Vands bevægelse i kanaler

Transkript

1 Vands bevægelse i kanaler Væskemængde pr tid Væskemængden pr tid Q i et lukket rør er defineret som det volumen ΔV, der passerer et givet sted i røret i løbet af tidsrummet Δt. Dvs at V Q (1) t Hvis rørets tværsnitsareal på et sted er A 1 og vandets fart er v 1, vil der, som det fremgår af figur 1 gælde at V A1 v1 t. (2) Figur 1. Volumenet, der passerer et givet sted i røret i et givet tidsrum afhænger af vandets fart og rørets tværsnitsareal. Kombineres (1) og (2) får man: Q A v t t 1 1 A1 v1 (3) Hvis væskemængde pr tid er konstant alle steder i røret, svarende til, at der hverken tilføres væske til røret eller fjernes væske samt, at væsken er inkompressibel, således dens densitet er konstant, vil den såkaldte kontinuitetsligning gælde: 1

2 A v A v (4) Denne siger, at det volumen ΔV, der passerer et givet sted i røret i løbet af et tidsrum Δt, vil være den samme, uanset hvilket sted i røret man betragter. Det betyder, at hvis rørets tværsnitsareal vokser, vil vandets fart tilsvarende falde, som det fremgår af figur 2. Fordobles tværsnitsarealet halveres farten osv. Figur 2. Tværsnitsarealet gange vandets fart et givet sted i røret er konstant. Vand i kanaler Kontinuitetsligningen kan også overføres til åbne vandløb og kanaler. Det betyder, at vanddybden i en kanal kan variere, som funktion af vandets hastighed: jo større vandhastighed, des lavere vandstand og omvendt. Hvis kanalens tværsnit er rektangulært med en bredde b, vil vandets tværsnitsareal A være givet ved: A b h, (5) Figur 3. I en rektangulær kanal vil vandets tværsnitsareal afhænge af kanalens bredde samt vandets dybde. hvor h, som det fremgår af figuren, angiver vandets dybde. 2

3 Ifølge kontinuitetsligningen vil der være følgende sammenhæng mellem vandets hastigheder v 1 og v 2 to steder i kanalen og de tilsvarende vanddybder h 1 og h 2 og kanalbredder b 1 og b 2: b1 h1 v1 b2 h2 v2 (6) Hvis det for enkelhedens skyld antages, at kanalens bredde er konstant, kan denne ligning reduceres til følgende: h1 v1 h2 v2 (7) Vanddybden og vandets hastighed er altså omvendt proportionale og en fordobling af vandets hastighed vil således fører til en halvering af vanddybden osv. Figur 4. Ved en konstant kanalbredde vil en fordobling af vandets hastighed medføre en halvering af vanddybden. 3

4 Vandets hastighed i en kanal Vand i en åben kanal bevæger sig frem pga. tyngdekraften. Som følge af friktion mellem vandet og kanalens sider, vil den gennemsnitlige 1 vandhastighed for en given hældning på kanalen være konstant. Hastigheden af vandet vil ifølge Chezys og Bazins formel afhænge af kanalens hældning på følgende måde: v c R S (8) Her angiver v gennemsnitshastigheden, S er kanalhældningen, R er den hydrauliske radius, og c er en konstant, der afhænger af friktionen mellem vand og kanal og dermed kanalens overflade. S er defineret som forholdet mellem det lodrette fald h og den vandrette strækning l og altså givet ved formlen h S. (9) l Figur 5. Kanalens hældning over en given strækning er defineret som forholdet mellem det lodrette fald h og den vandrette strækning l. Den hydrauliske radius R er defineret som forholdet mellem vandets tværsnitsareal A og omkredsen P af den del af kanalen, der er i berøring med vandet og altså givet ved formlen A R (10) P 1 Grunden til, at man taler om gennemsnitlig hastighed er, at vandet ikke bevæger sig lige hurtigt alle steder i et givet tværsnit. Da vandet bremses af gnidningen mod kanalens sider, vil vandet bevæge sig hurtigst midt i kanalen og tæt på vandoverfladen. 4

5 Figur 6. Den hydrauliske radius R er defineret som forholdet mellem A og P Maksimal vandføring i en kanal, hvis oversvømmelse skal undgås Ved at kombinere udtrykket for vandets gennemsnitshastighed v givet ved ligning (8) med udtrykket for væskemængde pr tid Q givet ved ligning (3), får man følgende udtryk: Q A c R S (11) A h b Hvis man betragter en kanal med et rektangulært tværsnit, så A h b og R, får man P 2 h b følgende udtryk for sammenhængen mellem Q og h: hb Q h b c S 2h b (12) I dette udtryk kan h ikke umiddelbart isoleres, og man kan derfor ikke umiddelbart udlede et pænt udtryk for h som funktion af Q. Hvis b, c og S er kendte, kan man dog let, ved hjælp af et CAS-værktøj, beregne h for en given værdi af Q. Dermed kan man altså angive, hvor høj vandstand en given væskemængde pr tid vil give anledning til, og dermed om den vil forårsage oversvømmelser. Omvendt kan man også let beregne, hvilken væskemængde pr tid en given vandstand vil svarer til og dermed, hvilken væskemængde pr tid der vil medfører den maksimalt tilladte vandstand h maks svarende til kanalvæggens højde. Figur 7. Den maksimalt tilladte væskemængde pr tid Q maks, der kan tillades før en oversvømmelse indtræffer, kan beregnes ud fra kanalvæggens højde h maks 5

6 Forsinkelsesbassin En måde at undgå oversvømmelser fra en kanal kan være at anvende et såkaldt forsinkelsesbassin. Pointen med et forsinkelsesbassin er, at lede en del af det vand der strømmer i kanalen til et bassin, hvor det midlertidigt kan opbevares, så længe væskemængde pr tidn i kanalen, fx pga ekstrem nedbør, overstiger det maksimalt tilladte. Når væskemængde pr tidn er tilbage på et normalt niveau, kan vandet ledes tilbage til kanalen igen. Figur 8. En del af vandet i en kanal ledes til et forsinkelsesbassin, og væskemængde pr tid i kanalen sænkes dermed. Hvis forsinkelsesbassinet skal have den ønskede effekt er det selvfølgelig afgørende, at det er dimensioneret på passende vis. For det første er det vigtigt, at vandet ledes mod forsinkelsesbassinet med en væskemængde pr tid, der er så stor, at væskemængde pr tid i kanalen bringes under det kritiske niveau Q maks. Da den væskemængde pr tid er den samme før og efter forgreningen mod forsinkelsesbassinet gælder der at Q1 Q2 Q3. (14) Hvis en oversvømmelse skal forhindres, skal der altså gælde at Q Q (15) 3 maks Kombineres (14) og (15) får man følgende betingelse for Q 2: Q2 Q1 Qmaks (16) 6

7 Den anden ting der er afgørende for forsinkelsesbassinet er, at det har et passende volumen. Hvis vandet som ovenfor ledes mod forsinkelsesbassinet med væskemængde pr tidn Q 2, og det er nødvendigt at foretage denne afledning i et tidsrum t, vil det nødvendige volumen af forsinkelsesbassinet være givet ved Vbassin Q2 t (17) Opgaver. 1. Vand i et lukket rør a. I et lukket cylinderformet rør strømmer der vand. Et givet sted i røret måles det, at der strømmer 10 m 3 forbi på 10 min. Angiv væskemængde pr tid i m 3 /s. b. I et lukket cylinderformet rør strømmer der vand. Vandet har et givet sted i røret en fart på 2,0 m/s og rørets radius på dette sted er 50 cm. Beregn væskemængde pr tiden Q. c. På et andet sted i røret, er diameteren 30 cm. Beregn vandets fart dette sted. 2. Vand i en kanal a. I en vandførende kanal er vanddybden et bestemt sted 1,0 m. Kanalen er rektangulær og har bredden 3,0 m. Vandets gennemsnitshastighed måles til 1,5 m/s. Beregn den hydrauliske radius R samt væskemængde pr tiden Q. b. Beregn vandets gennemsnitshastighed hvis vanddybden er 0,5 m, kanalhældningen er 0,01 og c-værdien er 100. c. Beregn den maksimalt tilladte væskemængde pr tid for denne kanal (dvs før kanalens vand løber ud på terrænet), hvis kanalvæggen er 2 m høj. Husk at den hydrauliske radius ændrer sig, når vanddybden vokser. d. I forbindelse med et kraftigt regnvejr forventes væskemængde pr ti i kanalen at vokse til 10 procent over det maksimalt tilladte niveau. Den forøgede vandstand forventes, at varer i seks timer. Hvor meget vand vil nå at flyde ud på det omkringliggende terræn? e. Hvor stort et areal vil blive oversvømmet, hvis vandet fordeles over terrænet med en dybde på 20 cm? 3. Forsinkelsesbassin a. Hvordan skal et forsinkelsesbassin dimensioneres, hvis det skal kunne forhindre den truende oversvømmelse beskrevet i opgave 3. 7

8 2 Teoretisk udledning af Chezys formel Et lille stykke af en kanal med længden L betragtes. Højdeforskellen på enderne er h og den vandrette afstand er l. Hermed bliver kanalens hældning (18) h S tan. l Et lille vandvolumen bevæger sig fra den ene ende af kanalstykket til den anden. Det har størrelsen og massen V a b dx, (19) m V a b dx (20) Hvis vandet bevæger sig med konstant hastighed må det betyde, at vandets potentielle energi omsættes til termisk energi på grund af gnidning mod kanalens overflade. Den termiske energi svarer til gnidningskraftens arbejde når vandvoluminet bevæger sig afstanden L fra punkt 1 til punkt 2. Man får altså E pot A gnid m g h F L gnid (21) 2 Denne udledning er inspireret af 8

9 Gnidningskraften F gnid, der påvirker vandet afhænger af vandets hastighed i anden potens. Yderligere afhænger den af arealet af berøringsfladen mellem vandet og kanalens side samt en konstant k, der kan betragtes som en slags gnidningskoefficient. I alt får man følgende udtryk for F gnid: 2 Fgnid k v (2 a b) dx. (22) Indsættes udtrykkene fra ligning 20 og 22 i ligning 21 og benyttes det, at h=l*sin(θ) får man følgende udtryk: 2 a b dx g L sin( ) k v (2 a b) dx L a b g k v a b 2 sin( ) (2 ) (23) For små værdier af θ gælder at sin(θ) tan(θ). Kombineres dette med (18) kan (23) omskrives til: 2 a b g S k v (2 a b) v 2 g a b S k (2 a b) (24) Når det til sidste indsættes, at c g k og ab R fås udtrykket kendt fra Chezys formel: (2 a b) v c R S (25) 9

10 Undersøgelse af Chezys formel 3 Formål At undersøge sammenhængen mellem vandets hastighed og kanalens hældning og dermed gyldigheden af Chezys formel Materialer Balje Aluminiumsskinne Stopur Målebæger Konstruktion af forsøgsopstilling 1. Sæt en streg inde i aluminiumsskinnen 3-4 mm fra bunden og 4-5 cm fra den ende vandet skal løbe ud af. 2. Skær et hul i baljen, så den ene ende af aluminiumsskinnen netop passer. Vær omhyggelig, så skinnen ikke kommer til at ligge skævt i hullet. 3 Denne øvelsesvejledning er inspireret af 10

11 Figur 9. Balje og aluminiumsskinne. Det er vigtigt at skinne ligger lige i hullet skåret i baljen. 3. Tætne omkring skinnen med sanitetssilikone og lad det tørre. Udførelse Baljen fyldes så meget med vand, at det står op til aluminiumsskinnen uden at løbe ud. En højdeforskel mellem aluminiumsskinnens ender vælges. Nu hældes der yderligere vand i baljen via fx en vandhane, så vand begynder at løbe gennem aluminiumsskinnen. Fortsæt med at hælde vand i baljen, så vand løber jævnt i aluminiumsskinnen og vandstanden i skinnen netop går til den markerede streg. Vandet der løber gennem skinnen opsamles i et målebæger og tiden det tager for et bestemt volumen (fx 0,5 L) at løbe gennem skinnen, måles. Gentag den beskrevne måleserie med en ny kanalhældning og udfyld herved skemaet nedenfor: Målinger Højdeforskel mellem kanalens ender h Kanalens vandrette længde l Vanddybden ved markeret streg Tiden Δt Voluminet ΔV Databehandling På baggrund af de udførte målinger udfyldes nedenstående skema Den hydrauliske radius R Kanalhældningen S R S Vandets hastighed v = ΔV, hvor A er A Δt vandets tværsnitsareal ved skinnens munding 11

12 Hvilken sammenhæng er der ifølge Chezys formel mellem R S og v? Undersøg, vha. regression, om denne sammenhæng kan bekræftes. Bestem ud fra regressionsligningen konstanten c for kanalen. 12

13 Modelforsøg med forsinkelsesbassin Forsøgsbeskrivelse 1. Konstruer, på baggrund af principskitsen nedenfor, og med udgangspunkt i forsøgsopstillingen til undersøgelse af Chezys formel, en model, der kan illustrere princippet i et forsinkelsesbassin. Vælg en svag hældning på kanalen, så man får en høj vandstand. 2. Eksperimenter med at anvende forsinkelsesbassinet til at forhindre en oversvømmelse fra kanalen. 3. Undersøg, I hvor lang tid forsinkelsesbassinet kan forhindre en oversvømmelse og diskuter, hvilke forhold, der har betydning for dette. Overvej fx betydningen af følgende forhold: a. Vandmængden pr tid, der løber fra baljen og ned i kanalen. b. Størrelsen af hullet, der er lavet i kanalen. c. Højdeforskellen mellem enderne på den slange, der leder vand fra kanalen til forsinkelsesbassinet. d. Størrelsen på forsinkelsesbassinet. 4. Undersøg eksperimentelt en eller flere af disse forholds betydning Materialer Balje Aluminiumsskinne Små slanger i gummi eller plastic til at føre vand Eventuelt klemmer til slanger Mindre beholder (fx en overskåret flaske) Sanitetssilikone Principskitse af forsøgsopstilling 13

14 Feltstudie ved åerne Oversvømmelsesbekæmpelse via forsinkelsesbassin og fordelingsbygværk 1.a Find et passende sted ved hhv Omløbsåen og Mølleåen i Vejle midtby og mål åens bredde, vanddybden, åkantens højde samt vandets hastighed. Da vandets hastighed som bekendt varierer med afstanden til kanaloverfladen bør hastigheden måles flere steder i åen og et gennemsnit beregnes. Udvælg den ene af de to måleserier og regn videre på disse i nedenstående opgaver: 1.b Find et højdekort for området via dette link: og giv et bud på terrænets hældning i et område omkring det valgte sted. 1.c Benyt de fundne data samt Chezys formel til at beregne c. 1.d Beregn ud fra ligning (12) i Vands bevægelse i kanaler Q maks for det pågældende sted i åen. Forsinkelsesbassin: 2. a Antag, at Q, pga et skybrud, i en periode på 10 timer overskrider Q maks med 10 %. Beregn den samlede mængde vand, det vil løbe ud på terrænet som konsekvens. 2. b Beregn minimumskravene til et forsinkelsesbassin, der skal kunne forhindre denne oversvømmelse. Fordelingsbygværk: 3. a Beregn Q maks for den anden å på det målte sted. 3.b Beregn hvad Q før forgreningen i åen maksimalt kan være, hvis man vil undgå oversvømmelse i de to åer efter forgreningen og frit kan fordele vandet mellem dem. 14