, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

Transkript

1 Hvd e mtemtik? A ISBN Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt givne funktione vokse (elle ftge), og dels bevise, t blndt stnddfunktionene, ogln( ) dominee eksponentilfunktione unset støelsen f gundtllet ltid ove både potens- og logitmefunktione, mens potensfunktione unset støelsen f potensen ltid dominee ove logitmefunktione. Foløbet e et lille stykke deduktiv mtemtik og e bygget op således, t (ihædige) eleve på B-niveu smt eleve på A-niveu med en vis vejledning selv kn bejde sig igennem øvelsene og bevise sætningene. Gænsevædi Vi kende mnge funktione, de gå mod uendelig, nå gå mod uendelig (vi skive f( ),nå ). Nå vi tle om dette i gymnsiet ppellees ofte til intuitionen. Men hvodn opstille vi en helt pæcis definition på, hvd det vil sige, t en funktion gå mod uendelig, nå gå mod uendelig? Definition: At gå mod uendelig En funktion fsiges ( ) t gå mod uendelig fo gående mod uendelig, hvis de til ethvet tl K findes et tl k, således t følgende e opfyldt: Fo ethvet > k gælde t f( ) > K Dette kn umiddelbt synes som en noget uoveskuelig definition, men skl mn vise, t en funktion gå mod uendelig, nå gå mod uendelig, kn mn foestille sig t fjenden komme med et K (kn væe et meget stot tl). Det e så voes opgve t fosve os, det vil sige t vi skl vise, t funktionsvædiene også kn komme ove dette K, blot vi gå lngt nok ud f tllinjen. Det gø vi ved t finde et tl k bestemt ud f K - således t f( ) > K, nå > k. Lidt løst sgt: funktionsvædiene kn blive lige så stoe, som vi ønske! Ld os pøve t bevise følgende sætninge ud f denne definition: Sætning. Ld f= ( ) e. D gælde, t f( ), nå Bevis Fjenden komme med K. Vi ønske t bestemme et k således t f( ) > K, nå > k. Hvis f( ) > K må følgende gælde (hvofo ovevej, både hvofo vi kn egne femd og hvofo vi kn egne tilbge, dvs. hvofo Û gælde?): e > K Û ln(e ) > ln( K) Û > ln( K) Vi kn således fosve os med k= ln( K), idet de jo f ovenstående udegninge (hvo vi h egnet ensbetydende, dvs vi kn slutte begge veje) følge t hvis > k ( = ln( K) ) d e f( ) > K. 24 L&R Uddnnelse A/S Vognmgegde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lu.dk

2 Hvd e mtemtik? A ISBN Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Sætning 2 Ld f( ) =, >. D gælde t f( ),nå Bevis selv sætningen. (Hint: Løs uligheden > K med hensyn til. Af disse udegninge følge så, hvd k kn vælges til.) Sætning 3 Ld f( ) = ln( ). D gælde t f( ), nå Bevis selv sætningen efte smme pincippe som ovenfo. Sætning 4 Ld f( ) =, >. D gælde t f( ), nå Bemæk: Hef følge. t, nå Bevis selv sætningen efte smme pincippe som ovenfo. Vi h nu bevist, ud f voes definition, t funktionene, ogln( )(specielt også e ) gå mod uendelig, nå gå mod uendelig foudst t > og > ) Pøv selv t opstille en definition f hvd det vil sige t:. f( ), nå 2. g( ), nå 3. h( ), nå 4. p( ) -, nå og pøv selv t fomulee ydeligee eksemple på gænsevædie. b) Tilfældet hvo f ( ) kn du evt. pøve føst t håndtee fo positive funktione, og denæst oveveje hvilket væktøj vi h til t hjælpe os, hvis funktionen kn ntge både positive og negtive vædie. Lv i hvet tilfælde en gfisk skitse f situtionen. c) Pøv i hvet f de 4 tilfælde, og i de ydeligee du selv komme på, om du kn finde en konket funktion med egnefoskift, som opfylde betingelsen. 2 Udnyt de nye definitione til t bevise t. ln( ) -, nå ( + ) (( + ) betyde t gå mod f høje. ln( ) e jo ikke defineet fo ) 2. e, nå - 3., nå og < <. 24 L&R Uddnnelse A/S Vognmgegde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lu.dk

3 Hvd e mtemtik? A ISBN Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Støelsesoden Betgtes gfene fo e og fo ln( ) spinge det i øjnene, t e vokse lngt hutigee. Logitmefunktionene e fktisk den lngsomst voksende klsse f funktione, vi møde i gymnsiet. F 6 8 ved vi, t fo titlslogitmen log gælde, t log( ) = 6 og log( ) = 8. Dvs t mens vi bevæge os på - ksen f million ud til millione så bevæge gfen sig op f 6 til 8. Defo foekomme det indlysende, t ikke lle funktione, de gå mod uendelig, gø det lige hutigt. Definition: Smmenligning f støelsesoden Givet to funktione f og g de begge gå mod uendelig, nå gå mod uendelig. Vi sige, t funktionen f gå hutigee mod uendelig end funktionen g, hvis de gælde f( ) nå g ( ) 3 Vis følgende: f( ) Hvis nå g ( ) d vil g ( ) = nå, og omvendt. f ( )/ g ( ) f ( ) Vi kn defo nvende den udgve, det flde lettest t buge. Vi skl i det følgende vise følgende 4 sætninge: ), nå ln( ) og >. Vi sige, t potensfunktionen vinde ove den ntulige logitmefunktion nå >. Vi bemæke ligesom tidligee, t hemed gælde også t ln( ), nå 2), nå og >. Vi sige, t eksponentilfunktionen vinde ove potensfunktionen nå >. + 3) ln( ), nå og> 4), nå og< < Disse 4 sætninge om funktionenes støelsesfohold bevises ved t følge tinene i de eftefølgende øvelse. 4 Betgt funktionen ln( ) f( ) =, Î ]; [ Bestem monotonifohold og lokle ekstem og benyt dette til t vise: ln( ) folle < >. 24 L&R Uddnnelse A/S Vognmgegde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lu.dk

4 Hvd e mtemtik? A ISBN Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione 5 ) Benyt esulttet f øvelse 4 til t vise følgende: ln( ) ln( ) < Û < b) Gø ede fo t nå (bug sætning 4), og benyt dette til t vise: ln( ), nå c) Udnyt dette til t vise: ln( ), nå hvis > (Hint: Substitue z= ) 6 ln( ) ln( ) ) Benyt logitmeeglene til t vise t = b) Udnyt punkt ) til t vise: ln( ), nå og> c) Agumente nu fo. t:, nå, hvo ln( ) > Hemed e den føste påstnd bevist. 7 Betgt funktionen f ( ) =, hvo > og > æ ln( ) ö ) Vis t ln( f( )) = ç ln( ) - è ø b) Udnyt øvelse 5, til t vise, t ln( f( )), nå c) Udnyt kendskbet til ln( ) til t vise: f, ( ) nå Vi h således vist den nden påstnd f ( ) =, nå, hvo > og > 8 ) Gø ede fo følgende omskivninge i detlje: æ ö æ ö æ ö æ ö -ln ln ln ç - ç ç ç ln( ) = = =- æö ç b) Benyt dette, smt øvelse 5 og voes viden om, t, nå ( + ) til t vise t 24 L&R Uddnnelse A/S Vognmgegde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lu.dk

5 Hvd e mtemtik? A ISBN Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione ln( ), nå ( + ), hvis > Vi h hemed vist den tedje påstnd. 9 Betgt funktionen f() =, hvo < < ln( ) ) Vis t ln( f( )) = ( + ln( )) b) Vis t ln( f ( )) -, nå hvis < < c) Udnyt kendskbet til ln( ) til t vise, t f ( ), nå Vi h således bevist den fjede og sidste påstnd:, nå, hvo < < Hemed e de fie påstnde vist! Pespektiveing Den føste, de gennemføte et systemtisk studium f funktiones støelsesoden v den engelske mtemtike Godfey Hold Hdy ( ). Det skete i et væk f 9, Odes of Infinity, hvo mn kn finde de esultte, vi h bevist i dette pojekt og en msse nde. Hdy e beømt fo sine mnge mknte citte, bl. følgende: Nothing I hve eve done is of the slightest pcticl use. Hn v modstnde f mtemtikkens nvendelse i kig i en sådn gd, t hn vendte dette til en vesion mod nvendt mtemtik geneelt. Men det e ikke en let kmp lleede i hns egen tid fndt en ække f hns meget bstkte tlteoetiske esultte nvendelse i kvntemeknikken. Og hns bejde om støelsesoden e i dg et helt centlt emne indenfo udviklingen f lgoitme f enhve t, Smmenligning f foskellige lgoitmes egneudtyk indgå ltid i en vudeing f, hvo lng tid en compute e om t gennemføe bestemte beegninge. Deje det sig f om t egne sig igennem de ntulige tl, et f gngen, indtil mn finde det ønskede esultt, e det et fgøende om tiden de kæves vokse logitmisk, polynomielt (dvs som en potens), elle eksponentielt. Hdy skev et foholdsvist let tilgængeligt spog og mn kn få et godt indtyk f væket og hns stil, ved t se det og måske læse noget f det indledende. Væket ligge he 24 L&R Uddnnelse A/S Vognmgegde DK-48 Københvn K Tlf: Emil: info@lu.dk