Undervisningsforløb om befolkningssammensætning

Transkript

1 Undervisningsforløb om befolkningssammensætning Svend Runge Nielsen Indhold 1 Præsentation 2 2 Lærerens udviklingsmål 2 3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet 2 4 Beskrivelse for forløbet De enkelte moduler Gruppedannelse Udvalgte pædagogiske observationer Arbejdet i grupperne Elevernes udbytte i forhold til intentionerne 8 7 Hvad jeg selv har lært 10 8 Samarbejde med andre fag 11 A Elevnote om befolkningssammensætning 13 A.1 Lidt grundlæggende notation A.2 Et eksempel A.3 Befolkningspyramider A.4 Dødelighed og fødselsrate A.4.1 Dødelighed A.4.2 Fødselsrate B Elevarbejdsark 1 17 C Elevrarbejdsark 2 18 D Eksempler på befolkningspyramider 19 1

2 E Regnearksskabelon 20 1 Præsentation Denne rapport beskriver et undervisningsforløb matematik, som det blev udført i en 1. g klase. Klassen havde matematik på C- niveau og gik i en sprogligt orienteret studieretning. Klassen havde samfundsfag som et af sine studieretningsfag og derfor fandt jeg det naturligt at tage emnet om befolkningssammensætning op til behandling, idet emnet også nemt kunne indgå i et tværfagligt samarbejde med samfundsfag. Selv om emnet afvikles som et rent matematikforløb, vil der være en hvis transfer-værdi for eleverne. Det beskrevne forløb er rent matematikforløb, og der havde ikke været koordineret med klassens undervisning i samfundsfag. Dette skyldes alene, at der med den tidsmæssige placering af dette forløb, ikke var mulighed for at lave et samlet forløb. Det er dog tanken, at der i tilsvarende fremtidige forløb kan det indgå i et samarbejde med samfundsfag. Projektforløbet forgik over en periode på 2 undervisningsuger med i alt 6 matematik moduler á 95 minutters varighed. 2 Lærerens udviklingsmål Som lærer var det mit mål med forløbet, at opnå erfaringer med matematisk modellering/simulering af autentisk data materiale og blive bedre til at formidle matematiks anvendelsesmuligheder. Desuden var det min mening at slippe eleverne løs og give dem flere frihedsgrader til selv at modellere. Specielt i den sidste halvdel af forløbet skulle eleverne have mulighed for helt selv at udforske deres model og eksperimentere med den. Denne form for undervisning var ikke noget, som jeg havde praktiseret meget med dette matematik hold. Dette skyldes til dels at jeg først ville give dem et godt fagligt fundament inden, jeg kaster dem ud på dybt vand. Jeg vil dog vedgå, at man godt kan eksperimentere med matematik uden at det nødvendigved behøver at foregå i den dybe ende af svømmebassinet. Jeg håbede også, at jeg med dette forløb kunne gøre nogle pædagogiske erfaringer med håndtering af den frie projekt-arbejdsform såldes, at man på den ene side lader eleverne arbejde selvstændigt og selv lade dem når frem til nogle resultater, men at man samtidigt også søger for at eleverne rent faktisk lærer det de skal. 3 Intentionerne for elevernes udbytte af forløbet Undervisningsforløbet havde flere mål for eleverne. Det var min mening, at skulle eleverne stifte bekendtskab med en mere anvendelsesorienteret matematik end 2

3 den, de er vant til. Klassen blev som nævnt undervist på C-niveau i en sprogligt orienteret studieretning. Det faglige niveau i klassen var noget differentieret idet, en forholdsvis stor del at klassens elever var fagligt svage samtidigt samtidigt med, at der sidder en håndfuld elever som har godt fat om matematikken på det pågældende niveau. Det var tanken med forløbet at give alle elever en oplevelse af, at de kunne anvende matematik til noget virkeligt og selv finde ud af hvad man kan bruge den konkrete model til - hvad kan modellen beskrive og hvad den ikke kan beskrive. Desuden skulle eleverne lære hvordan, man ved hjælp af et IT-værktøj (i dette tilfælde et regneark) kan bruge en matematisk model til at beskrive et stykke virkelighed og dermed bruge modellen til at opnå kvalificeret viden om denne virkelighed, som kan bruges i andre sammenhænge (samfundfag etc.). 4 Beskrivelse for forløbet Emnet, som forløbet drejede sig om var befolkningssammensætning og befolkningsudvikling. Mere præcist om befolkningssammensætning i alder og hvordan denne sammensætning udvikler sig med tiden. Eleverne skulle blandt andet ved hjælp at regneark konstruere befolkningspyramider, som kunne give et realistisk bud på en befolkningssammensætning samt dennes tidslige udvikling. Eleverne skulle afslutte forløbet med et rapport, hvori de skulle gøre rede for deres opdagelser i forbindelse med modelleringen af en befolkningssammensætning. Selve opgaveformuleringen kan ses på elevarbejdsark 2 (bilag C) Eleverne kunne benytte sig at skolens Fronter-system a til at uploade og gemme deres elektroniske arbejde. Ligeledes skulle eleverne aflevere deres rapport samt tilhørende regneark i elektronisk form via Fronter. 4.1 De enkelte moduler De 6 moduler, som forløbet var fordelt på, var spredt ud på 2 uger med en mellemliggende uge i mellem. Grunden hertil var, at eleverne havde en mellemliggende uge med AT-forløb, hvor det ikke var matematik på skemaet. Dette var klart ikke hensigtsmæssigt, men det var nu en gang den eneste mulighed for at afvikle forløbet. Herunder følger en kort beskrivelse af indholdet i de enkelte moduler. 1. Introduktion og teorigennemgang. De skrevne noter (bilag A) om befolkningsudvikling blev udleveret og dele af teorien blev gennemgået kursorisk. Der blev arbejdet med notation og om hvordan, man kan opdele en befolkning i grupper. Eleverne blev a For en beskrivelse af Fronter henvises til 3

4 introduceret for befolkningspyramider som metode til at opstille en befolkningssammensætning på en overskuelig måde. 2. Teorigennemgang og øvelser Med noten som lektie til dette modul blev begreber som dødelighed og fødselrate gennemarbejdet med små beregningseksempler. Desuden prøvede eleverne at fremskive en befolkning ud fra en kendt dødelighed og fødselsrate. 3. Introduktion til model i regneark Eleverne skulle i dette modul arbejde med regneark. De fik udleveret en skabelon (bilag E), som viste en befolkningssammensætning og dennes fremskrivning 15 gange. Et arbejdsark blev givet til eleverne (bilag B), som de i grupper skulle arbejde med og gøre færdigt til næste modul (som lå en god uge senere pga. AT-uge). 4. Arbejde med model Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet på arbejdsark (bilag C) 5. Arbejde med model Eleverne arbejdede med den udleverede skabelon som beskrevet på arbejdsark (bilag C) 6. Opsummering og Gæt et land-konkurrence Eleverne skulle til dette modul have gjort deres arbejde med modellen færdig. Eleverne fik i grupperne udleveret et ark med i alt 6 befolkningspyramider for 6 forskellige lande. Herefter fik eleverne ca. 40 minutter til at lave en mini-beskrivelse af landene, hvor de forsøge at bestemme hvilke type lande, der var tale om - og evt. gætte hvilke lande der var repræsenteret i de 6 pyramider. Mini-beskrivelserne blev herefter kigget igennem af læreren imens eleverne fik mulighed for at finpudse deres arbejde med deres befolkningsmodel. I den sidste del af modulet blev vinderen af Gæt et land-konkurrencen bekendtgjort og præmieret Modulet blev rundet af med en klassedisskusion om, hvad man kan læse ud af befolkningspyramider. Der blev vist eksempler på hvordan en befolkningssammensætning kan ændre sig i tid b. 4.2 Gruppedannelse I størstedelen af forløbet (modul 3-6) skulle eleverne arbejde sammen i små tomandsgrupper. Størrelsen af grupperne blev sat til to, da to personer fint kan sidde b Der blev brugt animerede modeller fra US Census som kan findes på 4

5 ved én computer og arbejde, hvorimod det bliver tiltagende mere besværligt des flere personer der er i gruppen. Jo mindre grupper man bruger, jo bedre undgår man også, at elever bevidst eller ubevidst kommer til at sidde på sidelinjen og ikke deltage passende i gruppens arbejde. Klassen bestod af 28 elever, hvilket betød at 14 grupper skulle dannes. Jeg valgte at inddele eleverne primært efter fagligt standpunkt og sekundært efter engagement og aktivitet i undervisningen. Grupperne blev lavet således at elever på samme (eller næsten samme) faglige niveau blev sat sammen og, at elever med samme aktivitet/fagligt engagement kom i samme gruppe. Grunden til denne inddeling skete ud fra den betragtning, at lige børn leger bedst. Altså at elever på samme faglige niveau vil få en jævnbyrdig arbejdsdeling Desuden kan man som lærer gå ud fra, at de to elever i gruppen kan forstå hinanden på det faglige plan og ikke snakker over (eller under) hovedet på hinanden. Denne opdeling i grupper blev også udført med den bagtanke, at grupper med fagligt stærke elever ville være mere eller mindre selvkørende, således at læreren ville have mere tid til at tage sig af fagligt svage grupper. 5 Udvalgte pædagogiske observationer Jeg har valgt at koncentrere mig om elevernes gruppearbejde og afrapportering. Grunden hertil er, at det var her at eleverne blev sluppet løs og mere eller mindre skulle arbejde på egen hånd. Jeg var spændt på at se hvorledes de styrede dette ansvar, og hvordan de havde det med at arbejde selvstændigt med et - for dem svært fag - som matematik. 5.1 Arbejdet i grupperne Gruppeinddelingen viste sig overordnet set at være passende. Der opstod dog nogle problemer idet nogle enkelte elever var fraværende og der derfor måtte flyttes rundt på nogle grupper og at to grupper kom til at bestå af 3 elever. Eleverne havde tilsyneladende ikke problemer med gruppedannelsen. Det var dog heller ikke forventet, da klassen fungerede ganske fint socialt set. Gruppestørrelsen på 2 elever virkede tilsyneladende også passende. Eleverne startede med elevarbejdsark 1. Eleverne havde tidligere arbejdet med regneark i forbindelse med regression og før det i forbindelse med introduktion til IT. Jeg havde derfor regnet med at eleverne i det mindste havde grundlæggende styr på opbygningen af et regneark og hvordan man skal læse formlerne i et regneark. Det viste sig derimod desværre at en stor del af eleverne havde svært ved at forstå regnearkets opbygning. Denne usikkerhed gav sig udslag i at eleverne stillede meget konkrete spørgsmål til hvordan de skulle forstå en formel eller få indtastet deres beregningsudtryk i regnearket. Spørgsmål som Hvad betyder =($B$8*C17)/2? og Skal vi rette alle 5

6 formlerne til? kom fra flere grupper. Disse spørgsmål tydede på, at eleverne havde glemt deres basale viden om regneark, hvilket gjorde arbejdsprocessen unødigt besværlig. Det var jo ikke meningen af eleverne skulle bruge kræfter for at lave et regneark, som netop var tænkt som en hjælp til eleverne. Det viste sig at problemer med regneark kom til at skygge en del for projektets egentlige udfordring - modellering af en befolkningssammensætning, hvilket var ærgerligt. Moralen må naturligvis være, at man som lærer sikrer sig, at eleverne er klædt ordentligt på til brug af regneark, hvis dette redskab skal i spil. Dette kan evt. gøres ved et placere genopfriskningsmodul inden forløbet startes. Elevernes arbejde med det andet elevarbejdsark, som også beskrev produktkravet til rapporten, var delt en flere trin. Det startede en kort regneopgave, hvor eleverne skulle ændre parametre som fødselsrate og dødelighed for at ændre på antallet af individer i populationen. Denne øvelse klarede eleverne storset alle sammen. Eleverne kunne hurtigt se, at man ændrede befolkningens størrelse, når man ændrede på fødselsrate og dødelighed. De to ting som eleverne spekulerede mest på var, om de skulle finde to eksakte tal, som gav det rigtige antal mennesker efter 10 tidsskridt og om antallet af mænd/kvinder skulle være præcis henholdsvis mennesker, eller om de måtte nøjes med antal, som lå tæt på disse værdier (afrunde resultaterne til og 16500). Grunden til denne forvirring var nok, at eleverne havde været vant til at matematikresultater er præcise og eksakte. Denne opfattelse kolliderede med denne opgave, idet man ikke lige kan få eksakt individer ved blot at vælge et par gode/nemme tal for dødelighed og fødselsrate. Da dette gik op for eleverne accepterede de dog også, at man kunne nøjes med at angive et passende talpar, således at befolkningstallet stemte nogenlunde. En anden skæg observation var, at en gruppe ikke brød sig om at ændre på to parametre på én gang. istedet satte de dødeligheden til eksakt 0 og ændrede herefter kun på fødselsraten indtil de fik et resultat, som var tæt ved henholdsvis Man kan sige at dette ikke giver et realistisk resultat, men omvendt viser det ganske godt, hvordan man kan reducere problemet til kun at skulle finde en værdi for én parameter. Efter denne introducerende opgave, som skulle gøre eleverne opmærksomme på hvordan de to parametre har indflydelse på modellen, var det tiden til at eleverne selv skulle ændre på modellen for at tilpasse den mere til den virkelige verden. Størstedelen af eleverne fandt på at virkeliggøre deres model ved at variere dødsraten efter alder og tilføje fødselsrater (> 0) for kvinder i andre aldersgrupper end de årige. Der opstod igen problemer med at skrive til tilføjelser ind i regnearkets formler og læreren måtte bruge meget tid på bare at hjælpe eleverne med at bruge regnearket fornuftigt. Det er dog mit indtryk, at eleverne havde en matematikforståelse af formlerne - problemet var blot at omsætte formlerne til beregninger i regneark. Ikke alle grupper af elever fik gennemarbejdet det andet elevarbejdsark helt færdigt- mest på grund af de ovenfor anførte problemer med regneark. Men nogle 6

7 grupper fik tygget sig igennem, og det var interessant at se hvilke ting de valgte at lægge vægt på i deres model. Flere grupper valgte at tage temaet sygdom op i deres model. Alvorlige (fatale) sygdommen som AIDS og fugleinflueza blev forsøgt modelleret. Det blev typisk gjort ved at eleverne øgede dødsraten for en bestemt befolkningsgruppe (For AIDS var det personer i den seksuelt aktive alder) og for flugleinfluenza blev dødsraten blot øget dramatisk for alle befolkningsgrupper. Kinas 1-barnspolitk var også et tema hos nogle grupper. Nedenstående citat er taget fra en gruppe, som har overvejet betydningen forskellige ting. Det viser, at de har forstået hvordan modellen skal bruges til at håndtere de fænomener de nævner (omend man kan diskutere realismen i dem). En masse ting har betydning for en befolknings udvikling. Det kan blandt andet være, AIDS epidemier i Afrika, her ville det primært være de unge mellem der ville dø, dette vil sige at dødeligheden ville være noget højere i denne aldersgruppe. I Kina er der mange børn der dør på grund af børnearbejde, her ville dødeligheden i aldersgruppen 0-10 og været høj. Gamle mennesker i Afrika lever ikke særlig længe fordi der ingen mad er, så de sulter. Det var også et gennemgående træk, at eleverne nogle gange tænkte for meget matematik og fokuserede så meget på deres formler, at de helt glemte at tænke over, om deres antagelse havde været realistiske, hvilket følgende citat illustrerer. Vi laver tre nye fødselsrater for aldersgrupperne 11-20, og De nye fødselsrater bliver nu 5, 5,2 og 4,9. derefter sætter vi dem ind i denne formel, =($B$24*C12)+($B$25*C13)+($B$26*C14)/2. Dette viste at der blev født børn, hvilket svarer til vores teori om at der blev født utroligt mange børn før i tiden. Her ser man, at eleverne i deres iver efter at simulere mange fødsler ikke overvejer at deres formel betyder, at kvinder på 40 år i gennemsnit har født 15,1 børn - hvilket må siges at være lige i overkanten.nogle elever har dog overvejet dette og laver en mere realistisk begrundet fødselsrate. I det skema vi har fået udleveret, er det antaget at det kun er kvinder i alderen år der føder børn. Dette interval er for snævert, derfor antager vi at gruppen bør ændres til at have tre aldersgrupper. De følgende grupper er: Kvinder i alderen år, der har en fødselsrate på 0,01. Kvinder i alderen år, der har en fødselsrate på 1,7. Kvinder i alderen 31-40, der har en fødselsrate på 1 Dette samme gør sig gældende med dødsrater, som stort set alle elever har ændret, således at denne ændrer sig med alderen. 7

8 Iagttagelserne over dødeligheden bør også ændres, da sandsynligheden for at der dør lige mange i alle aldre ikke er særlig stor. Vi iagttager følgende: Gruppen 0-10: Dødelighed = 0,015 Gruppen 11-20: Dødelighed = 0,014 Gruppen 21-30: Dødelighed =0,02 Gruppen 31-40: Dødelighed =0,02 Gruppen 41-50: Dødelighed =0,04 Gruppen 51-60: Dødelighed =0,1 Gruppen 61-70: Dødelighed =0,3 Gruppen 71-80: Dødelighed =0,4 Gruppen 81-90: Dødelighed =0,6 Gruppen 90 + : Dødelighed =0,8 I ovenstående kan man lægge mærke til sprogbruget...der dør (ikke) lige mange i alle aldre.... Her beskrives dødsraten, som antal mennesker der dør. Men det er jo en brøkdel mennesker, som dør ud af en given aldersgruppe. Denne mangel på præcision er typisk for elevernes beskrivelser. Det er klart noget man efterfølgende kan tage op med eleverne. Samme eksempel illustrerer også den detalje, at eleverne i denne gruppe ikke har overvejet at 20% af de 90-årige faktisk er udødelige ifølge deres model! Det fremgår ikke om eleverne checker deres bud på fødsels og dødsrater svarer til virkeligheden. Et par grupper snakkede dog undervejs i forløbet om at hver kvinde i gennemsnit føder 1,7 barn og at dette tal er lavt, da man jo skal op på et tal, som er større en 2 for at antallet af individer i populationen ikke falder. Eleverne nåede faktisk også frem til, at det ikke er nok at den samlede fødselsrate blot er skarpt større end 2, men at dette tal skal være større des større dødsraten er for børn og unge (fødedygtige) kvinder. Oplysningen om 1,7 barn havde eleverne fra samfundsfag, hvor de havde arbejdet med velfærdssamfundet som emne. 6 Elevernes udbytte i forhold til intentionerne Når man kigger tilbage på forløbet, kan man spørge sig selv om man nåede de satte mål for elevernes udbytte. Her er svaret både ja og nej. Eleverne fik et indblik i hvordan man kan modellere en befolkningssammensætning. Det er også tydeligt, at langt de fleste elever har forstået begreberne fødselsrate og dødsrate og deres betydning for beregning af antallet af personer i en given aldersgruppe. De har 8

9 også set hvordan lav fødselrate og lav dødelighed giver en mere jævn befolkningssammensætning end en høj fødselsrate og høj dødelighed. Så den forståelse har eleverne opnået. Ved gennemgang af elevernes rapporter tegnede der sig et tydeligt billede af hvad eleverne havde - og ikke havde - fået ud af forløbet. En del grupper havde prøvet at modellere en mere realistisk model ved at ændre på fødsels- og døds-rater, hvilket også fremgår af citaterne overfor i afsnit 5.1. Desudover havde flere grupper prøvet at inddrage ting, som ikke lod sig modellere (ifølge eleverne). For eksempel skriver en gruppe; Befolkningsmodellen begrænser sig på den måde at man ikke kan komme ud af den før man dør. Rejser man for eksempel ud af landet bliver dette ikke registreret i modellen, og omvendt hvis man rejser ind i landet gør det samme sig gældende. Denne gruppe har fundet en klar begrænsning i modellens virkeområde. Der er ikke noget i vejen for at medtage ind- og ud-vandring, men dette vil kræve en mere kompliceret model, hvilke eleverne erkender. Man kan altså se, at modellens umiddelbare begrænsninger kan ses af eleverne En anden gruppe skriver; Modellens udregninger er ikke pålidelige, da der er visse faktorer, den ikke tager i betragtning, disse faktorer kan f.eks. være: Der udbryder en 3. verdenskrig, som udsletter x antal mennesker, man finder en kur mod nuværende helbredelige sygdomme, eller en helt tredje mulighed, og sådan kan man blive ved Denne gruppe ser også modellens begrænsninger, men netop de nævnte ting er mulige at modellere ved at dreje på dødeligheden og/eller dræbe nogle individer i en årgang ved simpelthen at fjerne x antal mennesker fra data. Grunden til at eleverne ikke har arbejdet mere med denne del at modelleringen, tror jeg skyldes dels manglende ide til hvordan disse ting rent teknisk skulle indarbejdes i modellen, dels manglende tid. Eleverne havde 2 moduler til deres egen modellering, og en stor del af tiden i det første af disse moduler gik med at opsummere/gentage arbejdet fra den forrige uge, da langt de fleste elever havde brug for at få opfrisket regnearket og dets virkemåde. Selve niveauet i grupperapporterne var meget svingende. Dette forklares til dels med den store spredning i elevernes faglige niveau Der er også en klar sammenhæng mellem grupperapporterne niveau og elevernes faglige niveau - hvilket ikke er overraskende. Mange har haft svært ved at bygge videre på modellen på grund at regneark-problemer. Det betød at en del besvarelser var meget overfladiske i forholde til den matematiske model. En del skriver noget om, at de godt ved at ditten og datten har betydning for fødselsrate og dødsrater. Men de fører det ikke ud i modellen, men nøjes med blot at nævne det i tekstdelen i deres rapport. Min konklusionen i forhold til elevernes udbyttet må være, at elevernes modelleringskompetence er blevet berørt, men ikke brugt nok. Det har været for stor spredning 9

10 på elevernes udbytte Det var forventet, at der ville være en vis spredning, men ikke at den ville være så stor og at en relativ stor del af eleverne ikke rigtigt får fingrene i skidtet. Hvad der desværre ikke gik tilfredsstillende var konceptet om, at eleverne selv skulle udbygge deres model. Eleverne kom generelt ikke langt med denne del. Der var synd, da det netop var disse punkter, som skulle gøre dette forløb specielt ved, at eleverne skulle arbejde selvstændigt med modellen og gøre den til deres egen. 7 Hvad jeg selv har lært Generelt må man sige, at forløbet ikke levede helt op til mine forventninger af elevernes udbytte. Og hvorfor så ikke det? En af grundende var, at eleverne havde regneark-problemer - det er derfor klart, at man en anden gang må sikre sig bedre på den kant. En anden grund til det lidt utilfredsstillende resultat var, at forløbet nok har været for løst styret i den sidste fase. Nogle fastere rammer evt. med direkte modelforslag til hvad eleverne kunne gøre for at lave en tilfredsstillende opgave/rapport kunne måske have forbedret kvaliteten af rapporterne. Jeg mener dog, at de nævnte problemer med projektforløbet er overkommelige at løse.mulige løsnings-forslag kunne være følgende; Man kunne overveje, om man burde konstruere regnearket mere simpelt, og e- ventuelt skjule nogle af de mellemliggende formler. Så ville eleverne kun skulle koncentrere sig om at dreje på fødselsraten og dødsraten, hvilket vil gøre hele processen mere overskuelig om samtidigt koncentrere arbejdet mod det egentlige - modellering ud fra disse parametre. Man kunne også lave to eller flere regnearksskabeloner som svarede til forskellige komplekcitetsnivieauer for modellen. Men dette vil omvendt tage initiativet fra eleverne og vanskeliggøre deres muligheder for selv at udvikle modellen og derved få ejerskab over den. Hvis forløbet igen skulle køre på nogenlunde samme vis, ville det nok egne sig bedre til et matematikhold på et A- eller B-niveau og placeret i 2. g, idet man må formode, at eleverne da har bedre forudsætninger for arbejdet med modellen og regnearket. Da eleverne ikke i forvejen havde arbejdet med modellering i så stor detalje, ville det måske have været en ide at snakke om selve det at modellere, inden de gik i gang med deres projekt. Jeg valgte ikke at gennemgå modelleringsteori med eleverne inden start. Det gjorde jeg fordi, jeg gerne ville have, at eleverne selv skulle finde ud af, hvordan man kunne bære sig ad. Jeg ville ikke give dem en opskrift på hvordan man modellerer. Set i bakspejlet er jeg heller ikke sikker på, at det ville være en god ide, da jeg mener det er meget nemmere at teoretisere over modelleringsporcessen, hvis man allerede har været igennem en af slagsen. 10

11 I stedet burde man nok have afholdt et mindre forløb om modellering tidligere i undervisningen, som kunne bruges til en efterfølgende diskussion med eleverne om processen. Der var meget sparsomt hvad man som lærer fik snakket med sine elever omkring selve modellen og dens begrænsninger, hvilket skyldes at lærertiden blev opbrugt til at hjælpe eleverne med regnearksproblemer. Det var ærgerligt, da man netop med denne snak kunne udfordre elevernes model (og dermed eleverne selv) Det viste sig også, at nogle grupper, bevidst eller ubevidst, havde nok i blot at anvende den simple model, og dermed ikke aktivt byggede videre på modellen. For at stimulere modelleringen og få eleverne til at overveje deres models rækkevidde og realisme kunne man pinde det endnu mere ud i oplægget og direkte skrive, at eleverne skulle lave en bestemt model med fastlagte parametre og herefter sammenligne den med virkelige data (og eventuelt angive data med et link ellers tabel) Denne ekstra tagen hånd om eleverne havde jeg bevidst holdt mig fra i forløbet. Jeg ville gerne give slip på eleverne og lade dem selv udvikle deres projekt. Jeg mener, at dette er vigtigt for lærigen, men må samtidigt erkende, at det kan være svært af få elevernes faglige mål og studiekompetence-mål til at mødes på denne måde. Set i bakspejlet ville det nok have være bedre om eleverne havde haft et mini-modellerings-projekt som fundament for arbejdsprocessen et stykke tid inden projektets start og/eller man burde flytte dette forløb til 2. eller 3.g. Det sidste ville dog afskære 1.g elever med kun C-niveau i matematik fra at prøve forløbet, da faget afsluttes efter 1. g. Jeg kan ikke finde på et Columbusæg, som angiver løsningen på dette. Jeg vil blot angive, at jeg tror et mere stramt styret forløb eventuelt kombineret med et foregående mini-model-forløb ville give et bedre resultat med denne type elever (1. g i en sprogligt orienteret studieretning). 8 Samarbejde med andre fag Eftersom faget geografi er blevet til natur-geografi med den nye gymnasiereform, er befolkningsudvikling et emne, som hører til i samfundsfag (eller evt. histiorie). Som sagt havde denne klasse samfundsfag som studieretningsfag, men tiden gjorde det ikke muligt at koordinere et tværfagligt forløb. Dette er ellers ganske oplagt. Den pågældende klasse havde for eksempel i samfundsfag behandlet emnet velfærdssamfundet. Diskussion om ældre-byrde, faldende arbejdsstyrke mm. kan matematiseres i en befolkningsmodel og simpel fremskrivning kan anskueliggøre de nævnte problemstillinger. Netop ved at have et fag som samfundsfag med, kan det betyde at eleverne bliver bedre rustet til at stille spørgsmålstegn ved deres model. Dette skyldes, at man i samfundsfag vil komme ind på nogle de faktorer, som bestemmer en befolknings udvikling. Heraf er nogle sikkert mere kvalitative end kvantitative og derfor svære at modellere. Eleverne vil dermed opdage hvor kompliceret en model hurtigt kan blive, og det vil sætte deres model 11

12 i perspektiv i forhold til virkeligheden. Omvendt vil det også være muligt, at eleverne ser hvordan relativt simple modeller kan beskrive en befolkning med visse antagelser. Eleverne vil dermed anvende matematik på et stykke virkelighed og se matematikken anvendt som et kraftfuldt redskab, som kan bruges i en ikke uvæsentlig beslutningsproces omkring eksempelvis velfærdssamfundet. 12

13 A Elevnote om befolkningssammensætning Denne note introducerer det emne, som vi i de følgende par uger skal arbejde med - Befolkningsvækst og befolkningssammensætning. A.1 Lidt grundlæggende notation Der er mange måder man kan anskue en befolkning på. I det følgende vil vi gøre det simpelt og blot betragte en befolkning som en samling individer med forskellig alder og køn. For at få et bedre overblik over en befolknings sammensætning, kan man opdele befolkningen i undergrupper. En befolkning kan eksempelvis opdeles i undergrupper således, at alle individer i alderen 0-10 år sættes i en gruppe, alle i alderen år i en anden gruppe osv. indtil alle individer er sat i en gruppe. Man kan lave en yderligere opdeling efter køn. På denne måde kommer alle kvinder i samme aldersinterval i samme gruppe osv. For at skrive det mere præcist Definition 1 En befolkningsgruppe bestående af individer i alderen fra n til m år skrives som B n,m, hvor n m og n, m N. Antallet af individer i gruppen B n,m betegnes #B n,m. På denne måde vil en klasse af gymnasieelever i alderen år skrives som B 16,20 og #B 16,20 = 28 vil betyde, at der er 28 elever i klassen. Hvis man vil lave en opdeling efter køn, er det naturligt at anvende samme notation og blot betegne en gruppe af samme køn med M eller K for henholdsvis mænd og kvinder. Gymnasieklassen fra før på 28 elever kan opdeles i to grupper - nemlig M 16,20 og K 16,20 hvor der gælder at #M 16,20 = 6 og #K 16,20 = 22. Da hvert enkelt individ enten er en mand eller en kvinde c, må der gælde følgende sammenhæng for en befolkningsgruppe Der må desuden gælde at #B n,m = #M n,m + #K n,m (1) #B n,m = #B n,s + #B s+1,m hvor n < s < m (2) Det vil eksempelvis sige at antallet af individer i en befolkningsgruppe bestående af individer i alderen 10 til 35 år blot er summen af antallet af individer fra 10 til 26 år og antallet af individer fra 27 til 35 år. Dette skrives altså #B 10,35 = #B 10,26 + #B 27,35 c I denne sammenhæng skelnes der ikke mellem mand og dreng eller kvinde og pige. 13

14 A.2 Et eksempel Lad os se på et tænkt eksempel. Vi skriver en befolkning op på følgende måde Alder (år) Ialt Mænd Kvinder Tabel 1: Et eksempel på en befolkning Man kan altså se at #B 21,31 = 1245 og at #K 31,60 = = 1665 A.3 Befolkningspyramider En anden måde at repræsentere data fra tabel (1) på er ved at anbringe data i en såkaldt befolkningspyramide. En sådan pyramide er opbygget ved at man placerer de enkelte aldersgrupper oven på hinanden, således at gruppen med de yngste individer ligger nederst og oven på dem ligger gruppen med de næstyngste og så videre indtil man slutter at med gruppen af de ældste individer. Pyramiden er som regel todelt i en venstre side og i en højre side, så at man har individer af samme køn i samme side. En sådan pyramide ses i figur(1) A.4 Dødelighed og fødselsrate En befolkning er ikke en statisk størrelse, men udvikler sig hele tiden. Nogle befolkninger vokser kraftigt med tiden og andre ændrer deres sammensætning og/eller mindskes. I det følgende ser vi på en meget ididealiseretilfælde. Vi antager at både befolkningssammensætningen og antallet af individer er konstant og ikke ændrer sig med tiden d. A.4.1 Dødelighed Efterhånden som tiden går vil individerne i en befolkning dø ud. Dette ganske naturlige fænomen kan beskrives med en sandsynlighed for at et individ dør i et aldersinterval i stedet for at blive ældre og rykke op til et andet aldersinterval. Hvis man kigger på data fra tabel (1) ser man at #B 51,60 = 889 og #B 61,70 = 644. Man kan se, at der er = 225 færre individer i aldersgruppen med de d Denne antagelse vil ikke gælde for virkelige befolkninger, men egner sig godt til at introducere nogle nye begreber som fødselsrate og dødelighed. 14

15 Figur 1: Befolkningspyramide fra Ethiopien årgang årige. Man kan ud fra disse tale beregne dødeligheden for de årige. Denne betegnes DB 51,60 og findes idet DB 51,60 = #B 51,60 #B 61,70 #B 51,60 (3) = = 0, , 3% 889 (4) Generelt defineres dødelighed på følgende måde Definition 2 Dødelighed for en befolkningsgruppen B n,m betegnes DB n,m og angiver brøkdelen af individer i B n,m som dør imens de befinder sig i denne aldersgruppe. Der gælder at 0 DB n,m 1 Antallet af individer, som dør i en given aldersgruppe kan beregnes som dødeligheden for den pågældende gruppe multipliceret med antallet af individer i gruppen. Antal individer, som dør = DB n,m #B n,m (5) Da antallet af individer, som dør må være lig antallet af de individer, som ikke rykker op i næste aldersgruppe må der gælde at #B n,m #Bñ, m = DB n,m #B n,m (6) 15

16 Idet ñ og m angiver det umiddelbart efterfølgende aldersinterval. UdUd fraormel (6) får man netop dødeligheden idet at #B n,m #Bñ, m #B n,m = DB n,m (7) Man kan på helt tilsvarende vis definere dødelighed for grupper af mænd og grupper af kvinder. Disse dødeligheder betegnes henholdsvis DM n,m og DK n,m. A.4.2 Fødselsrate Nu er naturen så snedigt indrettet, at en befolkning ikke uddør efterhånden som tiden går. Dette skyldes at der fødes nye individer. For at beskrive denne tilvækst i befolkningen benyttes en såkaldt fødselsrate Definition 3 Lad F n,m betegne fødselsraten for en aldersgruppen B n,m. Der gælder at 0 F n,m og at antallet af nyfødte individer produceret af gruppen B n,m er givet ved følgende udtryk Antal nyfødte inindivider = F n,m #B n,m Det kan være besværligt at bestemme fødselsraten, da man ikke umiddelbart kan se på et datamateriale hvem (hvilke aldersgrupper) der føder børn. Derfor gøres der ofte den antagelse at alle børn fødes af en bestemt aldersgruppe. I eksemplet fra tabel (1) kan man passende antage at alle børn fødes af gruppen B Man kan under denne antagelse bestemme fødselsraten for B idet #B 0 10 = F 21,30 #B 21,30 (8) #B 0 10 #B 21,30 = F 21,30 (9) F 21,30 = 1501 = 1, , 21 (10)

17 B Elevarbejdsark 1 Arbejdsark I det føfølgendekal I arbejde to og to i grupperne, som der fremgår på Fronter (se mappen befolkning). 1. Log ind i Fronter og download regnearket befolkningsudvikling.xls fra mappen befolkning e og gem det på din computer. 2. Åbn regnearket (Du kan anvende programmet Microsoft Excel eller O- penoffice.org f, som er installeret på skolens computere 3. Kig på regnearket og uundersøghvordan formlerne i de enkelte celler ser ud. 4. Åbn et nyt tekstdokument 5. Lav en opskrift, som forklarer hvordan man skal lave et sådant regneark ud fra formlerne om befolkningsudvikling. I opskriften skal man forklare hvorfor formlerne ser ud som de gør (begrunde formlerne med den teori du har fra noten om befolkningssammensætning. 6. Opskriften skal gemmes som et tekstdokument. Upload den til Fronter i dit eget arkiv. /Svend e Eller regnearket befolkningsudvikling.ods, hvis man hellere vil bruge åbne dokumentformater (kræver et regnearksprogram, som understøtter dette). f OpenOfice.org er en gratis kontorpakke, som kan downloades fra 17

18 C Elevrarbejdsark 2 Arbejdsopgave I skal lave en rrapportover nedenstående punkter. Rapporten skal indeholde beskrivelser og de overvejelser, som ligger til grund for jeres beregninger. Ved rapporten vedlægges et regneark som beskriver jeres model (som uploades i Fronter i den tilhørende afleveringsmappe. Brug det udleverede regneark som en skabelon. Undersøg hvad parametre som fødselsrate og dødelighed/overlevelsesrate betyder for en befolknings samlede størrelse. Giv eksempler på hvad fødselsrate og dødelighed skal være hvis en befolkning skal henholdsvis fordobles eller tredobles på 10 tidsskridt. Modellen i den udleverede skabelon er simpel og tager ikke højde for ændringer i fødselsrate og/eller dødelig når alderen for et individ ændres. Overvej hvordan I kan lave en mere realistisk model og beskriv hvor beregningerne i regnearket skal ændres Lav ændringer i regnearket, så I får en mere realistisk model. EEnormtmange ting har betydning for hvordan en befolkning udvikler sig, og en stor del af disse er stort set umulige at indbygge i en matematisk model for en befolkningsudvikling. Giv eksempler på ting, som betyder noget for en befolknings-sammensætning og -udvikling. Overvej om I kan beskrive disse eksempler i en model. Arbejd videre med modellen og prøv at indføre nogle af jeres ideer i den. Husk at beskriv hvad I gør og hvordan I laver beregningerne i jeres regneark. Undersøg hhvilkeoplysninger I kan få ud af jeres befolkningsmodeller. Har jeres model noglebegrænsningerr (begrund jeres svar)? /Svend 18

19 D Eksempler på befolkningspyramider Figur 2: Papir udleveret i forbindelse med Gæt et land konkurrencen. 19

20 E Regnearksskabelon Figur 3: Regnearksskabelon udleveret til gruppearbejdet. 20