En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic:

Transkript

1 Kapitel 2 Argumenter Jeg er ked af at sige det, men det fag, jeg brød mig mindst om var matematik. Jeg har tænkt over det. Jeg tror grunden er, at matematik ikke efterlader noget at diskutere. Hvis du lavede en fejl, så var det ligesom det. Malcolm X En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic: Definition 6. Argument: Et argument er en forbundet serie af udsagn, der sigter mod at etablere et bestemt udsagn. Sande eller falske udsagn er ikke i sig selv argumenter, de er blot påstande. Påstande kan imidlertid ofte retfærdiggøres, og at tilvejebringe et argument er blot at fremføre en serie forbundne udsagn, der repræsenterer et forsøg på at retfærdiggøre den pågældende påstand. Det centrale spørgsmål er, hvad der skal til for, at samtalepartneren accepterer påstanden, eller rettere, hvilken retfærdiggørende styrke der skal

2 36 tal en tanke til for, at ens opponent overbevises om, at det, der påstås, er sandt snarere end falsk. Den bedste form for retfærdiggørelse ville være at demonstrere, at opponenten er tvunget til at acceptere påstanden, for i modsat fald ville hun modsige sig selv. Det betyder, at påstanden følger fra en række præmisser på en sådan måde, at hvis præmisserne er sande, så må konklusionen også være sand. Hvis samtalepartneren ikke anerkender eller erkender denne sammenhæng, så kan vedkommende kun pryde sig selv med en selvmodsigelse. Denne sammenhæng mellem præmisser og konklusion er essensen af, hvad et gyldigt argument er. Andre begrundelser, der kan tjene til at overbevise nogen om et standpunkt, kan være tvang, frygt, medfølelse, den offentlige opinion, osv. Tvang og trusler kan være meget effektive virkemidler til at få folk til acceptere et synspunkt, men det har meget lidt med sandhed og gyldighed at gøre. At blive overbevist på grund af udsagnenes indbyrdes sandhed i et argument er logisk nok; at blive overbevist på grund af noget andet, er netop noget helt andet. 2.1 Argumentskemaer Som brugere (og misbrugere) af tanke og tale er vi i stand til at foretage logiske slutninger og genkende sådanne slutninger: 1. Hvis amerikanerne fortsætter deres militære engagement overalt i verden, så går USA på et tidspunkt fallit.

3 Kapitel 2 Argumenter USA går ikke fallit på et tidspunkt. 3. Derfor: Amerikanerne fortsætter ikke deres militære engagement overalt i verden. Udsagn 1 og 2 kaldes præmisser, mens udsagn 3 kaldes konklusionen. Udtrykket derfor, som fremover vil blive forkortet med symbolet \, indikerer, at der består en bestemt relation mellem præmisserne og konklusionen på en sådan måde, at accepterer man præmisserne, så er man tvunget til at acceptere konklusionen. Andre ord end derfor kan også passende anvendes til at indikere dette forhold; ord som altså, herfor, dermed, således osv. Argumentet ovenfor er tvingende nødvendigt eller logisk gyldigt. Man kan således ikke uden at modsige sig selv hævde sandheden af 1 og 2, men samtidig benægte sandheden af 3. Endvidere afhænger gyldigheden udelukkende af de småord, som er understreget. Udskifter man udsagnene om USAs engagement rundt om i verden og muligheden for at gå fallit med andre ord, men bevarer småorderne, så er resultatet en ny gyldig slutning, som har samme form, men et andet indhold: 1. Hvis integrationen i Danmark fungerer, så accepteres kulturelle forskelle. 2. Kulturelle forskelle accepteres ikke. 3. \ Integrationen i Danmark fungerer ikke. Den logiske gyldighed af slutningerne afhænger helt og aldeles af argumenternes form og ikke deres indhold, og den logiske form bestemmes ene og alene af småordene hvis,

4 38 tal en tanke så og ikke. De to slutninger ovenfor er instanser af følgende argumentskema: 1. Hvis A, så B. 2. Ikke B. 3. \Ikke A. For passende valg af A og B dukker de to slutninger ovenfor op igen. Et vilkårligt gyldigt argument kan således karakteriseres som instans af et logisk gyldigt argumentskema, og det er generelt en af logikkens opgaver at afdække, hvilke argumentskemaer der er gyldige. Her er et andet argument, som umiddelbart anerkendes som gyldigt: 1. Hvis du tegner en karikatur af Muhammed, så fornærmer du den muslimske verden. 2. Du er i færd med at tegne en karikatur af Muhammed. 3. \Du fornærmer den muslimske verden. Argumentet er instans af et andet argumentskema: 1. Hvis A, så B. 2. A. 3. \B. Småordene hvis, så og ikke spiller en vigtig rolle i at afdække argumenters logiske form, men det gør småordene og henholdsvis eller også:

5 Kapitel 2 Argumenter Muhammed tegningerne er udtryk for dårlig smag, eller også er Muhammed tegningerne udtryk for ytringsfriheden. 2. Muhammed tegningerne er ikke udtryk for ytringsfriheden. 3. \Muhammed tegningerne er udtryk for dårlig smag. Denne gyldige slutning er instans af argumentskemaet: 1. A eller B. 2. Ikke B. 3. \A. Det spejlvendte er naturligvis også tilfældet: 1. Muhammed tegningerne er udtryk for dårlig smag, eller også er Muhammed tegningerne udtryk for ytringsfriheden. 2. Muhammedtegningerne er ikke udtryk for dårlig smag. 3. \Muhammedtegningerne er udtryk for ytringsfriheden. Man har i sagens natur lov til at være uenig i argumentet om karikaturtegninger og fornærmelse af en profet, men man kan ikke være uenig i konklusionen, hvis man accepterer præmisserne. Det kan man selvfølgelig godt, men prisen man betaler er høj, eftersom man reducerer sig selv til en, der modsiger sig selv. For at komme nogen vegne med uenig

6 40 tal en tanke heden skal man vise, at en eller flere af præmisserne i et givent argument er falske. Når folk er uenige, men anerkender styrken af logisk gyldige argumenter, drejer uenigheden sig typisk om, hvorvidt præmisserne (kontingente udsagn) faktisk er sande. Et argument kan således være gyldigt, men ikke samtidig holdbart forstået på den måde, at præmisserne ikke faktisk er sande. Et godt argument er et, der nyder begge egenskaber gyldighed og holdbarhed. Det er i øvrigt afgørende i ovenstående eksempel, at det eller, der er tale om, er logikkens eller, der betyder enten den ene eller den anden eller både og. Det kaldes også det inklusive eller, mens det enten eller, vi også kender fra dagligsproget ( enten den ene eller den anden, men ikke både og ), kaldes det eksklusive eller. Betragt instansen af følgende argumentskema: 1. Det er ikke tilfældet, at Muhammed tegningerne er både udtryk for dårlig smag, og at Muhammed tegningerne er udtryk for ytringsfriheden. 2. Muhammed tegningerne er udtryk for dårlig smag. 3. \Muhammed tegningerne er ikke udtryk for ytringsfriheden. Argumentet kan gengives i følgende skema: 1. Ikke (A og B). 2. A. 3. \Ikke B.

7 Kapitel 2 Argumenter 41 Udsagn, der er konstrueret ved hjælp af hvis, så kaldes materielle implikationer, siden der er andre slags implikationer end den materielle i det naturlige sprog. Et andet ord opnår man, hvis man lader den materielle implikation gå begge veje; hvis A, så B og hvis B, så A, altså A, hvis, og kun hvis B og udsagn, der er opbygget ved hjælp af denne dobbelt implikation, kaldes bi implikationer. Udsagn, som er opbygget ved hjælp af ikke, og samt eller kaldes henholdsvis for negationer (at benægte), konjunktioner (at sætte sammen), disjunktioner (at tage fra hinanden). De understregede småord kaldes logiske konnektiver, og følgende symbolske forkortelser introduceres for dem: for hvis, så (implikation) for hvis, og kun hvis, (bi implikation) for ikke (negation) for og (konjunktion) for eller (disjunktion) Dette begyndende system af udsagn kaldes det udsagnslogiske sprog, eftersom vi formaliserer hele udsagn eller propositioner (propositioner betyder udsagn, der er sande eller falske; deklarative udsagn) i stedet for de ord, der opbygger udsagnene. Med denne nye mængde af symboler kan de forskellige argumentskemaer udtrykkes på kompakt vis: 1. Hvis A, så B. 2. Ikke B. 3. \Ikke A.

8 42 tal en tanke bliver til 1. A B. 2. B. (Modus Tollens) 3. \ A. Dette argumentskema kaldes på latin Modus (Tollendo) Tollens og er altid et gyldigt argumentskema, ligegyldigt hvad A og B så i øvrigt måtte referere til. At sige, at Modus Tollens altid er en logisk gyldig slutning, er noget af en påstand. Det kræver et bevis: Så lad nu [A] stå for mængden af alle de situationer, der gør udsagnet A sandt, og lad [B] referere til mængden af alle de situationer, der gør udsagnet B sandt. Præmissen A B siger, at hvis A er sand, så er B også sand. Det betyder igen, at alle de situationer, der gør A sand, også gør B sand, hvorfor mængden [A] må være indeholdt i mængden [B], eller at [A] er en delmængde af [B]. Den anden præmis siger, at B er tilfældet, men hvis [A] er indeholdt i [B], som den første præmis foreskriver, så kan den aktuelle situation (markeret med i figur 2.1) ikke være element i [B]. Den aktuelle situation kan så heller ikke være i [A], da [A] er en delmængde af [B], hvilket præcis er, hvad konklusionen siger, og hvad figur 2.1 illustrerer.

9 Kapitel 2 Argumenter 43 [A] [B] Aktuel situation Figur 2.1. Modus (Tollendo) Tollens På tilsvarende vis kan 1. Hvis A, så B. 2. A. 3. \B. gengives som 1. A B 2. A. (Modus Ponens) 3. \B. Dette altid gyldige argumentskema kaldes Modus (Ponendo) Ponens. Igen, lad [A] stå for mængden af alle de situationer, der gør udsagnet A sandt, og lad [B] referere til mængden af alle de situationer, der gør udsagnet B sandt. Den første præmis A B siger, igen som før, at [A] er en delmængde af [B], og den anden præmis siger nu, at A er tilfældet, eller sagt

10 44 tal en tanke på en anden måde, at den aktuelle situation er element i [A]. Da [A] er en delmængde af [B], og den aktuelle situation ligger i [A], så må den også ligge i [B], hvilket præcis er, hvad konklusionen hævder, og som det fremgår af figur 2.2. [A] Aktuel situation [B] Figur 2.2. Modus (Ponendo) Ponens Det tredie argumentskema 1. A eller B. 2. Ikke B. 3. \A. kan kort skrives som 1. A B. 2. B. (Modus Tollendo Ponens) 3. \A. og kaldes Modus Tollendo Ponens. Den første præmis siger, at A B er tilfældet, hvilket er det samme som at sige, at

11 Kapitel 2 Argumenter 45 enhver situation enten er medlem af [A] eller [B], hvorfor der således ikke er nogen situationer uden for [A] eller [B]. Således indeholder foreningen af [A] og [B] den aktuelle situation. Den anden præmis kundgør nu, at B er tilfældet, hvorfor den aktuelle situation ikke kan være medlem af [B], hvilket så må betyde, at den aktuelle situation ligger i [A], da foreningen af [A] og [B] udtømmer alle mulige situationer. Det er netop, hvad konklusionen og figur 2.3 siger. [A] [B] Aktuel situation Figur 2.3. Modus (Tollendo) Ponens Det sidste argumentskema 1. Ikke (A og B). 2. A. 3. \Ikke B. kan formaliseres som

12 46 tal en tanke 1. (A B). 2. A. (Modus Ponendo Tollens) 3. \ B. og betegnes Modus Ponendo Tollens. Den første præmis siger, at der ikke findes nogen situation, der gør både A og B sande. Det betyder, at fællesmængden mellem [A] og [B] er tom og således ikke indeholder nogen situationer, ej heller den aktuelle. Når præmis 2 nu hævder, at den aktuelle situation ligger i [A], så kan den ikke ligge i [B], hvilket igen er, hvad konklusionen påstår, og figur 2.4 demonstrerer. [A] [B] Aktuel situation Figur 2.4. Modus (Ponendo) Tollens Det er praktisk at vide, hvor den logiske materielle implikation adskiller sig fra mange dagligsproglige implikationer. Den materielle implikation A B er logisk set fuldstændig det samme som A B. Udsagnet Hvis det lyner, tordner det er nøjagtig det samme som at hævde Enten lyner det ikke, eller også tordner det. Det vil sige to let uventede ting. Dels at implikationen ikke har noget med en årsag fra A til B

13 Kapitel 2 Argumenter 47 at gøre, som vi ellers ofte forventer. Og dels at implikationen kan være sand, hvis A er falsk, hvilket vi heller ikke ofte regner med i almindelig hverdagsræsonneren (det virker mærkeligt, at Hvis det lyner, tordner det kan bekræftes af tilfælde, hvor det ikke lyner). Begge dele har at gøre med, at den materielle implikation er rent logisk og ikke fragter yderligere antagelser med om årsager og deres adfærd, som vi ofte tilføjer i aktuelle argumenter (se nedenfor om den materielle implikations sandhedstabel). 2.2 Syntaks og semantik Udsagn, der ikke indeholder logiske konnektiver, kaldes atomiske udsagn. Udsagnene A og B i eksemplerne for argumentskemaerne ovenfor er atomiske udsagn. Komplekse udsagn konstrueres ved at tage udgangspunkt i de atomiske udsagn og så forbinde dem ved hjælp af de logiske konnektiver i overensstemmelse med visse syntaktiske regler. En syntaks specificerer indledningsvis, hvad sprogets alfabet er: En mængde af udsagnslogiske symboler p 1, p 2, p 3,, der står for atomiske udsagn. Parenteser (, ). De logiske konnektiver,,,,. En grammatik for ethvert sprog kræver nogle syntaktiske regler, der specificerer, hvad man forstår ved velformede (og meningsfulde) udsagn. Det gælder også for det udsagnslogiske sprog:

14 48 tal en tanke Hvis A er et udsagnslogisk symbol, er A et velformet udsagn. Hvis A er et velformet udsagn, er A også et velformet udsagn. Hvis A og B er velformede udsagn, er (A B), (A B), (A B) og (A B) også velformede udsagn. Udsagnet ((A B) A) B (2.5) er eksempelvis et velformet udsagn, mens ( AB ( ) B A), (2.6) (selvom det indeholder de samme symboler og det samme antal parenteser) ikke er velformet i overensstemmelse med de syntaktiske regler præciseret ovenfor. Bemærk, at parenteserne anvendes til at specificere rækkevidden af de logiske konnektiver, der forekommer i (2.5), og parenteserne gør således udsagnet entydigt. Konjunktionen har den mindste rækkevidde i (2.5), da den kun strækker sig over (A B), mens implikationen har en større rækkevidde, der dækker (A B) A, og bi implikationen har den største rækkevidde og kaldes hovedkonnektivet, der dækker over hele udsagnet (2.5). Hele udsagnet er sandt, hvis, og kun hvis, hovedkonnektivet er sandt. Rækkevidden af logiske konnektiver er en vigtig faktor i bestemmelsen af den logiske form af de udsagn, i hvilke konnektiverne optræder.

15 Kapitel 2 Argumenter 49 Enhver logisk korrekt slutning eller ethvert gyldigt argument er afhængige af en mængde af situationer, i hvilke udsagnene, der figurerer i slutningen eller argumentet, er sande eller falske. At specificere de situationer i hvilke givne udsagn er sande eller falske, og således give en model for tilskrivningen af sandhedsværdier, kaldes at give en semantik. Gyldigheden af et argumentskema var tæt knyttet til måden, hvorpå udsagnene som argumentet bestod af, var opbygget af de atomiske udsagn og de logiske konnektiver og således af udsagnenes logiske form. At afdække den logiske form er det samme som at specificere sandhedsbetingelserne for de givne udsagn (af interesse). I logikken er man generelt interesseret i at afdække, hvorvidt det er logisk korrekt at slutte fra en række præmisser A 1, A 2,, A n til en konklusion K, hvor A erne og K et er udsagn formuleret i det udsagnslogiske sprog (eller udvidelser af dette sprog, hvorom der er mange2). Logisk konsekvens eller gyldig slutning er nøglebegreber i logikken. Følgende definition af gyldighed er den vigtigste definition i forståelsen af tanke såvel som tale: 3 Definition 7. Gyldighed. At K følger af præmisserne A 1, A 2, A n betyder, at K s sandhed er en konsekvens af præmissernes sandhed. Eller sagt på en anden måde, det er umuligt at have en situation, hvor alle præmisserne A 1, A 2,, A n er sande, men konklusionen K falsk. Når konklusionen K følger af præmisserne A 1, A 2,, A n i overensstemmelse med definition 7, så skriver vi

16 50 tal en tanke A 1, A 2,, A n = K. (2.7) Symbolet = kaldes den semantiske følgerelation og (2.7) kaldes en semantisk følge eller blot følge. Symbolet = kan læses som, at sandheden af præmisserne gør, at konklusionens sandhed følger. Når konklusionen K ikke følger af præmisserne A 1, A 2,, A n skrives. Hvis man skal vise, at en konklusionen K følger af præmisserne A 1, A 2, A n, skal man demonstrere, at ligegyldigt hvordan sandheden af de involverede udsagn varierer, vil konklusionen altid være sand, når præmisserne er sande. På tilsvarende vis kan man også vise, at et argument er ugyldigt, hvis man kan finde en situation, hvor alle præmisserne er sande, men konklusionen falsk. I overensstemmelse med bivalensprincippet fra kapitel 1 antages det, at ethvert udsagn af interesse indtil videre er sandt eller falsk, og vi indfører symbolerne s for sandt og f for falsk. Et andet princip om kompositionalitet gælder også: Definition 8. Kompositionalitetsprincippet. Sandhedsværdien af et komplekst udsagn A i en situation bestemmes entydigt af sandhedsværdierne af de udsagn, som A er opbygget af ved anvendelse af de logiske konnektiver. Således er et vilkårligt udsagn A enten sandt eller falsk i den aktuelle situation, og hvis A er et kompleks udsagn, er dets sandhedsværdi bestemt af dets deludsagn og den sandhedsfunktionelle opførsel af de logiske konnektiver i den aktuelle situation. Voila! Så passer det hele sammen, principper, definitioner osv.

17 Kapitel 2 Argumenter 51 Den sandhedsfunktionelle opførsel givet af sandheds betingelserne for negationen A kan opstilles i følgende sandhedstabel (hvor s står for sand, f for falsk, og tabellen anvendes til at finde, under hvilke forhold udsagnet længst til højre er hhv. s og f): Negation A A s f f s Negationen, A, for et vilkårligt udsagn A, er sand, når A er falsk, og falsk, når som helst A er sand. Konjunktionen og disjunktionen har følgende sandhedstabeller: Konjunktion A B A B s s s s f f f s f f f f En konjunktion er kun sand i den situation, hvor begge konjunkter, A, B, er sande, ellers falsk.

18 52 tal en tanke Disjunktion A B A B s s s s f s f s s f f f Den beskrevne disjunktion er inklusiv. Den er sand i alle situationer bortset fra den, i hvilken begge disjunkter, A, B, er falske. Den naturlige brug af eller forstås ofte på denne måde. Når man eksempelvis spørger Milton og Dagmar på 6 år, om de vil have is eller kage til dessert, så er det overvejende sandsynligt, at de blot enstemmige vil svare med et simpelt ja! Deres strategi er nemlig at forstå eller som inklusivt, hvilket åbner muligheden for, at man både kan kan få is og kage til dessert. Hensigten med spørgsmålet er dog en anden; nemlig, at de enten kan få is eller kage og ikke både/og. Hvis disjunktionen opfattes på denne måde, kaldes den eksklusiv, eftersom den smækker døren i for den situation, i hvilken disjunktionen er sand, når begge disjunkter er sande. Det eksklusive eller, der skrives som eller XOR har andre sandhedsfunktionelle egenskaber og således en anden sandhedstabel end det inklusive eller. På den anden side er det muligt at definere det eksklusive eller i lyset af de logiske konnektiver, vi allerede har, så der er ingen grund til at eksplicit introducere det, som vi skal se om et øjeblik.

19 Kapitel 2 Argumenter 53 Den materielle implikation har følgende sandhedstabel: Materiel implikation A B A B s s s s f f f s s f f s Den eneste situation, i hvilken den materielle implikation er falsk, er den, i hvilken antecedenten A er sand, men konsekventen B falsk. Det giver god mening, for Hvis Bjarke spiser arsenik, så dør han, (2.8) er oplagt nok falsk, hvis Bjarke faktisk spiser arsenik, men ikke dør af giftindtaget. At spise arsenik er en tilstrækkelig betingelse for at dø. På den anden side er det ikke umiddelbart klart, at Hvis Pia Kjærsgaard er en amøbe, så har hun en IQ på 250, (2.9) er sand. Det er falsk, at Pia Kjærgaard er en encellet organisme, og det er antageligvis også falsk, at hun har en IQ på 250, og selv hvis hun havde haft en IQ på 250, men stadig

20 54 tal en tanke ikke er en amøbe, ville den materielle implikation være sand alligevel! Det er op til diskussion, hvorvidt de sidste to rækker af sandhedstabellen for den materielle implikation er korrekte gengivelser af det naturlige sprogs implikation. For det første er der hertil at sige, at det naturlige sprog har mange former for implikationer, og det er ydermere derfor, at den, der her arbejdes med, kaldes den materielle implikation. For det andet forholder det sig faktisk således, at i mange henseender er den materielle implikation en passende formel oversættelse af forskellige natursproglige implikationer. Der er også en mængde formelle logiske grunde til, at den materielle implikation ser ud, som den gør, men det må vi gemme til en regnvejrsdag. Bi implikationen er sand i den situation, hvor A og B begge er sande, og i den situation hvor de begge er falske A og B er således nødvendige og tilstrækkelige betingelser for hinanden: Bi implikation A B A B s s s s f f f s f f f s Det blev tidligere nævnt, at man kan definere den eksklusive disjunktion ved at anvende de allerede introducerede

21 Kapitel 2 Argumenter 55 konnektiver. Det er også tilfældet for A B og (A B) har samme sandhedstabel: A B A B (A B) A B s s s f f s f f s s f s f s s f f s f f Negationen af bi implikationen beskriver nøjagtigt den forventelige sandhedsfunktionelle opførsel af det eksklusive eller. To udsagn A og B kaldes logisk ækvivalente, når de har den samme sandhedstabel og således udviser den samme sandhedsfunktionelle opførsel. Logisk ækvivalente udsagn A og B skrives som og der gælder således, at A B (2.10) (A B) A B. Et andet sæt af logiske ækvivalente udsagn er den materielle implikation A B og dens kontrapositive version B A, hvilket en sandhedstabel atter forvisser os om:

22 56 tal en tanke A B A B B A s s f f s s f f s f f s s f s f f s s s Det naturlige sprog er rigt på konnektiver og foruden dem, der allerede har været genstand for undersøgelse, kunne man som et lille udsnit nævne: A men B. A dog B. A medmindre B. B kun hvis A. A forudsat B. A på trods af B. A for så vidt B. Mange af disse kan formaliseres ved at anvende de logiske konnektiver fra det udsagnslogiske sprog, eftersom deres natursproglige semantik er tilstrækkelig tæt på den formelle semantik (idet der dog samtidig kan gå nogle betydningsnuancer tabt, eksempelvis at A men B implicerer en eller anden grad af modsætning mellem A og B):

23 Kapitel 2 Argumenter 57 A men B A dog B A medmindre B B kun hvis A A forudsat B A på trods af B A for så vidt B A B A B B A B A B A B A B A 2.2 Retur til udsagn Lad os vende tilbage til de tre udsagnstyper fra kapitel 1 og overveje følgende udsagn og deres sandhedstilskrivning i henhold til sandhedstabellerne for konnektiverne,,, : 1. A A A A A A s f f f s f 2. A A A A A A s f s f s s

24 58 tal en tanke 3. A A A A A A s f f f s s Af de tre tabeller kan det aflæses, at udsagn af formen 1. A A altid er falsk. 2. A A altid er sandt. 3. A A i nogle situationer er sandt og i nogle falsk. Sandhedstabellerne er således en procedure til at undersøge, hvorvidt et vilkårligt udsagn er en kontradiktion, tautologi eller et kontingent udsagn, fordi: 1. Et udsagn er en kontradiktion, hvis den sidste kolonne i dets sandhedstabel udelukkende består af f er. 2. Et udsagn er en tautologi, hvis den sidste kolonne i dets sandhedstabel udelukkende består af s er. 3. Et udsagn er et kontingent udsagn, hvis den sidste kolonne i dets sandhedstabel udelukkende består af både s er og f er. Og det bliver bedre endnu: Sandhedstabeller kan bruges som en procedure til at undersøge, hvorvidt et hvilket som helst argument, der kan formuleres i det udsagnslogiske sprog, er gyldigt i overensstemmelse med definition 7. Gå til næste kapitel og se, hvordan det udfolder sig.