Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer"

Transkript

1 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer ette er et oplæg til underviseren om en mulig udformning af et eksperimenterende forløb, hvor der er fokus på modellering og repræsentationsformer. Oplægget er således ikke et færdigt forløb, men indeholder materialer og forslag, som man kan klippe fra til sit veget forløb. et skyldes bl.a., at fokus her er arbejdsformer og kompetencer. et kan realiseres i flere faglige sammenhænge vægt på geometri, vægt på symbolhåndtering, vægt på anvendelse af værktøjer, vægt på at illustrere differentialregningens muligheder osv. er er givet eksempler fra alle disse felter. Introduktion om taksonomi et følgende er en eksemplificering af rolins taksonomi. enne handler først og fremmest om modelleringsopgaver i matematik, dvs. det er en taksonomi for matematikopgaver og dermed knap så generel som Solo-taksonomien. Taksonomien går fra helt lukkede opgaver til helt åbne opgaver: Niveau 1: Opgaven er helt lukket. Modellen er givet med diagrammer, variable og relevante sammenhænge i form af ligninger eller forskrifter. et er også klart, hvad opgaven går ud på: Løsning af en ligning, fastlæggelse af et toppunkt, Hvis den er meget enkel med f kun to variable involveret (standardopgave) svarer det nærmest til Solo-taksonomiens første niveau Unistrukturel, men den kan godt involvere flere end to variable, så der skal kombineres lidt før man kan løse opgaven og så kan den nå op på Solo-taksonomiens andet niveau, multi-strukturel. Niveau : Opgaven er delvis lukket. enne gang får vi ikke foræret variabelsammenhængene, men vi får oplyst hvilke variable, der indgår i modellen, så det er ligningerne, vi først skal finde. et er langt sværere selv at opbygge de nødvendige ligninger, så opgaver af denne type når hurtigt op på det tredje solo-niveau, det relationelle niveau, selv om der også findes simple standardopgaver af denne type (f givet en retvinklet trekant med kateterne a og b. Find hypotenusen c.) Niveau 3: Opgaven er delvis åben. enne gang får vi heller ikke variablene foræret men skal selv identificere de relevante variable. et er endnu sværere at afkode den slags opgaver, så de vil ikke blot ligge på det tredje solo-niveau, det relationelle, men typisk nå op på det abstrakte. Opgaven kan dog formuleres så den kan løses konkret, hvor man holder sig på det strukturelle niveau, ved at man undlader at forlange en symbolsk gennemregning af problemstillingen, men en fuldstændig løsning vil kunne række op gennem alle niveauerne. Niveau : Opgaven er helt åben. Her får man kun et problemfelt udpeget og skal selv definere problemet/opgaven. et er selvfølgelig det allersværeste. Her er det næppe muligt at arbejde meningsfyldt hvis man ikke mindst er på tredje soloniveau, det relationelle. rolins taksonomi illustreres nemmest ved at gå fra oven og ned. Man kan både vælge at anvende niveauerne i en undervisningsdifferentiering og i en progressionsplan. Eksemplificering gennem et eksempel: Foldning af et stykke papir. Niveau : Et eksempel på et niveau problem kunne være: Her er et ark papir, f et -papir. Konstruer et interessant problem! Her må man så overveje hvad man overhovedet kan. 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

2 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer et simpleste man kan gøre med et stykke papir er nok at folde det på midten: Man kan da se på forholdene i det oprindelige papir og det foldede papir. et kan gøres helt konkret eller ved hjælpe af mere eller mindre abstrakte udregninger. For et -ark opdager man da at de to forhold synes at være ens. erefter er vejen åbnet for en modellering af -arket, inklusive at man til sidst finder symbolske formler for sidelængderne i et -ark (givet at 0-arket må være 1 m, hvilket man også kan opdage selv). et næst simpleste man kan gøre med et stykke papir synes at være at folde det så et hjørne rammer den modsatte side. et giver anledning til en rig problemstilling, hvor man kan kigge på mange størrelser. et er typisk for mange af disse problemstilligner at de til syvende og sidst kan reduceres til et tredjegradspolynomium. et mest kendte eksempel er nok hvor man ser på den trekant i nederste venstre hjørne, der afsnøres af foldningen, og hvor man forsøger at bestemme arealet af den størst mulige trekant. Man kan også se på længden af folden: Hvor lille kan den blive? Men mulighederne er som sagt mange! Niveau 3: Som et eksempel på et niveau 3 problem vil vi nu se på foldningen af et stykke papir, hvor det ene hjørne foldes over på den modstående side. Man skal bestemme den foldning, der giver den mindste fold. Trin 0: Man kan til at begynde med danne sig et indtryk af problemet ved at afprøve forskellige muligheder for foldningen: 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

3 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer et ser da ud som om at folden i den ene ende er diagonalen i et kvadrat, at diagonalen bliver lidt kortere når man sænker punktet lidt, idet det nedre punkt på folden rykker hurtigere end det øvre punkt, men at der tilsyneladende ikke er nogen øvre grænse for hvor lang folden kan blive, anden end den der sættes af papirets højde. Man kunne selvfølgelig også prøve at følge med ved at måle med lineal. Men det er svært at komme tæt på det endelige resultat, hvis der er tale om en konkret papirfoldning. Trin 1 Geometrisk modellering (-niveau): en grundlæggende modellering består da i at konstruere en egentlig dynamisk geometrisk model af foldningen. å dette trin er der endnu ikke indført egentlige talvariable. Konstruktionen kan gennemføres på flere forskellige måder alt efter hvad man tager udgangspunkt i. Hvis vi indfører betegnelser for karakteristiske punkter kan vi f vælge mellem at tage udgangspunkt i et af de punkter, folden har som endepunkter, eller vi kan tage udgangspunkt i det punkt, hjørnet foldes over i. et giver allerede tre forskellige modeller, der konstrueres på hver sin måde: ' ' '' '' ' '' ' '' ' Om man foretrækker cirkelkonstruktionen eller midtnormal-konstruktionen er nok mest et spørgsmål om smag og behag, men valget kan få konsekvenser i de senere dele af analysen. Her følger vi det første spor. Så snart vi har en geometrisk modellering på plads kan vi ved at måle på foldens længde og trække i det røde punkt (her ) som driver konstruktionen finde et første bud på den minimale længde. et er da vigtigt at vi også måler papirets bredde, her 5 cm, (hvorimod højden ingen indflydelse har): ' ' '' '' '' 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

4 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer = cm = 6.95 cm = cm Man finder da den mindste fold til at være 6.95 cm med fire decimaler, og det er ikke nemt at se hvad dette tal skulle betyde. Tilsvarende kan man se at man skal folde papiret i afstanden ca cm. enne afstand er dog meget dårligt bestemt, da den varierer kraftigere end foldens længde. Meget mere kan man ikke gøre med en dynamisk geometrik model. Hvis man har stor erfaring med geometrisk modellering kan man finde på at sammenligne såvel forhold som kvadratet på forhold: = = = cm = 6.95 cm = cm et kunne godt tyde på at foldens kvadrat var gange kvadratet på sidebredden, ligesom det punkt vi folder fra kunne ligger ¾ hen af grundlinjen. Men det er svært at se om det er præcise mål eller bare vilde gæt. et er dog en smule bemærkelsesværdigt at netop er 7/16, altså 3 (3/). Men de færreste har så meget talsans at de vil kunne se at der er noget at forfølge. Trin variabelsammenhængen som en graf (-niveau): I første trin fandt vi en konkret løsning på problemet. ndet trin er et mellemtrin, hvor vi identificerer væsentlige variable og undersøger 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

5 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer variabelsammenhængen. en ene variabel er oplagt foldens længde. et er den afhængige variabel, som vi undersøger i modellen, dvs. y erimod er det ikke så oplagt hvad vi skal vælge som den uafhængige variabel. Vi vil prøve at følge flere forskellige spor. Men først og fremmest er det vigtigt at gøre sig klart at valget af uafhængig variabel i høj grad afhænger af hvordan vi forestiller os modellen opbygget! Her har vi ladet være det drivende punkt, så det er naturligt at lade definere den uafhængige variabel. ermed bliver det naturligt at lade s placering på grundlinjen være afgørende, dvs. vi bruger afstanden til hjørnepunktet som uafhængig variabel og sætter derfor Om det er et godt valg vil først vise sig senere! Men da vi har målt både og, dvs. og y kan vi overføre dem til et grafpunkt i koordinatsystemet. Man kan starte med at spore grafpunktet (,y) for at 18 danne sig et indtryk af grafens form. Men det er mere effektivt at konstruere grafen som et geometrisk sted hvad den jo vitterligt også er, selv om vi ikke altid tænker på grafen for en funktion som en geometrisk kurve. Under alle omstændigheder viser grafen tydeligt de forventede opførsel, med et klart 16 minimum. et er netop det minimum vi ønsker at fastlægge mere præcist. 1 1 = = = cm = 6.95 cm = cm Nogle vil foretrække at binde koordinatsystemet til selve konstruktionen. Så skal figuren spejlvendes, så man kan bruge grundlinjen som -aksen. Nogle vil endda foretrække at tage udgangspunkt i koordinatsystemet, så konstruktionen i langt højere grad gennemføres indenfor rammerne af analytisk geometri: 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

6 1 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer = = Her foreslår vi, at man adskiller repræsentationsformerne, og arbejde rent geometrisk indenfor den geometriske model og rent analytisk indenfor koordinatsystemet, så man ser hvordan de to forskellige repræsentationer belyser problemet fra forskellige synsvinkler. Trin 3 variabelsammenhængen som en ligning (-niveau): Så kommer vi ikke udenom at finde funktionens forskrift, dvs. ligningen, der binder og 6 y sammen. et er ikke trivielt og slet ikke i denne model, hvor vi reelt skal sammenholde oplysningerne om tre forskellige retvinklede trekanter: 8 S S S 5- Undervejs er der brug for flere gode ideer! I den første trekant genfinder vi hypotenusen, fordi og må ligge lige langt fra foldningspunktet. Grundlinjen må ydermere være 5 (eller b, hvis eleverne kan tage springet til ren bogstavregning, ellers kan man substituere senere). Men kender vi to af siderne i en retvinklet trekant kender vi selvfølgelig også den sidste side! 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

7 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer (5 ) 10 5 dvs Men så kan vi jo nemt komme videre til den anden trekant, hvor vi nu kender de to kateter: dvs. 10 Læg mærke til at vi kan kontrollere udregningerne i den dynamiske geometriske model ved at udregne værdien af de fundne udtryk og sammenholde dem med målinger. er er kontant afregning, hvis man har regnet galt. Men kigger vi så på den sidste trekant må S på grund af foldningen være midtpunktet, og må være midtnormalen til, dvs. S er netop halvt så stor og spiller rollen som højden i den sidste retvinklede trekant. I den sidste retvinklede trekant kender vi altså igen stykker, nemlig grundlinjen (som er ) og 10 højden S (som er ). Men så må vi kunne finde den søgte hypotenuse, dvs. y. et er her problemet skifter fra at være multistrukturelt til at være relationelt! y z Vi er nemlig nødt til at bruge to sammenhænge for at komme igennem: å den ene side ythagoras på den anden side arealformlen udregnet på to måder: y z y h z Man kan få god hjælp af sit S-værktøj, men under alle omstændigheder skal man finde y udtrykt ved og h. 3 y 5 h 5 Når støvet har lagt sig er forskriften altså givet ved y 3 5 emærkning: Når man arbejder med problemet i et S-værktøj vil eleverne løbe ind i mange komplikationer! et skyldes primært at vi arbejder indenfor måltallene, dvs. +. Men S-værktøjet arbejder indenfor de reelle tal - og endda delvist indenfor de komplekse tal, så længe resultaterne bare holder sig til de reelle tal. erved forsvinder nogle af de regneregler vi er vant til med kvadratrødder: Specielt gælder der ikke længere reglerne a b a b a b h a b 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

8 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer Man kan styre uden om nogle af problemerne ved at pålægge antagelser om at diverse størrelser skal være positive. Og man kan styre uden om alle problemerne ved at kvadrere variablene. Men det er noget man skal være meget opmærksom på, når man arbejder med S-reduktioner. å -niveau bør man vide noget mere om dette. Igen kan vi kontrollere det direkte ved at lægge grafen for funktionen oveni den geometriske modelgraf: f( ) = Man kan se hvordan funktionsgrafen er en udvidelse af den geometriske modelgraf. Men ellers er alt gået glat. Vi kan nu bruge de indbyggede grafiske værktøjer til at finde en mere præcis værdi for toppunktet: 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

9 16 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer Toppunkt 3 f( ) = 5 Toppunkt = y Toppunkt = Trin symbolsk løsning af problemet (- og -niveau): Med S-værktøjer til rådighed er det nu nærmest rutine at finde toppunktet symbolsk: Udtrykket ser lidt grimt ud, men tælleren viser klart at = 15/ er den eksakte værdi for minimumsstedet. En solve-kommando bekræfter dette: Ydermere ses det at den mindste fold har længden L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

10 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer ifferentialkvotienten afslører også hvor den pæne løsning kommer fra, idet tælleren jo indeholdt faktoren ( 15). enne information ville være gået tabt, hvis vi var sprunget direkte til en solve(f ()=0,)! Trin 5 analyse af den symbolske løsning (+-niveau): Når der som her er en pæn løsning til problemet. Vi skal folde præcis ¾ henne af grundlinjen for at finde den mindste fold, ville det være rart at kaste lys over, hvorfor det er så simpelt? et kan man næppe sige at den ovenstående symbolske løsning gør! et er da en kunst at nedbryde det komplicerede funktionsudtryk og vise at problemet i virkeligheden handler om et tredjegradspolynomium af rkimedestypen y a ( k ), hvor rkimedes jo netop viste at det toppede i /3 k (ligesom andengradspolynomiet y a ( k ) topper i 1/ k ). et er de to simpleste og ældst kendte toppunktsformler: Tredjegradspolynomiet topper to tredje dele henne af definitionsintervallet, hvor anden gradspolynomiet topper halvvejs. Man skal da kunne argumentere med monotoniforhold! Vi søger et minimum for y Men her kan vi roligt kvadrere og i stedet søge et minimum for y, da kvadratfunktionen for de 5 positive tal er voksende. Her er brøklen lidt snasket i nævneren, så vi vender brøken og søger i stedet et maksimum for, da reciprokfunktionen for de positive tal er aftagende. 3 3 y 1 Så er vi næsten hjemme: Indfører vi variablene Y og y 1 X er det det samme som at finde et maksimum for variabelsammenhængen: Y X X X ( ) 5 Men den er jo netop af rkimedestypen, dvs. den topper to tredjedele henne eller i X og da vores uafhængige variabel er den reciprokke værdi fås netop. Man behøver altså ikke kunne differentiere hverken kvadratrødder eller brøker for at kunne finde toppunktet i hånden. Og samtidigt ser man nu klart, hvorfor der må være en pæn løsning til problemet. Men det kræver altså symbolsk overskud at kunne trævle et sådant funktionsudtryk op. fsluttende bemærkning: Vi har valgt at arbejde med algebraiske funktioner i denne løsningsmodel. Men man kunne lige så godt forsøge sig med en trigonometrisk løsning. Man ville da også kunne komme hurtigere frem til tredjegradspolynomiet. Nøglen ligger i valget af den uafhængige variabel. Her vil man i stedet kunne vælge en vinkel, f den vinkel, der peger over mod det punkt, der foldes til: 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

11 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer S y å grund af de retvinklede trekanter dukker vinklen op flere steder på figuren. Specielt gælder der den interessante sammenhæng: sin( ) sin( ) dvs. y y sin( ) Vi skal altså blot udtrykke ved hjælp af! et kræver selvfølgelig inddragelse af de andre retvinklede trekanter ligesom før. Først kan vi bemærke, at der må gælde S cos( ) dvs. S cos( ) og dermed S cos( ) Så kan vi bemærke at der må gælde Tan( ) dvs. 5 tan( ) 5 Men i trekanten kender vi nu både udtryk for kateterne og hypotenusen, så vi kan anvende pythagoras til at binde dem sammen: cos( ) 5 tan( ) 5 dvs. sin( ) 1 5 tan( ) 1 5 cos( ) 5 sin( ) cos( ) 5 1 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) Igen vil de få stor glæde af deres S-værktøj, men når støvet har lagt sig ender de med det simple udtryk: 5 1 cos( ) Vi kan samle det hele i udtrykket: 5 5 y cos( ) sin( ) (1 sin( ) ) sin( ) Graferne fører selvfølgelig til det samme resultat som før: 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

12 0 18 rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer = cm = cm = 9.06 S G F 6 h( ) = 5 ( 1 sin( ) ) sin( ) Toppunkt = y Toppunkt = Toppunkt Vinklen er ikke så pæn! Men det er temmelig oplagt at den reciprokke fold er et tredjegradspolynomium i sin(). esværre dog ikke af rkimedes typen! Samtidigt peger dette valg af variabel på en anden overraskende kendsgerning: Vi kan lave ækvivalente repræsentationer af problemstillingen ved hjælp af enten algebraiske funktioner eller trigonometriske funktioner. å trods af at de som udgangspunkt synes at komme fra to helt forskellige verdener afspejler de altså dybest set de samme sammenhænge. er er altså en dyb forbindelse mellem algebra og trigonometri en pointe man kunne vælge at gøre noget ud af. 013 L& Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-118 København K Tlf:

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34 Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette

Læs mere

Årsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16

Årsplan 9. Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Årsplan 9 Klasse Matematik Skoleåret 2015/16 Hovedformål Årsplanen for 9 Klasse i Matematik tager udgangspunkt i Forenklede Fællesmål (Undervisningsministeriet) Formålet med undervisningen er, at eleverne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? 75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Klasseundervisning. Makkerpar. Individuelt arbejde. få forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal

Klasseundervisning. Makkerpar. Individuelt arbejde. få forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Fagområde/ emne Tal og regning Regneregler Periode Mål Eleverne skal: Klasse: 8.a Lærer: LBJ få indblik i ligheder og forskelle mellem naturlige tal, hele tal, rationale

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere