Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 7.2. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable"

Transkript

1 Projekt 7.. Optimeringsproblemer og funktioner af flere variable Indhold 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se C-bogen projekt ).... Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen projekt ) Modellering med funktioner med flere variable Implicit differentiation Gradientvektorer Lagrange multiplikatorer... 0 (Dette projekt er identisk med projekt.7 i kapitlet om differentialregning) Optimeringsopgaver indeholder altid flere variable. I gymnasiet løses de traditionelt ved, at man ved hjælp af en bibetingelse omformer problemet til et, hvor der kun indgår én variabel. Men ligesom der findes metoder til at bestemme maks og min af funktioner af én variabel, findes der naturligvis metoder til at bestemme maks og min af funktioner af flere variable. I dette projekt vil vi kaste lys over den dybere teori bag typiske modelleringsopgaver som fx projekt Vodkaklovn i B-bogen (projekt 4.13). I vores rejse ind i denne verden af funktioner af flere variable opstår der behov for nye matematiske metoder, der samtidig harv en værdi, der rækker ud over det specifikke projekt her. Afsnittene om implicit differentiation, om gradientvektorer og om Langrange-multiplikatorer kan således både indgå i et større samlet projekt, eller læses særskilt, som små projekter inden for teorien om funktioner af flere variable. 1

2 1. Eksempel: Kvadratet som en optimal figur (se B-bogen projekt 1.1) Sætning 1: Kvadratet som en optimal figur Blandt alle rektangler med en given omkreds er kvadratet den figur, der har det største areal- Blandt alle rektangler med et givet areal er kvadratet den figur, der har den mindste omkreds. Bevis: Sætningen hænger på den følgende kvadratsætning: (a+b) = (a-b) + 4a b ( a+ b) -( a- b) = 4a b b b b a b a b Kaldes grundlinjen og højden for rektanglet for g og h finder vi derfor Formlen for arealet: T= g h Formlen for omkredsen: O= g+ h a a-b (a-b) a b a b Kvadratsætningen kan derfor omskrives på formen a-b a a+b b b b a-b ( g+ h) -( g- h) = 4g h æoö - - ç ( g h) = 4 T è ø 1 O = 4 T + ( g-h) T = O -( g-h) 4 h h h ( O ) = (g-h) + 4T T T g g-h (g-h) T T g-h h h g g+h h g-h Øvelse 1 a) Gør rede for at sætningerne om kvadratet som optimal figur netop følger fra de to sidste formule- 1 ringer af kvadratsætningen, der også kan formuleres som den følgende ulighed T O, hvor der kun gælder lighedstegn, hvis g= h. 16

3 Typisk vil vi jo gerne have differentialregningen i spil, når vi løser min-max-problemer. I det ovenstående modelleringproblem har vi en klasse af figurer, rektangler, karakteriseret ved to uafhængige variable, grundlinjen g og højden h, samt to afhængige variable, omkredsen O= g+ h og arealet T= g h. Både arealet og omkredsen er voksende funktioner af grundlinjen og højden, så der findes fx ikke noget største rektangel, hvad enten vi kigger på areal eller omkreds. Men binder vi den ene afhængige variabel kan vi lave et optimeringsproblem for den anden afhængige variabel. Vi kan fx indhegne en rektangulær mark med et givet stykke hegn til rådighed. Opgaven går da ud på at indhegne så stor en mark som mulig med en given omkreds. Øvelse : a) Formuler et tilsvarende problem, hvor vi i stedet binder arealet. Så snart vi har bundet den ene afhængige variabel kan vi bruge bindingen til at eliminere den ene af de to uafhængige variable, fx højden h. Problemet reduceres da til en optimering af en enkelt afhængig variabel, som er givet som en funktion af en enkelt uafhængig variabel, hvilket jo netop betyder at vi har mulighed for at differentiere funktionen og sætte differentialkvotienten til nul. Der ved finder vi eventuelle stationære punkter, og ved at undersøge disse stationære punkter nærmere kan vi afgøre om der er tale om et maksimum, et minimum eller noget tredje fx et vendepunkt med vandret vendetangent. Øvelse 3: a) Benyt elimination til at løse de to ovenstående problemtyper, hvor du den ene gang varierer arealet og holder omkredsen fast, mens du den anden gang varierer omkredsen, mens du holder arealet fast. b) Gør rede for at ligningen for det stationære punkt i begge tilfælde fører til den samme sammenhæng mellem grundlinjen og højden og karakteriser den pågældende optimale figur. 3

4 Øvelse 4: Udfordring Da der er tale om en geometrisk problem kan du illustrere problemet visuelt i et geometriprogram. a) Konstruer et rektangel, hvor du kan trække i såvel rektanglets grundlinje som rektanglets højde og find ved opmåling eller beregning rektanglets areal og omkreds. b) Lås arealet og se hvordan rektanglet deformeres under indflydelse af bindingen. Prøv fx at spore hjørnepunktet (g,h). Overfør grundlinjen og omkredsen til et koordinatsystem, dvs. grundlinjen overføres til førsteaksen, omkredsen til andenaksen, og konstruer grafen for omkredsen som funktion af grundlinjen. c) Find grafisk den optimale omkreds. Hvordan passer modelleringen sammen med de resultater du fandt i den symbolske løsning? d) Lås nu i stedet omkredsen og se hvordan rektanglet deformeres under indflydelse af bindingen. Prøv fx at spore hjørnepunktet (g,h). Overfør grundlinjen og arealet til et koordinatsystem, dvs. grundlinjen overføres til førsteaksen, arealet til andenaksen, og konstruer grafen for arealet som funktion af grundlinjen. e) Find grafisk det optimale areal. Hvordan passer modelleringen sammen med de resultater du fandt i den symbolske løsning? 4

5 . Eksempel: Øldåsen som en optimal figur (se B-bogen kapitel 1, eksempel 5) I det foregående eksempel med rektangler kunne vi i princippet løse opgaven med meget simple midler. Denne gang illustrerer vi principperne ved hjælp af et lidt mere kompliceret problem, hvor det bliver svært at komme uden om differentialregningen. Denne gang ser vi først på cylinderformede dåser, karakteriseret ved to uafhængige variable, radius r og højden h, samt to afhængige variable, overfladearealet O= π r + π r h og rumfanget V = π r h. Både overfladearealet og rumfanget er voksende funktioner af såvel radius som højden, så der findes fx ikke nogen største dåse, hvad enten vi kigger på overfladeareal eller rumfang. Men binder vi den ene afhængige variabel kan vi lave et optimeringsproblem for den anden afhængige variabel. Vi kan fx fremstille en øldåse med et bestemt rumfang, fx 50 cl. Opgaven går da ud på at fremstille dåsen med så lille et materialeforbrug som mulig, dvs. så lille et overfladeareal som muligt med et givet rumfang. Øvelse 5: a) Gør rede for formlerne for cylinderdåsens overfladeareal og rumfang. b) Formuler et tilsvarende problem, hvor vi i stedet binder overfladearealet. Så snart vi har bundet den ene afhængige variabel kan vi bruge bindingen til at eliminere den ene af de to uafhængige variable. Da de afhængige variable er polynomier i grundlinjen og højden, skal vi vælge den variabel, som har den mindste grad, da det fører til de nemmeste udregninger. I dette tilfælde skal vi altså eliminere højden h. Problemet reduceres da til en optimering af en enkelt afhængig variabel, som er givet som en funktion af en enkelt uafhængig variabel, hvilket jo netop betyder at vi har mulighed for at differentiere funktionen og sætte differentialkvotienten til nul. Derved finder vi eventuelle stationære punkter, og ved at undersøge disse stationære punkter nærmere kan vi afgøre om der er tale om et maksimum, et minimum eller noget tredje fx et vendepunkt med vandret vendetangent. Øvelse 6: a) Benyt elimination til at løse de to ovenstående problemtyper, hvor du den ene gang varierer rumfanget og holder overfladearealet fast, mens du den anden gang varierer overfladearealet, mens du holder rumfanget fast. b) Gør rede for at ligningen for det stationære punkt i begge tilfælde fører til den samme sammenhæng mellem radius og højden og karakteriser den pågældende optimale figur. 5

6 Øvelse 7: Udfordring Da der er tale om en geometrisk problem kan du illustrere problemet visuelt i et geometriprogram. a) Konstruer et rektangel, hvor du kan trække i såvel rektanglets grundlinje (diameteren) som rektanglets højde. Dåsen fremkommer ved at dreje rektanglet omkring rektanglets lodrette symmetrilinje. Find ved beregning såvel dåsens overfladeareal som dens rumfang. b) Lås rumfanget og se hvordan rektanglet/dåsen deformeres under indflydelse af bindingen. Prøv fx at spore hjørnepunktet (r,h). Overfør radius og overfladearealet til et koordinatsystem, dvs. radius overføres til førsteaksen, overfladearealet til andenaksen, og konstruer grafen for overfladearealet som funktion af radius. c) Find grafisk det optimale overfladeareal. Hvordan passer modelleringen sammen med de resultater du fandt i den symbolske løsning? d) Lås nu i stedet overfladearealet og se hvordan rektanglet/dåsen deformeres under indflydelse af bindingen. Prøv fx at spore hjørnepunktet (r, h). Overfør radius og rumfanget til et koordinatsystem, dvs. radius overføres til førsteaksen, rumfanget til andenaksen, og konstruer grafen for rumfanget som funktion af radius. e) Find grafisk det optimale rumfang. Hvordan passer modelleringen sammen med de resultater du fandt i den symbolske løsning? 6

7 Øvelse 8: Projekt Tumlingen Denne øvelse er indeholdt i projekt 4.13 i B-bogen. Her finder du også alle rumfangs og overfladeareals formler a) En tumling består af en halvkugle sat sammen med en kegle. Indfør passende variable og find formlerne til udregning af rumfang og overfladeareal. b) Gennemfør en undersøgelse af det tilhørende optimeringsproblem. 7

8 3. Modellering med funktioner med flere variable. I det foregående har vi løst modelleringsopgaverne med eliminationsmetoden, så vi ender med at kigge på en enkelt funktion af en enkelt variabel. Selv om vi fra starten af havde flere uafhængige variable, så binder vi nogle af de afhængige variable for at reducere antallet af uafhængige variable til en enkelt: Modellen har altså kun en enkelt frihedsgrad. Det er imidlertid ikke nødvendigt at eliminere uafhængige variable, hvis vi i stedet er villige til at arbejde med funktioner af flere variable. Det giver ydermere en dybere indsigt i hvorfor min-max-problemerne typisk optræder i par. Vi ser først på kvadratet som en optimal figur: Som udgangspunkt har vi to uafhængige variable: grundlinjen og højden. Dertil kommer to afhængige variable, nemlig omkredsen og arealet, der altså begge er funktioner af to variable. I et koordinatsystem kan vi derfor repræsentere såvel omkredsen som arealet ved hjælp af niveaukurver, hvor omkredsen henholdsvis arealet er konstant. Det er sådanne niveaukurver vi nu vil undersøge nærmere. Øvelse 9: a) Tegn niveaukurverne for omkredsen O som funktion af grundlinjen g og højden h, idet du indfører en skyder for omkredsen. Hvilken slags kurve er der tale om? b) Tegn niveaukurverne for arealet T som funktion af grundlinjen g og højden h, idet du indfører en skyder for arealet. Hvilken slags kurve er der tale om? c) Varier nu omkredsen, mens du holder arealet fast. Bestem grafisk en omtrentlig værdi for den optimale figur i dette tilfælde. Vink: Bestem skæringspunkterne for de to niveaukurver. d) Varier tilsvarende arealet, mens du holder omkredsen fast. Bestem grafisk en omtrentlig værdi for den optimale figur i dette tilfælde. Vink: Bestem skæringspunkterne for de to niveaukurver. e) Sammenhold resultaterne af denne grafiske analyse med den tilsvarende symbolske analyse. 8

9 Vi bruger derefter igen øldåsen som et eksempel. Som udgangspunkt har vi to uafhængige variable: radius og højden. Dertil kommer to afhængige variable, nemlig overfladearealet og rumfanget, der altså begge er funktioner af to variable. I et koordinatsystem kan vi derfor repræsentere såvel overfladearealet som rumfanget ved hjælp af niveaukurver, hvor overfladearealet henholdsvis rumfanget er konstant. Der er flere forskellige måder at afbilde niveaukurverne på. Her vil vi udnytte at de er grafer for simple funktioner, hvor vi udtrykker højden som funktion af radius: Øvelse 10: a) Tegn niveaukurverne for overfladearealet O som funktion af radius r og højden h, idet du indfører en skyder for overfladearealet. b) Tegn niveaukurverne for rumfanget V som funktion af radius r og højden h, idet du indfører en skyder for rumfanget. c) Varier nu overfladearealet, mens du holder rumfanget fast. Bestem grafisk en omtrentlig værdi for den optimale dåse i dette tilfælde. Vink: Bestem skæringspunkterne for de to niveaukurver. d) Varier tilsvarende rumfanget, mens du holder overfladearealet fast. Bestem grafisk en omtrentlig værdi for den optimale dåse i dette tilfælde. Vink: Bestem skæringspunkterne for de to niveaukurver. e) Sammenhold resultaterne af denne grafiske analyse med den tilsvarende symbolske analyse. Vi vil nu prøve at formulere det mere generelt: Der er givet et modelleringsproblem med to uafhængige variable x og y (fx radius og højde). Ydermere er der givet to afhængige variable z og w fastlagt ved hver deres funktion af to variable (fx overfladeareal og rumfang) z= fxy (, ) og w= gxy (, ) Vi kan nu tegne niveaukurver for disse to funktioner: f( x, y) = z 0 og g( x, y) = w 0 9

10 Hvis vi ændre på niveauerne z 0 og w 0 så vil der ske en forskydning af disse to niveaukurver. Så længe disse to niveaukurver skærer hinanden kan vi ikke være i et stationært punkt. Hvis vi fx holder niveauet for variablen w fast og varierer variablen z, så vil vi kunne bevæge os i to retninger langs niveaukurven for w. I den ene retning vil z falde og i den anden vil z stige. Altså er z ikke stationær. Præcis det samme gælder, hvis vi holder variablen z fast og varierer variablen w. Konklusionen er altså at hvis den ene variabel er stationær, når vi varierer den anden, så vil de to niveaukurver tangere hinanden i det stationære punkt ( x0, y 0). Med andre ord: De to niveaukurver gennem punktet ( x0, y 0) vil have en fælles tangent med røringspunkt i ( x0, y 0). Man siger undertiden at de to niveaukurver kysser hinanden. Vi skal derfor finde betingelsen for at de to niveaukurver har en fælles tangent.. Læg mærke til at de to variable z og w indgår symmetrisk i karakteriseringen af et stationært punkt, dvs. hvis z er stationær, når vi holder w fast, så er w også stationær når vi holder z fast. Det er altså herfra den grundlæggende symmetri i max-min-problemerne stammer! Vi kan også på tilsvarende vis begrunde hvorfor den ene variabel er maksimal, mens den anden er minimal, men vi udskyder lige denne del af problemet til efter vi har fundet ligningen for et stationært punkt. 10

11 4. Implicit differentiation Når vi kigger på en niveaukurve for en funktion af to variable f( x, y) = z 0 så vil niveaukurven i almindelighed kunne opfattes som grafen for en almindelig funktion, så længe niveaukurven ikke er lodret. Ellers må den håndteres som en familie af grafer for almindelige funktioner på samme måde som fx en cirkel kan opfattes som graferne for to almindelige funktioner. Vi betegner denne funktion med h, dvs. f( x, y) = z Þ y= hx ( ). Tangenthældningen i et punkt ( x0, y 0) på niveaukurven er da givet ved h'( x 0). Vi kan altså finde tangenthældningen ved eksplicit differentiation forudsat vi kender forskriften for h. Men vi kan også finde tangenthældningen direkte fra funktionen fxy (, ) ved hjælp af såkaldt implicit differentiation. Det foregår således: 0 z f = δf δx x + δf δy y δf δy y δf δx y x x y x Tangenthældningen for fladen z= fxy (, ) fastlægges ud fra tangentplanens ligning: f f D z= D x+ Dy x y f f z- z0 = ( x- x0) + ( y-y0) x y 11

12 Her er f den såkaldt partielle afledede med hensyn til x, dvs. vi holder y konstant og opfatter alene funktionen f som en funktion af x. Den partielle afledede med hensyn til x, er altså tangenthældningen, når vi x bevæger os langs med x-aksen. I CAS-systemer findes den derfor ved hjælp af en kommando som derivative( f( x, y), x ). Det tilsvarende gælder for den partielle afledede f med hensyn til y. y f Når vi bevæger os stykket Dx langs x-aksen løftes vi stykket D zx, = Dx langs z-aksen. Det følger af den x sædvanlige differentialregning. Når vi samtidig bevæger os stykket D y langs y-aksen løftes vi stykket f D zy, = Dy langs z-aksen. Det samlede resultat af dels at flytte os stykket Dx langs x-aksen, dels stykket y f f Dx langs y-aksen, er da summen af disse to uafhængige tilvækster D z=d zx, +D zy, = D x+ Dy. x y z f = δf δx x + δf δy δf δy y δf δx y x y x Niveaukurve langs hvilken f er konstant y x Men når vi nu bevæger os langs en niveaukurve, holdes z-konstant, dvs. der når vi bevæger os langs med tangenten til niveaukurven må der gælde: f f 0= D x+ Dy x y f - D y = x Dx f y Dette er derfor formlen for implicit differentiation: 1

13 Sætning : Formlen for implicit differentiation For en given niveaukurve f( x, y) = z0, der går gennem punktet ( x0, y 0) kan vi finde hældningen for tangenten til niveaukurven ved hjælp af implicit differentiation, hvor y opfattes som en funktion af x: f - h'( x = 0) x. f y Vi giver en anden udledning i næste afsnit. I et CAS-program ser kommandoen for implicit differentiation typisk således ud ImpDif( f( x, y) = z, x). 0 Men så er det jo nemt at skrive en ligning op for den fælles tangenthældning for de to niveaukurver: f g - - x = x f g y y f g g f - = 0 x y x y Det er på den sidste form vi normalt vil prøve at løse ligningen for stationære punkter for systemer af funktioner i flere variable. Sætning 3: Ligningen for stationære punkter i to variable Betingelsen for at to niveaukurver z= fxy (, ) og w= gxy (, ) kysser hinanden, dvs. den ene afhængige variabel er stationær med hensyn til den anden er givet ved ligningen f g x x f g g f = - = 0 f g x y x y y y Lad os lige tjekke i vores simpleste eksempel at det virker. For et rektangel med grundlinje x og højde y er arealet z givet ved z= f( x, y) = x y og omkredsen er givet ved w= g( x, y) = x+ y. Ligningen for stationære punkter er derfor givet ved ( x y) (x+ y) ( x y) (x+ y) 0 = - x y y x = y - x = ( y-x) Altså er et punkt stationært netop når y= x eller med andre ord, et rektangel er stationært netop når det er et kvadrat. 13

14 Hvis vi nu kigger på et diagram, kan vi se at niveaukurven for arealet er en hyperbel, niveaukurven for omkredsen er en ret linje og de stationære punkter ligger på diagonalen y= x. Da hyperblen ligger over den rette linje og da såvel areal som omkreds vokser med stigende værdier af x og y følger det at hvis vi binder omkredsen falder arealet, når vi bevæger os væk fra det stationære punkt langs den rette linje. Tilsvarende følger det at hvis vi binder arealet stiger omkredsen, når vi bevæger os væk fra det stationære punkt langs hyperblen. Altså kan vi karakteriserer de stationære punkter således: Blandt alle rektangler med fast omkreds har kvadratet det største areal. Blandt alle rektangler med fast areal har kvadratet den mindste omkreds. I almindelighed kan vi kun udlede lokale resultater ved hjælp af differentialregning. Vi skal de foretage en implicit differentiation af anden orden for at vurdere hulheden af de to niveaukurver og derved se, hvilken der ligger øverst. I et CAS program ser kommandoen typisk sådan ud: ImpDif( f( x, y) = z0, x,) Ved implicit differentiation af arealfunktionen finder vi: Sættes udtrykket for finde ved hjælp af CAS: y x y= z0 Þ y+ x y' = 0 Þ y' =- (isoler y') x ß (differentier ligningen endnu engang) y ' ind i udtrykket for y' y' + y' + x y'' = 0 Þ y'' =- (isoler y'') x y y '' fås derfor y'' =. Den er selvfølgelig noget nemmere at x 14

15 I et stationært punkt hvor y= x fås endelig y '' =. x Tilsvarende finder vi ved implicit differentiation af omkredsen: x+ y= z Þ + y' = 0 Þ y' =-1 0 ß y'' = 0 Hældningen langs den rette linjer er selvfølgelig konstant og den anden afledede er derfor nul. Da hulheden for hyperblen er positiv og hulheden for den rette linje er nul, følger det at hyperblen ligger over den rette linje, og som vi har set fører det til at det stationære punkt er et minimumspunkt, når vi holder arealet fast og et maksimumspunkt, når vi holder omkredsen fast. Øvelse 11: Øldåsen En øldåse er kendetegnet ved to uafhængige variable: radius x og højden y. Tilsvarende er den kendetegnet ved to afhængige variable: rumfanget w π x π x y = +. z f( x, y) π x y = = og overfladearealet a) Find ligningen for de stationære punkter og karakteriser de pågældende øldåser. 6y b) Gør rede for at den anden afledede langs niveaukurven for rumfangsfunktionen er givet ved x. c) Gør rede for at den anden afledede langs niveaukurven for overfladefunktionen er givet ved ( x+ y). x d) Gør rede for at det stationære punkt er et minimumspunkt, når vi holder rumfanget fast, og tilsvarende at det stationære punkt er et maksimum, når vi holder overfladen fast. Øvelse 1: Tumlingen a) Gennemfør nu selv analysen af tumlingen. 15

16 5. Gradientvektorer Vi kigger igen på en funktion af to variable z= fxy (, ) og de tilhørende niveaukurver f( x, y) = z0 hvor vi binder værdien af den afhængige variabel til at være konstant. Ved differentiation fås de partielle afledede f f, hvor vi varierer den ene uafhængige variabel og holder den anden konstant. For tilvæksten af funk- dx y tionen f gælder da (med tilnærmelse hvis vi går langs grafen og eksakt, hvis vi går langs tangentplanen) f f ì f f ü D f = D x+ D y= í, ý { Dx, Dy} x y î x yþ g Hvor det sidste produkt er skalarproduktet som vi kender det fra vektor regningen. Her er venstresiden, dvs. tilvæksten D f en skalar, mens tilvæksten { Dx, D y} er en forskydningsvektor. Den første faktor ì f f ü í, ý î x yþ er derfor også en vektor, der kaldes gradientvektoren og ofte betegnes med Ñur f. Tilvækstformlen kan derfor skrives mere kompakt som ur r D f =ÑfgDr Hvis nu tilvækstvektoren Dr r peger langs tangenten til en niveaukurve, hvor f jo er konstant er førsteordenstilvæksten D f = 0, dvs. tangentvektoren står vinkelret på gradientvektoren. Vi indser altså følgende: Sætning 4: Gradientvektoren ur æ f f ö Hvis der er givet en funktion af to variable z= fxy (, ) vil gradientvektoren Ñ f = ç, være en normalvektor til niveaukurven gennem et punkt, dvs. den vil stå vinkelret på tangentvektoren i dette punkt. Yder- è x yø mere vil funktionen vokse hurtigst, når vi bevæger os langs med gradientvektoren og aftage hurtigst når vi bevæger os modsat gradientvektoren. 16

17 Øvelse 13 a) Prøv selv at gøre rede for vækstpåstandene ud fra egenskaber ved prikproduktet. Bemærkning: Det er standard for CAS-programmer at de kan tegne niveaukurver og det tilhørende gradientfelt. Her ses fx gradientfeltet for funktionen f( x, y) = x y sammen med udvalgte niveaukurver: 1 5 Da gradientvektoren står vinkelret på tangent vektoren følger det, at tangentvektoren er en tværvektor til gradientvektoren og derfor har koordinaterne r ì f f ü vtangent = í-, ý î y xþ Dermed finder vi igen at tangentvektoren (langs niveaukurven) har hældningen a tangent f =- x f y Vi har altså som lovet genfundet formlen for implicit differentiation. Vi kan nu også nemt genfinde ligningen for de stationære punkter. Øvelse 14: Stationære punkter for to funktioner af to variable a) Gør rede for at en niveaukurve for fxy (, ) og en niveaukurve for gxy (, ) tangerer hinanden netop når deres gradientvektorer er parallelle. b) Benyt dette til at genudlede ligningen for de stationære punkter. 17

18 Hidtil har vi blot genfundet tidligere resultater med en ny synsvinkel. Metoden med gradientvektorer kommer for alvor til sin ret, når vi udvider problemstillingen. Fx kan vi nu se på problemer med tre uafhængige variable. For at have et konkret eksempel at øve os på udvider vi rektanglerne til 3 dimensioner dvs. til retvinklede kasser. Som de uafhængige variable kan vi da bruge længde, højde og dybde. Som de afhængige koordinater kan vi bruge kantlængde, overfladeareal og rumfang. Øvelse 15: a) Gør rede for at rumfanget, overfladearealet og kantlængden er givet ved funktionerne f( x, y, z) = x y z, g( x, y, z) = x y+ y z+ z x samt h( x, y, z) = 4 x+ 4 y+ 4 z hvor x, y og z står for kassens længde, højde og dybde. b) Giv eksempler på optimeringsproblemer, hvor en af variablerne varieres, mens en anden (eller begge de øvrige) holdes fast. Vink: Kantlængden indgår fx i postvæsnets dimensionering af pakkepost eller luftfartsselskabernes dimensionering af håndbagage. Lad os nu se på eliminationsmetoden: Med tre uafhængige variable skal vi eliminere to af variablene for at reducere problemet til en enkelt funktion af en enkelt variabel. Lad os tænke os at vil optimere værdien af rumfanget f, mens vi holder værdien af overfaldearealet g og kantlængden h fast. Øvelse 16: a) Gør rede for at de to niveauflader for g og h skærer hinanden i en rumkurve med tangentvektoren ur ur Ñ g Ñh. Prøv også at tegne niveaufladerne for g og h og prøv eventuelt at finde en passende parameterfremstilling for skæringskurven. Hvilken type flader er der tale om? Hvilken skæringskurve er der tale om? b) Gør rede for at de tre niveauflader for f, g og h i rummet skal have en fælles tangent, hvis der skal være et stationært punkt. Gør rede for at det betyder at de tre gradientvektorer må være parallelle. c) Gør rede for at ligningen for de stationære punkter derfor må være givet ved den såkaldte rumde- ur ur ur ur ur ur 0=Ñfg Ñ g Ñ h = det Ñf, Ñg, Ñh terminant: ( ) ( ) d) Find ligningen for de stationære punkter i det konkrette tilfælde med en kasse. Gør rede for at bl.a. terninger er stationære. Men vi kan også nøjes med at se på en enkelt betingelse, dvs. vi eliminerer kun en af de tre uafhængige variable, I så fald er den funktion vi skal variere stadigvæk en funktion af to variable. Hvis den skal optimeres skal begge de partielle afledede derfor være nul. Vi kan fx forsøge at optimere rumfanget f samtidigt med at vi holder overfladearealet g fast: Øvelse 17: a) Gør rede for at hvis der er tale om et stationært punkt må de to niveauflader for f og g tangere hinanden, dvs. de må have fælles tangentplaner. r ur ur b) Gør rede for at ligningen for de stationære punkter må være givet ved 0 =Ñ f Ñg. 18

19 c) Find ligningen for de stationære punkter i det konkrete tilfælde med en kasse. Karakteriser de stationære kasser. Gør rede for dualiteten i dette eksempel. De to varianter vi netop har set på afslører et generelt træk ved min-maks problemer, hvor vi varierer på en afhængig variabel, mens vi holder andre fast. I alle tilfælde er et punkt stationært, netop når de involverede gradientvektorer er lineært afhængige, dvs. med to gradientvektorer må de ikke udspænde et areal, med tregradientvektorer må de ikke udspænde et rumfang osv. Dermed har vi fundet et generelt princip bag løsningen af optimeringsproblemer. Læg også mærke til at Vodkaklovnen hurtigt fører til sådanne mere komplicerede problemer. Hvis den opbygges af flere delfigurer kommer der hurtigt mange uafhængige variable i spil og vi er derfor tilsvarende nødt til at opstille flere bindinger på klovnens form for at kunne eliminere et passende antal variable. Hvis I har lavet vodkaklovnen vil det ikke være svært at finde passende sjove eksempler I kan analysere. Sætning 5: Ligningen for stationære punkter i tre variable a) Betingelsen for at to niveaukurver for funktionerne fxyz (,, ) og gxyz (,, ) kysser hinanden er givet ved ligningen r ur ur 0 =Ñ f Ñg b) Betingelsen for at tre niveaukurver for funktionerne fxyz, (,, ) gxyz (,, ) og hxyz (,, ) kysser hinanden er givet ved ligningen r ur ur ur ur ur ur 0=Ñfg Ñ g Ñ h = det( Ñf, Ñg, Ñh) ( ) 19

20 6. Lagrange multiplikatorer Ved mere generelle min-maks problemer der omfatter mange uafhængige variable bliver det hurtigt uoverskueligt at skulle opstille specifikke ligninger for de stationære punkter. Man bruger da i stedet en generel algoritme, der bygger på de såkaldte Lagrange multiplikatorer. Ideen stammer fra lineær algebra: Hvis to gradientvektorer Ñ ur f og Ñ ur ur ur r g skal være lineært afhængige må der findes en parameter l så Ñ f + lñ g= 0. Hvis tre gradientvektorer Ñ ur f, Ñ ur g og Ñ ur h skal være lineært afhængige må der findes parametre l og m ur ur ur r så Ñ f + lñ g+ mñ h= 0 osv. Lagrange fik derfor ideen at man kunne omformulere problemet så disse ekstra parametre automatisk kom på plads. Ideen er præcis den modsatte af eliminationsmetoden. I stedet for at udnytte bindingerne til at eliminere så mange uafhængige variable som muligt, så udvider vi problemet med ekstra variable og opsuger bindingerne, så vi ender med en enkelt funktion Lagrangefunktionen, som vi så skal optimere ved at sætte alle de partielle afledede til nul. Det fører til et stort ligningssystem som vi typisk overlader til CAS at løse. Sætning 6: Lagranges metode: Vi tænker os at vi skal optimere funktionen y= f( x1, x,..., x n ) i n variable under k bibetingelser, der skrives på formen g 1 ( x 1, x,..., xn) = 0,..., gk( x 1, x,..., xn) = 0. Til hver af bibetingelserne tilføjer vi da en såkaldt Lagrangemultiplikator, dvs. hjælpevariablene l 1, l,..., l k og konstruerer Lagrangefunktionen L( x, x,..., x, l, l,..., l ) = f( x, x,..., x ) + l g ( x, x,..., x ) + l g ( x, x,..., x ) l g ( x, x,..., x ) 1 n 1 k 1 n n 1 n n k 1 n De stationære punkter for Lagrangefunktionen svarer da netop til de stationære punkter for den oprindelige funktion under bibetingelserne. Lad os kort argumentere for Lagranges metode: Vi skal sætte alle de partielle afledede til 0. Vi kigger først på hjælpevariablene l 1, l,..., l k. Vi finder da L 0 = = g1( x1, x,..., xn) l 1 L 0 = = g( x1, x,..., xn) l... L 0 = = gk( x1, x,..., xn) l k Det sikrer præcist at alle bibetingelserne er opfyldt.. Det sikrer også at Lagrangefunktionen L har præcis den samme værdi som den oprindelige funktion f i et stationært punkt.. Således opmuntrede kigger vi nu på de almindelige variable x 1, x,..., x n. Vi finder da 0

21 L f g g g 0 = = + l + l l x x x x x 1 k 1 k L f g g g 0 = = + l + l l x x x x x... 1 k 1 k L f g g g 0 = = + l + l l x x x x x 1 k 1 k n n n n n Omskriver vi det ved hjælp af gradientvektorer fås ligningen r ur ur ur ur 0 =Ñ f + l1ñ g1+ lñ g lkñgk Men det siger jo netop at gradientvektorerne er lineært afhængige og som vi har set er det netop betingelsen for et stationært punkt. Lad os lige se et simpelt eksempel på Lagranges metode: Et rektangel med siderne x og y har omkredsen x+ y og arealet x y. Hvis vi vil optimere arealet, når omkredsen er 0 konstruerer vi Lagrangefunktionen L( x, y, l) = x y+ l ( x+ y-0) De partielle afledede er derfor givet ved L = y + l x L = x + l y L = x + y - 0 l Vi skal derfor løse ligningssystemet: 0= y + l 0= x + l 0 = x+ y-0 I dette tilfælde er det et meget simpelt lineært ligningssystem, som vi godt selv kan løse, men vi kan selvfølgelig også overlade det til vores CAS-værktøj. Vi finder da x = 5, y = 5 og l=- 5/.Det optimale rektangel er altså et kvadrat med sidelængden 5. Øvelse 18: Øldåsen a) Løs øldåseproblemet ved Lagranges metode. Øvelse 19: Tumlingen a) Løs tumlingeproblemet ved hjælp af Lagranges metode. Øvelse 0: Kasseproblemet a) Løs kasseproblemet ved hjælp af Lagranges metode. 1

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 4.13 Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi

Projekt 4.13 Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi ISBN 978-87-7066-9- Projekter: Kapitel Differentialregning. Projekt. Vodkaklovn Projekt. Vodkaklovn en optimeringsopgave med fri fantasi Firmaet Sprits for Kids ønsker at relancere deres vodkadrink Vodkaklovnen

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf

Figur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx131-MAT/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

1 Kapitel 5: Forbrugervalg

1 Kapitel 5: Forbrugervalg 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012

Differentialregning 1.lektion. 2x MA September 2012 Differentialregning 1.lektion 2x MA September 2012 1 Figur 1: Hvor stejl er den blå linje? Figur 2: Hvor stejl er den røde kurve i punktet P? 2 Figur 3: Hvor hurtigt kører cyklisten? 3 Eksempel: Cyklistens

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7

Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1 Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Sommer 2015 Københavns

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er

Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er I kapitel 1 så vi netop på, hvordan man geometrisk kan modellere regnbuen. Vi fik også et indtryk af, at regnbuen faktisk først rigtig blev

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner

Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

MaxiMat og de forenklede Fælles mål

MaxiMat og de forenklede Fælles mål MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,

Læs mere

Modellering med Lego EV3 klodsen

Modellering med Lego EV3 klodsen Modellering med Lego EV3 klodsen - Et undervisningsforløb i Lego Mindstorm med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg EV3 - et modelleringsprojekt i matematik

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere