SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET"

Transkript

1 Kapitel 11 SKALAFORHOLD OG HETEROGENITET Torben Obel Sonnenborg og Karsten Høgh Jensen Geologisk Institut, Københavns Universitet Nøglebegreber: Geostatistik, effektive parametre, skalaafhængighed opskalering, variabilitet i trykniveau, nøjagtighedskriterier. ABSTRACT: Ved opstilling af grundvandsmodeller er det afgørende for opnåelse af en troværdig model, at størrelsen og variationen af det hydrauliske trykniveau specificeres korrekt. Det er derfor nærliggende at udnytte tilgængelig information om målinger af hydraulisk trykniveau, når modellen parametriseres. Det kan imidlertid være problematisk at anvende målte værdier af hydraulisk ledningsevne direkte i modellen, da den hydrauliske ledningsevne er skalaafhængig. Kapitlet præsenterer resultater fra litteraturen, der dels dokumenterer denne skalaafhængighed, dels fremkommer med en mulig model for den hydrauliske ledningsevnes afhængighed af skalaen. Desuden anvises der metoder til beregning af den effektive hydrauliske ledningsevne baseret på enkeltmålinger, hvor den effektive ledningsevne er den homogene værdi af hydraulisk ledningsevne der resulterer i den mest korrekte reproduktion af strømningen i et grundvandsmagasin, hvor småskalaheterogeniteterne ikke eksplicit beskrives i modellen. Endelig præsenteres en metode, hvorpå størrelsen af afvigelserne mellem observeret og simuleret trykniveau, som skyldes ikke modelleret heterogenitet, kan estimeres. Denne information er vigtig i forbindelse med opstilling af nøjagtighedskrav til grundvandsmodellen, idet heterogenitet som der ikke er gjort rede for eksplicit i modellen vil give anledning til en signifikant del af den samlede forventede afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau INDLEDNING Geologisk heterogenitet har afgørende indflydelse på simulering af både grundvandsstrømning og transport. Det er f.eks. velkendt, at jo større heterogenitet et grundvandsmagasin er karakteriseret ved, des sværere er det at opnå god overensstemmelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Desuden vil spredningen af opløste blive større med stigende heterogenitet. Der kan differentieres mellem forskellige typer af heterogenitet, og i det efterfølgende vil det generelt blive antaget, at det er heterogeniteten indenfor facies, der analyseres. Variabiliteten i geologiske enheder antages at kunne karakteriseres vha. indikator-baserede statistiske metoder (f.eks. T-Progs, Carle & Fogg, 1997), men da der i praktiske problemstillinger normalt er foretaget en geologisk analyse, hvor de dominerende facies er identificeret og kortlagt, vil der her blive fokuseret på at karakterisere variationen i hydrogeologiske parametre indenfor de enkelte hydro-facies. Indenfor grundvandshydrologi beskrives heterogeniteten vha. nogle hydrauliske parametre, hvor den hydrauliske ledningsevne, K, er den dominerende. Darcy s lov beskriver sammenhængen mellem K og det hydrauliske trykniveau. Når K varierer, vil gradienten dh/dx alt andet lige også variere. For at kunne genskabe de observerede variationer i den hydrauliske gradient, er det nødvendigt at kunne reproducere et realistisk billede af fordelingen af K. Det kræver imidlertid information om, hvordan K varierer rumligt i grundvandsmagasinet, og denne information er normalt ikke til stede. Derfor må man ofte modellere et heterogent grundvandsmagasin som et effektivt medium, hvor K antages at være homogen. Herved introduceres uvilkårligt fejl, og disse fejl vil resultere i modellens manglende evne til at genskabe et nøjagtigt billede af det hydrauliske trykniveau i det pågældende magasin (såkaldt prediktionsfejl). Størrelsen af prediktionsfejlen afhænger naturligvis af, hvordan den geologiske heterogenitet er fordelt i grundvandsmagasinet. 11-1

2 Det er derfor vigtigt at kvantificere den geologiske heterogenitet både mht. karakter og størrelsen. Til dette formål anvendes normalt traditionelle statistiske redskaber, hvor størrelser som f.eks. middelværdi og varians af den hydrauliske ledningsevne bestemmes. For at beskrive den rumlige karakter af den geologiske heterogenitet benyttes geostatistik, hvorved det er muligt at kvantificere, hvordan K varierer rumligt. Erfaringsværdier fra danske grundvandsmagasiner mht. kvantificering af den geologiske heterogenitet er relativt begrænset. Det er gennemført nogle få undersøgelser i forbindelse med punktkildeforureninger, hvor den rumlige fordeling af den hydrauliske ledningsevne er velbestemt. På oplandsskala er der imidlertid sparsomt med litteratur om, hvordan K varierer. Det er imidlertid vigtigt at opnå erfaringsværdier for den geologiske heterogenitet på forskellige skalaer, da heterogeniteten afhænger af skalaen. På poreskala vil de enkelte korn have forskellig størrelse og dermed vil åbningerne, hvor igennem vandet kan strømme, være forskellige, hvilket resulterer i variation i strømningshastighed og retning. På lidt større skala vil der indenfor en given geologisk enhed, f.eks. sand, kunne findes forskellige fraktioner af sandet (finsand, mellemsand, grovsand), som vil give anledning til forskellige K-værdier. For endnu større skala vil heterogeniteten være domineret af kontrasterne mellem forskellige geologiske formationer, f.eks. moræneler og smeltevandssand. Det er derfor vigtigt at tage skalaen, hvorpå man arbejder, med i betragtning. Det gælder også i forbindelse med målinger af f.eks. den hydrauliske ledningsevne, som vil være afhængig af jordvolumenet, der inddrages i målingen (f.eks. slugtest, korttidsprøvepumpning, langtidsprøvepumpning). I det følgende vil de ovenstående problemstillinger blive beskrevet i flere detaljer. Efterfølgende vil sammenhængen mellem størrelsen af den geologiske heterogenitet og evnen til at simulere et sådant heterogent magasin blive beskrevet. De mere teoretiske udledninger og resultater vil blive illustreret gennem relativt simple eksempler, hvor effekten af den geologiske heterogenitet vil blive kvantificeret. 11. GEOSTATISTISK KARAKTERISERING AF GEOLOGISKE HETEROGENITET En af de mest anvendte metoder til karakterisering af geologisk heterogenitet er geostatistik, som er udviklet til at beskrive den rumlige struktur af naturlige variable såsom hydrogeologiske parametre. Grundlæggende betragter geostatistikken observerede værdier af geologiske parametre som realisationer af en stokastisk proces. Den pågældende variabel eller parameter er derfor en stokastisk variabel Y, med middelværdi µ Y og varians Y. Y E (11.1) Y Y E Y Y Y Var (11.) Den hydrauliske ledningsevne K har i praksis ofte vist sig at følge en log-normalfordeling (Hoeksema & Kitanidis, 1985). Derfor vil variablen Y = lnk være normalfordelt, og da en normalfordelt variabel er fuldkommen karakteriseret ved dens middelværdi og kovariansfunktion foretages transformationen Y = lnk i praksis næsten altid. Den rumlige variabilitet kan beskrives vha. autokovariansfunktionen Cov{Y(x), Y(x+h)}, hvor h er forskydningsvektoren, hvis størrelse svarer til afstanden mellem to steder, hvor Y evalueres. Autokovariansfunktionen Cov{Y(x), Y(x+h)} = Cov{x,h} er givet ved Cov x h EY ( x) Y ( x h), (11.3) Y Y Autokovariansfunktionen beskriver, hvordan Y varierer i rummet relativt til sig selv. Jo større kovariansværdi, des større korrelation. Hvis Cov{x,h} = 0 er der ingen korrelation mellem Y i punkterne x og x+h, mens der for Cov{x,h} = Y er en perfekt korrelation mellem Y i punkterne x og x+h. Hvis µ Y er konstant, siges Y at være første ordens stationær. Hvis også Cov{x,h} er konstant, dvs. ikke varierer med x, er Y også anden ordens stationær og Cov{x,h}=Cov{h}. Den rumlige korrelationsstruktur kan alternativt beskrives vha. semi-variogrammet (h) 11-

3 1 1 ( h) VarY x Y x h E Y ( x) Y ( x h) (11.4) som er et mål for den kvadrerede forskel på observationer som funktion af afstanden mellem observationer. For en given afstand h = h 1, vil øges med stigende forskel mellem værdierne af Y i hhv. lokaliteten x og x+h 1. Hvis der antages anden orden stationaritet gælder følgende sammenhæng mellem semi-variogrammet og autokovariansfunktionen, (h) = Cov(0) Cov(h), hvor Cov(0) = Y. semi-variogrammet går med andre ord fra (0) = 0 til (h) = Y. Variogrammet estimeres ud fra målinger af K (eller transmissiviteten T), som antages at være tilgængelig i et antal der gør en statistisk analyse meningsfuld. I praksis defineres et antal klasser af afstande, f.eks. 0-1 km, 1- km, osv. For hvor klasse vil der findes N 1 par af observationer, der ligger med en indbyrdes afstand svarende til den pågældende klasse. Den gennemsnitlige afstand mellem observationspar i den pågældende klasse beregnes (h 1 ), og middelværdien af ½(Y i -Y j ) beregnes og plottes mod den gennemsnitlige afstand h 1. På figur 11.1 ses et eksempel på et eksperimentelt variogram. Siden det er formålet med en geostatistisk analyse at uddrage information om de hydrogeologiske parametres struktur, er det hensigtsmæssigt at tilpasse en matematisk model til det eksperimentelle variogram. Der findes en række forskellige model-variogrammer, men her vil kun den mest almindeligt anvendte indenfor hydrogeologien blive præsenteret, det såkaldte eksponentielle semivariogram h *( h) a1 a 1 exp, h 0 (11.5) hvor a 1 er nugget effekten, som kan skyldes diskontinuitet i semivariogrammet for h = 0 og/eller småskalavariabilitet, som ikke fanges på den undersøgte skala. F.eks. vil K-observationer baseret på prøvepumpningsresultater ikke kunne kvantificere variabiliteten på en skala mindre end influensradius for prøvepumpningerne. a 1 + a kaldes for sill og betegner variogramværdien for store afstande, hvor der ikke nogen korrelation i data (a 1 + a = Y ). Afstanden, hvor sill nås, betegnes range, som er lig 3. angiver korrelationslængden, som er den afstand, hvor korrelationen er lig e Kvalitativt kan korrelationslængden betragtes som den afstand indenfor hvilken der er stærk korrelation mellem K-værdier, mens range angiver den afstand, udenfor hvilken K ikke længere er korreleret. På figur 11.1 ses en geostatistisk analyse af hydraulisk lednings-evnedata bestemt ud fra prøvepumpningstests i Danien-kalken i et område på Østsjælland. Korrelationslængden er bestemt til = 410 m, svarende til at data stort set er ukorrelerede for afstande større end h = 3 = 130 m. Da nugget effekten er nul, svarer sill til variansen på K, som kan aflæses til m /s. Standard afvigelsen er dermed givet ved K = m/s. 11-3

4 8.0E-08 Semivariogram (m /s ) 6.0E E-08.0E E Afstand, h (m) Figur 11.1 Semivariogram-analyse af hydraulisk ledningsevne. Punkterne angiver det eksperimentelle variogram. Det eksponentielle model-variogram har følgende parametre: Korrelationslængde = 410 m, sill = m /s. Da nugget effekten er lig nul er sill = K. Det skal nævnes, at der kan forekomme anisotropi i variogrammet, dvs. at der opnås forskellige resultater, hvis der foretages en retningsspecifik analyse. Der vil i det tilfælde kunne estimeres korrelationslængder i tre principale retninger, 1, og 3. Pga. lagdeling vil der ofte kunne antages isotropi i horisontal retning ( 1 = ), mens der vil være forskel på korrelationslængderne i horisontal og vertikal retning ( 1 = 3 ), hvilket data præsenteret i det efterfølgende afsnit vil illustrere OBSERVATIONER AF GEOLOGISKE HETEROGENITET Gelhar (1993) har samlet et stort datasæt om de geostatistiske egenskaber for hydrauliske parametre, se tabel 4.1. Standardafvigelsen på lnk (eller lnt) falder generelt i intervallet 0.5 Y.5, og der ses ikke nogen tendens til, at Y er skalaafhængig, se figur 11.. Korrelationslængderne i specielt horisontal retning varierer meget. For transmissivitetsdata findes korrelationslængder i størrelsesorden 10 til 10 4 m, mens der for infiltrationsundersøgelserne og lokale tre-dimensionale aquiferundersøgelser findes meget mindre horisontale korrelationslængder, typisk i størrelsesorden 10 m. Den statistiske anisotropi (forholdet mellem horisontal og vertikal korrelationslængde) ligger hovedsageligt i intervallet 10 40, hvilket er et udtryk for mere eller mindre grad af lagdeling i de undersøgte aflejringer. 11-4

5 Tabel 11.1 Standard afvigelse og korrelationslængde for lnk (eller lnt) for en række formationer (fra Gelhar, 1993). Medium Korrelationslængde Skala for undersøgelse Y (m) (m) (m) Horisontal Vertikal Horisontal Vertikal Transmissivitetsdata (dybdeintegrerede observationer baseret på pumpetests) Alluvialt magasin Alluvialt magasin Alluvialt bassin Alluvialt magasin Alluvialt bassin Kalkmagasin Kalkmagasin Sandstensmagasin Skrivekridtsmagasin Sandstensmagasin Jord (baseret på observationer af infiltrationsrater på jordoverfladen) Alluvialt silt-ler blandet jord Shale underjord 0.8 < 14 Prærie jord Rød middelhavs jord Alluvial jord Fluvial jord Groft sandblandet lerjord Tre-dimensionale aquiferdata Fluvialt sand 0.9 > Glacial-lacustrine sand magasin (Borden, Canada) Glacial smeltevandsaflejring (Cape Cod, USA) Glacial smeltevandsaflejring Eolisk sandstensblotning Fluvialt sand og grus magasin (Columbus, USA) Sand og grus aflejring Sandstensmagasin

6 De horisontale korrelationslængder har tendens til at være skalaafhængige. Dette ses tydeligere på figur 11., hvor hhv. standardafvigelsen og korrelationslængden er plottet mod undersøgelsesskalaen. Korrelationslængderne følger pænt den indlagte rette linie, som svarer til at korrelationslængden er lig 1/10 af undersøgelsesskalaen. Gelhar (1993) forklarer denne skalafhængighed i korrelationslængden med, at der på forskellige skalaer findes forskellige typer af heterogenitet, som hver vil resultere i en sill-værdi i en geostatistisk analyse, se figur Med øget skala vil der typisk blive integreret over flere typer af heterogenitet. F.eks. vil det på regional skala ( km) være forskellen mellem facies (f.eks. smeltevandssand og marint aflejret sand), der dominerer en analyse af heterogeniteten, mens det på lokal skala ( m) vil være heterogeniteten indenfor facies, der er afgørende. Antallet af danske undersøgelser af den geostatistiske fordeling af den hydrauliske ledningsevne er begrænset. I tabel 11. er en række data samlet. Y Figur 11. Standardafvigelse og korrelationslængde for lnk afbildet mod undersøgelsesskala for data fra tabel 11.1 (fra Gelhar, 1993). Figur 11.3 Mulig model for korrelations-længdens skalaafhængighed (fra Gelhar, 1986). 11-6

7 Tabel 11. Standardafvigelse og korrelationslængder for danske formationer. Medium Korrelationslængde Skala for undersøgelse Y (m) (m) (m) Horisontal Vertikal Horisontal Vertikal Transmissivitetsdata (dybdeintegrerede observationer baseret på pumpetests) Danien-kalk* Jord (permeametertest på 100 cm 3 prøver) Morænelandskab, Tåstrup (Hansen et al., 1986) 1.9 < Alluvial smeltevandsaflejring, Jyndevad (Hansen et al., 1986) Tre-dimensionale aquiferdata (baseret på slug tests) Vestskoven** (Christiansen, 1998) Glacial smeltevandsaflejring, Vejen (Højberg, 001) Glacial smeltevandsaflejring, Vejen (Bjerg et al., 199) Glacial smeltevandsaflejring, Grindsted (Petersen, 000) * Baseret på transmissivitetsdata i Greve-området. ** K værdier baseret på kornstørrelsesanalyser af jordprøver SKALA-FORHOLD I HYDRAULISK LEDNINGSEVNE Detaljerede undersøgelser af den hydrauliske ledningsevnes skalaafhængighed er først blevet gennemført for relativt nyligt (f.eks. Bradbury & Muldoon, 1990; Rovey & Cherkauer, 1995; Shculze-Makuch & Cherkauer, 1998). Disse undersøgelser viser, at K varierer med måleskalaen, og at der er en generel tendens til, at K øges med stigende skala, se figur Figur 11.4 Den hydrauliske ledningsevnes skalaafhængig for to geologiske medier (Bradbury & Muldoon, 1990). 11-7

8 Den samme tendens er konstateret i en dansk undersøgelse af morænelersaflejringer ved Ringe på Fyn (Nilsson et al., 001). Fredericia (1990) sammenligner mættet hydraulisk ledningsevne bestemt ved forskellige laboratorium- og felt-metoder for danske moræneaflejringer, og finder en lignende trend, som tilskrives tilstedeværelsen af sprækker. Schulze-Makuch & Cherkauer (1998) har vist, at skalaafhængigheden ikke skyldes måle-metoderne, der anvendes på forskellige skalaer (f.eks. slug test, prøvepumpningstest), men er en reel fysisk egenskab ved heterogene medier. Følgende type model er blevet foreslået til beskrivelse af K s afhængighed af skala (Neuman, 1994; Shculze- Makuch, 1999) K m cv, V Vm (11.6) hvor V er volumenet af geologisk materiale, der er inkluderet i målingen, m er en skaleringseksponent og c er en konstant, der teoretisk set beskriver den hydrauliske ledningsevne for V=0, dvs. en punktmåling. Prøvevolumenet for de enkelte metoder, der anvendes til karakterisering af hydraulisk ledningsevne, er anført i tabel Sánchez-Vila et al. (1996) har forslået en teori, der forklarer, hvorfor den hydrauliske ledningsevne stiger med skalaen, hvorpå der måles. De anfører, at skalaeffekterne i de fleste tilfælde skyldes tilstedeværelsen af høj-permeable zoner, der er forbundet med hinanden. I opsprækkede medier udgøres de høj-permeable zoner af sprækkerne, som via skæringer mellem sprækkeplaner kan være forbundet over store afstande. I porøse medier forventer Sánchez-Vila et al. at eksistensen af højpermeable zoner er mere reglen end undtagelsen. Som eksempel henviser de til Fogg (1990), der beskriver et fluvialt aflejringsmiljø som bestående af en lav-permeabel matrix med et høj-permeabelt sandet kanalnetværk indbygget, se figur Generelt forventer forfatterne derfor, at fluviale aflejringssystemer vil have høj-permeable zoner, der er forbundet langs palaeokanalerne, som pga. deres natur vil være velforbundne. Punkt-målinger af K fra systemet vist i figur 4.3 kan meget vel vise Tabel 11.3 Udregning af prøvevolumen for forskellige målemetoder (efter Schulze-Makuch et al., 1999). Test metode Volumen, V Permeameter V s Piezometer test (slug test) V w /n e Pakker test V w /n e Specifik kapacitets test Qt/n e Prøvepumpningstest Qt/n e Tracer test V p /n e Infiltrationstest L f L t B Numeriske strømningsmodeller L f L t B V s er volumenet af prøven V w er volumenet af vand tilført eller fjernet n e er den effektive porøsitet Q er pumperaten t er tiden V p er volumenet af fjernet til tiden, hvor den advektive front ankommer L f er strømningsafstand L t er transversal spredningsafstand (=L f /10) B er tykkelsen af den geologiske enhed sig at være log-normalfordelte, men korrelationsstrukturen kan ikke beskrives ved et enkelt variogram. Høje K-værdier vil have større korrelationslængder end lave K-værdier, og variogrammet vil derfor afhænge af K, = (h,k). Sánchez-Vila et al. (1996) viser i D numeriske eksempler, at den effektive hydrauliske ledningsevne er større end den geometriske middelværdi i heterogene K-felter med høj grad af konnektivitet af de høj-permeable zoner. Schulze-Makuch & Cherkauer (1998) forklarer skalaafhængigheden i prøvepumpningstests med den konceptuelle model vist i figur Den største del af modelområdet udgøres af et relativt lav-permeabelt materiale, hvori der er indlejret nogle højpermeable zoner. I et sådant system er det mest sandsynligt, at en tilfældigt placeret boring er filtersat i den lav-permeable matrix, som illustreret med boring P1 i figur I starten af prøvepumpningstesten måles en lav hydraulisk ledningsevne, men efter et stykke tid inkluderer indvindingsoplandet også nogle højpermeable zoner (som eventuelt er forbundet i et tre-dimensionalt netværk). Den målte hydrauliske ledningsevne vil derfor stige, når større volumener af magasinet påvirkes af indvindingen. 11-8

9 Figur 11.5 Konturplot af sandindholdet i et område i Texas. De mørkskraverede områder udgør høj-permeable velforbundne områder. Fra Fogg (1990). Figur 11.6 Konceptuel model for heterogenitet i porøse medier. De højpermeable zoner kan være forbundet i den tredje dimension (fra Schulze- Machus & Cherkauer, 1998). 11-9

10 I en omfattende analyse af målinger af den hydrauliske ledningsevne fra 39 forskellige formationer fandt Schulze-Makuch et al. (1999) frem til følgende parametre for forskellige typer af hydrogeologiske medier, se tabel Tabel 11.4 Middelværdier af parametre i relationen (4.6) baseret på eksperimentelle data. N angiver antallet af undersøgte geologiske formationer. c angiver K for V 1 m 3 (fra Schulze-Makuch et al., 1999). Nr. Type N m c (m/s) V m (m 3 ) 1 Heterogent porøst medium >1 - >10 5 Dobbelt-porøst medium > Sprække-strømning > Kanal-strømning > >10 9 Type 1 medium dækker over ukonsoliderede sandaflejringer samt konsoliderede bjergarter som f.eks. dolomit. Type medier inkluderer ukonsoliderede bjergarter såsom opsprækket moræneler og heterogene aflejringer med veludviklede lag og linser af sand. Desuden konsoliderede bjergarter som lagdelte dolomitter, packstone, samt kalk med tynde mergellag. Type 3 medier repræsenterer opsprækkede, konsoliderede bjergarter med lav matrix porøsitet og permeabilitet som shales, mudstones og krystallint dolomit. Type 4 medier inkluderer konsoliderede karbonatbjergarter, hvor sprækkerne kan være blevet udvidet af f.eks. opløsningsprocesser, så der opstår kanaler i sprækkerne. Prøvepumpningstest i denne type af hydrologisk medium udviser, ligesom type 3 medier, et retliniet trykrespons i et log-log plot. Figur 11.7 Eksempler på skala-afhængigheden for porøst medium facies samt de tilhørende modeller af typen givet ved ligning (4.5). Fra Schulze-Makuch & Cherkauer (1998). Analysen af skalaafhængigheden viser, at for porøse, ikke-opsprækkede, medier er m 0.5 (se figur 11.7), mens den for medier domineret af sprække-strømning er tæt på 1.0. For de dobbeltporøse medier findes en værdi midt imellem på ca For hver enkelt type af medium er m uafhængig af den geologiske aflejrings variabilitet, f.eks. udtrykt ved variansen på lnk ( Y ). Værdien af m er ligeledes uafhængig af, om der er tale om et konsolideret eller ukonsolideret medium

11 Værdien af c afhænger af det pågældendes mediums hydrauliske ledningsevne på punktskala, hvilket i praksis vil sig på den mindste skala, hvor der er udført hydrauliske tests. Den øvre grænse, hvor udtryk (11.6) gælder og over hvilken skala-afhængigheden ophører, afhænger af heterogeniteten af mediet. I medier med høj variabilitet skal der dermed inddrages et stort volumen af formationen, før en konstant værdi af K findes, mens der for relativt homogene medier hurtigt findes en hydraulisk ledningsevne, som vil være repræsentativ for en større skala. Iversen et al. (001) undersøgte skalaafhængigheden i en analyse af fire områder i Danmark (ler-blandet sand områderne Silstrup og Estrup, samt sandområderne Jyndevad og Tylstrup). I alle fire områder blev der indsamlet prøver på hhv. 100 cm 3 og 680 cm 3, hvorpå der bl.a. blev målt mættet hydraulisk ledningsevne. For de to heterogene jordtyper (Siltrup med Y på 1.44 og 1.14 for hhv. små og store prøver, og Estrup med Y på 1.56 og 1.58 for hhv. små og store prøver) blev der fundet en skalaafhængig, som understøtter analysen af Schulze-Makuch et al. (1999), med m- værdier på hhv og 0.6. For de to relativt homogene områder (Jyndevad med Y på 0.43 og 0.45 for hhv. små og store prøver, og Tylstrup med Y på 0.8 og 0.48 for hhv. små og store prøver) blev der ikke fundet nogen skala-afhængighed, hvilket kan skyldes, at den øvre grænse for gyldigheden af udtryk (11.6) allerede er nået ved en prøvestørrelse på 100 cm 3, hvilket stemmer godt overens med, at de to områder er relativt homogene EFFEKTIV HYDRAULISK LEDNINGSEVNE Heterogenitetens indflydelse på grundvandsstrømning og transport har været undersøgt af mange forskere og der er publiceret en omfattende mængde artikler om emnet (f.eks. Freeze, 1975; Bakr et al., 1978; Gutjahr et al., 1978; Dagan, 1979; Gelhar & Axness, 1983). I det følgende vil der fortrinsvis blive taget udgangspunkt i L.W. Gelhars stokastiske arbejde, f.eks. (Gelhar, 1993). Graden og karakteren af rumlig variabilitet i den hydrauliske ledningsevne er af afhørende betydning for grundvandsstrømning og transport. Der er to spørgsmål, som har haft stor bevågenhed siden midten af 1970 erne: (1) Hvordan bestemmes en ækvivalent (effektiv) hydraulisk ledningsevne, som kan repræsentere den integrerede effekt af et heterogent medium, og () hvordan forplanter usikkerhed i hydraulisk ledningsevne sig til usikkerhed i hydraulisk trykniveau. I dette afsnit vil det første spørgsmål blive adresseret, mens spørgsmål vil blive behandlet i næste afsnit. Det er imidlertid den samme metode og de samme antagelser, der anvendes til at analysere begge spørgsmål, og disse vil blive præsenteret her. For at svare på ovenstående spørgsmål er der blevet anvendt forskellige stokastiske metoder, hvor den såkaldte perturbationsmetode har været en af de mest succesfulde til at producere generelle analytiske udtryk, som umiddelbart kan anvendes i praksis. I perturbationsmetoden repræsenteres det hydrauliske trykniveau h og den hydrauliske ledningsevne K (eller Y = lnk) ved deres middelværdi og perturbationer h H h ; Y Y Y ; E E h 0 Y 0 (11.7) Ved indsættelse af ovenstående for h og lnk i strømningsligningen er det muligt at udlede udtryk for hhv. middeltrykniveauets afhængighed af middel hydrauliske ledningsevne H x i H x i Y x i 0 (11.8) og sammenhængen mellem trykniveauets perturbationer h og lnk s perturbationer Y h Y x x i i h H x x i i Y x i (11.9) 11-11

12 Den stokastiske partielle differentialligning (11.9), som relaterer inputtet Y til outputtet h, er udledt under antagelse af, at perturbationerne Y er små. Der findes forskellige metoder til at løse (11.9). En af de mest succesfulde er den spektrale metode, Gelhar (1986), men også andre metoder som f.eks. den såkaldte Greens funktion metode, Dagan (1986, 1989), har været anvendt. Perturbationsmetoden er approksimativ, da det antages, at fluktuationerne Y er relativt små. Desuden er det nødvendigt at introducere en række antagelser, for at kunne gennemføre analysen, som inkluderer stationær strømning i medier af uendelig udstrækning, hvor igennem der foregår en strømning med middel hydraulisk gradient J. Desuden forudsættes det, at lnk kan beskrives som en normalfordelt stationær stokastisk funktion. Vha. den spektrale perturbationsmetode kan den effektive hydrauliske ledningsevne for medier af forskellige geostatistiske egenskaber bestemmes. Den effektive hydrauliske ledningsevne kan defineres vha. Darcy s lov dh qi K (11.10) dx i Tages middelværdien af Darcy-ligningen fås dh dh E q i K eff E K eff J, J E (11.11) dxi dxi Hele konceptet omkring en effektiv hydraulisk ledningsevne bygger på, at der kan defineres en K eff, så ligning (11.11) er opfyldt. For stationær, planparallel strømning er dette tilfældet, og værdien af K eff afhænger bl.a. af, om det betragtede problem er 1,, eller 3-dimensionalt. Baseret på resultater af Gutjahr et al. (1978) foreslog Gelhar & Axness (1983) følgende generelle formel for den effektive hydrauliske ledningsevne i medier med isotrop korrelationsstruktur 1 1 K eff K g exp Y (11.1) D hvor D er antallet af dimensioner, hvori strømningen foregår, og K g er den geometriske middelværdi, der kan estimeres som n 1 K g exp ln K i n i1 (11.13) Det ses af (11.1), at K eff stiger med antallet af dimensioner D. I det to-dimensionale tilfælde (D=) fås det simple udtryk K eff = K g. Gelhar & Axness (1983) fandt også et udtryk for den effektive ledningsevne i tre-dimensionale medier med anisotropisk korrelationsstruktur ( 1 = 3 ) K 1 K g exp gii Y, i 1,,3 ( ingen sum over ) (11.14) eff, ii i hvor 0 g ii 1 er givet ved et relativt langt udtryk, der afhænger af forholdet mellem korrelationslængden hhv. parallelt med og vinkelret på stratificeringen ( 1 / 3 ). I tabel 11.5 ses g 11 og g 33 for forskellige forhold af 1 / 3. Desuden er forholdet mellem den effektive hydrauliske ledningsevne og den geometriske ledningsevne angivet. Det ses, at ledningsevnen parallelt med stratificering (K eff,11 ) stiger, når forholdet mellem korrelationslængderne øges, svarende til stigende grad af stratificering. 11-1

13 Tabel 11.5 Værdier af g 11 og g 33 samt K eff,11 /K g og K eff,33 /K g ( Y = 1) i udtryk (11.14) som funktion af 1 / 3. 1 / 3 g 11 g 33 K eff,11 /K g K eff,33 /K g Det modsatte gør sig gældende for K eff,33. For et perfekt lagdelt medium ( 1 / 3 ) fås g 11 = 0 og g 33 = 1. I dette tilfælde er den effektive ledningsevne parallel med lagdelingen altså givet ved 1 K eff,11 K g exp Y (11.15) Da exp(½ Y ) > 1 for fysisk realistiske værdier af Y, vil den effektive hydrauliske ledningsevne parallelt med lagdeling for det anisotrope medium være større end i det to-dimensionale tilfælde, hvor K eff = K g. Udtrykket (11.15) svarer til den aritmetiske middelværdi af K. Strømning i virkelige grundvandsmagasiner er tre-dimensional, men ofte behandler man grundvandsmagasinerne, som om de var to-dimensionale, dvs. der benyttes ét numerisk lag til at repræsentere dem, og den hydrauliske ledningsevne forudsættes homogen over dybden af magasinet. Ved prøvepumpningstests er det normalt transmissiviteten, der fastlægges, hvor transmissiviteten er et dybdeintegreret mål for magasinets vandføringsevne. I bedste fald karakteriseres den horisontale variabilitet i K, mens der stort set aldrig er data til rådighed til at belyse den vertikale variation i K. Vertikal heterogenitet bliver eventuelt kvantificeret vha. en anisotropifaktor, der oftest er svær at estimere, og normalt fastlægges ud fra en antagelse om en vis lagdeling i magasinets opbygning. Mht. observationer af trykniveauet står man normalt også i den situation, at trykniveauets variation over dybden af magasinet ikke kan kortlægges, da der kun er foretaget en enkelt måling af h på den pågældende lokalitet. Denne måling kan repræsentere enten et integreret mål for trykniveauet i magasinet, hvis der er tale om et langt filter, eller en mere punktformig information, hvis der måles i et relativt kort filter. I praksis bliver grundvandsmagasiner derfor ofte modelleret som todimensionale enheder, specielt hvis der kun fokuseres på strømning. Hvis det antages, at målingerne fra systemet (K og h) hovedsageligt repræsenterer dybdeintegrerede størrelser, vil det være mest korrekt, at benytte resultaterne fra analysen af D grundvandsstrømning til at kvantificere den effektive hydrauliske ledningsevne (K eff = K g ). Vha. ligning (11.1) eller (11.14) beregnes den homogene K-værdi, der strømningsmæssigt repræsenterer et område af en vis størrelse, og som vil kunne anvendes i en numerisk model. Det er imidlertid en forudsætning, at de lokale K-værdier, hvorpå den statistiske analyse baseres, er repræsentative for den skala, hvorpå der modelleres. Formel (11.1) og (11.14) er ikke opskaleringsudtryk, hvor man får parametre ud til brug på regional skala, hvis man sætter parametre ind, der er fundet på lokal skala (se afsnit 4.4). Hvis der modelleres på en skala, der er større end V m (hvor K er uafhængig af skala for V > V m ), bør K-værdier målt på en skala, der er mindre end V m principielt set opskaleres vha. udtryk (11.6) inden de anvendes som basis for beregning af effektive ledningsevner. Ved brug af de effektive hydrauliske ledningsevner sikres derefter, at fluksen gennem det betragtede område bliver lig middelfluksen gennem det tilsvarende heterogene magasin, dvs. at ligning (11.11) er opfyldt EFFEKTEN AF GEOLOGISK HETEROGENITET PÅ TRYKNIVEAU Den hydrauliske ledningsevne, K, afhænger kraftigt af undergrundens geologiske opbygning. F.eks. vil sand have en ledningsevne, der er flere størrelsesordener højere end ledningsevnen for ler. I praksis tilstræbes det at opbygge hydrogeologiske modeller, så den rumlige geometri af de 11-13

14 forskellige hydrostratigrafiske enheder, også benævnt hydrofacies, kortlægges. Men selv hvis det er muligt præcist at beskrive den rumlige placering og geometri af de forskellige hydrofacies, der forekommer i et område, vil variationen i K stadig ikke være fuldt beskrevet. Det er velkendt, at K varierer inden for den enkelte hydrofacies, f.eks. en smeltevandsaflejring. Pga. mangelfuld information om variationen i K indenfor facies, beskrives magasinet i praksis ofte vha. en zoneringsstrategi, hvor det opdeles i et endeligt antal (ofte få) enheder eller zoner, indenfor hvilke den hydrauliske ledningsevne antages at være konstant. Små-skala undersøgelser som f.eks. lossepladsundersøgelserne ved Vejen (Bjerg et al., 199; Højberg, 001) og Grindsted (Petersen, 000) har vist, at K varierer over selv ganske korte afstande, og det er derfor evident, at zoneringsmetoden ikke kan reproducere den sande trykniveaufordeling indenfor de enkelte zoner, da variationen i K ikke, på det foreliggende datagrundlag, kan beskrives. Ved passende valg af K for den enkelte zone kan det imidlertid forventes, at middeltrykniveauet kan beskrives, men småskalavariationerne i h vil ikke blive reproduceret. Når modellen kalibreres vil der med andre ord blive fundet en afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau, der kan kvantificeres vha. f.eks. en RMS-værdi. Det vil derfor være interessant at kvantificere, hvor stor denne afvigelse kan forventes at være, og at belyse hvilke faktorer der har indflydelse på dens størrelse. Da grundvandsmagasiner på oplandsskala ofte behandles som to-dimensionale systemer (ingen variation af K over dybden af magasinet, h-observationer repræsenterer hele magasinets tykkelse, ofte benyttes ét numerisk beregningslag til at repræsentere et grundvandsmagasin), vil der her kun blive refereret resultater fra analysen af to-dimensionale strømningssystemer med isotrop korrelationsstruktur. I dette tilfælde kan der udledes følgende udtryk for variansen på det hydrauliske trykniveau (Gelhar, 1993) h ln K C J (11.16) hvor C er en koefficient, som afhænger af strømningssystemet. Udtrykket viser, at variansen på trykniveauet afhænger ligeligt af variansen på lnk, korrelationslængden og middelgradienten på trykniveauet J. I tabel 11.7 ses, hvorledes koefficienten C afhænger af systemet der analyseres. Mens C er konstant og uafhængig af systemets Tabel 11.7 Koefficienten C i udtryk (11.16). B er tykkelsen af det frie magasin, J er middelgradienten, og er korrelationslængden. Strømningssystem C D artesisk 0.46 D frit 0.37 ln[1.1b/(j)] egenskaber for et artesisk magasin, afhænger C af både magasinets tykkelse B, middelgradienten J og korrelationslængden for lnk for et frit magasin. På figur 11.8 ses den beregnede standard afvigelse på trykniveauet for varierende værdier af korrelationslængden og den hydrauliske gradient (konstant Y ). For et artesisk magasin med en korrelationslængde på 500 m og en middelgradient på fås eksempelvis en s h = 0.34 m. Kurven for det frie magasin for J = viser en faldende tendens for høje korrelationslængder. Dette skyldes, at teorien, som ligning (11.16) bygger på, er approksimativ, og derfor giver fejlagtige resultater for kombinationer af høj gradient og korrelationslængde

15 sh (m) 4.0 J= J= Korrelationslængde (m) Hvis variansen på trykniveauerne skal give information om, hvor stor en RMS-værdi, der kan forventes for det pågældende system, skal der opstilles en relation mellem s h og RMS. Residualen mellem observeret og simuleret trykniveau er givet ved r h h h (11.17) obs sim og middelværdien af residualerne findes til E (11.18) r r h 1 n ME n ˆ (11.19) r r h i1 Figur 11.8 Standard afvigelse på trykniveauet beregnet vha for hhv. D artesisk (stiplet linie) og frit magasin (fuldt optrukken linie). Y = 1, B = 10 m. Variansen på trykresidualerne er givet ved h r Er Var (11.0) h h r der kan estimeres vha. følgende udtryk n 1 h sh rhi n i1 ˆ ME (11.1) RMS-værdien beregnes vha. følgende udtryk RMS 1 n n r hi i1 (11.) Indsættes udtrykket for RMS i udtryk (11.1) fås s h RMS ME (11.3) Det ses af ovenstående udtryk, at hvis ME = 0, er s h og RMS lig hinanden. I alle andre tilfælde vil RMS-værdien være større end s h

16 For at teste, hvor godt de approksimative analytiske udtryk udledt af Gelhar og andre estimerer usikkerheden på trykniveauet, er der udført et numerisk eksempel. Et to-dimensionalt rektangulært strømningsdomæne med sidelængderne 10 x 5 km er diskretiseret med celler af størrelsen 100 x 100 m. Randbetingelserne består i vestlig ende af fastholdt tryk på 10 m og i østlig ende af fasthold tryk på 0 m. Mod nord og syd er der impermeable rande. Vha. metoden udviklet af Frenzel (1995) er der genereret en realisation af den hydrauliske ledningsevne med en geometrisk middelværdi på m/s, en varians på lnk på 1, og en korrelationslængde på 500 m. På figur 11.9 ses den resulterende fordeling af den hydrauliske ledningsevne. Figur 11.9 Fordeling af hydraulisk ledningsevne samt den resulterende fordeling af hydraulisk trykniveau. Efterfølgende er der vha. MODFLOW000 fundet en strømningsløsning for problemet, hvor det antages at være et artesisk magasin. Den resulterende trykniveaufordeling ses også på figur Der er defineret 0 observationspunkter i den midterste del af området (for at undgå for store påvirkninger fra de fastholdte tryk rande), og det simulerede trykniveau er noteret. Herefter er det samme modelsetup simuleret ved anvendelse af en homogen hydraulisk ledningsevne i hele domænet på m/s. Resultatet ses på figur 11.10, hvor de 0 observationspunkter kan identificeres. Usikkerheden på de observerede trykniveauer er arbitrært sat til s h = 0.1 m. Den GMS producerede figur over afvigelserne illustrerer residualer, der ligger indenfor ± s h ved en grøn søjle, mellem ± s h og 4s h som en gul søjle og over ± 4s h som en rød søjle. Der ses at være en relativ jævn fordeling af afvigelserne over det betragtede område. Figur viser et scatterplot, hvor residualerne ligeledes ses at være rimeligt fordelt. Der beregnes en ME = m og en RMS = m. Standard afvigelsen på trykresidualerne beregnes vha. (11.1) til m, hvilket ses at være meget tæt på estimatet på 0.34 m opnået vha. udtryk (11.16). Effekten af den ikke modellerede heterogenitet i hydrauliske ledningsevne kan altså kvantificeres vha. det approksimative analytiske udtryk

17 Figur Hydraulisk trykniveaufordeling og afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Simuleret trykniveau (m) ME = m RMS = 0.31 m Observet trykniveau (m) Figur Observeret mod simuleret trykniveau. Den rette linie angiver perfekt simulering. I en kalibreringssituation vil man konkludere, at modellen er kalibreret optimalt, hvis der opnås en afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau, der svarer til værdien beregnet vha. formel (11.16), forudsat at heterogeniteten i K er den eneste kilde til afvigelser mellem observeret og simuleret trykniveau. Hvis trykniveauet skal simuleres mere præcist, vil det være nødvendigt at opløse og beskrive systemets heterogeniteter

18 11.7 DISKUSSION OG OPSUMMERING Dette kapitel har fokuseret på skalaafhængighed i hydraulisk ledningsevne, K, bestemmelse af effektiv hydraulisk ledningsevne, K eff, og betydningen af heterogenitet i hydrauliske ledningsevne for præcisionen i simulering af hydraulisk trykniveau, h. Hydraulisk ledningsevne er skalaafhængig op til en vis skala, der kan udtrykkes ved volumenet V m. V m afhænger af heterogeniteten af det medium, der betragtes, f.eks. udtrykt ved variansen på lnk, lnk. V m er en stigende (men ikke kendt) funktion af heterogeniteten, V m = f( lnk ). For et område med stor heterogenitet skal der derfor inddrages et stort volumen, før K kan forventes at være uafhængig af skala (K(V) = konst.). Ved modellering af et givet område skal der benyttes K- værdier, der repræsenterer den skala, som der modelleres på. Hvis der eksempelvis modelleres på markskala (V 10 5 m 3 ), skal der ideelt set anvendes værdier for K, der repræsenterer denne skala, hvilket godt kan være mindre end V m, dvs. punktet, hvor K bliver uafhængig af skalaen. Principielt set kan måleværdier af K skaleres vha. udtryk (11.6), så eksempelvis værdier opnået vha. slug tests kan opskaleres til den ønskede skala. Der er imidlertid usikkerhed på de i indtrykket indgående parametre (m og c), som også afhænger af typen af medium der arbejdes med (enkeltporøst medium, dobbeltporøst medium, etc.), og det er derfor problematisk i praksis at udføre denne opskalering. Det er imidlertid vigtigt at være opmærksom på skalaafhængigheden i den hydrauliske ledningsevne, da K-værdien kan variere betragteligt som funktion af skalaen, se f.eks. figur Man skal derfor være påpasselig med at anvende målte K-værdier som input til en grundvandsmodel, enten direkte eller via en a priori værdi til en invers model (se afsnit 14..3). Da opskalering kun undtagelsesvist vil være muligt, kan man stille spørgsmålstegn ved, om K-værdier målt ved f.eks. slug tests har nogen værdi for en grundvandsmodel, der opererer på oplandsskala. Da K stiger med stigende skala vil slug tests resultaterne angive en nedre grænse for den hydrauliske ledningsevne i det pågældende magasin. Desuden vil forskellen mellem slug tests resultater opnået i forskellige boringer kunne give kvalitativ information om variabiliteten i hydraulisk ledningsevne i magasinet. K vil altid variere fra punkt til punkt i et virkeligt grundvandsmagasin. I praksis har man imidlertid ikke information om denne kontinuerte variation, og det er derfor nødvendigt at antage homogenitet indenfor mere eller mindre velafgrænsede områder. Hvis der er nogle få målinger af K til rådighed, som forventes at repræsentere den ønskede skala, vil det ofte være ønskeligt på baggrund af disse målinger at kunne beregne en effektiv hydraulisk ledningsevne, som resulterer i en hensigtsmæssig simulering af strømningen gennem magasinet. Da grundvandsmagasinerne oftest er anisotrope, dvs. har længere korrelationslængde i horisontal retning end i vertikal retning, vil denne beregning normalt skulle foretages vha. ligning (11.14), eller hvis der antages perfekt lagdeling med ligning (11.15). Herved findes en homogen værdi af den hydrauliske ledningsevne som repræsenterer den betragtede enheds (zone, lag) hydrauliske egenskaber. Når et heterogent grundvandsmagasin modelleres som en homogen enhed, vil der nødvendigvis blive begået en fejl, idet der nogle steder vil blive simuleret et for højt trykniveau og andre steder vil blive simuleret et for lavt trykniveau. Hvis middelværdien af afvigelserne mellem observeret og simuleret trykniveau er tæt på nul, vil det generelt blive betragtet som en acceptabel fremgangsmåde. Spørgsmålet er imidlertid, hvor store afvigelser der i middel kan forventes mellem observeret og simuleret trykniveau i de enkelte målepunkter, dvs. hvor stor RMS-værdi kan der forventes pga. ikke modelleret heterogenitet. Dette har praktisk relevans, når der skal opstilles nøjagtighedskrav til en grundvandsmodel, idet heterogenitet, som ikke kan kortlægges og dermed ikke inkluderes direkte i modellen, vil være årsag til en betydelig del af den samlede afvigelse mellem observeret og simuleret trykniveau. Det er imidlertid muligt at kvantificere denne fejl, hvis der er statistiske informationer til rådighed om den hydrauliske ledningsevne for det modellerede område. Konkret skal der frembringes værdier for variansen og korrelationslængden for lnk, lnk og. Disse værdier kan kun sjældent tilvejebringes for et konkret område, men vha. erfaringsværdier (se tabel 11.), vil det være muligt at komme med kvalificerede gæt på lnk s geostatistiske egenskaber. Kombineres dette med typen af magasin der modelleres (frit eller artesisk) og middelgradienten i det modellerede område, J, kan ligning (11.16) anvendes til at beregne et estimat på variansen af det hydrauliske trykniveau omkring middelværdien, h. Middelværdien af trykniveauet er netop det, som 11-18

19 modellen med den homogene hydrauliske ledningsevne vil simulere, hvis den er kalibreret optimalt. Vha. ligning (11.3) kan den estimerede varians oversættes til en forventning om den resulterende RMS værdi REFERENCER Bakr, A.A., Gelhar, L.W., Gutjahr, A.L., MacMillan, J.R. (1978) Stochastic analysis of spatial variability in saturated subsurface flows, 1. Comparison of one- and three-dimensional flows, Water Resources Research, 14(), Bjerg, P.L., Hinsby, K., Christensen, T.H., Gravesen, P. (199) Spatial variability of hydraulic conductivity of an unconfined sandy aquifer determined by a mini slug test, J. Hydrology, 136, Bradbury, K.R., Muldoon, M.A. (1990) Hydraulic conductivity determinations in unlithified glacial and fluvial materials, Ground Water and Vadose Zone Monitoring, ASTM STP 1053, D.M. Nielsen and A.I. Hohnson, Eds., Am. Soc. for Testing and Materials, Philadelphia, Christiansen, J.S. (1998) Reactive solute transport in a physically and chemically heterogeneous aquifer, Ph.D. Thesis. Department of Hydrodynamics and Hydraulic Engineering, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark. pp appendix. (ISVA Series Paper No. 74). Dagan, G. (1979) Models of groundwater flow in statistically homogeneous porous formations, Water Resources Research, 15(1), Dagan, G. (1986) Statistical theory of groundwater flow and transport: Pore to laboratory, laboratory to formation and formation to regional scale, Water Resources Research, (9), 10S-134S. Fredericia, J. (1990) Saturated hydraulic conductivity of clayey tills and the role of fractures, Nordic Hydrology, 1(), Freeze, R.A. (1975) A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform homogeneous media, Water Resources Research, 11(5), Frenzel, H. (1995) A field generator based on Mejia s algorithm. Institut für Umweltphysik, University of Heidelberg, Germany. Gelhar, L.W. (1986) Stochastic subsurface hydrology from theory to applications, Water Resources Research, (9), 135S-145S. Gelhar, L.W. (1993) Stochastic Subsurface Hydrology, Englewood Cliffs, NJ, Prentice Hall. Gelhar, L.W., Axness, C.L. (1983) Three-dimensional stochatic analysis of macrodispersion in aquifers, Water Resources Research, 19(1) Gutjahr, A.L., Gelhar, L.W., Bakr, A.A., MacMillan, J.R. (1978) Stochastic analysis of spatial variability in saturated subsurface flows,. Evaluation and application, Water Resources Research, 14(5), Hansen, S., Storm, B., Jensen, H.E. (1986) Spatial variability of soil physical properties Theoretical and experimental analyses, I, Soil properties, Rep. 101, Dep. of Soil and Water and Plant Nutrition, R. Vet. and Agric. Univ. of Denmark, Copenhagen

20 Hoeksema, R.J., Kitanidis, P.K. (1985) Analysis of the spatial structure of properties of selected aquifers, Water Resources Research, 1, Højberg, A.L. (001) Numerical analysis of pesticide migration in field injection experiment, Ph.D. thesis, Series Paper no. 77, Department of Hydrodynamics and Water Resources, Technical University of Denmark. Iversen, B.V., Moldrup, P., Schjønning, P., Loll, P. (001) Air and water permeability in differently textured soils at two measurement scales, Soil Science, 166(10), Nilsson, B., Sidle, R.C., Klint, K.E., Bøggild, C.E., Broholm, K. (001) Mass transport and scaledependent hydraulic tests in a heterogeneous glacial till-sandy aquifer system, J. Hydrology, 43, Petersen, M.J. (000) Modeling of groundwater flow and reactive transport in a landfill leachate plume, Ph.D. thesis, Series Paper no. 73, Department of Hydrodynamics and Water Resources, Technical University of Denmark. Rovey, C.W. II., Cherkauer, D.S. (1995) Scale dependency of hydraulic conductivity measurements, Ground Water, 33(5), Sánchez-Vila, X., Carrera, J., Girardi, J.P. (1996) Scale effects in transmissivity, J. Hydrology, 183, 1-. Schulze-Makuch, D., Cherkauer, D.S. (1998) Variations in hydraulic conductivity with scale of measurement during aquifer tests in heterogeneous, porous carbonate rocks, Hydrogeology Journal, 6, Schulze-Makuch, D., Carlson, D.A., Cherkauer, D.S., Malik, P. (1999) Scale dependency of hydraulic conductivity in heterogeneous media, Ground Water, 37(6),

KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 13 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torben Obel Sonnenborg Hydrologisk afdeling, GEUS Nøglebegreber: Kalibreringsprotokol, identificerbarhed, entydighed, parameterestimation, sensitivitetsanalyse,

Læs mere

Hydrogeologiske forhold. Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen

Hydrogeologiske forhold. Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen Jan Stæhr Svend Erik Lauritzen COWI ARUP SYSTRA JV Foto: Roy William Gabrielsen 1 Magasin og lækageforhold Primære magasin inkl. sandlag, sekundære magasiner Sammenhænge lodret/vandret (prøvepumpninger,

Læs mere

Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk

Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk Modelfortolkning af MTBE-transport i kalk Per Loll, udviklings- og projektleder DMR Claus Larsen, kvalitetschef DMR Laila Bruun, hydrogeolog DMR (nu Rambøll) Anders Riiber Høj, projektchef OM (nu Metroselskabet)

Læs mere

VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER

VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER VANDRESSOURCE- OG STOFTRANSPORT- MODELLERING I KALK: STATUS OG MULIGHEDER Seniorforsker Torben O. Sonnenborg Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelser (GEUS) ATV MØDE KALK PÅ TVÆRS SCHÆFFERGÅRDEN

Læs mere

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG

DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Kapitel 7 STED DISKRETISERING AF MODELOMRÅDET I TID OG Adam Brun Afdeling for Grundvand, Affald og Mikrobiologi, DHI - Institut for Vand og Miljø Nøglebegreber: Randbetingelser, stationær, ikke stationær,

Læs mere

3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT)

3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT) 3. Geologisk variabilitet bestemt ved cone penetration testing (CPT) Bertel Nilsson (GEUS) og Ditte Lykkesborg Petersen (Geologisk Institut, Københavns Universitet) 3.1 Indledning Den geologiske variabilitet

Læs mere

Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense

Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense GEUS Workshop Kortlægning af kalkmagasiner Kortlægning af Danienkalk/Selandien ved Nyborg og Odense Geolog Peter Sandersen Hydrogeolog Susie Mielby, GEUS 1 Disposition Kortlægning af Danienkalk/Selandien

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer

Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Regneark til bestemmelse af Regnkurver, CDS regn og bassinvoluminer Teknisk dokumentation og brugervejledning 100.0 Regionalt estimat 68% konfidensgrænser Intensitet [µm/s] 10.0 1.0 T = 100 T = 10 T =

Læs mere

Kapitel 6 FRA HYDROGEOLOGISK TOLKNINGSMODEL TIL NUMERISK GRUNDVANDSMODEL

Kapitel 6 FRA HYDROGEOLOGISK TOLKNINGSMODEL TIL NUMERISK GRUNDVANDSMODEL Kapitel 6 FRA HYDROGEOLOGISK TOLKNINGSMODEL TIL NUMERISK GRUNDVANDSMODEL Adam Brun IHA Ingeniørhøjskolen i Århus Nøglebegreber: Kode, præ- og postprocessering, procesbeskrivelse, numerisk net, numerisk

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland

Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland Kobling af to modelkoder: Integrerede HIRHAM og MIKE SHE simuleringer på et dansk opland PhD studerende Morten Andreas Dahl Larsen (afsluttes i forsommeren 2013) KU (Karsten Høgh Jensen) GEUS (Jens Christian

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK

DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK DANISH METEOROLOGICAL INSTITUTE MINISTRY OF TRANSPORT TECHNICAL REPORT 01-19 KLIMAGRID - DANMARK Sammenligning af potentiel fordampning beregnet ud fra Makkinks formel og den modificerede Penman formel

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

WDP brugervejledning version 1.01

WDP brugervejledning version 1.01 WDP brugervejledning version 1.01 Modellen WDP (Wet Detention Pond) beregner stoffjernelse i våde regnvandsbassiner ud fra historiske regnserier. Modellen kan endvidere regne på nedsivningsbassiner, dog

Læs mere

GEUS-NOTAT Side 1 af 3

GEUS-NOTAT Side 1 af 3 Side 1 af 3 Til: Energistyrelsen Fra: Claus Ditlefsen Kopi til: Flemming G. Christensen GEUS-NOTAT nr.: 07-VA-12-05 Dato: 29-10-2012 J.nr.: GEUS-320-00002 Emne: Grundvandsforhold omkring planlagt undersøgelsesboring

Læs mere

Introduktion til GLIMMIX

Introduktion til GLIMMIX Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker

En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker En håndbog om tælling af biblioteksbesøg i de danske folkebiblioteker Udarbejdet af DIOS A/S December 2001 INDHOLDSFORTEGNELSE REGISTRERING AF ANTAL BIBLIOTEKSBESØG...1 BAGGRUNDEN FOR METODENS UDVIKLING...1

Læs mere

INTRODUKTION TIL GRUNDVANDSSTRØMNINGER

INTRODUKTION TIL GRUNDVANDSSTRØMNINGER INTRODUKTION TIL GRUNDVANDSSTRØMNINGER Peter Engesgaard og Karsten Høgh Jensen Geologisk Institut Københavns Universitet April 2004 1 Indholdsfortegnelse 1 Introduktion 5 1.1 Hydrogeologi... 7 2 Et historisk

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder. Klaus Hinsby, GEUS

Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder. Klaus Hinsby, GEUS Grundvandsdatering: en oversigt over tracermetoder Klaus Hinsby, GEUS GRUNDVANDSDATERING Grundvandets alder i et givet punkt = grundvandets opholdstid under jordoverfladen siden infiltrationen Fra Kazemi

Læs mere

Hvornår slår effekten af forskellige foranstaltninger igennem i vandmiljøet

Hvornår slår effekten af forskellige foranstaltninger igennem i vandmiljøet Side 1/7 Til: Torben Moth Iversen Fra: Hans Jørgen Henriksen Kopi til: JFR, ALS Fortroligt: Nej Dato: 17. november 2003 GEUS-NOTAT nr.: 06-VA-03-08 J.nr. GEUS: 0130-019 Emne: Hvornår slår effekten af forskellige

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen

Læs mere

DATABLAD - BARSØ VANDVÆRK

DATABLAD - BARSØ VANDVÆRK Aabenraa Kommune Steen Thomsen 2014.07.31 1 Bilag nr. 1 DATABLAD - BARSØ VANDVÆRK Generelle forhold Barsø Vandværk er et alment vandværk i Aabenraa Kommune. Vandværket er beliggende centralt på Barsø (fig.

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter

Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilag 1: Beregning af omkostningsækvivalenter Bilaget indeholder den tekniske beregning af omkostningsækvivalenterne til brug for benchmarkingen 2013. FORSYNINGSSEKRETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING...

Læs mere

2001 2010 Design Reference Year for Denmark. Peter Riddersholm Wang, Mikael Scharling og Kristian Pagh Nielsen

2001 2010 Design Reference Year for Denmark. Peter Riddersholm Wang, Mikael Scharling og Kristian Pagh Nielsen Teknisk Rapport 12-17 2001 2010 Design Reference Year for Denmark - Datasæt til teknisk dimensionering, udarbejdet under EUDPprojektet Solar Resource Assesment in Denmark for parametrene globalstråling,

Læs mere

Test af Analytiske Element Modeller (AEM) sammenlignet med den numeriske metode til udpegning af indvindingsoplande

Test af Analytiske Element Modeller (AEM) sammenlignet med den numeriske metode til udpegning af indvindingsoplande Test af Analytiske Element Modeller (AEM) sammenlignet med den numeriske metode til udpegning af indvindingsoplande (Delprojekt 1 om oplande) Claus Holst Iversen, GEUS, Thomas Wernberg, ALECTIA og o Thomas

Læs mere

Undersøgelse af klimabetingede grundvandsstigninger i pilotområde Kolding

Undersøgelse af klimabetingede grundvandsstigninger i pilotområde Kolding Undersøgelse af klimabetingede grundvandsstigninger i pilotområde Kolding Torben O. Sonnenborg Jacob Kidmose GEUS 2012 Indhold 1. Indledning... 3 2. Område og data... 3 2.1. Modelområde... 3 2.2. Hydrologiske

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Måling og simulering af vandindhold og vandtransport i umættet zone på lokal skala

Måling og simulering af vandindhold og vandtransport i umættet zone på lokal skala Måling og simulering af vandindhold og vandtransport i umættet zone på lokal skala ULLA LYNGS LADEKARL Ladekarl, U.L. 2005 11 21: Måling og simulering af vandindhold og vandtransport i umættet zone på

Læs mere

Statistik for ankomstprocesser

Statistik for ankomstprocesser Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Vejledning til Pejling af en boring

Vejledning til Pejling af en boring Vejledning til Pejling af en boring Hvad er en pejling? En pejling er en måling af, hvor langt der er fra et fast målepunkt og ned til grundvandet. Afstanden fra målepunktet til grundvandet kaldes nedstikket.

Læs mere

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning 3-ugers kursus, s011337 og s011394 Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen Vejleder: Fridolin Okkels MIC Institut for mikro- og nano-teknologi

Læs mere

Nitrat retentionskortlægningen

Nitrat retentionskortlægningen Natur & Miljø 2014, Odense kongrescenter 20.-21. maj 2014 Nitrat retentionskortlægningen Baggrund Metodik Særlige udfordringer Skala Produkter GEUS, Aarhus Universitet (DCE og DCA) og DHI Seniorforsker,

Læs mere

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable

Statistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P

Læs mere

Beregningsopfølgning for 4 husstandsvindmøller på Djursland 6kWThymøller,7,1mrotordiameterog21,4mnavhøjde

Beregningsopfølgning for 4 husstandsvindmøller på Djursland 6kWThymøller,7,1mrotordiameterog21,4mnavhøjde Beregningsopfølgning for 4 husstandsvindmøller på Djursland 6kWThymøller,7,1mrotordiameterog21,4mnavhøjde Af Per Nilesen v.0 1-8-2013 Indholdsfortegnelse: Resultat/opsummering:...1 Baggrund...2 Datagrundlaget...2

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Velkomst og introduktion til NiCA

Velkomst og introduktion til NiCA NiCA seminar, 9. oktober 2014, AU Velkomst og introduktion til NiCA Jens Christian Refsgaard Professor, leder af NiCA De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS) Formål og program

Læs mere

D3 Oversigt over geologiske forhold af betydning ved etablering af jordvarmeboringer i Danmark

D3 Oversigt over geologiske forhold af betydning ved etablering af jordvarmeboringer i Danmark Work Package 1 The work will include an overview of the shallow geology in Denmark (0-300 m) Database and geology GEUS D3 Oversigt over geologiske forhold af betydning ved etablering af jordvarmeboringer

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter. Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr.

Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter. Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr. Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning af VA-komponenter Nordtest, projektnr.: 1614-02 Teknologisk Institut, projektnr.: 1043072 MAJ 2004 Modul opbygget usikkerhedsberegning for afprøvning

Læs mere

NOTAT. København, den 03.05.2012 Rev. 01.06.2012 Projekt nr.: 6369-001 Dir. tlf.: +45 2540 0369. Projekt: Klimavej

NOTAT. København, den 03.05.2012 Rev. 01.06.2012 Projekt nr.: 6369-001 Dir. tlf.: +45 2540 0369. Projekt: Klimavej NOTAT Projekt: Klimavej Emne: Forundersøgelser Grundejerforeningen Øresund Notat nr.: 01 København, den 03.05.2012 Rev. 01.06.2012 Projekt nr.: 6369-001 Dir. tlf.: +45 2540 0369 Reference: jkn@moe.dk Rev.:

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Bilag 4.A s MASH. Indhold

Bilag 4.A s MASH. Indhold Bilag 4.A s MASH Indhold 1.1 Indledning 1 1.1.1 Formål med undersøgelsen 1 1.1.2 Beskrivelse af smash metoden 1 1.2 s MASH målinger (omfang, placering og resultater) 1.2.1 Undersøgelsens forløb 5 5 1.2.2

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED?

REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED? REGNINPUT HVAD KAN VI REGNE MED? EVA TEMAMØDE 21. MAJ 2015, NYBORG: DET URBANE VANDKREDSLØB SØREN THORNDAHL, AALBORG UNIVERSITET Indhold Dimensionering af regnvandsledninger Niveau 1 jf. SVK Skrift 27

Læs mere

Sampling tools til ArcGIS

Sampling tools til ArcGIS Sampling tools til ArcGIS Thomas Balstrøm Institut for Samfundsplanlægning og Udvikling, Aalborg Universitet tb@plan.aau.dk Præsentation af Aalborg Universitet 1 af 31 Om sampling og hvorfor det er så

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

Temadag 1. februar 2012

Temadag 1. februar 2012 Temadag 1. februar 2012 Energianlæg - en trussel for grundvandet? 05-02-2012 1 Karsten Juul Geolog Siden 1991: Vandforsyning Siden 1997: Grundvandskortlægning Siden 2008: Energianlæg baseret på grundvand

Læs mere

STRUKTUREL SÅRBARHEDSKORTLÆGNING - VURDERING AF LERTYKKELSE I BORINGER

STRUKTUREL SÅRBARHEDSKORTLÆGNING - VURDERING AF LERTYKKELSE I BORINGER Geofysisk Afdeling Geologisk Institut Aarhus Universitet STRUKTUREL SÅRBARHEDSKORTLÆGNING - VURDERING AF LERTYKKELSE I BORINGER November 2005 INDHOLD FORORD (1) BAGGRUND (2) Lerindhold, geofysik og sårbarhed

Læs mere

Jørlunde Østre Vandværk

Jørlunde Østre Vandværk BNBO AFRAPPORTERING 233 29 Jørlunde Østre Vandværk Der indvindes vand fra to indvindingsboringer på kildepladsen. Den gældende indvindingstilladelse er på i alt 38.000 m³/år, og indvindingen er fordelt

Læs mere

De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2014

De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2014 De socioøkonomiske referencer for gymnasiekarakterer 2014 Indhold Sammenfatning... 5 Indledning... 7 Datagrundlag... 9 Elever... 9 Fag, prøveform og niveau... 9 Socioøkonomiske baggrundsvariable... 10

Læs mere

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual

Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Kursus i @Risk (stokastisk simulering) Øvelsesmanual Hvorfor @Risk og dette kursus? Større og mere komplekse landbrugsbedrifter kræver gode beslutningsværktøjer. I traditionelle regneark regnes der på

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19.

Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19. Flowmålingsmæssige udfordringer i regn- og spildevandssystemer Temadag om Flowmåling i udvikling Teknologisk Institut den 19. november 2009 23-11-2009 Dias nr. 1 Hvem er jeg? Mads Uggerby - uddannelse

Læs mere

Konceptuelle modeller

Konceptuelle modeller Konceptuelle modeller Konceptuelle modeller fra indledende undersøgelser til videregående undersøgelser, inddragelse af geologi, hydrogeologi, transportprocesser, forureningsspredning og indeklima. ATV-Vest

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Teknisk rapport 11-11 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010. Sisse Camilla Lundholm. www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14

Teknisk rapport 11-11 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010. Sisse Camilla Lundholm. www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010 Sisse Camilla Lundholm www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14 København 2011 www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 2 af 14 Kolofon Serietitel: Teknisk rapport 11-11

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information

Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Persistens. 1. Generelt

Persistens. 1. Generelt Persistens 1. Generelt Persistens er en beskrivelse af laktationskurvens form. Køer med høj persistens, vil have en fladere laktationskurve og dermed en lavere ydelse end forventet i den første del og

Læs mere

KONCEPT FOR UDPEGNING AF PESTICIDFØLSOMME AREALER præsentation af projekt for sand

KONCEPT FOR UDPEGNING AF PESTICIDFØLSOMME AREALER præsentation af projekt for sand KONCEPT FOR UDPEGNING AF PESTICIDFØLSOMME AREALER præsentation af projekt for sand Forsker Heidi Christiansen Barlebo Danmarks og Grønlands Geologiske Undersøgelse (GEUS) ATV MØDE Rent drikkevand - kvalitet

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger.

N O T A T. Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. N O T A T Filial eller netbank 24. oktober 2013 Antallet af bankfilialer i Danmark falder i takt med at flere og flere danskere anvender bankernes digitale løsninger. Ved seneste opgørelse i 2012 brugte

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Baggrundsnotat: Modelteknisk

Baggrundsnotat: Modelteknisk Sekretariatet for Energitilsynet Baggrundsnotat: Modelteknisk materiale Store forskelle i varmepriserne hvorfor? Center for Varme Tekniske bilag I dette baggrundsnotat gennemgås de økonometriske forhold

Læs mere

Fra boringsdatabasen "JUPITER" til DK- grund

Fra boringsdatabasen JUPITER til DK- grund Fra boringsdatabasen "JUPITER" til DK- grund Hans Jørgen Henriksen Danmarks forsyningssituation med ferskvand er enestående, den er baseret på grundvand med hele 99%. Vi har i Danmark en decentral forsyningsstruktur,

Læs mere

1. Indledning. Figur 1. Alternative placeringer af Havvindmølleparken HR 2.

1. Indledning. Figur 1. Alternative placeringer af Havvindmølleparken HR 2. 1. Indledning. Nærværende rapport er udarbejdet for Energi E2, som bidrag til en vurdering af placering af Vindmølleparken ved HR2. Som baggrund for rapporten er der foretaget en gennemgang og vurdering

Læs mere

Grundvandsstrømninger i Vestskoven

Grundvandsstrømninger i Vestskoven Grundvandsstrømninger i Vestskoven ISVA-Fagpakkeprojekt F-2000. side 1 Grundvandsstrømninger i Vestskoven Af Dan Frederiksen, c973419 Asger Petersen, c973826 Martin Lyager Rasmussen, c973555 Hans Jacob

Læs mere

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)

Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Teknisk note nr. 1. Dokumentation af data-grundlaget fra GDS-undersøgelserne i februar/marts 1996 og februar 1997

Teknisk note nr. 1. Dokumentation af data-grundlaget fra GDS-undersøgelserne i februar/marts 1996 og februar 1997 Teknisk note nr. 1 Dokumentation af datagrundlaget fra GDSundersøgelserne i februar/marts 1996 og februar 1997 Noten er udarbejdet i samarbejde mellem, Søren Pedersen og Søren Brodersen Rockwool Fondens

Læs mere