Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010"

Transkript

1 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor til punktet P = (, xy), som ligger på linjen og er afhængig af parameteren t Vi kan betragte punktet P= ( x, y), som en partikel, der over tid gennemløber linjen Dvs partiklens position på linjen til tiden t er bestemt ved stedfunktionen 1 t st () = + t, hvor t R Fx er partiklens position til tiden t = beskrevet ved stedvektoren 1 s() = = + 7 Dvs partiklen befinder sig på y -aksen i punktet P = (,7), når t = Tilsvarende kan partiklens position bestemmes ved en stedvektor for enhver værdi af t, således at partiklen gennemløber hele linjen, når t gennemløber de reelle tal Nedenfor ses parameterkurven (dvs linjen) for stedfunktionen s() t, hvor partiklens position til forskellige tidspunkter er indtegnet sammen med de tilhørende stedvektorer Tabellen til højre beskriver partiklens position til en række tidspunkter Figur 1 Ovenstående kan generaliseres til at omfatte meget andet end linjer, idet stedfunktionen for en partikel, der gennemløber en given parameterkurve over tid er defineret ved Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

2 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 st () x() t = yt (), hvor t R, og funktionerne x( t) og yt ( ) er reelle funktioner Disse kaldes koordinatfunktioner for stedfunktionen Parameterkurven for s() t består af de punkter, der har s() t som stedvektor, når t gennemløber de reelle tal eller et interval i de reelle tal Eksempel 1 Vi betragter parameterkurven for stedfunktionen 9 t st () = t 4t 1 4, hvor t R Når man tegner parameterkurver i et matematikprogram, så skal man typisk angive skridtlængden for parameteren t samt det interval, parameteren skal gennemløbe Parameterkurver er helt glatte kruver, ligesom grafer for reelle funktioner Men hvis den skridtlængde, man vælger, er for lang, så vil kurven i nogle programmer vises, som var den sammensat at linjestykker I disse tilfælde må man ændre skridtlængden, så kurven fremstår glat På figuren nedenfor har vi anvendt skridtlængde 1, og vi har tegnet kurven i parameterintervallet 5 t 5 På figur ses de beregnede punkter, og på figur fremstår parameterkurven sammenhængende Desuden ses på begge figurer stedvektorerne til udvalgte punkter Figur Figur Vi bestemmer parameterkurvens skæringspunkter med akserne Stedfunktionen har koordinatfunktionerne x() t 9 = t og yt= t t 1 () 4 4 Vi bestemmer skæringspunkter med x -aksen, idet vi sætter y -koordinatfunktionen lig med nul, dvs vi løser ligningen 1 t 4t 4 =, 1 og med CAS, dvs solve( t 4t=, t), får vi 4 t= 4 t= t= 4 Dvs parameterkurven skærer x -aksen, når t = 4, t = og når t = 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

3 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Vi bestemmer x -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i x - koordinatfunktionen Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med x -aksen t = x () = 9 P = (9,) t = 4 x( 4) = 7 P 4 = ( 7,) t = 4 x (4) = 7 P 4 = ( 7,) Heraf ses, at punktet ( 7,) er et dobbeltpunkt, hvilket også fremgår af figuren ovenfor Skæringspunkterne med y -aksen bestemmes ligesom ovenfor, nu er det jo blot x -koordinatfunktionen, der skal være nul Dvs vi løser ligningen 9 t =, og med CAS, dvs solve(9 t =, t), får vi t= t= Dvs parameterkurven skærer y -aksen, når t = og t = Vi bestemmer y -koordinaten i skæringspunkterne, idet vi indsætter de fundne parameterværdier i y -koordinatfunktionen Dvs vi får Parameterværdi Beregning Skæringspunkt med y -aksen t = y( ) = 55 P = (,55) t = y( ) = 55 P = (, 55) Nedenfor er alle 5 skæringspunkter indtegnet Figur 4 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side af 14

4 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 1 Tegn parameterkurven og gennemfør ovenstående beregninger i dit CAS-program Øvelse På figuren ses parameterkurven for stedfunktionen t st () = t t, hvor t R Parameterkurven er en parabel Figur 5 Beregn koordinatsættene til udvalgte punkter, hvor 1 t, og benyt dette til at argumentere for at parablens gennemløb går fra parablens venstre gren ned mod toppunktet videre op ad parablens højre gren som vist på figuren Øvelse a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen 4 4t t st () =, hvor t R t t b) Bestem koordinatsættene for de punkter, hvori parameterkurven skærer koordinatsystemets akser Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 4 af 14

5 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Hastighedsvektor og tangent Vi definerer en hastighedsfunktion vt () x () t vt () = s () t = y () t, hvor t R til stedfunktionen x() t st () = yt (), hvor t R, ved og hvor x () t og y () t er koordinatfunktionernes afledede funktioner Dvs når man differentierer en stedfunktion ved at differentiere hver koordinatfunktion for sig, så får man hastighedsfunktionen Hastighedsfunktionen vt () kaldes også for hastighedsvektoren i punktet med parameterværdien t, og man kan vise, at hvis den ikke er nulvektoren, er den retningsvektor for parameterkurvens tangent i punktet med parameterværdi tiden t Eksempel : En stedfunktion er givet ved 4t t st () =, hvor t R 4 t t Koordinatfunktionerne er her x() t 4t t = og y() t 4t t = De afledede af koordinatfunktionerne er x () t = 8t t og y () t = 4 t Hastighedsfunktion er således givet ved 8t t vt () =, hvor t R 4 t Vi bestemmer hastighedsvektoren til parameterkurven i punktet, hvor parameterværdien er t = 1, dvs i punktet P1 = ( x(1), y(1)) = (,) Vi indsætter derfor t = 1 i hastighedsfunktionen, og vi får x (1) 5 v(1) = = y (1) Hastighedsvektoren i punktet P 1 = (,) er således 5 v(1) = Vi vil nu bestemme det punkt, hvori hastighedsvektoren er vandret, dvs det punkt, hvori parameterkurven har vandret tangent Hastighedsvektorens koordinatfunktioner er () = 8 og y () t 4 x t t t = t Hastighedsvektoren er netop vandret, når dens lodrette udstrækning er nul, dvs når y - koordinatfunktionen er nul Vi løser derfor ligningen y () t =, og med CAS, dvs solve( y ( t) =, t), får vi t = Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 5 af 14

6 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Dvs hastighedsvektoren er vandret, når t =, dvs i punktet P = ( x(), y()) = (8,4) Hastighedsvektorens koordinater er x () 4 v() = = y () Vi vil nu bestemme de punkter, hvori hastighedsvektoren er lodret, dvs de punkter, hvori parameterkurven har lodret tangent Hastighedsvektoren er netop lodret, når dens vandrette udstrækning er nul, dvs når x -koordinatfunktionen er nul Vi løser derfor ligningen x () t = og med CAS, dvs solve( x ( t) =, t), får vi t= t= 8 8 Dvs hastighedsvektoren er lodret, når t =, og når t =, dvs i punkterne P = ( x(), y()) = (,) og P = ( x( ), y( )) = (, ) = (948,56) De to hastighedsvektorer har altså koordinaterne x () v() = = y () 4 og x () v() = = = ( ) y De tre hastighedsvektorer er alle tegnet ind på parameterkurven nedenfor Figur 6 Vi ser, at parameterkurven har et dobbeltpunkt i (,) I dette punkt er der således både en lodret tangent og en skrå tangent Vi bestemmer den skrå hastighedsvektor, idet vi bestemmer den anden parameterværdi i dobbeltpunktet ved at løse ligningen st () = og med CAS, dvs solve( s( t) =, t), får vi Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 6 af 14

7 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 t= t= 4 Dvs den anden parameterværdi er t = 4, og den skrå hastighedsvektor i dobbeltpunktet bliver da x (4) 16 v(4) = = y (4) 4 Nedenfor er også denne hastighedsvektor tegnet ind sammen med de vandrette og de lodrette hastighedsvektorer Figur 7 Eksempel En stedfunktion er givet ved t st () =, hvor t R t 4t Parameterkurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t =, dvs i punktet Q= (, 4 ) = Q(1,) Vi tegner parameterkurven Figur 8 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 7 af 14

8 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Vi vil bestemme vinklen mellem parameterkurvens to tangenter i dobbeltpunktet Først bestemmer vi hastighedsvektorerne Hastighedsfunktion er givet ved t vt () = t 4, hvor t R Hastighedsvektorerne til parameterkurven i dobbeltpunktet, hvor parameterværdierne er t = og t =, har derfor koordinaterne ( ) 4 v( ) = = ( ) v() = = 4 8 Vi kan bestemme vinklen mellem disse to hastighedsvektorer ved den sædvanlige formel til beregning af vinkler mellem vektorer, dvs v( ) v() cos( θ) = v( ) v() Vi skal altså bestemme hastighedsvektorernes længder Vi beregner længden af vektorerne ved den sædvanlige længdeformel, dvs v = + = ( ) ( 4) 8 8 v = + = () Vi indsætter nu i vinkelformlen, dvs cos( θ) = = og dermed er vinklen mellem vektorerne θ = 5,1 Begge hastighedsvektorer samt vinklen imellem dem er tegnet ind på parameterkurven nedenfor Figur 9 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 8 af 14

9 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Bemærk, at hastighedsvektorens retning er afhængig af den måde, hvorpå punktet gennemløber kurven, når t gennemløber de reelle tal Vi bestemmer en ligning for hver af tangenterne, l 1 og l, idet hastighedsvektorerne er retningsvektorer for tangenterne Dvs tværvektorerne til disse er normalvektorer for tangenterne Vi får da, at normalvektoren for 8 l 1 er n 8 l = 1 4, og normalvektoren for l er n l = 4 Vi ved at dobbeltpunktet Q(1,) ligger på begge tangenter, så derfor bliver ligningerne for de to tangenter l : 8( x 1) + ( 4)( y ) = 1 8x 4y+ 8= og l1 : 8( x 1) + 4( y ) = 8x+ 4y+ 8= Nedenfor ses parameterkurven, hvor de to tangenter er indtegnet Figur 1 Øvelse 4 a) Tegn parameterkurven for stedfunktionen t t st () =, t 1 hvor t R b) Bestem parameterværdien i de punkter på kurven, hvori der enten er vandret eller lodret tangent, og bestem koordinatsættet til disse punkter Kurven har et dobbeltpunkt, hvori de to parameterværdier er t = og t = c) Bestem de to hastighedsvektorer i dobbeltpunktet, og bestem vinklen imellem disse d) Bestem ligningerne for hver af de to tangenter i dobbeltpunktet Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 9 af 14

10 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Cirkler som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge cirkler som parameterkurver Eksempel 4 På figuren nedenfor ses stedfunktionen for parameterkurven cos( t) st () =, hvor t π sin( t) Figur 11 Parameterkurven er en enhedscirkel, dvs en cirkel med centrum i (,) og radius 1 Parameterkurven fremkommer ved, at vi for alle værdierne t i parameterintervallet t π bestemmer stedvektoren og afsætter det tilhørende punkt Nedenfor ses de tre stedvektorer for parameterværdierne π π 5π t =, t = og t = 4 6 Figur 1 Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

11 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 5 Bestem tre andre punkter på enhedscirklen Stedfunktionen for cirkler med en anden radius og et andet centrum, får vi ved at ændre på koordinatfunktionerne i stedfunktionen Øvelsen nedenfor behandler netop dette Øvelse 6 Parameterkurven for stedfunktionen cos( t) st () = +, hvor t π, sin( t) 4 er en cirkel a) Tegn parameterkurven, og bestem centrum og radius for denne cirkel Undersøg nu stedfunktionen rcos( t) x st () = +, hvor t π, rsin( t) y ved på skift at lade x, y og r variere b) Sæt x = og y = 4 Lad r variere Hvilken betydning har r for parameterkurvens udseende? c) Sæt x = og r = Lad y variere Hvilken betydning har y for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y = 4 og r = Lad x variere Hvilken betydning har x for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 7 a) Bestem stedfunktionen for en cirkel med radius på 5 og centrum i (,7) b) Tegn cirklen Øvelse 8 Betragt stedfunktionen cos( t) st () = +, hvor t π sin( t) 4 π a) Bestem hastighedsvektoren for t = b) Tegn parameterkurven og den fundne hastighedsvektor Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 11 af 14

12 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Ellipser som parameterkurver I det følgende skal vi undersøge ellipser som parameterkurver Eksempel 5 Figuren viser parameterkurven for stedfunktionen 5cos( t) st () = +, hvor t π sin( t) 4 Figur 1 Parameterkurven kaldes en ellipse med centrum i (,4 ), storakse a = 5 = 1og lilleakse b = = 4 Øvelse 9 Undersøg stedfunktionen acos( t) x st () = +, hvor t π, bsin( t) y ved på skift at lade x, y, a og b variere a) Sæt x =, y = 4 og b = Lad a variere Hvilken betydning har a for parameterkurvens udseende? b) Sæt x =, y = 4 og a = 5 Lad b variere Hvilken betydning har b for parameterkurvens udseende? c) Sæt x =, a = 5 og b = Lad y variere Hvilken betydning har y for parameterkurvens beliggenhed? d) Sæt y = 4, a = 5 og b = Lad x variere Hvilken betydning har x for parameterkurvens beliggenhed? Øvelse 1 a) Bestem en stedfunktion for en ellipse med centrum i ( 1,), vandret storakse på 14 og lodret lilleakse 6 b) Tegn parameterkurven for ellipsen Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

13 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Brændpunkter Vi betragter ellipsen med centrum i (,) og storakse a samt lilleakse b (se figur), hvor a> b Ellipsens brændpunkter, F1 og F, er defineret som skæringspunkterne mellem ellipsens storakse og cirklen med centrum P= (, b), og radius a Figur 14 Øvelse 11 Vis, at afstanden fra koordinatsystemets begyndelsespunkt til brændpunkterne er 1 = =, hvor a b OF OF a b > Øvelse 1 Betragt en ellipse med centrum i C= ( x, y), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b Vis, at denne ellipse har brændpunkterne F = ( x a b, y ) og 1 F = ( x + a b, y ) Hvis P= ( x, y) er et tilfældigt punkt på ellipsen kaldes linjestykkerne PF1 og PF brændstrålerne fra P Øvelse 1 a) Bestem F 1 og F for ellipsen i eksempel 5 b) Tegn ellipsen og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven c) Bestem længden af brændstrålerne fra P d) Undersøg ved at variere P= ( x, y), hvad der gælder for afstanden PF1 + PF Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 1 af 14

14 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Øvelse 14 Vi ser igen på en ellipse med centrum i C= ( x, y), vandret storakse a og lodret lilleakse b, hvor a> b, som jo har stedfunktionen acos( t) x st () = +, hvor t π bsin( t) y Lad P= ( x, y) være et punkt på ellipsen Vis, at PF1 + PF = a, når F 1 og F betegner ellipsens brændpunkter Øvelse 15 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 5 a) Tegn ellipsen, og afsæt et tilfældigt punkt P= ( x, y) på parameterkurven b) Tegn brændstrålerne fra P, og tegn tangenten til parameterkurven i punktet P c) Bestem vinklen mellem hver af brændstrålerne fra P og tangenten i P (se figur) Når en lysstråle rammer en tangent til en kurve i et punkt P, så vil den vinkel lysstrålen rammer tangenten med være den samme som den vinkel lysstrålen forlader tangenten med Dette udnyttes i en nyrestensknuser, hvor man knuser nyresten med ultralyd dvs uden operative indgreb Ultralydskilden er placeret i en ellipses ene brændpunkt, mens patientens nyre placeres i det andet brændpunkt Herefter sendes ultralyd ud mod ellipsen, hvor det reflekteres og sendes præcist over i det andet brændpunkt, hvor det rammer nyrestenen Forsøg med digitale eksamensopgaver i matematik, stx A Side 14 af 14

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x).

Opgavesæt 12 21/01-2009. Laura Pettrine Madsen Uden hjælpemidler. skitse af grafen for f(x). Uden hjælpemidler Opgave 8.00 Funktionen f(x) er bestemt ved skitse af grafen for f(x). f ( x) = x 3 4x. På figuren ses en Grafen skærer førsteaksen i punkterne P(,0), O(0,0) og Q(,0). Sammen med førsteaksen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven

Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf

https://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/nov/141127_initiativer_til_videreudvikling _af_folkeskolens_proever.pdf Digitalt prøvesæt Dette er et opgavesæt, som jeg har forsøgt at forestille mig, det kan se ud, hvis det skal leve op til ordene i det der er initiativ 3 i rækken af initiativer til videreudvikling af folkeskolens

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen

Opg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1

Pendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1 Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005. Typeopgave 1. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. 054966 22/12/05 7:45 Side 1 Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2005 05-A-1-U Typeopgave 1 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx131-MAT/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er

Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er Projekt 1.4: Himmelfænomener regnbuer, zenith buer og halo er I kapitel 1 så vi netop på, hvordan man geometrisk kan modellere regnbuen. Vi fik også et indtryk af, at regnbuen faktisk først rigtig blev

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Ikke-lineære funktioner

Ikke-lineære funktioner I elevernes arbejde med funktioner på tidligere klassetrin har hovedvægten ligget på sammenhænge, der kan beskrives med lineære funktioner. Dette kapitel berører ligefrem proportionalitet og stykkevist

Læs mere

Partikelbevægelser i magnetfelter

Partikelbevægelser i magnetfelter Da fusion skal foregå ved en meget høj temperatur, 100 millioner grader, så der kan foregå en selvforsynende fusion, kræves der en metode til indeslutning af plasmaet, idet de materialer vi kender med

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx1-mat/a-170801 Fredag den 17. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX

Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Matematikopgaver niveau C-B-A STX-HTX Niels Junge Niels Junge 1 Indhold 1. Algebra...4 Opgave 1.1...4 Opgave 1.2...4 Opgave 1.3...4 Opgave 1.4...5 Opgave 1.5...5 Opgave 1.6...5 Opgave 1.7...5 Opgave 1.8...6

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.

1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant. Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Vektorfunktioner vha. CAS

Vektorfunktioner vha. CAS Vektorfunktioner vha. CAS 1 Forord Vi skal i de kommende uger arbejde med emnet Vektorfunktioner ved: 1) at I selv arbejder med siderne 3 10 som en opstart. Siderne baserer sig på CAS-programmet TI-Nspire.

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere