Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder"

Transkript

1 Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p , 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer kan sendes til I kurset Lineær Algebra arbejder vi normalt med matricer, hvor elementerne er reelle tal Denne note behandler tilfældet, hvor elementerne i matricerne er tal i talstrukturen Z 2 = {, } Regnereglerne i Z 2 er som følger: + Bemærk, at + = = Derfor er plus og minus det samme i Z 2 Eksempel Betragt vektorene u = v = i Z 4 2 Vi har u v = = = + = I Matlab udregnes prikproduktet sådan her: >> u=[ ], v=[ ] u = v = >> mod(u*transpose(v),2) ans = De fleste resultater, I kender for matricer over R, gælder også for matricer over Z 2 Men ikke alle

2 Opgave Udregn ved hjælp af Matlab u u og v v i Z 2 Kan du få øje på et fænomen, som aldrig ville finde sted, hvis du havde regnet med reelle tal? Betragt situationen, hvor vi vil kommunikere over en støjfyldt kanal (tænk på et langt ikke-afskærmet datakabel) Vi ønsker at sende en følge af er og er svarende til indholdet af en fil At kanalen er støjfyldt betyder, at nogle af erne bliver lavet om til er, inden de når frem til modtageren Tilsvarende bliver nogle af erne lavet om til er En simpel måde, hvorpå vi kan beskytte vores datatransmission, er hvis afsenderen sender tre kopier af hvert enkelt binært symbol Istedet for sendes altså, og istedet for sendes De tilsvarende vektorer, kaldes kodeord Antag nu, at modtageren i den anden ende af informationskanalen modtager Denne vil nu regne med, at der nok er sket fejl i tredie position, hvorfor den sendte besked antages at være Tilsvarende vil man dekode til, og dermed vil man antage, at den sendte besked er Bemærk, at vi kan rette én fejl, men ikke to eller tre Lad os bringe ovenstående på matrix form Beskederne og identificeres med vektorerne [] og [], og som nævnt ovenfor skrives kodeordene som søjlevektorer af længde 3 Mængden af kodeord kaldes en kode Indkodningen ovenfor af beskeder til kodeord svarer til den lineær transformation T : Z 2 Z 3 2 som repræsenteres af matricen G = Altså er indkodningen givet ved G m, hvor m tilhører Z 2 = {, } Matricen G kaldes en generatormatrix Opgave 2 Indkod i Matlab beskeden Altså udregn G m Husk, Matlabkoden for m er 2

3 >> m=[] m = Hvis vi vil tjekke, om c = c c 2 c 3 Z 3 2 er et kodeord, skal vi undersøge, om alle tre komponenter er ens Dette svarer til at tjekke, om { c = c 2 c = c 3 holder, hvilket er det samme som at tjekke, om { c + c 2 = c + c 3 = holder (husk + og er det samme), hvilket igen er det samme som at tjekke om [ ] c [ ] c 2 = c 3 holder Matricen H = kaldes for en paritetstjekmatrix [ Opgave 3 Lad u = [ ] T og v = [ ] T Udregn i Matlab H u og H v og konkluder hvilket af ordene, der er et kodeord Da c = [c, c 2, c 3 ] T altså er et kodeord præcis hvis H c =, ja da er koden simpelthen nulrummet af H Eksempel 2 Koden {[ ] T, [ ] T } har dimension Fra SIF side 47 øverst plus SIF side 255 nederst har vi følgende resultat Givet en matrix, da er dimensionen af nulrummet lig med antallet af pivot-frie søjler Da koden er nulrummet af H, så må H altså have præcis en pivot-fri søjle Dette tjekkes med Matlabkommandoerne: ] 3

4 >> H=[ ; ] H = >> H(2,:)=mod(H(2,:)-H(,:),2) H = Antag, at c = [ ] T er afsendt, men at r = [ ] T er modtaget Vi har r = c+ e, hvor e = [] T er fejlvektoren I stedet for den tidligere beskrevne dekodningsmetode (den, hvor vi ser hvilket symbol eller, der forekommer flest gange) dekoder vi nu vha paritetstjekmatricen Det vil hjælpe os til at demonstrere et snedigt generelt princip Vi udregner H r = [ ] = [ ] () Da dette er forskelligt fra [ ] T, er der sket fejl Bemærk, at H r = H( c + e), hvor e er fejlvektoren beskrevet ovenfor Men H c =, og derfor har vi H e = H r = [ ] T Læg mærke til, at hver ikke-nul vektor i Z 2 2 forekommer præcis én gang som søjle i H, samt at højre side af () svarer til anden søjle i H Vi konkluderer, at hvis der kun er sket én fejl, da er det i position 2 Altså e = [ ] T, og dermed c = r e = = Den afsendte besked er altså lig Opgave 4 Du modtager r = [ ] T Udregn i Matlab H r Brug metoden ovenfor til at rette fejl Gentag med r = [ ] T Vi genereliserer nu ovenstående konstruktion af koder 4

5 Definition Et k-dimensionalt underrum af Z n 2 kaldes en [n, k]-kode Givet en [n, k]-kode C, da kaldes en n k matrix G for en en tilhørende generatormatrix, når søjlerne i G er en basis for C Tilsvarende kaldes en (n k) n matrix H for en paritetstjekmatrix for C, når C er nulrummet hørende til H En [n, k]-kode kan altså bruges til at indkode beskeder af længde k besked m Z k 2 identificeres med et kodeord c Zn 2 ved c = G m En Definition 2 Lad k < n En [n, k] kode kaldes systematisk, hvis den har en generatormatrix af formen [ ] Ik G = A (Her er A selvfølgelig en (n k) k matrix) Bemærkning Givet et kodeord i en systematisk kode, da optræder den indkodede besked som de første k komponenter Opgave 5 Indtast i Matlab en binær 7 3 matrix G som i Definition 2 Indkod forskellige beskeder (af længde 3) og tjek at Bemærkning holder Husk, mod kommandoen Sætning Lad C være en systematisk [n, k]-kode med generatormatrix G = [ Ik A Så er H = [A I n k ] en paritetstjekmatrix for C (dvs c C, hvis og kun hvis H c = ) Bevis: Lad c C være et vilkårligt kodeord, dvs c er af formen c = G m Men så er [ ] Ik H c = HG m = [A I n k ] m A ] = (A + A) m = O m = Vi har nu vist, at C er indeholdt i nulrummet hørende til H Men såvel nulrummet hørende til H som C har dimension k, så C må være lig med nulrummet 5

6 Eksempel 3 Koden med paritetstjekmatrix H = = kaldes en binær Hammingkode systematisk med generatormatrix G = = [A I 3 ] Ifølge Definition 2 og Sætning er den [ I4 A Der er således tale om en [7, 4]-kode Bemærk, at søjlerne i H består af samtlige ikke-nul vektorer Hver af disse forekommer præcis én gang Beskeden m = [ ] T indkodes nu til = Der sker nu fejl under transmissionen, således modtages r = Modtageren kender ej det afsendte ord, men leder efter c C, således at der gælder r = c + e, hvor e kun har én ikke-nul komponent Der regnes H r = = 6 ]

7 Bemærk, at H c = (jævnfør definitionen af H), og derfor har vi H r = H( c + e) = H e Hvis der kun er én ikke-nul komponent i e, da må det være den femte, da [ ] T er den femte søjle i H Modtageren dekoder derfor korrekt til c = r + e = + = Vi har i Eksempel 3 argumenteret for, at man kan bruge følgende dekodningsalgoritme for Hammingkoden: Modtageren udregner H r 2 Hvis H r =, da konkluderes det, at der nok ikke er sket fejl 3 Hvis H r, da undersøges hvilket søjlenummer j, som svarer hertil Fejlen antages at være sket i position j, og der dekodes i overensstemmelse hermed Opgave 6 Betragt den binære Hammingkode i Eksempel 3 Indkod ved hjælp af Matlab beskeden m = [ ] T Opgave 7 Betragt den binære Hammingkode i Eksempel 3 Du modtager ordet r = [ ] T Benyt Matlab og metoden beskrevet i eksemplet til at dekode Opgave 8 Betragt den binære Hammingkode fra Eksempel 3 Bring ved hjælp af rækkeoperationer H på række-echelonform (trappeform) Find antal pivotfrie søjler og bestem dimensionen af koden Udover kommandoerne fra Eksempel får du muligvis brug for noget i stil med følgende kommando, som bytter om på række og række 3: >> H([ 3],:)=H([3 ],:) References [] David Poole, Linear Algebra - A Modern Introduction, Sec ed, Thomson, 26 7

8 [2] J Justesen og T Høholdt, A Course In Error-Correcting Codes, European Mathematical Society, Textbooks in Mathematics, 24 8

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Login til den digitale ansøgningsportal

Login til den digitale ansøgningsportal Login til den digitale ansøgningsportal Vejledning om login til den digitale ansøgningsportal for kandidatansøgninger Login til den digitale ansøgningsportal sker via WAYF (Where Are You From), som er

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Læsevejledning til resultater på regionsplan

Læsevejledning til resultater på regionsplan Læsevejledning til resultater på regionsplan Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne...

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

LUP læsevejledning til regionsrapporter

LUP læsevejledning til regionsrapporter Indhold 1. Overblik... 2 2. Sammenligninger... 2 3. Hvad viser figuren?... 3 4. Hvad viser tabellerne?... 5 5. Eksempler på typiske spørgsmål til tabellerne... 6 Øvrigt materiale Baggrund og metode for

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Manual til skinnelayoutprogram

Manual til skinnelayoutprogram Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering

AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering 2012 AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering Version 2.3 Aarhus Universitet 23-02-2012 Velkommen til AU-HR sharepoint site Databasen Medarbejder indplacering skal anvendes til at sikre, at

Læs mere

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Forfatter: Tine Kanne Sørensen, Ulrik Sølgaard-Nielsen Styrelsen

Læs mere

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S)

1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) Send Digitalt. Elementerne i Send Digitalt vinduet 1. Send Digitalt knappen anvendes til at afsende meddelelsen til de valgte modtagere. (Alt- S) 2. Tjek kan anvendes til at kontrollere, om der kan sendes

Læs mere

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling.

Privatansatte mænd bliver desuden noget hurtigere chef end kvinderne og forholdsvis flere ender i en chefstilling. Sammenligning af privatansatte kvinder og mænds løn Privatansatte kvindelige djøfere i stillinger uden ledelsesansvar har en løn der udgør ca. 96 procent af den løn deres mandlige kolleger får. I sammenligningen

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Statistik med GeoGebra

Statistik med GeoGebra Statistik med GeoGebra Hayati Balo, AAMS, marts 2012 1 Observationssæt Det talmateriale, som man gerne vil undersøge, kaldes et observationssæt. Det talsæt som fremgår i tabel 5.1 kan indsættes i GeoGebra

Læs mere

UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM)

UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM) UANMODEDE HENVENDELSER (SPAM) VIDEN RÅDGIVNING SERVICE TRYGHED INDHOLD 1. Kort fortalt... 3 2. Uanmodede henvendelser.... 3 3. Nærmere om samtykke til henvendelse.... 7 3.1. Krav om forudgående samtykke...

Læs mere

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark

Kort og godt om NemID. En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Kort og godt om NemID En ny og sikker adgang til det digitale Danmark Hvad er NemID? NemID er en ny og mere sikker løsning, når du skal logge på offentlige hjemmesider, dit pengeinstitut og private virksomheders

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Matematik Eksamensprojekt

Matematik Eksamensprojekt Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende

Læs mere

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede

Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede Velkommen til 2. omgang af IT for let øvede I dag Hjemmeopgave 1 Næste hjemmeopgave Eventuelt vinduer igen Mapper og filer på USB-stik Vi skal hertil grundet opgave 2 Internet Pause (og det bliver nok

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Lettere at vælge arbejde frem for folkepension Et nyt sæt regler gør det lettere end tidligere for virksomheder at holde

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD)

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Hvor finder jeg ServiceDesk?...2 Fanebladet Start Startside...3 Hvordan opretter jeg en ny opgave?...4 Hvordan laver jeg et skærmdump og får lagt det ind i min

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Bilag 1b Vejledning til udfyldelse af ESPD

Bilag 1b Vejledning til udfyldelse af ESPD Indhold 1 INDLEDENDE BEMÆRKNINGER... 2 2 UDFYLDELSE AF ESPD SOM TILBUDSGIVER... 2 2.1 START... 2 2.2 PROCEDURE... 4 2.3 UDELUKKELSE... 7 2.4 UDVÆLGELSE... 11 2.5 AFSLUT... 12 Side 1 af 14 1 Indledende

Læs mere

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012 Picasa Web En ressource i SkoleIntra Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er PicasaWeb?...4 Kom på!...5 Google-konto...5 Når du er logget ind: Indstillinger...5 Når du er logget ind: Upload...6

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Clublog Dansk vejledning af OZ0J Version 1.0 opdateret juli 2016. Forord. Denne vejledning indeholder opstart og løbende brug af Clublog.

Clublog Dansk vejledning af OZ0J Version 1.0 opdateret juli 2016. Forord. Denne vejledning indeholder opstart og løbende brug af Clublog. Forord Denne vejledning indeholder opstart og løbende brug af Clublog. Brug af vejledningen samt installation af softwaren sker helt på eget ansvar. Vejledningen opdateres efter behov og må frit kopieres

Læs mere

Manual til de lokale webredaktører

Manual til de lokale webredaktører Skolelederne.org marts 2007 Manual til de lokale webredaktører Nedenstående er en kort udgave af manualen til hjemmeside systemet Webupdate 5 med enkelte personlige erfaringskommentarer.. Mvh Søren Thomsen.

Læs mere

2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013

2013-7. Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler. 10. april 2013 2013-7 Vejledning om mulighederne for genoptagelse efter såvel lovbestemte som ulovbestemte regler Ombudsmanden rejste af egen drift en sag om arbejdsskademyndighedernes vejledning om mulighederne for

Læs mere

UNI Login brugeradministration. - fra Lectio til UNI Login

UNI Login brugeradministration. - fra Lectio til UNI Login UNI Login brugeradministration - fra Lectio til UNI Login 1. udgave, december 2010 Indhold 1 Formålet med denne vejledning... 2 2 Eksportér csv-fil med elev- og/eller lærerdata fra Lectio... 3 3 Importér

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Indhold. Vigtige pointer. Hvordan ser en god jobannonce ud? Gode råd til teksten

Indhold. Vigtige pointer. Hvordan ser en god jobannonce ud? Gode råd til teksten Indhold 3 4 6 Vigtige pointer Hvordan ser en god jobannonce ud? Gode råd til teksten Vigtige pointer Du skal se jobannoncen som en salgsannonce. Du skal sælge din arbejdsplads og den ledige stilling så

Læs mere

HåndOffice Foreningsdata

HåndOffice Foreningsdata HåndOffice Foreningsdata Indledning... 3 Stamdata... 3 Spillesteder... 5 Foreningshverv... 5 Hold... 8 Personer... 12 Side 2 af 14 Indledning Denne vejledning gennemgår de menuer, der ligger i HåndOffice

Læs mere

Module 2: Beskrivende Statistik

Module 2: Beskrivende Statistik Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen og Hans Chr. Petersen Module 2: Beskrivende Statistik 2.1 Histogrammer og søjlediagrammer......................... 1 2.2 Sammenfatning

Læs mere

Samrådsspørgsmål R: Hvordan mener ministeren, at den nye akuttelefon-ordning i Region Hovedstaden påvirker tilliden til det danske sundhedsvæsen?

Samrådsspørgsmål R: Hvordan mener ministeren, at den nye akuttelefon-ordning i Region Hovedstaden påvirker tilliden til det danske sundhedsvæsen? Sundheds- og Forebyggelsesudvalget 2013-14 SUU Alm.del endeligt svar på spørgsmål 582 Offentligt Talepapir Det talte ord gælder Tilhørerkreds: Sundhedsudvalget o.a. Anledning: Samråd Q, R og S om akuttelefonen

Læs mere

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE

EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE EKSEMPEL PÅ INTERVIEWGUIDE Briefing Vi er to specialestuderende fra Institut for Statskundskab, og først vil vi gerne sige tusind tak fordi du har taget dig tid til at deltage i interviewet! Indledningsvis

Læs mere

Årsafslutning i SummaSummarum 4

Årsafslutning i SummaSummarum 4 Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Redegørelse for kvalitets- og tilsynsbesøg Hjemmepleje 2014

Redegørelse for kvalitets- og tilsynsbesøg Hjemmepleje 2014 Redegørelse for kvalitets- og tilsynsbesøg Hjemmepleje 2014 Baggrund Det fremgår af lov om social service 151, at kommunalbestyrelsen har pligt til at føre tilsyn med, at de kommunale opgaver efter 83

Læs mere

Borgerrådgiverens hovedopgave er først og fremmest dialog med borgerne i konkrete sager en mediatorrolle, hvor det handler om at:

Borgerrådgiverens hovedopgave er først og fremmest dialog med borgerne i konkrete sager en mediatorrolle, hvor det handler om at: BORGER RÅDGIVEREN Det kan du bruge borgerrådgiveren til Er du utilfreds med behandlingen af din sag i Hvidovre Kommune eller med kommunens behandling af dig, kan du henvende dig til borgerrådgiveren. Borgerrådgiverens

Læs mere

Artikel til digst.dk om offentlige myndigheders særlige vejledningspligt ifm. kanalskifte til Digital Post

Artikel til digst.dk om offentlige myndigheders særlige vejledningspligt ifm. kanalskifte til Digital Post 20. marts 2014 KUI/BIL KIK/Masoe Artikel til digst.dk om offentlige myndigheders særlige vejledningspligt ifm. kanalskifte til Digital Post Særlig vejledningsforpligtelse ved offentlige myndigheders overgang

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Få mere synlighed! Vejledningshæfte

Få mere synlighed! Vejledningshæfte Få mere synlighed! Vejledningshæfte Vejledning Sådan kommer dit arrangement på OplevRudersdal.dk Dit arrangement kommer nemt og enkelt på www.oplevrudersdal.dk ved at du opretter dit arrangement på hjemmesiden.

Læs mere

Spillebeskrivelse. spillehallen.dk

Spillebeskrivelse. spillehallen.dk Spillebeskrivelse spillehallen.dk INDHOLDSFORTEGNELSE: 1. GENERELT OM BAKER STREET 211B 3 2. GEVINSTTAVLEN 4 3. GEVINSTBONUS 4 4. TERNINGEBORD 4 5. VALGFRIT SPIL 5 6. HOUSE OF CRIME 5 7. LONDON LIGHT 6

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Forbuddet mod ansættelse omfatter dog ikke alle stillinger. Revisor er alene begrænset fra at:

Forbuddet mod ansættelse omfatter dog ikke alle stillinger. Revisor er alene begrænset fra at: Krav om cooling off-periode for alle (også SMV) revisorer inden ansættelse i tidligere reviderede virksomheder Det nye ændringsdirektiv om lovpligtig revision af årsregnskaber og konsoliderede regnskaber

Læs mere

Videopoint. Vejledning til simpelt brug

Videopoint. Vejledning til simpelt brug Videopoint Vejledning til simpelt brug 0. Indledning Videopoint er et smart værktøj, der gør fysikstuderende i stand til, nærmest legende let, at analysere bevægelser af forskellige objekter. Eksempelvis

Læs mere

Kontrol af koderreliabilitet med -datasignature- og -merge-

Kontrol af koderreliabilitet med -datasignature- og -merge- Kontrol af koderreliabilitet med -datasignature- og -merge- [2. udgave, september 2013] Kim Mannemar Sønderskov Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet ks@ps.au.dk Efter indtastning af data kan

Læs mere

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende

Læs mere

EPOS PORTAL VEDLIGEHOLD PORTAL-FORSIDE

EPOS PORTAL VEDLIGEHOLD PORTAL-FORSIDE EPOS PORTAL VEDLIGEHOLD PORTAL-FORSIDE KUNDEVEJLDNING DECEMBER 2013 E Epos Portal - Vedligehold Portal-forside Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 2 1.1 Menupunktet "Vedligehold portal-forsiden"... 2 2

Læs mere

Loginvejledning, tips og hjælp

Loginvejledning, tips og hjælp Loginvejledning, tips og hjælp Denne vejledning er en hjælp til dig, der skal søge ind på IT-Universitetets kandidatuddannelser. Ansøgning om optagelse gennemføres digitalt i ansøgningssystemet STADS-DANS.

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet

Når mor eller far er ulykkesskadet. når mor eller far er ulykkesskadet Når mor eller far er ulykkesskadet når mor eller far er ulykkesskadet 2 Til mor og far Denne brochure er til børn mellem 6 og 10 år, som har en forælder, der er ulykkesskadet. Kan dit barn læse, kan det

Læs mere

Dokumentation. Udbyder : sms1919.dk Service : sms-dialog Version : v1.01

Dokumentation. Udbyder : sms1919.dk Service : sms-dialog Version : v1.01 Dokumentation Udbyder : sms1919.dk Service : sms-dialog Version : v1.01 Indholdsfortegnelse Versionshistorik... 3 Konceptet... 4 Oprettelse af konto... 5 Via sms1919.dk... 5 E-mailinterface... 5 Redigering

Læs mere

Sundhedskartellets guidelines for fleksjobberes løn- og ansættelsesvilkår.

Sundhedskartellets guidelines for fleksjobberes løn- og ansættelsesvilkår. Sundhedskartellets guidelines for fleksjobberes løn- og ansættelsesvilkår. Nye regler for fleksjobbere pr. 1. januar 2013 Lov om en aktiv beskæftigelsesindsats, som gennemfører fleksjobreformen, er vedtaget

Læs mere

Rekvirent Opret en rekvisition

Rekvirent Opret en rekvisition Rekvirent Opret en rekvisition Versionsnummer Dato Forfatter Kommentarer 0.9 12.01.2010 KTH www.progratorgatetrade.com/indfak V.0.9 1. Login... 3 1.3 Personlige forside... 3 2. Opret ny rekvisition...

Læs mere

En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic:

En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic: Kapitel 2 Argumenter Jeg er ked af at sige det, men det fag, jeg brød mig mindst om var matematik. Jeg har tænkt over det. Jeg tror grunden er, at matematik ikke efterlader noget at diskutere. Hvis du

Læs mere

Livsstilscafe Brevforslag

Livsstilscafe Brevforslag LIVSSTILSCAFE BREVFORSLAG Deltager Henviser Egen læge Livsstilscafe Brevforslag Deltagerbrev 1 Afklarende samtale Invitation til samtale Afklarende samtale i Deltagerbrev 2 Kursusstart Kursusindkaldelse

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø og stress blandt medlemmerne af FOA

Psykisk arbejdsmiljø og stress blandt medlemmerne af FOA Psykisk arbejdsmiljø og stress blandt medlemmerne af FOA November 2006 2 Medlemsundersøgelse om psykisk arbejdsmiljø og stress FOA Fag og Arbejde har i perioden 1.-6. november 2006 gennemført en medlemsundersøgelse

Læs mere

Transskription af fokusgruppeinterview på Brårup Skole, Skive

Transskription af fokusgruppeinterview på Brårup Skole, Skive Bilag 4: Transskription af fokusgruppeinterview på Brårup Skole, Skive Tidspunkt for interview: Torsdag 19/3-2015, kl. 9.15. Interviewede: Respondent A (RA): 14-årig pige, 8. klasse. Respondent B (RB):

Læs mere