Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.
|
|
- Karina Markussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.] A er for det første ikke åben. Vi har, at (0, 1) A, men (0, 1) er ikke et indre punkt for A: Hvis r > 0 er vilkårlig, har vi nemlig, at (0, 1 + r ) K((0, 1), r), men da ( ) r > 1 = 1, vil (0, 1 + r ) / A, således at K((0, 1), r) A for alle r > 0. A er heller ikke afsluttet. Sætter vi x n = (0, 1 n ) for alle n N, har vi at x n A. Da x n (0, 0), vil (0, 0) A. Imidlertid vil (0, 0) / A, så A A. A er dog en Borel-mængde. Dette er der forskellige måder at vise på: fx kan vi indse, at A = {(x, y) R x + y 1} {(x, y) R x < y}, hvor den første mængde er afsluttet (den er urbilledet af den afsluttede mængde (, 1] R under den kontinuerte funktion (x, y) x + y ) og den anden mængde er åben (den er urbilledet af den åbne mængde (, 0) R under den kontinuerte funktion (x, y) x y). Da både åbne og afsluttede mængder er Borel-mængder og tællelige snit af Borel-mængder også er Borel-mængder (se Example 3. (iii)), følger, at A selv er en Borel-mængde. Man kan også indse, at A = {(x, y) R x + y 1, x + 1n } y På samme måde som ovenfor kan ses, at hver A n := {(x, y) R x + y 1, x + 1 n y} er afsluttet og dermed en Borel-mængde, idet den er et snit af to urbilleder af afsluttede mængder under kontinuerte funktioner, således at A er afsluttet. Lad os derfor vise, at ovenstående lighed faktisk gælder. Hvis a = (x, y) A, vil x + y 1 og x < y. Da y x > 0, findes n N således at n 1 y x (jf. Arkimedes princip), hvormed y x 1 n og x + 1 n y. Vi har derfor, at så a A n A n. x + y 1 og x + 1 n y, Hvis omvendt a = (x, y) A n, findes der n N så a A n. Altså vil x +y 1 og y x+ 1 n > x, hvormed a = (x, y) A.. 1
2 (Supplerende opgave 5) Lad O betegne familien af alle åbne delmængder af R, og betragt familierne { } O c = O {U c U O}, O cσ = U n U n O c, O cσc = O cσ {U c U O cσ }. Bemærk først, at O O c, at O cσ O cσc, og at hvis U O c, vil vi have U = U n O cσ, hvor U n = U O c. Altså vil O c O cσ. (i) Vis, at O c består af alle delmængder af R som enten er åbne eller afsluttede. O er familien af alle åbne delmængder af R. Enhver afsluttet delmængder af R er komplementet af en åben delmængde af R, så disse udgør {U c U O}. Dermed følger det ønskede. (ii) Vis, at alle intervaller ligger i O cσ (også de halvåbne intervaller af formen (a, b] eller [a, b)). Intervallerne på formen (a, b), (a, ) og (, b) er alle åbne og ligger dermed i O O cσ, og intervallerne på formen [a, b], [a, ) og (, b] er alle afsluttede og ligger dermed i O c O cσ jf. (i). Tilbage er kun at tjekke for de halvåbne intervaller. Hvis a, b R og a < b, er (a, b] = [a + 1n, b ]. (Hvis a + 1 n > b, er intervallet tomt, hvilket er OK!) Lad os tjekke, at ligheden gælder. Hvis x [a + 1 n, b], findes n N så x [a + 1 n, b]. Dermed vil a < a + 1 n x b, hvormed x (a, b]. Hvis omvendt x (a, b], vil a < x. Der findes da n N, således at n 1 x a, hvormed x a 1 n, så vi har a + 1 n x b. Altså vil x [a + 1 n, b] [a + 1 n, b]. Foreningen tages over afsluttede delmængder af R (som er elementer i O c jf. (i)), hvormed (a, b] O cσ. På samme måde vises, at (iii) [a, b) = Vis, at alle tællelige delmængder af R tilhører O cσ. [ a, b 1 ] O cσ. n Lad A = {a 1, a,...} være en tællelig delmængde af R. Da vil {a n } være en afsluttet delmængde af R for alle n N, således at {a n } O c for alle n N. Dermed vil jf. definitionen på O cσ. (iv) A = {a n } O cσ, Vis, at mængden af irrationale tal tilhører O cσc. Q er en tællelig delmængde af R, så Q O cσ jf. (iii). Dermed vil R \ Q = Q c O cσc jf. definitionen på O cσc.
3 (v) Vis, at mængden af irrationale tal ikke tilhører O cσ. Vi benytter til dette følgende konsekvens af Baires sætning: Hvis U 1, U, U 3,... er en følge af åbne tætte delmængder af R, så er U n overtællelig. Hvis der gjaldt, at R \ Q O cσ, ville R \ Q = A n for mængder A n O c. R \ Q har ingen indre punkter, da vi for ethvert irrationalt tal kan finde et rationalt tal, der ligger vilkårligt tæt på det (dvs. ingen kugle i R om et irrationalt tal kan være helt indeholdt i R \ Q). Derfor kan ingen af A n erne være åbne, thi ellers ville R \ Q indeholde en åben delmængde af R og dermed have et indre punkt. Da ingen af A n erne er åbne, har vi altså jf. (i), at hver A n er afsluttet. Dermed vil ( ) c Q = (R \ Q) c = A n = A c n A c n for alle n N. Da Q A c n R, vil R = Q A c n R = R, hvormed A c n = R. Altså er A c n åben og tæt i R for hvert n N. Jf. konsekvensen af Baires sætning vil Q = Ac n være overtællelig, i modstrid med at vi ved at Q er tællelig. Altså kan ikke gælde, at R \ Q O cσ. (vi) Kan du finde på en delmængde af R, som ikke ligger i O cσc? Prøv selv: det er overraskende svært (sågar sindssygt svært). En fugl sang engang for længe siden om, at A = {a Q a 0} {b R \ Q b > 0} / O cσc. Lad os prøve at vise hvad fuglen sang om. A består altså af alle ikke-positive rationale tal og alle positive irrationale tal. Antag for modstrid, at A O cσc. Der kan da enten gælde, at A = U eller A = U c for U O cσ. Antag det første. Da findes (U n ) n 1 O c så A = U n. Vi kan antage, at alle U n erne er ikke-tomme. Antag, at U n var åben for et n N. Tag et x U n og lad K(x, r) U n A være en åben kugle om x. Hvis x 0, findes y R \ Q med y < 0 så y x < r, hvormed y / A men y K(x, r) A (modstrid); hvis x > 0, findes y Q med y > 0 så y x < r, hvilket også giver modstrid. Altså må alle U n være afsluttede jf. (i). Definér nu V n = U n [1, ); da vil V n være afsluttet for alle n. Bemærk, at V n = (U n [1, )) = [1, ) A = {b R \ Q b > 1}. Defineres f : R R ved f(x) = x, er f kontinuert, så f 1 (V n ) er afsluttet for alle n N. Bemærk, at f er bijektiv med f 1 = f. Definer slutteligt W n = V n f 1 (V n ) = V n f(v n ) for n N; da er W n også afsluttet. Derfor vil ( ) ( ) ( ) O cσ W n = V n f(v n ) = V n f V n = {b R \ Q b > 1} { b b R \ Q, b > 1} = {b R \ Q b > 1} {b R \ Q b < 1} = R \ Q. Dermed indeholder O cσ de irrationale tal. Modstrid! Et tilsvarende argument kan bruges hvis A = U c for et U O cσ ; da benytter vi blot intervallet (, 1] i stedet for [1, ). 3
4 Supplerende opgave 6 Vis at de to mængder [n, n + 1n ], [n, n + 4n ] er Borel-mængder. Bestem Lebesgue-målet af begge mængder. Alle afsluttede delmængder af R er Borel-mængder (da åbne mængder er Borel-mængder, vil deres komplementer også være det), og jf. definitionen på en σ-algebra følger, at tællelige foreninger af Borel-mængder er Borel-mængder. Altså følger det første udsagn. Vi tager nu et lille afbræk for at vise noget ekstremt vigtigt, som Lebesgue-målet opfylder: Sætning 1. For alle x R k gælder, at {x} er en Borel-mængde, og at λ k ({x}) = 0. Bevis. {x} er afsluttet og dermed en Borel-mængde. Beviset for Theorem 4.4 giver, at (iii ) gælder for alle mål. Skriv x = (x 1,..., x k ) R k. Da vil [ A n = x 1, x ) [ x k, x k + 1 ) B(R k ) n n være en Borel-mængde. Da vi har, at A n A m for m n, er følgen (A n ) aftagende. Endvidere er A n = {x}, så jf. (iii ) vil som ønsket. λ k ({x}) = lim n λk (A n ) = lim n Korollar. For alle a, b R gælder, at Bevis. Vi har fx 1 n 1 } {{ n } k = lim n λ((a, b)) = λ((a, b]) = λ([a, b)) = λ([a, b]). λ([a, b]) = λ([a, b)) + λ({b}) = λ([a, b)) 1 n k = 0, ved Proposition 4.3. Gør noget tilsvarende for de andre intervaller ud fra λ([a, b]). Bemærk først, at [n, n + 1 n ] og [m, m + 1 m ] er disjunkte for m > n 3: hvis x R var indeholdt i begge to, ville m x n + 1 n n < n + 1 m, en tydelig modstrid. Intervallerne [n, n + 1 n ] og [m, m + 1 m ] er ikke disjunkte, hvis n = 1 og m =. Slår vi dem sammen, får vi, at [n, n + 1n ] [ = 1, + 1 ] [n, n + 1n ] 4. n=3 } {{ } disjunkt forening Begge mængder er disjunkte: hvis x lå i begge, ville findes n 3 så 3 n x + 1 4, en klar modstrid. Højresiden er da en disjunkt forening af Borel-delmængder af R, hvormed λ ( [ n, n + 1 n ] ) = λ ([ 1, ]) + λ ( [n, n + 1n ] ) n=3 = λ ([n, n + 1n ]) n=3 = = n=3 1 n = π 6. 1 n 4
5 Mht. den anden mængde [n, n + 4 n ] har vi lidt større problemer, men de er i samme boldgade som ovenfor. Lad os definere A n = [n, n + 4 n ] og undersøge dem: [ A 1 = [1, 5], A = [, 3], A 3 = 3, ] [, A 4 = 4, ] [, A 5 = 5, ], Altså vil A 1 A A 3 A 4 A 5 = A 1 A 5 = [ 1, ]. 5 For n 6 er der ikke noget problem. For m > n 6 vil [n, n + 4 n ] og [m, m + 4 m ] nemlig være disjunkte: hvis x R var indeholdt i begge to, ville en tydelig modstrid. Altså har vi, at m x n + 4 n n < n + 1 m, [n, n + 4n ] = [ 1, ] 5 [n, n + 4n ]. n=6 } {{ } disjunkt forening Ovenstående to mængder på højresiden er disjunkte, da der ikke findes x så n x n 6. Altså vil ( [ λ n, n + 4 ] ) ([ n = λ 1, ]) ( + λ [n, n + 4n ] ) 5 n=6 = λ ([n, n + 4n ]) n=6 ( ) 1 = n n=6 ( ) 1 = 4 n ( π = ) 16 ( 4π = ) 144 = 4 4π = 4π for noget Supplerende opgave 7 Vis, at λ(u) > 0 for enhver åben ikke-tom delmængde U af R. Vis, at også λ k (U) > 0 for enhver åben ikke-tom delmængde U af R k. (Som sædvanligt angiver λ Lebesgue-målet på R og λ k angiver Lebesgue-målet på R k.) Vi nøjes med at vise den anden påstand, da den medfører den første. Lad U R k være åben og ikke-tom. Da findes der et a = (a 1,..., a k ) U, som dermed er et indre punkt, og derfor findes r > 0 så K(a, r) = {x R k x a < r} U Grundet monotoni for mål (Proposition 4.3 (ii)) er det nok at vise, at λ k (K(a, r)) > 0. Definer nu r > 0 ved r = r. k Vi påstår nu, at A := [a 1, a 1 + r ) [a, a + r ) [a k, a k + r ) K(a, r). 5
6 Lad x = (x 1,..., x k ) A. Da vil x i [a i, a i + r ), hvormed a i x i < a i r og 0 x i a i < r for i = 1,..., k. Dermed vil k k ( ) r k x a = (x i a i ) r < = k k = r, hvormed x a < r. Altså har vi jf. monotoni, at som ønsket. 3. λ(u) λ(k(a, r)) λ(a) = Vis følgende påstande fra Example 3.3: (iv) k ((a i + r ) a i ) = {, B, X} er ikke en σ-algebra, medmindre B = eller B = X. k r = (r ) k > 0, Vi viser, at A = {, B, X} er en σ-algebra hvis og kun hvis B = eller B = X. Hvis B = eller B = X, er A = {, X} være en σ-algebra (jf. Example 3.3 (ii)). Hvis A er en σ-algebra, vil B c A, hvormed enten B c = (i hvilket tilfælde B = X) eller B c = X (i hvilket fald B = ), idet B c B. (vi) (Spor-σ-algebraer.) Lad E X være en delmængde og lad A være en σ-algebra på X. Da vil være en σ-algebra på E. A E := E A = {E A A A} Da X A og E = E X A E, følger (Σ 1 ). For ethvert B A E findes A A så B = E A. Da A c A og komplementet E \ B af B i E er lig E \ B = E \ (E A) = (E \ E) (E \ A) = E A c A E jf. Opgave.1 (iv), følger (Σ ). Slutteligt lader vi (B j ) være en familie af mængder i A E. Skriver vi B j = E A j for mængder A j A, har vi, at (E A j ) = E A j A E, B j = idet A j A, da A er en σ-algebra. Dermed følger (Σ 3 ), så A E er en σ-algebra på E. (vii) (Urbillede-σ-algebraer.) Lad f : X X være en afbildning, og lad A være en σ-algebra på X. Da vil A := f 1 (A ) := {f 1 (A ) A A } være en σ-algebra på X. Idet X = f 1 (X ) A, da X A, følger (Σ 1 ). Lades A A, findes A A så A = f 1 (A ). Da vil A c = X \ A = f 1 (X ) \ f 1 (A ) = f 1 (X \ A ) A jf. Opgave.4 (ii), idet X \ A A. Derfor gælder (Σ ). Slutteligt lades (A j ) være en familie af mængder i A. For hvert j N vælges A j A så A j = f 1 (A j ); da vil A j = f 1 (A j) = f 1 A j A, også jf. Opgave.4 (ii) samt faktum at A j A. Altså gælder (Σ 3 ), så A er en σ-algebra på X. 6
7 3.3 Vis påstandene i Remark 3.5. (i) Hvis G er en σ-algebra, er G = σ(g). Vi har, at σ-algebraen σ(g) er givet ved σ(g) = A σ-algebra G A og dermed trivielt G σ(g) (dette gælder for alle mængder). Vi har jf. ovenstående, at hvis A er en σ-algebra, der indeholder G, vil σ(g) A. Da G er en σ-algebra og G G, vil derfor gælde σ(g) G. (ii) Hvis A X, vil σ({a}) = {, A, A c, X}. Sæt først G = {, A, A c, X}. Da σ({a}) er en σ-algebra, vil X, σ({a}) jf. (Σ 1 ) i Definition 3.1 og Properties 3.. Endvidere vil A {A} σ(a), hvormed A c σ({a}) jf. (Σ ). Altså har vi, at σ({a}) G. Kan vi vise, at G er en σ-algebra, er vi færdige: da {A} G, vil σ({a}) G. (Σ 1 ) og (Σ ) er klart opfyldte i Definition 3.1. Hvis (A n ) n 1 er en familie af mængder fra G, har vi følgende muligheder: 1. Mindst en A n er lig X: da vil A n = X G.. Ingen A n er lig X: (a) Hvis mindst en A n er lig A og mindst en anden A n er lig A c, vil A n = X G. (b) Hvis mindst en A n er lig A, og ingen A n er lig A c, vil A n erne være enten A eller, så A n = A G. (c) Hvis mindst en A n er lig A c, og ingen A n er lig A, vil A n erne være enten A c eller, så A n = A c G. (d) Hvis ingen af A n erne er lig A eller A c, vil A n = for alle n, så A n = G. Altså er alle muligheder udtømt, og G er en σ-algebra. (iii) Hvis F G A og A er en σ-algebra, vil A, σ(f) σ(g) σ(a) = A. Sidste lighedstegn viste vi i (i). Da σ(g) er en σ-algebra og F G σ(g), er σ(g) en σ-algebra der indeholder F. Pr. definition på σ(f) vil derfor gælde, at σ(f) σ(g), idet σ(f) er den mindste σ-algebra, der indeholder F. Dette viser også den sidste inklusion. 3.4 Lad X = [0, 1]. Find σ-algebraen frembragt af mængderne (i) (0, 1 ). Vi viste i 3.3(ii), at den frembragte σ-algebra her er A 1 = {, (0, 1 ), {0} [ 1, 1], [0, 1]}. 7
8 (ii) [0, 1 4 ), ( 3 4, 1]. σ-algebraen er givet ved A = {, [0, 1 4 ), ( 3 4 } {{, 1], [ 1 4 }, 1], [0, 3 4 ], [0, 1 4 } {{ } ) ( 3 4, 1], [ 1 4 } {{ }, 3 4 ], [0, 1]}. } {{ } mængderne selv komplementer forening dens komplement Hvorfor? Det er svært at give et argument uden at blive sindssyg af at tjekke mængderne igennem, så det dropper vi. 1 (iii) [0, 3 4 ], [ 1 4, 1]. Den frembragte σ-algebra A 3 er lig A. Først og fremmest er både [0, 3 4 ] og [ 1 4, 1] indeholdt i A, så A 3 A. Da [0, 1 4 ) = [ 1 4, 1]c A 3 og ( 3 4, 1] = [0, 3 4 ]c A 3, følger, at A A Find et eksempel (fx i R), der viser, at U j ikke behøver at være åben, selvom hvis alle U j er er åbne. Definer U j = ( 1 j, 1 j ) for alle j N. Da er alle U j er åbne, men som ikke er åben. 3.8 Vis hver påstand fra Remark 3.9. U j = {0}, Det er nok at vise påstandene for rationale endepunkter jf. Opgave 3.3 (iii) (hvorfor?). Vi ved endvidere, at Borel-algebraen B = B(R) er frembragt af mængdesystemerne {[a, b) a, b Q}, {[a, b) a R}, {(a, b) a, b Q}, {(a, b) a, b R}, O jf. Theorem 3.8, hvor O er systemet af åbne delmængder af R. Vi viser først, at σ({(, a) a Q}) = B. Vi har da, at (, a) O B for alle a Q, så σ({(, a) a Q}) B. Hvis a, b Q og a < b, vil [a, b) = (, b) \ (, a) = (, b) (, a) c σ({(, a) a Q}) idet σ-algebraer er stabile under komplementer og tællelige snit. Dermed vil B = σ({[a, b) a, b Q}) σ({(, a) a Q}) jf. Theorem 3.8 og Opgave 3.3 (iii). Altså følger, at σ({(, a) a Q}) = B. Lad os vise en enkelt mere: vi tager σ({(c, ) c Q}) = B. For alle c Q er (c, ) åben, (c, ) O B for alle c Q. Altså vil σ({[c, ) c Q}) B. Omvendt vil der for a, b Q med a < b gælde, at ( ) (a, b) = (a, ) \ [b, ) = (a, ) \ (b 1 n, ) σ({(c, ) c Q}), 1 Vi kan sige, at [0, 1 4 ), [ 1 4, 3 4 ], ( 3 4, 1] er en disjunkt opdeling af [0, 1]. Der er 3 måder at forene disse på, altså 8 delmængder i alt. 8
9 idet σ-algebraer er stabile under komplementer, tællelige snit og tællelige foreninger (bemærk, at alle endepunkter er rationale!). Altså vil hvormed B = σ({(a, b) a, b Q}) σ({(c, ) c Q}) jf. Theorem 3.8 og Opgave 3.3 (iii), hvormed vi igen har lighed. Tilsvarende metoder kan bruges til at vise de andre påstande. 3.9 Lad B r (x) betegne den åbne kugle i R n med centrum x og radius r (altså B r (x) = K(x, r)). Vis, at Borel-mængderne B(R n ) er frembragt af familien af åbne kugler B := {B r (x) x R n, r > 0}. Gælder det stadig for B := {B r (x) x Q n, r Q + }? Bemærk først, at B B B = B(R n ); den første inklusion er klar, og den anden følger, da hver åben kugle er en åben delmængde af R n, hvormed B O n B. Hvis vi kan vise, at σ(b ) = B, følger, at B = σ(b ) σ(b) B jf. Opgave 3.3 (iii), hvormed opgaven er løst. Lad os prøve det! Vi har klart, at B B medfører σ(b ) B, idet B er en σ-algebra. Det er nok at vise, at O n σ(b ), thi da vil B = σ(o n ) σ(b ). Lad derfor U R n være en åben delmængde. Lad nu V = W, W B W U altså: V er foreningen af alle åbne kugler på formen i B, som er indeholdt i U. Vi påstår, at V er lig U. Da hver W B med W U er indeholdt i U (duh), følger at foreningen V af disse også er indeholdt i U, altså V U. Lad derfor x = (x 1,..., x n ) U. Vi vil vise, at der findes B s (q) B med s Q +, q Q n og B s (q) U, så x B s (q); da vil x W for et W B med W U, hvormed x V. Da U er åben, findes en kugle B r (x) U for r > 0. Lad s Q + således at 0 < s < r. For hvert i = 1,..., n vælges q i Q således, at x i q i < s n (de rationale tal Q ligger tæt i R), og sæt q = (q 1,..., q n ). Da vil s x q x i q i < n = s. Altså vil x B s (q). For y B s (q) vil endvidere gælde, at y x y q + q x < s + s < r, hvormed y B r (x) U. Altså vil B s (q) U, og påstanden er vist. Vi har nu skrevet U = W B W U B er tællelig: vi har nemlig en bijektion B Q n Q + givet ved B s (q) (q, s). Da #Q n = #N og #Q + = #N jf. Opgave.9 fra Uge 1, samt Example.5, vil #(Q n Q + ) = #(N N) = #N jf. Example.5. Altså er ovenstående forening en tællelig forening, hvormed U σ(b ), idet σ-algebraer er stabile under tællelige foreninger. Altså vil O n σ(b ), og vi er færdige. Det ville dog være mest elegant, hvis vi direkte kunne nummerere alle W B med W U, således at vi kunne skrive {W B W U} = {W 1, W,...} og dermed have U = n N W n, således at vi kunne bruge aksiomet (Σ 3 ) fra definitionen på en σ-algebra direkte og dermed undgå bare at sige tællelig forening. Her er et argument for hvorfor det kan lade sig gøre i ovenstående tilfælde: W. 9
10 Sætning 3. Lad X være en ikke-tom mængde med #X = #N og lad D X være en ikke-tom delmængde. Da findes en surjektion N D. Bevis. Lad f : N X være en bijektion og lad x D være fast. Definér h: N D ved { f(n) hvis f(n) D h(n) = x hvis f(n) / D. h er da veldefineret, da alle de mulige funktionsværdier kun vil ligge i D. Hvis y D, vil specielt gælde, at y X, så der findes n N så f(n) = y. Da vil f(n) = y D, så h(n) = f(n) = y, hvormed h er surjektiv. (Her brugte vi faktisk kun, at der fandtes en surjektion N X.) Da {W B W U} er ikke-tom, findes jf. ovenstående en surjektiv afbildning Sættes W n = f(n) B for n N, vil U = f : N {W B W U}. W B W U W = n N W n σ(b ). Overbevis dig selv om hvorfor andet lighedstegn gælder (brug inklusioner!). 4. Tjek, at funktionerne i Example 4.8 er mål efter Definition 4.1. Vi nøjes med (i) og (ii) her. (i) Lad (X, A) være et måleligt rum og lad x X være et punkt. Vi definerer Dirac-målet i x eller punktmassen i x som værende δ x : A {0, 1} givet ved { 1 hvis x A δ x (A) = 0 hvis x / A for A A. Først og fremmest er A en σ-algebra pr. antagelse, så vi mangler bare at tjekke (M 1 ) og (M ). Da x /, må δ x ( ) = 0, hvormed (M 1 ) gælder. Hvis (A j ) er en familie af parvist disjunkte mængder i A, er der to muligheder: 1. Hvis x A j, findes der ét n N, så x A n (ikke flere, da A n erne er disjunkte). Dermed vil δ x (A n ) = 1, imens δ x (A j ) = 0 for alle j N med j n. Da x A j, har vi dermed δ x A j = 1 = δ x (A j ).. Hvis x / A j, vil x / A j og dermed δ x (A j ) = 0 for alle j N. Altså vil δ x A j = 0 = δ x (A j ). Altså er (M ) også opfyldt. Dette viser, at δ x er et mål på (X, A). 10
11 (ii) Lad (R, A) med A = {A R A eller A c er tællelig}. Vi definerer γ : A {0, 1} ved { 0 hvis A er tællelig γ(a) = 1 hvis A c er tællelig for A A. At A er en σ-algebra er vist i Example 3.3 (v). Da er tællelig, vil γ( ) = 0, så (M 1 ) er opfyldt. Lad nu (A j ) være en familie af parvist disjunkte mængder i A. Da har vi to muligheder: 1. Hvis alle A j er er tællelige, er også A j tællelig jf. Theorem.6. Derfor vil γ( A j) = 0. Da hver A j er tællelig, vil γ(a j ) = 0 for alle j N og dermed vil γ A j = 0 = γ(a j ).. Der findes et n N så A n ikke er tællelig. Da A n A, må A c n være tællelig; idet c A j = A c j A c n, må ( A j) c være tællelig, så γ( A j) = 1. Hvis der fandtes et m n, m N, så A m ikke var tællelig, ville (A m A n ) c = A c m A c n være tællelig (da A c m også ville være tællelig). Dermed er A m A n overtællelig (hvis den ikke var, ville R = (A m A n ) (A m A n ) c være tællelig), men dermed må snittet være ikke-tomt modstrid! Altså vil A j være tællelig og dermed γ(a j ) = 0 for alle j n, hvormed vi har γ A j = 1 = γ(a j ). Altså er (M ) også opfyldt. Dette viser, at γ er et mål på (R, A). 4.6 Lad (X, A) være et måleligt rum. (i) Lad µ, ν være to mål på (X, A). Vis, at for alle a, b 0 er funktionen ρ(a) := aµ(a) + bν(a), A A, igen et mål på (X, A). Først og fremmest vil ρ(a) [0, ] for alle A A. Da µ( ) = ν( ) = 0, vil ρ( ) = 0, hvormed (M 1 ) er opfyldt for ρ. Er (A j ) en familie af parvist disjunkte mængder i A, har vi, at ρ A j = aµ A j + bν A j = a µ(a j ) + b ν(a j ) = (aµ(a j ) + bν(a j )) = ρ(a j ). Ovenstående gælder i hvert fald, hvis rækkerne er konvergente. Hvis fx µ(a j) =, er det ikke svært at se, at både venstre- og højreside også må være lig, ved at bruge at ρ(a) µ(a) for alle A A. 11
12 (ii) Lad µ 1, µ,... være tælleligt mange mål på (X, A) og lad (α j ) være en følge af positive tal. Vis at µ(a) := j=1 α jµ j (A) igen er et mål. Vi viser først to lemmaer: Lemma 4. Lad (β ij ) i, være en familie af punkter i [0, ]. Da gælder sup i N sup β ij = sup sup β ij. i N Bevis. Lad os først antage, at sup sup i N β ij <. For faste i, j N vil β ij sup i N β ij sup sup β ij. i N Højresiden er uafhængig af i og j. Lad i N være fast. Da er sup sup i N β ij et overtal i R for β ij erne for alle j, så sup β ij sup sup β ij. i N Højresiden er uafhængig af i. Da er sup sup i N β ij et overtal i R for sup β ij for alle i, så sup i N sup Den modsatte ulighed vises på samme måde. β ij sup sup β ij. i N Bemærk, at dette viser, at hvis det eneste supremum er <, så må det andet også være det. Omformuleret: hvis en er lig, er den anden det også. Lemma 5. Lad (β i ) i N være en familie af punkter i [0, ]. Da vil sup n N β i = lim n β i. Bevis. Definér α n = n β i for alle n N. Antag først, at sup n N α n <. Da vil (α n ) være en monotont voksende begrænset følge i R; den konvergerer faktisk imod supremum (se Kalkulus, kapitel 4), så ovenstående lighed gælder. Hvis sup n N α n = gælder enten, at der findes i så β i = eller at α n R for alle n; i begge tilfælde har vi lim n n β i =. Vi er nu klar. Først og fremmest er α j 0 for alle j N, og µ j afbilder ind i [0, ], så j=1 α jµ j (A) [0, ] for alle A A, ergo er µ veldefineret. Vi tjekker nu aksiomerne: Da µ( ) = j=1 α jµ j ( ) = j=1 0 = 0, følger (M 1). 1
13 Lad (A i ) i N være en familie af parvist disjunkte mængder i A. Da vil ( ) ) µ A i = A i i N ( α j µ j j=1 i N ( ) = α j µ j (A i ) j=1 L5 = sup n N = sup lim n N L5 = sup sup α j lim m j=1 m m j=1 m n N m N j=1 L4 = sup sup m m N n N j=1 L5 = sup lim m N = sup = m N j=1 m µ j (A i ) α j µ j (A i ) α j µ j (A i ) α j µ j (A i ) m n j=1 m µ(a i ), α j µ j (A i ) } {{ } µ(a i) α j µ j (A i ) som ønsket. Da vi benyttede L4 (Lemma 4), byttede vi også om på sumtegnene, hvilket er lovligt. 4.7 Lad (X, A, µ) være et målrum og lad F A. Vis, at A A µ(a F ) definerer et mål. Først og fremmest er µ : A [0, ] givet ved µ (A) = µ(a F ) veldefineret: A F A for alle A A, og da µ antager værdier i [0, ], vil også µ gøre det. Idet F =, følger at µ ( ) = µ( ) = 0 ved (M 1 ) for µ, således at (M 1 ) er opfyldt for µ. Lad nu (A j ) være en familie af parvist disjunkte mængder i A. Da vil A j F = j F ). (A For i j er A i F og A j F disjunkte (ellers ville A i og A j ikke være disjunkte); så vi har ved at bruge (M ) for µ at µ A j ) = µ A j F = µ j F ) (A (M) = µ(a j F ) = µ (A j ), således at (M ) er opfyldt for µ. 4.9 Lad (X, A, µ) være et endeligt målrum og lad (A j ), (B j ) A således at A j B j for alle j N. Vis, at µ A j µ B j j ) µ(b j )). (µ(a 13
14 [Hint: vis først, at j A j \ j B j j (A j \ B j ).] Lad x X. Hvis x j A j \ j B j, findes j 0 N så x A j0. Da x / j B j, vil x / B j for alle j, så specielt vil x / B j0, hvormed x A j0 \ B j0 j (A j \ B j ). Altså er hintet vist. Da A j B j for alle j N, vil j A j j B j. Da X er et endeligt målrum, vil µ( j A j) µ(x) < jf. Proposition 4.3 (ii), så vi har µ A j µ B j 4.3(iii) = µ A j \ B j 4.3(ii) µ A j \ B j (iii) = µ(a j \ B j ) (µ(a j ) µ(b j )), idet µ(a j ) < for alle j N Nulmængder. Lad (X, A, µ) være et målrum. En mængde N A kaldes en nulmængde eller en µ-nulmængde hvis µ(n) = 0. Vi betegner familien af alle nulmængder i A med N µ. Vis, at N µ har følgende egenskaber: (i) N µ. Dette følger af definitionen på et mål! (Vi har µ( ) = 0.) (ii) Hvis N N µ, M A og M N, vil M N µ. Da M A, findes µ(m) (µ er kun defineret på A). Grundet monotoni (Proposition 4.3 (ii)), vil µ(m) µ(n) = 0, da N N µ. Da µ(m) 0 pr. definitionen på et mål, vil 0 µ(m) 0, så µ(m) = 0 og M N µ. (iii) Hvis (N j ) N µ, vil N j N µ. Grundet subadditivitet (Corollary 4.6) vil 0 µ N j µ(n j ) = 0, hvormed N j N µ 4.11 Lad λ være det endimensionale Lebesgue-mål. 14
15 (i) Vis, at {x} er en Borel-mængde med µ({x}) = 0 for alle x R. Vi gentager beviset for Sætning 1 i det endimensionale tilfælde. {x} er afsluttet og dermed en Borelmængde. Beviset for Theorem 4.4 giver, at (iii ) gælder for alle mål. Definer y n = x+ 1 n for alle n N. Da vil [ A n = x, x + 1 ) B(R) n være en Borel-mængde. Da vi har, at A n A m for m n, er følgen (A n ) aftagende. Endvidere er A n = {x}, så jf. (iii ) vil som ønsket. λ({x}) = lim λ(a 1 n) = lim n n n = 0, (ii) Vis, at Q er en Borel-mængde med λ(q) = 0 på to måder: a) ved at bruge (i); b) ved at betragte mængden C(ε) = k N [q k ε k, q k + ε k ), hvor (q k ) k N er en nummerering af Q, og lade ε 0. Ad a): Da #Q = #N, findes en bijektion f : N Q. Definér x n = f(n) for n N. Da vil Q = {x n n N} = {x j }. Alle etpunktsmængderne er disjunkte, da f er injektiv. Vi har derfor pr. (i), at λ(q) = λ({x j }) = 0 = 0. Ad b). Lad q k være en nummerering af Q og lad ε > 0 være vilkårligt. Da har vi, at Q C(ε). Jf. Proposition 4.3 (ii) og Corollary 4.6 og har vi, at λ(q) 4.3 λ(c(ε)) 4.6 k N λ([q k ε k, q k + ε k ) = ε k = ε k = ε. Da ε > 0 var vilkårligt, kan vi lade ε 0, hvormed λ(q) 0 og dermed λ(q) = 0. (iii) Brug det trivielle faktum at [0, 1] = 0 x 1 {x} til at vise at en ikke-tællelig forening af nulmængder ikke nødvendigvis er en nulmængde. Hver {x} ovenfor er en nulmængde, men λ([0, 1]) = λ([0, 1)) + λ({1}) = Bestem alle nulmængder for målet δ = δ a + δ b, a, b R på (R, B(R)). Vi har først og fremmest, at δ er et mål jf. Opgave 4.6 (i). Antag, at A B(R). Da vil hvis a A og b A δ(a) = δ a (A) + δ b (A) = 1 hvis a A og b / A eller a / A og b A 0 hvis a / A og b / A. Altså vil A være en nulmængde for δ a + δ b hvis og kun hvis a / A og b / A. k=1 k=1 15
16 (4.15) Vis, at et målrum (X, A, µ) er σ-endeligt hvis og kun hvis der findes en følge (E j ) A af målelige mængder således at E j = X og µ(e j ) < for alle j N. Det er klart, at betingelsen til sidst er opfyldt hvis målrummet er σ-endeligt (for at (X, A, µ) er σ-endeligt, kræves at følgen af mængder er voksende, dvs. E 1 E ). Lad derfor (E j ) være en følge af målelige mængder således at E j = X og µ(e j ) <. Definér A n = n j=1 E j for n N. Da vil A m A n for m n og hvis x X, findes m N så x E m A n, hvormed n N E n = X. Slutteligt følger af Corollary 4.6 eller Proposition 4.3 at hvormed (X, A, µ) er σ-endeligt. µ(a n ) µ(e j ) <, j=1 16
Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereIndledende Mål- og Integralteori. Steen Thorbjørnsen
Indledende Mål- og Integralteori Steen Thorbjørnsen INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG 29 Copyright 29 Steen Thorbjørnsen Forord Nærværende notesæt er udarbejdet til kurset Målteori ved Institut for Matematiske
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereGrafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori
Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18
Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereMiniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereModulpakke 3: Uendelige Rækker
Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereDM02 opgaver ugeseddel 2
DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereBEVISER, MÆNGDER, FUNKTIONER OG
UNF Matematik Camp 2013 BEVISER, MÆNGDER, FUNKTIONER OG UENDELIGHED STEFFEN HØJRIS PEDERSEN & TOBIAS ANSBAK LOUV INSTITUT FOR MATEMATIK, AARHUS UNIVERSITET Ungdommens Naturvidenskabelige Forening Danmark
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereAndengradspolynomier
Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og
Læs mereMatematik 2AL. Algebra
Matematik 2AL Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Matematik 2AL, Algebra, 2. udgave. Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100
Læs mereOpgave Firkantet E F. Opgave Trekantet
1 Opgave Firantet E F Lad være et vilårligt punt på liniestyet mellem og, og tegn halvcirler til samme side over diametrene, og. Lad være det punt på halvcirlen, der har vinelret på, og lad EF være fællestangenten
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePia Schiermer, Underviser ved UNI-C og Amtscentrene 2 pia@schiermer.dk
Pia Schiermer, Underviser ved UNI-C og Amtscentrene 2 Bloggen er et online medie for både de store og de små, høje og lave, lange og brede. Bloggen er for alle på nettet også de andre. En blog, også kaldet
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereAnalyse 2. Rasmus Sylvester Bryder, Katrine Frovin Gravesen, Søren Frejstrup Grav Petersen og Anders Wolfsberg
Analyse 2 Rasmus Sylvester Bryder, Katrine Frovin Gravesen, Søren Frejstrup Grav Petersen og Anders Wolfsberg 2010 Indhold 1 Fuldstændige og kompakte metriske rum 5 2 Normerede rum og Hilbert rum 11 3
Læs mereVEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk
VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi
MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereÅrsafslutning i SummaSummarum 4
Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre
Læs mereArbejdsmiljøgruppens problemløsning
Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereEn hæklet havfruehale
En hæklet havfruehale Her finder du en gratis vejledning til, hvordan du kan hækle din egen havfruehale. Havfruehalen er designet af Maria Buck Jensen og du kan finde hjælp og flere billeder på. Maria
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mere1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)
Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereModule 2: Beskrivende Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereStatistikkompendium. Statistik
Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over
Læs mereFermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereChomsky hierarkiet af sprogklasser
Chomsky hierarkiet af sprogklasser Torben Mogensen Juli 2001 I oversætterbogen [Mog01] beskrives to klasser af sprog: De regulære sprog, beskrevet med regulære udtryk og endelige automater samt de kontekstfri
Læs mereFakturering kan foretages som en massefakturering eller for en enkelt ordre.
Fakturering Fakturering kan foretages som en massefakturering eller for en enkelt ordre. Massefakturering. På fanen Dagligt findes mappen Faktura. Herunder kan man vælge mellem Dagligt, Ugentligt, 14 dage
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereLæsevejledning til resultater på regionsplan
Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...
Læs mereBrugervejledning. til. Landsforeningen Danske Folkedanseres. Medlemssystem (For dansere)
Brugervejledning til Landsforeningen Danske Folkedanseres Medlemssystem (For dansere) 1 Indhold Første gang systemet skal have at vide, hvem du er.... 3 Log Ud - VIGTIGT!... 4 Log ind når du har oprettet
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereVejledning til AT-eksamen 2016
Sorø Akademis Skole Vejledning til AT-eksamen 2016 Undervisningsministeriets læreplan og vejledning i Almen Studieforberedelse kan findes her: http://www.uvm.dk/uddannelser/gymnasiale-uddannelser/fag-og-laereplaner/fagpaa-stx/almen-studieforberedelse-stx
Læs mereGRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET
GUIDE 6 Noget om blænde GRUNDLÆGGENDE TEORI LIGE FRA HJERTET 2015 LÆRfoto.dk Indhold Indhold... 2 Indledning... 3 Blænde... 4 Blænde og dybdeskarphed... 5 Blænde og lyset... 6 LÆRfoto.dk s serie af guides
Læs mereDet er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden
DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage
Læs mereStatistik med GeoGebra
Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra
Læs mereStatistik og Databehandling N: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/kurser/ statdatabehandling/f06/
Statistik og Databehandling N: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/kurser/ statdatabehandling/f06/ Jens Ledet Jensen Statistik og Databehandling N: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/statdatabehandling/f06/
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereVERSION 3.1.20 JULI 2013
HIGHLIGHTS EPOS LØN VERSION 3.1.20 JULI 2013 Indholdsfortegnelse 1 Tag skærmprint af gemte kriterier... 3 2 Nyhed: Definér lønseddel pr. lønseddelgruppe... 4 3 Ny importskabelon lønkonteringsfordeling...
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mere