Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer"

Transkript

1 Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt stykke arbejde i den sammenæng. Men vad er logaritmefunktionen, og vordan deneres den? Vi vil i dette korn forsøge at denere dem som inverser til eksponentialfunktioner på R. Først må vi dog denere en sådan eksponentialfunktion; giver det mening at tale om b x? Svaret er ja, vis vi samtidig gerne vil sørge for, at den er kontinuert. 1 Den kontinuerte udvidelse af b q For b > 0 giver det mening at denere funktionen g : Q R ved gq) = b q vi tager den n'te rod af b, vor n er nævneren og opløfter i tælleren). Funktionen ses let at være veldeneret. Potensregnereglerne følger let for rationale eksponenter. Sætning 1. Funktionen g b : Q R ved g b q) = b q kan udvides til en og kun én kontinuert funktion g b : R R. For at gøre dette vil vi for etvert irrationalt tal lade b x være grænsen for b q for q x. Vi vil nu retfærdiggøre dette ved jælp af Arkimedes' princip og supremumsegenskaben. Vi vil i det følgende af meget gode grunde) antage, at b 1, idet tilfældet b = 1 er klaret af den kontinuerte funktion x 1. Lemma 2. For etvert x R ndes en følge q n ) i Q, så q n x og en anden følge r n ) i Q, så r n x. Specielt er Q tæt i R i den sædvanlige metrik. Bevis. Vi antager, at x / Q ti vi ellers kan benytte en konstant følge). Vi kan endvidere antage, at x > 0; når begge dele er vist, følger det negative tilfælde af at vælge følger for x, vormed de tilsvarende negative følger konvergerer op og ned imod x. Vi vil konstruere q n ) så q n får den n 1)'te decimal med fra x. Lad n N. Lad N n være det mindste naturlige tal så N n > 10 n x muligt ved Arkimedes' princip og supremumsegenskaben), og lad q n = N n 1 10 n. Det er klart, at q n < x, da N n 1 < 10 n x vis der gjaldt andet, ville x enten være rational eller der ville være strid imod at N n var valgt mindst muligt) og N n 1 er det største naturlige tal mindre end 10 n x var der et større, ville N n 10 n x), og at q n x < 10 n. Hvis nemlig q n x > 10 n, ville 10 n x q n ) > 1 samtidig med at 10 n x q n ) = 10 n x N n 1) < 1.

2 Sidst mangler vi at vise, at q n ) er voksende. Vi ar, at N n+1 1 er det største naturlige tal mindre end 10 n+1 x, vormed 10N n 1) N n+1 1 og q n q n+1. Altså vil q n x. Inspireret af ovenstående vælger vi r n = 10 n N n, vormed r n x = q n + 10 n x < q n x + 10 n < 2 10 n og r n x, ti 10N n N n+1. Lemma 3. Hvis b > 0 og q 1 q 2, q 1, q 2 Q, er b q1 b q1 b q2, vis 0 < b < 1. b q2, vis b > 1, og Bevis. Tilfældet q 1 = q 2 er trivielt, så antag, at q 1 < q 2. Antag først, at b > 1. Lad q Q + og skriv q = r/s, vor s > 0. Da er s b > 1, ti vis ikke, ville b = s b) s s b) s 1 1, en modstrid. Dermed er b q > 1. Lad q = q 2 q 1 ; da er b q2 q1 > 1 og voilà. Antag derpå, at 0 < b < 1. Da er b 1 > 1, vormed b 1 ) q2 q1 > 1 og b q1 q2 < 1. Herpå følger en række lemmaer om konvergens. Lemma 4 Bernoullis uliged). 1 + x) n 1 + nx for alle n N og x > 1. Bevis. Vi beviser ved induktion. Sætningen er tydeligt klar for n = 0. Antag, at det er sandt for n = m. Da er 1 + x) m x)1 + mx) = 1 + m + 1)x + mx m + 1)x, af vilket det ønskede følger. Lemma 5. Hvis b > 1 og n N, er 1 b n < b 1 n < 1 < b 1 n < 1 + b n. Bevis. 1 < b 1 n er klart. Antagelsen om at b 1 n 1 + b n medfører, at b 1 + b ) n 1 + n b n n = b + 1 grundet Bernoullis uliged), altså en modstrid. De to andre uligeder fås ved at tage reciprokke, ti 1 + b n ) 1 = n n+b = 1 b n+b > 1 b n. Lemma 6. Lad b > 0. Der ndes for alle ε > 0 et δ > 0, så q < δ, q Q b q 1 < ε. Bevis. Lad ε > 0 og lad n N, så n > b ε. For 1 n < q < 1 n, q Q, vil b n b 1 n 1 < b q 1 < b 1 n 1 b n jf. Lemma 3 og Lemma 5. Altså vil b q 1 < b n < ε for q < 1 n. Vi er nu klar til den første store sætning. 2

3 Sætning 7. Lad b > 1 og x R. Der ndes ét a R, så der for alle ε > 0 ndes δ > 0, så q x < δ, q Q a b q < ε. Bevis. Lad r n ) være en følge i Q så r n x, altså så r n x < 1 n ladsiggørligt ved Lemma 2). i) Lad ε > 0. Vi ar jf. Lemma 3, da r m r 1 for alle m N, at b rn b rm = b rm b rn rm 1 b r1 b rn rm 1. Vælg med Lemma 6 et δ > 0 så q < δ, q Q medfører b q 1 < εb r1. Da r n ) er Caucy, ndes N N så r n r m < δ for n, m N. For n, m N vil altså gælde, at b rn b rm < ε, vormed b rn ) er Caucy i R og dermed konvergent mod et tal a R, da R er fuldstændig. ii) Lad ε > 0 og vælg jf. Lemma 6 et δ 1 > 0 så p < δ 1, p Q, medfører b p 1 < ε 2b. Lad N r 1 1 N så N 1 > 2δ1 1. Lad endvidere N 2 N, så n N 2 medfører b rn a < ε 2 pr. i). Lad N = max{n 1, N 2 } og sidst δ = N 1. For x q < δ, q Q, ar vi altså q r n q x + x r N < 2N 1 2N 1 1 < δ 1, vormed b q r N 1 < ε 2b. Nu vil r 1 b q a b q b r N + b r N a < b r1 b q r N 1 + ε 2 < ε. Altså ar vi det ønskede. iii) Antag, at c R opfylder betingelsen og lad ε > 0. Der ndes δ 1, δ 2 > 0 så betingelsen er opfyldt med ε for enoldsvis a og c. For q x < min{δ 1, δ 2 }, q Q, vil a c a b q + b q c < 2ε. Da dette gælder for alle ε > 0, må a = c, vormed a er entydigt bestemt. Vi kan nu, med Sætning 7, bevise Sætning 1. Bevis for Sætning 1. Lad først b > 1. For alle x R lades g b x) være det a, der blev fundet for det konkrete x i Sætning 7. Vi viser nu, at g faktisk er kontinuert på ele R. Lad ε > 0 og vælg et δ > 0 så betingelsen i Sætning 7 er overoldt med ε 2. Lad endvidere q Q så q x < 2 1 δ jf. Lemma 2. For de y R så y x < 2 1 δ, vil y q < δ grundet trekantsuligeden, vormed g b y) g b x) g b y) b q + b q g b x) < ε. Der ndes kun én kontinuert udvidelse f af q b q, ti kontinuitet af f medfører betingelsen i Sætning 7, vormed fx) = g b x). For 0 < b < 1 lades g b x) = g b 1 x), som også er kontinuert på R. Denition 8. For alle b > 0 deneres b x := g b x). R x b x kaldes eksponentialfunktionen med grundtal b. 3

4 De kendte regneregler gælder stadig, ti vi for alle reelle x nu bare kan vælge rationale følger, der går imod dem: Sætning 9 Regneregler for eksponentialfunktioner). For a, b > 0 og x, y R gælder: i) b x+y = b x b y ii) b x y = bx b y iii) b x ) y = b xy iv) ab) x = a x b x v) ) a x b = a x b x Bevis. Lad x m x, y n y, x m, y n Q. i) og iv) følger let af kontinuitet. iii) følger af, at b x ) y = b limm xm ) limn yn = limb xm ) yn = lim b xmyn. n,m n,m ii) følger af ovenstående, samt i); v) følger af ovenstående, samt iv). Sætning 10. Hvis b > 0 og x < y, x, y R, er b x < b y, vis b > 1, og b x > b y, vis 0 < b < 1. Bevis. Lad s > 0 og q n s, r n s, vor q n, r n Q. Hvis b > 1, er b qn ) voksende jf. Lemma 3, og altså må b s b qn for alle n N ti vis ikke, ville b qn ikke konvergere imod b s ). Hvis der ikke fandtes n N, så q n > 0, ville q n 0 for alle n, i modstrid med q n s. Altså vil b s b qn > b 0 = 1. For 0 < b < 1 vil b s ) 1 = b 1 ) s > 1 jf. regneregel iii), vormed b s < 1. Sæt nu s = x y og benyt regneregel ii). Lemma 11. For alle rationale tal a 2 og for etvert n N er a n > n. Bevis. Jf. Lemma 5 er 1 < n 1 n < 1 + n n a. Lemma 12. For b > 0 ar x b x værdimængde 0, ). Bevis. Lad først b > 1. Lad N N, så N > 1 b 1. Ved Bernoullis uliged er b N+n 1 + N + n)b 1) = 1 + Nb 1) + nb + 1) > 2. Altså er b N+n)2 > N + n jf. Lemma 11. Det følger nu, at x b x er ubegrænset opadtil. Hvis b x 0, ville der grundet Sætning 10 gælde, at b q < 0 for et rationalt q < x en modstrid. Ved at tage reciprokke følger det nu for 0 < b < 1. Sætning 13. Lad b > 0, b 1. For alle c > 0 ar ligningen c = b x én løsning, vormed x b x, R R +, ar en invers. Bevis. Grundet foregående lemma ar ligningen en løsning. Da x b x strengt monoton jf. Sætning 10, er der kun den ene løsning. er Denition 14. En funktion f : A B mellem to partielt ordnede mængder A og B siges at bevare orden, vis a 1 < a 2 medfører fa 1 ) < fa 2 ) for alle a 1, a 2 A, og at vende orden vis a 1 < a 2 medfører fa 1 ) > fa 2 ) for alle a 1, a 2 A. 4

5 Sætning 15. Lad A, B være partielt ordnede mængder, begge udstyret med ordenstopologien. En kontinuert og bijektiv funktion f : A B, som enten bevarer eller vender orden, ar en kontinuert invers f 1, som bevarer orden, vis f gør det, og omvendt man siger, at de ar samme orden). Bevis. Lad G være åben i A. Hvis A ikke ar et største eller mindste element, kan vi skrive G = i a i, b i ). For alle i er fa i, b i )) sammenængende, ti f er kontinuert, vormed fa i, b i )) er et åbent interval, ti f enten bevarer eller vender orden. Nu er f 1 ) 1 G) = fg) = i { fa i, b i )) = i fa i), fb i )) f bevarer orden i fb i), fa i )) f vender orden, som uanset vad er åben i B. I tilfældet vor A ar et største og/eller mindste element indses, at B ar et største og/eller mindste element afængigt af f), og vis G indeolder et eller begge af disse endepunkter, vil fg) stadig være åben grundet denitionen af ordenstopologien. At f 1 ar samme orden som f følger af bijektivitet. Denition 16. Lad b > 0, b 1. Logaritmefunktionen med grundtal b deneres til at være den inverse funktion til x b x og betegnes log b : R + R. Det følger af Sætning 15, at log b er kontinuert og ar samme orden som x b x. Sætning 17 Regneregler for logaritmefunktioner). For a, b, x, y > 0, a, b 1, r R gælder: i) log b xy) = log b x) + log b y) ii) log b x y ) = log bx) log b y) iii) log b x r ) = r log b x) iv) log b x) = log b a) log a x) Bevis. Vi benytter regnereglerne for eksponentialfunktionen. i) følger af ligeden b log b xy) = xy = b log b x) b log b y) = b log b x)+log b y). Da der kun er én løsning c R til ligningen b c = xy, må log b xy) = log b x) + log b y). iii) følger samme princip, idet b log b xr) = x r = b log b x) ) r = b r log b x). Nu følger ii), og iv) følger af x = a log a x) = b log b a) ) log a x = b log b a) log a x). Altså er vi, ud fra et ønske om at bestemme en funktion som kan løse ligningen y = b x, endt med en, som gør det, og som opfylder alle de regler vi er vant til, at den gør. But wait, tere's more. 2 Dierentiabilitet af b x Vi kan faktisk benytte alt det foregående, samt noget nyt, til at vise, at eksponentialfunktioner og logaritmefunktioner er uendeligt ofte dierentiable! Vi starter med at generalisere Bernoullis uliged. Lemma x) r 1 + rx for r R, r 1 og x > 0. 5

6 Bevis. i) Lad n N. Med Bernoullis uliged Lemma 4) får vi Vi ar nu, at 1 + x n+1 )n 1 + x n )n = nn + 1) + nx n + 1)n + x) nx 1 n + 1)n + x). n + 1) 2 n + x) 1 + x n + 1 n + 1) 2 n + x) 1 + x n + 1 ) n = 1 ) 1 + x n+1 )n 1 + x n )n ) 1 = n + 1) + x)n + 1)n + x) nx) ) n x n + 1)n + x) nx n + 1)n + x) = n + 1) 2 n + x) + xn + 1)n + x) nn + 1) nx) = n + 1) 2 n + x) + x 2 n + 1) 2 n + x); ) dermed er følgen 1 + x n )n voksende, for alle x > 1. ii) Vi viser først uligeden for q Q, q > 1. For q = r s vormed 1 + y r )r 1 + y s )s for y > 0 jf. i). Dermed er 1 + rx ) r 1 + rx ) s = 1 + qx) s > 1. r s 1 er r s, Ved at tage den s'te rod fås det ønskede. Lad nu q n r, q n Q. Da vil 1 + x) r 1 + rx) = lim n [1 + x) qn 1 + q n x)] 0, grundet kontinuitet af y 1 + x) y, og det ønskede er vist. Lemma 19. En monoton, begrænset følge x n ) i R er konvergent. Bevis. Hvis x n ) er voksende, ar {x n } n N ifølge supremumsegenskaben et supremum x. Lad ε > 0. Der ndes et N N så x N > x ε, ti ellers ville x ε være en majorant for {x n }. Da må x n > x ε for n N. Da er x ε < x n x < x+ε for n N og x n x. Hvis x n ) er aftagende, ar {x n } n N ar ifølge supremumsegenskaben et inmum x. Lad ε > 0. Der ndes et N N så x N < x+ε, ti ellers ville x+ε være en minorant for {x n }. Da må x n < x+ε for n N. Da er x ε < x x n < x+ε for n N og x n x. Lemma 20 Pergler). Funktionen F b, ) = 1 b 1), b > 0, 0 er voksende. Bevis. Lad først b > 1. For 0 fremgår klart, at F b, k) = k 1 F b k, ) for k 0. For 1 gælder jf. Lemma 18, at F b, ) = 1 + b 1)) 1 Dermed vil for k > 0, 1 gælde, at 1 + b 1) 1 F b, k) = k 1 F b k, ) k 1 b k 1) = F b, k). = b 1. 6

7 Dermed vil gælde for 0 < 1 2, at F b, 1 ) F b, 2 ). For k 1, < 0, vil F b, k) = 1 F b, k) 1 b, k) = F b, ), da 1 < 0. Altså er F også voksende for b > 1. For 0 < b < 1 fås for 1 2, 1, 2 0, at F b, 1 ) = F b 1, 1 ) F b 1, 2 ) = F b, 2 ), og vi konkluderer altså at 1 b 1) er voksende uanset b > 0. Lemma 21 Pergler). Funktionen F b, ) = 1 b 1), b > 0, 0 ar for fast b en grænseværdi µb) for 0. Bevis. Følgen F b, 1 n )) n N er aftagende, og da 0 < F b, 1 n ) b 1, er den begrænset, vormed den ved Lemma 19 konvergerer mod et tal µb) R. Lad ε > 0 og lad N N så n N medfører F b, 1 n ) µb) < ε. Lad 0 < < 1 N ; da ndes M N, så 1 M <, vormed µb) F b, 1 M ) F b, ), og F b, ) µb) = F b, ) µb) F b, 1 N ) µb) < ε. Altså vil F b, ) µb) for 0 +, og da F b, ) = b F b, ) µb) for 0 +, vil det gælde generelt for 0. For 0 < b < 1 vil F b 1, ) µb 1 ), vormed F b, ) = b 1 1 b ) = b 1 b 1 ) 1) µb 1 ) for 0. Ved at sætte µb) := µb 1 ) fås det ønskede. Sætning 22. Funktionen f : R R + givet ved fx) = b x er uendeligt ofte dierentiabel for alle b > 0 med dierentialkvotient f x) = µb)b x. Bevis. Følger af Lemma 21, da 1 b x+ b x ) = b x F b, ). Næste sætning karakteriserer eksponentialfunktioner og logaritmefunktioner som entydige kontinuerte løsninger til funktionalligninger. Sætning 23. Hvis f : R R + er kontinuert og fx + y) = fx)fy) for alle x, y R, er fx) = b x for et b > 0. Bevis. Lad a > 0, a 1 samt x, y R. Da vil log a fx + y)) = log a fx)) + log a fy)). Altså opfylder den kontinuerte funktion log a f Caucys funktionalligning, og der ndes derfor c R, så log a fx)) = cx. Men da er fx) = b x, vor b = a c. Sætning 24. Hvis f : R + R er kontinuert og fxy) = fx) + fy) for alle x, y R, er fx) = log b x) for et b > 0, b 1. Bevis. For x, y R og a > 0, a 1, er fa x+y ) = fa x ) + fa y ). Dermed opfylder fa x ) Caucys funktionalligning, så der ndes c R, så fa x ) = cx. Da må fx) = fa log a x) ) = c log a x), og for b = a 1/c vil fx) = log b x). Sætning 25 Pergler). Der ndes a > 0, a 1, så µ : R + R givet i Lemma 21 er lig log a. 7

8 Bevis. Lad F betegne funktionen fra Lemma 21. i) For x, y > 0 vil F xy, ) = xy) 1 = x y x + x 1 = x F y, ) + F x, ) µy) + µx), så µxy) = µx) + µy). ii) For alle b > 0 ar vi jf. Lemma 21, at = x y 1) + x 1) 1 b 1 = F b, 1) = F b 1, 1) µb 1 ) = µb) F b, 1) = b 1, vorpå µb) 0 for b 1. For Lad nu c R +. For x c, vil x c 1, vormed µx) = µ x c ) + µc) µc). Altså vil µx) µc), vorpå µ er kontinuert. Jf. Sætning 24 er µ = log a for et a > 0. Notation 26. Det a > 0, a 1, som opfylder Sætning 25, betegnes e, og vi denerer lnx) := log e x) og expx) := e x. Specielt gælder, at exp x) = log e e)e x = expx). Sidst nder vi nogle velkendte dierentialkvotienter. Sætning 27. Lad f være en reel, kontinuert og strengt monoton funktion de- neret på et interval I R. Hvis f er dierentiabel i et punkt x I med f x) 0, er f 1 dierentiabel med f 1 ) 1 y) = f f 1 y)), vor y fi). Bevis. Nemt at nde andetsteds. Lemma 28. R + x lnx) er uendeligt ofte dierentiabel med dierentialkvotient x 1 x. Bevis. Da exp er strengt monoton og dierentiabel overalt på R, er ln dierentiabel overalt i R + jf. foregående sætning med Da x 1 x ln x) = 1 exp lnx)) = 1 x. er uendeligt ofte dierentiabel, følger det ønskede. Sætning 29. For a > 0, a 1, er R + x log a x), uendeligt ofte dierentiabel med dierentialkvotient x 1 x lna). Bevis. Foregående lemma og lnx) = log e a) log a x) = lna) log a x). Sætning 30. For a R, er R + x x a, uendeligt ofte dierentiabel med dierentialkvotient x ax a 1. Bevis. x a ) = expa lnx)) = a x expa lnx)) = axa 1. Litteratur [1] Martin Pergler, Exponentials and Logaritms by Continuous Extension. Department of Matematics, University of Cicago, ttp://web.ncf.ca/ fs039/mp/documents/ple2.pdf. 8

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Funktioner af flere variable

Funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Inverse funktioner. John V Petersen

Inverse funktioner. John V Petersen Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...

Læs mere

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Taxageometri og metriske rum

Taxageometri og metriske rum Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Analyse 2. Rasmus Sylvester Bryder, Katrine Frovin Gravesen, Søren Frejstrup Grav Petersen og Anders Wolfsberg

Analyse 2. Rasmus Sylvester Bryder, Katrine Frovin Gravesen, Søren Frejstrup Grav Petersen og Anders Wolfsberg Analyse 2 Rasmus Sylvester Bryder, Katrine Frovin Gravesen, Søren Frejstrup Grav Petersen og Anders Wolfsberg 2010 Indhold 1 Fuldstændige og kompakte metriske rum 5 2 Normerede rum og Hilbert rum 11 3

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Modulpakke 3: Uendelige Rækker

Modulpakke 3: Uendelige Rækker Chapter 5 Modulpakke 3: Uendelige Rækker 5. Indledning. Summer. En meget benyttet notation til at udtrykke gentagen addition benytter det græske store sigma (Σ) på følgende måde: de enkelte led man summer

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 2. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Modul 5: Test for én stikprøve

Modul 5: Test for én stikprøve Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

1 Kapitel 5: Forbrugervalg

1 Kapitel 5: Forbrugervalg 1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. budgetbegrænsninger 2. præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens optimale valg. 2 Optimalt forbrug - grafisk fremstilling

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister

Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Bedre vilkår for at fastholde ældre medarbejdere og for at ansætte pensionister Lettere at vælge arbejde frem for folkepension Et nyt sæt regler gør det lettere end tidligere for virksomheder at holde

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4

Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable

Læs mere

Inverse funktioner og Sektioner

Inverse funktioner og Sektioner Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

DM02 opgaver ugeseddel 2

DM02 opgaver ugeseddel 2 DM0 opgaver ugeseddel af Fiona Nielsen 16. september 003 Øvelsesopgaver 9/9, 10/9 og 11/9 1. Vis, at 1 3 + 3 3 + 5 3 +... + (n 1) 3 = n 4 n. Omskriver til summationsformel: (i 1) 3 = n 4 n Bevis ved induktion

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Indledende Mål- og Integralteori. Steen Thorbjørnsen

Indledende Mål- og Integralteori. Steen Thorbjørnsen Indledende Mål- og Integralteori Steen Thorbjørnsen INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG 29 Copyright 29 Steen Thorbjørnsen Forord Nærværende notesæt er udarbejdet til kurset Målteori ved Institut for Matematiske

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion

Tekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion 1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere