhed, vil der nødvendigvis blive begået en fejl, idet der nogle steder vil blive simuleret et for højt trykniveau og andre steder vil blive simuleret et for lavt trykniveau. Hvis middelværdien af afvigelserne mellem observeret og simuleret trykniveau er tæt på nul, vil det generelt blive betragtet som en acceptabel fremgangsmåde. Spørgsmålet er imidlertid, hvor store afvigelser der i middel kan forventes mellem observeret og simuleret trykniveau i de enkelte målepunkter, dvs. hvor stor RMS-værdi kan der forventes pga. ikke modelleret heterogenitet. Dette har praktisk relevans, når der skal opstilles nøjagtighedskrav til en grundvandsmodel, idet heterogenitet, som ikke kan kortlægges og dermed ikke inkluderes direkte i modellen, vil være årsag til en betydelig del af den samlede afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Det er imidlertid muligt at kvantificere denne fejl, hvis der er statistiske informationer til rådighed om den hydrauliske ledningsevne for det modellerede område. Konkret skal der frembringes værdier for variansen og korrelationslængden for lnk, lnk og. Disse værdier kan kun sjældent tilvejebringes for et konkret område, men vha. erfaringsværdier (se tabel 11.), vil det være muligt at komme med kvalificerede gæt på lnk s geostatistiske egenskaber. Kombineres dette med typen af magasin der modelleres (frit eller artesisk) og middelgradienten i det modellerede område, J, kan ligning (11.16) anvendes til at beregne et estimat på variansen af det hydrauliske trykniveau omkring middelværdien, h. Middelværdien af trykniveauet er netop det, som 11-18

19 modellen med den homogene hydrauliske ledningsevne vil simulere, hvis den er kalibreret optimalt. Vha. ligning (11.3) kan den estimerede varians oversættes til en forventning om den resulterende RMS værdi REFERENCER Bakr, A.A., Gelhar, L.W., Gutjahr, A.L., MacMillan, J.R. (1978) Stochastic analysis of spatial variability in saturated subsurface flows, 1. Comparison of one- and three-dimensional flows, Water Resources Research, 14(), Bjerg, P.L., Hinsby, K., Christensen, T.H., Gravesen, P. (199) Spatial variability of hydraulic conductivity of an unconfined sandy aquifer determined by a mini slug test, J. Hydrology, 136, Bradbury, K.R., Muldoon, M.A. (1990) Hydraulic conductivity determinations in unlithified glacial and fluvial materials, Ground Water and Vadose Zone Monitoring, ASTM STP 1053, D.M. Nielsen and A.I. Hohnson, Eds., Am. Soc. for Testing and Materials, Philadelphia, Christiansen, J.S. (1998) Reactive solute transport in a physically and chemically heterogeneous aquifer, Ph.D. Thesis. Department of Hydrodynamics and Hydraulic Engineering, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark. pp appendix. (ISVA Series Paper No. 74). Dagan, G. (1979) Models of groundwater flow in statistically homogeneous porous formations, Water Resources Research, 15(1), Dagan, G. (1986) Statistical theory of groundwater flow and transport: Pore to laboratory, laboratory to formation and formation to regional scale, Water Resources Research, (9), 10S-134S. Fredericia, J. (1990) Saturated hydraulic conductivity of clayey tills and the role of fractures, Nordic Hydrology, 1(), Freeze, R.A. (1975) A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform homogeneous media, Water Resources Research, 11(5), Frenzel, H. (1995) A field generator based on Mejia s algorithm. Institut für Umweltphysik, University of Heidelberg, Germany. Gelhar, L.W. (1986) Stochastic subsurface hydrology from theory to applications, Water Resources Research, (9), 135S-145S. Gelhar, L.W. (1993) Stochastic Subsurface Hydrology, Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall. Gelhar, L.W., Axness, C.L. (1983) Three-dimensional stochatic analysis of macrodispersion in aquifers, Water Resources Research, 19(1) Gutjahr, A.L., Gelhar, L.W., Bakr, A.A., MacMillan, J.R. (1978) Stochastic analysis of spatial variability in saturated subsurface flows,. Evaluation and application, Water Resources Research, 14(5), Hansen, S., Storm, B., Jensen, H.E. (1986) Spatial variability of soil physical properties Theoretical and experimental analyses, I, Soil properties, Rep. 101, Dep. of Soil and Water and Plant Nutrition, R. Vet. and Agric. Univ. of Denmark, Copenhagen

20 Hoeksema, R.J., Kitanidis, P.K. (1985) Analysis of the spatial structure of properties of selected aquifers, Water Resources Research, 1, Højberg, A.L. (001) Numerical analysis of pesticide migration in field injection experiment, Ph.D. thesis, Series Paper no. 77, Department of Hydrodynamics and Water Resources, Technical University of Denmark. Iversen, B.V., Moldrup, P., Schjønning, P., Loll, P. (001) Air and water permeability in differently textured soils at two measurement scales, Soil Science, 166(10), Nilsson, B., Sidle, R.C., Klint, K.E., Bøggild, C.E., Broholm, K. (001) Mass transport and scaledependent hydraulic tests in a heterogeneous glacial till-sandy aquifer system, J. Hydrology, 43, Petersen, M.J. (000) Modeling of groundwater flow and reactive transport in a landfill leachate plume, Ph.D. thesis, Series Paper no. 73, Department of Hydrodynamics and Water Resources, Technical University of Denmark. Rovey, C.W. II., Cherkauer, D.S. (1995) Scale dependency of hydraulic conductivity measurements, Ground Water, 33(5), Sánchez-Vila, X., Carrera, J., Girardi, J.P. (1996) Scale effects in transmissivity, J. Hydrology, 183, 1-. Schulze-Makuch, D., Cherkauer, D.S. (1998) Variations in hydraulic conductivity with scale of measurement during aquifer tests in heterogeneous, porous carbonate rocks, Hydrogeology Journal, 6, Schulze-Makuch, D., Carlson, D.A., Cherkauer, D.S., Malik, P. (1999) Scale dependency of hydraulic conductivity in heterogeneous media, Ground Water, 37(6),

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3

Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Høfde 42: Vurdering af specifik ydelse og hydraulisk ledningsevne i testcellerne TC1, TC2 og TC3 Søren Erbs Poulsen Geologisk Institut Aarhus Universitet 2011 Indholdsfortegnelse Sammendrag...2 Indledning...2

Læs mere

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Med henblik på at bestemme den hydrauliske ledningsevne for de benyttede sandtyper er der udført en række forsøg til bestemmelse af disse. Formål Den hydrauliske

Læs mere

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Anne Lausten Hansen Institut for Geografi og Geologi, Københavns Universitet De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS)

Læs mere

Notat. Baggrund. Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer Syd modellen

Notat. Baggrund. Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer Syd modellen Notat Sag BNBO beregninger Projektnr. 04779 Projekt Svendborg Kommune Dato 04-03-07 Emne Internt notat om AEM beregninger Nord og Initialer MAON/DOS Syd modellen Baggrund I forbindelse med beregning af

Læs mere

Ekstremregn i Danmark

Ekstremregn i Danmark Ekstremregn i Danmark Supplement til statistisk bearbejdning af nedbørsdata fra Spildevandskomiteens regnmålersystem 1979-96 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet

Læs mere

Undersøgelse af flow- og trykvariation

Undersøgelse af flow- og trykvariation Undersøgelse af flow- og trykvariation Formål Med henblik på at skabe et kalibrerings og valideringsmål for de opstillede modeller er trykniveauerne i de 6 observationspunkter i sandkassen undersøgt ved

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT

UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT UNDERSØGELSESMETODER I UHÆRDET SKRIVEKRIDT - udfordringer ved Platanvej, Nykøbing Falster Ekspertisechef Charlotte Riis, NIRAS Gro Lilbæk, Anders G Christensen, Peter Tyge, Mikael Jørgensen, NIRAS Martin

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Resendalvej - Skitseprojekt. Silkeborg Kommune. Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej.

Indholdsfortegnelse. Resendalvej - Skitseprojekt. Silkeborg Kommune. Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej. Silkeborg Kommune Resendalvej - Skitseprojekt Grundvandsmodel for infiltrationsområde ved Resendalvej COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Telefon 45 97 22 11 Telefax 45 97 22 12 wwwcowidk Indholdsfortegnelse

Læs mere

STITUNNEL RIBE INDHOLD. 1 Indledning og formål. 2 Datagrundlag. 1 Indledning og formål 1. 2 Datagrundlag 1

STITUNNEL RIBE INDHOLD. 1 Indledning og formål. 2 Datagrundlag. 1 Indledning og formål 1. 2 Datagrundlag 1 VEJDIREKTORATET STITUNNEL RIBE TOLKNING AF PRØVEPUMPNING OG FORSLAG TIL GRUNDVANDSSÆNKNING ADRESSE COWI A/S Parallelvej 2 2800 Kongens Lyngby Danmark TLF +45 56400000 FAX +45 56409999 WWW cowi.dk INDHOLD

Læs mere

ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER. Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S

ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER. Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S ERFARINGER MED DRIFT AND PUMPBACK FORSØG TIL BESTEMMELSE AF MAGASINEGENSKABER Jacob Birk Jensen og Ole Munch Johansen NIRAS A/S Problemstilling Vi bruger i højere og højere grad modeller til at beregne

Læs mere

Sammenligninger mellem stationære og dynamisk beregnede oplande

Sammenligninger mellem stationære og dynamisk beregnede oplande Sammenligninger mellem stationære og dynamisk beregnede oplande Rasmus R. Møller, GEUS Lars Troldborg, GEUS Steen Christensen, AU Claus H. Iversen, GEUS KPN-møde-Hydrologi, Århus d. 16. december 2009 Disposition

Læs mere

Hydrogeologiske forhold. Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen

Hydrogeologiske forhold. Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen COWI ARUP SYSTRA JV Foto: Roy William Gabrielsen 1 Magasin og lækageforhold Primære magasin inkl. sandlag, sekundære magasiner Sammenhænge lodret/vandret (prøvepumpninger,

Læs mere

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven

Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Modellering af grundvandsstrømning ved Vestskoven Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Opgaven er udformet af Peter Engesgaard, Geologisk Institut, Københavns Universitet 1 Formål Formålet med opgaven

Læs mere

KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 13 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torben Obel Sonnenborg Hydrologisk afdeling, GEUS Nøglebegreber: Kalibreringsprotokol, identificerbarhed, entydighed, parameterestimation, sensitivitetsanalyse,

Læs mere

NOTAT. 1. Følsomhedsanalyse

NOTAT. 1. Følsomhedsanalyse NOTAT Projekt Grundvandsmodel for Hjørring Kommune Kunde Hjørring Kommune og Hjørring Vandselskab Notat nr. 01 Dato 2011-06-21 Til Fra Lene Milwertz, Jens Chr. Ravn Roesen, Denni Lund Jørgensen Bianca

Læs mere

Strømningsfordeling i mættet zone

Strømningsfordeling i mættet zone Strømningsfordeling i mættet zone Definition af strømningsfordeling i mættet zone På grund af variationer i jordlagenes hydrauliske ledningsvene kan der være store forskelle i grundvandets vertikale strømningsfordeling

Læs mere

Håndbog i grundvandsmodellering, Sonnenborg & Henriksen (eds) 2005/80 GEUS. Indholdsfortegnelse

Håndbog i grundvandsmodellering, Sonnenborg & Henriksen (eds) 2005/80 GEUS. Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 1-1 1.1 Baggrund og formål... 1-1 1.1.1 Baggrund... 1-1 1.1.2 Formål og målgruppe... 1-2 1.2 Terminologi og modelcyklus... 1-2 1.3 Modelprotokol... 1-5 1.4 Parter og

Læs mere

FØLSOMHEDSANALYSE STOKASTISKE OPLANDE HJØRRING MODELLEN 22-06-2011 FØLSOMHEDSANALYSE

FØLSOMHEDSANALYSE STOKASTISKE OPLANDE HJØRRING MODELLEN 22-06-2011 FØLSOMHEDSANALYSE STOKASTISKE OPLANDE HJØRRING MODELLEN OG STOKASTISKE BEREGNINGER Dagsorden -Introduktion -Følsomhedsanalyse -Erfaringer fra kalibreringen -Stokastiske beregninger -Gennemgang og snak om kommentarer til

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense

Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense GEUS Workshop Kortlægning af kalkmagasiner Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense Geolog Peter Sandersen Hydrogeolog Susie Mielby, GEUS 1 Disposition Kortlægning af Danienkalk/Selandien

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Kapitel 7 STED DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Adam Brun Afdeling for Grundvand, Affald og Mikrobiologi, DHI - Institut for Vand og Miljø Nøglebegreber: Randbetingelser, stationær, ikke stationær,

Læs mere

SÅRBARHED HVAD ER DET?

SÅRBARHED HVAD ER DET? SÅRBARHED HVAD ER DET? Team- og ekspertisechef, Ph.d., civilingeniør Jacob Birk Jensen NIRAS A/S Naturgeograf Signe Krogh NIRAS A/S ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING VINGSTEDCENTRET

Læs mere

VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER

VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER Seniorforsker Torben O. Sonnenborg Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS) ATV MØDE KALK PÅ TVÆRS SCHÆFFERGÅRDEN

Læs mere

Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk

Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk Per Loll, udviklings- og projektleder DMR Claus Larsen, kvalitetschef DMR Laila Bruun, hydrogeolog DMR (nu Rambøll) Anders Riiber Høj, projektchef OM (nu Metroselskabet)

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Dette notat beskriver beregningsmetode og de antagelser, der ligger til grund for beregningerne af BNBO.

Dette notat beskriver beregningsmetode og de antagelser, der ligger til grund for beregningerne af BNBO. NOTAT Projekt BNBO Silkeborg Kommune Notat om beregning af BNBO Kunde Silkeborg Kommune Notat nr. 1 Dato 10. oktober Til Fra Kopi til Silkeborg Kommune Charlotte Bamberg [Name] 1. Indledning Dette notat

Læs mere

3. Fremgangsmåde ved fortolkning af data

3. Fremgangsmåde ved fortolkning af data 3. Fremgangsmåde ved fortolkning af data For at finde de jordegenskaber som rummer de nødvendige oplysninger til udpegning af særligt pesticidfølsomme områder og som kan fremskaffes med den mindste ressource

Læs mere

Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC).

Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC). Opstartsrapport ForskEl projekt nr. 10688 Oktober 2011 Nabovarme med varmepumpe i Solrød Kommune - Bilag 1 Bilag 1. Nabovarmeprojekt i Solrød Geologisk Undersøgelse. Paul Thorn (RUC). Som en del af det

Læs mere

Bilag 5. Hydrauliske parametre - Repræsentativitet DJF: Ole Hørbye Jacobsen, Bo Vangsø Iversen, Christen Børgesen

Bilag 5. Hydrauliske parametre - Repræsentativitet DJF: Ole Hørbye Jacobsen, Bo Vangsø Iversen, Christen Børgesen Bilag 5. Hydrauliske parametre - Repræsentativitet DJF: Ole Hørye Jacosen, Bo Vangsø Iversen, Cristen Børgesen Hydraulisk ledningsevne I dataaser findes der kun meget egrænsede data vedrørende ydrauliske

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Status for modellering af vand og varmestrømning

Status for modellering af vand og varmestrømning Status for modellering af vand og varmestrømning WP7 Interaktion med omgivende grundvandssystem Per Rasmussen & Anker Lajer Højberg GeoEnergi følgegruppemøde 10/4 2013 www.geoenergi.org Disposition Formål

Læs mere

3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT)

3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT) 3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT) Bertel Nilsson (GEUS) og Ditte Lykkesborg Petersen (Geologisk Institut, Københavns Universitet) 3.1 Indledning Den geologiske variabilitet

Læs mere

Kan lokal håndtering af regnvand mindske presset på grundvandsressourcen?

Kan lokal håndtering af regnvand mindske presset på grundvandsressourcen? ATV Vintermøde Tirsdag d. 9. marts 2010 Vingstedcentret AARHUS Kan lokal håndtering af regnvand mindske presset på grundvandsressourcen? - med udgangspunkt i Københavnsområdet Jan Jeppesen 1,2 Ph.d. studerende

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model

Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model Sammenligning af grundvandsdannelse til kalk simuleret udfra Suså model og DK-model Notat udarbejdet af Hans Jørgen Henriksen, GEUS Endelige rettelser pr. 27. oktober 2002 1. Baggrund Storstrøms Amt og

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Saltvandsgrænsen i kalkmagasinerne i Nordøstsjælland, delrapport 4

Saltvandsgrænsen i kalkmagasinerne i Nordøstsjælland, delrapport 4 DANMARKS OG GRØNLANDS GEOLOGISKE UNDERSØGELSE RAPPORT 2006/19 Saltvandsgrænsen i kalkmagasinerne i Nordøstsjælland, delrapport 4 Simulering af nuværende og historiske strømnings- og potentialeforhold Lars

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Kapitel 7 FASTLÆGGELSE AF RANDBETINGELSER

Kapitel 7 FASTLÆGGELSE AF RANDBETINGELSER Kapitel 7 FASTLÆGGELSE AF RANDBETINGELSER Adam Brun IHA Ingeniørhøjskolen i Århus Nøglebegreber: Randbetingelser, stationær, ikke-stationær, fastholdt tryk, flux, indvinding. ABSTRACT: En numerisk model

Læs mere

Betydningen af dræning ved udførelse af CPT i siltet jord

Betydningen af dræning ved udførelse af CPT i siltet jord Betydningen af dræning ved udførelse af CPT i siltet jord Dansk Geoteknisk Forening Undersøgelsesmetoder 31. marts 2011 Rikke Poulsen Institut for Byggeri og anlæg Aalborg Universitet 1 Agenda Hvem er

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

SPRÆKKER I KALK - LILLE ÅRSAG, STOR VIRKNING

SPRÆKKER I KALK - LILLE ÅRSAG, STOR VIRKNING SPRÆKKER I KALK - LILLE ÅRSAG, STOR VIRKNING Hydrogeolog, ph..d. Peter R. Jørgensen Hydrogeolog, cand.scient. Mads R. Mølgaard GEO ATV MØDE KALK PÅ TVÆRS SCHÆFFERGÅRDEN 8. november 2006 RESUME Strømning

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT

Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske Miljømålinger NOTAT Til: Brugere af Bekendtgørelse om kvalitetskrav til miljømålinger udført af akkrediterede laboratorier, certificerede personer mv.

Læs mere

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen

Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt

Læs mere

Regionernes Videncenter for Miljø og Ressourcer afholder kursus i geologi og hydrogeologi

Regionernes Videncenter for Miljø og Ressourcer afholder kursus i geologi og hydrogeologi Invitation og program til kursus i geologi og hydrogeologi Regionernes Videncenter for Miljø og Ressourcer afholder kursus i geologi og hydrogeologi fra Onsdag den 20. maj 2015 kl. 10:30 til fredag den

Læs mere

Regneark til bestemmelse af CDS- regn

Regneark til bestemmelse af CDS- regn Regneark til bestemmelse af CDS- regn Teknisk dokumentation og brugervejledning Version 2.0 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet Dette er en netpublikation, der

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Rapport nr.: 77 Titel Hvordan skal forekomsten af outliers på lugtmålinger vurderes? Undertitel - Forfatter(e) Arne Oxbøl Arbejdet udført, år 2015

Læs mere

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK Sammenligning af potentiel fordampning beregnet ud fra Makkinks formel og den modificerede Penman formel

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Nanna I. Thomsen 1, Mads Troldborg 2, Ursula S. McKnight 1, Philip J. Binning 1 og Poul L. Bjerg 1

Nanna I. Thomsen 1, Mads Troldborg 2, Ursula S. McKnight 1, Philip J. Binning 1 og Poul L. Bjerg 1 Metode til kvantificering af konceptuel og parameterusikkerhed ved beregning af forureningsflux og koncentrationer fra forurenede lokaliteter (V2 niveau) Nanna I. Thomsen 1, Mads Troldborg 2, Ursula S.

Læs mere

12 TOLERANCER 1 12 TOLERANCER

12 TOLERANCER 1 12 TOLERANCER 12 TOLERANCER 12 TOLERANCER 1 12.1 Tolerancer 2 12.1.1 Betonelementers mål 2 12.1.2 Byggepladsmål 2 12.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber 3 12.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE

GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE GOI I VÆREBRO INDSATSOMRÅDE Sektionsleder Anne Steensen Blicher Orbicon A/S Geofysiker Charlotte Beiter Bomme Geolog Kurt Møller Miljøcenter Roskilde ATV MØDE VINTERMØDE OM JORD- OG GRUNDVANDSFORURENING

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer

Læs mere

Metode til måling af flux i grundvand: Sorbisense Fluxsampler

Metode til måling af flux i grundvand: Sorbisense Fluxsampler Metode til måling af flux i grundvand: Sorbisense Fluxsampler PhD. Hubert de Jonge, Sorbisense A/S, Denmark hubert@sorbisense.com Indhold Introduktion Baggrund for Fluxmålinger ved forureningsundersøgelser

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

KARAKTERISERING AF MORÆNELER

KARAKTERISERING AF MORÆNELER KARAKTERISERING AF MORÆNELER Knud Erik Klint Bertel Nilsson Bjarni Pjetursson Timo Kesseler GEUS Den Nationale Geologiske Undersøgelse for Grønland og Danmark ATV MØDE SCHÆFERGÅRDEN 18 Januar 2012 Formål

Læs mere

Havmøllepark ved Rødsand VVM-redegørelse Baggrundsraport nr 2

Havmøllepark ved Rødsand VVM-redegørelse Baggrundsraport nr 2 Havmøllepark ved Rødsand VVM-redegørelse Baggrundsraport nr 2 Juli 2000 Møllepark på Rødsand Rapport nr. 3, 2000-05-16 Sammenfatning Geoteknisk Institut har gennemført en vurdering af de ressourcer der

Læs mere

Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland

Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland PhD studerende Morten Andreas Dahl Larsen (afsluttes i forsommeren 2013) KU (Karsten Høgh Jensen) GEUS (Jens Christian

Læs mere

Conefaktor i Søvindmergel, Septarieler og fedt moræneler

Conefaktor i Søvindmergel, Septarieler og fedt moræneler Conefaktor i Søvindmergel, Septarieler og fedt moræneler Nik Okkels GEO, Danmark, nio@geo.dk Marianne Bondo Hoff GEO, Danmark, mbh@geo.dk Morten Rasmussen GEO, Danmark, msr@geo.dk Abstract: I forbindelse

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...

Læs mere

Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej

Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej Grundvandsmodel for infiltrationsbassin ved Resendalvej Figur 1 2/7 Modelområde samt beregnet grundvandspotentiale Modelområdet måler 650 x 700 m Der er tale om en kombination af en stationær og en dynamisk

Læs mere

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode

Fokus på Forsyning. Datagrundlag og metode Fokus på Forsyning I notatet gennemgås datagrundlaget for brancheanalysen af forsyningssektoren sammen med variable, regressionsmodellen og tilhørende tests. Slutteligt sammenfattes analysens resultater

Læs mere

Hypotese Start med at opstille et underbygget gæt på hvor mange ml olie, der kommer ud af kridt-prøven I får udleveret.

Hypotese Start med at opstille et underbygget gæt på hvor mange ml olie, der kommer ud af kridt-prøven I får udleveret. Forsøg: Indvinding af olie fra kalk Udarbejdet af Peter Frykman, GEUS En stor del af verdens oliereserver, bl.a. olien i Nordsøen findes i kalkbjergarter. 90 % af den danske olieproduktion kommer fra kalk

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening

Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening M iljøpr ojekt nr. 449 1999 Statistisk 3-D ber egning af sandsynligheden for at finde en jordforurening Lektor, cand.scient., lic.tech. Helle Holst IMM, Institut for Matematisk Modellering DTU, Danmarks

Læs mere

Brugen af seismik og logs i den geologiske modellering

Brugen af seismik og logs i den geologiske modellering Brugen af seismik og logs i den geologiske modellering Med fokus på: Tolkningsmuligheder af dybereliggende geologiske enheder. Detaljeringsgrad og datatæthed Margrethe Kristensen GEUS Brugen af seismik

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Håndtering af regnvand i Nye

Håndtering af regnvand i Nye Resume: Håndtering af regnvand i Nye Grønne tage og bassiner Jasper H. Jensen (jhje08@student.aau.dk) & Carina H. B. Winther (cwinth08@student.aau.dk) I projektet fokuseres der på, hvordan lokal afledning

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

KVANTIFICERING AF FORURENINGSFLUXE FRA EN GAMMEL LOSSEPLADS TIL OMKRINGLIGGENDE VANDRESSOURCER

KVANTIFICERING AF FORURENINGSFLUXE FRA EN GAMMEL LOSSEPLADS TIL OMKRINGLIGGENDE VANDRESSOURCER KVANTIFICERING AF FORURENINGSFLUXE FRA EN GAMMEL LOSSEPLADS TIL OMKRINGLIGGENDE VANDRESSOURCER PhD studerende Nanna Isbak Thomsen PhD studerende Nemanja Milosevic Civilingeniør Monika Balicki Civilingeniør

Læs mere

Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag

Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag ATV Jord og Grundvand Vintermøde om jord- og grundvandsforurening 10. - 11. marts 2015 Tekniske udfordringer i ny 3D afgrænsning af 402 grundvandsforekomster og tilknytning af boringer og indtag Lars Troldborg

Læs mere

Pilotområdebeskrivelse Aalborg syd

Pilotområdebeskrivelse Aalborg syd Pilotområdebeskrivelse Aalborg syd Oktober 2014 Mette V. Odgaard, Institut for Agroøkologi, Aarhus Universitet Camilla Vestergaard, Videncentret for Landbrug P/S (eds.) 1 Indholdsfortegnelse 1. Generel

Læs mere

National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler

National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler National kvælstofmodel Oplandsmodel til belastning og virkemidler Kortleverancer Anker Lajer Højberg, Jørgen Windolf, Christen Duus Børgesen, Lars Troldborg, Henrik Tornbjerg, Gitte Blicher-Mathiesen,

Læs mere

Mulige feltstudier til vurdering af vandets strømningsveje i relation til nitratreduktion i undergrunden?

Mulige feltstudier til vurdering af vandets strømningsveje i relation til nitratreduktion i undergrunden? Mulige feltstudier til vurdering af vandets strømningsveje i relation til nitratreduktion i undergrunden? Jens Christian Refsgaard, Flemming Larsen og Klaus Hinsby, GEUS Peter Engesgaard, Københavns Universitet

Læs mere

modeller for den umættede zone en ny geofysisk metode i hydrologisk modellering?

modeller for den umættede zone en ny geofysisk metode i hydrologisk modellering? Tidsligt opløste tyngdemålinger som data i modeller for den umættede zone en ny geofysisk metode i hydrologisk modellering? Lars Christiansen, Allan B. Hansen, Majken C. Looms, Eline B. Haarder, Philip

Læs mere