UCL Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "UCL Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling"

Transkript

1 UCL Læreruddannelsen på Fyn og i Jelling Forberedelsesmateriale til kompetencemålsprøven i undervisningsfaget matematik klasse Juni 2015

2 Når forberedelsesmaterialet er udleveret, er prøven formelt begyndt, og læreruddannelsernes matematiklærere må ikke kommunikere med de studerende om faglige spørgsmål, før den samlede skriftlige delprøve er gennemført. Forberedelsesmaterialet indeholder en indledning med praktiske informationer om den skriftlige prøve, råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden og råd vedrørende besvarelsens udformning. Selve forberedelsesmaterialet udgøres af følgende tekster 1. Niss, Mogens (2007): Opgavediskursen i matematikundervisningen. Side Mona Blomhøj, Morten: Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? (http://www.ucn.dk/files/filer/cfu/kursusmaterialer/kurser%202013/13%20undersøgende %20matematikundervisning%20morten%20b.pdf, lokaliseret ) 3. Beck, Hans Jørgen m.fl. (2014): Matematik for lærere i-bog. Arbejdskort F4. København. Gyldendal 4. Nielsen, Connie, Tang, Elisabeth (2014): ABACUS 3. kl. - Mod nye udfordringer Basisbog Uddrag, side Forlaget Matematik Mogensen, Arne; Pedersen, Silla Balzer (2010). Faktor i anden elevbog B, 2. udgave 10. oplag side Uddrag, side 2-3. København. Alinea 6. Hartz, Viggo (2004). Uden ord næsten. Matematik, 1. Årgang Freil, Ole og Kaas, Thomas (2005). Kolorit matematik for femte klasse, 1. udgave 4. oplag. Uddrag, side København, Gyldendal 8. Uddrag af Matematik klasse Et digitalt undervisningsmateriale, Gyldendal1 med tilhørende regneark til både Excel, Google Sheets og OpenOffice/LibreOffice som bilag. 9. Uddrag af hjælpefunktioner OpenOffice/LibreOffice og Excel 10. It-forberedelse Ved prøven kan der være opgaver uden forberedelsesmateriale. 1 ering_i_regneark.aspx lokaliseret 29/4 2015

3 Praktiske informationer om den skriftlige prøve Det er nødvendigt at medbringe en computer til prøven, da den samlede besvarelse skal afleveres digitalt på Wiseflow. Til den skriftlige prøve medbringes ligeledes Fronterlogin-informationer (skal bruges til netadgang og wiseflow) Nem-id, hvis Fronter-login ikke virker Sygesikringskort, hvis net-login ikke virker 3-5 meter forlængerledning Gerne et Usb-stick, hvis alt driller. Ud over fx Geogebra, et regnearksprogram og et CAS-program kan der blive brug for fx simuleringsprogrammer og andre programmer, der har været anvendt i forbindelse med undervisningen. Under den skriftlige prøve er det tilladt at benytte internettet, fx at bruge opslagsværker og apps. Det er ikke tilladt at benytte internettet til kommunikation, fx ved at stille spørgsmål eller føre dialog om opgaverne i sociale medier. Man bør kunne tage skærmbilleder og indsætte i sit dokument, evt. tage billeder af håndskrevne noter og indsætte i sit dokument og gemme/omforme sit dokument til pdf-format til sidst. Råd vedrørende arbejdet i forberedelsestiden Forberedelsestiden er beregnet til, at man kan sætte sig ind i forberedelsesmaterialet, formulere og løse opgaver i relation til teksterne mv. og eventuelt læse op på fagligt og fagdidaktisk stof. Det er tilladt at benytte alle hjælpemidler, herunder biblioteker og internet, til at søge supplerende oplysninger. Det anbefales, at man arbejder sammen i forberedelsestiden. Forberedelsestiden kan også bruges til at udarbejde tekster, som kan danne grundlag for besvarelsen. Normalt vil det imidlertid ikke være muligt at gætte opgaverne ud fra forberedelsesmaterialet, og man må derfor regne med at skulle omformulere tekster, som er skrevet i forberedelsestiden. Hvis tekster, som er udarbejdet i forberedelsestiden, indgår uændret i besvarelsen, skal disse tekstdele tydeligt markeres som citater. Kilden til citatet skal anføres, herunder hvem teksten eventuelt er udarbejdet sammen med. Råd vedrørende besvarelsens udformning Det er vigtigt at forholde sig præcist til spørgsmålsformuleringen. Inden man giver sig i kast med at løse opgaven, bør man derfor overveje hvilken type svar, der spørges efter fx en beregning, et ræsonnement, et algebraisk udtryk osv. Matematikfaglige spørgsmål kan sjældent besvares kun med et facit. Det er en del af den professionelle kompetence at kunne afgøre, hvornår en begrundelse er nødvendig, og hvornår den er tilstrækkelig fyldig. Derfor bør fx mellemregninger og forklarende tekst ledsage besvarelsen, dels for at fremgangsmåden kan bedømmes, og dels for at undgå at banale regnefejl bedømmes som forståelsesfejl. Tegninger, figurer og udskrifter fra computerprogrammer bør også ledsages af en forklarende tekst, som gør det muligt at følge tankegangen.

4 Nogle opgaver kræver løsningsmetoder, der ikke er rutineprægede. Mange opgaver kan løses på flere måder, og ethvert skridt hen imod en løsning kan tælle positivt ved bedømmelsen. Der kan sagtens ligge positiv information om det faglige niveau i en mangelfuld besvarelse. Selv om det ikke lykkes at komme igennem med løsningen af en opgave, kan det derfor være væsentligt for bedømmelsen, at de løsningsforsøg, der gøres, beskrives lige så fyldigt som en egentlig løsning. Er man i tvivl om, hvordan en opgave skal fortolkes, bør man gøre opmærksom på det. Det skal så af besvarelsen fremgå, hvilken tolkning af opgaveteksten, der lægges til grund for besvarelsen. Også i spørgsmål af fagdidaktisk karakter er det vigtigt at forholde sig præcist til spørgsmålsformuleringen og udforme besvarelsen med brug af fagdidaktiske begreber. Der kan være tale om en teoretisk redegørelse, en analyse eller en vurdering. I besvarelsen kan inddrages teori ud over forberedelsesmaterialet, hvis det er relevant i opgaven. En analyse vil normalt tage afsæt i en model eller en teori. Hvis ikke opgaveformuleringen præciserer dette nærmere, kan man bruge sin faglige og fagdidaktiske viden til at vælge et passende udgangspunkt for analysen. En vurdering skal altid være fagligt begrundet, og vil derfor ofte bygge på en analyse. Selv om opgaveteksten ikke forudsætter en analyse, skal man formulere det faglige grundlag for vurderingen. Hvis der spørges efter en diskussion, forventes det, at besvarelsen nævner forskellige synspunkter og afvejer dem overfor hinanden med argumenter for og imod de enkelte synspunkter. En diskussion vil ikke altid munde ud i en entydig konklusion, men den vil give oversigt over de vigtigste argumenter i sagen. Der kan også forekomme spørgsmål af lærerpraktisk karakter, fx planlægning af matematikundervisning, vurdering af elevprodukter eller formulering af mål. Her er det vigtigt at kende fagets bestemmelser og didaktiske kategorier som læringsmål, undervisningsaktiviteter, tegn på læring og evaluering. Ved besvarelsen af sådanne spørgsmål skal man trække på såvel faglig indsigt og kreativitet som realisme i forhold til skolens praksis.

5 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen Mogens Niss, IMFUFA, Institut for Natur, Systemer og Modeller, RUC Artiklen 1 tager sit udgangspunkt i Stieg Mellin-Olsens undersøgelse (1990) af opgavediskursen i matematikundervisningen. På den baggrund søger vi svar på spørgsmålet Hvorfor indtager problemdiskursen så fremtrædende en rolle i såvel matematikundervisning som i matematikdidaktisk forskning? Derefter ses der nærmere på væsentlige begrænsninger i opgavediskursen, og der peges på andre diskurser som burde spille en central rolle i undervisning og forskning. Indledning I Anders Folke Larsens, Mikkel Heins og Tine Wedeges artikel Undersøgende læringsmiljø i matematik. Kritisk refleksion efter skoleperioden i det foregående nummer af MONA indgår en omtale af den nu afdøde norske matematikdidaktiker Stieg Mellin Olsens betragtninger (1990) over hvad han kalder opgavediskursen i matematikundervisningen. Mellin-Olsens betragtninger fortjener at blive mere kendt end tilfældet er, og at blive suppleret med overvejelser over grundlaget for og begrænsningerne ved denne diskurs. Det er hensigten med denne artikel at fremsætte sådanne overvejelser på baggrund af en lidt mere indgående introduktion til (dele af) Mellin-Olsens undersøgelse. Introduktion til Mellin-Olsens betragtninger I juni 1990 holdt det daværende humanistiske forskningsråds såkaldte Initiativet vedrørende matematikundervisning én blandt flere konferencer i Gilleleje. Ved denne konference gav Stieg Mellin-Olsen et interessant og tankevækkende oplæg om opgavediskursen som findes i den ret uformelle rapport fra konferencen. Jeg lægger ud med en introduktion af de centrale betragtninger i oplægget. Først en terminologisk forbemærkning. På dansk (og norsk) har ordet opgave jo en bred og mangesidet betydning. I sammenhæng med matematikundervisning er det 1 Dette er en oversat (ved forfatteren) og let bearbejdet udgave af artiklen The problem discourse in mathematics education i Häggblom, L., Burman, L. & Röj-Lindberg, A.-S. (red.) (2006). Perspektiv på Kunskapens och lärandets villkor. Festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist. Vasa: Åbo Akademi, Pedagogiska fakulteten. s Artikler

6 8 Mogens Niss MONA dog sjældent at hele betydningsspektret er på færde når ordet bruges. Ordet bruges her i hovedsagen til at angive rene eller blandede former af på den ene side øvelser og på den anden side problemer. En øvelse er et i princippet standardiseret hverv med det formål at indøve rutiner eller at efterprøve og anvende basale begreber eller regler, mens et problem er et hverv der på en eller anden vis udfordrer problemløseren hinsides hans eller hendes rutinebestemte kundskaber og færdigheder (Schoenfeld, 1985). Det følger heraf at hverken øvelse eller problem er absolutte begreber, knyttet alene til det hverv der er tale om, men relative begreber der inddrager baggrund, viden og erfaringer hos den person (elev eller studerende) der forsøger at løse opgaven. Matematikundervisning omfatter i vid udstrækning elevers og studerendes arbejde med matematikopgaver. Med Mellin-Olsens ord (s. 47) er matematikundervisningen stærkt præget af opgavediskursen, hvilket videre præger læreres, elevers og studerendes forestillingsverden. Vi har at gøre med en diskurs fordi sprog, kommunikationspraksis og aktiviteter danner en sammenhæng, og fordi dennes elementer hører hjemme i og skal forstås i forhold til givne historiske og institutionelle rammer og traditioner. Ved at være en bestemmende faktor for arbejdet i klasserummet, og for karakteriseringen af det, er opgavediskursen ifølge Mellin-Olsen så central i matematikundervisningen at enhver forandring eller udvikling af denne må forholde sig til, og måske ligefrem gå til angreb på, denne diskurs (s. 48). Mellin-Olsen karakteriserer matematikopgaver ved at fokusere på en række særlige træk ved dem. En matematikopgave er en lukket enhed der, når den er løst, leder frem imod den næste opgave eller det næste emne i lærebogen. Hver opgave eller delopgave har en begyndelse og en slutning som oftest markeres ved at man er nået frem til et definitivt svar på et stillet spørgsmål. Opgaver er ofte ordnet i en rækkefølge, gerne ved at være nummereret, så lærere og elever/studerende altid ved hvor man befinder sig i opgavelisten. Opgaverne er sædvanligvis ikke formuleret på måder der inviterer eleverne til selv at formulere spørgsmål. Ikke sjældent evalueres elever og studerende efter hvor langt de er nået i en tilfredsstillende besvarelse af rækken af opgaver. Ved afslutningen af et undervisningsforløb er det ikke ualmindeligt at der stilles en række opgaver til skriftlig besvarelse i en test eller ved en eksamen. Ved at interviewe tyve matematiklærere opdagede Mellin-Olsen at de i udstrakt grad gjorde brug af forskellige rejsemetaforer når de engagerede sig i opgavediskursen (s ). De kører deres undervisning ved hjælp af opgaver. Skønt Mellin-Olsen ikke udtrykkeligt bruger dette ord, udgør opgaver transportmidlet på rejsen mens lærebogen udgør rejseplanen som beskriver de steder rejsen skal føre igennem, med læreren som guide. Visse begivenheder kan få klassen eller nogle af dens medlemmer til at køre af sporet, men undervisningen kan blive bragt tilbage på sporet ved lærerens eller elevernes vellykkede manøvrering eller ved rent held. Rejsen har Artikler

7 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 9 en fart og kan gå for stærkt eller for langsomt. Ofte går nogle elever hurtigere frem end andre de kan komme foran deres kammerater mens andre ikke kan følge med. Nu og da følges vejen omhyggeligt af de rejsende som tager den lige vej især hvis opgaverne er lige ud ad landevejen. Men det kan hænde at der tages en tilsigtet eller blot tilfældig omvej, måske for at komme uden om en forhindring, som det dog også kan være man skal springe over så man kan komme videre og nå frem til målet for rejsen til det fastsatte tidspunkt. Målet kan danne startpunktet for en ny rejse, som fx kan være et nyt skoleår, et nyt semester eller kursus, en ny slags uddannelsesinstitution osv. Det hænder gerne at der på en rejse gøres holdt så læreren kan gå nærmere ind på hvor man nu er nået til, måske i forbindelse med et panorama-vue over hvordan man er kommet så langt, og et andet over hvor man nu skal hen. På rejsen medbringer hver elev eller studerende noget bagage, som sædvanligvis forøges undervejs så man kan besøge mindre tilgængelige steder som det kræver særligt udstyr at nå. Imidlertid kan ingen elev tage mere bagage om bord end hans eller hendes kapacitet tillader. Det fremgår at rejsemetaforerne lægger op til et ikke uvæsentligt islæt af konkurrence mellem deltagerne. I mange klasser er forskellene mellem eleverne så store at de ikke alle, med tilstrækkeligt udbytte, kan deltage i den samme rejse. De kan så deltage i forskellige rejser som indebærer forskellige transportmidler (opgaver) der svarer til forudsætningerne hos de respektive grupper af deltagere. Det kan tænkes at rejseruten er den samme, men at de forskellige grupper gennemfører den med forskellig fart, eventuelt med forskellige afstigningssteder. Det er også muligt at rejseruterne er forskellige, men bestemmelsesstedet det samme. Endelig kan både rute og mål variere. (Det er alt dette der uden for verdenen af rejsemetaforer samles under betegnelsen undervisningsdifferentiering). De opgaver elever og studerende kan løse, anvendes nu og da til at bestemme hvilken rejse de skal deltage i næste gang. Desuden spiller deres succes med opgaveløsningen sædvanligvis en væsentlig rolle for de karakterer de opnår, enten undervejs eller ved rejsens afslutning. Mellin-Olsen går derefter over til at se på virkninger af opgavediskursen. Han hæfter sig navnlig ved de negative virkninger og leder efter måder hvorpå disse kan undgås eller mindskes. For Mellin-Olsen er den mest negative virkning den af konkurrence forårsagede inddeling af elever og studerende i forskellige dygtighedsgrupper, hvorved der etableres en klassestruktur (i sociologisk forstand) i (undervisnings)klassen. Dermed er skitsen af nogle centrale betragtninger i Mellin-Olsens artikel fuldført. Hans bidrag danner grundlag for at antage at opgavediskursen spiller en central, for ikke at sige dominerende, rolle i matematikundervisningen, og at denne diskurs er dybt forankret i praksis og traditioner som udgør rammerne for denne undervisning. Nu er Mellin-Olsens betragtninger jo dels halvandet årti gamle, dels ganske generelle Artikler

8 10 Mogens Niss MONA i deres sigte i forhold til undervisningstrin og -sted og dels fremstillet på basis af norske erfaringer. De har med andre ord en stor flyvehøjde. Har de så relevans i dag i en dansk sammenhæng og på alle undervisningstrin? Efter min vurdering er svaret ja!. Naturligvis kan man med rette hævde at der på den ene side i tillæg til et fokus på opgavevirksomhed også ses fokus på andre aktiviteter, og at der i Danmark i dag på den anden side er tale om et langt mindre rigidt og stereotypt opgavebegreb end det der antydes i Mellin-Olsens oplæg. Ikke desto mindre florerer et omfattende arbejde med opgaver i bedste velgående i dagligdagen i al dansk matematikundervisning, ligesom skriftlige test og eksaminer spiller en nøglerolle i de anvendte evalueringssystemer. Desværre foregår der i Danmark næsten ingen systematisk kortlægning af hvad tiden bruges til i matematikundervisningen (jf. rapporten Fremtidens matematik i folkeskolen afgivet af Udvalget til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen, januar 2006), så en omfattende, facts-baseret dokumentation af opgavediskursens plads og omfang i matematikundervisningen er ikke til rådighed for de videre overvejelser. Derfor må læserne betjene sig af deres egne erfaringer når de forholder sig til de overvejelser som fremlægges i denne artikel. Hvor Mellin-Olsens oplæg lagde vægt på selve påpegningen af opgavediskursens tilstedeværelse og rolle og på omtalen af nogle af dens (for Mellin-Olsen uønskede) virkninger, er fokus i denne artikel især et forsøg på at identificere og karakterisere de årsager der ligger bag opgavediskursens dominans både i matematikundervisning og i matematikdidaktisk forskning, først og fremmest i empirisk forskning. Det skal forlods understreges at Mellin-Olsens betragtninger ikke drejer sig om matematikdidaktisk forskning. Vi skal nærmere bestemt beskæftige os med to spørgsmål: Hvordan kan det være at opgavediskursen indtager en så fremtrædende plads i matematikundervisningen? og Hvilken rolle spiller opgavediskursen i matematikdidaktisk forskning, og hvorfor? Spørgsmålene vil, bl.a. af pladshensyn, blive behandlet ved hjælp af analytiske overvejelser snarere end ved empiriske undersøgelser, ligesom en egentlig litteraturgennemgang på feltet ville føre alt for vidt. Hvordan kan det være at opgavediskursen indtager en så fremtrædende plads i matematikundervisningen? Lad os tage udgangspunkt i den antagelse som altså ikke vil blive efterprøvet i denne artikel at Stieg Mellin-Olsen har ret i at opgavediskursen (også i dag) faktisk spiller en fremtrædende rolle i al matematikundervisning. Hvordan kan dette forklares? Inden jeg forsøger at svare på det, vil det være rimeligt at overveje hvad alternativerne er/kunne være. Det vil sige hvilke andre aktiviteter end opgaveløsning kunne stå i centrum for matematikundervisning og -læring? Traditionel matematikunder- Artikler

9 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 11 visning omfatter elevaktiviteter som for eksempel: læsning af lærebogen, mundtlig præsentation af et stykke fagligt stof for klassekammeraterne og læreren, fremstilling typisk henvendt til læreren af fagligt stof i skriftlig form, fremlæggelse og forklaring af beviser eller udregninger for klassen samt besvarelse af quiz-spørgsmål stillet af læreren med vægt på facts og fremgangsmåder. I mindre traditionsbunden matematikundervisning finder man yderligere aktiviteter såsom: forskellige typer af projektarbejde, arbejde med modeller(ing) af ekstra-matematiske situationer, konstruktion af opgaver til løsning af kammerater, udarbejdelse af essays om matematiske emner, fremstilling af begrebskort, fremstilling af posters, videosekvenser, teaterstykker eller lignende som præsenterer aspekter af matematik for andre, gennemførelse af matematiske undersøgelser, fx af det eksplicitte eller implicitte matematikindhold i aviser eller andre medier eller i forskellige erhverv, fremstilling af konkrete fysiskmatematiske objekter af papir, træ, metal, plastic osv. eller computerrepræsenterede objekter, analyse eller opfindelse af matematikorienterede spil etc. Påstanden om at opgavediskursen indtager en dominerende plads i matematikundervisningen, er selvsagt ikke en påstand om at denne kun har opgaveløsning på programmet. Påstanden går i stedet ud på at væsentlige dele af matematikundervisningen centreres om opgavediskursen, og at denne i høj grad sætter rammerne for de øvrige aktiviteter som sættes på dagsordenen. Den ovenfor nævnte liste af aktiviteter tjener til at vise at løsning af matematikopgaver ikke just er den eneste mulige kerneaktivitet i matematikundervisningen. Opgavediskursens dominans giver derfor ikke sig selv. Den kræver en forklaring. Der er i hovedsagen to slags argumenter for at tildele opgaveløsning en nøglerolle i matematikundervisningen. I den første slags argumenter betragtes matematisk opgavehåndtering som et mål i sig selv. I den anden slags argumenter ses opgavehåndtering som et nødvendigt eller i det mindste nyttigt middel til opnåelsen af noget andet. Lad os se nærmere på argumenterne. Beskæftigelsen med matematiske problemer er essensen af matematisk virksomhed Historisk set har formuleringen og løsningen af rene og anvendte matematikproblemer og brugen af deres løsninger altid været hjørnestene i matematisk virksomhed, hvad enten vi taler om matematik som en ren videnskab, en anvendt videnskab, et system af redskaber for samfundsmæssig praksis eller en disciplin for æstetisk udfoldelse (Niss, 2001). Dette går helt tilbage til oldtidens matematik i Mesopotamien, Egypten og Grækenland såvel som i Kina og Indien, men var også karakteristisk for matematikken som den blev udøvet i de første århundreder af den videnskabelige revolution når fx italienske, britiske, franske og tyske matematikere konkurrerede om opstillingen Artikler

10 12 Mogens Niss MONA og løsningen af matematiske problemer (se fx Katz, 1998). Også i nyere tid er matematikkens videnskabelige udvikling i betydelig grad blevet drevet af beskæftigelsen med matematiske problemer, hvilket fortsat er tilfældet. Man kan her blot tænke på de tre klassiske græske problemer, cirklens kvadratur, terningens fordobling og vinklens tredeling, som alle først fandt deres afgørelse i det 19. århundrede (derved at det blev bevist at ingen af de tre opgaver har en løsning med de midler som er accepteret på feltet). Eller man kan tænke på fire-farve-hypotesen, Fermats sidste sætning, kontinuumshypotesen og Poincaré-formodningen som, ud over at være blevet afgjort (sådan da det er blevet afgjort at kontinuumshypotesen er uafgørlig!) i det 20. og 21. århundrede, har givet anledning til en voldsom udvikling af matematikkens teoridannelser. Det samme er tilfældet med den endnu uafgjorte Riemann-hypotese. Den såkaldte Clay Foundation har udskrevet prisopgaver af betragtelig størrelse til personer der løser ét fra en liste af syv berømte matematiske problemer (www.claymath.org/millenium), heriblandt Poincaré-formodningen. Hvad angår anvendelsen af matematik inden for andre videnskabs- eller praksisområder, er en af matematikkens centrale roller at bidrage til at svare på spørgsmål inden for det pågældende område, netop ved at opstille, præcisere og løse matematiske problemer i tilknytning til de givne spørgsmål. For eksempel har man ad matematisk vej bevist umuligheden af at indrette valg- og afstemningssystemer som på én gang opfylder en række nærliggende og ønskværdige betingelser. Ligeledes har man ad matematisk vej angivet præcise metoder og betingelser for indretningen af selvkorrigerende kodningssystemer som bruges i datatransmission, herunder i cd-brænding og afspejling. Samlet set er løsningen af matematiske problemer eller lidt anderledes sagt, besvarelsen af matematiske spørgsmål at betragte som selve essensen af matematisk virksomhed (se fx Halmos, 1980). Dette gælder både i forhold til matematikken som videnskabsområde og i forhold til udnyttelsen af matematik til ekstra-matematiske formål. Hvis vi ønsker at matematikundervisningen skal indfange denne matematikkens essens, i det mindste i en rimelig grad, følger det mere eller mindre umiddelbart at matematisk problemløsning må indtage en prominent position i matematikundervisningen. Dette afspejles også i det faktum at matematikundervisningsmaterialer i historiens løb altid har haft problemer og opgaver i bredere forstand som en central ingrediens. Der har ligefrem været fremstillet et stort antal lærebøger som i realiteten har været rene opgavebøger. Nu er det netop anførte argument knyttet til matematiske problemer, i den tidligere definerede forstand, mens opgavediskursen jo ikke udelukkende er en problemdiskurs, idet størstedelen, om ikke ligefrem alle, de opgaver der indgår i opgavediskursen, i højere grad er øvelsesopgaver, altså færdigheds-, begrebsindøvelses- og rutineopgaver, end problemopgaver. Men det skitserede essensargument går jo netop ikke på den Artikler

11 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 13 slags opgaver. Man kan med andre ord sige at essensargumentet for en problemdiskurs på indirekte og glidende vis omdannes ved hjælp af inklusionen: problem er blot et specialtilfælde af opgave til en opgavediskurs som altså derved henter sin legitimitet i essensargumentet. I en radikal variant af essensargumentet (i problemdiskursudgaven) er systematisk matematisk teori kommet til veje med henblik på at skabe et sammenhængende netværk af begreber og udsagn (matematiske sætninger) hvorved problemer kan stilles, angribes og løses. Det står i kontrast til et syn der ser frembringelsen og udviklingen af matematisk teori som det egentlige mål for matematisk virksomhed. Antagelig er de fleste matematikere og matematikdidaktikere tilbøjelige til at anskue forholdet mellem teoriopbygning og problembehandling som et komplementært og dialektisk forhold. På den ene side har vi brug for teori for at løse problemer/svare på spørgsmål. På den anden side kan en mængde problemer kun formuleres for slet ikke at tale om løses inden for en teoretisk ramme som de er indlejret i. I denne forståelse er det meningsløst at opstille et modsætningsforhold mellem teoriopbygning og problembehandling. Selv hvis det forholdt sig sådan at matematikundervisningens formål i sidste instans var at udvikle elevers og studerendes kompetence i at behandle rene eller anvendte matematiske problemer, var det i princippet muligt at denne kompetence ville opstå mere eller mindre direkte af et solidt kendskab til matematiske begreber, teorier, resultater og metoder, erhvervet ved studiet af velorganiserede lærebogsfremstillinger og demonstration af opgaver/problemer løst af andre. Imidlertid viser erfaring og forskning til al overflod at sådan forholder det sig meget langtfra (se fx Schoenfeld, 1985, Silver, 1985, Ikeda & Stephens, 1998). Hvis vi ønsker at elever og studerende skal blive i stand til at behandle matematiske problemer, er de nødt til at lære det, og vi er nødt til at undervise dem i det. Løsningen af matematikopgaver er et middel til at opnå noget andet, først og fremmest begribelse af matematiske begreber, teorier og resultater Antag at matematikundervisningens endemål var at udstyre dens modtagere med viden om og indsigt i matematikkens teoretiske konstruktioner og bygningsværker og disses resultater. Skønt man måske kunne tro at dette kunne opnås ved at studere fremstillinger af disse konstruktioner og bygningsværker og deres resultater, viser erfaring og forskning igen massivt at dette ikke er tilfældet (se fx Schoenfeld, 1985, Silver, 1985, Dossey et al., 1988, Lithner, 2001). Der er da heller ikke megen matematikundervisning i verden der er tilrettelagt som et rent teoristudium, uden ledsagende opgaveløsning. Skal elever og studerende nå frem til at begribe begreber, teorier og resultater, herunder deres rækkevidde og begrænsninger, må de afprøve og undersøge dem med egne hænder (og hoveder). Løsningen af forskellige slags opgaver er en Artikler

12 14 Mogens Niss MONA velprøvet og nyttig platform for sådanne egne afprøvninger og undersøgelser. Dertil kommer at matematikkens vigtigste metode til at opnå sine resultater hviler på logiske slutninger (hvortil jeg regner regelbaserede beregninger) som kombinerer det givne med relevante definitioner og tidligere opnåede resultater. Løsningen af opgaver på måder der kræver begrundelse af de påstande der fremsættes, er et fortrinligt middel til at erhverve indsigt i de logisk-systematiske træk ved matematikkens teoretiske bygningsværker. Det forhold at arbejdet med matematikopgaver er et fortræffeligt middel til at udvikle forståelse af og indsigt i matematiske begreber, teorier og resultater, indebærer at en elevs evne til at løse opgaver kan benyttes som en sonde ind i hans eller hendes forståelse af matematik. En del matematiklærere og matematikdidaktikere vil gå så langt som til at sige at en elevs matematikforståelse simpelthen konstitueres af den pågældendes opgaveløsningsevne. På tilsvarende måde udgør løsningen af anvendelsesopgaver kernen i evnen til at bringe matematikken i spil i ekstra-matematiske sammenhænge, selv om også andre aspekter er involveret heri. På denne baggrund er det lidet overraskende at opgaveløsning er hovedinstrumentet for bedømmelsen af elevers og studerendes matematikbeherskelse, hvilket på sin side forklarer at opgaveløsning indtager en nøglerolle i test og eksaminer overalt i verden. Summa summarum er det nærliggende at søge forklaringen på opgavediskursens dominans i matematikundervisningen i de to ovenfor omtalte typer af argumenter, som hver findes i mange varianter. Hvilken rolle spiller opgavediskursen i matematikdidaktisk forskning, og hvorfor? I første tilnærmelse kan svaret på dette spørgsmål ses som en konsekvens af svarene på det foregående spørgsmål. Lad os nemlig forudsætte at matematikundervisere og -didaktikere i stor udstrækning er enige om at problemer, og dermed opgaver, har karakter af en matematisk kernevirksomhed, og om at arbejdet med opgaver er et fortrinligt middel til begribelse af matematikkens teoretiske aspekter, samt om at opgavebehandling følgelig udgør en fortrinlig sonde ind i elevers og studerendes matematikforståelse og -beherskelse. Så giver det næsten sig selv at en væsentlig del af empirisk matematikdidaktisk forskning enten har de matematiklærendes opgaveløsning som udtrykkeligt forskningsfokus eller benytter opgaveløsning som et middel til at søge svar på andre spørgsmål vedrørende fx begrebsdannelse, bevisforståelse og bevisførelse, klasserumskommunikation, effekten af en given undervisningstilrettelæggelse mv. Behandlingen af opgaver benyttes ligeledes i forskningen til at undersøge lærerstuderendes og praktiserende matematiklæreres matematikopfattelse og -kompetencer. Desuden er også store internationale, komparative projekter Artikler

13 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 15 som PISA (OECD, 2004) og TIMSS (Beaton et al., 1996) baseret på elevers løsning af matematikopgaver af forskellig art. Selv om det naturligvis ville være forkert at hævde at al empirisk matematikdidaktisk forskning involverer beskæftigelsen med matematikopgaver i en eller anden form, indtager opgaveløsning ikke desto mindre en central rolle i forskningen. Ved siden af de grunde til det som følger af diskussionen ovenfor, er der endnu en vigtig grund at tage i betragtning. Det at basere empirisk forskning på elevers, studerendes eller læreres omgang med matematikopgaver gør det relativt let at opnå objektive resultater i positivistisk forstand og at beskrive, specificere og dokumentere en undersøgelse og at stå til regnskab for dens resultater, hvilket alt sammen gør opgaveløsningsbaseret empirisk forskning til en tiltrækkende mulighed. Overforenklet sagt tilbyder opgaveløsningsbaserede studier en mulighed for at komme til at ligne studier af effekten af medicinpræparater eller behandlingstiltag i farmakologi og medicin. Som det vil fremgå af det næste og sidste afsnit, indebærer den fremtrædende plads som opgaveløsningsbaseret empirisk forskning indtager, også væsentlige problemer, ved at dette paradigme afstedkommer en potentiel begrænsning af de typer af matematiske kompetencer og matematisk indsigt som tages i betragtning i forskningen. Afslutning I størstedelen af denne artikel har vi betjent os af et bredt begreb om opgaveløsning, rækkende fra i den ene ende af spektret de enkleste rutineopgaver fokuseret på genkendelse eller indøvelse af enkeltstående velkendte begreber eller procedurer i en forelagt ramme, øvelsesopgaver som næppe stiller krav om den studerendes begrundelse af fremgangsmåde eller resultat, til i den anden ende af spektret avancerede, komplekse, udfordrende problemer som kræver nye, eller opfindsomme kombinationer af etablerede, metoder af den elev eller studerende for hvem problemet ikke er bekendt, og som tillige stiller store krav til ræsonnement og retfærdiggørelse i tilknytning til løsningen. Hvis vi som det også er strejfet i det foregående skelner mellem forskellige slags opgaver, bliver diskussionen om opgavediskursen mangesidet og kompliceret. Empiriske studier af virkelighedens opgavediskurser peger på at i store dele af matematikundervisningen er diskursen koncentreret i øvelses-enden af spektret (Dossey et al., 1988) snarere end i den ende hvor de udfordrende problemer befinder sig. Hvor det er tilfældet bidrager opgavediskursen til en trivialisering af matematikundervisningens praksis, og potentielt også af matematikdidaktisk forskning. I sidste instans stiller det spørgsmålstegn ved værdien og relevansen af begge dele. Med andre ord, der findes udgaver af opgavediskursen som får matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning til at visne snarere end at trives. Men selv hvis vi diskuterede inden for rammerne af en optimal opgavediskurs der tog hensyn til en nøje afvejet blanding af forskellige typer af øvelse og udfor- Artikler

14 16 Mogens Niss MONA drende problemer og alle mulige relevante mellemformer med henblik på at forfølge forskellige slags formål, herunder at erhverve forståelse af matematisk teori, og selv hvis ikke kun opgavebesvarelse men også opgavestilling indgik i diskursen, ville der stadig være væsentlige aspekter af matematikbeherskelse som ville blive ladt ude af betragtning i undervisning eller forskning domineret af opgavediskursen. Der er ikke plads til at gå i detaljer med en diskussion af dette spørgsmål her, men det såkaldte KOM-projekt (Niss & Jensen, 2002) er et forsøg på at tilbyde en indgående og sammenfattende karakterisering af matematisk kompetence, dvs. matematikbeherskelse. Ved matematisk kompetence forstås evnen til på basis af indsigt at handle hensigtsmæssigt i situationer der aktuelt eller potentielt rummer matematiske udfordringer. Karakteriseringen sker ved udpegningen af otte matematiske kompetencer som tilsammen udspænder matematikkompetence. Det drejer sig om tankegangskompetence, problembehandlingskompetence (omfattende både formulering og løsning af problemer), modelleringskompetence, ræsonnementskompetence, repræsentationskompetence, symbol- og formalismekompetence, kommunikationskompetence samt hjælpemiddelkompetence. I tilgift til disse kompetencer rummer tilegnelsen af matematik tre former for overblik og dømmekraft vedrørende matematik som fag, nemlig matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder, matematikkens historiske udvikling anskuet fra såvel interne som sociokulturelle synsvinkler samt matematikkens karakter som disciplin set i kontrast til eller i lighed med andre discipliner. I denne forståelse af matematikkens og matematikbeherskelsens essens optræder problembehandling ganske vist som en væsentlig komponent, men altså kun som én blandt (mange) flere komponenter. Til konklusion på de fremførte betragtninger er det velbegrundet at tildele opgavediskursen en vigtig rolle i matematikundervisning og matematikdidaktisk forskning, under forudsætning af at der er tale om den rigtige slags rige og velafvejede opgavediskurs. Imidlertid, selv hvis denne forudsætning var opfyldt, kan opgavediskursen bestemt ikke være den eneste eller bare den fremherskende diskurs i undervisning og forskning. Den må komplementeres og afbalanceres med andre centrale diskurser af betydning for matematikbeherskelse og for udviklingen af overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens natur og rolle i historie, samfund og kultur, sådan som fx KOM-rapporten tilbyder det. Referencer Beaton, A., Mullis, I., Martin, M.O., Gonzalez, E.J., Kelly, D.L. & Smith, T.A. (1996). Mathematics Achievement in the Middle School Years. IEA s Third International Mathematics and Science Study. Chestnut Hill, MA: Boston College. Artikler

15 MONA Opgavediskursen i matematikundervisningen 17 Dossey, J., Mullis, I., Lindquist, M. & Chambers, D. (1988). Mathematics Report Card. Are we measuring up? Trends and achievements based on the 1986 National Assessment. Princeton, NJ: Educational Testing Service. Halmos, P. (1980). The heart of mathematics. American Mathematical Monthly, 87, s Ikeda, T. & Stephens, M. (1998). The influence of problem format on students approaches to mathematical modelling. I: P. Galbraith, W. Blum, G. Booker & I.D. Huntley (red.), Mathematical Modelling. Teaching and Assessment in a Technology-Rich World (s ). Chichester: Ellis Horwood. Katz, V. (1998). A History of Mathematics. An Introduction (2. udgave). Addison-Wesley. Lithner, J. (2001). Undergraduate learning difficulties and mathematical reasoning: A literature survey and project overview. Research reports in mathematics education. Umeå: Umeå University, Department of Mathematics Mellin-Olsen, S. (1990). Oppgavediskursen. I: G. Nissen & J. Bjørneboe (red.), Matematikundervisning og Demokrati (s ). Roskilde: IMFUFA, Roskilde Universitetscenter. Niss, M. (2001). Indledning. I: M. Niss (red.), Matematikken og Verden (s. 7-18). København: Fremad. Niss, M. & Jensen, T.H. (2002). Kompetencer og matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18. København: Undervisningsministeriet. OECD. (2004). Learning from Tomorrow s World. First Results from PISA Paris: OECD. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press Silver, E. (red.) (1985). Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research perspectives. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Udvalget til forberedelse af en handlingsplan for matematik i folkeskolen. (2006). Fremtidens matematik i folkeskolen. København: Undervisningsministeriet. Lokaliseret på Artikler

16 Preprint af kapitel til Håndbog for matematikvejledere, der er under udgivelse på Dansk Psykologisk Forlag, redigeret af Michael Wahl og Peter Weng. Udgivet i Liv i Skolen, november 12, Temanummer: Matematik i skolen. 13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? Morten Blomhøj Det nye buzzword til udvikling af matematikundervisning er inquiry. I dette kapitel forklares begrebet, og de pædagogiske og politiske begrundelser for dets relevans gennemgås. Det slås fast, at begrebet må bestemmes nærmere, og at anvendelse af undersøgende arbejdsformer må underordnes klare mål for elevernes læring, hvis sådanne arbejdsformer skal bidrage til udvikling af matematikundervisningens praksis. De didaktiske muligheder og udfordringer ved undersøgende arbejde illustreres med et eksempel og diskuteres generelt. I det første afsnit af dette kapitel ser jeg på baggrund og begrundelser for undersøgende matematikundervisning. Herefter giver jeg et konkret eksempel til nærmere illustration af, hvad undersøgende matematikundervisning kan være på klassetrin. Jeg præsenterer en ramme for karakterisering af opgaver og oplæg til undersøgende arbejde, der kan bidrage til at underordne brugen af undersøgende arbejdsformer mere overordnede mål for elevernes matematiklæring. I det sidste afsnit giver jeg en nærmere karakteristik af undersøgende arbejde i matematik ved at udpege, hvad jeg opfatter som central elev- og læreraktiviteter i en sådan undervisning. Her giver jeg også en kort diskussion af generelle didaktiske udfordringer ved integration af undersøgende arbejdsformer i matematikundervisningens praksis. Indledning Inquiry Based Education (IBE) er inden for det seneste årti blevet en trend i den uddannelsespolitiske diskussion om matematik- og naturvidenskabsundervisning. Det er et vestligt fænomen, men det er særligt markant i Europa. På dansk kan man i forhold til matematik bruge 1

17 termen undersøgende matematikundervisning. Det kan løseligt defineres som undervisning, hvor eleverne arbejder målrettet med at afgrænse og formulere problemer, gennemføre og kritisere eksperimenter eller andre empiriske undersøgelser, opsøge information, konstruere modeller, danne hypoteser, debattere med hinanden og læreren samt at udvikle og formidle sammenhørende faglige argumenter. En sådan undervisningsform kan ses som modstykke til en fagligt formidlende undervisning, der primært drives af lærebogen, og hvor læreren præsenterer eleverne for matematiske begreber og metoder, forud for at de arbejder med øvelser og opgaver, der kan støtte opbygning af viden og færdigheder i det pågældende emne. Den formidlende undervisningsform er givet nødvendig for, at man som matematiklærer inden for de givne rammer kan leve op til sine forpligtelser om at støtte opbygning af elevernes faglige viden og deres tilegnelse af færdigheder i overensstemmelse med de gældende regler og kravene til de afsluttende prøver. Det er næppe heller hensigtsmæssigt eller muligt udelukkede at anvende undersøgende arbejdsformer i en matematikundervisning, der er pensumstyret. Undersøgende tilgange giver imidlertid mulighed for, at eleverne kan få egne oplevelser og erfaringer med det faglige indhold, de arbejder med. Herved kan deres matematiklæring lettere blive en integreret del af deres personlige udvikling og dannelse. Samtidig kan undersøgende arbejde være motiverende og give grundlag for større fordybelse i udvalgte faglige problemstillinger. Overordnet set kan man lidt banalt sige, at udvikling af matematikundervisningens kvalitet drejer sig om at finde den rette balance og integration mellem undersøgende og formidlende arbejdsformer. Med integration mener jeg her, at formidling af faglige pointer og træning af færdigheder i passende omfang er motiveret gennem og er sat i sammenhæng og perspektiv gennem målrettet undersøgende arbejde. Det er der måske ikke så meget nyt i at konstatere, men jeg mener alligevel, det er værd at dykke lidt dybere ned i, hvad der nærmere karakteriserer undersøgende arbejde i matematik, og de generelle pædagogiske begrundelser, der kan gives for undersøgende matematikundervisning. Det gælder ikke mindst i en situation, hvor der er politisk pres for at reformere matematikundervisningen i retning af IBE. Begrundelser for undersøgende matematikundervisning Som pædagogisk begreb kan en undersøgende tilgang til undervisning og læring føres tilbage til den amerikanske uddannelsesfilosof John Dewey ( ) og hans begreb om inquiry. Dewey understregede og dyrkede de fælles træk ved på den ene side problemløsning i hverdagssam- 2

18 menhænge, almindelig erfaringsdannelse og udviklingen af sund fornuft og på den anden side løsning af problemer og udvikling af metoder i videnskabelige sammenhænge. Han så den videnskabelige udvikling som en systematisering og raffinering af dagligdagsmetoder til problem løsning, og ikke som en helt særlig erkendelsesform. Han identificerede grundlæggende metoder og erkendelsesformer som experimental practice of knowing (Dewey, 1929) og reflective inquiry (Dewey, 1933) som værende fælles for udvikling af viden uden for og inden for en videnskabelig kontekst. Han anså reflective inquiry som nøglen til at ophæve adskillelsen mellem viden og handling ( knowing and doing ) i forståelse af menneskelig virksomhed. På dette grundlag udviklede Dewey en pædagogik, som han også til en vis grad realiserede som praksis i en særlig forsøgsskole. Elevernes naturlige interesse for løsning af (i første omgang) praktiske og umiddelbare problemer og deres erfaringer med løsning af sådanne problemer uden for skolen var her udgangspunkt for udvikling af reflective inquiry som generel metode til løsning af problemer og udvikling af viden. Kernen i denne metode er, at der er en drivende motivation til at løse et givet problem eller at forstå en given situation, og løsningen eller erkendelse sker ved samspil mellem handling og refleksion. Overordnet kan Dewey s filosofi opsummeres i følgende punkter: Grundlæggende søger mennesket at forstå og beherske sin omverden gennem målrettet undersøgende og problemløsende adfærd samt ved at udvikle og dele sin viden gennem social interaktion. Videnskabelig viden er udviklet kulturhistorisk gennem raffinering og kultivering af menneskets grundlæggende erkendelsesinteresse. Gyldig viden (sand viden) er viden, der har vist sig effektiv til forståelse af fænomener og løsning af problemer (pragmatisme). Uddannelse skal styrke og udvikle den enkelte elevs evne til at lære gennem undersøgelse og refleksion. Eleverne skal opleve, at den viden, de udvikler, er nyttig og effektiv i deres omverden. Elevernes erfaringer og tidligere erhvervede viden anses som central for tilrettelæggelse af undervisning og erhvervelse af ny viden. Viden almengøres i undervisningen gennem fælles refleksion over fælles erfaringer. 3

19 Det overordnede mål er at uddanne eleverne til at tage aktiv og kritisk del i udviklingen af demokratiske samfund. Som det fremgår, er der altså pædagogisk set ikke noget nyt over at tilskrive undersøgende arbejdsform en særlig værdi. Det er imidlertid heller ikke alene de generelle pædagogiske begrundelser for undersøgende tilgange til undervisning tilbage fra Dewey s arbejde, der har gjort IBL/IBE ( Inquiry Based Learning/Education ) til et aktuelt og dominerende træk ved vestlig og i særlig grad europæisk uddannelsespolitik de seneste år. Det er inden for matematik- og naturvidenskabsuddannelse, at IBE er blevet fremhævet som et politisk imperativ. Denne udvikling kan føres tilbage til en ekspertgruppe under EU, som i 2007 fastslog: In recent years, many studies have highlighted an alarming decline in young people s interest for key science studies and mathematics. Despite the numerous projects and actions that are being implemented to reverse this trend, the signs of improvement are still modest. Unless more effective action is taken, Europe s longer term capacity to innovate, and the quality of its research will also decline. Furthermore, among the population in general, the acquisition of skills that are becoming essential in all walks of life, in a society increasingly dependent on the use of knowledge, is also under increasing threat (Rocard m.fl., 2007, s.5). IBE i matematik- og naturvidenskab blev fremhævet som (et muligt) svar på denne generelle uddannelsesmæssige udfordring. Efterfølgende har EU således søsat en lang række forsknings-, udviklings- og spredningsprojekter om undersøgende undervisning i matematik og naturvidenskab. Der er aktuelt ni igangværende eller nyligt afsluttede projekter, som støtter IBE og tilhørende professionel udvikling for lærere inden for matematik og naturvidenskab. Det samlede budget for disse projekter summer op til mere end 70 millioner euro. Projektbeskrivelser og undervisningsmaterialer udviklet i disse projekter kan findes via web portalen Begrundelserne for EU s rammebevillinger inden for dette område og for de enkelte projekter efterlader det klare indtryk, at udvikling af mere undersøgelsesbaserede undervisningsformer i matematik og naturvidenskab politisk opfattes som direkte forbundet med samfundsmæssige behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft til støtte for fortsat teknologisk udvikling og innovation, og at en sådan udvikling er afgørende for Europas muligheder for at klare sig i konkurrence med andre regioner i fremtiden. På nogle punkter minder retorikken omkring IBE i matematik og naturvidenskab om det, man så i perioden omkring 1960 med det såkaldte sputnikchok og the new maths reform. Her blev rum- og våbenkapløbet mellem Vesten og USSR brugt som politisk løftestang og begrundelse for reformering af matematikundervisning ud fra et ønske om en fagligt set 4

20 sammenhængende undervisning igennem hele uddannelsessystem. Det skabte grundlag for indførelse af en strukturalistisk matematikundervisning, hvor bl.a. mængdelære blev introduceret i de små klasser. Historien har efterfølgende vist, at der var alvorlige pædagogiske og didaktiske problemer knyttet til en strukturalistisk matematikundervisning. I den aktuelle sammenhæng er det således også på sin plads at overveje, hvordan det politiske ønske om reform af matematikundervisning i retning af IBE kan implementeres på en måde, der faktisk bidrager til at udvikle og forbedre matematikundervisningens praksis. Der kunne således være en ikke forsvindende risiko for, at undersøgende arbejdsformer implementeres politisk på måder, der forfejler det læringsmæssige sigte, når der blot fokuseres på formerne for elevernes arbejde, uden at man forholde sig til arbejdsformernes forbindelse til læringsmålene. For at kunne imødegå sådanne effekter må det naturligvis diskuteres konkret, hvad der kan forstås ved en undersøgende matematikundervisning, og hvordan en sådan undervisningsform kan forbindes med eksisterende praksis. Det ser vi nærmere på i de følgende afsnit med et eksempel fra den danske del af EU projektet PRIMAS, der netop har spredning af IBE som formål. Den nærmere bestemmelse af IBE i relation til matematik må naturligvis også inddrage eksisterende matematikdidaktiske teorier om undervisning og læring. IBE er blevet importeret til matematikundervisning via naturvidenskabsundervisning. Det er oplagt, at der er andre vilkår for og pointer ved undersøgende arbejde i de naturvidenskabelige fag, der naturligvis også rummer store forskelle mellem de enkelte naturfaglige fag, end ved undersøgende arbejde i matematik. Samtidig findes der i matematikkens didaktik veludviklede teorier, der har elevernes selvstændige virksomhed som et centralt element. Det glæder fx teorien om didaktiske situationer (TDS) (Brousseau, 1997; Winsløw, 2006, kap. 7) og Realistic Mathematics Education (RME) (Van den Heuvel Panhuizen, 2003). Der findes teorier, der eksplicit behandler det dialogiske samspil mellem lærer og elever i undersøgende arbejde (Alrø & Skovsmose, 2002). Undersøgende arbejde i ikke-matematisk kontekst omfatter nødvendigvis matematisk modellering, og IBE i matematik har derfor tæt forbindelse til matematisk modellering og må forstå i relation hertil (Blomhøj, 2006). Inddragelse af IBE i matematik bør derfor i høj grad ske i lyset af eksisterende matematikdidaktiske teorier. Udfordringen med at sætte IBE i matematik på begreb og i sammenhæng med sådanne teorier lader sig imidlertid ikke løfte i dette kapitel, og jeg henviser til Artigue & Blomhøj (under udarbejdelse) for en nærmere analyse heraf. 5

13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den?

13 Hvad er undersøgende matematikundervisning og virker den? Preprint af kapitel til Håndbog for matematikvejledere, der er under udgivelse på Dansk Psykologisk Forlag, redigeret af Michael Wahl og Peter Weng. Udgivet i Liv i Skolen, november 12, Temanummer: Matematik

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag

At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Kapitel 5 At udvikle og evaluere praktisk arbejde i naturfag Robin Millar Praktisk arbejde er en væsentlig del af undervisningen i naturfag. I naturfag forsøger vi at udvikle elevernes kendskab til naturen

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Introduktion til IBSE-didaktikken

Introduktion til IBSE-didaktikken Introduktion til IBSE-didaktikken Martin Krabbe Sillasen, Læreruddannelsen i Silkeborg, VIA UC IBSE-didaktikken tager afsæt i den opfattelse, at eleverne skal forstå, hvad det er de lærer, og ikke bare

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Hvad skal eleverne lære og hvorfor?

Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Hvad skal eleverne lære og hvorfor? Af Karina Mathiasen Med indførelse af Folkeskolereformen og udarbejdelse af Folkeskolens nye Fælles Mål er der sat fokus på læring og på elevernes kompetenceudvikling.

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Undervisning. Verdens bedste investering

Undervisning. Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Undervisning Verdens bedste investering Lærerne har nøglen The principles show how important are design and the orchestration of learning rather than simply providing

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Innovations- og forandringsledelse

Innovations- og forandringsledelse Innovations- og forandringsledelse Artikel trykt i Innovations- og forandringsledelse. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret. Børsen Ledelseshåndbøger

Læs mere

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87.

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. Side 1 af 10 Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. At skrive At skrive er en væsentlig del af både din uddannelse og eksamen. Når du har bestået din eksamen,

Læs mere

Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere

Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere 79 Når skolematematik gør børn dumme og voksne til forbrugere Lena Lindenskov, Danmarks Pædagogiske Universitetsskole, Aarhus Universitet Kommentar til artiklen Matematik er noget man bruger til at lave

Læs mere

På väg mot IT i undervisningen

På väg mot IT i undervisningen På väg mot IT i undervisningen Morten Blomhøj Göte Dahland disputerade i maj 1998 på en avhandling om IT i svensk matematikundervisning, som här anmäls av fakultetsopponenten. Frågeställningar om möjligheter

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Pædagogisk diplomuddannelse

Pædagogisk diplomuddannelse Pædagogisk diplomuddannelse INNOVATION I UNDERVISNING Mål for læringsudbytte Uddannelsen retter sig mod at videreudvikle lærernes didaktiske kernefaglighed, ved at give lærerne bedre forudsætninger for

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

3.g elevernes tidsplan for eksamensforløbet i AT 2015

3.g elevernes tidsplan for eksamensforløbet i AT 2015 Mandag d. 26.1.15 i 4. modul Mandag d. 2.2.15 i 1. og 2. modul 3.g elevernes tidsplan for eksamensforløbet i AT 2015 AT emnet offentliggøres kl.13.30. Klasserne er fordelt 4 steder se fordeling i Lectio:

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

19.7 ALMEN PÆDAGOGIK. Pædagogisk diplomuddannelse

19.7 ALMEN PÆDAGOGIK. Pædagogisk diplomuddannelse Pædagogisk diplomuddannelse 19.7 ALMEN PÆDAGOGIK Mål for læringsudbytte skal opnå kompetencer inden for pædagogisk virksomhed i offentlige og private institutioner, hvor uddannelse, undervisning og læring

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Matematik B stx, maj 2010

Matematik B stx, maj 2010 Bilag 36 Matematik B stx, maj 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Talentudvikling i folkeskolen - en strategi

Talentudvikling i folkeskolen - en strategi Talentudvikling i folkeskolen - en strategi Center for Skole 14. november 2014 Baggrund Talentudvikling er på dagsordnen i mange sammenhænge. Det er et vigtigt indsatsområde for udviklingen af børn og

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Psykologi B valgfag, juni 2010

Psykologi B valgfag, juni 2010 Psykologi B valgfag, juni 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Psykologi er videnskaben om, hvordan mennesker sanser, tænker, lærer, føler, handler og udvikler sig universelt og under givne livsomstændigheder.

Læs mere

II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner

II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner II. Beskrivelse af kandidatuddannelsens discipliner Særfag 18. Agenter, handlinger og normer (Agents, actions and norms) a. Undervisningens omfang: 4 ugentlige timer i 2. semester. Efter gennemførelsen

Læs mere

Præsentation af projekt Udvikling af udeskole. 22. april 2014

Præsentation af projekt Udvikling af udeskole. 22. april 2014 Afdeling for Folkeskole og Internationale opgaver Frederiksholms Kanal 26 København K Tlf. 3392 5000 Fax 3392 5302 E-mail uvm@uvm.dk www.uvm.dk CVR nr. 20-45-30-44 Præsentation af projekt Udvikling af

Læs mere

LÆREMIDLER STØTTE OG UDVIKLING. Lektor, ph.d. Bodil Nielsen bon@cvukbh.dk

LÆREMIDLER STØTTE OG UDVIKLING. Lektor, ph.d. Bodil Nielsen bon@cvukbh.dk LÆREMIDLER STØTTE OG UDVIKLING Lektor, ph.d. Bodil Nielsen bon@cvukbh.dk Læremidler og undervisningsmidler Et ræsonnement om læreres behov i en uophørlig omstillingstid. Læremidler er også undervisningsmidler

Læs mere

Hold: 1. semester Forår 2010. 80 lektioner. En del af lektionerne vil foregå som selvstændigt projektarbejde.

Hold: 1. semester Forår 2010. 80 lektioner. En del af lektionerne vil foregå som selvstændigt projektarbejde. Fredericia Maskinmesterskole Undervisningsplan Side 1 af 7 Lektionsantal: 80 lektioner. En del af lektionerne vil foregå som selvstændigt projektarbejde. Uddannelsesmål: Den studerende skal bibringes de

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Talentudvikling i folkeskolen

Talentudvikling i folkeskolen 1 Center for Skole 2015 Talentudvikling i folkeskolen - En strategi Center for Skole 05.05.2015 2 Baggrund Talentudvikling er på dagsordnen i mange sammenhænge. Det er et vigtigt indsatsområde for udviklingen

Læs mere

Diplomuddannelse er ikke en privat sag

Diplomuddannelse er ikke en privat sag Transfer fra diplomuddannelse - en pædagogisk ledelsesopgave Anne-Birgitte Rohwedder. Pædagogisk leder på Randers Social - og Sundhedsskole. Master I pædagogisk udviklingsarbejde fra DPU, Aarhus Universitet,

Læs mere

Forsøgslæreplan for psykologi B valgfag, marts 2014

Forsøgslæreplan for psykologi B valgfag, marts 2014 Bilag 33 1. Identitet og formål 1.1 Identitet Forsøgslæreplan for psykologi B valgfag, marts 2014 Psykologi er videnskaben om, hvordan mennesker sanser, tænker, lærer, føler, handler og udvikler sig universelt

Læs mere

it-undervisning Se mere på hjemmesiden www.it-formidler.dk

it-undervisning Se mere på hjemmesiden www.it-formidler.dk Vejledning i planlægning af it-undervisning Se mere på hjemmesiden www.it-formidler.dk Om vejledningen Vejledningen beskriver kort, hvordan man som underviser, trin for trin, kan planlægge it-kurser efter

Læs mere

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014 Definition af pædagogiske begreber I tekster om reformen af erhvervsuddannelserne anvendes en række pædagogiske begreber. Undervisningsministeriet beskriver i dette notat, hvordan ministeriet forstår og

Læs mere

Hjemmestyrets bekendtgørelse nr. 2 af 9. januar 2009 om evaluering og dokumentation i folkeskolen

Hjemmestyrets bekendtgørelse nr. 2 af 9. januar 2009 om evaluering og dokumentation i folkeskolen Hjemmestyrets bekendtgørelse nr. 2 af 9. januar 2009 om evaluering og dokumentation i folkeskolen I henhold til 17, stk. 4, og 18, stk. 1-3, i landstingsforordning nr. 8 af 21. maj 2002 om folkeskolen,

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

professionalisme positioner Lærerroller i de naturvidenskabelige fag

professionalisme positioner Lærerroller i de naturvidenskabelige fag professionalisme positioner Lærerroller i de naturvidenskabelige fag Jens Dolin Institut for Naturfagenes Didaktik Dias 1 Dias 2 Institut for Naturfagenes Didaktik Naturvidenskabernes egenart Hvad kan

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

Kvalifikationsprofil for Bacheloruddannelsen i Erhvervssprog og International Erhvervskommunikation

Kvalifikationsprofil for Bacheloruddannelsen i Erhvervssprog og International Erhvervskommunikation Side 1 af 6 KVALIFIKATIONSPROFIL Bacheloruddannelsen i Erhvervssprog og International Erhvervskommunikation med et fremmedsprog som hovedfag og international marketing som bifag Indholdsfortegnelse: 1.

Læs mere

kravet om fuld kompetencedækning glig og didaktisk udvikling på skolerne gennem udvikling af stærke fagteam og skolens faglige

kravet om fuld kompetencedækning glig og didaktisk udvikling på skolerne gennem udvikling af stærke fagteam og skolens faglige Middelfart Kommune kompetenceudvikling i forbindelse med folkeskolereform På baggrund af møde mellem Middelfart Kommunes reformgruppe og UCL d. 3. april 2014 fremsendes hermed udkast til kompetenceudviklingsforløb

Læs mere

Fagteamsamarbejde og matematikvejledning Arne Mogensen, Læreruddannelsen i Aarhus

Fagteamsamarbejde og matematikvejledning Arne Mogensen, Læreruddannelsen i Aarhus Fagteamsamarbejde og matematikvejledning Arne Mogensen, Læreruddannelsen i Aarhus UVM s ekspertarbejdsgruppe i matematik: Der mangler viden om, hvordan faglærerne har organiseret sig i fagteam i matematik

Læs mere

Billedkunst B stx, juni 2010

Billedkunst B stx, juni 2010 Billedkunst B stx, juni 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Fagets primære genstandsfelt er billedkunst og arkitektur. Faget inddrager fænomener fra hele det visuelle felt. Kunst og arkitektur tjener

Læs mere

Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014

Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014 Bilag 26 Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Græsk er et sprog- og kulturfag, der omhandler antikken som grundlag for europæisk kultur. Faget beskæftiger

Læs mere

Tysk begyndersprog A hhx, juni 2010

Tysk begyndersprog A hhx, juni 2010 Bilag 26 Tysk begyndersprog A hhx, juni 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Tysk er et færdighedsfag, et vidensfag og et kulturfag, og de forskellige sider af faget betinger hinanden gensidigt.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Avnø udeskole og science

Avnø udeskole og science www.nts-centeret.dk Avnø Avnø Avnø udeskole og science Hvad kan uderummet gøre for naturfagene?... og hvordan kan udeskolelærere bruge NTS centrene? 12.4.2011 Nationalt center for undervisning i natur,

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Kvalitetsinitiativer (FL 2013)

Kvalitetsinitiativer (FL 2013) Kvalitetsinitiativer (FL 2013) Til inspiration Regeringen indgik den 8. november 2012 en finanslovsaftale med Venstre, Dansk Folkeparti, Enhedslisten og Det Konservative Folkeparti om: Bedre erhvervsuddannelser

Læs mere

Elevernes skal have redskaber og kompetencer, så de med et fagligt perspektiv kan indgå i drøftelser om markedskommunikation i sociale sammenhænge.

Elevernes skal have redskaber og kompetencer, så de med et fagligt perspektiv kan indgå i drøftelser om markedskommunikation i sociale sammenhænge. Markedskommunikation C 1. Fagets rolle Markedskommunikation omfatter viden inden for sociologi, forbrugeradfærd, målgruppevalg, kommunikation samt markedsføringsstrategi og -planlægning. Faget beskæftiger

Læs mere

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Fra antologien Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Artikel fra antologien Kommunikation i matematik v/kirsten Søs Spahn, lærer, exam.pæd., pædagogisk konsulent i matematik, Center for

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne:

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne: Lærervejledningen giver supplerende oplysninger og forslag til scenariet. En generel lærervejledning fortæller om de gennemgående træk ved alle scenarier samt om intentionerne i Matematikkens Univers.

Læs mere

EVALUERINGS- OG TESTMATERIALER TIL MATEMATIK

EVALUERINGS- OG TESTMATERIALER TIL MATEMATIK En oversigt over EVALUERINGS- OG TESTMATERIALER TIL MATEMATIK Center for Undervisningsmidler Læreruddannelsen i Odense Denne lille folder giver en oversigt over de fleste test- og evalueringsmaterialer

Læs mere

Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide

Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide 70 MONA 2006 4 Undervisningsfaglighed hvad en underviser bør vide Annemarie Møller Andersen, Institut for curriculumforskning, Danmarks Pædagogiske Universitet Kommentar til artiklen Analyse og design

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Grønlandsk som begynder- og andetsprog A. 1. Fagets rolle

Grønlandsk som begynder- og andetsprog A. 1. Fagets rolle Grønlandsk som begynder- og andetsprog A 1. Fagets rolle Grønlandsk som begynder- og andetsprog A er et færdighedsfag, et vidensfag og et kulturfag, der beskæftiger sig med grønlandsk sprog og kultur.

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6.

Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse. Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. Inspirationsforløb i faget matematik i 4. - 6. klasse Sammenligning af data et inspirationsforløb om statistik og sandsynlighed i 6. klasse Indhold Indledning 3 Undervisningsforløbet 4 Mål for forløbet

Læs mere

Af lektor Katrine Schumann og lektor Anni S. Pedersen, pædagoguddannelsen, UCN

Af lektor Katrine Schumann og lektor Anni S. Pedersen, pædagoguddannelsen, UCN Portfoliomodellen: - Læring mellem praksis og teori i diplomuddannelserne Af lektor Katrine Schumann og lektor Anni S. Pedersen, pædagoguddannelsen, UCN - Jeg forventer at få noget teori koblet på det,

Læs mere

Landet should I stay or should I go? Undervisningsmateriale

Landet should I stay or should I go? Undervisningsmateriale Landet should I stay or should I go? Undervisningsmateriale Unik fusion af teaterforestilling, udstilling og læring. Landet handler om at være ung på landet. Om ønskedrømme og forhindringer - om identitet

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Sta Stem! ga! - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? O M

Sta Stem! ga! - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? O M o Sta Stem! ga! o - hvordan far vi et bedre la eringmiljo? / o T D A O M K E R I Indhold En bevægelsesøvelse hvor eleverne får mulighed for aktivt og på gulvet at udtrykke holdninger, fremsætte forslag

Læs mere

Introduktion til Sprogpakken

Introduktion til Sprogpakken Introduktion til Sprogpakken Børn lærer sprog, fordi de har brug for sproget. Det har de, når de skal kommunikere med omverdenen, når de vil fortælle, at der er noget de gerne vil have, eller noget de

Læs mere

Dagens program. Velkommen og præsentation.

Dagens program. Velkommen og præsentation. Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst

Læs mere

Novelleskrivning med IBog

Novelleskrivning med IBog Novelleskrivning med IBog AD-ugen 2013 Katrine Ellen Rasmussen 30110709 Josephine Lunøe 30110726 Anne Sonne Mortensen 30110715 Indholdsfortegnelse Lærervejledning... 3 Undervisningsforløb... 4 Dannelses-

Læs mere

Rammer for synopsis og mundtlig eksamen i almen studieforberedelse (AT) Kalender for offentliggørelse, vejledning og udarbejdelse af synopsis

Rammer for synopsis og mundtlig eksamen i almen studieforberedelse (AT) Kalender for offentliggørelse, vejledning og udarbejdelse af synopsis Rammer for synopsis og mundtlig eksamen i almen studieforberedelse (AT) Det sidste AT-forløb i 3.g indebærer, at du skal udarbejde en synopsis, der skal være oplæg til den mundtlige eksamen i AT. Der er

Læs mere

Informationsteknologi B Forsøgslæreplan, december 2010

Informationsteknologi B Forsøgslæreplan, december 2010 Informationsteknologi B Forsøgslæreplan, december 2010 1.1 Identitet Informationsteknologi bygger på abstraktion og logisk tænkning. Faget beskæftiger sig med itudvikling i et samspil mellem model/teori

Læs mere

Efteruddannelse i inklusion

Efteruddannelse i inklusion Efteruddannelse i inklusion Af: Helle Skjerk, Nordisk NLP Akademi Foto: Personale ved Løgstrup Skole Inklusion er velkommen på Løgstrup Skole At en skole skal inkludere de børn, der er i skoledistriktet,

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 9, s. 99-109.

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 9, s. 99-109. Side 1 af 9 Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 9, s. 99-109. At vide Hvordan får man mest mulig brugbar viden? Når man læser tekster, finder materiale og opsøger

Læs mere

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Danske elevers udfordringer i matematik Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Disposition for de næste 30 min. Matematikspecifikke udfordringer matematikvanskeligheder Hvad ved vi fra PISA set fra et fagdidaktisk

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Lærerstuderendes Landskreds. Principprogram

Lærerstuderendes Landskreds. Principprogram Principprogram Målet for Lærerstuderendes Landskreds er at være medskaber af den bedste uddannelse af lærere til folkeskolen. Vi ønsker gennem læreruddannelsen at skabe professionelle folkeskolelærere

Læs mere

Indhold. Dansk forord... 7

Indhold. Dansk forord... 7 Indhold Dansk forord........................................... 7 Kapitel 1: Hvad er positiv motivation?...................... 13 Kapitel 2: Forståelse af motivationens hvorfor og hvad : introduktion til

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

11 PLS vejleder om: LÆRINGSMÅL

11 PLS vejleder om: LÆRINGSMÅL 11 PLS vejleder om: LÆRINGSMÅL PLS Pædagogstuderendes PLS Pædagogstuderendes Landssammenslutning Landssammenslutning Bredgade 25 X Bredgade 1260 København 25 X 1260 K København Tlf 3546 5880 K Tlf pls@pls.dk

Læs mere

STUDIEBESKRIVELSE DESIGN TO IMPROVE LIFE EDUCATION FORÅR 2013

STUDIEBESKRIVELSE DESIGN TO IMPROVE LIFE EDUCATION FORÅR 2013 STUDIEBESKRIVELSE 1 Bredgade 66, stuen DK 1260 København K designtoimprovelifeeducation.dk The project is co-financed by: The European Regional Development Fund (ERDF) through the EU project Interreg IV

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere