Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F Underskrift:

Transkript

1 Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F Underskrift:

2 Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi og er samtidigt skæringspunktet på -aksen. A er vores fremskrivningsfaktor Hvis a er mindre end 1 (a < 1), er funktionsværdien eksponentielt aftagende, hvis a er større end 1 (a > 1) er funktionsværdien eksponentielt voksende, og hvis a er lig med 1 (a = 1) er funktionsværdien konstant. A = 1 + r, hvor r er rentefoden, som bestemmer hvor meget funktionsværdien aftager eller stiger med pr. -enhed Med enkelt logaritmisk papir kan man nemt se om det er en eksponentiel funktion man har med at gøre. Da en eksponentiel funktion på enkelt logaritmisk papir sner som en ret linje, man kan også gå i matematikkens vej og lave en eksponentiel regression. Hvis man ender op med en korrelationskoefficient tæt på 1, så den så godt som i hus det er en eksponentiel udvikling. Fordoblingskonstanten er meget simpel, det er det stkke aksen bliver længere indtil aksen har dobbelt så stor værdi. Fordoblingskonstanten kan også beregnes således: Hvis vi ser på en opsparing i en bank. Der står kr., hvilket er vores begndelses værdi. Der er en rente på 2,5 %. Efter 18 år, med 2,5 % i rente, står der kr. på kontoen: , , På fig. 1, kan det ses at begndelsesværdien er 100, ( blev for uoverskueligt at se på i Graph). Begndelsesværdien er placeret på koordinat (0,100) 150 f()=100*1.025^ opløftet i 18. Begndelsesværdi altså 100 på -aksen. Og A som er R + 1 er den procentdel som funktionsværdien løbende siger 100 med. På Grafen er der indsat to koordinater, den blå viser begndelses punktet. Og den røde viser slutpunktet - altså 18 år senere Fig. 1

3 Opgave: Tabellen viser den årlige danske olieproduktion i perioden 1.januar 1992 til 31. december År efter Olieproduktion (mio. m 3 ) Det oplses, at den årlige danske olieproduktion (målt i mio. m 3 ) som funktion af tiden t (målt i år efter 1992) med tilnærmelse kan beskrives som en eksponentiel udvikling. Find forskriften og forklar betdningen af konstanterne i forskriften. (Du skal huske at argumentere ud fra teorien) Jeg har tastet informationerne fra olieproduktionen ind på min lomme regner og har fået følgende konstanter til gengæld (se fig. 2): Vi skal tage forbehold for at lommeregneren btter om op a og b. A = 1,0783 B = 8341,54 R = 0, R 2 = 0, Fig. 2 Det giver mig følgende forskrift: 8341,54 1,0783 Funktionsværdien er lig begndelsesværdien gange med en stigning på 7,83 %. Dette hænger sammen med teorien i den forstand at, de 8341,54 mio.m 3 er vores begndelses værdi i 0. år (1992). Vores fremskrivningsfaktor a = 1,0783 er en eksponentiel voksende funktionsværdi, idet a er større end 1 (a > 1). Se graf på fig. 3. f()= *1.0783^ Serie Fig. 3

4 I hvilket årstal er olieproduktionen fordoblet. Siden 1992 er olieproduktionen fordoblet i 2001: Fig. 4 Som det kan ses på lommeregneren (fig. 4), har jeg skrevet forskriften ind, først med 0 år på R s plads, således at vi først ser på det, som det er samme år. Dernæst har jeg skrevet den ind, med 9 år på R s plads, hvilket vil sige at jeg udregner funktionsværdien af år Hvilket vi kan se er fordobling siden Man kan også bruge fordoblingskonstanten til at beregne hvornår der skete en fordobling af aksen (olie produktionen) For at finde skal jeg bruge følgende formel: Ud fra lommeregneren (fig. 5) kan man se at fordoblingskonstanten er 9, Hvilket betder at olieproduktionen blev fordoblet i år 2001 Fig. 5 Bestem, ud fra forskriften, olieproduktionen i Hvor mange procent er dette tal lavere end den faktiske olieproduktion i 2004 når det oplses at den er på mio. m 3. Ifølge funktionsværdien af den eksponentielle udvikling, burde der have blevet produceret ,1 mio. m 3 olie. Først beregnede jeg hvor mange år der var mellem 1992 og 2004 (fig. 6), så jeg vidste hvilken værdi jeg skulle sætte på R s plads. Det var 12, og derved har jeg blot benttet samme funktion som forrige opgave blot med en anderledes R værdi, som bestemmer den eksponentielle udviklings slutpunkt og funktionsværdi. Fig. 6 Den faktiske olie produktion som var på mio. m 3 viser sig ikke at holde stik med funktionens beregning for olieproduktion i Det var nemlig blevet beregnet til ,1 mio. m 3, hvilket er 8,84 % lavere end den faktiske olieproduktion (fig. 7). Fig. 7

5 I 2005 var olieproduktionen 3,2 % lavere end året før. Hvis olieproduktionen i 2005 var 3,2 % lavere end 2004 kan jeg efter en hurtig og kort procent regning fastslå at, 2005 s olieproduktion lå på ,4 mio. m 3 olie (fig. 8). Fig. 8 Bestem en forskrift for den årlige olieproduktion som funktion af år efter 2004, når det antages, at den årlige olieproduktion fortsætter med at falde 3,2 % pr. år. Her skal vi lave en n eksponentiel udvikling med begndelsespunkt i 2004, altså For at finde a, laver vi de 3,2 faldende procenter om til decimaltal -0,032. Derefter gør vi følgende: a r 1 hvorved vi i sidste ende ender op med dette som a: 0,968. Forskriften for den ne eksponentielle funktion ser derfor således ud: ,968 Hvilket er en aftagende eksponentiel funktion. Jeg har lavet en graf af den ne eksponentielle funktion, den kan ses på fig. 9 herunder. f()=22612*0.968^ Fig. 9