Forsøgsundervisning i bioteknologi ved gymnasiale uddannelser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forsøgsundervisning i bioteknologi ved gymnasiale uddannelser"

Transkript

1 Forsøgsundervisning i bioteknologi ved gymnasiale uddannelser

2 Enzymkinetik Nordsjællands biotek fond 24 Forfattere Hans hr. Jensen, Lektor, Frederikssund Gymnasium Ulla hristensen, Kemisk Institut, Københavns Universitet Jakob Schiødt, Adjunkt, Helsingør Gymnasium Korrektur Ib Geert Petersen, Lektor, Frederikssund Gymnasium Undervisningsmaterialet er udarbejdet til forsøgsundervisning i bioteknologi på højt niveau i gymnasiet og finansieret af Nordsjællands Biotek Fond. Dele af undervisningsmaterialet kan dog også anvendes i fagene biologi og kemi på højt niveau. Bioteknologi er et 2-årigt højniveaufag, der fra skoleåret 23/24 udbydes på 9 gymnasier fordelt med 6 i Fyns Amt, 2 i Frederiksborg Amt og l i Vejle Amt. Udviklingen af undervisningen i bioteknologi, der i dag som videnskabsfag er placeret mellem biologi, biokemi, kemi og medicin, skal ses både som et forsøg på faglig nytænkning af samspillet mellem undervisningsfagene biologi og kemi med henblik på en kommende gymnasiereform og som et forsøg på at skabe et nyt naturvidenskabeligt fag- og arbejdsområde, som kan tiltrække yderligere elever til området. Forsøgsundervisningen i bioteknologi ved gymnasiale uddannelser støttes af Undervisningsministeriet, Frederiksborg og Fyns Amter. Mere om forsøgsundervisningen i bioteknologi kan ses på web-adressen: Forsidebilledet viser enzymet human carboanhydrase II, som er katalysator for reaktionen H 2 (l) + 2 (g) H 3 - (aq) + H + (aq) arboanhydrase er et af de hurtigste enzymer man kender. Et molekyle kan omsætte 1. 2 molekyler pr. sek. Billede på grundlag af filen 1a42.pdb i Protein Data Bank.

3 Enzymkinetik Side 2 Indhold Enzymkinetik...3 Enzymer er katalysatorer...3 Flere trin i enzymreaktion...5 Reaktionshastighed...5 Initialhastighed...6 Stationær tilstand (steady state)...7 Michaelis-Menten modellen...8 Bestemmelse af K M og V max...9 Enzymhæmning...1 Kompetitiv hæmning forøger K M, men påvirker ikke V max...1 Non-kompetitiv hæmning nedsætter V max men påvirker ikke K M...11 Trypsin og ph...12 Virkeligheden er ofte mere kompliceret...14 Irreversibel hæmning...15 Substratkoncentration som funktion af tiden...17 Første ordens reaktion når [S] << K M...17 Eksempel: Hydrolyse af aspirin...18 Nulte ordens reaktion når [S] >> K M...19 Eksempel: Alkohol sætter leveren på arbejde...19 Appendix 1. Udledning af Michaelis-Menten formel...2 Modellen...2 Udledning af MM ligning...2 Appendix 2. IT-værktøjer til Michaelis-Menten model...21 v V K max 1 M S

4 Enzymkinetik Side 3 Enzymer er katalysatorer Enzymkinetik Enzymer er meget specifikke katalysatorer, dvs. hvert enzym virker ofte kun katalytisk på en enkelt biokemisk reaktion. Derfor finder man i en typisk celle flere tusinde forskellige enzymer. Hemmeligheden bag denne specificitet ligger i den måde, det aktive center er opbygget på. Det aktive center er en slags lomme eller grotte, der er formet ved, at enzymets proteindel er foldet på en karakteristisk måde. Den tredimensionale struktur og de aminosyrer, der befinder sig i grottens dyb, sikrer, at kun et bestemt substrat passer ind i bindingsstedet. I nogle enzymer indgår der også en eller flere cofaktorer. Der findes to funktionelle enheder i enzymet, en bindingsdel og en katalyseringsdel. En simpel model for en enzymreaktion, hvor et substrat omdannes til et produkt, opdeles i tre trin. I det første trin sørger bindingsdelen for, at substratet bindes til enzymet, så der dannes et enzym-substrat kompleks, der betegnes ES. I det andet trin katalyseres den kemiske reaktion i det aktive center, så der via et mellemtrin (aktiveret kompleks EX 1 ) dannes et enzym-produkt kompleks EP. Derefter splittes komplekset EP op i enzym E og produkt P. Enzymet er ikke blevet omdannet på nogen måde, og kan reagere igen med et substratmolekyle. E a (uden enzym) EX E a G E+S ES EP E+P Figur 1. Aktiveringsenergien E a for dannelse af aktiveret kompleks er mindre med enzym til stede end uden enzym. Den kemiske reaktion vil derfor kunne forløbe hurtigere med enzym til stede. Enzymet forøger reaktionshastigheden ved at nedsætte aktiveringsenergien, men det ændrer ikke på reaktionens energiafgivelse. Tilvæksten i Gibbs energi, G, er den samme med eller uden enzym til stede. 1 Vi kan tænke på aktiveret kompleks som en tilstand hvor gamle kemiske bindinger er ved at blive brudt og nye kemiske bindinger er ved at blive dannet.

5 Enzymkinetik Side 4 For en god ordens skyld skal det nævnes, at enzymer naturligvis katalyserer både den reaktion, der forløber mod højre og den, der forløber mod venstre. Hvilken af reaktionerne, der er dominerende, afgøres af G for reaktionen. Enzymkatalyserede reaktioner kan altså ligesom alle andre ligevægtssystemer forskydes mod højre eller venstre ved at ændre på ligevægtsbetingelserne (koncentration af substrat og produkt, tryk og temperatur). Enzymer er klassificeret efter de reaktioner de katalyserer. De inddeles i 6 hovedklasser og 3 underklasser og tildeles på denne måde et E nummer (Enzyme lassification). E nummeret for fordøjelsesenzymet trypsin fremkommer på denne måde: E Hydrolaser. E Virker på amidbinding (peptidhydrolaser). E Serin endopeptidaser. E Trypsin. Figur 2 Substrat i trypsins bindingslomme. Figur 3. Substrat (vist med rødbrun farve) i det aktive center i enzymet trypsin. En amidbinding i substratet er markeret. En del af trypsin-kædens rygrad er vist med blå streg. Til venstre ses de tre aminosyrer, der er vigtigst for selve katalysen. Det er serin, histidin og aspartat. Vekselvirkning mellem aminosyrerne (vist som hvide prikker) aktiverer serin ved at trække i serins hydrogenatom. Det gør serin mere aktiv, så den bedre kan angribe amidbindingen i substratet. Bemærk den lange lysin sidekæde i substratet. En anden aspastatgruppe i enzymet (ses i højre side) vekselvirker med lysin (ionbinding), og bringer derved amidbindingen i nærheden af serin. Denne mekanisme gør, at trypsin er tilbøjelig til at hydrolysere amidbindinger ved lysin eller arginin. Se endvidere figur 13a og 13b, under enzymhæmning.

6 Enzymkinetik Side 5 Flere trin i enzymreaktion En simpel enzymreaktion kan beskrives som en tretrins proces: Trin 1 Trin 2 Trin 3 E + S k 1 ES k 2 k 3 EP E + P k -1 k -3 Enzymbinding Katalytisk proces Enzym frigøres Figur 4. Enzymatisk reaktion som tretrins reaktion Trin 1 er reversibelt, da enzymet kan afgive substratet inden det er blevet omdannet til produktet. I trin 2 sker en katalytisk omdannelse af ES til EP. Dette trin er i praksis irreversibelt, i det mindste i starten af en enzymreaktion, hvor der ikke er dannet ret meget P. Det tredje trin er spaltningen af EP komplekset til E + P. Hvis dette trin er hurtigt, bliver EP spaltet så snart det er dannet, det gælder fx for enzymet lysozym. Vi vil begrænse os til sådanne tilfælde og kan så forenkle reaktionsforløbet til en totrins model, hvor hastighedskonstanten for det hastighedsbestemmende trin kaldes k kat : Trin 1 Trin 2 E + S k 1 ES k kat E + P k -1 Reaktionshastighed Enzymbinding Katalytisk proces Figur 5. Enzymatisk reaktion som totrins reaktion Reaktionshastigheden v er defineret som tilvæksten i den aktuelle koncentration af produkt [P] pr tidsenhed: [P] v t ofte anvendt enhed µmol L min µm min I praksis angiver man ofte hvor mange mikromol P der dannes pr. liter opløsning pr minut, reaktionshastigheden får da enheden µm min. Trin 2 er flaskehalsen, som bestemmer, hvor hurtigt produktet P bliver dannet. Dannelsen af P i trin 2 må stige og falde i takt med koncentrationen af enzym-substrat kompleks ES. Reaktionshastigheden er med andre ord proportional med [ES] og givet ved udtrykket v = k kat [ES]

7 Enzymkinetik Side 6 Proportionalitetskonstanten k kat har enhed min -1 (eller sek -1 ). Talværdien af k kat angiver det maksimale antal molekyler, et enzymmolekyle kan omdanne pr. tidsenhed, tallet kaldes enzymets "turnover number". Hvis vi var i stand til at måle sammenhørende værdier af reaktionshastighed v og koncentration [ES] for et specifikt enzym og substrat, kunne vi beregne hastighedskonstanten k kat. Men [ES] optræder normalt ikke i en koncentration, der kan måles direkte. Da enzymet under reaktionen er enten frit eller bundet til substrat, må der gælde at [E] + [ES] = [E], hvor [E] er startkoncentrationen. Startkoncentrationen af enzym, [E], kan man bestemme. Initialhastighed Substratet ortho-nitrophenylgalactosid (NPG) kan spaltes under indvirkning af enzymet - galactosidase. Der dannes galactose og ortho-nitrophenol (NP), se figur 9. Dannelsen af NP kan følges ved at måle reaktionsblandingens absorbans ved 42 nm, hvor NP absorberer mere end andre stoffer i reaktionsblandingen. Figur 6 viser absorbans som funktion af tiden i to forsøg med forskellige substratkoncentrationer. Enzymkoncentrationen var den samme i begge forsøg. I begyndelsen er kurverne næsten rette linjer. Tangenternes hældningskoefficient blev bestemt vha. programmet DATALYSE. 1,6 ABS [S] = 8 mm 1,4 Hældningskoefficient,212 s -1 1,2 1,8 [S] = 2 mm,6 Hældningskoefficient,121 s -1,4,2 t/s Figur 6. Absorbans som funktion af tid.

8 Enzymkinetik Side 7 Reaktionshastigheden beregnes vha. Lambert Beers lov A = [NP] l Den molare absorbans for NP ved 42 nm er 42 = 45 M -1 cm -1 og l = 1 cm er lysvejen Tilvækst i absorbans A er proportional med tilvækst i koncentration [NP] A = [NP] l Tilvækst pr. tidsenhed finder vi ved at dividere med t A [NP] A l v l t t t [NP] A v og tangentens hældningskoefficient, dvs.: t t hældningskoefficient hældningskoefficient v l v l 1,212s 6 M µm µm Initialhastighed v 4, s 4,7 s 4,7 6 min M cm 1cm Man taler om initialhastighed, fordi det er hastigheden i begyndelsen af reaktionen. µm min Stationær tilstand (steady state) Når substrat og enzym er blandet sammen, stiger koncentrationen [ES] hurtigt. Der opstår hurtigt en tilstand, hvor dannelsen af ES (figur 5 trin 1 mod højre) foregår med samme hastighed som spaltningen af ES (figur 5 trin 1 mod venstre samt trin 2 mod højre). I denne såkaldte stationære tilstand (engelsk: Steady state) vil [ES] være konstant. Figur 7. Koncentrationer som funktion af tiden under en enzymreaktion. Michaelis- Menten modellen gælder kun, hvis [S] > 1 [ES]. Y-skalaen i grafens venstre side gælder for [ES], og y-skalen i højre side gælder for [S] og [P]. [ES] vil som regel være konstant efter ca. 1ms. Reaktionshastigheden bestemmes af [P]-grafens hældningskoefficient. Efterhånden som tiden går, vil [ES] og reaktionshastigheden langsomt aftage, i takt med at [S] aftager.

9 Enzymkinetik Side 8 Michaelis-Menten modellen Man kan opstille en matematisk model for reaktionshastigheden i begyndelsen af den stationære tilstand 2. Modellen kaldes Michaelis-Menten modellen. Den kan sammenfattes i følgende tre ligninger: v = k kat [ES] (1) [E] = [E] + [ES] (2) [S] >> [E] Vi ser bort fra den mulighed, at E + P kan omdannes tilbage til ES. Denne antagelse er rimelig i starten af reaktionen, hvor [P] er lille. Man taler så om initial-hastigheden (eng.: initial = begyndelse). Enzymet findes enten frit eller bundet til substrat. Det antages, at der et stort overskud af substrat i forhold til enzym. [E] [S] K [ES] M (3) I den initiale stationære tilstand er der (næsten) konstante koncentrationer af E, S og ES. Den viste brøk, som man kalder Michaelis-konstanten K M, har derfor en konstant værdi. K M fortæller noget om, hvor effektiv substratbindingen er 3. En stor værdi af K M svarer til en relativt stor koncentration af E i forhold til en relativt lille koncentration af ES - substratbindingen er med andre ord ikke effektiv. mvendt svarer en lille værdi af K M til relativt stor [ES] - mol substratbindingen er effektiv. Bemærk, at K M har enheden L. Ved lidt formelgymnastik kommer man frem til Michaelis-Menten ligningen, der angiver initialhastigheden i den stationære tilstand som funktion af substratkoncentrationen [S]. Se appendix 1. v Vmax K 1 M S Leonor Michaelis og Maud Menten publicerede en model for enzymkinetik i Kaldes også initial steady state hastighed. 3 k 1 kkat K M kan udtrykkes ved hastighedskonstanterne idet KM k 1

10 Enzymkinetik Side 9 Figur 8. Michaelis-Menten graf. Initialhastighed v som funktion af [S]. Kurven har to asymptoter. Når [S] << K M, er hastigheden proportional med [S] dvs. reaktionen forløber som 1. ordens reaktion. Når [S] >> K M, nærmer hastigheden sig asymptotisk til en maksimalværdi V max. Maksimalværdien svarer til den tænkte situation, at enzymet er fuldstændig mættet med substrat; hastigheden er da uafhængig af [S] (en nulte ordens reaktion). Som det fremgår af figuren, opnår man ikke i praksis målinger ved maksimalhastighed. Når [S] = K M er hastigheden det halve af V max. Bestemmelse af K M og V max Substratet ortho-nitrophenylgalactosid (NPG) kan spaltes under indvirkning af enzymet - galactosidase. Der dannes -galactose og ortho-nitrophenol (NP), som er gult. H H H 2 H H H H H H H H H N 2 H 2 H H H 2 H H H H H H H H H H H N 2 H H H H Figur 9. NPG spaltes ved hydrolyse. En gymnasieklasse gennemførte en række forsøg med forskellige koncentrationer af NPG, og dannelsen af NP blev fulgt ved at måle reaktionsblandingens absorbans ved 42 nm (se også figur 6). Konstanterne K M og V max blev bestemt ved at tilpasse en Michaelis-Menten kurve til eksperimentelle data vha. et regneark (se figur 1 og appendix 2). Konstanterne K M og V max bruges til at karakterisere enzymreaktioner. Ikke alle enzymreaktioner kan beskrives ved den simple Michaelis-Menten model.

11 Enzymkinetik Side 1 Figur 1. Tilpasning af Michaelis-Menten kurve til eksperimentelle data vha. regnearket mm-tilpasning.xls. Enzymhæmning Der findes overordnet to forskellige typer af enzymhæmning - reversibel og irreversibel. Ved en reversibel hæmning bindes det hæmmende molekyle eller ion, ikke-covalent til enzymet. Den reversible hæmning kan opdeles i to typer - kompetitiv og non-kompetitiv. Det hæmmende stof kaldes en inhibitor (engelsk inhibit: at hæmme, blokere). Reversibel hæmning - kompetitiv - non-kompetitiv Irreversibel hæmning Kompetitiv hæmning forøger K M, men påvirker ikke V max Ved kompetitiv hæmning sætter inhibitor sig i enzymets bindingslomme og blokerer dermed for substratets binding. Reaktionshastigheden bliver mindre, men den kan øges ved at hæve substratkoncentrationen. Da substrat og hæmmende molekyle konkurrerer om samme bindingssted i enzymet, vokser sandsynligheden for, at et substratmolekyle binder sig i enzymets aktive center, når substratkoncentrationen vokser. En kompetitiv inhibitor gør K M større, men ændrer ikke på V max. BANA (2-N-benzoyl L-arginin 4 -nitroanilid) er et modelsubstrat, som kan bruges til at undersøge enzymer, der katalyserer spaltning af amidbinding (peptidbinding). Reaktionsforløbet kan måles ved at følge absorbansen ved 41 nm, idet det dannede 4-nitroanilin ved denne bølgelængde absorberer meget mere lys end substratet. Se figur 11a.

12 Enzymkinetik Side 11 NH N 2 H 2 H H 2 N N 2 NH NH + H 2 N NH 2 + H 2 N NH 2 Figur11a. BANA (2-N-benzoyl L-arginin 4 -nitroanilid) er et modelsubstrat, som kan bruges til at undersøge enzymer, der katalyserer spaltning af amidbinding (peptidbinding). Amidbindingen er markeret med en kraftigere streg. Reaktionsforløbet kan måles ved at følge absorbansen ved 41 nm, idet det dannede 4-nitroanilin ved denne bølgelængde absorberer meget mere lys end substratet. NH 2 NH 2 + Fig. 11b. BZA (Benzamidin) kan bindes til trypsins bindingslomme, og herved forhindres et substrat i at binde. BZA virker altså som en kompetitiv inhibitor. 25 BANA og trypsin. ph = 7,2. Inhibitor BZA V max v (M/min) ,5 1 1,5 2 2,5 [BANA] (mm) Figur 12. Hydrolyse af BANA katalyseret af trypsin. K M stiger i takt med stigende koncentration af inhibitoren BZA. Non-kompetitiv hæmning nedsætter V max, men påvirker ikke K M Ved non-kompetitiv hæmning sker der en ændring i enzymet, så den katalytiske proces bliver mindre effektiv. Eftersom inhibitoren og substratet ikke konkurrerer om pladsen i bindingslommen, så kan en højere substratkoncentration ikke udkonkurrere inhibitoren. K M vil derfor være uændret ved ikke-kompetitiv hæmning. Den maximale reaktionshastighed, V max,, vil derimod blive mindre.

13 Enzymkinetik Side 12 H + ioner kan virke som en non-kompetitiv hæmmer af enzymet trypsin. I det følgende vises først enzymet ved et ph, hvor trypsin ikke er hæmmet (figur 13a og b), derefter ved et ph, hvor enzymet er hæmmet af H + (figur 14a og b). His 57 H 2 His 57 Asp 12 H 2 H - H N H H 3 H N H H H B kæde 1-28 Ser 195 H 2 H 2 H 2 NH + H 3 2 H 2 - H 2 Asp 189 Asp 12 H 2 - NH 2 H H H 3 Produkt 1 H 2 H N H H B kæde 1-28 Ser 195 H 2 H 2 H 2 H 2 H 2 - NH 3 + H 2 Asp 189 Figur 13a. Hydrolysen af en amidbinding (peptidbinding) katalyseret af enzymet trypsin. Substratet, insulins B-kæde, er vist med rødt. En del af trypsins bindingslomme og de tre aminosyrer, der er vigtigst for selve katalysen, er vist med blåt. Substratet bindes til enzymet ved, at den primære aminogruppe fra lysin vekselvirker med syregruppen i enzymets asparaginsyre189 (ionbinding). Derved bliver amidbindingen bragt på plads i forhold til Serin195. Denne aminosyre er aktiveret ved vekselvirkning med Histidin57 og asparaginsyre12 og angriber amidbindingen. Alanin (det ene af to produkter) bliver fraspaltet og resten af det oprindelige substrat bliver midlertidigt bundet kovalent til enzymet med en esterbinding. His 57 His 57 H 2 H 2 Asp 12 H 2 - H H N Ser 195 H 2 + H 2 Asp 12 H 2 - H N H H Ser 195 H 2 H H 2 H 2 H 2 - H 2 Asp 189 H H H 2 H 2 H 2 H 2 NH H 2 Asp 189 B kæde 1-28 H 2 NH 3 + B kæde 1-28 Produkt 2 Figur 13b. Et vandmolekyle angriber den dannede esterbinding mellem serin195 og substratet. Herved hydrolyseres esterbindingen. Enzymet gendannes og frigiver det andet produkt, en insulin B-kæde, der nu er en aminosyre kortere. Trypsin og ph Trypsins aktivitet er afhængig af ph. Det hænger sammen med protonisering af histidin57. Protoniseringens afhængighed af ph kan illustreres i et Bjerrumdiagram. Når histidin er bundet i et protein, afviger syrestyrken pk s fra syrestyrken af den frie aminosyre.

14 Enzymkinetik Side 13 Histidin syrebrøk 1,9,8,7,6,5,4,3,2, ph Figur 14a. Bjerrumdiagram for histidin i trypsin. Værdien af pk s er vanskelig at bestemme præcist. Her er den sat til 6. His 57 His 57 H 2 H 2 Asp 12 H 2 - H N H H Ser 195 H 2 + H + Asp 12 H 2 - H H NH+ H Ser 195 H 2 H 3 H 3 H H NH H H 2 H 2 NH + H 3 2 H 2 - H 2 Asp H + H H NH - H 2 H 2 NH + H H 3 2 H 2 H 2 Asp 189 B kæde 1-28 B kæde 1-28 Figur 14b. Samme enzym og substrat som i figur 13. Ved lav ph er ligevægten forskudt mod højre og histidin57 bliver protoniseret så den ikke kan trække i serin195 s hydrogenatom (se fig.3). Substratets ionbinding til aspartat189 er imidlertid uændret. Da substratet altså bindes ligeså godt som ved højere ph, er K M uændret. Når histidin57 er fuldt protoniseret, kan enzymet ikke katalysere spaltningen af amidbindingen, hvilket svarer til en k kat min 1. Når en del af histidin er protoniseret, er katalysen nedsat. Figur 14c. Trypsins sekundære struktur.

15 Enzymkinetik Side 14 I figur 15 ses 3 grafer med data for hydrolyse af BANA med trypsin. Den katalytiske aktivitet aftager efterhånden som histidin57 i det aktive center bliver mere og mere protoniseret. V max v (M/min) BANA og trypsin. ph = 7,2 ph = 7,2 5,5 1 1,5 2 2,5 [BANA] (mm) 25 BANA og trypsin. ph = 6, 2 v (M/min) 15 V max 1 ph = 6, 5,5 1 1,5 2 2,5 [BANA] (mm) 25 BANA og trypsin. ph = 5,5 2 v (M/min) 15 1 ph = 5,5 V max 5,5 1 1,5 2 2,5 [BANA] (mm) Figur 15. BANA og trypsin ved forskellige ph. Virkeligheden er ofte mere kompliceret Non-kompetitiv er ikke en særlig almindelig form for hæmning. Det er sjældent, at substratet bindes fuldstændigt uændret, når den katalytiske proces er mindre effektiv (fordi der er sket ændringer af konformation af aminosyrer i det aktive center). Det mest almindelige er, at der er tale om en blanding af kompetitiv og ikke-kompetitiv hæmning, hvor både K M og V max påvirkes i forskellig grad.

16 Enzymkinetik Side 15 Irreversibel hæmning Ved irreversibel hæmning kan det hæmmende molekyle binde sig covalent til enzymet. Næsten alle hæmmere, der binder sig covalent, er toxiske substanser. En anden type irreversibel hæmning er de såkaldte "selvmordshæmmere". De har fået dette tilnavn, fordi enzymet inaktiverer sig selv, hvis det reagerer med "det falske substrat". Nervegassen sarin er et eksempel på en irreversibel inhibitor. Sarin blev anvendt ved en terroraktion i Tokyos undergrundsbane i Stoffet er meget giftigt, hvis 1 personer i 1 min udsættes for en gaskoncentration på 1 mg/m 3, vil halvdelen af dem omkomme. Sarin kan bindes til enzymet acetylcholinesterase. Først ser vi på enzymets normale funktion. Når der skal overføres et nervesignal fra en nervecelle til en nabonervecelle, er acetylcholin i mange tilfælde det stof, der overfører signalet (transmitterstoffet). H 3 H 3 N + H 2 H 2 H 3 H 3 acetylcholin Når nervesignalet skal overføres, frigives der acetylcholin fra afsendernervecellen. Acetylcholin påvirker receptorer på modtagernervecellen, således at membranens permeabilitet for a 2 ændres, og hermed starter modtagernervecellen et elektrisk nervesignal. Et kemisk signal er blevet lavet om til et elektrisk signal. I det lille mellemrum mellem de to celler findes enzymet acetylcholinesterase. Dette enzym katalyserer spaltningen af acetylcholin, således at transmitterstoffet bliver fjernet igen, og det kemiske nervesignal ophører. H 3 H 3 acetylcholinesterase N + H 2 + H 2 H 2 H3 H 3 H 3 H 3 N + H 3 H 2 H 2 H + + H+ - H 3 acetylcholin cholin acetat Figur 16. Acetylcholinesterase spalter acetylcholin. I det aktive center på acetylcholinesterase sidder blandt andet aminosyren serin hvis sidekæde indeholder en hydroxygruppe. En gruppe stoffer, der kaldes organophosphater, kan binde sig serins hydroxygruppe. Nervegassen sarin er et eksempel på en organophosphat. H 3 H 3 F H P sarin H 3

17 Enzymkinetik Side 16 Når sarin bindes til det aktive center i enzymet dannes en meget stabil esterbinding. Det aktive center er blevet blokeret, og acetylcholin kan ikke bindes. Enzymet er blevet irreversibelt hæmmet. glu NH H H 2 ala glu NH H H 2 ala H 2 H 2 H 3 H P H 3 P + HF H 3 H F H3 H 3 H H 3 Figur 17a. Irreversibel hæmning af acetylcholinesterase med sarin. Aminosyrer fra enzymet er vist med blåt. Sarin er vist med rødt. Figur 17b. Nogle slangers toksiner angriber acetylcholinesterase. Billedet til venstre viser et lodret kig gennem tunnelen, der fører ned til det aktive center i acetylcholinesterase. Det aktive serin i det katalytiske center er vist med rødt. Billedet til højre viser, hvordan en dødelig toxin fra den østlige grønne mamba blokerer for adgang til det aktive center, og dermed forgifter enzymet. Læs mere på: (aktiv ).

18 Enzymkinetik Side 17 Substratkoncentration som funktion af tiden Michalis-Menten modellen beskriver, hvordan reaktionshastigheden for en enzymatisk reaktion afhænger af substratkoncentrationen. MM modellen er nyttig, fordi de to parametre V max og K M kan bruges til at karakterisere, hvor effektive forskellige enzymer er. Nu skal vi se på enzymreaktionen fra en anden vinkel, idet vi stiller spørgsmålet: Hvordan aftager substratkoncentrationen som funktion af tiden? Svaret på dette spørgsmål afhænger af hvor stor [S] er i forhold til K M. Der er tre situationer: [S] er lille i forhold til K M, [S] er inden for samme størrelsesorden som K M eller [S] er stor i forhold til K M. Den første og sidste situation er relativt simple at regne på, hvorimod det er mere komplekst når [S] er inden for samme størrelsesorden som K M. Vi vil kun redegøre for de to simple situationer under overskrifterne første ordens reaktion og nulte ordens reaktion. Vi kan tage udgangspunkt i MM modellens udtryk for stationær tilstand og den situation, hvor [S] er lille i forhold til K M : [E] [S] [ES] K M og omskriver det til [E] [S] [ES] K M Dette indsættes i udtrykket for reaktionshastigheden v k [E] [S] kcat [ ES kcat [E] [S] konst [E] [S] ; altså er K K cat ] v konst [E][S] M M Reaktionshastigheden er proportional med koncentration af frit enzym og proportional med koncentration af frit substrat. Det er ikke overraskende, når vi tænker på, at enzymreaktionen indledes med, at S binder sig til E. Man bruger talemåden, at reaktionshastigheden er af første orden mht. [E] og af første orden mht. [S]. Alt i alt er reaktionshastigheden så af anden orden (idet to aktuelle koncentrationer hver optræder i første potens i ligningen ovenfor). Første ordens reaktion når [S] << K M I stationær tilstand er [ES] (næsten) konstant, og så må [E] jo også være (næsten) konstant 4. Udtrykket for reaktionshastigheden kan derfor, i det tilfælde, hvor [S] er lille i forhold til K M, yderligere reduceres til v k [S] Under de givne omstændigheder falder reaktionshastigheden, i takt med at [S] falder. Vi har at gøre med en første ordens reaktion. Hastighedskonstanten k har enheden s -1 eller min -1. [S] Vi kan omskrive endnu en gang, idet vi bruger definitionen v [ S] k [S] ; en første ordens differentialligning siger man i matematikken t I matematik viser man, at ovenstående differentialligning har en løsning for [S] som funktion af tid 5 : t 4 På grund af stofbevarelse!

19 Enzymkinetik Side 18 [S] k [S] [S] [S] t e k t ; [S] er startkoncentrationen, mindre end K M Substratkoncentrationen aftager eksponentielt som funktion af tiden. Et kendetegn for eksponentiel udvikling er en konstant halveringstid T ½. Det er ikke overraskende, at en lille hastighedskonstant giver en stor halveringstid og omvendt. Matematisk er der følgende sammenhæng (sml. med radioaktivt henfald!) T ½ ln(2) ln(2) k k T ½ 14 1 [S] t / min [S] t / min Figur 18a. [S] aftager eksponentielt i første ordens reaktion. Hvad er halveringstiden? Hvad er hastighedskonstanten? Hvor meget er der tilbage efter 2 min? Figur 18b. I enkeltlogaritmisk afbildning fås en ret linje. Halveringstiden aflæses til 2 min. Eksempel: Hydrolyse af aspirin Når lægemidlet Aspirin er optaget i blodet, bliver det (blandt andet) udsat for hydrolyse. Reaktionen kan betragtes som en første ordens reaktion mht. koncentration af Aspirin. Halveringstiden T ½ = 3 min. Hvornår er 94% af aspirinen hydrolyseret? Svar: ln( 2) ln(2) 1 Hastighedskonstanten k,231min T ½ 3min Der er 6% tilbage, når 94% er hydrolyseret. Vi har da ligningen k t k t ln(,6),6 [ A] [ A] e,6 e ln(,6) k t t k 2, 81 t 12 min 2 timer, 231 min 1 94% af Aspirin er altså efter denne model hydrolyseret efter 2 timer. 5 Radioaktivt henfald beskrives i fysik ved samme matematiske model N t k N N kt N e

20 Enzymkinetik Side 19 Nulte ordens reaktion når [S] >> K M Vi husker fra Michaelis-Menten modellen, at reaktionshastigheden nærmer sig asymptotisk til en maksimal værdi ved høje substratkoncentrationer. Hvis [S] er stor i forhold til K M kan man tilnærmet regne med, at reaktionshastigheden er konstant. [S] v konst konst t ; for [S] >> K M Hvis [S] er stor i forhold til K M omsættes en konstant mængde substrat pr. min. Man siger at reaktionen da forløber som en nulte ordens reaktion (fordi der ikke optræder en koncentrationsafhængighed i hastighedsudtrykket). En analogi fra hverdagen er et brændende lys, det brænder ned med en konstant fart. Ved nulte ordens reaktion kan man også tale om en halveringstid, men den er ikke konstant, og bruges sjældent! Eksempel: Alkohol sætter leveren på arbejde Alkohol forbrændes først og fremmest i leveren, ved hjælp af enzymer. Medfødte forskelle, sygdom og medicin kan betyde, at alkoholen forbrændes hurtigere eller langsommere. Forbrændingen øges ikke væsentligt ved at drikke kaffe, danse, tage brusebad eller gå en tur i den friske luft. I praksis afhænger den hastighed, som alkohol forbrændes med, normalt kun af én ting: Personens levers vægt. Som tommelfingerregel regner man med, at voksne raske personer forbrænder 1 1,5 gram alkohol pr. 1 kg legemsvægt i timen. En person på 6 kg forbrænder altså 6-9 gram alkohol i timen, eller 1 genstand (12 gram ren alkohol) på mellem 1 time og 2 minutter og 2 timer. Figur 19 msætning af ethanol i person på 6 kg. masse alkohol / g tid /min til elektrontransportkæden til TA-cyclen NAD + NADH + H + NAD + + H 2 NADH + H + H 3 H 2 H H 3 H H 3 H alkohol dehydrogenase acetaldehyd dehydrogenase Figur 2. Ethanol nedbrydes via acetaldehyd (ethanal) til acetat. Acetat omdannes videre til acetyl coenzyma, som indgår i citronsyrecyklus (TA-cyklus). Acetaldehyd er generende i små mængder (tømmermænd) og giftigt i større koncentrationer. Antabus virker som en hæmmer (blandet kompetetiv og non-kompetitv) af enzymet acetaldehyd dehydrogenase. Billedkilde:

21 Enzymkinetik Side 2 Appendix 1. Udledning af Michaelis-Menten formel Trin 1 Trin 2 E + S k 1 ES k kat E + P k -1 Enzymbinding Katalytisk proces Modellen Vi ser bort fra den mulighed at E + P kan omdannes tilbage til ES. Denne antagelse er rimelig i starten af reaktionen, hvor [P] er lille. Man taler så om initial-hastigheden (eng.: initial = begyndelse). Enzymet findes enten frit eller bundet til substrat. Det antages at der et stort overskud af substrat i forhold til enzym. v = k kat [ES] (1) [E] = [E] + [ES] (2) [S] >> [E] I den initiale stationære tilstand er der (næsten) konstante koncentrationer af E, S og ES. Den viste brøk, som man kalder Michaelis-konstanten K M, har derfor en konstant værdi. [E] [S] K [ES] M (3) Udledning af MM ligning Løs ligning 3 for [E] og indsæt i ligning 2. mskriv ligning 2. [E] M [ES] M K [ES] ( K 1) [S] [S] [ES] 1 [E] KM 1 [S] [ES] Multiplicer venstre side med hastigheder. V max = k kat [E] k k kat kat for at indføre k k kat kat [ES] 1 [E] K M [S] 1 Michaelis-Menten ligningen v V max 1 KM 1 [S] eller v V max 1 K M 1 [ S] Michaelis-Menten konstanten K M For [S] = K M fås v 1 Vmax 2

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Amalie Avnborg 2.y SRO 18/3-12

Amalie Avnborg 2.y SRO 18/3-12 Side 1 af 23 SRO for 2. y 2012 Opgaveformulering: Med udgangspunkt i enzymet catecholase, som du har lavet to forsøg med, skal du lave enzymkinetiske undersøgelser. Du skal redegøre for centrale begreber

Læs mere

Reaktionshastighedens temperaturafhængighed og Arrheniusligningen... 28 Mihaelis-Menten-kinetik... 31 Overblik... 35 Opgaver... 36

Reaktionshastighedens temperaturafhængighed og Arrheniusligningen... 28 Mihaelis-Menten-kinetik... 31 Overblik... 35 Opgaver... 36 Reaktionshastighed... 12 Reaktionshastighedens afhængighed af koncentration... 14 Reaktionsorden... 15 Reaktionsmekanismer... 24 Nukleofile substitutionsreaktioner... 25 Reaktionshastighedens temperaturafhængighed

Læs mere

Noter til kemi A-niveau

Noter til kemi A-niveau Noter til kemi A-niveau Grundlæggende kemi til opgaveregning 2.0 Af Martin Sparre INDHOLD 2 Indhold 1 Kemiske ligevægte 3 1.1 En simpel kemisk ligevægt.................... 3 1.2 Forskydning af ligevægte.....................

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kemi A. Studentereksamen

Kemi A. Studentereksamen Kemi A Studentereksamen 2stx111-KEM/A-30052011 Mandag den 30. maj 2011 kl. 9.00-14.00 pgavesættet består af 4 opgaver med i alt 18 spørgsmål samt 2 bilag i 2 eksemplarer. Svarene på de stillede spørgsmål

Læs mere

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler

Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Projekt 4.2. Nedbrydning af rusmidler Dette projekt lægger op til et samarbejde med biologi eller idræt, men kan også gennemføres som et projekt i matematik, hvor fokus er at studere forskellen på lineære

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Bioteknologi A. Studentereksamen. Af opgaverne 1 og 2 skal begge opgaver besvares. Af opgaverne 3 og 4 skal en og kun en af opgaverne besvares.

Bioteknologi A. Studentereksamen. Af opgaverne 1 og 2 skal begge opgaver besvares. Af opgaverne 3 og 4 skal en og kun en af opgaverne besvares. Bioteknologi A Studentereksamen Af opgaverne 1 og 2 skal begge opgaver besvares. Af opgaverne 3 og 4 skal en og kun en af opgaverne besvares. frs111-btk/a-31052011 Tirsdag den 31. maj 2011 kl. 9.00-14.00

Læs mere

Redoxprocessernes energiforhold

Redoxprocessernes energiforhold Bioteknologi 2, Tema 3 Opgave 8 Redoxprocessernes energiforhold Dette link uddyber energiforholdene i redoxprocesser. Stofskiftet handler jo netop om at der bindes energi i de organiske stoffer ved de

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kendskab til organiske forbindelser Kende alkoholen ethanol samt enkelte andre simple alkoholer Vide, hvad der kendetegner en alkohol Vide, hvordan alkoholprocenter beregnes;

Læs mere

Kemi Lærebog: H. Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1 & 2

Kemi Lærebog: H. Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1 & 2 Molekylær Biomedicin A 1. semester Seneste revision: september 2004 Kemi Lærebog: H. Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1 & 2 1) Genkende det periodiske system og de vigtigste grundstoffer. 2) Angive vigtige salte,

Læs mere

Syv transmembrane receptorer

Syv transmembrane receptorer Syv transmembrane receptorer Receptoren som kommunikationscentral Cellemembranen definerer grænsen mellem en celles indre og ydre miljø, der er meget forskelligt. Det er essentielt for cellens funktion

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose)

Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose) Kvantitativ bestemmelse af reducerende sukker (glukose) Baggrund: Det viser sig at en del af de sukkerarter vi indtager med vores mad er hvad man i fagsproget kalder reducerende sukkerarter. Disse vil

Læs mere

Klavs Thormod og Tina Haahr Andersen

Klavs Thormod og Tina Haahr Andersen Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Kemi B Anja Skaar Jacobsen

Læs mere

1. Jern og redoxreaktioner Øvelse: Rustbeskyttelse (se bilag)

1. Jern og redoxreaktioner Øvelse: Rustbeskyttelse (se bilag) 1. Jern og redoxreaktioner Øvelse: Rustbeskyttelse (se bilag) Fremstilling af jern i højovn ud fra hæmatit Støbejern, stål og smedejern og legeringer. BOS(basisk oxygen stålfremstilling) Opskriv og afstem

Læs mere

Intra- og intermolekylære bindinger.

Intra- og intermolekylære bindinger. Intra- og intermolekylære bindinger. Dipol-Dipol bindinger Londonbindinger ydrogen bindinger ydrofil ydrofob 1. Tilstandsformer... 1 2. Dipol-dipolbindinger... 2 3. Londonbindinger... 2 4. ydrogenbindinger....

Læs mere

Kemi. Formål og perspektiv

Kemi. Formål og perspektiv Kemi Formål og perspektiv Formålet med undervisningen er, at eleverne skal få kendskab til forskellige stoffers kemiske egenskaber og til processer og lovmæssigheder. Vejen dertil går gennem aktiv iagttagelse

Læs mere

Manual til Bakteriemysteriet

Manual til Bakteriemysteriet Manual til Bakteriemysteriet SPILLETS FORMÅL Dette spil er udviklet med et overordnet tema og en række minispil. Formålet med spillet er at udvikle et IT-læringsmiljø om multiresistens, som skal illustrere,

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Klavs Thormod og Tina Haahr Andersen

Klavs Thormod og Tina Haahr Andersen Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg gsk

Læs mere

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV

Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Fag: KEMI Journal nr. Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT Navn: Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Formålet er at bestemme opløseligheden

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Studieretningsplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj 2013 Teknisk Gymnasium

Læs mere

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650

Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Verniers spektrofotometer SPRT-VIS USB 650 Bølgelængdeinterval: 350 nm 1000 nm, nøjagtighed: < 1 nm. Brug Logger Pro s nyeste udgaver (3.6.0 eller 3.6.1). Hent evt. opdateringer fra Verniers hjemmeside

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B

Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B Undervisningsbeskrivelse for STX 2m Kemi B Termin Afslutning i juni skoleår 13/14 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Kemi A valgfag Hasse Bonde Rasmussen 3gKE Denne

Læs mere

Alkalisk fosfatase i undervisningen

Alkalisk fosfatase i undervisningen Alkalisk fosfatase i undervisningen Lars Bjarne Nielsen, Brøndby Gymnasium, Marianne Schou Nielsen og Marie Eiland, Køge Gymnasium Kendskab til metoder og teorier inden for bioteknologi fylder mere og

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Grundstoffer og det periodiske system

Grundstoffer og det periodiske system Grundstoffer og det periodiske system Gør rede for atomets opbygning. Definer; atom, grundstof, isotop, molekyle, ion. Beskriv hvorfor de enkelte grundstoffer er placeret som de er i Det Periodiske System.

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Exoterme og endoterme reaktioner (termometri)

Exoterme og endoterme reaktioner (termometri) AKTIVITET 10 (FAG: KEMI) NB! Det er i denne øvelse ikke nødvendigt at udføre alle forsøgene. Vælg selv hvilke du/i vil udføre er du i tvivl så spørg. Hvis du er interesseret i at måle varmen i et af de

Læs mere

Bilag 1: ph. ph er dimensionsløs. Den har en praktisk betydning men ingen fundamental betydning.

Bilag 1: ph. ph er dimensionsløs. Den har en praktisk betydning men ingen fundamental betydning. Bilag 1: Introduktion har afgørende betydning for det kommende afværgeprojekt ved Høfde 4. Det skyldes, at basisk hydrolyse, som er det første trin i den planlagte treatment train, foregår hurtigere, jo

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Energistofskifte 04-01-04 Leif & Thorbjørn Kristensen Side 1 af 6

Energistofskifte 04-01-04 Leif & Thorbjørn Kristensen Side 1 af 6 Leif & Thorbjørn Kristensen Side 1 af 6 Energistofskifte De fleste af de processer, der sker i kroppen, skal bruge energi for at fungere. Kroppen skal således bruge en vis mængde energi for at holde sig

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Energiform. Opgave 1: Energi og energi-former

Energiform. Opgave 1: Energi og energi-former Energiformer Opgave 1: Energi og energi-former a) Gå sammen i grupper og diskutér hvad I forstår ved begrebet energi? Hvilket symbol bruger man for energi, og hvilke enheder (SI-enhed) måler man energi

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Det lyder enkelt, men for at forstå hvilket ærinde forskerne er ude i, er det nødvendigt med et indblik i, hvordan celler udvikles og specialiseres.

Det lyder enkelt, men for at forstå hvilket ærinde forskerne er ude i, er det nødvendigt med et indblik i, hvordan celler udvikles og specialiseres. Epigenetik Men hvad er så epigenetik? Ordet epi er af græsk oprindelse og betyder egentlig ved siden af. Genetik handler om arvelighed, og hvordan vores gener videreføres fra generation til generation.

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC

Matematik C. Højere forberedelseseksamen. Skriftlig prøve (3 timer) Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 2HF093-MAC Matematik C Højere forberedelseseksamen Skriftlig prøve (3 timer) 2HF093-MAC Fredag den 11. december 2009 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 8 opgaver med i alt 14 spørgsmål. De 14 spørgsmål indgår

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

[ ] =10 7,4 = 40nM )

[ ] =10 7,4 = 40nM ) Syre og base homeostasen (BN kap. 9) Nyrefysiologi: Syre/base homeostase, kap. 9 Normal ph i arterielt plasma: 7,4 ( plasma H + [ ] =10 7,4 = 40nM ) o ECV indhold af H+: 40 nm (ph 7,4) x 15 l =600 nmol

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

KEMI HØJT NIVEAU. Tirsdag den 18. maj 2004 kl. 9.00-13.00. (De stillede spørgsmål indgår med lige vægt i vurderingen)

KEMI HØJT NIVEAU. Tirsdag den 18. maj 2004 kl. 9.00-13.00. (De stillede spørgsmål indgår med lige vægt i vurderingen) STUDENTEREKSAMEN MAJ 2004 2004-10-1 MATEMATISK LINJE KEMI ØJT NIVEAU Tirsdag den 18. maj 2004 kl. 9.00-13.00 (De stillede spørgsmål indgår med lige vægt i vurderingen) pgavesættet består af 3 opgaver og

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX

Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX 1 Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2011 Slagelse Gymnasium og Selandia HHX og HTX STX, HHX, HTX og HF Indledning Der sondres mellem 2 typer optagelsesprøver : Den obligatoriske optagelsesprøve:

Læs mere

Betydning af revision af en DS/EN ISO standard

Betydning af revision af en DS/EN ISO standard By- og Landskabsstyrelsens Referencelaboratorium Betydning af revision af en DS/EN ISO standard Bestemmelser af total cyanid og fri cyanid i vand med flow analyse By- og Landskabsstyrelsen Rapport Juni

Læs mere

Svarnøgle til opgaver - Naturfag 2

Svarnøgle til opgaver - Naturfag 2 Svarnøgle til opgaver - Naturfag 2 (2014) af Henning Vinther Rasmussen En pølse mellem fingrene (øvelse s. 14) En hypotese kunne fx lyde sådan: Man ser en pølse, fordi man ser dobbelt undtagen dér, hvor

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

IONER OG SALTE. Et stabilt elektronsystem kan natrium- og chlor-atomerne også få, hvis de reagerer kemisk med hinanden:

IONER OG SALTE. Et stabilt elektronsystem kan natrium- og chlor-atomerne også få, hvis de reagerer kemisk med hinanden: IONER OG SALTE INDLEDNING Når vi i daglig tale bruger udtrykket salt, mener vi altid køkkensalt, hvis kemiske navn er natriumchlorid, NaCl. Der findes imidlertid mange andre kemiske forbindelser, som er

Læs mere

BIOLOGI HØJT NIVEAU. Mandag den 12. august 2002 kl. 9.00-14.00

BIOLOGI HØJT NIVEAU. Mandag den 12. august 2002 kl. 9.00-14.00 STUDENTEREKSAMEN AUGUST 00 00-6- BIOLOGI HØJT NIVEAU Mandag den 1. august 00 kl. 9.00-14.00 Af de store opgaver 1 og må kun den ene besvares. Af de små opgaver 3, 4, 5 og 6 må kun to besvares. STORE OPGAVER

Læs mere

Forsøg med enzymer. Forsøg med enzymer 1

Forsøg med enzymer. Forsøg med enzymer 1 Forsøg med enzymer 1 Forsøg med enzymer Metabolismen er de levende cellers stofomsætning. De mange processer er oftest katalyseret af enzymer. Nogle af processerne er nedbrydende (biolytiske eller kataboliske),

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Alkohol. Hvad bruger man alkohol til?... 2. Hvad er alkohol... 2. Destilation... 5. Hvordan fremstilles ethanol... 6. Denaturering...

Alkohol. Hvad bruger man alkohol til?... 2. Hvad er alkohol... 2. Destilation... 5. Hvordan fremstilles ethanol... 6. Denaturering... Alkohol Indhold Hvad bruger man alkohol til?... 2 Hvad er alkohol... 2 Destilation... 5 Hvordan fremstilles ethanol... 6 Denaturering... 7 Forbrænding af ethanol... 7 Nedbrydning af ethanol og tømmermænd...

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Brombærsolcellens Fysik

Brombærsolcellens Fysik Brombærsolcellens Fysik Søren Petersen En brombærsolcelle er, ligesom en almindelig solcelle, en teknologi som udnytter sollysets energi til at lave elektricitet. I brombærsolcellen bliver brombærfarvestof

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Side 1 af 7. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin. December 2013.

Side 1 af 7. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin. December 2013. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) December 2013 Skive Tekniske Gymnasium HTX Kemi B Trine Rønfeldt

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Indregulering af PI(D) regulator i en NBE pillebrænder.

Indregulering af PI(D) regulator i en NBE pillebrænder. ndregulering af (D) regulator i en NBE pillebrænder. praksis er opvarmningsprocessen i en centralvarmekedel så langsom at D-leddet i en Dregulator ikke giver nogen mening, derfor tager denne vejledning

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Kemi Kulhydrater og protein

Kemi Kulhydrater og protein Kemi Kulhydrater og protein Formål: Formålet med forsøget er at vise hvordan man kan påvise protein, fedtstof, simple sukkerarter eller stivelse i forskellige fødevarer. Samtidig kan man få en fornemmelse

Læs mere

Eksperimenter: Forsøg med natron (journal) Propan-1-ol og propan-2-ol s kogepunkter (journal)

Eksperimenter: Forsøg med natron (journal) Propan-1-ol og propan-2-ol s kogepunkter (journal) Undervisningsbeskrivelse for 2g (Pia Lassen) Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Thisted Gymnasium og FH Uddannelse stx Fag og niveau Kemi B

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

1 Indledning 1. 2 Forskellige former for vækst 2 2.1 Proportional vækst...2 2.2 Lineær vækst...6 2.3 Eksponentiel vækst...10 2.4 Potens vækst...

1 Indledning 1. 2 Forskellige former for vækst 2 2.1 Proportional vækst...2 2.2 Lineær vækst...6 2.3 Eksponentiel vækst...10 2.4 Potens vækst... Indhold 1 Indledning 1 2 Forskellige former for vækst 2 2.1 Proportional vækst...2 2.2 Lineær vækst...6 2.3 Eksponentiel vækst...10 2.4 Potens vækst...15 3 Temaer 21 3.1 Tema: Idræt...21 3.2 Tema: Kropsvægt

Læs mere

PROCENTREGNING DEFINITION AF PROCENT. Procentregning er også brøkregning

PROCENTREGNING DEFINITION AF PROCENT. Procentregning er også brøkregning 2.7.7 PROCENTREGNING Procentregning er også brøkregning Brøkdele kan også angives som procent. Oftest er det lettere at forstå end brøkdele. Procenter bruges overalt, idet det er lettere at foretage sammenligninger.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere