af Brunetto Piochi Vitruvio s mand, af Leonardo da Vinci

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "af Brunetto Piochi Vitruvio s mand, af Leonardo da Vinci"

Transkript

1 MÅLING AF KROPPE af Brunetto Piochi INTRODUKTION Måling af kroppe forløbet handler om måling samt om enkelte temaer fra aritmetikken (forhold og proportioner) og statistikken (gennemsnit, median, sammenhæng...). I forhold til, hvordan de to partnere strukturerede og gennemførte det, kan forløbet også bruges til at tilegne eleverne temaer fra videnskabshistorien og som en introduktion til beregninger på pc og til at vise målingerne på en graf. Studerende bliver bedt om at måle nogle ting vedrørende deres kroppe (højde, vægt, armlængde osv.). Der udføres nogle aritmetiske eller statistiske beregninger ud fra disse målinger ved hjælp af Excel software. Samtidig leder de efter sigende forhold eller korrelationer, som endvidere kan relateres til Leonardo da Vinci's hypotese om menneskekroppens anatomi. Lignende øvelser vil blive gennemført med skoleelever og resultaterne af disse øvelser bliver bagefter diskuteret med de studerende. Vitruvio s mand, af Leonardo da Vinci Leonardo studerer the proportionerne af den menneskelige krop og dens sammenlinelighed med de perfekte geometriske former (cirklen og kvadratet). Dette var videnskabelig analyse, som havde både kosmisk betydning (forbindelsen mellem mikro-og makrokosmos) og kunstnerisk betydning (at representere den menneskelige krop korrekt og at designe arkitektur baseret på proportionerne I den menneskelige krop). I den berømte tegning fra Venedig, Leonardo underkastede Vitruvian man en række originale udviklinger Fra udstillingen La mente di Leonardo afholdt in Firenze September 2006 Dipartimento di Matematica, Università di Firenze, Italien. 1

2 Hovedafprøvning af Brunetto Piochi GENEREL BESKRIVELSE AF FORLØBET Mål For lærere Vejlede studerende fra teori til praksis Lade de studerende prøve øvelsen på sig selv, inden de udfører den med elever Give instruktion og feedback For lærerstuderende Diskussion om måling og tilknyttede didaktiske argumenter Kendskab til den historiske udvikling af måling (i særdeleshed længde, vægt, kapacitet...) Udføre målinger med en bestemt enhed og arbejde med mål For elever i grundskolen Udføre målinger med en bestemt enhed og arbejde med mål Kendskab til den historiske udvikling af måling (i særdeleshed længde, vægt, kapacitet...) Måling ved hjælp af internationale standard enheder Forstå betydningen af "tilnærmelse" Beregne middel- og median-værdier af et datasæt Præsentere målinger på en graf Beskrivelse af gennemførelsen af forløbet Øvelserne i SSIS blev gennemført med omkring 30 første års studerende med speciale i naturvidenskab. De studerende skulle opnå undervisningskvalifikationer i matematik og naturvidenskab i grundskolen. Faser OG tidsplan: Introduktionslektion om måling og præsentation af Leonardo da Vinci's teorier (45 min) Øvelse med måling, databehandling og diskussion (1,5 timer) Forsøgsundervisning i klassen (3 timer) Afsluttende diskussion og endelig udkast af forslaget (45 min) Efter en teoretisk introduktion til betydningen af måling og historie herom, blev de SSIS studerende præsenteret for en tekst af Leonardo da Vinci om "Vitruvio's mand". Blandt Leonardo's teorier valgte vi nogle, som passede bedst til en eksperimentel efterprøvning: 2

3 "Længden af en mands udstrakte arme er lig med hans højde" "Fra albuen til spidsen af hånden er der en femtedel af hans højde" "Fra underkanten af hagen til toppen af hovedet er der en ottendedel af hans højde" De studerende målte hinanden og indtastede resultaterne i et Excel regneark for at eftervise om Leonardo's teorier var korrekte. I den efterfølgende diskussionen, blev de studerende bedt om at svare på følgende spørgsmål, selvfølgelig med fokus på øvelsens didaktiske aspekt: Hvilke kompetencer er involveret i denne type øvelser? Hvilke forkundskaber er nødvendige? Hvilken indlæring sigter den imod? Hvilke vanskeligheder stødte du på under øvelsen? Tror du eleverne vil støde på yderligere vanskeligheder? Hvordan kan vi hjælpe dem med at løse disse vanskeligheder? Hvor meget og hvilke statistikker er involveret i øvelsen? Hvordan kan vi fange elevernes opmærksomhed og fokusere på tilnærmelses begrebet? Senere gennemførte to studerende, som allerede underviste på en skole, en øvelse i en klasse: Dermed kunne de arbejde med kendte klasser og sætte øvelsen på undervisningsplanen. Øvelsen, som skitseret i den indledende diskussion, blev tilpasset den pågældende undervisning: Øvelsen blev gennemført i to 6. klasser i slutningen af skoleåret. Eleverne (21 i én klasse, 26 i den anden, år gamle) blev bedt om at måle nogle egenskaber på deres kroppe (højde, vægt, armlængde eller en fod,...). Derefter blev de bedt om at sammenligne de målte værdier (ved hjælp af en lommeregner i det ene tilfælde og Excel i det andet) for at finde konstanter eller betydende sammenhænge. I forhold til Leonardo's teorier, blev de bedt om at besvare følgende spørgsmål: Er der et konstant forhold mellem nogle anatomiske mål? Og mellem højde og vægt? Hvis forholdet ikke er konstant, hvad betyder det så, og hvilke indikationer giver det os? Bagefter redegjorde forsøgslærerne for deres øvelse overfor de andre studerende og kommenterede nogle af de hypoteser, som blev fremsat under den indledende diskussion. Til sidst blev der fremsat forslag til uddybende øvelser: Blandt de mest betydningsfulde eksempler er et studie af forbindelsen mellem undervisning i naturvidenskab via studiet af børns fysiske udvikling eller et link til historieundervisning for at finde stadig eksisterende spor af måleenheder, som benyttes på lokale markeder. PRÆSENTATION Temaet måling giver mange muligheder for øvelser med matematisk indhold. Øvelser med virkelig og konkret indhold, som ikke kun er begrænset til længde, vægt eller overflade. I den aktuelle undervisningspraksis vil vi dog mest være nødt til at begrænse os til sådanne størrelser på grund af praktiske forhold. Til daglig støder vi hele tiden på måleproblemer, men også situationer, hvor mål betyder andet og afviger 3

4 en del: børskurser, tøj- og skostørrelser, valuta, statistiske opgørelser,... Vi får løbende nye og mere præcise måleinstrumenter i vores søgen efter den størst mulige nøjagtighed. Et slående eksempel er skiftet fra manuel tidtagning til elektronisk tidtagning indenfor sporten (atletik, skiløb osv). Disse indledende bemærkninger indikerer nogle af aspekterne i måling og mulige didaktiske tilgange kan identificeres. Hvis måling betyder at fastsætte et tal, som udtrykker forholdet mellem en given størrelse og en foruddefineret måleenhed, kan man lave forskellige målinger på det emne, man ønsker at måle. Afhængig af "kvaliteten" af det emne, man ønsker at måle, kan man måle med forskellige "instrumenter", rækkende fra det menneskelige øje til de mest sofistikerede apparater. Skønt vi fremhæver vigtigheden af, hvilken rolle instrumenterne spiller, ønsker vi af afmystificere dem. Der findes ingen perfekte instrumenter, og de målinger vi laver, er altid tilnærmede. På samme måde findes der både målelige og umålelige størrelser, i enderne af måleskalaen etc. Det er også velkendt, at før indførelsen af de nuværende standard måleenheder, var der en lang fase, hvor måleenheder blev fastsat vilkårligt. Kun til handelsbrug fandtes der en standardisering på enkeltmarkeder. Anvendelsen af forskellige enheder giver ingen problemer, hvis vort eneste mål er at lave en sammenligning eller en intern rangorden. Men hvis vi ønsker at videregive resultatet til andre eller sammenligne emner placeret forskellige steder, støder vi på nogle problemer. Vi har derfor behov for standardenheder, som er ens for alle, så vi kan sammenligne forskellige målinger og kommunikere resultatet til andre. Ved at anvende traditionelle måleenheder får vi den korrekte definition af mål og dets betegnelse ved hjælp af et tal efterfulgt af en måleenhed. (cm, kg, l,...) som entydigt identificerer en kvantitativ egenskab ved emnet (dimensioner, vægt, kapacitet,...). For nogle elever er der stadig et stykke vej til at forstå dette; mere generelt sagt har mange studerende ikke en forestilling om værdien af et mål (hvor bredt er et vindue? hvor højt er et hus?, hvor mange flasker vand har jeg behov for, hvis jeg vil omdanne klasseværelset til et svømmebassin?) Et startsted for en specifik didaktisk retning kunne være en vurdering af den korrekte anvendelse af nogle specifikke termer til afklaring af flertydigheden af bestemte ord i det talte sprog i forhold til, hvordan de bliver brugt indenfor forskellige fagområder (f.eks. bruger vi i almindeligt sprog udtrykkene "stor, lille" som reference til enten dimensioner eller alder, i forhold til intelligens eller indhold...). En mulig tværfaglig øvelse kunne være en udveksling med historielæreren om den historiske udvikling *, som startede med den kommercielle revolution i det århundrede, og som førte til vægt- og målekomiteen, der blev oprettet under den franske revolution,og som senere førte til indførelsen af de nu gældende konventionelle måleenheder. * Denne region, såvel som mange andre regioner I Europa er rig på, eksempler på de første konventionelle enheder på mål på lokal basis: længde, vægt og kapacitet standarder er lokatiseret på pladser, hvor de locale markeder findes. Komiteer, som også involverede store matematikere som Lagrange, som var formand: Det er Lagrange vi skylder beslutningen om at indføre decimalsystemet.,. 4

5 Gamle længde- og volumen enheder på en markedsplads. Vi fortolkede øvelsen med anatomiske målingen på denne måde: På den ene side giver den ideer til et historisk syn, og på den anden side giver den anledning til en refleksion over evnen til at måle. Øvelsen blev præsenteret (to timer af matematikundervisningen) efter, at de studerende havde haft tid til at sætte sig ind i brugen af Excel regneark og omhandlede målinger af numerisk syntese, regressionslinie og korrelationskoefficient indenfor statistik. Selv om de sidste emner ikke var væsentlige for vores øvelse, er det alligevel godt for lærerne i det mindste at kende de grundlæggende begreber for at få en dybere forståelse af sammenhængen mellem de involverede data. ØVELSE MED DE STUDERENDE I den indledende lektion blev SSIS studerende præsenteret for nogle eksempler på "traditionelle" målinger, som blev indført lokalt i tidligere århundreder, før indførelsen af det internationale målesystem. De blev så bedt om at skitsere nogle mulige øvelser, som kunne hjælpe eleverne med at vurdere nytten af standard mål ved at bevæge sig hele vejen frem til identifikation af nogle vigtige længdemål. Under diskussionen bemærkede de studerende, at mænd tidligere brugte dele fra deres krop til at måle længder eller hele kroppen som "reference vægt". Dette skyldes naturligvis, at det er "bekvemt" hele tiden, at bære på sit måleinstrument (på samme måde, er en arm bedre som "måleinstrument" til måling af længde end omfanget af brystet...). De subjektive værdier, som blev fundet via disse instrumenter, gjorde det dog nødvendigt at finde mere objektive målemetoder. Men findes der "anatomiske konstanter"? Man vil rimeligvis sige nej, og det vil være rigtigt, hvis vi ser på værdierne af de involverede størrelser. De studerende blev imidlertid stillet over for det forhold, at det kunne være anderledes, hvis man kiggede på forholdet mellem størrelserne ; vi refererede til den velkendte tekst af Leonardo da Vinci om Vitruvio's mand. Det blev bemærket, hvordan de fleste af Leonado's teorier ikke vedrører mål per del, men forholdet imellem dem. Denne betydning er meget naturlig: alt arbejde med Studenterne blev bedt om at udføre amatomiske undersøgelser(vi bemærker her, at SSIS studerende, som var involveret i øvelsen, var uddannede i videnskabelige discipliner, nogle af dem i biologi og derfor har begreber om sammenlignende anatomi), og samarbejde med historie, kunst og sport og udøvende lærere.. 5

6 begreberne størrelse og mål, er enten relateret til matematik (længde af en linie, bredde af en vinkel), eller til naturvidenskab (masse, vægt. tryk, absolut eller relativ fugtighed), hvilket fører os til at tale om forhold. Måling er i sig selv grundlæggende et forhold. Det samme sker, hvis vi videregiver data, som er registreret under et statistik studie med bestemmelse af middelværdi, median samt beregning af procenter. Arbejdet med forhold involverer imidlertid ofte heterogene størrelser, og det er ikke altid let eller muligt at arbejde med nye forholdsmæssige størrelser og med de rigtige måleenheder på det skoleniveau vi refererer til. Det er derfor, at henvisningen til at arbejde med homogene størrelser (så vi får hele tal som forhold), som kommer fra Leonardo's tekst, var ekstremt stimulerende for den indledende fase i vores arbejde. En anden interessant ide kommer fra den mulige geometriske fortolkning af den konstante værdi, som disse forhold antager: Det kunne være direkte proportionale værdier, hvilket nemt kan checkes i et koordinatsystem, enten direkte eller ved anvendelsen af elektroniske regneark. De studerende bidrog til udvælgelsen af nogle sætninger, som virkede anvendelige for eksperimentel efterprøvning: "Længden af et menneskes udspredte arme er lig med dets højde" Fra albuen til spidsen af hånden er der en femtedel af dets højde. ; Fra underkanten af hagen til toppen af hovedet er der en ottendedel af menneskets højde" Studerende måler hinanden Den resterende del af lektionen blev brugt til en laboratorieøvelse, hvori de studerende målte hinanden og behandlede målingerne i et Excel regneark for at efterprøve, om Leonardo's teorier var rigtige. Dette udsagn førte straks til en interessant discussion: De første målinger gav resultater, som var helt forskellige fra de forventede (det valgte forhold var tættere på 4 end 5). Kun en mere præcis læsning af teksten og undersøgelse af den vedhæftede tegning fik de studerende til at bemærke, hvordan betydningen af "håndspidsen" skulle forstås for at måle korrekt.. 6

7 Vetruvio architetto mette nella sua opera d'architettura che lle misure dell'omo sono dalla natura disstribuite in quessto modo. Cioè, che 4 diti fa un palmo e 4 palmi fa un pie: 6 palmi fa un cubito, 4 cubiti fa un homo, e 4 chubidi fa un passo e 24 palmi fa un homo; e cqueste misure son né sua edifizi. Se ttu apri tanto le gambe che ttu cali da capo 1/14 di tua alteza, e apri e alza tanto le braccia che colle lunghe dita tu tochi la linia della sommità del capo, sappi che 'l cientro a sinistra e a destra della scala metrica delle stremità delle aperte membra fia il bellico, e Ilo spazio che si truova infra Ile gambe fia triangolo equilatero diti palimi palmi diti. Tanto apre l'omo ne' le braccia, quanto è lla sua alteza. Dal nasscimiento de'capegli alfine disotto del mento è il decimo dell'alteza de l'uomo. Dal disotto del mento alla somità del capo è l'ottavo dell'alteza de l'omo. Dal disopra del petto alla somità del capo fia il sexto dell'omo. Dal disopra del petto al nasscimiento de capegli fia la settima parte di tutto l'omo. Dalle tette al di sopra del capo fia la quarta parte dell'omo. La magíore largheza delle spaffi contiene in sé (la oct) la quarta parte dell'omo. Dal gomito alla punta della mano fra la quarta parte dell'omo. Da esso gomito al termine della ispalla fa la ottava parte d'esso omo. Tutta la mano fa la decíma parte dell'omo. Il membro virile nasscie nel mezo dell'omo. Dal disotto del pie al disotto del ginochio fia la quarta parte dell'omo. Dal disotto del ginochio al nasscimento del membro fia la quarta parte dell'omo. Le parti che ssi truovano infra il mento e 'l naso e 'l nasscimento de' capegli e quel de' cigli, ciascuno spazioper sè è ssimìle all'orecchi(i)o, è 'l terzo del volto ** ". Vitruvius, arkitekten, siger i sit arbejde med arkitektur, at målene på den menneskelige krop er som følger: 4 fingre gør 1 palme, og 4 palmer gør 1 fod, 6 palmer gør 1 cubit; 4 cubit gør en mands højde. Og 4 cubit gør én pace og 24 palmer gør en mand. Længden af en mands udstrakte arme er lig med hans højde. Fra roden af hans hår til underkanten af hans hage er der en ottendedel af hans højde, fra toppen af brystet til roden af håret vil der være en syvendedel af en hel mand. Fra brystvorterne til toppen af hovedet vil der være en fjerdedel af en mand. Den største bredde af skuldrene indeholder i sig selv en fjerdedel af en mand. Fra albuen til spidsen af hånden vil der være en femtedel af en mand. Hele hånden vil være en tiendedel af manden. Afstanden fra underkanten af hagen til næsen og fra roden af hårene til øjenbrynene er i hvert tilfælde det samme, og det samme som øret, en tredjedel af ansigtet. Under den efterfølgende diskussion blev de studerende bedt om at svare på følgende spørgsmål med fokus på de didaktiske aspekter af øvelsen: Hvilke kompetencer er involveret i denne type øvelse? Hvilke forkundskaber er nødvendige? Hvilken slags indlæring bliver fremmet? Hvilke vanskeligheder har du mødt under denne øvelse? Tror du skoleelever vil møde yderligere vanskeligheder? Hvordan kan de hjælpes over dem? Hvor mange og hvilke statistikker er involveret i øvelsen? Hvordan kan vi fokusere elevernes opmærksomhed på den acceptable tilnærmede værdi? Selve øvelsen førte naturligvis til en diskussion om nøjagtigheden af de målte værdier, ud fra det faktum, at Leonardo's hypotese indeholder brøker. En sammenligning med værdierne fra øvelsen afhænger i væsentlig grad af den ** Leonardo da Vinci, Le proporzioni del corpo umano secondo Vitruvio, disegno, (Venezia, Gallerie dell'accademia Gabinetto dei Disegni e stampe); cat

8 accepterede tilnærmelse. Dette er et yderst svagt punkt, som bekræftet i overmål af erfaringerne fra klasseværelset: De studerende havde målt med en god tilnærmelse, hvorimod eleverne målte med en større variation, hvilket krævede en yderligere forfinelse af resultaterne før de kunne bruges. Igen foreslog de studerende, hvordan undersøgelsen kunne føres videre: de foreslog at beregne median, standard afvigelse og andre syntetiske værdier ud fra målingerne. Det stimulerende spørgsmål "på basis af disse målinger, hvilken betydning har udtrykkene høj, kort, fed, tynd... antaget i disse målinger?" viste, hvordan andre målinger ikke kun er mulige, men uundværlige i denne sammenhæng for at besvare spørgsmålene, og hvordan det virker naturligt at indføre forhold mellem ikke homogene størrelser og derfor dimensionale enheder for måling. For eksempel for at definere tykkelsen af en person, kan man ikke gøre det uden at indføre begrebet "kropsmasse" udtrykt i g/cm. Ydermere bliver dette behov fremhævet, når det erklærede mål er, at introducere temaet forhold mellem ikke homogene størrelser. Før vi gennemførte øvelsen i klassen, diskuterede vi, om det var passende set ud fra et psykologisk synspunkt, at tale om kropsforhold med teenagere. De studerende udtænkte nogle didaktiske udveje til at involvere alle uden at gøre nogen forlegne. Det skal også bemærkes, at (som det ofte sker) nogle af disse problemer, som var undervurderede af de studerende, blev stærk fremtrædende under arbejdet i klassen. Det var først, da læreren selv legede med og lod studerende måle ham, at problemerne blev helt overvundet med en positiv effekt på både succesen for øvelsen og det generelle klima i klassen FORLØBET I KLASSERNE Blandt de SSIS studerende meldte to sig til frivilligt at prøve øvelsen i deres klasser. Planen blev vedtaget under en kollektive diskussion og tilpasset de forskellige klasser og den aktuelle læseplan. Studerende, som fulgte øvelsen (klasselæreren og en anden studerende) blev bedt om at være opmærksomme på de punkter, der var fremhævet under diskussionen, og også at verificere de hypoteser, der var gjort om problemer samt om øvelsen var meningsfuld. Eftersom øvelsen blev gennemført i slutningen af skoleåret, blev nogle af øvelserne let reduceret til fordel for andre, som syntes mere presserende eller betydningsfulde. I det følgende giver vi et resumé af de studerendes slutrapport. 6. klasse, 3 timers arbejde, 26 elever Øvelsen blev gennemført i sidste semester i en 6. klasse, som et middel til at repetere brøker samt nogle statistiske analyser og målinger. En øvelse, hvor eleverne måler sig selv og hinanden er engagerende og giver en slags "følelsesmæssig mobilisering", som begunstiger lærerens job. Under opmålingerne opstod straks nogle naturlige problemer, som viste, hvordan nogle emner kun kan løses på en traditionel og aftalt måde. For eksempel, hvordan beregner du afstanden fra spidsen af hånden til albuen: fra indersiden eller fra 8

9 ydersiden? Lignende problemer opstod under måling af længden af foden (selvfølgelig var der elever, som ikke ønskede at tage deres sko af...) og også kropshøjden for dem, som ville beholde deres sko på. Og eleverne fandt straks ud af, at målinger er... helt forskellige, hvilket de nemt kunne spotte uden disse fejl, for de var bundet til at benytte unøjagtige instrumenter (lineal, trekant etc.): Det var ikke muligt for den samme dreng at være 154, 156, 158, 159 cm høj på samme tid! Dette faktum (i virkeligheden sagde det mere om målefejl og instrumenternes nøjagtighed end en lang forklaring) gav grundlag for en livlig diskussion, som til sidst resulterede i, at klassekammeraterne lavede hver sin måling, og den "officielle" måling blev medianen af de tre målinger. Eleverne var især overraskede over, at i deres klasse havde forholdet mellem fodens længde og elevernes højde en procentuel frekvens på 78% med værdien 0,15 (bemærk at 1/7 er ca. 0, ). Af en eller anden grund overraskede denne opdagelse dem mere end andre. Under alle omstændigheder, fortsatte de på denne måde (og med lignende nøjagtighed...) efterprøvede de gyldigheden af de forskellige forhold, som Leonardo havde fremsat. 6. klasse, 3 timers arbejde, 21 elever Klassen stilede højt og læreren troede ikke de ville få problemer med brøker og forhold. Han ønskede selv at introducere temaet med forholdsmæssige størrelser: For at gøre det, brugte han nogle data, som hans kollega havde givet ham og bad eleverne eksperimentere med nye forhold. For at fostre behovet for dimensionelle størrelser (i dette tilfælde g/cm, som aftalt med de SSIS studerende), foreslog læreren et studie af forholdet mellem brystmål og kropsvægt. Dette forhold viste en større individuel variation udtrykt i kvalitative termer, skønt værdien blev 0,48 (defineret som en "tyk mave"...) i 43% af tilfældene. Læreren bad eleverne give en mere præcis angivelse af en mere eller mindre "tyk mave". Eleverne svarede, at "det er ikke nok at kigge på vægten!"; Læreren var ikke afvisende og bad dem fortsætte. I skolens sundhedsværelse, som er udstyret med en vægt og et højdemåleinstrument, blev hver elev bedt om at tage sine sko af og stå op på vægten for at måle sin egen vægt. Kun nogle få elever (den højeste og den mindste og den tykkeste og tyndeste) var forlegne. Først bad læreren dem om hemmeligt at notere deres mål, men så blev de båret af den generelle entusiasme, hjulpet af det faktum, at læreren selv (klart den højeste og mest buttede) lod sig måle frivilligt. Der blev udfyldt en tabel med navn, vægt og højde for hver elev i klassen. I starten blev vægten registreret i kg og højden i meter, senere, da der skulle dannes forhold, Et interessant spørgsmål blev behandlet af de studerende, da erfaringerne blev fortalt: Var det det "virkelige mål" af det målte emne? Eleverne havde antaget denne værdi som rigtig, men ingen kunne udelukke yderligere fejl... de først malinger gav nogle resultater, edr var fuldsændigt forskellige fra, hvad der var forventet(forholdet var nærmere 4 end 5) Kun en mere præcis læsning af teksten gjorde at man kunne male mere præcist 9

10 blev disse mål ændret til gram og centimeter. I tabel 1 ses nogle eksempler på de målte størrelser. I starten indeholdt tabellen ikke en kolonne med forhold. For at introducere dette begreb vendte læreren uforbeholden tilbage til tykkelse, og bad eleverne blive enige om, hvem der var tykke og tynde i klassen. Anmodningen skabte ophidsede argumenter: Claudia og Chiara P vejede begge 49 kg, men det var klart synligt, at den første var meget tyndere. Vægten alene var derfor ikke en god indikator for tykkelse; Det var imidlertid nemt at se hvorfor: Chiara var 1,58m høj medens Claudia kun var 1,50m. Men sammenligningen var ikke klar for alle par, og i hvert fald var det en kvalitativ sammenligning, medens læreren insisterede på at få kvantitative sammenligninger ved måling af hver enkelt persons "fedme". Det var interessant, at skønt eleverne arbejdede med brøker i denne periode og havde øvelser med forhold, og selv om klassen var særlig højt stilende, som nævnt tidligere, tænkte ingen af eleverne på at dividere vægten med højden, formentlig på grund af, at de involverede størrelser ikke var homogene. Til sidst foreslog læreren divisionen og ved hjælp af en lommeregner blev den tredje numeriske kolonne i tabellen tilføjet. Elev VÆGT (i gram) HØJDE (i cm) FORHOLD (approksimeret) Alessandro Chiara L Chiara P Claudia Ester Fabio Francesco Franco Gianna Giorgio Giovanni Giulia Loretta Marcello Marco Marta Maurizio Michele Prof MAX Sunita Susanna MIN Yu Lin Elevernes vægt og højde i forsøgsklassen 10

11 Endelig blev eleverne bedt om at diskutere betydningen af Chiara P.'s 312 g/cm i forhold til CL's 326 g/cm. Nogle udtrykte den idé, at dividere gram med 138 cm er lige som at skære vægten ud i 138 dele, hver 1 cm høj, vores forhold kunne betragtes som udtryk for vægten af en "steak, som kunne tages fra hver af os" via horisontale snit. Læreren accepterede ideen, og påpegede, at det var nødvendigt at tænke på eleverne, som om de havde en perfekt cylindrisk form, bestående af et homogent materiale, eller nærmere klarlægge, at det var en "middel" steak (og dermed kunne han repetere begrebet "aritmetisk middelværdi"). Til sidst sammenlignede hver elev deres "middel steak" med de andres; selvfølgelig var den største steak matematiklærens: næsten et halvt kilo! Det blev på dette tidspunkt foreslået i begge klasser, at præsentere størrelses-parrene som punkter af par i et koordinatsystem. Første forsøg blev gjort manuelt: selvfølgelig krævede det lille måleområde nogen tilpasning, men det var en god mulighed for at præsentere eleverne for brugen af millimeterpapir og begrebet en skala. Her så lærerne resultaterne af de tidligere diskussioner om tilnærmelsesfejl: Også her viste den mest uordentlige elev stor opmærksomhed til præcision i repræsentationen. Repræsentationen af forholdene, som foreslået af Leonardo, gav ikke yderligere problemer, og eleverne kunne finde eksistensen af den forudsagte direkte proportionalitet. På den anden side opstod der flere problemer med repræsentationen af forholdet vægt-højde, begyndende med behovet for at etablere forskellige skalaer på de to akser. Til sidst fik de et multiplum af punkter, som fremhævede det faktum, at der ikke eksisterer nogen klar proportionalitet mellem de to størrelser. EN EFTERANALYSE AF LEKTIONEN I KLASSEN Efter at de studerende havde fortalt om deres oplevelser i klasserne, fokuseredes diskussionen på de vanskeligheder de mødte og på mulighederne for yderligere udvikling af temaet. Det blev bemærket, hvordan øvelsen naturligt rejste matematiske og statistiske spørgsmål (tilnærmelser, grafisk repræsentation), som det er vanskeligt at behandle på anden vis. FORSLAG TIL YDERLIGERE UDVIKLING Ved slutningen af den endelige diskussion, foreslog én af de studerende (som for nylig blev moder) en øvelse, som kunne være en naturlig udvikling af den Arbejdet stoppede her, men det ville ikke være svært at introducere korrelationskoefficienten og tegne den mulige regressionslinie mellem de to størrelser ved hjælp af et regneark. Disse emner rækker længere end det skoleniveau vi referer til. Det er her værd at beskrive en lignende erfaring med 15 år gamle studerende, hvor vi prøvede at finde mulige korrelationer mellem højde og vægt (omkring 0,8 for denne klasse), mellem højde og middelværdi af opnåede karakterer i matematik (meget mindre end 0,5) og mellem vægt og opnåede karakterer i matematik (normalt ikke mere end 0,65 i dette tilfælde) med interessante emner for diskussionen om betydningen af værdier med statistiske korrelationer. 11

12 gennemførte øvelse. Hun medbragte kopier af to standard pædiatriske filer, med indikationer på udviklingskurver (forskellige for mænd og kvinder) for de to betragtede størrelser. På disse kunne man afsætte de opnåede målinger og bede eleverne om at få deres egne udviklingsdata i forskellige aldre hjemmefra og afsætte dem på grafen. Denne øvelse kan benyttes i matematik til at introducere begreberne graf, funktion, procentkurve på et konkret eksempel tæt på elevernes interesser; indenfor naturvidenskab (måske med understøttelse af en læge) kan øvelsen måske anvendes til at introducere begreberne "kropsudvikling" og alder og individuelle variationer i denne udvikling. Der blev fremsat endnu et forslag til udvidelse af øvelsen, både til at eftervise andre af Leonardo's påstande om elevers anatomi, og, via et samarbejde med kunstlæreren, undersøge disse forhold på klassiske statuer (måske også tegninger på internettet). Som følge af det blev det foreslået både at bruge internettet og organisere enkelte ture i regionen. De studerende kunne blive ført til opdagelse af de første spor af "lokale traditionelle" måleenheder og sammenligne for eksempel "armen", som lokalt blev brugt som måleenhed på forskellige markeder, med den virkelige længde af en arm. Derved kunne de blive ført videre til statistisk undersøgelse af forøgelsen af menneskets middelhøjde og -vægt over tiden. En søgning i en samling af gamle offentlige eller familiebilleder kunne være en måde at hjælpe eleverne til at forbinde observationer og efterprøve hypoteser. LITTERATUR Boyer C. B. (1990), Storia della matematica, Milano, Mondadori Cambi F. et al. (2001), L Arcipelago dei saperi II, Area Matematica, Le Monnier, Firenze Ferrari D. (2005), Qualità nella misurazione: introduzione alla metrologia e guida applicativa, Milano, Franco Angeli Piscitelli M., Piochi B. et al. (2001), Idee per il curricolo verticale. Progettare percorsi in Lingua, Matematica e Storia, Tecnodid, Napoli UMI-CIIM (2001), Matematica 2001, Materiali per il XXVII Convegno Nazionale sull Insegnamento della matematica, Ischia, Novembre

13 Andet forløb af Yves Alvez, Jean-François Chesné og Marie-Hélène Le Yaouanq PRÆSENTATION AF ØVELSESFORSLAGET Denne øvelse handler om indsamling og analyse af data, og viser hvordan seminarielærere ønsker at sammenkæde forskellige moduler i uddannelsen af matematik lærere. Hvert år går mellem 50 og 80 matematik lærerstuderende (PLC2'ere) gennem IUFM uddannelsen i Creteil. Det indeholder et 42 timers modul med praktisk klasseundervisning i matematik (modul A). Modulet skal i samarbejde med undervisningsvejlederen hjælpe praktiklæreren med hans/hendes opdagelse af lærerfaget og med at opbygge hans/hendes professionelle erfaring ved at give ham/hende undervisningsredskaber så vel som pædagogiske og didaktiske elementer at arbejde med (pensum, udarbejde planer, forberedelse af forløb og lektioner, evaluering, opmærksomhed på elevers forskellighed, matematisk indhold, specifik arbejde i algebra eller geometri...) Det indeholder også et sandsynligheds-statistik modul (modul S), som består af 12 obligatoriske timer og seks valgfrie. Formålet med modulet er, at opmuntre de studerende til at give statistik dets rette placering indenfor matematikken når der undervises i skolens ældste klasser. Gennemførelsen af dette modul kræver selvstændigt arbejde med computer for at blive fortrolige med brugen af regneark og grafisk statistiksoftware (integrerede funktioner, adressering, opfattelsen af variable, algoritmebegreber etc.). Endvidere kræver det opsætning af praktiske eksempler med klasseundervisning for at udforske grafiske værktøjer og beskrive statistiske metoder: numeriske og grafiske karakteristika, sammenligninger og fortolkninger. Som ved ethvert øvelsesinitiativ, bliver beskrivelsen og vurderingen gennemført i to niveauer: Fra lærer til studerende, og den for lærerne interessante, de studerendes praktiske undervisning og dennes virkning på eleverne. Vi vil derfor specificere vores mål og indledende forventninger til de studerende, og dernæst vil vi introducere øvelsesforløbet, som det blev gennemført dette år dvs. dets udvikling fra start til slut. Dette vil blive efterfulgt af en efteranalyse, stadig på to niveauer, på lektionen, som blev gennemført af en studerende i klassen, og en mere global på hele øvelsen. Endelig vil vi formulere nogle fremtidsperspektiver, som blev tilbudt os som IUFM studerende i Creteil og som deltagere i projektet LOSSTT IN MATH. Institut Universitaire de Formation des Maîtres IUFM de Créteil, Frankrig. 13

14 EN INDLEDENDE ANALYSE Måling af Kroppe Dette emne (foreslået af IUFM i Creteil indenfor projektet LOSSTT IN MATH og tæt knyttet til forslaget om kropsmålinger) kombinerer to nøglebegreber indenfor statistikundervisning af skolens ældste klasser. Den første kan defineres som undervisning af matematikken (se pensumplan og officielle anvisninger). Den anden har til formål at udvikle studerendes kritiske vurdering og deres evne til at distancere sig selv fra indholdet. Integrationen af nye teknologier, som halvdelen af modulet blev brugt til, tæller selvfølgelig også i forslaget. Ligesom for procedurerne, er de udarbejdet med henblik på praktisk øvelse og ikke kun fremlægning, og med vilje til at reagere på både de erkendelsesmæssige og de formidlingsmæssige dele af undervisningen. For at være mere specifikke, er vores mål med dette forslag: At gøre studerende fortrolige med anvendelsen af regneark og vise dem dets værdi som undervisningsredskab At få studerende til at reagere som elever ved at bede om at gøre det, de bagefter bliver bedt om at videregive til deres egen klasse (modellerings strategi) At indføre begreberne aritmetisk middelværdi, standard afvigelse og variationskoefficient for at datasæt. At introducere et historisk dokument ("Da Vinci's mand") og bruge det som en hjælp til at studere de matematiske begreber. Få de studerende til at gennemføre lektionen effektivt med deres elever. At udvikle en relevant anvendelse af lommeregneren i klasseundervisningen. UDVIKLING Træningsøvelsen gennemføres i 4 trin. To lektioner anvendes til at beherske anvendelsen af regneark Under en efterfølgende lektion får de studerende forskellige øvelser bl.a. "da Vinci's mand" En studerende giver en lektion i klassen Retur til de studerende for feedback 1. trin To 3 timers lektioner benyttes udelukkende til at lære de studerende regnearksfunktioner (og anden specifik software relateret til statistik). Under den første lektion introducerer læreren regnearkets tekniske begreber og komponenter samt dets grundlæggende karakteristika som specificeret i pensummet. Dernæst skal de studerende gennemføre nogle øvelser (inklusiv arbejde med adressering). Den anden lektion benyttes mere specifik til anvendelse af regnearket indenfor statistik (statistiske funktioner og simulation af tilfældige eksperimenter). To lærere gennemfører hver lektion for omkring femten studerende. 14

15 2. trin Måling af Kroppe Under øvelseslektionen, får de studerende tre øvelser, som fokuserer på spredningen af en serie og begrebet tilfældighed. De agerer elever i alle øvelserne. 3. trin Den filmede lektion foregår i en frivillig studerendes klasse uden nogen form for institutionel vurdering. Under et forudgående møde, umiddelbart før lektionen, har den studerende introduceret klassen og præsenteret sit projekt for én af lærerne. På samme måde, vil hun efter lektionen give nogle kommentarer "på stedet". 4. trin For at få det føjet ind i udviklingen af øvelsesplanen, gennemførtes vurderingen af øvelsesmodulet efter gennemførelsen ret sent. Den studerende som gennemførte lektionen fortalte de andre om sine følelser over at blive filmet og giver en kort efteranalyse af lektionen. De andre studerende bryder ind med spørgsmål. Ligesom i øvelsen "Introduktion til proportionalitet i geometri", kunne der ikke foretages nogen vurdering af videooptagelsen på dette tidspunkt, da dette ikke var en del af de studerendes øvelsesplan. HOMOLOGI : UDDANNELSE VIA MODELLERING En hurtig genopfriskning af begrebet modellering Seminarielærerne overfører deres matematikundervisningsbegreber ved at anvende dem i de lektioner de giver. De studerende forventes dernæst at implementere de lektioner de har lært som elever, til eleverne i deres egen klasse. Modelleringsstrategier afviger fra kulturelle strategier (hvor læreren giver lidt information videre), fra demonstrationsstrategier (hvor lærere overføre en undervisningsøvelse ved at gennemføre den i sin klasse) og fra overførselsstrategier (hvor læreren overfører referentiel viden om undervisning og prøver at udnytte overførselsfænomenet ved hjælp af de studerende). Øvelseslektionen (45 minutter) [Dette trin blev videofilmet] En lærer udleverer "da Vinci's mand" tegningen og den tilhørende tekst til de studerende (se appendiks). De studerende gennemlæser begge dokumenter hurtigt, og læreren foreslår så, at de skal fokusere på en enkelt påstand i teksten Tanto apre l omo nelle braccia quanto e la sua alteza. De studerende bliver bedt om at gå sammen parvis og måle længden af hinandens udspredte arme (A) og højde (H). Læreren viser hvordan. Hver studerende beregner så forholdet R = A/H afrundet til 0,01 og skriver anonymt værdierne A, H og R på tavlen. Læreren påpeger eksperimentelle forholdsregler. I mellemtiden indtaster den anden lærer værdierne fra tavlen i et regneark. Derefter skifter interessen til den statistiske serie af R værdierne og dermed bliver spørgsmålet om spredningen af serien taget op. Efter at have bestemt spredningen, foreslår de studerende at beregne middelværdien og standard afvigelsen: Læreren benytter denne mulighed til at pointere forskellen mellem standard afvigelsen af en prøve og af en population. De studerende udfører alle 15

16 beregningerne ved hjælp af en lommeregner, medens en af lærerne gør det samme i regnearket. For at forfine vurderingen af spredningen, foreslår én af lærerne, at de studerende skal beregne koefficienten af variationen (uden dimensioner) og stiller dem spørgsmål om mulige tolkninger af disse tre parametre. Blev formålet med øvelsen dvs. søgningen efter en mulig eksperimentel eftervisning af Da Vinci's påstande opfyldt?. Hvilken betydning kan vi tillægge værdien af den opnåede variationskoefficient ( 4%)? To yderligere øvelser under dette modul (én med alderen på lærerne, den anden tabeller med tilfældige tal) vil gøre det muligt for os at give nogle svar. I slutningen af øvelsen introducerer lærerne projektet LOSSTT-IN-MATH og spørger efter frivillige til at gennemføre en lektion med eleverne. Lærerne foreslår de studerende, at de skal tilpasse lektionen til deres egen klasse (indhold og procedurer: for eksempel begrebet standardafvigelse indgår ikke i seminariets pensum), baseret på, hvad de har erfaret og synes. LEKTIONEN I KLASSEN(50 MINUTTER) Præsentation af konteksten [Dette trin blev videofilmet] Den filmede lektion gennemføres indenfor rammerne af en "opdagelsesrejse" i en tredje klasse på Jean Charcot de Fresnes College, i Val de Marne distriktet. Charcot College, som tæller 330 elever og 25 lærere er en "ret lille" skole. Med fuld undervisningstid er disse "opdagelsesrejser" obligatoriske. De udgør 2 timer af den ugentlige undervisningstid for alle elever i den mellemste del (andet og tredje år i grundskolen). De er tilføjet de obligatoriske fag ved at kombinere mindst to discipliner struktureret omkring et fælles tema indenfor et af følgende 4 områder: Natur- og menneskevidenskab Kunst og humaniora Sprog og kultur Design og teknologi Hver "opdagelsesrejse" varer mellem 12 og 13 uger med perioder for præsentation, læring, arbejde og evaluering inkluderet. Så i løbet af et skoleår deltager eleverne i den mellemste del i to "opdagelsesrejser". POpD, som den studerende arbejder på i samarbejde med en fransk lærer, dækker følgende emne "Rejse jorden rundt". Den anden del af studiet benytter statistiske data i relation til den Europæiske Union med følgende mål for matematisk indhold: At læse og forstå en graf eller et diagram At beregne heltal, frekvens, akkumuleret frekvens, akkumuleret heltal og middelværdi Præsentere en statistisk serie som et regneark eller diagram Lektionen gennemføres efter at have studeret det valgte emne. Eleverne kan derfor allerede benytte de ovenfor nævnte redskaber. Til sidst skal det bemærkes, at de 16

17 elever, der deltog i lektionen, ikke kommer fra samme klasse: De kommer fra forskellige 3. års klasser og er samlet 2 timer om ugen (en timer med den franske lærer og en time med matematiklæreren). Udvikling af lektionen 1. Periode (15 min.) Læreren udleverer den første øvelser til eleverne og viser da Vinci's tegning. Hun stiller nogle få spørgsmål om da Vinci og dernæst om selve tegningen: Eleverne skal undersøge felterne, armene og manden (fra top til tå). Læreren undersøger også linierne i tegningen og beder eleverne om at tænke over, hvad de ser. Med hjælp fra læreren foreslår eleverne, at mandens armspænd er lig med hans højde. En elev sendes til tavlen og skriver den konkluderende sætning: "En mands højde og armspænd er lige store". 2. Periode (15 min.) Efter at en elev har læst instruktionerne op, udfører læreren selv i samarbejde med en anden elev den opgave, de alle skal udføre: Eleverne sættes nu sammen parvis og måler hinanden. Læreren tillader 4 piger at blive sammen. Hun går rundt blandt eleverne og hjælper nogle af dem. Så snart målingerne er taget, går eleverne tilbage til deres pladser for at beregne forholdet. 3. Periode (20 min.) Læreren udleverer den anden opgave til eleverne og skriver de opnåede forhold på tavlen. Det er dog mærkeligt, at flere elever opgiver 1 som A/H værdi. Eleverne bestemmer minimum og maksimum for de opnåede værdier og beregner middelværdien (som er nøjagtig 1!). Læreren prøver nu, at få eleverne til at gennemgå det, de netop har lavet, ved at stille spørgsmål til dem især om betydningen af A/H. Perioden slutter med følgende konklusion på tavlen: "Forholdet er tilnærmelsesvis lig med 1. Armspænd og højde er derfor lig med hinanden". Lektionen ender med at læreren giver hjemmearbejde, som skal være færdiggjort til næste lektion. EN EFTERANALYSE AF LEKTIONEN I KLASSEN Eleverne sidder i U form i rummet.elevernes opgaver var velforberedte, scenariet (se appendiks) har netop forudset de forskellige perioder, som læreren havde planlagt, og tidsforløbet af lektionen er defineret. Den fælles instruktion, som læreren giver, er meget nøjagtig, hendes toneleje er meget bestemt. Individuel hjælp bliver imidlertid givet hyppigt og venligt. Eleverne benyttede i det store og hele deres lommeregnere korrekt til at bestemme middelværdien af de tal, der var skrevet på tavlen. Der kan være tvivl om, om valget af A/H forholdet var relevant for tredje års elever. Adskillige spørgsmål fra eleverne under hele lektionen viser en temmelig svag forståelse for at forholdet A/H = 1 betyder A = H. Nøjagtigheden af A/H forholdet i forhold til fraværelsen af en enhed synes ikke at have påvirket eleverne. 17

18 Det aktuelle forløb af lektionen fulgte lærerens oprindelige plan. (Under det efterfølgende møde straks efter lektionen, betegnede hun sig selv som "tilfreds med den måde lektionen forløb på"). Overgangen fra undersøgelse af tegningen til gætterier forløb stort set ved hjælp fra læreren og på meget kort tid, og det kan siges, at dette trin ikke var elevbaseret. Læreren starter systematisk med de svar, hun ønsker at høre fra sine elever. "Topaze effekten" er hendes manifest. Man kan måske mene, at det er hendes måde at styre forløbet af lektionen på. Men det, der for eleverne skulle have set ud som en hypotese, der skulle eftervises eksperimentelt, ændrede sig faktisk til at blive et faktum, der skulle opfyldes uanset, hvad det kostede, selv om det betød gentagelse af målinger eller justering af måleresultaterne til nærmeste mm for nogle af elevernes vedkommende. EN EFTERANALYSE AF ØVELSEN En modelleringsstrategi sigter hovedsagelig på at give en lektion, som de studerende betragter som anvendelig i klassen. I hvert fald blev det valgte indhold og gennemførelsen betragtet som "godkendt" af de studerende, uden at lærernes valg nødvendigvis blev accepteret uforbeholden. Formålet med at lade de studerende spille rollen som elever var mere at øge deres spørgelyst vedr. de fastsatte opgaver, hvilket muligvis ikke ville være sket på anden måde. Hvad kan nu udledes af lektionen i klassen? Øvelsesdokumenterne blev fuldstændig genbrugt, den indledende organisering af eleverne kan betegnes som god, men den didaktiske udførelse, som blev introduceret under den forudgående øvelse, manglede totalt. De studerende skulle vurdere gyldigheden af Vinci's teorier og anvende statistiske metoder, men eleverne prøvede kun at "gå ind i da Vinci's felt". Men kunne lektionen, som den frivillige studerende havde sammensat, få dem til at gøre det anderledes? Bestemt, det så faktisk ud til, at hun havde vanskeligheder ved at tilpasse den lektion, hun var blevet præsenteret for under den forudgående øvelse, til elever i 6. klasse og lavere. Hun opfattede kun fraværet af standard afvigelsen som fjernelsen af et overflødigt redskab (og som resultat heraf også af variationskoefficienten). Men i stedet kastede det alvorlig tvivl over de valg, der blev foretaget i en sådan lektion. Det er derfor rimeligt at overveje, om det eksperimentelle arbejde med målinger og beregninger af forholdene derfor burde gøres inden introduktionen af da Vinci's tegning og tekst. Derved kunne eleverne blive gjort fortrolige med eksistensen af en lov, som de med deres nuværende viden, hverken kan validere eller ikke. Dette valg ville sammen med en samlet snak forstærke lærernes kritiske tilgang og evne til at gå et skridt tilbage, hvilket var målet med læringen. KOMMENTARER Hovedproblemet, som seminarielærere møder i den tidlige uddannelse af matematiklærere, er at vide, hvad der under uddannelsen af en ny lærer falder ind under professionel læring generelt og mere specifikt, hvad der kan læres under 18

19 skolepraktik. Det er nu om dage velkendt, hvor vigtig en lærers metakognitive fremstilling (af matematisk indhold, at undervise dette, matematikkens rolle i skoleåret, lærer/elev relationer) er for deres undervisning. Det er også kendt, at ikke alle "konstruktioner" (betydning: præcist konstruerede læringsprojekter) kan anvendes i praksis, og blandt dem der kan, er det ikke alle, som kan anvendes af den samme lærer. (se A. Robert) En modellerings øvelsesstrategi kan være et kompromis, som både giver mulighed for klassesituationer og mulighed for de studerende til at stille spørgsmål til standpunkter vedrørende matematik og deres undervisning, som de kan have antaget mere eller mindre bevidst. Der her præsenterede øvelsesforslag synes at vise, at selv om en sådan strategi giver mulighed for ændringer i den praktiske øvelse med elevstyring og i valget af øvelser, hvis det giver den studerende mulighed for "at gøre noget som virkelig virker i klassen" (ifølge dem selv), virker det ikke som om det er tilstrækkeligt: Den studerende havde ikke gjort det nødvendige arbejde for succesfuld tilpasning. Kunne det være gjort på dette trin? Kan øvelser lette det? Før eller efter eksperimenter i klassen? Hvordan kan video udnyttes under tidlig undervisning uden at den studerende føler sig som filmet? Og på bredere basis, hvilke indvendinger er der til seminarielærerens øvelse? Vi håber, at præsentation og gensidig sammenligning med forskellige partnere i dette projekt kan gøre os i stand til at få svar på nogle af alle disse spørgsmål. LITTERATUR Alvez, Y., Le Yaouanq, M.-H., Chareyre, B., Careme, Y., Cleirec, N., Gastin, H., Guillemet, D. & Saint Raymond, C. ( ). Collection Math x: seconde, collection Math x 1S, collection Math x TS. Editions Didier. Henry, M. (1994). L enseignement des probabilités: perspectives historiques, épistémologiques et didactiques. IREM de Besançon. Quetelet, L. A. J. (1864). Histoire des sciences mathématiques et physiques chez les Belges. Robert, C. (2003). Contes et décomptes de la statistique: Une initiation par l'exemple. Éditeur Vuibert. Vitruvius Pollio Marcus, Architecture, ou Art de bien bastir. French translation by Martin, J. (1547). París: Jacques Gazeau. 19

20 Tredje afprøvning (på Skårup Seminarium) og konklusioner af Brunetto Piochi Et af de store problemer lærere møder under den indledende matematiklæring er, at sammensætte det generelle kendskab til emnet (som de studerende må have lært under tidligere studier) med måden at "lære at undervise" for elever. Det er i dag velkendt, hvor vigtigt lærernes metakognitive præsentation (af matematisk indhold, at undervise i dette, matematikkens rolle i skoleåret, lærer/elev relationer...) er for deres undervisning. En modellerings øvelsesstrategi kunne derfor være et kompromis, som både giver mulighed for klassesituationer og mulighed for studerende at gennemgå specifikt indhold og stille spørgsmål til standpunkter vedrørende matematik (eller specifikke begreber indenfor matematikken) og deres undervisning, de kan have antaget mere eller mindre bevidst Begge partnere prøvede øvelsen på en sådan måde, at det blev en lektion i "modellering" dvs. foreslå de studerende at gennemføre en øvelse, som øvelsen senere skal gennemføres i klassen. Den følgende diskussion gjorde de studerende i stand til at strukturere et forslag, som ikke alene medtog de matematiske hovedbegreber indenfor måling, men også nogle (både praktiske og teoretiske) handlinger, som de selv opfandt. Den første fase, måling af dele på deres egen krop, virkede som en motivationsfaktor for alle studerende (som for eleverne i den efterfølgende implementering i klassen), men mest af alt kunne de opleve de fleste af de problemer, der senere opstod i øvelsen med eleverne: For eksempel følte nogle af de studerende sig lidt tilbageholdende, når de blev bedt om at videregive personlige egenskaber. Hele øvelsen gjorde det muligt for dem at lave en finere foranalyse, og når de befandt sig i situationen i klassen, kunne de reagere mere prompte og passende overfor uforudsete hindringer. Forskellen mellem de to partneres forløb lå hovedsagelig i følgende: I dataindsamlingsfasen: IUFM udnyttede denne øvelse som et eksempel både på at indsamle og analysere statistiske data. SSIS gav de studerende mere organisatorisk frihed, da formålet var at strukturere en laboratorielignende øvelse (for begge partnere var det også en god mulighed til at understrege, at elever kan "bevæge sig og gøre noget" i klassen) Forbinde øvelsen med andre temaer: o for IUFM: brug af software, læse et historisk dokument og uddannelse til medborgerskab o for SSIS: almen tilgang til historie om måling og introduktion af forhold mellem ikke homogene størrelser SSIS's valg, ikke lave en fast struktur for analysen af de indsamlede data, gav plads til en mindre kompliceret og et mere involverende arbejde med de studerende i den indledende fase, men viste sig at være mindre virkningsfuld i fasen med sammenligning af erfaringerne fra klasseundervisningen. Dette kunne imidlertid ikke 20

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Introduktion til IBSE-didaktikken

Introduktion til IBSE-didaktikken Introduktion til IBSE-didaktikken Martin Krabbe Sillasen, Læreruddannelsen i Silkeborg, VIA UC IBSE-didaktikken tager afsæt i den opfattelse, at eleverne skal forstå, hvad det er de lærer, og ikke bare

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet

Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet Projekt 1 Spørgeskemaanalyse af Bedst på Nettet D.29/2 2012 Udarbejdet af: Katrine Ahle Warming Nielsen Jannie Jeppesen Schmøde Sara Lorenzen A) Kritik af spørgeskema Set ud fra en kritisk vinkel af spørgeskemaet

Læs mere

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing

10 Skitur til Østrig. Faglige mål. Side til side-vejledning. Budget og opsparing. Klubfest. Opsparing til skituren. Penge. Budget og opsparing 10 Skitur til Østrig Faglige mål Kapitlet Skitur til Østrig tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Budget og opsparing: kunne udarbejde budget og regnskab, kende forskel på de to begreber samt vide

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER

SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER SUPPLERENDE AKTIVITETER GYMNASIEAKTIVITETER De supplerende aktiviteter er ikke nødvendige for at deltage i Masseeksperimentet, men kan bruges som et supplement til en undervisning, der knytter an til Masseeksperimentet

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Elevens egen vurdering /evaluering

Elevens egen vurdering /evaluering Elevens egen vurdering /evaluering Inerisaavik Vurdering ved hjælp af portfolio Vurdering af elevpræstationer Elevens egen vurdering /evaluering Møder med eleven i centrum Dette hæfte er et ud af en serie

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Mobiltelefoner og matematik

Mobiltelefoner og matematik Mobiltelefoner og matematik Forord og lærervejledning Mobiltelefonen er blevet et meget vigtigt kommunikationsredskab i de sidste år. Mange af skolens elever har i dag en mobiltelefon, som de ofte bruger.

Læs mere

Sådan består du Prøve i dansk 3

Sådan består du Prøve i dansk 3 Sådan består du Prøve i dansk 3 Denne vejledning skal hjælpe dig med at forberede dig til Prøve i dansk 3. (Danskprøve, højt niveau). Grundlaget for vejledningen er Skapagos erfaringer med elever, der

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole

Læseplan for matematik på Aalborg Friskole Læseplan for matematik på Aalborg Friskole LÆSEPLAN FOR MATEMATIK PÅ AALBORG FRISKOLE 1 1. FORLØB 1.-3. KLASSETRIN 2 ARBEJDET MED TAL OG ALGEBRA 2 ARBEJDET MED GEOMETRI 2 MATEMATIK I ANVENDELSE 3 KOMMUNIKATION

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Af Jytte Vinther Andersen, konsulent, og Helle Plauborg, ph.d.-stipendiat 20 Denne artikel handler om aktionslæring. Aktionslæring er

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

Specialhøjskolen 2009-10

Specialhøjskolen 2009-10 Specialhøjskolen 2009-10 Roskilde - skolen for dig der er noget særligt! Vi tilbyder specialundervisning indenfor: Dansk Matematik Engelsk IT Samfundsfag Velkommen Kurser Introforløb Velkommen Den indledende

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Ny karakterskala nye mål?

Ny karakterskala nye mål? Ny karakterskala nye mål? Workshop Camilla Rump Lene Møller Madsen Mål for workshoppen Efter workshoppen skal deltagerne kunne Lave en operationel mål- og kriteriebeskrivelse af 12-tallet og 2-tallet for

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 11. Denne

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Formative Assessment: Improving Learning in Secondary Classrooms. Formativ Evaluering: Forbedring af indlæring i 5.-10. klasse

Formative Assessment: Improving Learning in Secondary Classrooms. Formativ Evaluering: Forbedring af indlæring i 5.-10. klasse Formative Assessment: Improving Learning in Secondary Classrooms Summary in Danish Formativ Evaluering: Forbedring af indlæring i 5.-10. klasse Sammendrag på dansk Evaluering hænger unægteligt sammen med

Læs mere

EUROPOL JOINT SUPERVISORY BODY

EUROPOL JOINT SUPERVISORY BODY EUROPOL JOINT SUPERVISORY BODY Udtalelse 12/05 fra den fælles kontrolinstans for Europol om Europols anmeldelse af behandling af personoplysninger: Arbejdstider/flekstid/overarbejde/rådighedstjeneste/skifteholdstjeneste

Læs mere

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner

IMADAs Fagråd. Evalueringsrapport. Matematik & Datalogi. 2. juni 2011. Kontaktpersoner Evalueringsrapport Matematik & Datalogi 2. juni 2011 Kontaktpersoner Christian Kudahl - chkud08@student.sdu.dk Maria Buhl Hansen - marih09@student.sdu.dk Indhold Indhold 2 1 Indledning 4 1.1 Matematik-økonomi.......................

Læs mere

PRINCE2 PRACTITIONER EKSAMEN VEJLEDNING TIL EKSAMINANDER

PRINCE2 PRACTITIONER EKSAMEN VEJLEDNING TIL EKSAMINANDER PRINCE2 PRACTITIONER EKSAMEN VEJLEDNING TIL EKSAMINANDER 1 INTRODUKTION 1.1 Formålet med Practitioner-eksamen er at give eksaminanden mulighed for at demonstrere forståelse af PRINCE2. Samtidig skal eksaminanden

Læs mere

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011

Bilag H: Transskription af interview d. 14. december 2011 : Transskription af interview d. 14. december 2011 Interviewer (I) 5 Respondent (R) Bemærk: de tre elever benævnes i interviewet som respondent 1 (R1), respondent 2 (R2) og respondent 3 (R3). I 1: jeg

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Skolerettede indsatser for elever med svag socioøkonomisk baggrund KORT & KLART

Skolerettede indsatser for elever med svag socioøkonomisk baggrund KORT & KLART Skolerettede indsatser for elever med svag socioøkonomisk baggrund KORT & KLART Om dette hæfte 2 Mange undersøgelser har vist, at børn og unges sociale og økonomiske baggrund har betydning for, hvordan

Læs mere

- NOTER, IDEER OG GODE RÅD- Participatorisk Video PV

- NOTER, IDEER OG GODE RÅD- Participatorisk Video PV Lær først og fremmest brugergruppen og projektet godt at kende. Indkald dernæst (eller være medvirkende til indkaldelse) dernæst til de første møder. Her er nogle ideer og råd til at få sat gang i processen.

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

3. og 4. årgang evaluering af praktik

3. og 4. årgang evaluering af praktik 3. og 4. årgang evaluering af praktik Februar 2013 52% af de spurgte har svaret 1. Hvor mange klasser har du haft timer i? Respondenter Procent 1 klasse 27 11,6% 2 klasser 73 31,3% 3 klasser 50 21,5% 4

Læs mere