cos( x) dt = 3.1 Vi udregner integralet: sin( x) 2 + cos( x) sin( x) 2 t cos( x)

Transkript

1 6x-MA 7 (4..8) opg () Cec om den angivne værdi er orret b) ( sin( x) + cos( x) ) 3. Vi udregner integralet: sin( x) + cos( x) + sin( x) + sin( x) [x] + ( ) cos( x) sin( ) t cos( x) cos( x) cos( x) + sin( x) cos( x) I det sidste integral substituerer vi t sin( x) > cos( x) <> cos( x) sin( ) + t + [ t sin( ) ] + sin( ) (esat værdi) Da er mindre end / er sin() mindre end (!) - så det er sin(x) også. Dermed er resultatet mindre end, så påstanden i opgaven er fals! () f( x) : cos( x) g( x) : tan( x) Grafen for g ender vi, og grafen for f er en sammenpresset cos-graf. Vi an let med et par støttepunter sitsere dens forløb. f( ) cos( ) f f 4 cos( ) cos f( x) g( x).5.5 M N.5.5 Puntmængden i.vadrant, som afgrænses af y-asen og graferne aldes M. Vi sal beregne arealet af M. Vi sal først finde puntet, vor graferne særer inanden, og det an vi ie i ånden, så det lader vi Matcad gøre... x : Given f( x) g( x) : Find( x) Arealet af M an så, idet f-grafen ligger øverst, beregnes som cos( x) tan( x) cos( x) tan( x) tan(x) ender vi en stamfuntion til, men cos(x) ræver en substitution. x Vi substituerer nu t x > <> (fortsættes)

2 6x-MA Mat. afl. 7 (4..8) side af 6 Det giver cos( t) tan( x) ½[ sin(t) ] - [ -ln(cos(x)) ] ( sin ) ln ( cos ln cos sin( ) ln cos + ( ( )).96 (talværdi udregnet af Matcad) I første vadrant for x afgrænses også puntmængden N. (Begrænsningen på x er nødvendig, for da begge funtioner er periodise, vil der være uendeligt mange af den slags områder langs x-asen) Arealet af N beregnes i to dele, silt af grafernes særingspunt, x. Øverste grænse fan vi tilfældigvis ovenfor til x /4. Arealet bliver således tan( x) 4 + cos( x) (vi benytter nu samme substitution som ovenfor) [ -ln(cos(x)) ] + ( sin( x) ) ln( cos( ) ) + sin sin( ) sin( ) ln( cos( ) ) (talværdi udregnet af Matcad) () Vi sal beregne den esate værdi af integralet ved den angivne substitution b) x e x3 subst: t x 3 > 3x <> 3x 3 x e t 3x 3 3 et ( ) 3 e e e 3

3 6x-MA Mat. afl. 7 (4..8) side 3 af 6 () f( x) : e x g( x) : tan( x) x x : x f-grafen er en spejling af den velene e x -graf og går derfor gennem (,-). Grafen for tangens går gennem (,) og ar en lodret asymptote i x / (ca.,5). g-grafen er lemt sammen så asymptoten ligger i det alve, altså x /4 (ca.,75). Desuden er den på grund af minusset aftagende. Sammen med y-asen (i opgaven står x-asen, men det giver ie mening! Det må altså være en fejl) afgrænser graferne et område, på figuren mareret som A. Vi sal bestemme arealet. For at finde grafernes særingspunt,, må vi ty til tenien: f( q) g( q) A q x : Given f( x) g( x) : Find( x).564 Arealet er dermed tan( x) ( e x ) tan( x) + e x Det første integral må løses med substitutionen t x > Vi får så (idet det andet integral er simpelt) <> tan( t) + e x ( ) ( ln ( cos ( t ))) + ex ln cos ( ( )) + e.34 (talværdi beregnet af Matcad)

4 6x-MA Mat. afl. 7 (4..8) side 4 af 6 Opg (:79) Cirlen med radius r og centrum (r,) ar ligningen ( x r) + y r x : x Vi sal vise at den positive del af cirlen er graf for f( x) r x x x r x Vi isolerer y i ligningen ( x r) + y r solve, y Vi ser at den positive del netop svarer til den ønsede forsift x x r r x x xx M { (x,y) x y f ( x) } Puntmængden M er sitseret til øjre. Vi ser nu på omdrejningslegemet (omring x-asen) og sal vise at volumen er givet ved V( ) r 3 Vi bruger omdrejningslegemeformlen: V( ) f ( x) r x x r 3 QED xx Vinglasset er netop sådant et omdrejningslegeme, rejst op lodret og sat på fod. På figuren aflæser vi r 8 og (-r) 3, voraf vi finder r : 4 og : 7 Dermed bliver glassets rumfang ved indsættelse i formlen ovenfor M r r (3:45) Vi sal finde mipunterne på siderne i treanterne, bestemt ved jørnerne: ) A : ( 4 6 ) B : ( 6 4 ) C : ( 6 4 ) mab A B) 5 ) mbc B C) 4 ) mac A C) 5 5 ) ) A : ( ) B : ( 4 6 ) C : ( 3 ) mab A B) 3 ) mbc B C) 4 mac A C) )

5 6x-MA Mat. afl. 7 (4..8) side 5 af 6 Opg 3 (frivillig) Vi sal vise, at vis går op i a + b + 9ab, går det også op i a b Vi antager nu at går op i det første ury og omsriver derpå dette således: a + b + 9ab ( a b) + ab Da tydeligvis går op i leddet ab, må det også gå op i det første led, (a-b). Vi onstaterer nu at er et primtal. Så vis går op i (a-b), må det også gå op i (a-b). Vi omsriver nu a b med vadratsætningen til ( a + b) ( a b) Vi ar lige ovenfor vist at går op i den sidste fator, (a-b). Men dermed går den jo op i produtet - og vi er færdige! xx

6 6x-MA Mat. afl. 7 (4..8) side 6 af 6