ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

Transkript

1 ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges ved forstået som ( H ) elemeter i H. N H P, hvor U NU atal gstige P ( H ), atal mlige N beteger atal elemeter i U og N H atal Det er altså e grdlæggede fordsætig for at ke brge dee metode, at vi ka tælle, altså bestemme atallet af elemeter i e give mægde. Vi skal se på et par værktøjer til brg herfor. Referece: GDS, s Eksempel ordig Fire elever: Axel, Bodil, Clas og Doro skal holde et foredrag om et projektarbejde, som de har lavet i fællesskab. De har darbejdet fire kapitler og skal fordele dem, så hver af dem skal foredrage et af kapitlere. De ees i første omgag om e fordelig, der skematisk ka beskrives: kap. 1 kap. 2 kap. 3 kap. 4 Clas Bodil Doro Axel eller kort: CBDA. Axel er imidlertid tilfreds med fordelige og de fire begyder at disktere om de ke fide e ade fordelig. Lad os prøve at få et overblik over, hvormage forskellige mligheder, der overhovedet fides. Vi fastlægger e fordelig af kapitlere ved at abrige de fire bogstaver A, B, C og D i e rækkefølge. Når vi skal vælge det første bogstav har vi 4 mligheder: A, B, C eller D. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 1

2 Uaset hvilke af de 4 mligheder, vi har valgt, har vi, år vi skal vælge det adet bogstav, 3 mligheder: A, B, C eller D, me selvfølgelig bortset fra det bogstav, vi har valgt som det første. I alt har vi altså mligheder for at vælge e rækkefølge af de to første bogstaver. Uaset hvilke af de 12 mligheder, vi har valgt, har vi, år vi skal vælge det tredje bostav 2 mligheder: A, B, C eller D, me selvfølgelig bortset fra de 2 bogstaver, vi har valgt som de 2 første. I alt har vi altså mligheder for at vælge e rækkefølge af de tre første bogstaver. Uaset hvilke af de 24 mligheder, vi har valgt, har vi, år vi skal vælge de fjerde bogstav 1 mlighed: A, B, C eller D, me selvfølgelig bortset fra de 3 bogstaver, vi har valgt som de 3 første. I alt har vi altså mligheder for at vælge e rækkefølge af de fire bogstaver. FAULTET DEFINTION for! , 0! 1 N gælder: ( ) eller alterativt: DEFINTION for N gælder: 0! 1 og! ( 1)! oklsioe er altså, at de fire bogstaver A, B, C og D ka ordes i e rækkefølge på 4! forskellige måder. Eller, at de fire elever ka fordele deres kapitler på 4! forskellige måder. Øvelse 1 Skriv de 24 mligheder i eksemplet ovefor op i otatioe CBDA. -mægde, m-delmægde af e -mægde DEFINITION for, m N vil vi ved e -mægde forstå e mægde med elemeter og ved e m -delmægde af e -mægde forstå e delmægde med m elemeter af e mægde med elemeter. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 2

3 SÆTNING 1 Elemetere i e -mægde ka ordes (opstilles i e rækkefølge) på! forskellige måder. Bevis Som i eksemplet ovefor skal vi for at fastlægge e rækkefølge dfylde et skema med positioer ved at placere præcist et af mægdes elemeter i hver af positioere. Hvis vi kalder elemeter for 1, 2, 3,..., 1,, ke e såda rækkefølge f.eks. være (her fordsætter vi kort 8 ): pos. 1 pos. 2 pos. 3 pos. 2 pos. 1 pos Med e argmetatio som i eksemplet har vi i alt følgede atal mligheder for at dfylde skemaet: pos. 1 pos. 2 pos. 3 pos. 2 pos. 1 pos. ( 1) ( 2) Altså ( 1) ( 2) ! forskellige rækkefølger. Permtatio DEFINITION ved e permtatio af e edelig mægde forstår vi e opstillig af mægdes elemeter i e eller ade rækkefølge. Med dette begreb ka vi y-formlere sætig 1: SÆTNING 1* Atallet af permtatioer af e -mægde er! Øvelse 2 13 elever i e klasse skal til e prøve placeres i et lokale med 13 borde. På hvor mage forskellige måder ka elevere placeres? ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 3

4 Øvelse elever på e skole skal til e kocert placeres på stole. På hvor mage forskellige måder ka elevere placeres? Eksempel ordet dvalg 13 elever i e klasse skal vælge et klasseråd, beståede af e formad, e æstformad, e kasserer og e protokolfører. Vi øsker et overblik over, på hvormage forskellige måder et sådat klasseråd ka sammesættes. Med de fire forskellige fktioer i rådet er et råd beståede af formad Axel, æstformad Bodil, kasserer Clas og protokolfører Doro altså et aderledes sammesat klasseråd ed et klasseråd beståede af formad Bodil, æstformad Axel, kasserer Clas og protokolfører Doro. Vi har 13 forskellige mligheder for at vælge e formad. Uaset hvilke af disse vi vælger, har vi forskellige mligheder for at vælge e æstformad (da de valgte formad ikke samtidig ka være æstformad). Vi har altså forskellige mligheder for at vælge e formad og æstformad. Uaset hvilke af disse vi vælger, har vi mligheder for at vælge e kasserer. Vi har altså forskellige mligheder for at vælge e formad, æstformad og kasserer. Uaset hvilke af disse vi vælger, har vi forskellige mligheder for at vælge e protokolfører. Vi har altså forskellige mligheder for at sammesætte et klasseråd ! Læg mærke til, at ! ordet -delmægde, -permtatio, P, DEFINITION Hvis vi dtager e -delmægde af e -mægde og stiller delmægdes elemeter i rækkefølge, siger vi, at vi har dtaget e ordet -delmægde eller med et adet ord at vi har dtaget e -permtatio. Atallet af ordede -delmægder af e -mægde eller med det adet ord atallet af -permtatioer af e - mægde skriver vi med symbolet P,. I eksemplet ovefor har vi med dee otatio altså fdet, at P ,4 ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 4

5 Sætig 2 Atallet af ordede -delmægder (atallet af -permtatioer) af e -mægde er! P,. ( )! Bevis Med overvejelser som ovefor i eksemplet må der gælde ( 1) ( 2) ( 3)... ( 1) ( 1) ( 2) ( 3)... ( ( 1) ) ( 1) ( 2) ( 3)... ( ( 1) ) ( ) ( ( + 1) ) ! ( ) ( ( + 1) ) ( )! P, + Øvelse 4 9 elever på et hold skal til e prøve placeres i et lokale med 9 borde. På hvor mage forskellige måder ka elevere placeres? Øvelse 5 9 elever på et hold skal til e prøve placeres i et lokale med 13 borde. På hvor mage forskellige måder ka elevere placeres? Eksempel ikke-ordet dvalg 13 elever i e klasse skal vælge et klasseråd, beståede af e formad, e æstformad, e kasserer og e protokolfører. I stedet for som beskrevet ovefor at lade klasse direkte vælge e formad, e æstformad, e kasserer og e protokolfører, besltter klasse sig for blot at vælge de 4 elever, der skal dgøre klasserådet og som så idbyrdes må blive eige om at fordele de 4 poster. Vi øsker et overblik over, hvormage forskellige kombiatioer af 4 elever, klasse ka vælge. Lad os kalde dette atal N. Uaset hvilke af de N mligheder vi ser på, har de 4 valgte elever jf. sætig 1* 4! 24 atal mligheder for at fordele postere mellem sig. Fra før ved vi, at der samlet er P mligheder for idefor klasse at 13, 4 fordele de 4 poster. P13, Der må altså gælde: P 13, 4 N 4! N 715. lasse ka 4! 24 altså på 715 forskellige måder vælge e (ikke-ordet) kombiatio af 4 elever til klasserådet. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 5

6 ikke ordet -delmægde, -kombiatio, DEFINITION, Hvis vi dtager e -delmægde af e -mægde (og ikke iteresserer os for rækkefølge af disse elemeter), siger vi, at vi har dtaget e ikke-ordet -delmægde eller med et adet ord at vi har dtaget e -kombiatio. Atallet af ikke-ordede -delmægder af e -mægde eller med det adet ord atallet af -kombiatioer af e -mægde skriver vi med symbolet symbolet., eller med Det sidste symbol læses over og har ikke oget at gøre med det es-dseede vektorsymbol. Tallee, kaldes biomialkoefficieter. I eksemplet ovefor har vi med dee otatio altså fdet, at 715. Eller 13 alterativt , 4 ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 6

7 Sætig 3 Atallet af ikke-ordede -delmægder af e -mægde er,!.! ( )! Bevis Hvis vores mål er at dtage e ordet -delmægde af e -mægde har vi per! defiitio og jf. sætig 2 P, mligheder. ( )! Alterativt ka vi vælge først at dtage e ikke-ordet -delmægde af e - mægde dette ka per defiitio gøres på, måder og så bagefter orde dee -(del)mægde dette ka jf. sætig 1* gøres på! måder. I alt har vi, hvis vi beytter os af dee alterative fremgagsmåde,! mligheder. De to fremgagsmåder må imidlertid give os samme atal mligheder, altså, P,! P, ( )!!,!,.!!! ( )! Øvelse 6 Bladt 18 elever i e klasse har fortæller lærere 4 elever fået karaktere 1 til e prøve. Hvormage forskellige grpper af karakter 1 -elever i klasse er tækelige? Øvelse 7 Bladt 18 elever i e klasse har fortæller lærere 14 elever fået karakterer mellem 2 og 6 til e prøve. Hvormage forskellige grpper af karakter 2 til 6 -elever i klasse er tækelige? ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 7

8 Sætig 4 Følgede formler for biomialkoefficieter gælder: 1, 0, 1,,, 1, 1 + 1,, 2 0 Øvelse 8 Bevis de tre første formler i sætig 4 Bevis ses på følgede måde:, 1, 1 + 1, Betragt e -mægde, U {,,...,, } 1, 2 3 1, vi skal dtage e -delmægde. Hvis vi specielt kigger på 1, er der to mligheder: ete er 1 med i -delmægde, så skal vi dtage 1 elemeter bladt de resterede 1 elemeter i U det ka gøres på 1, 1 måder, eller også er 1 ikke med i -delmægde, så skal vi dtage elemeter bladt de resterede 1 elemeter i U det ka gøres på 1, måder. Samlet er der altså 1, 1 + 1, forskellige ikke-ordede -delmægder af - mægde, me dette atal er per defitio,. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 8

9 0 0, 2 ses på følgede måde:, er smme af atal mlige -delmægder af e -mægde, hvor varierer fra 0 til. Det vil sige, at det er smme af alle mlige delmægder af vilkårlig størrelse af e -mægde. Me e såda delmægde af vilkårlig størrelse ka fastlægges ved at dfylde et skema som: med ikke-med med ikke-med ikke-med med hvor der er i hver af de ederste felter står med (med betydige elemetet er med i delmægde) eller ikke-med (med betydige elemetet er ikke med i delmægde). Dette skema ka dfyldes på 2 forskellige måder, svarede til, at der eksisterer 2 forskellige delmægder af vilkårlig størrelse. Pascals trekat Af sætig 4 følger Pascals trekat 1 0, ,0 1, 1 2,0 2, 1 2, 2 3,0 3, 1 3, 2 3, 3 4,0 4, 1 4, 2 4, 3 4, Af 1 følger, at værdiere i de to skrå kater i trekate er 1., 0 Af, 1 følger, at værdiere i de to æstyderste skrå kater er lig med rækkemmeret, hvis vi tæller oppefra med række 0, række 1 osv. Af,, følger, at trekate er symmetrisk omkrig e lodret midterakse. Af følger, at hvert tal i det idre af trekate fremkommer som, 1, 1 + 1, smme af de to abotal i række lige oveover. Af 0, 2 følger, at vi får vi tæller oppefra med række 0, række 1 osv. 2, hvis vi lægger tallee i række r. samme, hvis Trekate ka brges til at berege tallee, skridt for skridt. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 9

10 Biomialformle, de biomiske læresætig 2 2 Vi ved fra tidligere (seest fra matematik i 8. klasse), at ( a b) b + 2ab + a 2 +. Geerelt gælder Sætig 5 ( a + b) 0, a b , 0 a b +,1 a b +,2 a b , 1 a b +, a b. Bevis Når ma bereger ( a b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) +... får ma e sm, hvor hvert led fremkommer ved fra hver paretes ete at vælge a eller b og så gage de tal med hiade. Hvert led har altså forme a b, hvor 0. Størrelse a b fremkommer åbebart ved at vælge a fra af de parateser og b fra de resterede af de parateser. Dette ka gøres på, måder og der vil derfor være, led med forme a b. Øvelse 9 Udreg ( a + b) 2, ( a + b) 3 og ( b) 4 a + ved hjælp af sætig 5. ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 10

11 Lommereger TI-83 35! bereges ved [3] [5] [MATH] [PRB] [4:!] [] P 21,8 bereges ved [2] [1] [MATH] [PRB] [2: Pr] [8] [] 47,23 bereges ved [4] [7] [MATH] [PRB] [3: Cr] [2] [3] [] resltat: E40 40 betyder: 1, resltat: mere læseligt: resltat: E13 13 betyder: 1, TI-30 35! bereges ved [3] [5] [PRB] [!] [] P 21,8 bereges ved [2] [1] [PRB] [Pr] [] [8] [] 47,23 bereges ved [4] [7] [PRB] [Cr] [] [2] [3] [] resltat: x betyder: 1, resltat: mere læseligt: resltat: x betyder: 1, ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI 12MAT1 (JL) s. 11