Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur"

Transkript

1 Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes nogle kompositioner, T 1, T 2,, T m, er en matematisk struktur, S T. Måske kan du allerede her ane en forbindelse mellem en matematisk struktur og universet, for basalt set kan vi jo sige om universet, at det også består af nogle ting (elementarpartikler) samt en række regler for, hvordan de sættes sammen (kræfter). En velkendt struktur fra dagligdagen er alle heltal (S = {n}, n Є N 0 ) med de fire regnearter (T 1 = +, T 2 =, T 3 =, T 4 = / ). Kompositionerne mellem elementerne kan herefter udtrykkes således: (A7.1) ( n ; n ) n i a b c For hver komposition gælder altså, at den som inddata tager to tal og som uddata producerer ét tal. Hvis for eksempel i = 1, n a = 3 og n b = 5, kan vi skrive T 1 (3;5) = 8, hvilket med dagligdags notation er det samme som = 8. Det, vi opnår ved at skrive T(x;y), er, at vi får udtrykt kompositioner mellem elementer på en helt generel form, der kan anvendes, uanset hvad elementerne og kompositionerne er. Lav for eksempel strukturen P Φ bestående af mængden, P = {m, k, ø}, og en enkelt komposition, Φ. Du kan nu meget ærbart skrive: (A7.2) 1: 2 : 3: 4 : m; k) h; h P m; m) ø k; k) ø m; k) k; m) Sæt så m = mand, k = kvinde, ø = ingenting og Φ = sex, og du har fire sande udsagn om en af menneskenes foretrukne aktiviteter. Prøv om du kan oversætte dem til normalt sprog en mulighed står i denne fodnote 1. Du kan nu lave nogle generaliseringer, der omfatter begge strukturer, S T og P Φ. For eksempel kan du samle T 1, T 3 og Φ i en mængde, der omfatter alle kompositioner, R, for hvilke der gælder, at R(a;b) = R(b;a). For disse tre kompositioner gælder altså, at faktorernes orden er ligegyldig. Du kan også se, at delstrukturen, S T 1,3, altså S med kompositionerne T 1 og T 3, samt hele strukturen P Φ begge er lukkede. (Husk fra kapitel 1, at en mængde siges at være lukket med hensyn til en komposition, hvis resultatet af at udføre kompositionen på mængdens elementer 1 Udsagn 1: hvis en mand har sex med en kvinde, kan de enten få en dreng, en pige eller ingenting, (idet h jo blot repræsenterer et vilkårligt element i P). Udsagn 2: to mænd kan ikke få børn sammen. Udsagn 3: to kvinder kan ikke få børn sammen. Udsagn 4: det er ligegyldigt, hvem der ligger øverst eller står til venstre eller mod nord, eller hvordan m og k nu arrangerer sig. 322

2 også tilhører mængden). Uanset hvilke heltal jeg lægger sammen eller ganger med hinanden, vil resultatet være et heltal. Uanset hvilke mænd og kvinder, der har sex med hinanden, vil resultatet blive en mand, en kvinde eller ingenting altså elementer, der alle findes i mængden P. At en matematisk struktur kan være lukket er ganske betryggende, for det må vi jo netop kræve af den, hvis den skal være vores univers egentlige, bærende identitet. Hvis vores univers var en åben matematisk struktur, kunne vi jo risikere, at partikler for eksempel kunne vekselvirke på en sådan måde, at de efter vekselvirkningen ikke længere var fysiske objekter. Læg godt mærke til dette, for det siger ganske meget om, hvad det, at universet er en matematisk struktur, egentlig betyder. En åben struktur fører ikke til at noget bare havner uden for universet, men at det kommer til at tilhøre en helt anden eksistentiel kategori end resten af universet. Men lad os nu blive lidt mere konkrete og se på en meget simpel matematisk struktur, nemlig boolsk algebra, der danner basis for al logik, og bagefter forsøge at iklæde den et fysisk antræk. Den boolske algebra vi kan som struktur betragtet kalde den B Θ består af mængden B = {b i } = {0, 1}, hvor 0 betyder falsk og 1 betyder sand, samt otte kompositioner, Θ 1, Θ 2,, Θ 8. For nemheds skyld skal vi dog her nøjes med at se på fem af kompositionerne, (dvs. vi begrænser os til en struktur, vi kan kalde B Θ 5 ). De fem kompositioner, vi vil medtage, ses nedenfor: Generaliseret notation Standardnotation Betydning Θ 1 (b i ) s b i er sand Θ 2 (b i ) f b i er falsk Θ 3 (b i ) b i Ikke b i Θ 4 (b i ;b j ) b i V b j b i eller b j Θ 5 (b i ;b j ) b i Λ b j b i og b j Bemærk indekserne på b. Uanset hvor mange forskellige jeg benytter, kan b kun have to værdier, sand eller falsk. Et enkelt b i angiver, at der er tale om et vilkårligt medlem af mængden B. To b er (b i ;b j ) viser, at der som udgangspunkt er tale om to forskellige medlemmer, (om end det ikke er forbudt, at de er ens). Effekten af de fem kompositioner kan vises ved hjælp af en række sandhedsskemaer : Θ 1 ( sand ): Θ 2 ( falsk ): b i Θ 1 (b j ) 0 1 (sand) 1 1 (sand) b i Θ 2 (b j ) 0 0 (falsk) 1 0 (falsk) Θ 3 ( ikke ): b i Θ 3 (b i ) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 0 (falsk) 323

3 Θ 4 ( eller ): b i b j Θ 4 (b i ; b j ) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) Θ 5 ( og ): b i b j Θ 5 (b i ; b j ) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 0 (falsk) 0 (falsk) 1 (sand) 0 (falsk) 1 (sand) 1 (sand) 1 (sand) Kompositionerne kan nu kædes sammen, så vi kan danne vilkårligt lange udsagn som f.eks.: (A7.3) ( a; ( ( ( b; c)); d))); a, b, c, d B 3 ( eller i den boolske algebras standardnotation: (A7.4) ( a ( b c) d) (Dette udtryk har 16 forskellige kombinationer af sande og falske værdier for a, b, c og d, og hvis ellers jeg har regnet rigtigt, fører 7 af dem til, at det samlede udtryk er sandt, mens 9 fører til, at det er falsk). Hvis hypotesen om, at matematik og fysik er det samme, er sand, har jeg nu skabt et hypotetisk univers, hvis fysiske virkelighed er isomorf ( ensformet ) med den matematiske struktur, B Θ 5. Hvordan ser dette univers så ud? Indledningsvis kan vi konstatere, at et sådant spørgsmål ikke har noget entydigt svar. Den samme matematiske struktur kan iklædes mange forskellige skikkelser. Dette er der ikke noget underligt i tværtimod. Den aktuelle iklædning er jo noget, der, som vi så i kapitel 13, finder sted i den subjektive verdens neurofysiologiske repræsentation. Et menneske vil opleve en given matematisk struktur på én måde, en ålekvabbe på en anden, og et væsen, der lever på overfladen af Venus, på en tredje. Dernæst kan vi også konstatere, at B Θ 5 er en så simpel struktur, at vi i dens isomorfe fysiske univers nok ikke skal forvente at træffe væsener, der er bevidste om deres omverden. Men man har lov til at lege, så her er et bud på, hvad de kunne opleve: A. En tredimensional rumtid med to rumdimensioner og én tidsdimension. B. Fem elementarpartikler: 1. To valuoner, der opbygger alt stof: 1. β s med ladningen s. 2. β f med ladningen f. 2. Tre relatoner, der medierer kræfter: 1. ρ e medierer ellerisme. 2. ρ o medierer ogisme. 3. ρ n medierer ikkisme. Ellerisme og ogisme er kræfter, der binder valuoner sammen, mens ikkisme har betydning for henfald (se nedenfor). 324

4 C. Seks ladede boloner, der udgør den simpleste form for stof. Hver bolon er opbygget af to valuoner og én relaton. Bolonerne inddeles i to familier afhængigt af, om valuonerne bindes sammen ved hjælp af ellerisme-kraften eller ogisme-kraften. 1. Ω s : β s + ρ o + β s 2. Ω f : β f + ρ o + β f 3. ω f : β s + ρ o + β f 4. E s : β s + ρ e + β s 5. E f : β f + ρ e + β f 6. ε f : β s + ρ e + β f D. Et ikke nærmere bestemt antal kompositroner, b K l. Disse er tungere partikler bestående af boloner bundet sammen med valuoner eller med andre boloner. I sådanne reaktioner er det alene bolonernes antal (b) og ladning (l), der har betydning for den resulterende kompositrons egenskaber. E. Tre henfaldsreaktioner af første orden: 1. ρ e + ρ o ρ n 2. β s + ρ n β f + ρ n 3. β f + ρ n β s + ρ n F. Otte henfaldsreaktioner af anden orden: 1. Ω s + ρ n ω f + ρ n 2. Ω f + ρ n ω f + ρ n 3. ω f + ρ n Ω f + ρ n 4. ω f + ρ n Ω s + ρ n 5. E s + ρ n ε s + ρ n 6. E f + ρ n ε s + ρ n 7. ε s + ρ n E f + ρ n 8. ε s + ρ n E s + ρ n G. Et felt, Π, med to polariteter, Π s og Π f. Bolonerne får deres ladninger ved vekselvirkning med feltet. Jeg har nu beskrevet de basale egenskaber for det boolske univers i vendinger, der svarer til det, vi i vores univers kalder partikelfysik, (men man kunne sikkert forestille sig masser af andre formuleringer). Punkterne A til G er, hvad en boolsk fysiker ville være i stand til at observere på det mest fundamentale niveau. H a un vil sikkert glæde sig over symmetrierne i henfaldsreaktionerne: ω- og ε-partiklerne kan hver især henfalde på to måder, nemlig én der bevarer ladningen, og én der ændrer den. H a un vil uden tvivl bemærke, at alle henfald på nær ét er reversible, og h a un vil måske opstille en hypotese om, at det er det ene irreversible henfald (E1), der gør at processer udvikler sig fra fortid til fremtid, men aldrig omvendt. Den boolske fysiker vil sandsynligvis også undre sig over, hvorfor universet har netop de egenskaber, h a un observerer. Hvorfor to elementarpartikler? Hvorfor tre kræfter? Hvorfor de otte henfaldsreaktioner af anden orden? Det sidste spørgsmål er lettest at besvare: andenordensreaktionerne kan udledes af førsteordensreaktionerne, så snart man har forstået, at boloner er opbygget af valuoner. Men de to andre spørgsmål kræver indsigt på et dybere niveau. Først når fysikeren formulerer en matematisk teori, vil det vise sig, at universets egenskaber er isomorfe med den struktur, vi kaldte B Θ 5. Jeg håber, at du nu har fået en idé om sammenhængen mellem matematik og fysik ud fra hypotesen om, at de to er en og samme ting. Du kan selv lege videre med det boolske univers og prøve at løse følgende små opgaver: 1. Redegør for forbindelsen mellem elementer og kompositioner i B Θ 5 og partikler og kræfter i det boolske univers. 325

5 2. Ladning er, som man ser, ikke additiv. Uanset hvor mange valuoner, der indgår i en kompositron, er dennes ladning altid s eller f aldrig f.eks. 2s eller 3f eller s. a) Hvorfor er det sådan? b) Vil det undre en boolsk fysiker? 3. På hvor mange forskellige måder kan man danne kompositronen, 4 K s? 4. Er det boolske univers 100% isomorft med B Θ 5, eller er der i de egenskaber, jeg beskrev under punkterne E til G, noget, der ikke kan forklares inden for strukturen? Eller sagt på en anden måde: er B Θ 5 set fra den boolske fysikers synspunkt nu også den endelige Teori Om Alt? 5. Hvor kommer tiden fra, og hvorfor er der to rumdimensioner? 6. Hvilken rolle spiller mon ladningen, l,for makroskopiske strukturer? Du kan se løsningerne på næste side, men lad nu være med at snyde! Giv din egen deduktionsevne og fantasi en chance først. 326

6 Løsninger 1. Valuonerne er mængden B. De får deres ladninger via feltet Π, hvis to polariteter er kompositionerne Θ 1 og Θ 2 (sand og falsk). Relatonerne ( kræfterne ) ρ e, ρ o og ρ n er kompositionerne Θ 4, Θ 5 og Θ 3 (V, Λ og ). Bolonerne er udsagn af typen b i V b j (=Θ 4 (b i ; b j )) og b i Λ b j (=Θ 5 (b i ; b j )). De tre førsteordenshenfald svarer til henholdsvis??! (se punkt 4), Θ 3 (Θ 1 ) (ikke sand (=falsk)) og Θ 3 (Θ 2 ) (ikke falsk (=sand)). Andenordenshenfaldene fås ved at indsætte en negation i udsagn som b i V b j og b i Λ b j, (b i V b j, b i V b j, b i Λ b j, b i Λ b j, hvor b i og b j hver især kan have værdierne s og f). Kompositronerne er (lange) kæder af udsagn. 2. a) Ladningens egenskaber er en følge af B Θ 5, hvor det ækvivalente fænomen er værdierne sand og falsk. Og disse værdier kan selvfølgelig (i matematisk logik) ikke graderes; enten er noget sandt, eller også er det falsk. Det giver ingen mening at sige, at udsagn A er dobbelt så sandt som udsagn B. b) Den boolske fysiker vil ikke være overrasket. Dels pga. det, der er nævnt under a), dels fordi B Θ 5, der jo er hele den struktur, universet bygger på, kun omfatter boolsk algebra. Aritmetik er derfor et ukendt begreb; der er ingen mulighed for at udtrykke en sætning som a + a = 2a. Men det er muligt, at de boolske matematikere kan udlede eksistensen af en sådan sætning med de meget eksotiske fænomener + og 2. (Det +, der er brugt i henfaldsligningerne er ikke et aritmetisk +, men et symbol for vekselvirker med ) Der er en enkelt ting, der burde få den boolske fysiker til at tvivle på, om B Θ 5 er den fuldstændige beskrivelse. Det drejer sig om henfaldsreaktionen E1 (ρ e + ρ o ρ n ). Relatonerne ρ e, ρ o og ρ n svarer jo til kompositionerne V, Λ og, men der findes i boolsk algebra ikke nogen metakomposition, Θ, der opfylder Θ(Θ 4 ; Θ 5 ) = Θ 3, der ville være isomorf med E1. (En sådan metakomposition skulle have kompositioner som argumenter i stedet for variabler). En teori bygget på B Θ 5 er derfor en tilnærmelse, ligesom vi ved, at kvantemekanik og relativitet er tilnærmelser hos os. 5. Tiden er indsat ganske arbitrært! B Θ 5 kan realiseres lige så godt, hvis alle tre dimensioner opfattes som rumlige dimensioner. Det er kun et spørgsmål om, hvordan de boolske væsener opfatter dimensionerne. At der er to rumdimensioner med en særlig status skyldes, at de lineære partikler (strenge af boloner og relatoner) kræver mindst to dimensioner for at kunne bevæge sig frit mellem hinanden. 6. Dit bud kan være lige så godt som mit! Der er intet, der tyder på, at ladningen spiller nogen fysisk rolle forstået på den måde, af en partikel med ladning s opfører sig på en anden måde end en partikel med ladning f. På den anden side vil alle strukturer, uanset hvor store de er, have en ladning, så måske vil de boolske væsener kunne sanse den. Og deres etik og moral vil måske være baseret på kun at anvende stof med ladning s. 327

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Almen studieforberedelse. 3.g

Almen studieforberedelse. 3.g Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet

Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet Holder Standardmodellen? Folkeuniversitetet, Århus, 10. marts 2014 Ved Christian Bierlich, Ph.D.-studerende, Lund Universitet Velkommen Om mig Kandidat i eksperimentel partikelfysik fra KU Laver Ph.D i

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Modellering af balance på en vippe

Modellering af balance på en vippe Modellering af balance på en vippe Dette er en beskrivelse af et undervisningsforløb i Fysik/Kemi og matematik i 8. klasse på Tingkærskolen i Odense. Deltagerne i forløbet var lærer Thor Hansen og de to

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

På jagt efter Higgs-bosonen

På jagt efter Higgs-bosonen På jagt efter Higgs-bosonen Af Stefania Xella, Niels Bohr Institutet Higgs-bosonen er den eneste partikel forudsagt af partikelfysikkens Standardmodel, som ikke er blevet observeret eksperimentelt endnu.

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen

Matematik C. Højere forberedelseseksamen Matematik C Højere forberedelseseksamen gl-2hf111-mat/c-2605201 11 Torsdag den 26. maj 2011 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Standardmodellen og moderne fysik

Standardmodellen og moderne fysik Standardmodellen og moderne fysik Christian Christensen Niels Bohr instituttet Stof og vekselvirkninger Standardmodellen Higgs LHC ATLAS Kvark-gluon plasma ALICE Dias 1 Hvad beskriver standardmodellen?

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Semantiske relationer og begrebssystemer

Semantiske relationer og begrebssystemer Semantiske relationer og begrebssystemer I denne opgave vil jeg beskæftige mig med semantiske relationer og begrebssystemer med udgangspunkt i en oplysende tekst fra Politikens Vinbog (se bilag). Jeg vil

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Noter til C# Programmering Selektion

Noter til C# Programmering Selektion Noter til C# Programmering Selektion Sætninger Alle sætninger i C# slutter med et semikolon. En sætning kontrollerer sekvensen i programafviklingen, evaluerer et udtryk eller gør ingenting Blanktegn Mellemrum,

Læs mere

LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas

LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas LHC, Higgs-partiklen og et stort hul i Texas Af Mads Toudal Frandsen Mads Toudal Frandsen er PhD på NBI og SDU, hvor han arbejder på Theory and Phenomenology of the Standard Model and Beyond. E-mail: toudal@

Læs mere

Undervisningsmateriale 5.-7. klasse. Drømmen om en overvirkelighed. Engang mente man, at drømme havde en. stor betydning. At der var et budskab at

Undervisningsmateriale 5.-7. klasse. Drømmen om en overvirkelighed. Engang mente man, at drømme havde en. stor betydning. At der var et budskab at Drømme i kunsten - surrealisme Hvilken betydning har drømme? Engang mente man, at drømme havde en Undervisningsmateriale 5.-7. klasse stor betydning. At der var et budskab at Drømmen om en overvirkelighed

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Appendiks 5: Mere om tolkningen af kvantemekanik

Appendiks 5: Mere om tolkningen af kvantemekanik Appendiks 5: Mere om tolkningen af kvantemekanik Selv om man er amatør har man naturligvis lov til at forsøge at tilfredsstille sin egen forskertrang. Jeg synes for eksempel, at det er meget spændende

Læs mere

Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed

Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed Surrealisme - Drømmen om en overvirkelighed Undervisningsmateriale 8.-10. klasse Malerier på grænsen mellem verdener En gruppe kunstnere i 1920ernes Paris troede fuldt og fast på, at man igennem kunsten

Læs mere

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET IGEN OG IGEN, LIGE SIDEN JEG SOM 16 ÅRIG FALDT PLA- DASK FOR FYSIK, PARTIKLERNE OG DET STORE UNIV- ERS. IKKE NOK MED, AT JEG KAN HUSKE, HVILKET ÅR JEG FANDT

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt.

Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Metoder og struktur ved skriftligt arbejde i idræt. Kort gennemgang omkring opgaver: Som udgangspunkt skal du når du skriver opgaver i idræt bygge den op med udgangspunkt i de taksonomiske niveauer. Dvs.

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Klasse: 2. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5(mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

Forventet bane for alfapartiklerne. Observeret bane for alfapartiklerne. Guldfolie

Forventet bane for alfapartiklerne. Observeret bane for alfapartiklerne. Guldfolie Det såkaldte Hubble-flow betegner galaksernes bevægelse væk fra hinanden. Det skyldes universets evige ekspansion, der begyndte med det berømte Big Bang. Der findes ikke noget centrum, og alle ting bevæger

Læs mere

Stofegenskaber. Tryk og opdrift Elektricitet. Start på kemi

Stofegenskaber. Tryk og opdrift Elektricitet. Start på kemi KOSMOS A KOSMOS B Færdigheds- og vidensmål Start på fysik Stofegenskaber Tryk og opdrift Elektricitet Start på kemi Stoffer i hverdagen Grundstoffer og kemiske forbindelser Ild Sol, Måne og stjerner Magnetisme

Læs mere

Vejledende læseplan Matematik

Vejledende læseplan Matematik 2008 Vejledende læseplan Matematik Fjordskolen Matematik Om faget Ifølge folkeskoleloven 5stk. 2 omfatter undervisningen i den 9-årige grundskole faget matematik for alle elever på alle klassetrin. På

Læs mere

Test af Repræsentationssystemer

Test af Repræsentationssystemer Test af Repræsentationssystemer Identificér dit foretrukne repræsentationssystem Testen kan give dig et fingerpeg om din måde at bruge dine sanser/repræsentationssystemer på, og samtidig kan du finde dine

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Elektronik og styring Kemiske metoder. Himmel og jord Energi på vej. x x x x. x x x x. x x x x. x x x x x x x x. x x x. x x

Elektronik og styring Kemiske metoder. Himmel og jord Energi på vej. x x x x. x x x x. x x x x. x x x x x x x x. x x x. x x KOSMOS C Færdigheds- og vidensmål Atomfysik Himmel og jord Energi på vej Elektronik og styring Kemiske metoder Kemisk produktion Madens kemi Kemi, menneske og samfund Naturfaglige undersøgelser Eleven

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

AT årgang Almen studieforberedelse. Tværfagligt forløb fra 1.g til 3.g

AT årgang Almen studieforberedelse. Tværfagligt forløb fra 1.g til 3.g Almen studieforberedelse AT årgang 2015-2018 Tværfagligt forløb fra 1.g til 3.g Synopsis og mundtlig eksamen i 3.g : Karakteren tæller 1½ gang i gennemsnittet! Mange fag og lærere involveret Langsom opbygning

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6

http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/6 Fortællingen som tilgang til matematik Spørger man manden på gaden, eller vore elever for den sags skyld, vil de typisk opfatte mennesket som et fornuftsvæsen, dvs. mene, at vi i bund og grund er styret

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2 KOMMUNIKATIONSSTRATEGIENS TEORETISKE FUNDAMENT I den litteratur, jeg har haft adgang til under tilblivelsen af denne publikation, har jeg ikke fundet nogen entydig definition på, hvad en kommunikationsstrategi

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Hvad er skriftlig samfundsfag. Redegør

Hvad er skriftlig samfundsfag. Redegør Hvad er skriftlig samfundsfag... 2 Redegør... 2 Angiv og argumenter... 2 Opstil hypoteser... 3 Opstil en model... 4 HV-ord, tabellæsning og beregninger... 5 Undersøg... 6 Sammenlign synspunkter... 7 Diskuter...

Læs mere

Undersøgelse: Eleven kan designe, gennemføre og evaluere undersøgelser i fysik/kemi

Undersøgelse: Eleven kan designe, gennemføre og evaluere undersøgelser i fysik/kemi Fysik og Kemi Kompetencemål: Undersøgelse: Eleven kan designe, gennemføre og evaluere undersøgelser i fysik/kemi Modellering: Eleven kan anvende og vurdere modeller i fysik/kemi Perspektivering: Eleven

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Bilag 1a. Cpr.nr. Ikke. Samlet indstilling uddannelsesparat. uddannelsesparat

Bilag 1a. Cpr.nr. Ikke. Samlet indstilling uddannelsesparat. uddannelsesparat 1 Bilag 1a Dansk: den obligatoriske optagelsesprøve Prøvegrundlag: en tekst af max 1 normalsides omfang. Teksttyperne kan være prosa, lyrik eller sagprosa. Læse sikkert og hurtigt med forståelse og indlevelse

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm

Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm Opgave design - oplæg til mundtlig prøve i matematik i 9. og 10. klasse - udvalgt baggrundsmateriale/ Mikael Skånstrøm KOM-rapporten Prøvevejledning Fælles Mål http://pub.uvm.dk/2002/kom/hel.pdf http://qa.uvm.dk/uddannelser-og-dagtilbud/folkeskolen/afsluttendeproever/om-afsluttende-proever/proevevejledninger

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Et oplæg til dokumentation og evaluering

Et oplæg til dokumentation og evaluering Et oplæg til dokumentation og evaluering Grundlæggende teori Side 1 af 11 Teoretisk grundlag for metode og dokumentation: )...3 Indsamling af data:...4 Forskellige måder at angribe undersøgelsen på:...6

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere