da er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X X n ) N(µ, σ2
|
|
- Marianne Christoffersen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistik og Sandsynlighedsregning IH kapitel Overheads til forelæsninger, onsdag 5. uge Resultater om normalfordeling X N(µ,σ ). N har tæthed ϕ µ,σ (x) = exp (x µ) πσ σ EX = µ, Var(X) = σ X µ N(0,) σ Hvis X og X er uafhængige, X r N(µ r,σr), da er X + X N(µ + µ,σ + σ) Hvis X,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ ), da er X = n (X X n ) N(µ, σ n ) Normalfordelingen Observation af x = (x,...,x n ) R n X = (X,...,X n ) X r N(µ,σ ) er uafhængige, identisk normalfordelte variable med µ R og σ > 0. X har tæthed ϕ µ,σ (x) = = n exp πσ σ (x s µ) ( πσ ) n exp σ (x s µ) Motiverende eksempel. Usikkerhed på middelværdi Patient Pimax (cm H O) Gennemsnit 4.7 Standardafvigelse 6.3 Model: X i : Pimax for patient nr. i X,...,X 9 uafh. N(µ,σ ), ˆµ = 4.7, ˆσ = 6.3 = SD 3 4
2 I R: > Pimax <- c(54.8,6,63.3,44.,40.3,36.3,9.3,4.6,6.6) > xbar <- mean(pimax) > xbar [] > s <- sd(pimax) > s [] Antag: Et langt større eksperiment på en anden patientgruppe har fundet ˆµ = 35.0, ˆσ = 0.0 Spørgsmål: Er µ = 35.0 muligt i vores eksempel?. Hvis σ er kendt (sjældent): U-test. Hvis σ er ukendt (oftest): t-test 5 6. U-test: Lad Eksempel: X = n i= X i = 9 (X + + X 9 ) N(µ, σ /n ) SEM SD middel i stikprøve postuleret middel spredning for middel i stikprøve / =.88 9 Hvis Y N(0,), hvad er P( Y.88)? = X µ 0 σ/ n N(0,) Normalfordeling 7 8
3 I R: P( Y.88) = Φ(.88) = ( Φ(.88)) > mu0 <- 35 > sigma <- 0 > n <- 9 > y <- (xbar-mu0)/(sigma/sqrt(n)) > y [].88 > *pnorm(-abs(y)) [] > *(-pnorm(abs(y))) [] Statistisk model og maximum likelihood estimatoren Vi antager µ ukendt og σ = σ 0 kendt. Den statistiske model bliver (R n,(n µ ) µ R ) hvor N µ har tæthed ϕ µ (x) = ( exp πσ0 )n σ0 Likelihoodfunktionen for µ bliver derfor (x s µ) L : R n R [0, ) L(x,µ) = ϕ µ (x) Fortolkning? 9 0 Estimation af µ i normalfordeling med kendt varians Log-likelihooden bliver log ϕ µ (x) = n log Score-funktionen bliver d log ϕ µ (x) dµ ( ) πσ0 σ0 = σ 0 og likelihood-ligningen giver estimatoren σ0 (x s µ) (x s µ) (x s ˆµ) = 0 ˆµ = n x s = x Vi får således at maximum likelihood estimatoren er gennemsnittet af målingerne. Vi så tidligere at hvis X,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ ), da er X = n (X X n ) N(µ, σ n ) Vi får derfor direkte fordelingen af maximum likelihood estimatoren ˆµ N(µ, σ 0 n )
4 Estimation af µ i normalfordeling med kendt varians Vi kunne også direkte have maximeret likelihooden. Der gælder (x s µ) = ((x s x) + ( x µ)) = = = (x s x) + ( x µ) + (x s x)( x µ) (x s x) + n( x µ) + ( x µ) (x s x) + n( x µ) (x s x) (x s x) Hvorfor er det vigtigt at kende estimatorens fordeling? Hvor godt er vores estimat? ˆµ N(µ, σ 0 n ) Hvor tæt kan vi forvente at det er på den sande værdi? 3 4 Normalfordelingen Konfidensinterval µ 3σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ To parametre: µ : middelværdi σ : varians (σ er spredningen) Et interval omkring vores estimat, der angiver værdier hvor den sande værdi med stor sandsynlighed er indeholdt. ( ) Hvis ˆµ N(µ, σ 0 ˆµ µ n ), da vil P σ 0 / n.96 = 0.95 Derfor vil P Fortolkning? ( [ µ ˆµ.96 σ 0 ; ˆµ +.96 σ ]) 0 n n =
5 Normalfordelingen -.96 Normalfordelingen %.5%.5% µ.96σ µ µ +.96σ % 0.5% 0.5% µ.58σ µ µ +.58σ Vi bruger tallet.96 til at konstruere 95% konfidensintervaller. Vi bruger tallet.58 til at konstruere 99% konfidensintervaller. 7 8 Test af hypotesen H : µ = µ 0. Kvotientteststørrelse: Q(x) = L(x, ˆµ 0) L(x, ˆµ) exp n ( πσ0 = )n σ0 (x s µ 0 ) exp n ( πσ0 )n σ0 (x s x) = exp σ0 ((x s µ 0 ) (x s x) ) = exp σ0 n( x µ 0 ) Da hypotesen er simpel, har vi at ǫ(x) = P µ0 (Q(X) Q(x)) = P µ0 ( log Q(X) log Q(x)) ( = P µ0 σ0 n( X µ 0 ) ) σ0 n( x µ 0 ) ( X µ0 = P µ0 σ 0 / n x µ ) 0 σ 0 / n ( X µ0 = P µ0 σ 0 / n x µ ) 0 σ 0 / n ( ( )) x µ0 = Φ σ 0 / n da X µ 0 σ 0 / n er standard normalfordelt. 9 0
6 Flere resultater om normalfordelingen Definition af χ -fordelingen: Hvis X,...,X n er uafhængige og X r N(0,), da er S = X X n, summen af de kvadrerede variable, χ fordelt med n frihedsgrader (S χ n). Hvis X,...,X n er uafhængige og X r N(0,σ ), da er S = X X n, summen af de kvadrerede variable, χ fordelt med n frihedsgrader og skalaparameter σ (S σ χ n). Hvis S χ n, da er ES = n Hvis S σ χ n, da er ES = nσ Hvis S og S er uafhængige og S r σ χ n r,r =,, da er S + S σ χ n +n Hvis X,...,X n er uafhængige, X r N(µ,σ ) og SSD = n r= (X r X), summen af de kvadrerede afvigelser (sum of squared deviations), da er SSD σ χ n og SSD X. Flere resultater om normalfordeling Definition af T-fordelinger: Motiverende eksempel. Normalfordeling med ukendt varians Hvis X N(0,), S χ n og X S, da er nx S T-fordelt med n frihedsgrader. t-test: Istedet for X µ 0 σ/ n benyttes X µ 0 s/ n Hvis X N(µ,σ ), S σ χ n og X S, da er n(x µ) S T-fordelt med n frihedsgrader. Hvis X,...,X n er uafhængige, X r N(µ,σ ), SSD = n r= (X r X) og s = n SSD, da er n( X µ) s T n. n hvor s i= = (X i X) (n ) der følger en t-fordeling med n frihedsgrader. 3 4
7 % konfidensinterval [ x t n (0.975) s, x + t n (0.975) s ] n n Eksempel: Pimax-studiet [ ; ] = [8.79 ; 53.75] 9 9 indeholder 35.0 dvs. µ = 35.0 kan ikke afvises på 5%-niveau Normalfordeling og t fordeling med, 5 og 5 frihedsgrader 5 6 I R: > qnorm(0.975) [] > > alpha < > qnorm(-alpha/) [] > > n <- 9 > qt(0.975, df = n-) [] Vigtigt: SD=Std(X i ) = σ SE (eller SEM) = Std(X) = n σ = n SD standard deviation eller standardafvigelse eller spredning eller varians standard error (of the mean) eller standardfejl 7 8
8 Statistisk model og maximum likelihood estimatoren Observation af x = (x,...,x n ) R n X = (X,...,X n ) X r N(µ,σ ) er uafhængige, identisk normalfordelte med µ R og σ > 0. X har tæthed n ϕ µ,σ (x) = exp πσ σ (x s µ) = ( πσ ) n exp σ (x s µ) Statistisk model og maximum likelihood estimatoren Statistisk model hvor N (µ,σ ) har tæthed ϕ (µ,σ )(x) = Likelihoodfunktion (R n,(n (µ,σ )) (µ,σ ) R ]0, [), ( πσ ) n exp σ (x s µ) L : R n R ]0, [ [0, [ L(x,µ,σ) = ( πσ ) exp n σ (x s µ) 9 30 Estimation af µ og σ i normalfordeling med ukendt varians Log-likelihood: ( ) l = log L(x,µ,σ) = n log πσ σ Score-funktioner: dl dµ = σ dl dσ (x s µ) = n σ + n σ 3 (x s µ) (x s µ) Likelihood-ligningerne giver estimatoren ˆσ ṋ σ + ˆσ 3 (x s ˆµ) = 0 ˆµ = n n (x s ˆµ) = 0 ˆσ = n = n x s = x (x s ˆµ) (x s x) ˆµ N(µ, σ n ) ; nˆσ σ χ n ; ˆµ ˆσ 3 3
9 Test af hypotesen H : µ = µ 0. Likelihoodfunktion under H: Log-likelihood: L : R n ]0, [ [0, [ L(x,σ) = ( πσ ) exp n σ (x s µ 0 ). ( ) l = log L(x,σ) = n log πσ σ Score-funktion: dl dσ = n σ + n σ 3 (x s µ 0 ) (x s µ 0 ) Likelihood-ligningen giver estimatoren ñ σ + σ 3 og selvfølgelig n (x s µ 0 ) = 0 σ = n µ = µ 0 Fordeling af estimatoren n σ σ χ n (x s µ 0 ) Estimatorer og teststørrelse Kvotientteststørrelse MLE under M : ˆµ = x MLE under H : µ = µ 0 ˆσ = n n (x s x). σ = n n (x s µ 0 ) ( ˆσ Q(x) = σ ) n Testsandsynlighed og fordeling af estimatorer Fordeling af MLE under M: Fordeling af MLE under H: Testsandsynlighed ǫ(x) = P ˆµ ˆσ ˆµ N(µ, n σ ) nˆσ σ χ n. nˆσ σ χ n ( T n x µ ) 0 s/, n hvor T n er T fordelt med n frihedsgrader, og s = n n (x s x)
10 > data <- rnorm(00,mean=,sd=0.5) > t.test(data) One Sample t-test data: data t = 9.480, df = 99, p-value <.e-6 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x > mu0 <- > t.test(data-mu0) One Sample t-test data: data - mu0 t = , df = 99, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Parvist T-test x er observation af uafhængige, hvor Hypotese H : µ = 0. Definer Y r = X r X r. X = (X rs ) r=,...,n,,, X r N(α r,σ ) X r N(µ + α r,σ ). Y,...,Y n uafhængige, Y r N(α r,σ ). Test af µ = 0 ved at bruge Sætning.3. på y,...y n, hvor y r = x r x r. Sammenligning af respons for to uafhængige grupper Placebo Aktiv y y Målinger y y.. y,n y,n Gennemsnit y y 39 40
11 Normalfordelte målinger Sammenligning af middelværdi Y j N(µ,σ ) Y k N(µ,σ ) Antagelse: samme varians i de to grupper. [ ] X µ 0 (Y Y ) 0 idé: s laves til n SE(Y Y ) Eksempel: Måler to blodglukose-måleapparater forskelligt? Der foretages n = 50 målinger med apparat A og n = 50 målinger med apparat B, alle målinger foretages på samme blodprøve. Resultat: Blodglukosekoncentration Gennemsnit Spredning Apparat A 5,70 0,6 Apparat B 5,0 0,5 4 4 Først skal vi undersøge om spredningerne kan antages lige store på de to måleapparater. F-test: Hvis varianserne i de to grupper er ens vil Her SD SD F(n,n ) 0,6 0,5 =,44 > -pf(.44, df = 49, df = 49) [] Vi antager varianshomogenitet Fælles variansskøn Her s = s = (n )s + (n )s n + n s = SD apparat A s = SD apparat B (50 )(0,6) + (50 )(0,5) = 0, SE for differensen Y Y SE(Y Y ) = s + = 0,553 n n = 0,
12 t-test: Frihedsgrader = = 98. > *(-pt(5.499, df=98)) [] e-07 t = Y Y SE(Y Y ) = 5,7 5, 0,05 = 5,499 Signifikant forskel på middelglukosekoncentrationen målt på samme blodprøve med de to apparater. 95% konfidensinterval for forskellen i middelværdi Her (Y Y ) ± t n +n (0.975) SE(Y Y ) (5,7 5,) ± t (0.975) 0,05 = [0,383 ; 0,87] indeholder ikke 0. Signifikant forskel på middelglukosekoncentrationen målt på samme blodprøve med de to apparater (Vi kan altså afvise H 0 på 5%-niveau) Parvist T-test igen x er observation af uafhængige par hvor Hypotese H : µ = 0. Definer Y r = X r X r. X = (X rs ) r=,...,n,,, (X r,x r ) N((α r,µ + α r ),Σ). Y,...,Y n uafhængige, Y r N(µ,σ + σ ρσ σ ). Test af µ = 0 ved at bruge Sætning 3.3. på y,...y n, hvor y r = x r x r. Sammenligning af middelværdi i to normalfordelinger Observation fra x = (x rs ) r=,,,...nr X = (X rs ) r=,,,...nr, uafhængige normalfordelte variable X rs N(µ r,σ ) med µ r R og σ > 0. Sæt n = n + n. X har tæthed ϕ µ,µ,σ (x) = = n r r= exp πσ ( πσ ) n exp σ σ (x rs µ r ) n r (x rs µ r ). r= 47 48
13 Statistisk model og hypotese Statistisk model hvor N (µ,µ,σ ) har tæthed (R n,(n (µ,µ,σ )) (µ,σ ) R ]0, )) ϕ µ,µ,σ (x) = ( πσ ) n exp σ H : µ = µ = µ. n r (x rs µ r ). r= Likelihoodfunktioner Likelihoodfunktion under M: L : R n R ]0, [ [0, [ L(x,µ,µ,σ) = ( πσ ) exp n r n σ (x rs µ r ) Likelihoodfunktion under H: r= L : R n R ]0, [ [0, [ L(x,µ,σ) = ( πσ ) exp n r n σ (x rs µ) r= Estimatorer og teststørrelse Kvotientteststørrelse H : µ = µ = µ. MLE under M : ˆµ r = x r ˆσ = n MLE under H : µ = x σ = n ( ˆσ Q(x) = σ n r (x rs x r ) r= n r (x rs x) r= ) n Testsandsynlighed og fordeling af estimatorer Fordeling af MLE under M: Fordeling af MLE under H: ˆµ ˆµ ˆσ ˆµ r N(µ r, n r σ ) nˆσ σ χ n. µ ˆσ µ N(µ, n σ ) n σ σ χ n. 5 5
14 > data <- rnorm(7,mean=,sd=) > data <- rnorm(3,mean=.5,sd=) > t.test(data,data) Testsandsynlighed ǫ(x) = P T n x x s n + n hvor s = nr n r= (x rs x r ), og T n er T fordelt med n frihedsgrader., Welch Two Sample t-test data: data and data t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > data <- rnorm(7,mean=,sd=) > data <- rnorm(3,mean=.5,sd=) > t.test(data,data) Welch Two Sample t-test data: data and data t = -.63, df = 33.97, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y > data <- rnorm(40,mean=,sd=) > data <- rnorm(40,mean=.,sd=) > t.test(data,data,paired=true) Paired t-test data: data and data t =.66, df = 39, p-value = 0.4 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences
15 Eksempel.5.3 Dobbeltbestemmelser af tuberkulinreaktioner Differens mellem Differens mellem aflæsninger (mm) antal aflæsninger (mm) antal > dif <- c(-9,-6,rep(-5,3),rep(-4,),rep(-3,9),rep(-,49), + rep(-,94),rep(0,6),rep(,4),rep(,5),rep(3,5), + rep(4,),5,8) > length(dif) [] 334 > mean(dif) [] > sd(dif) [] > var(dif) [] Tuberkulinreaktioner ved vaccine, centre > t.test(dif) One Sample t-test data: dif t = -7.75, df = 333, p-value =.5e-3 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Størrelse Kbh Oslo Størrelse Kbh Oslo n x s
16 > size <- 8:6 > kbh <- c(0,,5,3,5,4,7,5,,,,5,5,5,6,3,,0,) > oslo <- c(,0,0,5,9,0,5,3,0,6,,8,,4,3,5,5,0,0) > > TBkbh <- rep(size,kbh) > TBoslo <- rep(size,oslo) > > c(length(tbkbh), mean(tbkbh), var(tbkbh)) [] > c(length(tboslo), mean(tboslo), var(tboslo)) [] > # Normalfordelingsantagelsen > hist(tbkbh) > hist(tboslo) > qqnorm(tbkbh) > qqnorm(tboslo) 6 6 Histogram of TBkbh Histogram of TBoslo Frequency Frequency TBkbh TBoslo 63 64
17 Normal Q Q Plot Normal Q Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles 0 Theoretical Quantiles > # Test om ens middelværdier > t.test(tbkbh,tboslo) > # Antagelse om varianshomogeneitet > v <- var(tboslo)/var(tbkbh) > v [] > -pf(v, df = 5, df = 9) [] Welch Two Sample t-test data: TBkbh and TBoslo t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y
18 > t.test(tbkbh,tboslo,var.equal=true) Two Sample t-test data: TBkbh and TBoslo t = 0.674, df = 44, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y
Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereBasal statistik. 30. januar 2007
Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereKlasseøvelser dag 2 Opgave 1
Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mereKommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge
Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Opgave 1. Data indlæses i 3 kolonner, som f.eks. kaldessalt,pre ogpost. Der er således i alt tale om 26 observationer, idet de to grupper lægges
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger
Oversigt: De næste forelæsninger Økonometri Inferens i den lineære regressionsmodel 5. september 006 Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 6. november 2007 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 41 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereDet kunne godt se ud til at ikke-rygere er ældre. Spredningen ser ud til at være nogenlunde ens i de to grupper.
1. Indlæs data. * HUSK at angive din egen placering af filen; data framing; infile '/home/sro00/mph2016/framing.txt' firstobs=2; input id sex age frw sbp sbp10 dbp chol cig chd yrschd death yrsdth cause;
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mereSENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK
SENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK Aarhus Universitet juni 011 Genopfriskning af statistik Basale tankegange og begreber (i dag) Sammenligninger (i morgen) Sammenhænge (i overmorgen) Brug af programpakken
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mere1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereLogistisk Regression - fortsat
Logistisk Regression - fortsat Likelihood Ratio test Generel hypotese test Modelanalyse Indtil nu har vi set på to slags modeller: 1) Generelle Lineære Modeller Kvantitav afhængig variabel. Kvantitative
Læs mereOpgaver til Kapitel 3
Opgaver til Kapitel 3 Hvis en opgave indeholder data, vil et sasprogram, der indlæser data være til rådighed i kataloget statbib/atskurser/stat1/opgaver/kapitel_03 For eksempel vil data til opgave 3.1
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereDeskriptiv Statitik. Judith L. Jacobsen, PhD. http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal09_1/ jlj@statcon.dk
Deskriptiv Statitik Judith L. Jacobsen, PhD. http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal09_1/ jlj@statcon.dk Kursus formål Planlægning af studier selve indsamlingen af data, opstilling af statistiske hypoteser
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling
Læs mereForsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 8. november 2011 Videnskabelig hypotese Planlægning af et studie Endpoints Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 51 Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereFaculty of Health Sciences. Logistisk regression: Interaktion Kvantitative responsvariable
Faculty of Health Sciences Logistisk regression: Interaktion Kvantitative responsvariable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereSeniorkursus i Biostatistik og Stata, Dag 2
SENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK Aarhus Universitet juni DAGENS TEMA: SAMMENLIGNINGER FORMIDDAG: KONTINUERTE DATA EFTERMIDDAG: KATEGORISKE DATA STATISTISK ANALYSE AF TO UAFHÆNGIGE STIKPRØVER FRA NORMALFORDELTE
Læs mereEksamen Bacheloruddannelsen i Medicin med industriel specialisering
Eksamen 2016 Titel på kursus: Uddannelse: Semester: Forsøgsdesign og metoder Bacheloruddannelsen i Medicin med industriel specialisering 6. semester Eksamensdato: 17-02-2015 Tid: kl. 09.00-11.00 Bedømmelsesform
Læs mereVIGTIGT! Kurset består af: 1. Forelæsninger. 2. Øvelser. 3. Litteraturlæsning
Intro til statistik Rasmus F. Brøndum, Institut 17 (Matematik) Hjemmeside: people.math.aau.dk/~froberg 22 forelæsninger (hvor af jeg afholder de første 13) + det samme antal øvelsesgange. Hjælpelærer:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereChi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller
Chi-i-anden Test Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Chi-i-anden test omhandler data, der har form af antal eller frekvenser. Antag, at n observationer kan inddeles
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs merea) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?
Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5
Læs mere