Denne eksamen består af Opgave 1, hvortil hører et datamateriale i form af Tabel til Opgave 1.

Transkript

1 Tag Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 Udleveres mandag den 5. januar, 2004, kl Afleveres onsdag den 7. januar, 2004, senest kl..00 på Eksamenskontoret, St. Kanikkestræde 3,. sal. Denne eksamen består af Opgave, hvortil hører et datamateriale i form af Tabel til Opgave. Opgave. Solow-modellen med såvel humankapital som naturressourcer I pensum betragtedes (i kapitel 7) en Solow-model med humankapital. Ud fra modellen blev der foretaget estimationer baseret på tværlande-empiri, blandt andet af visse koefficienter hidrørende fra modellens steady state-forudsigelse. Én gevinst ved at indrage humankapital var, at estimaterne af disse koefficienter komtilatpasserimeligtgodtmed a priori-forventninger baseret på plausible parameterværdier. Der betragtedes også i pensum (i kapitel 8) Solow-modeller med naturressourcer, men da uden humankapital. Det viste sig, at steady state-forudsigelserne fra disse modeller passede rimeligt godt med tværlande-empirien, når det gjaldt de retninger, i hvilke de tilstedeværende mængder af naturresourcer påvirkede BNP pr. arbejder. Imidlertid passede estimaterne af visse koefficienter mindre godt med a priori-forventninger baseret på plausible parameterværdier. Der udestår derfor det vigtige spørgsmål, om man ud fra en Solow-model med både humankapital og naturressourcer kan opnå såvel rimelige værdier for de estimerede koefficienter som rigtigt fortegn på påvirkningerne fra mængderne af naturressourcer, når man foretager estimationer baseret på tværlande-empiri af modellens steady stateligning. Ligeledes er det af interesse generelt at afklare, om de konklusioner, der nåedes i pensums kapitel 8, fx med hensyn til størrelsen af visse growth drags, påvirkes væsentligt, hvis der indbygges humankapital i modellen. Til denne opgave foreligger et empirisk materiale for et tværsnit af lande: Tabel til Opgave. Tabellen er vedlagt i trykt udgave og kan findes som Excel-regneark på Hans Jørgen Whitta-Jacobsens hjemmeside: Definitioner af variable samt kilder fremgår af tabellen.

2 Nedenstående ligninger () til (7) udgør kernen i en Solow-model med såvel humankapital som naturressourcer blandt inputs. Ligning () er den repræsentative virksomheds produktionsfunktion, hvor A t er en teknologisk variabel: I hver periode t frembringes aggregeret output Y t ved input af fysisk kapital (i mængden) K t,afhumankapitalh t,af arbejdskraft,afjordx og af energi (dvs. input af udtømmelige ressourcer) E t.de tekniske parametre i produktionsfunktionen, α, ϕ,, κ og, er alle strengt positive, og deres sum er én, så der er konstant skalafkast til inputs af fysisk kapital, humankapital, arbejdskraft, jord og energi. Ligningerne (2) og (3) beskriver henholdsvis akkumulationen af fysisk kapital og humankapital, hvor s K og s H er bruttoinvesteringskvoterne for henholdsvis fysisk kapital og humankapital, mens δ er den fælles nedslidningsrate. De tre parametre s K, s H og δ er alle strengt positive og mindre end én. Ligning (4) angiver, at i hver periode bruges som energiinput E t en konstant eksogen andel s E af den ved periodens start tilbageværende beholdning R t af den udtømmelige ressource olie, hvor udvindingsraten opfylder 0 <s E <. Ligning (5) angiver den identitetsmæssige sammenhæng, at oliebeholdningen reduceres med den udvundne mængde energi. Endelig angiver ligningerne (6) og (7), at såvel arbejdsstyrken som teknologien A t antages at vokse med eksogene, konstante rater, henholdsvis n og g, som begge antages at være større end eller lig med nul. Y t = Kt α Ht ϕ (A t ) X κ Et () K t+ K t = s K Y t δk t, (2) H t+ H t = s H Y t δh t, (3) E t = s E R t, (4) R t+ = R t E t, (5) + =(+n), (6) A t+ =(+g) A t. (7) Ud over de nævnte parameterrestriktioner antages, at modellens parametre er sådan, at alle økonomiske variable i henhold til modellen antager meningsfulde værdier i alle perioder (fx opstår ikke negative værdier for kapital-output-forhold e.l.). Definér for hver periode t output pr. arbejder y t Y t /, fysisk kapital pr. arbejder k t K t /, humankapital pr. arbejder h t H t /,jordpr. arbejderx t X/,samt energiinput pr. arbejder e t E t /. Lad approksimative vækstrater være betegnet ved gt y ln y t ln y t osv. 2

3 Spørgsmål. Vis ud fra () at pr. capita produktionsfunktionen er: y t = kt α h ϕ t A t x κ t e t. Vis, ved også at indrage andre modelsammenhænge, at i hver periode t er: gt y = αgt k + ϕgh t + g (κ + ) n s E. Kommentér med hensyn til hvad der i henhold til denne model kan frembringe eller hindre vækst i BNP pr. arbejder. Det antages, at der er kompetitive markeder for (ydelserne fra) fysisk kapital, arbejdskraft, jord samt for energi. Der er ikke noget særskilt marked for ydelser fra humankapital, da humankapitalen er uløseligt bundet til arbejdskraften. Hver arbejder antages at indeholde samme mængde humankapital, nemlig h t iperiodet. Den reale lejesats for kapitaliperiodet kaldes r t, reallønnen kaldes w t, den reale lejesats for jord (jordrenten) kaldes v t, mens prisen på én enhed energi (olieprisen) kaldes u t.profitmaksimering samt kompetitive markeder indebærer, at r t, w t, v t og u t er givet ved grænseprodukterne for henholdsvis fysisk kapital, arbejdskraft (når det tages højde for, at hver arbejder medbringer en humankapital på h t ), jord og energi ved de tilstedeværende faktormængder. Spørgsmål 2. Angiv udtryk for r t, w t, v t og u t og vis, at indkomsandelene, r t K t /Y t (kapitalandelen), w t /Y t (lønandelen), v t X/Y t (jordrenteandelen) samt u t E t /Y t (energiandelen) er konstante og henholdsvis lig med α, + ϕ, κ og. Idet det lægges til grund, at lønandelen er ca. 60%, at observationer tyder på, at halvdelen af lønninger normalt kan henføres til den rå arbejdskraft, og halvdelen kan betragtes som afkast til uddannelse, at kapitalandelen er ca. 20%, samt at jordrenteandelen og energiandelen rimeligvis er ca. lige store, skal der argumenteres for, at følgende værdier for de tekniske parametre kan betragtes som plausible: α =0.2, = ϕ =0.3, κ = =0.. Definér det fysiske kapital-output-forhold, z t K t /Y t, og det humane kapital-outputforhold, q t H t /Y t. Spørgsmål 3. Vis at i et balanceret vækstforløb, hvor såvel z t som q t er konstante, vil der være en fælles, konstant approksimativ vækstrate for y t, k t og h t, og denne fælles vækstrate g y opfylder: g y = + κ + g κ + + κ + n + κ + s E. (8) (Vink: Her og andre steder kan det være nyttigt at huske, at eftersom α++ϕ+κ+ =, så er α ϕ = + κ + ). Formlen i (8) ønskes sammenlignet med den tilsvarende 3

4 formel, der blev fundet i pensums kapitel 8, afsnit 3 for modellen uden humankapital. Selv om formlerne er algebraisk set ens, er indholdet alligevel forskelligt. Hvorfor? Idet de i Spørgsmål 2 fundne plausible værdier for de tekniske parametre lægges til grund, skal den fundne formel for g y kommenteres med hensyn til hvor stort et growth drag henholdsvis en given værdi for n og en given værdi for s E implicerer. Der skal sammenlignes med de tilsvarende konklusioner fra pensums kapitel 8 og de konstaterede forskelle skal forklares. Hvis man fortsat betragter plausible værdier for de tekniske parametre og antager en årlig befolkningsvækstrate på % og en årlig udvindingsrate på ligeledes % (begge 2 2 empirisk set plausible værdier), hvor stor skal den årlige teknologiske vækstrate da være for at (8) er forenlig med en årlig vækst i BNP pr. arbejder på 2%? Spørgsmål 4. På grundlag af empirien for et tværsnit af lande i Tabel til Opgave ønskes det undersøgt, hvor godt formlen i (8) synes at passe empirisk set med hensyn til sammenhængen mellem befolkningsvækst og økonomisk vækst: Vækstrater for BNP pr. arbejder ønskes plottet mod befolkningsvæksrater på tværs af lande. Den bedst fittende rette linje ønskes estimeret (ved OLS). Den estimerede hældning ønskes sammenlignet med den forventede værdi for koefficienten til n, når plausible parameterværdier antages. Ved vurderingen ønskes usikkerheden på estimatet inddraget. Endelig skal der sammenlignes med de tilsvarende konklusioner fundet i pensums kapitel 8: Synes inddragelsen af humankapital at indebære en bedre eller en dårligere overensstemmelse mellem model og empiri på det her betragtede punkt? Dele af analysen ovenfor kan siges at have bygget på en antagelse om, at den betragtede model indebærer konvergens mod et balanceret vækstforløb. I det følgende skal blandt andet undersøges, om dette synes at være tilfældet. Spørgsmål 5. Vis, at den betragtede model indebærer følgende system af to koblede differensligninger i de to kapital-output-forhold, z t og q t : Ã! µ z t+ = ( + n)(+g) s E Ã! µ q t+ = ( + n)(+g) s E " # ϕ [s K +( δ) z t ] α sh +( δ) zt α, (9) q t sk α +( δ) [sh +( δ) q t ] ϕ q ϕ t. (0) z t Spørgsmål 6. I det følgende er det nyttig at udtrykke for hvilke kombinationer af z t og q t, ligning (9) netop indebærer, at z t+ = z t, og tilsvarende for hvilke kombinationer af z t og q t, ligning (0) netop indebærer, at q t+ = q t. Vis ud fra (9) og (0), at disse 4

5 kombinationer er givet henholdsvis ved følgende to ligninger: z t = h J α sh qt s K +( δ) i, () ϕ α ( δ) q t = h J ϕ sk zt hvor J [( + n)(+g)] ( s E ). s H +( δ) i, (2) α ϕ ( δ) Spørgsmål 7. Vis at steady state-værdierne for z t og q t (dvs. de værdier for hvilke systemet (9) og (0) indebærer, at z t og q t er konstante) er henholdvis: og z = q = s K, (3) [( + n)(+g)] +κ+ ( se ) +κ+ ( δ) s H. (4) [( + n)(+g)] +κ+ ( se ) +κ+ ( δ) Ved undersøgelse af, om modellen implicerer konvergens mod steady state, betragtes en fuldt specificeret version af modellen. De tekniske parametre, α,, ϕ, κ og skal sættes til de i Spørgsmål 2 fundne plausible værdier, mens øvrige parametre skal sættes til følgende værdier, som er rimelige med en periodelængde på ét år: s K =0.2, s H =0.5, n =0.005, g =0.04, δ =0.05, s E = Spørgsmål 8. Konstruér et fasediagram for det specificerede taleksempel: I et diagram med z t ud ad førsteaksen og q t op ad andenaksen skal kurverne givet ved henholdsvis () og (2) indtegnes. Det skal kontrolleres, at kurvernes skæringspunkt (for positive værdier af z t og q t ) er i overensstemmelse med steady state-værdierne givet ved (3) og (4). I hvert af de fire områder, som de to kurver opdeler (z t,q t )-planen i, skal det med pile angives i hvilken retning kombinationen (z t,q t ) bevæger sig (med udgangspunkt i det pågældende område) i henhold til (9) og (0). Fra forskellige valgte startpunkter (z 0,q 0 ) skal systemet bestående af (9) og (0) simuleres over et større antal perioder, og simulationsresultaterne skal angives som spor i fasediagrammet udgående fra de respektive valgte startpunkter. Der skal vælges et antal og en variation af startpunkter, så de ligger rimeligt spredt ud over de fire områder i fasediagrammet, og der skal simuleres over tilstrækkeligt mange perioder til, at det med rimelighed for hvert spor kan afgøres, om det synes at konvergere mod steady state. Foretag, så vidt det er muligt, en vurdering af, om modellen synes at indebære konvergens mod steady state. 5

6 Spørgsmål 9. Redegør for, at modellens steady state opfylder kravene for balanceret vækst: Fysisk kapital pr. arbejder k t, humankapital pr. arbejder h t,ogoutputpr. arbejder y t vokser alle med samme konstante approksimative vækstrate (hvilken?), ligeledes vokser reallønnen, w t, med denne konstante rate, og realrenten, r t δ, er konstant. Hvordan udvikler jordrentesatsen v t og olieprisen u t sig over tid? Kommentér. Spørgsmål 0. Vis, at den balancerede, steady state-vækstbane for BNP pr. arbejder opfylder: ln yt = + κ + ln A t + + κ + ln s E+ µ α + κ + ln ϕ z + + κ + ln κ X q + + κ + ln + µ + κ + ln Rt. (5) For at konfrontere modellens steady state-forudsigelse med empirien er det nødvendigt at indsætte udtrykkene for z og q fra henholdsvis (3) og (4) i steady state-vækstbanen (5) og foretage visse approksimationer. Spørgsmål. Redegør først for, at med plausible parameterværdier kan det være rimeligt at benytte approksimationen: ( s E ) +κ+ =. Redegør videre for, at det generelt (for givne værdier af a og b) kan være rimeligt at bruge approksimationen: ( + b) a = +ab, nårb er relativt lille. Brug dette til at vise, at i den betragtede model kan det med plausible parameterværdier være rimeligt at benytte approksimationen: [( + n)(+g)] +κ+ = + (n + g). Redegør endelig for, at det til brug +κ+ for en empirisk efterprøvning af modellens steady state-forudsigelse kan være rimeligt at omskrive steady state-vækstbanen i (5) til: ln yt = + κ + ln A t + + κ + ln s E+ α + κ + [ln s ϕ K ln (0.6n +[0.6g + δ])] + + κ + [ln s H ln (0.6n +[0.6g + δ])] + µ κ X + κ + ln + + κ + ln µ Rt. (6) Spørgsmål 2. På grundlag af ovenstående og data i Tabel til Opgave ønskes foretaget empiriske estimationer m.m., som findes relevante for en empirisk afprøvning af modellens steady state-forudsigelse. Der ønskes kommentarer og konklusioner specielt med hensyn til de indledningsvis beskrevne temaer. 6